Text pro učitele Téma: Geometrické modelování Pořadí zařazení námětu: 2. Název: O vhodnosti užití různých typů modelů těles Autor: Marie Kupčáková Pod pojmem modelování těles, případně 3D modelování, se studentům téměř bezvýhradně vybaví počítačový model tělesa, a to pokud možno s živou grafikou. Ale tři dimenze prostorových útvarů, včetně jejich vlastností, vymodelujeme snáz a přirozeněji v reálu. Jaké typy modelů můžeme využívat? Školní modely Ve školních kabinetech padá prach na trojrozměrné modely těles. Některé jsou dřevěné, jiné plastové, drátěné atp. Stálo by za to vytáhnout je z vitrín a vdechnout jim nový život. Také v novém století najdou své adresáty, kteří je budou zkoumat, přemýšlet nad nimi, objevovat vlastnosti, které nemusejí být pro každého na první pohled zřejmé. Modely kvádrů Když máme na mysli školní pomůcky, mluvíme o modelech plných, papírových a drátěných.
Modely krychlí Předškolák si hraje s plastovými stavebnicemi, kterým lze odklápět výplně ve stěnách, jiné stavebnice mají tyčinky jako hrany a zvláštní spojky na vrcholy, velmi oblíbený je soubor Geomag atd. Modely krychlí Použitý materiál zřejmě nebude pro klasifikaci modelů nejdůležitější. Zvolíme obecnější kriterium, které odliší stupně abstrakce modelování. U každého typu se pak zamyslíme nad tím, co od něj očekáváme a kdy jej použijeme. Ideální model tělesa Podle prof. Vopěnky je ideálním modelem tělesa ten ze světa idejí 1. Každá materie už s sebou přináší nějakou nedokonalost, například stěny mnohostěnů nemusí být absolutně rovné atp. 1 Vopěnka, P.: Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci, Praha 2001
Toto je zvláštní mechanický hlavolam, který jsem před časem dostal, ale nevím, kdo ho vymyslel. Sestává ze dvou kusů dřeva, pevně spojených. Na dvou stěnách, které jsou vzadu, jsou kusy spojeny stejně. Jak se podařilo kusy spojit? 1 Napsal Henry Dudeney (1857 1930) k hlavolamu číslo 177. Dokážeme si domyslet, že ve všech stěnách jsou stejné lichoběžníkové zářezy. Jak ale oba kusy krychle od sebe oddělit? Jednou nám byl tento hlavolam předložen na vysoké škole na semináři z deskriptivní geometrie. Vzpomínám, jak nás potrápil, ale vyřešili jsme jej ( v hlavě ); kusy krychle od sebe bez problémů oddělíme diagonálním tahem. K hlavolamu jsem se vrátila o třicet let později a vyráběla jej pro časopis abc jako papírový model. 2 Model řešení Dudeneyova hlavolamu Problém však nebyl v jeho chytrém vyřešení, ale v papíru samém. Přesvědčila jsem se, že pouze ve světě idejí v hlavě - není hmota na překážku, úsečku lze vložit do úsečky, stěna klouže ve stěně. Ten, kdo sám něco takového nevyráběl, si možná neuvědomí, že lichoběžníkový zářez spodního kusu a lichoběžníkový výstupek horního kusu nemohou být v reálném skutečném, neideálním modelu shodné. Bohužel, v takovém hmotném světě žijeme a i papír je materie. Všechny modely, vyjma těch ideálních, už budou mít nějakou chybu. Plný model tělesa S tímto typem modelu geometrického tělesa se můžeme nečekaně setkat v přírodě, na náměstí i ve stánku... Je docela dobré dávat žákům za úkol sbírat takové fotozáběry. Plný model ztrácí nejméně informací o tělese, proto by se měly představy geometrických pojmů odvíjet právě od tvarů ze dřeva, z modelíny, hlíny atp. 1 Dudeney, H. E.: Matematické hlavolamy a hříčky, Olympia, Praha 1995 2 Kupčáková, M.: Kalamář, ABC časopis generace XXI. století, č. 14, roč. 46 (2001), s. 24, 26
Panská skála U tohoto způsobu modelování musíme být shovívaví a považovat modely mírně deformované za vyhovující. Tak jako jsme pochválili čtyřleté děti, které vytvořily skupinku geometrických těles (všechny výtvory na fotografii jsou autentické ).
Žáci mohou modelovat válce; kruhový kolmý (rotační) a šikmý eliptický válec. Případně kvádr a kolmý osmiboký hranol. Při vytváření správných představ o kuželosečkách studentům pomůže skutečné sekání kužele. Šikovní žáci a studenti mohou řešit následující úkol: Odřežte hrany i vrcholy krychle tak, aby ve stěnách a na pozicích všech hran zůstaly čtverce. Mnohostěn patří mezi archimédovské a nazývá se rombokuboktaedr. Povrchový model s pevnou polohou a tvarem stěn Další stupeň abstrakce bude směřovat k modelům, kterým bude scházet výplň, budou duté, budou modelovat pouze povrch; z koule se stane kulová plocha, z mnohostěnu mnohostěnná plocha. Na fotografii je stylizovaný papírový model právě zmíněného rombokuboktaedru. 1 1 Kupčáková, M.: Krabička se skrytým víčkem, ABC časopis generace XXI. století, č. 15, roč. 45 (2000), s. 19
V Litomyšli Mnohdy se na první pohled ani nepozná, zda model je či není dutý... Herci - siláci - pak nad hlavu v potu tváře zvedají makety těžkých předmětů... Také v geometrickém modelování se může tento vtip uplatnit. Na fotografii je vlevo krystal hessonitu, vpravo jeho papírový model - v podobě geometrického tělesa zvaného dvanáctistěn kosočtverečný, kterému byl záměrně dán design tohoto kamene. 1 Při zahajování olympijských her 2000 v Sydney se shora snesl jiný obrovský dvanáctistěn dodekaedr (z řečtiny). Je to také konvexní mnohostěn, také má v každém vrcholu tři sbíhající se shodné mnohoúhelníky, ty však mají podobu pravidelných pětiúhelníků. Zdánlivě pevný plný model se nad zemí rozdělil na dvě části, dolní se rozložila a vytvořila obrovskou síť skořepiny, horní část sloužila jako pódium pro účinkující a její boční stěny jako projekční plochy. 1 Kupčáková, M.: Granátotvar, ABC časopis generace XXI. století, č. 23, roč. 50 (2005), s. 29
Konstrukce papírových modelů je vhodnou problémovou úlohou, která přirozeným způsobem motivuje přesnost a pečlivost práce, vyžaduje řešení planimetrických úloh, rozvíjí technické konstrukční myšlení, připravuje správné pochopení učiva o povrchu těles. 1 Sestavit papírový model znamená: sestrojit síť tělesa (rozvinout povrch do roviny), promyšleně umístit záložky na slepení tak, aby každé dvě hrany byly spojeny, avšak podél každé slepené hrany byla maximálně jedna záložka. Tvar záložky přitom závisí na tvaru stěny, do které se vlepí. Síť, tedy i konstrukce papírového modelu, nemívá jediné řešení. (Zkuste objevit, kolik existuje různých sítí krychle.) Námět: Uschlá křídlatka japonská je ozdobena všemi osmi konvexními a vybranými čtyřmi nekonvexními deltastěny. Konvexní dvacetistěn Nekonvexní dvacetistěn Stella octangula Favoritem bývá stella octangula (zcela vpravo), jejíž síť studenti hledají a vytvářejí si vlastní modely. Mezi žáky jsou méně známé konstrukce sítí papírových modelů oblých těles. Síť rotačního válce o poloměru podstavy r a výšce v tvoří obdélník a dva kruhy. Kruhy mají poloměr r, rozměry obdélníka jsou v a 2πr. Úsečku délky πr sestrojíme třeba pomocí tzv. Kochańského rektifikace: sestrojíme tečnu kružnice a k ní kolmý dotykový průměr, dále polopřímku s počátkem ve středu kružnice tak, aby svírala s průměrem úhel 30. Od průsečíku s tečnou naneseme třikrát poloměr r. 1 Kupčáková, M.: Geometrie ve světě dětí i dospělých, Gaudeamus 2009, 3. vydání, ISBN 978-80-7041-683-9
Koncový bod spojíme s druhým krajním bodem průměru. Délka této úsečky je přibližně rovna polovině délky kruhového oblouku, tedy πr. Poznámka: Konstrukce je natolik nepřesná, že pokud bychom rektifikovali (napnuli jako úsečku) kružnici o poloměru 84 cm, byla by nepřesnost 0,1 mm! Síť rotačního kužele,který má poloměr podstavy r a délku strany s, tvoří kruh a kruhová výseč. Poloměr kruhu je r, poloměr kruhové výseče je s a velikost středového úhlu ϕ v míře r stupňové je ϕ = 360. s
Povrch koule nelze rozvinout do roviny, a neexistuje tedy ani síť koule, ani přesný papírový model. Přesto bychom někdy potřebovali již existující kouli polepit papírem a vymodelovat třeba glóbus. Pak lze použít přibližný model; sestrojíme úsečku délky 2πr = o, rozdělíme ji na 12 shodných dílů, v každém získaném bodě sestrojíme oblouk o poloměru 10 o. Získané dvojúhelníky budou na kouli 12 modelovat ty části zemského povrchu, které se nacházejí mezi dvěma poledníky, jejichž rozdíl je 30. Na podobném principu bylo vymodelováno velikonoční vajíčko rotační vejčitý elipsoid, jehož povrch se vytvoří, až když jej roztočíme pomocí provázku procházejícího osou. 1 Modely flexibilních mnohostěnů U papírových (povrchových) nekonvexních mnohostěnů se může stát, že vzájemná poloha stěn nezůstane v prostoru pevná. Při manipulaci s modelem se z hran stanou panty a model bude při stisku pružit, aniž by byl narušen tvar stěn. Tak jak to vidíme na obrázcích, kde je prostorová betlémská hvězda tedy flexibilní nekonvexní dvacetičtyřstěn. 2 Takovéto skupině prostorových útvarů se říká flexory, popřípadě flexibilní mnohostěny, i když to jsou opět pouze mnohostěnné plochy. 1 Kupčáková, M.: Vajíčko od princezny Koloběžky, ABC časopis generace XXI. století, č. 6, roč. 47 (2002), s.19, 26 2 Kupčáková, M.: Betlémská hvězda, ABC časopis generace XXI. století, č. 25, roč. 49 (2004), s. 48, 55
Žebrové modely s pevnými vrcholy Opět se vrátíme k rombokuboktaedru. Na obrázku je jeho slavný žebrový model od Leonarda da Vinci. V abstrakci modelování geometrických těles jsme postoupili opět dál vypustili jsme povrch. Zůstaly pouze hrany, avšak s pevnou vzájemnou polohou v prostoru, podobně jako u skutečně drátěných modelů, které jsou svařené ve vrcholech.. Existují takové pomůcky, které mají vytvořené typy vrcholů a tyčinky jako hrany. Poloha vrcholů i hran v prostoru je pak stále pevná. Žebrový model pravidelného čtyřbokého jehlanu má své výsostné stanoviště na III. nádvoří Pražského hradu. Monolit z mrákotínské žuly na III. hradním nádvoří o celkové výšce 15 m a 50 cm, postavený při příležitosti desetiletého trvání Masarykovy republiky 1928 jako památník obětem první světové války - zhotovil jej podle návrhu Josipa Plečnika architekt Rothmajer Památník, jehož podstavec se jmény padlých je z liberecké žuly, byl doplněn 13. května 1996. Tehdy byla na vrchol osazena dva metry vysoká ocelová konstrukce jehlanu pozlacená plátkovým zlatem.
Tomuto typu modelů se tedy říká drátěné, případně žebrové. Lze je však vyrábět i z papíru. Na obrázku je papírový kalendář na rok 2006 na pravidelně vybarveném dodekaedru. 1 Vedle kalendáře je na fotografii model, kterému jsme vyřezali plochy uvnitř a stala se z něj žebrová varianta v ní vidíme i hrany tak zvaně neviditelné. Tento typ má zároveň tu výhodu, že můžeme zkoumat a vytvářet něco uvnitř. Hranový model dodekaedru s fóliovými stěnami slouží jako malá voliéra pro vymodelované papírové ptáky. 2 V dalším modelu je patrný prostorový vztah mezi dodekaedrem a krychlí (hexaedrem), kterou lze dovnitř vložit. 3 Třetí posloužil jako vánoční ozdoba, ale zároveň zprostředkoval informaci o tom, že duálním mnohostěnem k dodekaedru je pravidelný dvacetistěn (ikosaedr) jeho vrcholy leží ve středech stěn dvanáctistěnu. 4 1 Kupčáková, M.: Kalendář na rok 2006, ABC časopis generace XXI. století, č. 1, roč. 51 (2006), s. 28 2 Kupčáková, M.: Pátý pravidelný mnohostěn, ABC mladých techniků a přírodovědců, č. 23, roč. 42 (1998), str. d1 3 Kupčáková, M.: Hra v kostky, ABC časopis generace XXI. století, č. 24, roč. 48 (2003), s. 32, 34 4 Kupčáková, M.: Ozdoba na stromeček, ABC časopis generace XXI. století, č. 25, roč. 47 (2002), s. 19, 25
Hranové a kloubové modely mnohostěnů Modelům vytvořeným z hran a vrcholů můžeme říkat třeba hranové modely. Takový model si snadno uděláme z párátek a kuliček modelíny. Na obrázku je fotografie dodekaedru. Lze používat i stavebnici Geomag. Přecházíme k modelům, ve kterých vrcholy přestanou být pevné a stanou se z nich klouby (vyjma čtyřstěnu), proto jim můžeme říkat kloubové. Výchozí krychle se šikmým tlakem proměňuje v rovnoběžnostěn. Rotací horní podstavy se dostaneme k méně známému geometrickému tvaru, kterým je prizmatoid. Kloubové modely nejsou závislé na pevné konfiguraci připraveného vrcholu, hrany můžeme připojovat pod potřebným úhlem.
Modely abstraktních mnohostěnů I když je to podivné, prostorový útvar, ke kterému jsme dospěli výše, lze také považovat za model krychle, přesněji řečeno abstraktní krychle, ve které budou zachovány vrcholy, hrany, stěny a incidenční vztahy. Abstraktním modelem krychle by byl třeba i průmět krychle z jejího středu na kulovou plochu, která by jí byla opsána. Popřípadě všechny stěny i hrany krychle budou vtaženy dovnitř (počítačový model je na obrázku). Také fotbalový míč 1 přestane mít při nafukování věrnou podobu ořezaného ikosaedru, jeho hrany i stěny se prohnou, budou mít jiný tvar, ale stále stejnou vzájemnou polohu v prostoru. Dokonce i dětské modely, které jsme viděli na začátku, by bylo možné považovat za modely abstraktní. Počítačové modely Počítačová terminologie nabízí modely těles, i když nic skutečně trojrozměrného se za nimi neskrývá. Existuje celá řada zajímavých internetových adres, kde naleznete klasifikaci geometrických těles, jejich vyobrazení v rovnoběžném promítání (v axonometrii) i v perspektivě. Některé stránky mají živou grafiku, je tedy možno pomocí myši tělesa otáčet. Stále dokonalejší počítačová grafika umožňuje sestrojovat tzv. drátové modely útvarů i realistické obrázky objektů v perspektivě a barvě. Můžete však modelovat sami. Například souřadnice vrcholů osmicípé hvězdy lze lehce vyvodit; lze ji vepsat do krychle, hrany hvězdy jsou stěnovými úhlopříčkami krychle. Poznámka: Mnohostěn zvaný Keplerova stella octangula - hvězda osmicípá - vzniká z pravidelného osmistěnu (oktaedru) tak, že se nad každou jeho stěnu doplní pravidelný 1 Kupčáková, M.: Míč Euro 2000, ABC časopis generace XXI. století, č. 12, roč. 45 (2000), s. 21
čtyřstěn. Poprvé si tohoto mnohostěnu povšiml na konci patnáctého století františkánský mnich a významný matematik té doby Luca Pacioli a nazval mnohostěn octahedron elevatus solidus, protažený osmistěn plný. V názvu je skryt vznik tělesa: začneme jej modelovat od pravidelného osmistěnu, který je uvnitř, jeho stěny protáhneme, až se znovu protnou. Těleso lze tedy chápat i jako sjednocení devíti pravidelných mnohostěnů 1 oktaedru a 8 tetraedrů. Jan Kepler (1571 1630) mnohostěn zřejmě znovu objevil a dal mu název stella octangula, hvězda osmicípá podle počtu cípů, tedy vrcholů. Sestrojený počítačový model můžeme otáčet. Uvedené obrázky jsou počítačovými pravoúhlými průměty stelly octanguly. (Pokud si budete skutečně prohlížet hranový model, některé z těchto pohledů rozhodně neuvidíte víte které?) Obdobně zajímavé rovnoběžné průměty mají různé polohy dodekaedru.
Projekce a kresby Většinu informací o prostorových útvarech, které se nenacházejí v našem dosahu, získáváme pomocí zrakových vjemů, z dvojrozměrných obrázků. I ty lze považovat za modely. Můžeme vyzkoušet třeba kresby mnohostěnů, které jsme modelovali v předcházejících odstavcích. Například kresba rombokuboktaedru ve volném rovnoběžném promítání není úplně triviální. Vyzkoušíme také kresbu stelly octanguly: Protože hvězda osmicípá vzniká sjednocením pronikajících se pravidelných čtyřstěnů, jejichž hrany jsou stěnovými úhlopříčkami krychle, dokážeme ji nakreslit také v obecné rovnoběžné projekci, ve které se ani přední stěna krychle nezobrazí jako čtverec: Pozorně zaznamenáme všechny polohové a incidenční vztahy a útvar nakreslíme podle barevně vykreslených kroků. Pokud umíme nakreslit krychli v perspektivě, pak do ní snadno zobrazíme i takový složitý útvar. Tento typ modelů bychom mohli dále dělit na další podskupiny od způsobů zobrazení až po nejabstraktnější diagramy. Ztratila se však už ta nejdůležitější vlastnost těles jejich třetí rozměr.