Strategie řešení problémů, vytváření hroznů problémů, výzkumný přístup při výuce matematiky Jan Kopka Následující text a ukázky problémů jsou převzaté z knížek [], [3] a publikovaných článků autora. Strategie řešení problémů Pokud matematikové řeší problémy, používají při tom určité strategie. Tyto strategie jsou vlastně nástroje, které jim pomáhají při hledání cesty k cíli. Těchto strategií je celá řada. Vyjmenujme zde několik nejzákladnějších. Mezi výzkumné strategie můžeme zařadit: pokus omyl, pokus ověření korekce, systematické experimentování. Z dalších strategií uveďme alespoň tyto: analogie, zobecnění, specializace, konkretizace, cesta zpět, vypuštění podmínky, určení bližšího cíle, využití náčrtku (geometrická cesta), sestavení rovnice či soustavy rovnic (algebraická cesta), opakování určitého postupu. Více se čtenář o těchto strategiích může dočíst např. v [] nebo [3]. My se zde budeme zabývat ještě jinou užitečnou strategií, která se nazývá přeformulování problému. Strategie přeformulování problému není nikterak nová. Abychom o tom čtenáře přesvědčili, začneme příkladem až z antického Řecka a to dokonce ze samotných počátků tohoto období, tj. z doby pythagorejců. Matematici pythagorejské školy byli mistry ve využívání této strategie. Možná víte, že jejich znakem byl pravidelný pětiúhelník (viz obr.1). Byl to znak tajné moudrosti (viz knížka [4] od prof. Vopěnky). Dokonce i ve středověku, tedy mnohem později, byl pětiúhelník znakem různých čarodějů, i když pravděpodobně netušili, jakou moudrost a jakou tajnost tento znak představuje. Obr. 1 Ale vraťme se do starověku. Je samozřejmé, že pythagorejci chtěli svůj znak, tedy pravidelný pětiúhelník, zkonstruovat. Nedařilo se jim to až do chvíle, dokud neobjevili jeho skryté tajemství. V pravidelném pětiúhelníku je důmyslně ukryt poměr zlatého řezu a to takto: Je to poměr délky úhlopříčky a strany. Tak byl původní problém zkonstruování pravidelného pětiúhelníka přeformulován na problém nový (viz schéma). Problém 1: Sestrojte pravidelný pětiúhelník. Přeformulování Problém : Sestrojte zlatý řez. Pokud umíme sestrojit zlatý řez, pak konstrukce pravidelného pětiúhelníka je již triviální záležitostí.. Řešení problému 1 tak velmi názorně demonstruje použití strategie přeformulování problému. Toto řešení však demonstruje i strategii určení bližšího cíle. Konstrukce zlatého 1
řezu je bližším cílem pro původní cíl, kterým je konstrukce pravidelného pětiúhelníka. Při řešení problému se však využívá i strategie grafického znázornění. Druhý příklad: Problém 3: Nechť p a q jsou nesoudělná přirozená čísla. Dokažte, že platí: p p 3p ( q -1) p ( p 1)( q 1)... = q + + + q + q q Aby bylo trochu jasnější, o co v tomto problému jde, zvolíme nejprve zcela náhodně nějaký konkrétní příklad (strategie konkretizace): Zvolíme-li čísla p = 5 a q = 7, jsou tato čísla nesoudělná a podle zadaného vzorce prý platí, že pokud sečteme termy na levé straně formule (1), dá se tento výsledek rozložit způsobem popsaným na pravé straně této formule. Pro naší volbu dostaneme: 5.5 3.5 4.5 5.5 6.5 + + + 7 7 7 + + 7 7 7 = 0 + 1 + + + 3 + 4 = 1 = = (5-1)(7-1) Zdá se, že důkaz uvedené číselně teoretické věty nebude snadný. Pokud si však ip uvědomíme, že termy můžeme interpretovat v souřadnicové soustavě dimenze, situace q se podstatně změní. Interpretaci můžeme provést takto: ip Jestliže p, q jsou nesoudělná čísla, pak představuje počet bodů s celočíselnými q souřadnicemi (i, y), kde 0 < y < ip/q pro všechna i = 1,, 3,, q-1. Aby bylo to, co jsme právě napsali zřejmější, vraťme se opět k první výše uvedené 4.5 konkretizaci. Položili jsme p = 5 a q = 7. Pokud budeme např. term 7 interpretovat pomocí bodů, dostaneme množinu bodů (i, y), kde i = 4 a y jsou celá čísla, pro něž platí: 0 < y < 4.5/7, tzn. y = 1,. Hledanou množinou bodů je tak množina {(4, 1), (4, )}. Pokud takovouto interpretaci uděláme pro i = 1,, 3, 4, 5, 6 a získané body znázorníme v kartézském grafu, dostaneme trojúhelník na obr. 4: y 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 x Obr. 4 Nás nyní zajímá, kolik bodů získaný trojúhelník má. Tento výpočet však již popíšeme obecně. Problém 4: Určete počet bodů, které dostanete výše popsanou interpretací levé strany formule (1). Řešení:.. 4.6 = (1)
Ale vraťme se ke strategiím. Problém 3 jsme tak převedli pomocí kartézské soustavy souřadnic na problém 4, tj. do geometrie a tam jsme ho vyřešili. Použili jsme nejen strategii přeformulování problému, ale i strategii grafického znázornění. Čtenáři je jistě známo, že klasické problémy geometrie (trisekce úhlu, rektifikace kružnice, atd.) byly pomocí analytické metody přeformulovány do algebry a tam vyřešeny. Autor se také přizná k tomu, že před lety přeformuloval některé netriviální věty z teorie grup do teorie orientovaných grafů a tam se mu je podařilo dokázat. To však již silně překračuje rámec tohoto článku. Hrozny problémů Metoda, o které budeme v této kapitole pojednávat, a to především v praktické rovině, se někdy nazývá metoda generovaných problémů. Jde o metodu, při níž postupně vytváříme hrozen navzájem příbuzných problémů. Proto budeme často místo výše uvedeného názvu používat češtější označení metoda vytváření hroznů problémů, což je jistě název přijatelný i pro školskou matematiku. Tato metoda dala také název knížce [], kousek jejíž druhé kapitoly právě čtete. Úvodem pár teoretických slov o uvedené metodě: Metoda spočívá v tom, že v probírané oblasti matematiky vytipujeme vhodný výchozí problém, který budeme s žáky řešit. Samozřejmě, že při jeho řešení využijeme heuristické strategie, o nichž jsme hovořili v předchozí kapitole a poskytneme žákům pouze tolik pomoci, kolik je nezbytně nutné. Když jsme společně problém vyřešili a žáci měli dostatek času, aby metodu řešení problému skutečně pochopili, můžeme začít vytvářet nové problémy, které jsou podobné původnímu problému. Pokud se nám podaří, po určitém tréninku, vtáhnout do procesu vytváření problémů i studenty, je to jenom dobře. Nesmíme však svojí netrpělivostí tuto činnost studentů uspěchat. První nové problémy se obvykle ve slovním vyjádření nebudou příliš lišit od původního problému a současně i metoda řešení těchto problémů bude obvykle stejná nebo velmi podobná metodě řešení původního problému. Po vyřešení několika nových problémů se však studovaná oblast stane pro účastníky mnohem známější, dalo by se říci přímo familiernější, a začnou pak vytvářet problémy, které se od původního problému budou víc a víc vzdalovat (viz obr.1). Také metody řešení těchto problémů mohou vyžadovat stále větší úpravy metody řešení prvního problému. Poznamenejme ještě, že nové problémy obvykle tvoříme pomocí zobecňování, specializování, analogie, obměňování atd. Svým kantorským citem musíme odhadnout, jak dlouho budeme nové problémy vytvářet. Pokud se žáci začnou nudit, je dobré skončit. Obr. Při použití této metody můžeme rozlišit dvě fáze (viz obr. ). První fáze spočívá v tom, že vyřešíme úvodní problém a poskytneme žákům dostatek času, aby dobře pochopili metodu jeho řešení. V této fázi obvykle použijeme jednu nebo více heuristických strategií, o nichž jsme pojednali výše. Druhá fáze spočívá v tom, že začneme vytvářet pomocí prvního problému nové problémy a že se snažíme vyřešit je pomocí metody, kterou jsme objevili při 3
řešení tohoto prvního problému. Výchozí problém je tak nejen nositelem určité metody řešení, ale zároveň slouží k vytváření nových problémů. Proto tento problém nazveme základní problém. Základní problém spolu se všemi problémy, které jsme pomocí něho vytvořili (a obvykle i vyřešili), budeme nazývat hrozen problémů. Obr. 3 Vrátíme-li se k obrázku 1, vidíme, že bychom mohli metodu vytváření hroznů problémů popsat populárně ještě jednou například takto: Po vyřešení základního problému vytváříme a řešíme nejprve jeho nejbližší sousedy a potom se od základního problému v různých směrech vzdalujeme a vytváříme a řešíme i vzdálenější sousedy. Samozřejmě se může stát, že vytvoříme problém, který nebudeme schopni vyřešit. Je známo, že někdy podobně znějící problémy mají rozdílné metody řešení. Při používání metod vedoucích k rozvoji tvůrčích schopností člověka a k jeho samostatnosti je to však zcela přirozený jev. Naše zkušenosti ze školské praxe však ukazují, že takovéto situace nevznikají příliš často. Ještě bychom rádi upozornili na to, že vytváření každého hroznu bychom měli vhodně motivovat, aby studenti měli zájem se práce v rámci daného hroznu aktivně zúčastnit. Někdy je však samotný základní problém natolik zajímavý, že sám představuje i motivaci. Nyní budeme metodu demonstrovat pomocí problému z rekreační matematiky. Hra u kulatého stolu Hrozen je motivován přímo základním problémem a nepožaduje téměř žádné předběžné matematické znalosti. Hra: Dva hráči A a B mají dostatek mincí stejné velikosti, aby mohli hrát hru u kulatého stolu. Hra má tato pravidla: 1. Hráči pokládají mince střídavě na stůl tak, aby se nepřekrývaly.. Hráč, který jako první nemůže položit svoji minci na stůl, prohrává. Než začneme hrát, bylo by vhodné dohodnout se (definovat), co znamená položit minci na stůl. V podstatě jsou možné dvě definice: a) celá jedna strana mince leží na ploše stolu, b) mince na stole drží (může trochu přesahovat i přes okraj stolu). Přijměme v celé další části definici a). Obecnější definice b) samozřejmě může vést na některých místech k jiným závěrům. Na tuto rozdílnost čtenáře upozorníme. Studenti si mohou hru zahrát a pak jim sdělíme, že existuje vítězná strategie pro hráče, který první pokládá minci na stůl. Dohodněme se, že označení první hráč a hráč A znamená totéž. Vzhledem k přijaté definici a) bychom však měli dodat, že vítězná strategie pro prvního hráče může existovat pouze tehdy, když stůl je dostatečně velký, aby se na něj vešla 4
alespoň jedna mince 1. V případě definice b) by tato podmínka z pochopitelných důvodů odpadla. A nyní již přistupme k základnímu problému našeho budoucího hroznu. Základní problém: Zahrajte si hru na modelu stolu a pokuste se objevit vítěznou strategii prvního hráče (hráče A). Poznámka: Studenti si před zadáním problému vystřihli ze čtvrtky kruhy o průměru 16 cm a přinesli si buď mince nebo nějaká stejně velká kolečka dvou barev. Problematiku jsme zkoušeli na základní a střední škole, ale i na škole vysoké. Hra zaujala nejen žáky a studenty, ale i jejich učitele. Byli jsme překvapeni, že např. i někteří z žáků šestého ročníku vítěznou strategii po určité, ne příliš dlouhé době objevili. Dodejme však, že zdaleka ne všichni řešitelé z řad dětí, ale i dospělých, byli při objevování vítězné strategie úspěšní. Proto zdůrazněme, že pokud někdo vítěznou strategii neobjeví, pak mu ji musíme sdělit nebo lépe, musíme ho k ní dovést. Tato skutečnost mu však nikterak nebrání, aby se aktivně zúčastnil pozdějšího vytváření nových problémů a jejich řešení. Než však k tomu může dojít, musí mít dostatek času, aby metodu řešení základního problému skutečně pochopil. Řešení: Hráč A položí svoji první minci do středu stolu a každou další minci vždy středově souměrně s mincí svého protihráče. Touto strategií si zajistí, že může položit minci vždy, když ji může položit protihráč B (viz obr. 3). Obr. 4 Tím končí první fáze naší metody a můžeme proto přistoupit k fázi druhé. Zopakujme, že v této fázi buď sami nebo lépe, ve spolupráci se studenty vytváříme pomocí základního problému problémy nové a snažíme se je vyřešit pomocí již známé vítězné strategie prvního hráče. V tomto demonstračním příkladě však nebudeme jednotlivé problémy přímo vypisovat. Spíše se zaměříme na to, abychom ukázali několik možných skupin těchto nových problémů. První variace základního problému - změna tvaru stolu. Co se stane s vítěznou strategií prvního hráče, pokud ke hře užijeme stůl jiného tvaru. Může to být postupně stůl čtvercový, obdélníkový, trojúhelníkový, lichoběžníkový, stůl ve tvaru podkovy atd. Řešení: Úlohu řešíme pro každý stůl zvlášť a potom získané poznatky zobecníme. Vítězná strategie prvního hráče je zřejmě použitelná pro každý středově souměrný stůl. 1 Tato podmínka bude normálním lidem připadat přinejmenším podivná, neboť stoly obvykle tuto podmínku splňují. My ji však vyslovit musíme, neboť se chováme tak, jak se v matematice sluší. 5
Druhá variace základního problému - deska stolu má otvory. Počet otvorů může být různý a také jejich rozmístění. Zabývejme se zde jenom nejjednodušší situací, kdy středově souměrný stůl má jeden kulatý otvor, a to právě uprostřed (např. zahradní stůl s otvorem pro slunečník). Co se v tomto případě stane s vítěznou strategií prvního hráče? Řešení: Vítězná strategie z prvního hráče přechází tentokrát na druhého hráče. Poznamenejme, že v případě výše uvedené definice b) by záleželo na velikosti uvažovaného otvoru. Třetí variace základního problému - máme více stolů Hrajte naší hru na větším počtu středově souměrných stolů. Existuje vítězná strategie pro některého z hráčů? Řešení: Jestliže máme (1), 3, 5,... (obecně lichý počet) středově souměrných stolů, pak existuje vítězná strategie pro prvního hráče. Řešíme nejprve pro několik prvních případů a potom zobecníme. Jestliže máme, 4, 6,... (obecně sudý počet) středově souměrných stolů, pak existuje vítězná strategie pro druhého hráče. Opět řešíme nejprve pro několik prvních případů a potom zobecníme. Čtvrtá variace základního problému - máme mince různé velikosti. Co se stane s vítěznou strategií hráče A, jestliže hráči mají mince různé velikosti? Nechť má a) hráč A větší mince než hráč B, b) hráč B větší mince než hráč A. Řešení: V případě a) nelze použít vítěznou strategii hráče A, neboť hráč B může snadno vytvořit situaci, kdy hráč A postupující podle této strategie nemůže položit svojí minci (viz např. situace na obr. 4) V případě b) je vítězná strategie hráče A použitelná. Obr. 5 Poznámka: Tento hrozen problémů můžeme žákům předložit v době, kdy probíráme nebo jsme probrali středovou souměrnost. Pokud si čtenář promyslí, jak jsme s tímto hroznem pracovali, zjistí, že jsme skutečně naplno dělali matematiku. Museli jsme definovat, řešit speciální situace, zobecňovat, obměňovat základní problém, přenášet známou metodu řešení na novou situaci atd. Předchozí hrozen snad dostatečně jasně ukazuje, že matematiku, či lépe řečeno činnosti, které jsou pro ni charakteristické, je možné učit na lecčems, např. i na problematice, která bývá zahrnována pod název matematika rekreační. 6
Výzkumný přístup, Indukce a dedukce ve školské matematice Problematiku žákům nejprve vhodně motivujeme a pak jim předložíme situaci, kterou budou zkoumat. Tato situace pro ně musí být zajímavá a přijatelná z hlediska jejich znalostí, zkušeností a schopností. Vlastní výzkumný přístup je schematicky znázorněn na obr. 6. Otázka (problém) Řešení problému Vyřešený problém Neúspěch Situace Zkoumání Hypotéza Důkaz Matematická věta Vysvětlení Žádný objev Ověření Vyvrácení Neúspěch Variace situace Zkoumání Část A Část B Obr. 6 Komentář k uvedenému schématu : 1. Horní část schématu představuje obecnou výzkumnou strategii akceptování daného. Při ní vycházíme přesně z toho, co je zadáno v situaci. Dolní část schématu představuje strategii neakceptování daného, či jinak řečeno, strategii A co, když ne? Tato strategie přichází v úvahu obvykle později. Při ní začínáme zkoumanou situaci měnit. Často totiž poznáme podstatu daného teprve tehdy, když dané obrátíme naruby. I tuto strategii bychom ve škole měli používat, spíše však se žáky, kterým to opravdu myslí. Příklad na tuto strategii uvedeme později. Teď jenom dodejme, že dolní vytečkovaná část schématu je opakováním horní části.. Ve školské matematice často nemůžeme vyslovené hypotézy dokazovat, např. proto, že k tomu nemáme patřičné prostředky, nebo proto, že to neodpovídá úrovni dětí. V tom případě můžeme objevenou hypotézu vysvětlit např. na vhodném příkladu nebo otestovat (ověřit) na dalších příkladech. I to pak bereme jako školský důkaz věty. 3. Pokud se nám podaří na základě zkoumání získat vyřešený problém nebo matematickou větu, můžeme se vrátit k původní situaci a zkoumat ji v trochu jiném směru. Pro takováto na sebe navazující zkoumání jsme zavedli název řízené zkoumání. Když autor této knížky vytvořil právě uvedené schéma, poslal ho prof. Ragmaru Solvangovi na univerzitu do Oslo a prof. Georgu Feissnerovi na Státní univerzitu New York do Cortlandu, aby se k němu vyjádřili. Oba nezávisle na sobě napsali, že by toto schéma mělo viset nad pracovním stolem každého učitele matematiky, což autora nesmírně potěšilo. 7
4. Pokud provádí zkoumání profesionální matematik, pak nejčastěji ze všeho končí v situaci - žádný objev nebo neúspěch. I ve školské matematice by se to mohlo stát a nebylo by to na škodu. Nemělo by to však být příliš často. Pokud studenti delší dobu nic neobjeví, ztrácejí zájem. Mnoho učebnic a také mnoho vyučovacích hodin školské matematiky obsahuje pouze část B našeho schématu. V praxi se to projevuje tak, že věty i problémy padají z nebe. Není zde téměř nic, co by žáky k probírané problematice přivedlo. V superčisté formě se tento přístup projevuje v mnohých vysokoškolských přednáškách, ale především ve většině odborných matematických knih. Tam se dokonce hypotéza nazývá větou ještě před tím, než se provede její důkaz. Pokud by před část B (kde je to vhodné) byla zařazena část A, dospějeme k větám a problémům přirozenou cestou. Žáci pak do problematiky vidí a navíc objevené problémy a hypotézy mohou považovat za své. Připojme proto ještě jeden bod: 5. Část B uvedeného diagramu představuje velmi dobrý trénink deduktivního myšlení. Objevování je zde však poměrně málo. Chceme-li tedy, aby žáci a studenti objevovali, musíme na vhodných místech organizovat exkurse do části A, a to i na vysokých školách. V žádném případě nelze matematické myšlení redukovat pouze na deduktivní myšlení. 3 Původně jsme se domnívali, že metoda zkoumání je aplikovatelná až na druhém a třetím stupni škol a samozřejmě i na vysokých školách. Několik výzkumů prováděných na prvním stupni ZŠ nás však přesvědčilo, že tato metoda je dobře použitelná i na prvním stupni a že se pomocí ní dá pracovat dokonce i s mentálně retardovanými žáky. Na tomto místě bychom měli zdůraznit ještě jednu důležitou skutečnost. Výzkumný přístup je nejen metoda pomocí které může učitel matematiku učit, ale je to metoda pomocí které se žák nebo student může matematiku učit. Tuto metodu by mohl učitel použít téměř v celé školské matematice. Ve školské praxi je však vhodné ji kombinovat s dalšími výukovými metodami tak, abychom dosáhli co největšího pokroku. Žákům a studentům při jejich učení umožní tato metoda proniknout do matematiky mnohem hlouběji než jim to umožní metody jiné. Výzkumný přístup budeme demonstrovat na následujícím příkladu zkoumání číselné tabulky: Číselná tabulka Co z matematiky předpokládáme? Předpokládáme znalost trojúhelníkových čísel, tj. čísel n( n+1) 1, 3, 6, 10, 15, a vzorce pro výpočet n-tého trojúhelníkového čísla, tj. T n =. Tento vzorec můžeme objevit např. experimentováním. Problematiku můžeme využít např. při probírání aritmetických posloupností nebo při úpravách algebraických výrazů. 3 Více o tom v kapitole. 8
Problém : Uvažujme číselnou tabulku 1. 1 3 4 5 6...... 4 6 8 10 1..... 3 6 9 1 15 18..... 4 8 1 16 0 4..... 5 10 15 0 5 30........................... Tabulka 1 Úkol: Nejprve si pozorně prohlédněte, jak tabulka vznikla a potom pokračujte ve čtení. a) Zkoumejte součty čísel v takových čtvercích jako jsou vyznačené v tabulce 1. Např. součet v druhém nejmenším čtverci je 1 + + + 4 = 9 b) Zkoumejte součty čísel v koridorech mezi čtverci. Např. součet čísel v koridoru za druhým čtvercem je 3 + 6 + 9 + 6 + 3 = 7. Problém a): Experimentování (systematické): Součty čísel ve čtvercích (od nejmenšího) jsou po řadě: C 1 = 1 C = (1 + ) + ( + 4) = 3 + 6 = 9 C 3 = (1 + + 3) + ( + 4 + 6) + (3 + 6 + 9) = 6 + 1 + 18 = 36 C 4 = (1 + + 3 + 4) + + (4 + 8 + 1 + 16) = 10 + 0 + 30 + 40 = 100 Je vidět, že jako součty dostáváme některá čtvercová čísla C 1 = 1 = 1, C = 9 = 3, C 3 = 36 = 6, C 4 = 100 = 10. Jsou to druhé mocniny trojúhelníkových čísel. Pomocí induktivní úvahy proto můžeme tedy vyslovit hypotézu: Hypotéza: Pro libovolné přirozené číslo n platí: Součet čísel v n-tém čtverci je druhou mocninou n-tého trojúhelníkového čísla. Důkaz hypotézy: Uvažujme n-tý čtverec. Čísla v tomto čtverci sečteme po řádcích. Platí: n( n+ 1) Součet čísel v prvním řádku je R 1 = 1 + + 3 + + n = = T n. Součet čísel ve druhém řádku R = R 1 = T n... Součet čísel v řádku n R n = nr 1 = nt n. Součet všech čísel ve čtverci C n : n( n+ 1) C n = T 1 +T + 3T 3 + + nt n = (1 + + 3 + + n)t n = T n = C n je tedy skutečně druhou mocninou n-tého trojúhelníkového čísla. Vyslovená hypotéza se tak stává větou. Vyslovme ji ještě jednou: Věta 1: Uvažujme číselnou tabulku 1 a v ní vyznačený typ čtverců. Pro libovolné nenulové přirozené číslo n platí, že součet čísel ve čtverci n je C n = n( n+ 1). 9
Analogickým způsobem můžeme získat následující větu: Jan Kopka: Věta : Uvažujme číselnou tabulku 1 a v ní vyznačené koridory. Pro libovolné přirozené číslo n platí, že součet čísel v koridoru n je K n = n 3. Obě výše uvedené věty jsme objevili pomocí indukce. Nyní však vzniká nová situace. Protože platí: K 1 + K + K 3 + + K n = C n, je jednoduchým důsledkem tohoto vztahu a vět 1 a následující věta: Věta 3: Pro libovolné nenulové přirozené číslo n platí, že součet prvních n kubických čísel je roven čtverci n-tého trojúhelníkového čísla. Zapišme větu 3 ještě přehledněji: ( n N) 1 3 + 3 + + n 3 = T n( n 1) n = ( ). Věty 1 a jsme objevili pomocí indukce, větu 3 pomocí dedukce. Pokud alespoň trochu pracujeme ve školské matematice naznačeným způsobem, pak můžeme říci, že se svými žáky a studenty děláme skutečnou matematiku. Literatura: [1] Cofmann, J.: What to solve? Oxford, Oxford University Press, 1991. [] Kopka, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí nad Labem, UJEP, 1999. [3] Kopka, J.: Výzkumný přístup při výuce matematiky. Ústí nad Labem, UJEP, 004. [3] Kopka, J.: Strategie přeformulování problému. Matematika Informatika, Fyzika č.8 ročník XV, Prešov 006 [4] Vopěnka, P.: Rozpravy s geometrií. Praha, Panorama, 1989. 10