M - Matematika - třída 1DOP - celý ročník Učebnice obsahující učivo celého 1. ročníku VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Číselné obory Číselné obory Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4,... Nejmenší přirozené číslo je 1. Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z +, Z -, či Z 0 +. - tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu Racionální čísla - označujeme Q - jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem. Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla p, Ö2, Ö3, apod. Reálná čísla - označujeme je R - jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Operace s racionálními čísly sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel sčítání a odčítání, násobení a dělení zlomků řešení složených zlomků pravidlo komutativnosti, asociativnosti a distributivnosti druhá a třetí mocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce druhá a třetí odmocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce ± Výrok, logické spojky, kvantifikátory Názvové konstanty a proměnné S = p. r 2 S = f (r) Říkáme, že S je funkcí r. Číslo p je názvová konstanta. Příslušné proměnné říkáme názvová proměnná. r - nezávisle proměnná S - závisle proměnná Písmeno, které je použito jako symbol jednoho určitého objektu, považujeme za názvovou konstantu. Písmeno, které je použito jako symbol libovolného objektu z určitého oboru, považujeme za názvovou proměnnou. Uvedený obor pak nazýváme obor proměnné. Výroky a hypotézy, negace výroků Za výroky považujeme ty dobře srozumitelné oznamovací věty, které mohou být buď jen pravdivé nebo jen nepravdivé. Pravdivostní hodnotou výroku se rozumí jedna z jeho kvalit - pravdivost nebo nepravdivost. 1 z 125
Hypotézou rozumíme výrok, jehož pravdivostní hodnota není známa. Pozn.: Věty zvolací, rozkazovací a tázací nejsou výroky. Označíme-li libovolný výrok písmenem V, pak výrok "Není pravda, že V..." nazýváme negací výroku V Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty. Příklady: V: 6 + 3 = 9 Šest plus tři se rovná devět V : Není pravda, že 6 + 3 = 9 Šest plus tři není devět V: Po skončení vyučování půjdu na oběd. V : Není pravda, že po skončení vyučování půjdu na oběd. Po skončení vyučování nepůjdu na oběd. Hovoří-li se ve výroku o jedné z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní možnosti. V: V noci nepršelo. V : Není pravda, že v noci nepršelo. V noci pršelo. V: Nemám červenou vázanku. V : Není pravda, že nemám červenou vázanku. Mám červenou vázanku. V: Číslo jedna není složené číslo. V : Není pravda, že číslo jedna není složené číslo. Číslo jedna je složené číslo. V: Číslo 7p ¹ 22 V : Není pravda, že číslo 7p ¹ 22 Číslo 7p = 22 Existenční kvantifikátory: - existuje aspoň - existuje nejvýše - existuje právě Obecné kvantifikátory: - pro každé - pro žádné Výroky, které obsahují pouze existenční kvantifikátory, nazýváme existenční výroky. Výroky, které obsahují pouze obecné kvantifikátory, nazýváme obecné výroky. Příklady: Následující věty o prvočíslech jsou vysloveny ledabyle; zpřesněte jejich formulaci tím, že uplatníte proměnnou p označující libovolné prvočíslo a použijte kvantifikátorů. a) Nějaké prvočíslo je sudé. Existuje aspoň jedno p, které je sudé. b) Číslicový zápis prvočísel nekončí nulou. Pro žádné p neplatí: Zápis p končí nulou. c) Vyskytují se i taková prvočísla, že číslo o 2 větší než ona jsou též prvočísly. 2 z 125
Existuje aspoň jedno p, pro něž platí: p + 2 je prvočíslo. d) Jednociferných prvočísel se nenajde víc než 5. Existuje nejvýše 5p, která jsou jednociferná. e) Dvě sudá prvočísla nenajdeme. Existuje nejvýše jedno p, které je sudé. f) Nejedno prvočíslo je zapsáno několika stejnými číslicemi. Existují aspoň dvě p, z nichž každé je zapsáno stejnými číslicemi. Operace s výroky Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vytvoříme výrok Výrok X neplatí Není pravda, že... (non) Není pravda, že X X Negace - non X výroku X Platí oba výroky X, Y a (et) X a Y... konjunkce X Ù Y Platí aspoň jeden z výroků X, Y nebo (vel) X nebo Y... alternativa (disjunkce) X Ú Y Platí buď výrok X nebo výrok Y (ostrá disjunkce) Pokud platí X, pak platí i Y (platnost výroku X však není požadována) Výroky X, Y mají stejnou pravdivostní hodnotu (buď oba platí nebo oba neplatí) Konkrétní příklady: když..., pak...... právě tehdy, když...... tehdy a jen tehdy, když... Buď X nebo Y Jestliže X, pak Y... Implikace výroku Y výrokem X X Þ Y X implikuje Y X právě tehdy, když Y Ekvivalence výroků X, Y X Û Y X je ekvivalentní s Y X Y X X Ù Y X Ú Y X Þ Y X Û Y Buď X nebo Y 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 Používaná symbolika: Î... je elementem, náleží, patří,... Ï... není elementem, neleží, nepatří,... "x... ke každému, každé,... $x... existuje aspoň (jedno x,...) :... platí... (nekonečno) - matematický symbol ± Množiny a operace s nimi Co je množina Množinovými pojmy vyjadřujeme matematické úvahy o skupinách (souhrnech, souborech, oborech) osob, věcí i abstarktních věcí. Společné vlastnosti skupin, oborů, útvarů, souhrnů vyjadřujeme v matematice pomocí základních množinových pojmů: 3 z 125
Skupina, organizace, obor, útvar - množina Část skupiny, dílčí organizace, podobor, část útvaru - podmnožina Být členem organizace, patří do skupiny, náležet do oboru, patřit do útvaru - být prvkem množiny Skupina bez členů, útvar neobsahující žádný bod, prázdný obor - prázdná množina Množinu lze zadat: - výčtem prvků - pomocí charakteristické vlastnosti Inkluze a rovnost množin: - inkluzi množiny A v množině B zapisujeme A Ì B (čteme též "Množina A je podmnožinou množin B") - rovnost množin zapisujeme A = B Každá množina je i podmnožinou sama sebe. Každá prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Pozn.: Platí, že A Ì B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je zároveň i prvkem množiny B. Platí, že A = B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je i prvkem množiny B a zároveň pro každý prvek množiny B platí, že je i prvkem množiny A. Doplněk množiny: Jsou-li A, U dvě množiny, pro které platí A Ì U, pak existuje množina všech prvků množiny U obsahující prvky, které nepatří do A. Tuto množinu nazveme doplňkem množiny A v množině U (označujeme A ) Průnik a sjednocení množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A¹B. Množinu všech prvků, které obsahují prvky aspoň jedné z množin A, B nazveme sjednocení množin A, B. Zapisujeme A È B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň i do množiny B, nazýváme průnik množin A, B. Zapisujeme A Ç B. Množiny, které nemají společné prvky, nazýváme disjunktní množiny. Rozdíl množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A, ale nepatří do množiny B, nazveme rozdíl množin. Zapisujeme A \ B. Množinové operace často znázorňujeme Vennovými diagramy. Řešení úloh: Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. 4 z 125
Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B' Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A U (B Ç C'). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A' Ç B') U (A Ç B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç (C U B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Mezinárodní konference o teorii množin se účastní celkem 134 matematiků, z nich každý ovládá alespoň jeden z těchto jazyků: ruštinu, francouzštinu, angličtinu. 15 z nich ovládá všechny tři jazyky, angličtinu zná o 28 účastníků více než ruštinu. Těch, kteří ovládají ruštinu a francouzštinu a neznají angličtinu, je pětkrát méně, než těch, kteří znají pouze angličtinu. Účastníků konference, kteří znají jenom ruštinu, je třikrát více než těch, kteří ovládají ruštinu a angličtinu, ale neznají francouzštinu. Těch, kteří znají jenom francouzštinu je právě tolik, jako těch, kteří ovládají jenom angličtinu. Účastníků, kteří ovládají angličtinu a ruštinu, ale neznají francouzštinu, je o 18 méně než těch, kteří neovládají ruštinu, ale znají francouzštinu a angličtinu. Předseda organizačního výboru mluví všemi třemi jazyky. Ve kterém z nich by měl přednést uvítací projev, aby jej mohlo poslouchat co nejvíce účastníků bez tlumočníka? Z 35 žáků odebírá časopis ABC 8 žáků, časopis VTM 10 žáků. 21 žáků neodebírá žádný z těchto dvou časopisů. Kolik žáků odebírá oba časopisy. ± Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnota reálného čísla: Je dáno číslo a, jako libovolné celé číslo. Absolutní hodnotou čísla a nazýváme číslo označené a, které se při a³0 rovná číslu a, při a<0 rovná číslu -a. Absolutní hodnota a-b představuje vzdálenost bodů a, b, které jsou obrazy celých (reálných) čísel, na ose celých (reálných) čísel. Platí: a. b = a. b a : b = a : b 5 z 125
Pozor! a + b # a + b a - b # a - b Závěr: 1. Absolutní hodnota součinu se rovná součinu absolutních hodnot. 2. Absolutní hodnota zlomku se rovná absolutní hodnotě čitatele lomené absolutní hodnotou jmenovatele. Poznámka: Absolutní hodnota nuly je nula. Zobecnění: Absolutní hodnota libovolného reálného čísla x je definována podobně jako absolutní hodnota celého čísla: x = +x pro x>0 x = 0 pro x = 0 x = -x pro x<0 -------------------------------------------------------------------------------------------- Procvičovací příklady: 54 321 = 54 321 0,325 = 0,325-21,56 = 21,56 0 = 0 ± Dělitelnost Dělitelnost čísel Dělitel daného čísla je takové číslo, kterým můžeme dané číslo beze zbytku dělit. Prvočísla jsou taková čísla, která mají za dělitele pouze číslo jedna a sama sebe. Čísla, která mají kromě jedničky a sama sebe ještě alespoň jednoho dělitele, se nazývají čísla složená. Příklady: 12 - je číslo složené (dělitelem je 1, 2, 3, 4, 6, 12) 7 - prvočíslo (dělitem je pouze 1, 7) Postup pro určení nejmenšího společného násobku dvou nebo více čísel: Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 20 a 24: 20 = 2. 10 = 2. 2. 5 24 = 2. 12 = 2. 2. 6 = 2. 2. 2. 3 - čísla, která se opakují v obou rozkladech (nebo alespoň ve dvou rozkladech při více číslech), píšeme pouze jednou, dále do součinu doplníme i zbylá čísla: 2. 2. 2. 3. 5 = 120 Závěr: n(20, 24) = 120 Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 10, 18, 27: 10 = 2. 5 6 z 125
18 = 2. 3. 3 27 = 3. 3. 3 ------------------ n(10, 18, 27) = 2. 3. 3. 5. 3 = 270 Pozn.: Nejmenší společný násobek můžeme určit také pokusem, a to tak, že vezmeme největší ze zadaných čísel a zkoumáme, zda je dělitelné zbývajícími čísly. Pokud ano, jsme hotovi. Pokud ne, bereme postupně dvojnásobek, trojnásobek, atd. největšího čísla a vždy zkoumáme, zda je dělitelný zbývajícími čísly. Jakmile je tato podmínka splněna, jsme hotovi. Postup pro určení největšího společného dělitele dvou nebo více čísel: Příklad: Určete největší společný dělitel čísel 24 a 30: 24 = 2. 2. 2. 3 30 = 2. 3. 5 - čísla, která se opět v rozkladech opakují, píšeme do součinu pouze jednou; další zbylá čísla ale už nepíšeme: 2. 3 = 6 Závěr: D(24, 30) = 6 Pokud máme zadáno více čísel, do výsledného součinu píšeme pouze ta čísla, která se opakují v rozkladech všech čísel. Dělitelnost přirozených čísel (znaky dělitelnosti): Dělitelnost číslem 0: "Číslem nula nelze nikdy dělit". Dělitelnost číslem 1: "Číslo je dělitelné číslem jedna vždy" Dělitelnost číslem 2: "Číslo je dělitelné číslem 2, je-li sudé (tj. je-li zakončeno sudou číslicí)". Dělitelnost číslem 3: "Číslo je dělitelné číslem 3, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi". Dělitelnost číslem 4: "Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné číslem 4". Dělitelnost číslem 5: "Číslo je dělitelné pěti, končí-li číslicí 5 nebo 0". Dělitelnost číslem 6: "Číslo je dělitelné šesti, je-li dělitelné současně dvěma i třemi". Dělitelnost číslem 7: - znak dělitelnosti existuje, ale je natolik složitý, že je rychlejší se o dělitelnosti čísla sedmičkou přesvědčit pouhým vydělením sedmi. Znak se tedy moc nepoužívá. Dělitelnost číslem 8: 7 z 125
"Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi". Dělitelnost číslem 9: "Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti". Dělitelnost číslem 10: "Číslo je dělitelné deseti, končí-li číslicí nula". Dělitelnost číslem 11: "Číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu čslic na sudých pozicích a součtu číslic na lichých pozicích čísla dělitelný jedenácti". ---------------------------------------------------- Čísla, která mají kromě jedničky ještě alespoň jednoho společného dělitele, se nazývají čísla soudělná. Příklady: 2, 40 15, 60, 36 Čísla, která nemají kromě jedničky žádného společného dělitele, se nazývají čísla nesoudělná. Příklady: 5, 13 11, 15, 23 ----------------------------------------------------- Znaky dělitelnosti pro vyšší čísla: Lze-li libovolné číslo rozdělit na součin dvou nesoudělných čísel, pak platí, že původní číslo je dělitelné součinem, je-li dělitelné každým činitelem. Příklad: Určete, zda čísla 330 a 240 jsou dělitelná patnácti. Řešení: Číslo 330 je dělitelné třemi i pěti, proto je dělitelné i patnácti. Číslo 240 je dělitelné třemi i pěti, proto je též dělitelné patnácti. ± Intervaly Intervaly, jejich zápis a znázornění Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic. Rozdělení intervalů: 1. Uzavřený interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î <a; b> Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body. 2. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b) 8 z 125
Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů. Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel. Grafickým znázorněním je přímka. x Î (- ; + ) nebo jinak x Î R 3. Polootevřený (polouzavřený) interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b> Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval. Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval. 4. Další typy intervalů x < a x Î (- ; a) Analogicky by byl interval pro x > a x a x Î (- ; a> Opět analogicky by vypadal interval pro x ³ a ± Procenta Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny: - základ (100%)... z - procentovou část... č - počet procent... p 9 z 125
První dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetí je vždy uvedena v procentech. Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme. Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy: 1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek) Příklad 1: Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky. Řešení: 100 %... 12,6 kg mouky 1 %... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 %... 64. 0,126 kg = 8,064 kg Závěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky. 2. Řešení trojčlenkou Příklad 2: Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodiny Řešení: 100 %... 2,5 h x %... 6 min = 0,1 h ------------------------------------------ U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru". Sestavíme výpočet: x = 100. 0,1/2,5 x = 4 % Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %. 3. Řešení podle vzorce Příklad 3: Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %. Řešení: č = 8 m p = 20 % z =? -------------------------------- z = 100č/p z = 100. 8/20 z = 40 m = 0,04 km Závěr: Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru. Pozn.: Přehled všech tří vzorců: z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z 4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent) Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc. Procvičovací příklady: Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z 2 100 Kč na 1 800 Kč. O kolik % byla bunda slevněna? Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem 80 400 Kč. Rozdělili se 10 z 125
tak, že první dostal o 20% více než druhý a třetí o 15% více než druhý. Kolik Kč dostal každý z nich? Turisté ušli první den výletu 35% cesty, druhý den 41%. Na poslední, třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta? Zvětšíme-li neznámé číslo o 4%, dostaneme 780. Určete neznámé číslo. Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin? Vypočítejte jednu sedminu z 15% z čísla 63. Pětina žáků třídy je nemocná, 40% žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo 10 žáků. Kolik žáků má tato třída? Zboží, jehož původní cena byla 2 400 Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 15%, později o 10% z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a počet procent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později ještě o 5% z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávala za 2 584 korun. Jaká byla původní cena? Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35% jeho původní hodnoty. Které je to číslo? (Udejte s přesností na jedno desetinné místo.) Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou 300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20% z prodejní ceny? Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20% a utržil za ni 1 680 Kč. Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10%, další čtvrtinu za nákupní cenu a poslední čtvrtinu se ztrátou 5%. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkův zisk. V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57% zaměstnanců jsou muži. Kolik zaměstnanců má závod? Kolik procent je 21 ze 105? a) Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? b) Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? c) Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4%. Kolik výrobků je bez vady? Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4%. Kolik výrobků je bez vady? Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15% stála 459 Kč? Z 1 600 součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady? Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícím roce byla výměra pro osev obilí snížena o 12%, ale hektarový výnos se proti předchozímu roku zvýšil o 12%. Kolik tun obilí se v tomto roce 11 z 125
sklidilo? Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18%. Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo? Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky, v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15% celkové sumy. Do celé částky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kč naspořil v jednotlivých měsících? Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10%, později ještě o 10% z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč. Vypočítejte její původní cenu. Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal 2 500 Kč následujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18% dráž, čvrtinu o 11% dráž a zbytek o 5% levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dadavateli? Proveďte zkoušku. Kolik procent činí 40,8 ze 120? Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6% hmotnosti těla. Kolik kg krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg? V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí 19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila? V nově založeném sadu se ujalo 1 470 stromků, což je 98% všech sazenic. Kolik stromků vysadili? Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 Kč, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20%. Později byl o 15% z nové ceny zlevněn. Jaká byla jeho konečná cena? Co je méně? 8% z 500g nebo 6% z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem. Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10% a pak zlevněno o 10% z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu. Dva společníci si rozdělili zisk 66 000 Kč tak, že druhý dostal o 20% více než první. Kolik dostal každý? Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65% jeho hodnoty. Určete neznámé číslo. Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve o 20% zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20% snížena? Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemku zkrácen o 7% a kratší o 8%. Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolik procent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly 60 m a 30 m. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později o 5% z nové ceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za 9 690 Kč. Vypočtěte její původní cenu. Číslo 72 zvětšete o 25%. O kolik procent budete muset číslo, které 12 z 125
vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72? Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd a zaměstnanci platí 78% hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platí za oběd zaměstnanci? a) Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400. b) Z jakého čísla je číslo 8 20%? Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400. Z jakého čísla je číslo 8 20%? 19% z neznámého čísla je o 12 méně než 23% z téhož čísla. Určete neznámé číslo. ± Poměr, trojčlenka Poměr Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení. Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti) Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru. Poměr může mít dva, ale i více členů. Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný. Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku. Poměr je v základním tvaru, jso-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná. Příklad 1: Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru. Řešení: 2,4 : 7,2 /* 10 24 : 72 /: 8 3 : 9 / : 3 1 : 3 Příklad 2: Následující poměr uveďte do základního tvaru: 2 1 : 3 8 Řešení: 13 z 125
2 1 : 3 8 /* 24 (společný násobek jmenovatelů) 16 : 3 --------------------------------------------------------- Změna čísla v poměru: Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku. Příklad 3: Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2 Řešení: 7 175 25. = = 87,5 2 2 Výsledné číslo je 87,5. Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení. Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení. ---------------------------------------------------------- Rozdělení čísla v poměru: Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr. Příklad 4: Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7 Řešení: 2 + 7 = 9... počet dílů 81 : 9 = 9... hodnota jednoho dílu 2. 9 = 18... hodnota odpovídající prvnímu členu poměru 7. 9 = 63... hodnota odpovídající druhému členu poměru Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7. ------------------------------------------------------------ Změna postupného poměru na jednoduché poměry: Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých. Příklad 5: 14 z 125
Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché. Řešení: Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7 Změna jednoduchých poměrů na postupný: Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný. Příklad 6: Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný. Řešení: Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28 Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8 Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28 ------------------------------------------------------------ Trojčlenka Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru. Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů). Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek. Příklad 7: Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů? Řešení: 3 kg pomerančů... 66,- Kč 5 kg pomerančů... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru) -------------------------------------------------- 5 x = 66. = 110 x = 110,- 3 Kč Pět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč. 15 z 125
Příklad 8: Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny? Řešení: 5 zaměstnanců... 7 dní x zaměstnanců... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů) ------------------------------------------------- 7 x = 5. = 8,75 4 x = 8,75 zaměstnance 8,75-5 = 3,75 Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance. ------------------------------------------------------------ Složená trojčlenka Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou. Příklad 9: Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu? Řešení: 6 dělníků... 5 směn... 1020 součástek 10 dělníků... x směn... 2000 součástek ------------------------------------------------------------------------------ Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru. 6 2000 x = 5.. = 5,9 x = 5,9 10 směny 1020 (přibližně) Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Procvičovací příklady: Otázka č.: 1 6 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat? Otázka č.: 2 K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 16 dkg tuku, 24 dkg mouky, 20 dkg cukru. Kolik dkg tuku, mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec? Otázka č.: 3 Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklenáři? 16 z 125
Otázka č.: 4 120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6:9. Určete hmotnosti obou částí. Otázka č.: 5 Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili 15 000 výrobků? Otázka č.: 6 Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly? Otázka č.: 7 Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2:7. a) kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96 b) kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo). Otázka č.: 8 Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7:4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem? Otázka č.: 9 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg? Otázka č.: 10 Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny? Otázka č.: 11 Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů? Otázka č.: 12 Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů? Otázka č.: 13 Číslo 40 rozdělte v poměru 3:5. Otázka č.: 14 Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole. Otázka č.: 15 Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely. Otázka č.: 16 Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2? Otázka č.: 17 Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5:8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena? Otázka č.: 18 Barva se míchá s ředidlem v poměru 5:2. Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru? Otázka č.: 19 17 z 125
Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5:7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí 6 960 Kč. Otázka č.: 20 Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F 1, F 2, které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F 1) má velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky. Otázka č.: 21 Směs s bodem tuhnutí -32 C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí? Otázka č.: 22 Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí? Otázka č.: 23 Jestliže la'b'l :l ABl = 2:3 a délka úsečky AB je 24 cm, pak velikost úsečky A'B' bude a) 12 cm b) 36 cm c) 16 cm d) 18 cm Otázka č.: 24 Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7. Otázka č.: 25 Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní? Otázka č.: 26 Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2. Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli? Otázka č.: 27 Plán má měřítko 1 : 2 500. Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m? ± Zápisy s číselnými proměnnými, úpravy výrazů Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: výrazy výrokové formy výroky s kvantifikátory Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu... dostaneme číslo výrokové formy... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. 18 z 125
definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2-2AB + B 2 (A - B).(A + B) = A 2 - B 2 (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B).(A 2 - AB + B 2 ) ± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. Upravte: (2x - 0,2y). (2x + 0,2y) 395 2. Vypočtěte: 406 15,1 - (-2) 3 + 6,3: (-0,7) -[(2,5-3,7) : 4 625 + 15,1] 3. Rozložte na součin: a 2 + 2ab + b 2 c 2 409 4. Rozložte na součin: 4x 2 (y 2 z 2 ) + 25v 2 (z 2 y 2 ) 382 5. Doplňte: (? - 3) 2 = 16x 2 -? +? 400 6. Upravte: a 2. 3b 2ȧb.2b2 a 3. 4b 4 396 7. Výraz (3k - 2) 2-4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 397 8. Upravte daný výraz 3x 2 y-{xyz-(2yz-x 2 z)-4x 2 z+[3x 2 y-(4xyz-5x 2 z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x=1, y=-1, z=0 402 19 z 125
9. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 386 10. Vypočtěte rozdíl výrazů x+2 a x-1 391 11. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost (... + 3y) 2 = 4x 2 +... +... 384 12. Rozložte na součin výraz: 18xy 2-21x 2 y 383 13. Vypočítejte: (3 - x) 2-3(x 2-3) + (-2x) 2 403 14. Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3 380 15. Výraz K = 16a 2 a 4 x 2 rozložte na součin aspoň tří činitelů 408 16. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) 2 387 17. Upravte: [(a 2 b 3 ) 3 ] 2 393 18. Výraz 4k 2 - (2k + 1) 2-4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3 385 19. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 8x - [2x 6.(x - 1) 2 + 2] - (3x 2-5x).2 407 20. Rozložte v součin výraz: 9s 2 v 2-4r 2 v 2-9u 2 s 2 + 4u 2 r 2 Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0 398 21. Rozložte na součin: 4 x 2 389 22. Umocněte: (10-2a) 2 388 20 z 125
23. Upravte: (1,2x 2-0,3y) 2 394 24. Vypočtěte bez použití kalkulátoru: 14-22 - ( - 3) 2 + 6,4 : ( - 0,8) - é ê ë 1 4 æ : ç - è 1 2 ö - ø ù (1,8-2,9) ú û 410 25. Rozložte na součin: (2m - 1).5x 8.(2m - 1) 390 26. Rozložte na součin: x 2-2xy + y 2 - x + y 399 27. Rozložte na součin výrazy: a) 2x 2-4xy+2y 2 b) 5t-2tm-10m+25 404 28. Vypočtěte součin výrazů x+2 a x-1 392 29. Výraz -(-2x + 1) 2 se po úpravě rovná čemu? 405 30. Vypočtěte: (4a 2 b + 5a 3 b 2 ) 2 = 381 31. Upravte: (2x-5) 2 - (2x-3).(5x+2) 401 ± Lomené algebraické výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax+ b cx+ d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od 21 z 125
nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. ± Lomené algebraické výrazy - procvičení 1. 424 22 z 125
2. 417 3. 419 4. 418-1,7 5. 421 23 z 125
6. 425 7. 422 8. 416 9. 420 24 z 125
10. 423 ± Mocniny a odmocniny Obor přirozených čísel: Def.: Mocninou a b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a. Zapisujeme: a b = a. a. a..... a b-krát Pro čísla a, b, r, s platí: a r. a s = a r+s (a.b) r = a r. b r (a:b) r = a r : b r (a r ) s = a rs a r : a s = a r-s Obor celých čísel: Pro čísla a, n platí: a -n = 1/a n Obor racionálních čísel: Sčítat a odčítat můžeme pouze stejné mocniny, tj. musí mít stejný základ i stejný exponent. Př.: 2x 2 + 3x 2... sečíst lze 3x 4-2x 3... odečíst nelze Násobit můžeme mocniny se stejným základem. Př.: a 4. a 5 = a 9... obecně a r. a s = a r+s Násobit můžeme také mocniny se stejným exponentem a různým základem. Př.: 2 5. 7 5 = 14 5... obecně a n. b n = (ab) n Pozn.: Analogická pravidla jako pro násobení platí i pro dělení. Často při výpočtech používáme zápis čísla ve tvaru c.10 n, kde číslo c je větší nebo rovno jedné a menší než 10. Pak platí následující pravidla: 1. Násobení čísel ve tvaru c.10 n (a.10 m ).(b.10 n )=(ab).10 m+n Př.: 3,4.10 5. 2,1.10 4 = (3,4.2,1).10 5+4 = 7,14.10 9 = 7,1.10 9 (po zaokrouhlení) 2,6.10 8. 7,3.10 5 = (2,6.7,3).10 8+5 = 18,98.10 13 = 1,898.10 14 = 1,9.10 14 (zaokr.) 2. Dělení čísel ve tvaru c.10 n (a.10 m ):(b.10 n )=(a/b).10 m-n Př.: 3,4.10 5 : 2,1.10 4 = (3,4:2,1).10 5-4 = 1,6.10 1 (po zaokrouhlení) 2,6.10 8 : 7,3.10 5 = (2,6:7,3).10 8-5 = 0,36.10 3 = 3,6.10 2 (po zaokrouhlení) 3. Umocňování čísel ve tvaru c.10 n (c.10 n ) m = c m.10 mn Př.: (5,6.10 15 ) 4 = 5,6 4.10 15.4 = 983,4496.10 60 = 9,8.10 62 (po zaokrouhlení) 4. Sčítání nebo odečítání čísel ve tvaru c.10 n V tomto případě postupujeme tak, že z jednotlivých členů výrazu vytkneme nejnižší použitou 25 z 125
mocninu čísla 10. Vzniklou závorku sloučíme a výsledek upravíme. Př.: 2,5.10 8 + 5,6.10 5 + 9,4.10 7 = 10 5.(2,5.10 3 + 5,6.10 0 + 9,4.10 2 ) = = 10 5.(2 500 + 5,6 + 940) = 10 5. 3 445,6 = 3,4.10 8 (po zaokrouhlení) Pozn.: Jak převést snadno číslo ve tvaru c.10 n na číslo klasické: a) kladné číslo v exponentu: př.: 2,3.10 8... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vpravo b) záporné číslo v exponentu: př.: 2,3.10-8... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vlevo Obor reálných čísel: Odmocnina z nezáporného reálného čísla je definována opět jako nezáporné číslo. Druhou odmocninou nezáporného reálného čísla a nazýváme to nezáporné reálné x, pro které platí x 2 = a Symbolicky zapisujeme Öa. Index odmocniny u druhé odmocniny vynecháváme. Pro odmocniny platí obdobná pravidla jako pro mocniny. Sudé odmocniny lze počítat pouze z nezáporných čísel. Pokud se nám tedy ve výpočtu vyskytují sudé mocniny, musíme opět provádět podmínky řešitelnosti. Sčítání a odčítání odmocnin: 3 3 3 2x + 3 2x = 4 2x u odmocnin nehraje roli koeficient před proměnnou - ten může být odlišný, protože ho lze vždy dostat před odmocninu Příklad 1: ( ) 3 2 3. 3 3 3 3 2x + 3x = 2. x + 3. x = + x Pozn.: Nelze ale sčítat nebo odčítat např. druhou odmocninu s odmocninou třetí! Obdobná pravidla platí i pro násobení, resp. dělení, odmocnin. Odmocniny můžeme násobit (resp. dělit) tehdy, pokud mají stejný základ. Pak musíme ale nejprve všechny činitele převést na stejnou odmocninu. Příklad 2: 3 4 12 4 12 3 12 4 3 12 7 a. a = a. a = a. a = a Pokud mají činitelé stejnou odmocninu, pak můžeme násobit odmocniny, které mají odlišný základ. Příklad 3: 8. 5 = 40 (1) Každou odmocninu můžeme převést na mocninu podle následujícího pravidla: a b x = x Zjednodušování odmocnin Příklad 4: Řešení: b a Příklad 5: 26 z 125
Řešení: Při zjednodušování součinu (resp. podílu) odmocnin se snažíme nejprve vše převést na stejnou odmocninu. Výsledek pak často musíme převést do základního tvaru, případně i částečně odmocnit. Převedení odmocniny do základního tvaru - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou a index u odmocnítka jsou čísla soudělná (tj. mají kromě jedničky společného dělitele). Postupujeme obdobně jako při krácení zlomků. Příklad 6: 2 = 16 10 Příklad 7: 40 2 20 = 2 8 5 2 Částečné odmocnění - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou je větší než index odmocnítka. Částečně odmocníme tak, že číslo pod odmocninou nejprve převedeme na součin, kde první činitel bude mít v exponentu nejbližší nižší násobek indexu odmocnítka k exponentu původní mocniny. Pak použijeme vzorec (1) a prvního činitele převedeme do základního tvaru. Příklad 8: 8 30 8 24 6 8 24 8 6 3 = 3.3 = 3. 3 = Příklad 9: 3. 3 3 4 3 6 40 3 20 3 18 2 3 18 3 2 6 3 2 2 = 2 = 2.2 = 2. 2 = 2. 2 Pokud potřebujeme zjednodušit součet nebo rozdíl odmocnin, snažíme se převést výpočet pomocí částečného odmocnění na odmocniny se stejným základem i stejným indexem. Příklad 10: 6 + 12 + 2 3 + 4 24 = 6 + 2 3 + 2 3 + 8 6 = 9 6 + 4 Usměrňování odmocnin - provádí se tehdy, pokud se odmocnina vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli jednočlen, provádíme jednoduché rozšíření zlomku členem, který se vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli dvojčlen, provádíme usměrnění tak, že rozšíříme zlomek tak, abychom ve jmenovateli mohli použít vzorec pro rozdíl čtverců. Vzniklý výraz pak zpravidla ještě dále zjednodušíme. 3 Příklad 11: ( 3 + 2). 3 + 2 3 3 + = = 3 3. 3 3 Příklad 12: 6 27 z 125
3 + 3-2 = 2 ( 3 + 2)(. 3 + 2) ( 3-2)(. 3 + 2) 3 + 2 6 + 2 = = 5 + 2 6 3-2 ± Druhá a třetí mocnina a odmocnina Určování druhé mocniny Druhou mocninu jakéhokoliv čísla můžeme určit: 1. Výpočtem - a 2 = a. a 2. Pomocí tabulek n n2 n n2 n n2 n n2 1 1 251 63001 501 251001 751 564001 2 4 252 63504 502 252004 752 565504 3 9 253 64009 503 253009 753 567009 4 16 254 64516 504 254016 754 568516 5 25 255 65025 505 255025 755 570025 6 36 256 65536 506 256036 756 571536 7 49 257 66049 507 257049 757 573049 8 64 258 66564 508 258064 758 574564 9 81 259 67081 509 259081 759 576081 10 100 260 67600 510 260100 760 577600 11 121 261 68121 511 261121 761 579121 12 144 262 68644 512 262144 762 580644 13 169 263 69169 513 263169 763 582169 14 196 264 69696 514 264196 764 583696 15 225 265 70225 515 265225 765 585225 16 256 266 70756 516 266256 766 586756 17 289 267 71289 517 267289 767 588289 18 324 268 71824 518 268324 768 589824 19 361 269 72361 519 269361 769 591361 20 400 270 72900 520 270400 770 592900 21 441 271 73441 521 271441 771 594441 22 484 272 73984 522 272484 772 595984 23 529 273 74529 523 273529 773 597529 24 576 274 75076 524 274576 774 599076 25 625 275 75625 525 275625 775 600625 26 676 276 76176 526 276676 776 602176 27 729 277 76729 527 277729 777 603729 28 784 278 77284 528 278784 778 605284 29 841 279 77841 529 279841 779 606841 30 900 280 78400 530 280900 780 608400 31 961 281 78961 531 281961 781 609961 32 1024 282 79524 532 283024 782 611524 33 1089 283 80089 533 284089 783 613089 34 1156 284 80656 534 285156 784 614656 35 1225 285 81225 535 286225 785 616225 36 1296 286 81796 536 287296 786 617796 37 1369 287 82369 537 288369 787 619369 38 1444 288 82944 538 289444 788 620944 39 1521 289 83521 539 290521 789 622521 40 1600 290 84100 540 291600 790 624100 41 1681 291 84681 541 292681 791 625681 42 1764 292 85264 542 293764 792 627264 43 1849 293 85849 543 294849 793 628849 28 z 125
44 1936 294 86436 544 295936 794 630436 45 2025 295 87025 545 297025 795 632025 46 2116 296 87616 546 298116 796 633616 47 2209 297 88209 547 299209 797 635209 48 2304 298 88804 548 300304 798 636804 49 2401 299 89401 549 301401 799 638401 50 2500 300 90000 550 302500 800 640000 51 2601 301 90601 551 303601 801 641601 52 2704 302 91204 552 304704 802 643204 53 2809 303 91809 553 305809 803 644809 54 2916 304 92416 554 306916 804 646416 55 3025 305 93025 555 308025 805 648025 56 3136 306 93636 556 309136 806 649636 57 3249 307 94249 557 310249 807 651249 58 3364 308 94864 558 311364 808 652864 59 3481 309 95481 559 312481 809 654481 60 3600 310 96100 560 313600 810 656100 61 3721 311 96721 561 314721 811 657721 62 3844 312 97344 562 315844 812 659344 63 3969 313 97969 563 316969 813 660969 64 4096 314 98596 564 318096 814 662596 65 4225 315 99225 565 319225 815 664225 66 4356 316 99856 566 320356 816 665856 67 4489 317 100489 567 321489 817 667489 68 4624 318 101124 568 322624 818 669124 69 4761 319 101761 569 323761 819 670761 70 4900 320 102400 570 324900 820 672400 71 5041 321 103041 571 326041 821 674041 72 5184 322 103684 572 327184 822 675684 73 5329 323 104329 573 328329 823 677329 74 5476 324 104976 574 329476 824 678976 75 5625 325 105625 575 330625 825 680625 76 5776 326 106276 576 331776 826 682276 77 5929 327 106929 577 332929 827 683929 78 6084 328 107584 578 334084 828 685584 79 6241 329 108241 579 335241 829 687241 80 6400 330 108900 580 336400 830 688900 81 6561 331 109561 581 337561 831 690561 82 6724 332 110224 582 338724 832 692224 83 6889 333 110889 583 339889 833 693889 84 7056 334 111556 584 341056 834 695556 85 7225 335 112225 585 342225 835 697225 86 7396 336 112896 586 343396 836 698896 87 7569 337 113569 587 344569 837 700569 88 7744 338 114244 588 345744 838 702244 89 7921 339 114921 589 346921 839 703921 90 8100 340 115600 590 348100 840 705600 91 8281 341 116281 591 349281 841 707281 92 8464 342 116964 592 350464 842 708964 93 8649 343 117649 593 351649 843 710649 94 8836 344 118336 594 352836 844 712336 95 9025 345 119025 595 354025 845 714025 96 9216 346 119716 596 355216 846 715716 97 9409 347 120409 597 356409 847 717409 98 9604 348 121104 598 357604 848 719104 99 9801 349 121801 599 358801 849 720801 100 10000 350 122500 600 360000 850 722500 101 10201 351 123201 601 361201 851 724201 102 10404 352 123904 602 362404 852 725904 103 10609 353 124609 603 363609 853 727609 104 10816 354 125316 604 364816 854 729316 105 11025 355 126025 605 366025 855 731025 29 z 125
106 11236 356 126736 606 367236 856 732736 107 11449 357 127449 607 368449 857 734449 108 11664 358 128164 608 369664 858 736164 109 11881 359 128881 609 370881 859 737881 110 12100 360 129600 610 372100 860 739600 111 12321 361 130321 611 373321 861 741321 112 12544 362 131044 612 374544 862 743044 113 12769 363 131769 613 375769 863 744769 114 12996 364 132496 614 376996 864 746496 115 13225 365 133225 615 378225 865 748225 116 13456 366 133956 616 379456 866 749956 117 13689 367 134689 617 380689 867 751689 118 13924 368 135424 618 381924 868 753424 119 14161 369 136161 619 383161 869 755161 120 14400 370 136900 620 384400 870 756900 121 14641 371 137641 621 385641 871 758641 122 14884 372 138384 622 386884 872 760384 123 15129 373 139129 623 388129 873 762129 124 15376 374 139876 624 389376 874 763876 125 15625 375 140625 625 390625 875 765625 126 15876 376 141376 626 391876 876 767376 127 16129 377 142129 627 393129 877 769129 128 16384 378 142884 628 394384 878 770884 129 16641 379 143641 629 395641 879 772641 130 16900 380 144400 630 396900 880 774400 131 17161 381 145161 631 398161 881 776161 132 17424 382 145924 632 399424 882 777924 133 17689 383 146689 633 400689 883 779689 134 17956 384 147456 634 401956 884 781456 135 18225 385 148225 635 403225 885 783225 136 18496 386 148996 636 404496 886 784996 137 18769 387 149769 637 405769 887 786769 138 19044 388 150544 638 407044 888 788544 139 19321 389 151321 639 408321 889 790321 140 19600 390 152100 640 409600 890 792100 141 19881 391 152881 641 410881 891 793881 142 20164 392 153664 642 412164 892 795664 143 20449 393 154449 643 413449 893 797449 144 20736 394 155236 644 414736 894 799236 145 21025 395 156025 645 416025 895 801025 146 21316 396 156816 646 417316 896 802816 147 21609 397 157609 647 418609 897 804609 148 21904 398 158404 648 419904 898 806404 149 22201 399 159201 649 421201 899 808201 150 22500 400 160000 650 422500 900 810000 151 22801 401 160801 651 423801 901 811801 152 23104 402 161604 652 425104 902 813604 153 23409 403 162409 653 426409 903 815409 154 23716 404 163216 654 427716 904 817216 155 24025 405 164025 655 429025 905 819025 156 24336 406 164836 656 430336 906 820836 157 24649 407 165649 657 431649 907 822649 158 24964 408 166464 658 432964 908 824464 159 25281 409 167281 659 434281 909 826281 160 25600 410 168100 660 435600 910 828100 161 25921 411 168921 661 436921 911 829921 162 26244 412 169744 662 438244 912 831744 163 26569 413 170569 663 439569 913 833569 164 26896 414 171396 664 440896 914 835396 165 27225 415 172225 665 442225 915 837225 166 27556 416 173056 666 443556 916 839056 167 27889 417 173889 667 444889 917 840889 30 z 125
168 28224 418 174724 668 446224 918 842724 169 28561 419 175561 669 447561 919 844561 170 28900 420 176400 670 448900 920 846400 171 29241 421 177241 671 450241 921 848241 172 29584 422 178084 672 451584 922 850084 173 29929 423 178929 673 452929 923 851929 174 30276 424 179776 674 454276 924 853776 175 30625 425 180625 675 455625 925 855625 176 30976 426 181476 676 456976 926 857476 177 31329 427 182329 677 458329 927 859329 178 31684 428 183184 678 459684 928 861184 179 32041 429 184041 679 461041 929 863041 180 32400 430 184900 680 462400 930 864900 181 32761 431 185761 681 463761 931 866761 182 33124 432 186624 682 465124 932 868624 183 33489 433 187489 683 466489 933 870489 184 33856 434 188356 684 467856 934 872356 185 34225 435 189225 685 469225 935 874225 186 34596 436 190096 686 470596 936 876096 187 34969 437 190969 687 471969 937 877969 188 35344 438 191844 688 473344 938 879844 189 35721 439 192721 689 474721 939 881721 190 36100 440 193600 690 476100 940 883600 191 36481 441 194481 691 477481 941 885481 192 36864 442 195364 692 478864 942 887364 193 37249 443 196249 693 480249 943 889249 194 37636 444 197136 694 481636 944 891136 195 38025 445 198025 695 483025 945 893025 196 38416 446 198916 696 484416 946 894916 197 38809 447 199809 697 485809 947 896809 198 39204 448 200704 698 487204 948 898704 199 39601 449 201601 699 488601 949 900601 200 40000 450 202500 700 490000 950 902500 201 40401 451 203401 701 491401 951 904401 202 40804 452 204304 702 492804 952 906304 203 41209 453 205209 703 494209 953 908209 204 41616 454 206116 704 495616 954 910116 205 42025 455 207025 705 497025 955 912025 206 42436 456 207936 706 498436 956 913936 207 42849 457 208849 707 499849 957 915849 208 43264 458 209764 708 501264 958 917764 209 43681 459 210681 709 502681 959 919681 210 44100 460 211600 710 504100 960 921600 211 44521 461 212521 711 505521 961 923521 212 44944 462 213444 712 506944 962 925444 213 45369 463 214369 713 508369 963 927369 214 45796 464 215296 714 509796 964 929296 215 46225 465 216225 715 511225 965 931225 216 46656 466 217156 716 512656 966 933156 217 47089 467 218089 717 514089 967 935089 218 47524 468 219024 718 515524 968 937024 219 47961 469 219961 719 516961 969 938961 220 48400 470 220900 720 518400 970 940900 221 48841 471 221841 721 519841 971 942841 222 49284 472 222784 722 521284 972 944784 223 49729 473 223729 723 522729 973 946729 224 50176 474 224676 724 524176 974 948676 225 50625 475 225625 725 525625 975 950625 226 51076 476 226576 726 527076 976 952576 227 51529 477 227529 727 528529 977 954529 228 51984 478 228484 728 529984 978 956484 229 52441 479 229441 729 531441 979 958441 31 z 125