Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Poděbrady Lineární rovnice Mgr. Karel Lhotský Datum: 30. listopadu 013 Ročník: Anotace: 1. ročník HŠ Učební materiál určený nejen k výkladu v hodinách matematiky, ale především k samostudiu, popřípadě
Lineární rovnice a + b = 0
Základní pojmy Každá rovnice, kterou lze převést na tvar a + b = 0 se nazývá lineární. (a, b R) Hledané číslo se nazývá neznámá. Příklady: a) + 10 = 0 a =, b = 10 b) 7 = 0 a = 7, b = 0 c) 0 3 = 0.. a = 0, b = 3 a + b lineární dvojčlen a. lineární člen b.. absolutní (prostý) člen 3
Pravidla pro řešení lineárních rovnic Příklad: 3 1 = + 14 Platí: 1) + 14 = 3 1 ) 3 1 + 1 = + 14 + 1 3) 6 (3 1) = 6 ( + 14) Na tomto příkladu si připomeneme základní pravidla, která používáme při řešení lineárních rovnic. 3 1.. levá strana rovnice + 14.. pravá strana rovnice Rovnost se nezmění, jestliže: 1) zaměníme obě strany rovnice. ) přičteme k oběma stranám rovnice stejné číslo nebo výraz obsahující neznámou. 3) vynásobíme k obě strany rovnice stejným číslem různým od nuly. Uvedená pravidla platí při řešení veškerých rovnic, nejen lineárních. 4
Rovnice: l() = p() Platí: 1) p() = l() ) l()+q() = p()+q() 3) c l() = c p() Poznámka: 1 Číslo c může být např.. l() levá strana rovnice p() pravá strana rovnice q() libovolný výraz, který může, ale nemusí, obsahovat proměnnou c libovolné reálné číslo různé od nuly (c 0) V tom případě rovnici dělíme dvěma. 5
Příklad 1: 3 1 = + 14 3 1 + 1= + 14 +1 3 = + 15 3 + = + 15 + 5 = 15 = 3 K 15 5 3 Nejdříve pomocí pravidla ) převedeme všechny členy s proměnou na jednu stranu rovnice, zpravidla na levou. K oběma stranám přičteme 1. K oběma stranám přičteme. Ještě lépe přičteme rovnou výraz ( + 1). Vydělíme koeficientem u. Číslo 3 se nazývá kořen rovnice. K je množina kořenů rovnice. 6
Zkouška správnosti řešení 3 1 = + 14 L = 3 3 1 = 9 1 = 8 P = 3 +14 = 6+ 14 = 8 L = P O správnosti řešení rovnice se můžeme (a je to užitečné) přesvědčit provedením zkoušky. Nalezený kořen rovnice dosadíme do levé strany a vypočítáme. Stejný postup opakujeme pro pravou stranu rovnice. Výsledky musí být stejné. Zkouška správnosti není nutně součástí řešení. 7
Příklad 1: 3 1 = + 14 (rychleji) 3 + = 14 +1 5 = 15 = 3 K 3 Rovnici můžeme řešit efektivněji. Členy na pravé straně, které obsahují (tj. lineární členy), převedeme na stranu levou s opačným znaménkem. Členy na levé straně, které neobsahují (tj. prosté členy), převedeme na stranu pravou s rovněž opačným znaménkem. Dále sečteme neznámé na levé straně a hodnoty na straně pravé. Vydělíme pěti. 8
Příklad : 3(+4) 14 = (1) + 3 + 1 14 = + 3 = 3 3 3 = 0 = 0 K R Odstraníme závorky. Upravíme obě strany. Řešíme obvyklým způsobem. Tato rovnost je splněna pro každé reálné číslo. Poznámka: Už na druhém řádku řešení bylo zřejmé, že obě strany se rovnají. 9
Příklad 3: (34) = 5(+7) + 6 8 = 5 + 35 + 6 8 = 6 + 35 6 6 = 35 + 8 0 = 43 K Odstraníme závorky. Upravíme pravou stranu. Řešíme obvyklým způsobem. Tato rovnost není splněna pro žádné reálné číslo. Výraz 0 se vždy rovná nule. Kořen rovnice neeistuje. Množina kořenů je prázdná. 10
Řešení lineární rovnice - obecně a b 0 a b K a 0 b a b a a 0 0 b b 0 b 0 K R K 11
Příklad 4: 18 ( 1) = + 10 18 4 + = + 10 4 + 0 = + 10 4 = 10 0 5 = 10 = K 3 0 10 = + 4 3 1 6 10 Rovnici vynásobíme šesti, abychom odstranili zlomky. Pozor na minus před zlomkovou čarou. Převedeme členy s neznámou na levou stranu rovnice, ostatní na pravou stranu. Dokončíme řešení. Kdo nemá rád znaménko minus, mohl na 4. řádku řešení převést na pravou stranu rovnice a pokračovat s kladnými čísly. 1
Příklad 5: 5 1 5 ( + 5)( 5) = ( + 1) 5 = + = 5 K 5 Neznámá se vyskytuje ve jmenovatelích zlomků. Proto je třeba stanovit podmínky řešitelnosti: 0, 5 0. Tedy: 0, 5. Vynásobíme společným jmenovatelem ( 5). 5 0, 5 5 Zkouškou je možné se přesvědčit, že číslo 5 je kořenem rovnice. 13
Příklad 6: + 6 + 4( + 1) = 5 + 6 + 4 + 4 = 5 5 + 10 = 5 5 = 5 10 5 = 5 = 1 K 6 1 4 5 1 Neznámá se vyskytuje ve jmenovatelích zlomků. Proto je třeba stanovit podmínky řešitelnosti: + 1 0. Tedy: 1. Vynásobíme společným jmenovatelem + 1. Číslo ( 1) nemůže být kořenem rovnice, neboť pro tuto hodnotu nemá rovnice smysl. Množina kořenů je prázdná. 14
Příklad 7: 3 3 = + 5 3 = 3 = 3 + 3 0 = 0 K R ; ; 1 Neznámá se vyskytuje ve jmenovatelích zlomků. Proto je třeba stanovit podmínky řešitelnosti: + 0. Tedy:. 5 Vynásobíme společným jmenovatelem +. Rovnice splňují všech reálná čísla s výjimkou vyloučené hodnoty ( ). 15
Příklady k procvičení (1): 1. 3. 3. 4. 5. 4 6 8 7 3 3 5 1 14 1 5 3. 1 6 4 8 6. 6 4 3 K 3 K 10 K R K K K 84 16
17 Příklady k procvičení (): 8 3 7 5 4 7. 4 4 8. 1 4 1 1 3 10. 19 K 8 K K 1 K R 3 4 5 9.
Příklady k procvičení (3): 11. 7 1 7 4 1. 1 8 3 6 13. 1 3 14. 6 1 4 3 5 15. 1 K 3 K R K K K 4 10 5 18