4.6.3 Příhradové konstrukce

4.6.3 Příhradové konstrukce Forth Bridge (1890) 2529 m Akashi Kaikyō Bridge (1998) 3911 m "Forth rail bridge head-on-panorama josh-von-staudach" by Josh von Staudach - Own work. "The Forth Bridge seen from South Queensferry" by Kim Traynor - Own work. By Fotograf: Marcus Tschaut (Self-photographed) Licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons

Základní předpoklady konstrukce je vytvořena z přímých prutů pruty jsou navzájem pospojovány v bodech =>styčnících vzájemné spojení prutů se ve všech styčnících se předpokládá kloubové soustava je podepřena jen vnějšími vazbami, které zabraňují pouze posunu, a to výhradně ve styčnících

Příhrady: - prostorové - rovinné: všechny pruty leží v jedné rovině zatížení působí ve stejné rovině Zatížení: -styčníkové vznikají pouze osové = normálové síly (konstantní po délce prutu) -mimostyčníkové pro výpočet osových sil v ostatních prutech lze převést na ekvivalentní zatížení do styčníků l 1 l 2 F r1 F r2 F=F r1 +F r2 -Fl 1 = -F r2 (l 1 +l 2 ) F 1 1 Pozor: prut 1 namáhán i ohybem!!

Schématické zakreslování příhradových konstrukcí zakreslujeme pouze pruty každý průsečík prutů považujeme za styčník f 6 g 7 h f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 5 8 9 10 11 12 13 a 1 b 2 c 3 d 4 e a 1 b 2 c 3 d 4 e křížení prutů, které nejsou navzájem spojené, označíme obloučkem

Statická určitost rovinných příhradových soustav jednotlivé styčníky pokládáme za hmotné body a na pruty soustavy pohlížíme jako na vnitřní vazby- kyvné pruty každý styčník (bod) má 2 stupně volnosti každý prut odebírá soustavě 1 st. volnosti f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 s n = p + r ext n 2 a 1 b 2 c 3 d 4 e s n stupeň statické neurčitosti soustavy n počet styčníků p počet prutů r ext počet odebraných stupňů volnosti vnějšími vazbami

posouzení vnějšího podepření rovinná příhradová soustava má minimálně 3 stupně volnosti (min. 3 styčníky spojené 3 pruty... m = 3) aby vnější vazby zamezily přemístění konstrukce, musí odebírat soustavě nejméně 3 stupně volnosti (r ext 3) statická/kinematická určitost příhradové soustavy Stupně volnosti Podepření staticky Podepření kinematicky Pozn. s n = 0 (m = r) a rext 3 a není výjimkový případ s n > 0 (m < r) a rext 3 a není výjimkový případ s n < 0 (m > r) a/nebo rext < 3 a/nebo výjimkový případ určité neurčité přeurčité určité přeurčité neurčité kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. nebo její část může samovolně změnit polohu

výjimkový případ podepření: přestože počet vnějších vazeb i prutů příhrady je dostatečný k odebrání všech stupňů volnosti konstrukce (r m, r ext 3), jejich nevhodné uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým posunům/pootočením konstrukce nebo její části

Posuďte statickou určitost zadané příhradové konstrukce f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 s n = 13.1 + (2+1) 8.2 = 16 16 = 0 a 1 b 2 c 3 d 4 e staticky i kinematicky určitá kce a f 6 g 7 h 5 10 12 15 17 8 9 14 19 11 j 13 16 k 18 1 b 2 c 3 d 4 e s n = 19.1 + (2+1) 10.2 = 22 20 = 2 2x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 s n = 13.1 + (2+2) 8.2 = 17 16 = 1 a 1 b 2 c 3 d 4 e 1x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce

Poznámka: Tři příhradové pruty navzájem propojené do trojúhelníka tvoří soustavu se třemi nepodepřenými stupni volnosti (s n = 3 1 3 2 = 3) - v podstatě tvoří tuhou desku. = = Ze základního trojúhelníka lze vytvořit složitější soustavu se třemi nepodepřenými stupni volnosti (tuhou desku) připojením dalších styčníku (hmotných bodů) vždy pomocí dvou příhradových prutů, např. s n = 3 1 3 2 = 3 s n = 5 1 4 2 = 3 s n = 7 1 5 2 = 3 s n = 9 1 6 2 = 3

Příhradovou soustavu si pak lze představit jako složenou soustavu sestavenou z tuhých desek a můžeme počítat s n = v + r ext d 3 d počet desek v počet stupňů volnosti odebraných vnitřními vazbami (klouby, kyvné pruty, ) r ext počet stupňů volnosti odebraných vnějšími vazbami Př. a f 5 g 6 h 4 7 8 9 10 11 12 1 b c 2 d 3 e s n = 12 1 + (2+2) 8 2 = 16 16 = 0 f a 8 9 10 11 12 e s n = 2 + (2+2) 2 3 = 6 6 = 0

a Výjimkové případy f 6 g 7 h 5 10 12 15 8 9 14 16 11 j 13 1 b 2 c 3 d 4 e s n = (16 1) + (2) (9 2) = 18 18 = 0 s n = 0 avšak r ext = 2 3 soustava se může volně pootáčet kolem bodu a f g 6 h 5 7 8 9 10 11 12 s n = 12 1 + (2+2) 8 2 = 16 16 = 0 a 1 b 2 c 3 d 4 e s n = 0 a r ext = 4 3 avšak det[d] = 0 soustava je výjimkovým případem 8 10 11 12 a c e

Řešení vnějších reakcí a prutových sil: obecná metoda styčných bodů Příhradová soustava je staticky určitá. Příhradová soustava je řešena jako složená soustava sestavená z hmotných bodů. Účinek vnějších vazeb se nahradí odpovídajícími nezávislými složkami reakcí. Účinek vnitřních vazeb (příhradových prutů) se nahradí prutovými (osovými/normálovými) silami N i tak, že kladná síla odpovídá taženému prutu.

Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každý styčník (hmotný bod) soustavy. V každém styčníku sestavíme 2 silové podmínky rovnováhy. Podmínky rovnováhy všech styčníků (n hmotných bodů) stačí k určení všech prutových sil (p) i všech nezávislých složek vnějších reakcí (r ext ): 2n = p + r extobecně soustava 2n rovnic

Př 1:

Zjednodušení (zjednodušená metoda styčných bodů): použijeme princip obecné metody styčných bodů řešení provádíme postupně tak, že řešíme vždy 2 rovnice pro 2 neznámé (ve dvojném styčníku) Dvojným styčníkem se nazývá styčník, ve kterém působí (kromě známých sil) právě 2 neznámé osové síly, případně složky reakcí Použití zjednodušené metody styčných bodů vyžaduje, aby vřešené příhradové soustavě byl alespoň jeden dvojný styčník. U většiny příhradových soustav na počátku řešení dvojný styčník neexistuje, proto se provádějí postupy, pomocí kterých se dvojný styčník vytvoří: U celé řady příhradových soustav se dvojný styčník získá tak, že z podmínek rovnováhy soustavy jako celku se určí vnější reakce. Použitím další metody řešení - metody průsečné.

Zvláštní typy styčníků N p = N r N q = N s N r = 0 N q = 0 N q N r N q j j N p N s N r N p = N r N q = 0 N q = 0 N p = N r N q j j N q N p N r N p N r

Řešení vnějších reakcí a prutových sil: průsečná metoda Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každá její část Postup řešení: - Uřešené příhradové soustavy musí být určeno vnější zatížení a vypočteny nutné vnější reakce. - Soustavu rozdělíme řezem na 2 samostatné části tak, aby proťal právě 3 pruty - Účinek přerušených prutů nahradíme neznámými prutovými silami - Ze tří statických podmínek rovnováhy na jedné části vyřešíme 3 neznámé prutové síly. 15 kn 15 kn xg 10 kn e N 5 f zg N 8 I I N 8 II Ax a b N 2 N 2 c d Az 5 kn D II 1,5 N5 N2 N8 = 0 2 2 1,5 + 2,5 2,5 N8 + 15 + D = 0 2 2 1,5 + 2,5 2,5N 2D = 0 5

Obvyklé použití: Kontrola výpočtu osových sil Výpočet vybraných sil Startovací metoda pro jiné způsoby řešení Poznámka: Řez lze vést i tak, že přeruší n>3 prutů, z nichž n-1 se protíná v jediném bodě (přidružený momentový střed) 1 a N 1 =... Potom lze vypočítat sílu ve zbývajícím prutu z momentové podmínky k přidruženému momentovému středu. (momentová podmínka k nevlastnímu bodu ( ) přechází v součtovou podmínku)

Př 2. 15 kn 15 kn 10 kn e 5 f 4 2,5 m 7 8 9 6 a 1 b 2 c 3 d 5 kn 2 m 1,5 m 2 m s n = 9 + (2+1) - 2.6 = 12 12 = 0

15 kn 15 kn 10 kn e 5 f 4 2,5 m 7 8 9 6 a 1 b 2 c 3 d 5 kn 2 m 1,5 m 2 m 15 kn 15 kn xg 10 kn e N 5 f zg N 4 N 8 N 6 N 7 N 9 N 6 N 4 N 8 Ax N 1 N 1 b N 2 N 2 c N 3 N 3 d Az 5 kn D 2 1.5 2 2.5 l 4 =l 6 =3.20156 m l 8 = 2.91548 m A x = -10 kn A z = -13,637 kn D = -21,363 kn OSOVÁ SÍLA Np N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 HODNOTA [kn] 20,91 20,909 17,09-17,467-17,091-27,361 5-7,4187 6,3625

Př. 3: Pro zadanou příhradovou konstrukci posuďte statickou určitost a vypočítejte a) všechny vnější reakce b) osové síly v prutech 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 a 22. V obrázku zakreslete uvažované směry a orientace reakcí a osových sil. Vždy napište podmínky rovnováhy, ze kterých při výpočtu vycházíte. Výsledné reakce vykreslete do zvláštního obrázku. U každé vypočtené prutové síly určete, zda je tahová či tlaková. s n = 22 + 2 2-13 2 = 0 Konstrukce je staticky i kinematicky určitá.

a) Vnější reakce Konstrukce je vně staticky neurčitá. Tvoří ji však 2 tuhé desky vnitřně spojené kloubem... uspořádání trojkloubového rámu. T x T z T x T z R x S x R z S z

(kn) 9 9 9 t T z T x 5 T x T z I. II. 5 R x b S x R z S z I.

b) Osové síly v prutech 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 a 22.

Výpočet začneme od nejjednodušších prutů: S z S x

Pruty 17, 18, 19: průsečná metoda c d S z S x

f e Prut 20... dvojný styčník d: c d S z S x Pruty 16 a 15... dvojný styčník e: Prut 12... styčník f:

Výsledky: (kn) + tah - tlak

Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Připraveno s použitím materiálů poskytnutých doc. Ing. Michalem Polákem, CSc. Datum poslední revize: 10.12.2013