FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Elektrické filtry Garant ředmětu: Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc. Autor textu: Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc. Ing. Vladimír Axman
Elektrické filtry Obsah ÚVOD DO PŘEDMĚTU...8. ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU...8. CÍL A OBSAH PŘEDMĚTU...8.3 STRUČNÁ ANOTACE...8.4 VSTUPNÍ TEST...8 ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY...9. ÚČEL A POUŽITÍ FILTRŮ...9. TYPY FILTRŮ....3 PRINCIP FILTRŮ....4 PŘENOSOVÁ FUNKCE FILTRU N-TÉHO ŘÁDU....5 ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY RLC. ŘÁDU...3.5. Dolní roust RLC...3.5. Normovaná dolní roust RLC...5.5.3 Horní roust RLC...6.5.4 Pásmová roust RLC...6.5.5 Obecný RLC obvod. řádu...8.5.6 Pásmová zádrž RLC...9.5.7 Modifikovaná dolní roust RLC. řádu....5.8 Modifikovaná horní roust RLC. řádu....5.9 Všeroustný fázovací bikvad RLC....5. Porovnání kmitočtových charakteristik základních roustí....6 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE... 3 PASIVNÍ FILTRY RC...3 3. ÚČEL A POUŽITÍ PASIVNÍCH FILTRŮ RC...3 3. PASÍVNÍ FILTRY RC. ŘÁDU...3 3.3 PASIVNÍ FILTRY RC. ŘÁDU...6 3.4 PASÍVNÍ FILTRY RC 3. ŘÁDU...9 3.5 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY KU KAPITOLE 3...9 4 PASIVNÍ FILTRY LC(R) VYŠŠÍCH ŘÁDŮ...3 4. PRINCIP, ÚČEL A POUŽITÍ FILTRŮ LC(R) VYŠŠÍCH ŘÁDŮ...3 4. NORMOVÁNÍ A TRANSFORMACE...3 4.3 TYPY FILTRŮ DLE POUŽITÉ APROXIMACE...34 4.3. Butterworthova aroximace...34 4.3. Čebyševova aroximace...36 4.3.3 Cauerova aroximace...37 4.3.4 Besselova aroximace...37 4.3.5 Další aroximace...38 4.3.6 Srovnání různých aroximací...39 4.4 NÁVRH PŘÍČKOVÝCH ČLÁNKŮ LC(R)...4 4.4. Zadání ožadavků na filtr...4 4.4. Určení řádu NDP...43 4.4.3 Přeočet na arametry oužívané v katalogu...44 4.4.4 Výběr zaojení a určení hodnot NDP...45 4.4.5 Odnormování a kmitočtová transformace NDP na ožadovaný ty filtru...45 4.5 REÁLNÝ PŘÍČKOVÝ FILTR LC(R)...54
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4.5. Vliv ztrát v reálném filtru... 54 4.5. Vliv tolerance hodnot oužitých součástek... 54 4.6 PÁSMOVÉ PROPUSTI S VÁZANÝMI STRUKTURAMI LC(R)... 55 4.7 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 4... 57 5 AKTIVNÍ PRVKY A FUNKČNÍ BLOKY VE FILTRECH... 57 5. AKTIVNÍ PRVKY FILTRŮ - ZESILOVAČE... 58 5.. Oerační zesilovače... 58 5.. Zesilovače naětí a roudu... 59 5..3 Transadmitanční zesilovače... 59 5..4 Transimedanční zesilovače... 6 5..5 Nortonův zesilovač... 6 5. FUNKČNÍ BLOKY... 6 5.. Gyrátory... 6 5.. Imedanční konvertory... 63 5..3 Proudové konvejory... 65 5.3 SYNTETICKÉ PRVKY VE FILTRECH... 65 5.3. Syntetické induktory... 65 5.3. Jednoduché syntetické induktory... 66 5.3.3 Syntetický rvek FDNR... 67 5.3.4 Syntetické dvojóly vyšších řádů... 67 5.4 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 5... 67 6 AKTIVNÍ FILTRY RC. A. ŘÁDU... 68 6. AKTIVNÍ FILTRY RC. ŘÁDU... 68 6.. Aktivní dolní roust RC. řádu ADP... 68 6.. Aktivní horní roust RC. řádu AHP... 69 6. OBECNÉ STRUKTURY ARC FILTRŮ. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM... 7 6.3 DOLNÍ PROPUSTI ARC. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM... 7 6.3. Zaojení Sallen-Key SAB-LP-SK... 7 6.3. Zaojení Huelsman SAB-LP-H... 75 6.3.3 Další zaojení SAB-LP... 76 6.4 HORNÍ PROPUSTI ARC. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM... 76 6.4. Zaojení Sallen-Key SAB-HP-SK... 76 6.4. Zaojení Huelsman SAB-HP-H... 77 6.5 PÁSMOVÉ PROPUSTI ARC. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM... 78 6.5. Kaskádní zaojení SAB-BP-K... 79 6.5. Zaojení Huelsman SAB-BP-H... 79 6.5.3 Zaojení Sallen Key SAB-BP-SK... 79 6.5.4 Deliyannisovo zaojení SAB-BP-D... 8 6.5.5 Další zaojení SAB-BP... 8 6.6 FILTRY ARC. ŘÁDU S NETRADIČNÍMI AKTIVNÍMI PRVKY... 8 6.7 FILTRY ARC. ŘÁDU S NULOVÝMI BODY PŘENOSU... 85 6.7. Elitické aktivní bikvady s dvojitým T-článkem... 86 6.7. Elitické Friendovy aktivní bikvady... 87 6.8 VLIV REÁLNÉHO AKTIVNÍHO PRVKU NA PARAMETRY FILTRU... 89 6.9 FILTRY ARC. ŘÁDU S VÍCE AKTIVNÍMI PRVKY... 9 6.9. Filtry ARC. řádu s dvěma aktivními rvky... 9 6.9. Zvýšení hodnoty činitele jakosti u SAB-BP... 9 6.9.3 Filtry ARC. řádu s třemi a více aktivními rvky... 9
Elektrické filtry 3 6. KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 6...95 7 AKTIVNÍ FILTRY RC VYŠŠÍCH ŘÁDŮ...96 7. KASKÁDNÍ SYNTÉZA ARC FILTRŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ...96 7. NÁVRH ARC FILTRŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ...96 7.. Normovaná dolní roust ro kaskádní syntézu... 7.. Transformace NDP na DP... 7..3 Transformace NDP na HP... 7..4 Transformace NDP na PP... 7..5 Transformace NDP na PZ... 7.3 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 7...3 8 FILTRY SE SYNTETICKÝMI PRVKY A FUNKČNÍMI BLOKY...3 8. FILTRY SE SYNTETICKÝMI INDUKTORY...3 8. FILTRY S GYRÁTORY...4 8.3 FILTRY DCR...5 8.4 FILTRY S INTEGRÁTORY...6 8.5 AKTIVNÍ FILTRY R...8 8.6 AKTIVNÍ FILTRY S PROUDOVÝMI KONVEJORY...9 8.6. Filtry rvního řádu s konvejory...9 8.6. Filtry druhého řádu s konvejory...9 8.7 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 8... 9 ZVLÁŠTNÍ TYPY FILTRŮ... 9. VŠEPROPUSTNÉ FÁZOVACÍ DVOJBRANY... 9.. Všeroustné dvojbrany n-tého řádu... 9.. Všeroustné dvojbrany. řádu...3 9..3 Všeroustný dvojbran. řádu...5 9..4 Aktivní všeroustný dvojbran...5 9. KMITOČTOVÉ KOREKTORY...6 9.3 KMITOČTOVÉ ROZDĚLOVACÍ A SLUČOVACÍ OBVODY...7 9.4 FILTRY S NASTAVITELNÝMI PARAMETRY...8 9.5 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 9...9 FILTRY SE SPÍNANÝMI KAPACITORY...9. PRINCIP OBVODŮ SC.... SPÍNAČE....3 POPIS OBVODŮ SC....4 PŘEDZKRESLENÍ CHARAKTERISTIK PROTOTYPU....5 SIMULACE REZISTORU SPÍNANÝM KAPACITOREM (R-SC)....6 SPÍNANÉ EKVIVALENTY INDUKTORŮ A BICISTORŮ (L-SC, D-SC)...3.7 SPÍNANÉ INTEGRÁTORY (I-SC)...3.8 BIKVAD SC S INTEGRÁTORY...5.9 BIKVADY SC ODVOZENÍ Z OBVODŮ ARC...5. EKVIVALENT SC PŘÍČKOVÉHO ČLÁNKU LCR...8. FILTRU SC VYŠŠÍHO ŘÁDU...8. KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE...8 FILTRY PRACUJÍCÍ NA JINÝCH FYZIKÁLNÍCH PRINCIPECH...3. FILTRY S PIEZOELEKTRICKÝMI REZONÁTORY...3.. Piezoelektrický rezonátor...3
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně.. Klasické filtry s PER... 3..3 Monolitické filtry s PER... 3..4 Keramické filtry... 3..5 Monolitické filtry s PER... 3. ELEKTROMECHANICKÉ FILTRY... 33.3 FILTRY S POVRCHOVOU VLNOU... 33.4 FILTRY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY... 34.5 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE... 36 DODATKY... 36. NÁVOD NA LABORATORNÍ A POČÍTAČOVÉ CVIČENÍ Č.... 36.. Dolnění oznatků z teorie... 36.. Oakování teorie... 37..3 Schéma zaojení říravku... 37..4 Počítačové simulace... 37..5 Laboratorní měření... 4..6 Pokyny k měření... 4. NÁVOD NA LABORATORNÍ A POČÍTAČOVÉ CVIČENÍ Č.... 4.. Poznatky z teorie... 4.. Individuální zadání filtru... 4..3 Realizace filtru... 4..4 Počítačové simulace... 4..5 Laboratorní měření... 43
Elektrické filtry 5 Seznam obrázků OBRÁZEK.: ZAPOJENÍ OBVODU K PŘ....9 OBRÁZEK.: MODULOVÉ CHARAKTERISTIKY RŮZNÝCH PROPUSTÍ... OBRÁZEK.: ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY A JEJICH CHARAKTERISTIKY.... OBRÁZEK.3: DOLNÍ PROPUST RLC. ŘÁDU...3 OBRÁZEK.4: MODULOVÁ CHARAKTERISTIKA DP.ŘÁDU PŘI RŮZNÉM NORMOVÁNÍ....4 OBRÁZEK.5: VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKU...5 OBRÁZEK.6: HORNÍ PROPUST RLC. ŘÁDU...6 OBRÁZEK.7: PÁSMOVÉ PROPUSTI RLC. ŘÁDU....7 OBRÁZEK.8: PÁSMOVÁ PROPUST. ŘÁDU...7 OBRÁZEK.9: VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKY PÁSMOVÉ PROPUSTI...8 OBRÁZEK.: PÁSMOVÁ ZÁDRŽ. ŘÁDU....9 OBRÁZEK.: VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKY PÁSMOVÉ ZÁDRŽE....9 OBRÁZEK.: REALIZACE PÁSMOVÉ ZÁDRŽE RLC. ŘÁDU.... OBRÁZEK.3: MODIFIKOVANÁ DOLNÍ PROPUST RLC. ŘÁDU... OBRÁZEK.4: OBRÁZEK.5: OBRÁZEK.6: OBRÁZEK 4.: OBRÁZEK 4.: OBRÁZEK 4.3: OBRÁZEK 4.4: OBRÁZEK 4.5: OBRÁZEK 4.6: MODULOVÉ CHARAKTERISTIKY MODIFIKOVANÉ DOLNÍ PROPUSTI... VŠEPROPUSTNÝ FÁZOVACÍ BIKVAD LCR... POROVNÁNÍ KMITOČTOVÝCH CHARAKTERISTIK BIKVADŮ... TRANSFORMACE TOLERANČNÍCH POLÍ RŮZNÝCH TYPŮ FILTRŮ...3 KMITOČTOVÉ CHARAKTERISTIKY ZÁKLADNÍCH TYPŮ FILTRŮ...34 BUTTERWORTHŮV FILTR...35 ČEBYŠEVŮV FILTR...36 CAUERŮV FILTR...37 BESSELŮV FILTR...38 OBRÁZEK 4.7: INVERZNÍ ČEBYŠEVOVA APROXIMACE RŮZNÉHO ŘÁDU...39 OBRÁZEK 4.8: CHARAKTERISTIKY HP RŮZNÉHO ŘÁDU A TYPU APROXIMACE....39 OBRÁZEK 4.9: SROVNÁNÍ CHARAKTERISTIK FILTRŮ 4. ŘÁDU RŮZNÝCH TYPŮ...4 OBRÁZEK 4.: NOMOGRAMY K URČENÍ ŘÁDU NDP...44 OBRÁZEK 4.: GRAFY K PŘEPOČTU PARAMETRŮ....45 OBRÁZEK 4.: KAPACITNĚ VÁZANÉ REZONANČNÍ OBVODY...56 OBRÁZEK 5.: BLOKOVÉ SCHÉMA TRANSKONDUKTIVNÍHO OPERAČNÍ ZESILOVAČE...59 OBRÁZEK 5.: MODERNÍ TRANSKONDUKTIVNÍ OPERAČNÍ ZESILOVAČE....6 OBRÁZEK 5.3: TRANSIMPEDANČNÍ ZESILOVAČ (A) A NORTONŮV ZESILOVAČ (B)...6 OBRÁZEK 5.4: GYRÁTOR....6 OBRÁZEK 5.5: MODEL REÁLNÉHO GYRÁTORU...6 OBRÁZEK 5.6: RIORDANŮV GYRÁTOR S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI....63 OBRÁZEK 5.7: GYRÁTOR JAKO ZÁKAZNICKÝ INTEGROVANÝ OBVOD (SN 5)...63 OBRÁZEK 5.8: ZOBECNĚNÝ IMPEDANČNÍ KONVERTOR A JEHO POPIS....63 OBRÁZEK 5.9: OBRÁZEK 5.: IMPEDANČNÍ KONVERTOR REALIZUJÍCÍ SYNTETICKÝ INDUKTOR,...64 IMPEDANČNÍ KONVERTOR REALIZUJÍCÍ SYNTETICKÝ PRVEK FDNR,...64 OBRÁZEK 5.: NEJPOUŽÍVANĚJŠÍ PROUDOVÉ KONVEJORY....65 OBRÁZEK 5.: PLOVOUCÍ SYNTETICKÝ INDUKTOR REALIZOVANÝ DVĚMA ZIKY....65 OBRÁZEK 5.3: SIMULACE SESKUPENÍ CÍVEK DVĚMA ZIK-Y...66 OBRÁZEK 5.4: PRESCOTTŮV SYNTETICKÝ INDUKTOR....66 OBRÁZEK 5.5: KMITOČTOVÉ ZÁVISLOSTI PARAMETRŮ PRESCOTTOVA SI...66 OBRÁZEK 5.6: JEDNODUCHÉ FDNR A JEJICH MODELY....67 OBRÁZEK 6.: AKTIVNÍ DOLNÍ PROPUST RC. ŘÁDU ADP...69 OBRÁZEK 6.: OBECNÉ STRUKTURY ARC BIKVADU S JEDNÍM ZESILOVAČEM SAB...7 OBRÁZEK 6.3: DOLNÍ PROPUSTI ARC. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM...7 OBRÁZEK 6.4: PÁSMOVÉ PROPUSTI ARC. ŘÁDU S JEDNÍM OPERAČNÍM ZESILOVAČEM...78
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně OBRÁZEK 6.5: SAB-BP-L S DVOJITÝM T-ČLÁNKEM... 8 OBRÁZEK 6.6: BIKVAD ARC S TRANSADMITANČNÍM ZESILOVAČEM.... 83 OBRÁZEK 6.7: AKTIVNÍ PÁSMOVÁ PROPUST S NORTONOVÝMI ZESILOVAČI.... 83 OBRÁZEK 6.8: FILTRY. ŘÁDU S TRANSIMPEDANČNÍM ZESILOVAČEM... 84 OBRÁZEK 6.9: JEDNODUCHÁ PÁSMOVÁ PROPUST S DVCC V PROUDOVÉM MÓDU... 84 OBRÁZEK 6.: VÍCEÚČELOVÝ ARC BIKVAD SE DVĚMA DVCC.... 85 OBRÁZEK 6.: ELIPTICKÉ AKTIVNÍ BIKVADY S DVOJITÝMI T-ČLÁNKY.... 86 OBRÁZEK 6.: FRIENDOVY ELIPTICKÉ AKTIVNÍ BIKVADY... 87 OBRÁZEK 6.3: BLOKOVÉ SCHÉMA ODTLUMENÍ BIKVADU ZAVEDENÍM KLADNÉ ZV.... 9 OBRÁZEK 6.4: DAB-BP-H UMOŽŇUJÍCÍ DOSÁHNOUT VYŠŠÍ HODNOTU Q... 9 OBRÁZEK 6.5: BIKVAD TAB-KHN... 93 OBRÁZEK 6.6: VYBRANÉ BIKVADY S TŘEMI OA.... 94 OBRÁZEK 7.: SYNTÉZA FILTRŮ ARC VYŠŠÍCH ŘÁDŮ... 97 OBRÁZEK 8.: ZÁKLADNÍ OBVODY.ŘÁDU S GYRÁTOREM.... 4 OBRÁZEK 8.: PŘEMOSTĚNÉ STRUKTURY S GYRÁTORY... 5 OBRÁZEK 8.3: FILTR DCR 5. ŘÁDU... 6 OBRÁZEK 8.4: STAVEBNÍ FUNKČNÍ BLOK.ŘÁDU. A JEHO GRAF.... 7 OBRÁZEK 8.5: GRAF SIGNÁLOVÝCH TOKŮ S PŘENOSEM. ŘÁDU.... 7 OBRÁZEK 8.6: GRAF PŘÍMÉ REALIZAČNÍ STRUKTURY K(P) 5. ŘÁDU... 7 OBRÁZEK 8.7: CAUEROVA DOLNÍ PROPUST 3. ŘÁDU S INTEGRÁTORY... 8 OBRÁZEK 8.8: UNIVERZÁLNÍ BIKVAD R.... 9 OBRÁZEK 9.: PASIVNÍ VŠEPROPUSTNÉ FÁZOVACÍ DVOJBRANY. ŘÁDU.... 4 OBRÁZEK 9.: AKTIVNÍ VŠEPROPUSTNÝ FÁZOVACÍ DVOJBRAN.... 6 OBRÁZEK 9.3: KMITOČTOVÉ KOREKTORY... 7 OBRÁZEK 9.4: KMITOČTOVÉ ROZDĚLOVACÍ A SLUČOVACÍ OBVODY.... 8 OBRÁZEK.: SPÍNAČE V OBVODECH SC... OBRÁZEK.: SIMULACE REZISTORU SPÍNANÝM KAPACITOREM... 3 OBRÁZEK.3: SPÍNANÉ EKVIVALENTY INDUKTORŮ A BICISTORŮ.... 4 OBRÁZEK.4: OBR. 9.4 SPÍNANÉ INTEGRÁTORY.... 5 OBRÁZEK.5: SYNTÉZA BIKVADU SC... 6 OBRÁZEK.6: SC DOLNÍ PROPUST, EKVIVALENTNÍ SAB-DP-H.... 7 OBRÁZEK.7: SYNTÉZA EKVIVALENTU SC PŘÍČKOVÉHO ČLÁNKU LCR.... 7 OBRÁZEK.8: FILTR SC 5. ŘÁDU MHF 443.... 9 OBRÁZEK.: PIEZOELEKTRICKÝ REZONÁTOR.... 3 OBRÁZEK.: FILTRY S PER.... 3 OBRÁZEK.3: ELEKTROMECHANICKÉ FILTRY... 33 OBRÁZEK.4: FILTRY S POVRCHOVOU VLNOU... 34 OBRÁZEK.5: OBVODY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY.... 35 OBRÁZEK.: SPOJENÍ ZDROJE A ZÁTĚŽE A) PŘES FILTRAČNÍ DVOJBRAN, B) PŘÍMO... 37 OBRÁZEK.: ZAPOJENÍ DOLNÍ PROPUSTI 5. ŘÁDU.... 39 OBRÁZEK.3: BLOKOVÉ SCHÉMA PRACOVIŠTĚ... 4 OBRÁZEK.4: SCHÉMA ZAPOJENÍ SAB-LP-SK... 4
Elektrické filtry 7 Seznam tabulek TABULKA 3.: PŘEHLED PASIVNÍCH FILTRŮ RC. ŘÁDU...4 TABULKA 3.: PŘEHLED PASIVNÍCH FILTRŮ RC. ŘÁDU...6 TABULKA 3.3: PŘEHLED PASIVNÍCH FILTRŮ RC 3. ŘÁDU...9 TABULKA 4.: ZÁKLADNÍ TYPY PODOBVODŮ PŘÍČKOVÝCH STRUKTUR FILTRŮ LC(R)....3 TABULKA 4.: TRANSFORMACE A ODNORMOVÁNÍ NORMOVANÉ DOLNÍ PROPUSTI....33 TABULKA 4.3: TABULKA 4.4: KOEFICIENTY JMENOVATELE NORMOVANÉ PŘENOSOVÉ FUNKCE FILTRŮ...4 ROZKLAD JMENOVATELE NORMOVANÉ PŘENOSOVÉ FUNKCE FILTRŮ...4 TABULKA 4.5: PŘÍKLAD USPOŘÁDÁNÍ KATALOGU PŘÍČKOVÝCH FILTRŮ RLC [ 6 ]...46 TABULKA 4.6: JEDNODUCHÝ KATALOG PRO NÁVRH PŘÍČKOVÝCH FILTRŮ RLC...47 TABULKA 5.: VYUŽITÍ GYRÁTORŮ K SIMULACI ČÁSTÍ FILTRŮ....6 TABULKA 6.: HODNOTA A PRO RŮZNÉ APROXIMACE V SAB-LP-SK-3....74 TABULKA 6.: SROVNÁNÍ NÁVRHOVÝCH VARIANT SAB-LP-SK...75 TABULKA 7.: TABULKA PRO KASKÁDNÍ SYNTÉZU POLYNOMINÁLNÍCH FILTRŮ ARC....97 TABULKA 7.: TABULKA PRO KASKÁDNÍ SYNTÉZU ELIPTICKÝCH FILTRŮ ARC....98 TABULKA 8.: BRUTONOVA TRANSFORMACE...5 TABULKA 9.: NORMOVANÉ PARAMETRY I-TÉHO PODOBVODU VE VPD N-TÉHO ŘÁDU...3 TABULKA 9.: REALIZAČNÍ PODMÍNKY VPD OBVODU NA OBRÁZEK 9.D...5
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Úvod do ředmětu. Zařazení ředmětu ve studijním rogramu Elektrické filtry je jako volitelný oborový ředmět zařazen v 4. semestru bakalářského studia oboru Elektronika a sdělovací technika. Úzce navazuje na ovinný ředmět Analogové elektronické obvody, který je nutno řed ním absolvovat.. Cíl a obsah ředmětu Cílem ředmětu je seznámit studenty s různými druhy moderních analogových filtrů. Naučit je navrhnout asivní a aktivní filtry vyšších řádů. Seznámit je s filosofii očítačem odorovaného otimálního návrhu analogových filtrů, s vhodnou simulací a ověřovací analýzou navržených obvodů. Důraz je kladen na individuální rojekty. Studenti se seznámí s moderními metodami návrhu analogových elektrických filtrů. Prohloubí si znalosti z teorie obvodů a naučí se je vhodně alikovat. Zdokonalí se v ráci s rogramem PSice a naučí se oužívat další návrhové rogramy..3 Stručná anotace Princi kmitočtových filtrů a jejich dělení. Filtry.,. a vyšších řádů různých tyů a aroximací. Parametry filtrů a jejich získání. Počítačová odora návrhu. Kontrolní, citlivostní a toleranční analýza filtrů. Kmitočtové a imedanční normování a transformace. Pasivní RC a RLC filtry vyšších řádů. Aktivní filtry RC s jedním, dvěma a třemi OZ. Filtry s nulovými body řenosu (Cauerovy). Filtry se syntetickými rvky (SI, FDNR) a funkčními bloky. Fázovací všeroustné dvojbrany a ásmové korektory. Filtry v roudovém módu. Filtry se sínanými kaacitory a struktury CCD. Elektromechanické a iezoelektrické filtry. Filtry s ovrchovou vlnou. Nastavování a řízené řelaďování filtrů. Otimalizace návrhu filtrů. CAD, software SNAP, PSice, NAF a Filter design..4 Vstuní test Příklad.: Vstuní test. Na Obrázek. je zaojení aktivního obvodu RC s oeračním zesilovačem. ) Jakého řádu je tento obvod? ) Překreslete obvod tak, že odobvod tvořený oeračním zesilovačem a rezistory R, R 3 nahradíte jiným funkčním blokem. 3) Odvoďte řenos naětí. Jakého je řádu? Souhlasí to s vaší odovědí na rvní otázku? 4) Co odle vás obvod ředstavuje? 5) Nakreslete rozložení ólů a nulových bodů. 6) Nakreslete ředokládaný tvar modulové charakteristiky. 7) Nakreslete ředokládaný tvar argumentové charakteristiky.
Elektrické filtry 9 Obrázek.: Zaojení obvodu k ř.. Základní filtrační obvody Cíle kaitoly: Seznámit studenty s účelem, rinciem, dělením a vlastnostmi základních tyů filtrů. Podrobněji rozebrat filtry rvního a druhého řádu, různých roustí a zádrží. Zoakovat a rohloubit znalosti získané v ředmětu Elektronické analogové obvody[ ]. Test ředchozích znalostí. Jak vyadá obecná obvodová funkce z matematického ohledu a jak se dá rozložit? Co jsou to nulové body a óly? Definujte řenosovou funkci naětí.. Jaké druhy kmitočtových charakteristik řenosu naětí znáte, jak jsou definovány, co je to zisk? 3. Na několika říkladech ukažte souvislost mezi růběhem modulové a fázové charakteristiky a olohou ólu res. nulové bodu. 4. Uveďte vlastnosti a definujte arametry (Q, f, Z v rezonanci) aralelního rezonančního obvodu. Jaké stavy rozlišujeme v tomto obvodě vzhledem ke tlumení? Nakreslete odovídající rozložení nulových bodů res. ólů. Nakreslete rezonanční křivky ro dvě hodnoty Q < Q. Vyznačte šířku roustného ásma.. Účel a oužití filtrů Kmitočtové filtry jsou dvojbrany (řevážně lineární), které roustí (bez a nebo jen s malým útlumem) harmonické složky sektra zracovávaných signálů v určitém ásmu kmitočtů, které nazýváme roustné ásmo. Mimo roustné ásmo jsou harmonické složky naoak silně utlumovány - tzv. neroustné ásmo. Kmitočtové filtry jsou součástí řady obvodů a systémů, z nichž některé bude dále blíže rozebírat. Naříklad dolní roust se oužívá v usměrňovačích, kde je třeba oddělit stejnosměrnou složku a otlačit všechny střídavé složky. Pásmová roust má nař. ulatnění v řijímačích, kde vybírá signál určitého vysílače. Řadu říkladů lze uvést i z měřící nebo regulační techniky. Poslední dobou se v souvislosti s novými mikroelektronickými technologiemi (novými aktivními rvky a funkčními bloky) rozvíjí aktivní filtry RC, na vyšších kmitočtech racující v roudovém módu. Induktory v RLC filtrech jsou totiž nejobjemnější, nejdražší a hlavně těžko integrovatelné součástky. Snažíme se je roto s filtrů odstranit res. nahradit syntetickými ekvivalenty. Zcela novými řístuy jsou charakterizovány filtry se sínanými kaacitory (racující sojitě v hodnotách a diskrétně v čase) a filtry číslicové (racující diskrétně v čase i v hodnotách ). Secifickými tyy jsou také
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně analogové filtry racující na zvláštních rinciech, jako nař. filtry s ovrchovou vlnou, filtry s iezoelektrickými rezonátory, keramické filtry, elektromechanické filtry a další.. Tyy filtrů Rozdělení filtrů lze rovést z různých hledisek, nejdůležitější dělení je však dle řenášeného kmitočtového sektra (Obrázek.): - dolní roust, - horní roust, - ásmová roust, - ásmová zádrž, - všeroustný (fázovací) dvojbran. dle oužitých rvků: - asivní filtry RC (res. RLC), - asivní filtry LC, - aktivní filtry RC, se standardními oeračními zesilovači, se zvláštními tyy OZ, s ideálními zesilovači naětí, - filtry RC s funkčními bloky, s imedančními invertory a gyrátory, s imedančními konvertory, s roudovými konvejory, aktivní filtry R, - filtry se syntetickými rvky, - filtry se sínanými kaacitory, - filtry s ovrchovou vlnou, - filtry s iezoelektrickými rezonátory - a další. Obrázek.: Modulové charakteristiky různých roustí. a) dolní rousti, b) horní rousti, c) ásmové rousti, d)ásmové zádrže.
Elektrické filtry.3 Princi filtrů Základním rinciielním odobvodem filtrů, nazývaným někdy také ůlčlánkem, je kmitočtově závislý dělič (Obrázek. a), jehož řenos (. ) bude kmitočtově závislý, je-li alesoň jedna z imedancí kmitočtově závislá. U K () Z U Z + Z. (. ) Příklad.: Jednoduchá dolní roust Příkladem asivního filtru. řádu je dolní roust RC (Obrázek. b). Odvoďte její řenosovou funkci. Obrázek.: Základní filtrační obvody a jejich charakteristiky. a) kmitočtově závislý dělič naětí, c) modulová kmitočtová charakteristika, b) dolní roust RC. řádu, d) argumentová kmitočtová charakteristika. Odvozenou řenosovou funkci lze řevést do následujícího tvaru jϕ ( ) jc K( ) ReK+ jim K K( ) e + RC (. ) Modulová charakteristika tohoto obvodu je ak dána vztahem K( ) K( ) ( ReK) + ( ImK) + RC. (.3 ) Zisk v decibelech k( ) KdB ( ) log K( ) log. + RC (.4 ) Argumentová (fázová) charakteristika Im K ϕ ( ) arctg arctg RC. Re K (.5 ) Obě skutečné kmitočtové charakteristiky často aroximujeme lomenými římkami - asymtotami, které orvé zavedl Bode. Takto na Obrázek. c je modulová charakteristika aroximována čárkovaně. U tohoto obvodu, který je. řádu má modulová charakteristika sklon (-) db/dek., res. (-6) db/okt. Argumentová charakteristika má sklon (-45) o /dek. Maximální odchylka aroximace modulu je 3 db a argumentu 5,7 o Obrázek..
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Mezní kmitočet m je definován oklesem zisku o -3 db, (argument je -45 o ) K K( m ), ( zde je K ) K db ( m ) K db - 3, (.6 ) V tomto obvodě je dán vztahem m. τ RC (.7 ) Pro snazší návrh zavádíme ve filtrech normované kmitočtové roměnné s, Ω ( N N res. s N.8 ) Nejčastěji ak normujeme k meznímu kmitočtu N m. Nemusí to však být odmínkou, jak se blíže seznámíme v ka..5. Obvodové funkce rozebírané dolní rousti. řádu jsou ak v normovaném tvaru K() s, K( Ω + ) s + Ω, ϕ( Ω) arctg Ω. (.9 ).4 Přenosová funkce filtru n-tého řádu Předokládáme, že jste srávně odověděli na otázku testu vašich znalostí. Pak lehce ochoíte, že obecný tvar řenosové funkce filtru n-tého řádu může mít následující tvary m ( m ) U N ( ) ( ) am + a( ) a out m + L + K n ( n ) U D b + b + L + b K in ( ) ( n ) i m ( n j ) n K k n K ( ), k ( n ) (. ) kde n i jsou nulové body a j jsou óly řenosové funkce filtru. Ve filtrech s výhodou racujeme i s tzv. normovaným tvarem (. ), definovaným ro normované kmitočtové roměnné zavedené vztahy (.8 ). Pro odlišení zde budeme koeficienty olynomů značit velkými ísmeny. m ( m ) N ( ) () s Am s + A( m ) s + L+ A K n ( n ) (. ) D s B s + B s + L+ B () n ( n ) Zvláštní, často oužívaná, skuina dolních roustí má nulové body ouze v nekonečnu. Hovoříme ak o filtrech olynominálních (all-ole filters), které mají následující řenosovou funkci K ( ) U U out in D n ( ) bn + b( n ) a ( ) ( ), n + L + b n j n K (. ) Ve filtrech velmi často oužíváme relativní řenos, vzhledem k základnímu K K( ) Kr( ), kr( ) log K( ) log K. (.3 ) K Ve starší literatuře se místo řenosu oužívá inverzní funkce útlum filtru U in A ( ) K( ), AdB ( ) log A( ). (.4 ) U out
Elektrické filtry 3 Při syntéze filtrů místo řenosu oužíváme někdy charakteristickou funkci filtrace, danou vztahem (.5 ), která odstraňuje iracionalitu zadání. Tato funkce v normovaném tvaru je dána vztahem D ( ) () s D( s) F s. (.5 ) N s N s () ( ).5 Základní filtrační obvody RLC. řádu.5. Dolní roust RLC Strmost modulové charakteristiky se zvýší, nahradíme-li na Obrázek.b rezistor R induktorem L, dostáváme dolní roust RLC. řádu na Obrázek.3a. Poznamenejme, že rezistor R vyjadřuje ztráty v obvodu. Obrázek.3: Dolní roust RLC. řádu a) zaojení obvodu, c) modulová charakteristika, b) rozložení ólů a nulových bodů, d) argumentová charakteristika. Příklad.: Dolní roust RLC. řádu Odvoďte řenosovou funkci dolní rousti RLC na Obrázek.3a v základním symbolickém tvaru. V Příklad. odvozený výsledek naěťového řenosu lze uravit a zobecnit do následujících tvarů a K K( ) b + b+ b + RC + LC + Q + Póly (Obrázek.3c) jsou komlexně sdružené (Im -Im ), jejich kmitočet a kvalita jsou dány vztahy: (.6 )
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně L, Q. (.7 ) LC σ R U dolní rousti (DP) definujeme jako základní arametr mezní kmitočet m res. f m, kdy modulová charakteristika oklesne o 3 db (Obrázek.3c). V říadě maximálně loché DP latí m, blíže viz. ka..5.. Příklad.3: Kmitočtové charakteristiky dolní rousti RLC. řádu Navrhněte dolní rousti RLC s arametry f m khz, Q,7. Zobrazte modulovou a argumentovou charakteristiku v obvodovém simulátoru Psice. Příklad.4: Kmitočtové charakteristiky dolní rousti RLC. řádu ro různé Q Vycházejíc z Příklad.3, zobrazte modulové a argumentové charakteristiky dolní rousti RLC. řádu ro různé hodnoty činitele jakosti Q,5 5. V obvodovém simulátoru Psice k tomu využijete arametrickou analýzu. Modulová kmitočtová charakteristika, určená vztahem (.6 ), je na Obrázek.3c. Její tvar závisí na hodnotě Q, která je dána ztrátami v obvodu LC (Obrázek.4). Běžně u dolních roustí je hodnota Q malá (,5 až ). Významná je hodnota Q.77, kdy modulová charakteristika je maximálně lochá (Butterworthova aroximace). Pro větší hodnoty Q se dolní roust chová jako nesymetrická ásmová roust. Hodnota řevýšení zisku je log Q (Obrázek.4). Činitel kvality má významný vliv i na další sledované charakteristiky (Obrázek.5). Obrázek.4: Modulová charakteristika DP.řádu ři různém normování. a) vzhledem k meznímu kmitočtu, b) vzhledem ke kmitočtu ólu.
Elektrické filtry 5 Obrázek.5: Vliv činitele jakosti na charakteristiku a) skuinového zoždění, b) fázovou, c) řechodnou..5. Normovaná dolní roust RLC Přenos naětí v normovaném tvaru dostaneme dosazením (.8 ) do (.6 ) () B B s s B K s Q s K s Q s K s m m m + + + Ω Ω + Ω + + K (.8 ) kde Ω je normovaný kmitočet ólů, normovaný k meznímu kmitočtu m. Ze vztahu (-6) vylývá ro řeočet koeficientů,, Ω Ω B Q Q B B m m (.9 ) nebo ro jinou modifikaci, oužívanou nař. v Tabulka 4.3,, m m B Q B B Ω (. ) Pro oačný řeočet ak ro kmitočet ólu latí, b b B B m m Ω (. ) a jeho kvalitu. b b b B B B Q (. ) Ze vztahu (. ) lze odvodit souvislost mezi kmitočtem mezním ( m res. f m ) a ólu (f ) ro různé druhy aroximací. Hodnoty normovaných koeficientů nalezneme v Tabulka 4.3 Snadno odvodíme ro aroximaci (ka. 4.3):
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Butterworthovu f m f, Besselovu f m,786 f, Čebyševovu (-3 db) f m,378 f. V této kaitole jsme oužili normování vzhledem k meznímu kmitočtu ( m ). Normovat však můžeme i vzhledem ke kmitočtu ólu ( ). Zavedeme normovaný kmitočet Ω ~ (.3 ) jiný než (.8 ). Na Obrázek.4 jsou ro orovnání uvedeny modulové charakteristiky normované dolní rousti ro obě možnosti normování, a to jak vzhledem k meznímu kmitočtu, tak i vzhledem ke kmitočtu ólu (rezonančnímu)..5.3 Horní roust RLC Horní roust RLC. řádu je duální k dolní rousti RLC, rozebírané v ředchozí ka..5.. Získáme ji záměnou cívky L (R) a kondenzátoru C v zaojení na Obrázek.3a. Přenosová funkce naětí má obecný tvar K( ) a b + b + b K + Q + (.4 ) Obrázek.6: Horní roust RLC. řádu a) zaojení obvodu, c) modulová charakteristika, b) rozložení ólů a nulových bodů, d) argumentová charakteristika..5.4 Pásmová roust RLC Různé realizace ásmových roustí RLC. řádu jsou na Obrázek.7. Jejich řenosová funkce je obecně K a Q K( ). (.5 ) b + b + b + Q + Parametry ásmové rousti (PP), oužité ve vztahu (.5 ) jsou dány následovně
Elektrické filtry 7 L R, Q (.6 ) LC R L rez s Obrázek.7:. řádu. Pásmové rousti RLC a) se sériovým rezonančním obvodem (s rezistorem R s ), b) s aralelním rezonančním obvodem (s rezistorem R ), c) s aralelním rezonančním obvodem a roudovým buzením. Vedle dvou komlexně sdružených ólů (Obrázek.8a) má PP. řádu jednu nulu v očátku souřadnic a druhou v nekonečnu. Modulová charakteristika (Obrázek.8b) je souměrná kolem, asymtoty mají sklon (± ) db/dek. Vliv činitele jakosti na tvar modulové charakteristiky je atrný z Obrázek.9a. Prousti se oužívají s větším Q, abychom dosáhli otřebnou selektivitu. Šířku řenášeného ásma B f h f d určujeme nejčastěji ro okles 3 db. Argumentové charakteristiky (Obrázek.9b) mají stejný tvar jako DP nebo HP, jen jsou osunuty (od + 9 o do - 9 o ). Kmitočtová závislost skuinového zoždění je tedy stejná jako na Obrázek.5a - závisí ouze na jmenovateli řenosu a to hlavně na hodnotě arametru Q. Obrázek.8: Pásmová roust. řádu. a) rozložení ólů a nulových bodů, b) modulová charakteristika
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obrázek.9: Vliv činitele jakosti na charakteristiky ásmové rousti. Přenosovou funkci ásmové rousti (.5 ) někdy s výhodou modifikujeme do normovaného tvaru K K s Q s Ω Ks (), + s + Ω s + Q s + s kde normovaná šířka ásma B Ω Ωh Ωd f. Činitel kvality určený z tvaru rezonanční křivky (Q Q ) f Q Ω B (.7 ) (.8 ) (.9 ).5.5 Obecný RLC obvod. řádu Obecný obvod.řádu - bikvad má řenosovou funkci n + + n a + a + a ( ) ( n )( n ) Qn K K K. b b b ( )( ) (.3 ) + + + + Q Dva reálné nebo častěji komlexně sdružené óly leží v levé olorovině a to z důvodu stability. Jejich arametry - kmitočet a kvalitu lze určit z následujících vztahů (i, ) i i ( Im i ) + ( Re i ), Qi, (.3 ) Re i Dva nulové body mohou být obecně umístněné v celé rovině. Pro ně obdobně latí ni ni ( Im ni ) + ( Re ni ), Qni, (.3 ) Ren i
Elektrické filtry 9.5.6 Pásmová zádrž RLC Jsou-li nulové body a óly bikvadu (.3 ) rozloženy na stejné kružnici (Obrázek.a), tedy když mají stejný kmitočet n, ak obvod má symetrickou modulovou charakteristiku (Obrázek.b) s nulovým řenosem (nekonečný útlum) na kmitočtu n. Tyto vlastnosti má ásmová zádrž. řádu s řenosem a ( ) + a K + K ( ). n b + b + b (.33 ) + + Q s arametry danými vztahy (.6 ). Obrázek.: Pásmová zádrž. řádu. a) rozložení ólů a nulových bodů, b) modulová charakteristika. Argumentové charakteristiky (Obrázek.b) mají tvar ro f < f n odovídající DP, ro f > f n ak HP, s inflexním bodem v f n. Vzhledem k tomu je kmitočtová závislost skuinového zoždění oět stejná (Obrázek.5a). Také i u tohoto tyu filtru má na růběh kmitočtových charakteristik značný vliv hodnota činitele jakosti ólu, jak je atrno z Obrázek.. Poznamenejme, že nulové body, ležící na imaginární ose (Obrázek.a) mají nekonečnou kvalitu. V reálném obvodě tomu tak nemusí být a útlum ak nebude nekonečný. Dvě možné realizace ásmové zádrže RLC. řádu jsou uvedeny na Obrázek.. Obrázek.: Vliv činitele jakosti na charakteristiky ásmové zádrže.
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obrázek.: Realizace ásmové zádrže RLC. řádu. a) se sériovým rezonančním obvodem, b) s aralelním rezonančním obvodem..5.7 Modifikovaná dolní roust RLC. řádu Posuneme-li nulové body na imaginární ose tak, že f n > f (Obrázek.3a), získáme modifikovanou dolní roust s nulovým řenosem na kmitočtu f n, místo v nekonečnu, jak je tomu u klasické DP. Budeme ji také nazývat dolní roustí s nulovým bodem řenosu (DPN) nebo DP s rejekcí na kmitočtu f n. Realizace takovéhoto RLC filtru je na Obrázek.3b nebo na Obrázek.3c. Rejekce signálu na určitém kmitočtu (f n ) je zde realizována buď sériovým nebo aralelním rezonančním obvodem, který signál buď zkratuje nebo neroustí. Tento ty filtru sojuje vlastnosti DP a PZ. Jeho řenos je obecně dán a + n K ( + n ) K ( ), n > (.34 ) + + + + Q Q Vztah mezi kmitočty f n, f a očáteční řenos K je ro zaojení na Obrázek.3c určen velikostí jednotlivých indukčností. To se dá ostihnout řes v (.34 ) zavedený arametr a následujícím zůsobem L n, K K( ) a, a (, ). (.35 ) a L + L Poznamenejme, že obdobné vztahy latí ro zaojení na Obrázek.3b, v tomto říadě ro kaacitory. Modulová charakteristika, v normovaném tvaru, ro různé arametry Q a a, je na Obrázek.4. Čím více bude vzdálen nulový bod (nerovnost f n > f bude větší, arametr a menší), tím více se charakteristika bude blížit tvaru klasické DP z Obrázek.4. Obrázek.3: Modifikovaná dolní roust RLC. řádu. a) rozložení ólů a nulových bodů, b) zaojení se sériovým rezonančním obvodem, c) zaojení s aralelním rezonančním obvodem.
Elektrické filtry Obrázek.4: Modulové charakteristiky modifikované dolní rousti. a) ro konstantní arametr a K( ), - db a různé Q, b) ro konstantní Q 3 a různý arametr a.5.8 Modifikovaná horní roust RLC. řádu Duální k DPN je modifikovaná horní roust RLC. řádu (HPN). Má obecný řenos + a n K ( ), n a, n <, K() a <. (.36 ) + + Q Kmitočtové charakteristiky HPN mají zrcadlový růběh k DPN (Obrázek.4). Realizace HPN získáme z DPN (Obrázek.3), záměnou L a C. Tyto modifikované rousti. řádu HPN a DPN jsou základem složitějších elitických Cauerových filtrů, vyznačujících se větší strmostí modulové charakteristiky ři nižším řádu filtru, blíže viz ka. 4.3.3..5.9 Všeroustný fázovací bikvad RLC Všeroustný fázovací bikvad (fázovací článek) má nulové body umístěny v ravé olorovině symetricky ku dvěma komlexně sdruženým ólům (Obrázek.5a) σ j~, ± n σ j~, ±,. (.37 ) Jedná se tedy o obvod s neminimální fází. Jeho řenos lze vyjádřit v obecném tvaru b b Q + + K( ). (.38 ) + b+ b + Q + Čitatel a jmenovatel jsou shodné až na znaménko u druhého členu olynomu. Modul řenosu je konstantní a argument (fáze) se s kmitočtem mění monotónně (ka. 9.). Realizace takovéhoto fázovacího bikvadu LCR obvodem ve tvaru křížového (X) článku je na Obrázek.5b. Jeho návrh můžeme rovést z následujících rovnic Rb R b L, C, L, C, b Rb b Rb (.39 ), ~ b σ b σ +.
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Nevýhodou je značný očet součástek L a C. V ka. 9..4 se seznámíme s vhodnějším aktivním obvodem RC s oeračním zesilovačem. Obrázek.5: Všeroustný fázovací bikvad LCR. a) rozložení ólů a nulových bodů, b) obvodová realizace křížovým článkem..5. Porovnání kmitočtových charakteristik základních roustí Na závěr této kaitoly jsou na Obrázek.6 orovnány modulové i argumentové charakteristiky nejoužívanějších základních roustí DP, PP a HP. Všimněte si hlavně růběhu charakteristik argumentových. Všechny mají stejný tvar, jen jsou osunuty. Každý tento obvod. řádu natočí maximálně fázi o 8 o avšak v jiném rozsahu, nař. PP: od + 9 o do - 9 o. Kmitočtová závislost skuinového zoždění bude tedy u všech roustí stejná, závisí ouze na jmenovateli řenosu. Přiomeňme, že ta to hlavně na hodnotě arametru Q. Obrázek.6: Porovnání kmitočtových charakteristik bikvadů. a) modulových, b) argumentových..6 Kontrolní otázky ku kaitole. Pojednejte o účelu a dělení filtrů. Nakreslete modulové charakteristiky různých roustí.. Odvoďte modulovou a argumentovou charakteristiku dolní rousti RC. řádu. Nakreslete jejich tyický růběh a uveďte důležité arametry. 3. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů dolní rousti RLC.řádu. Uveďte její řenos a arametry.
Elektrické filtry 3 4. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů horní rousti RLC.řádu. Uveďte její řenos a arametry. 5. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů naěťově buzené ásmové rousti RLC.řádu. Uveďte její řenos a arametry. 6. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů roudově buzené ásmové rousti RLC.řádu. Uveďte její řenos a arametry. 7. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů ásmové zádrže.řádu se sériovým obvodem LC. Uveďte její řenos a arametry. 8. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů ásmové zádrže.řádu s aralelním obvodem LC. Uveďte její řenos a arametry. 9. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů modifikované (elitické) dolní rousti.řádu s nulovým řenosem na určitém kmitočtu. Uveďte její řenos a arametry.. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů modifikované (elitické) horní rousti.řádu s nulovým řenosem na určitém kmitočtu. Uveďte její řenos a arametry.. Jak je definován všeroustný fázovací bikvad? Nakreslete modulovou a argumentovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů. Nakreslete schéma jeho realizace křížovým LC obvodem. 3 Pasivní filtry RC Cíle kaitoly: Stručnou formou seznámit studenty s účelem, rinciem, dělením a vlastnostmi základních tyů asivních filtrů RC. Test ředchozích znalostí. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů dolní rousti RC. řádu.. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů horní rousti RC. řádu. 3. Účel a oužití asivních filtrů RC Pasivní filtry RC samostatně vykazují jen slabě selektivní vlastnosti. Můžeme z nich sestavit jen nekvalitní filtry a to všech dříve uvedených tyů DP, PP, HP, PZ. Využijeme je však jako vhodných stavebních odobvodů v aktivních filtrech ARC. 3. Pasívní filtry RC. řádu V Tabulka 3. je uveden řehled základních asivních dolních a horních roustí RC. řádu s odvozeným řenosem naětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení ólů a nulových bodů a asymtotickým vyjádřením modulových charakteristik. Příklad 3.: Dolní roust DP-RC-B Odvoďte řenos naětí K() dolní rousti DP-RC-B Tabulka 3.. Příklad 3.: Horní roust HP-RC-A Odvoďte řenos naětí K() horní rousti HP-RC-A Tabulka 3..
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Tabulka 3.: Přehled asivních filtrů RC. řádu
Elektrické filtry 5 Tab. 3.. okračování (část )
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 3.3 Pasivní filtry RC. řádu V Tabulka 3. je uveden řehled nejoužívanějších asivních filtrů RC. řádu s odvozeným řenosem naětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení ólů a nulových bodů a asymtotickým vyjádřením modulových charakteristik. Tabulka 3.: Přehled asivních filtrů RC. řádu
Elektrické filtry 7 Tab. 3.. okračování (část )
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Tab. 3.. okračování (část 3) Příklad 3.3: Pásmová roust PP-RC-B Odvoďte řenos naětí K() ásmové rousti PP-RC-B Tabulka 3.. Příklad 3.4: Porovnání různých ásmových roustí Pomocí obvodového simulátoru PSice orovnejte modulové charakteristiky tří různých ásmových roustí PP-RC-A, PP-RC-B a PP-RC-W Tabulka 3., ři hodnotách součástek: R R kω, C C nf. Příklad 3.5: Pásmová zádrž PP-RC-W Pomocí rogramu SNAP odvoďte řenos naětí K() (v symbolickém tvaru) ásmové zádrže PP-RC-W Tabulka 3.. Zobrazte její modulovou charakteristiku ři hodnotách součástek: R R kω, C C nf. Příklad 3.6: Přemostěný T-článek RC Pomocí obvodového simulátoru PSice a vhodně oužité arametrické analýzy rostudujte vliv arametru (a) u rogresivního souměrného řemostěného T-článku PZ-RC-PT-A Tabulka 3.. Příklad 3.7: Dvojitý T-článek RC Pomocí rogramu SNAP odvoďte řenos naětí K() (v symbolickém tvaru) souměrného dvojitého T-článku PZ-RC-DT Tabulka 3.. Zobrazte její modulovou charakteristiku ři hodnotách součástek: R R kω, R 3 5 Ω, C C nf, C 3 nf.
Elektrické filtry 9 3.4 Pasívní filtry RC 3. řádu V Tabulka 3.3 jsou uvedeny dolní a horní roust RC 3. řádu s odvozeným řenosem naětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení ólů a nulových bodů a asymtotickým vyjádřením modulových charakteristik. Tabulka 3.3: Přehled asivních filtrů RC 3. řádu Příklad 3.8: Přemostěný T-článek RC Pomocí obvodového simulátoru PSice zobrazte (ro orovnání vhodně v jednom grafu) modulové charakteristiky jednoho, dvou a tří kaskádně zařazených shodných DP-RC článků, ři hodnotách součástek: R kω, C nf. 3.5 Kontrolní otázky a říklady ku kaitole 3. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů dolní rousti RC.řádu. Uveďte obecný tvar jejího řenosu.. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů horní rousti RC.řádu. Uveďte obecný tvar jejího řenosu. 3. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů ásmové rousti RC.řádu. Uveďte obecný tvar jejího řenosu. 4. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů Wienovy ásmové rousti RC.řádu. 5. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů Wienovy ásmové zádrže RC.řádu. 6. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů souměrného řemostěného T-článku RC.
3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení ólů a nulových bodů souměrného dvojitého T-článku RC. 4 Pasivní filtry LC(R) vyšších řádů Cíle kaitoly: Seznámit studenty se zadáváním ožadavků a secifikací filtrů vyšších řádů. S oužívanými aroximacemi, s kmitočtovou transformací a normováním. S omůckami ro návrh, s katalogy a rogramy. Naučit studenty navrhnout filtry asivních říčkových struktur LC(R) a filtry s vázanými rezonančními obvody. Test ředchozích znalostí. Jak vyadá obecná řenosová funkce filtru vyšších řádů z matematického ohledu?. Definujte charakteristickou funkci filtrace. 3. Vysvětlete rinci kmitočtového normování. 4. Jak určíme řád obvodu s minimální fází? 4. Princi, účel a oužití filtrů LC(R) vyšších řádů Zvětšení strmosti řechodu modulové charakteristiky jsme si ukázali na dolní rousti. a. řádu (ka..5.). Záměnou kmitočtově závislého induktoru L za nezávislý rezistor R jsme získali strmější filtr. Obecně latí, že strmost filtru je dána jeho řádem (n * db/dek). Důraznější oddělení roustného a neroustného ásma dosáhneme u filtrů LC(R) vyšších řádů, které můžeme získat jednoduše kaskádním nebo složitějším řazením již uvedených obvodů. a. řádu nebo jiných odobvodů (článků) z Tabulka 4.. Syntéza není jednoduchá, rotože odobvody se vzájemně ovlivňují. Nejčastěji se tyto filtry vyskytují ve formě říčkové struktury, vhodně složené z článků LC (Tabulka 4.) a zakončené stejnými zatěžovacími rezistory, někdy však tato shodnost není možná nebo ožadována. Tabulka 4.: Základní tyy odobvodů říčkových struktur filtrů LC(R). Libovolně složitý filtr LC(R) má naěťový řenos v obecném tvaru racionálně lomené funkce (. ). Zvláštní skuinu tvoří jednodušší olynominální filtry (all-ole), které mají všechny nulové body v nekonečnu a tedy olynom ouze ve jmenovateli (. ), odadá u nich nastavení konečných hodnot nulových bodů, dosahují však menší strmost ásma
Elektrické filtry 3 řechodu. Často ve filtrech racujeme s relativním řenosem (.3 ) (vzhledem ku K o ), ziskem vyjádřeným v db (.3 ), oříadě útlumem (.4 ), což je inverzní hodnota řenosu. Při návrhu filtrů vycházíme ze zadaného tolerančního schématu (ole). Pro zadané toleranční ole vybereme určitou aroximující funkci, ta musí robíhat ve vymezeném kanálu. Podle zůsobu aroximace ak rozlišujeme různé tyy filtrů uvedené v ka. 4.3. Butterworthovy filtry (ka.4.3.) se vyznačují maximálně lochou modulovou charakteristikou v roustném ásmu. Toho se dosahuje na vrub malé strmosti řechodu mezi ásmy a nelineární argumentové charakteristiky. V řadě raktických oužití však tyto filtry nacházejí široké ulatnění (atří mezi obvodově nejjednodušší). Větší strmost mají filtry Čebyševovy (ka. 4.3.), které jsou založeny na izoextremální aroximaci (zvlnění) v roustném ásmu. Cauerovy filtry (ka. 4.3.3) umožňují dosáhnout ři stejném řádu největší strmost modulové charakteristiky, zvlnění je jak v roustném tak i neroustném ásmu. Tyto filtry se nehodí ro řenos imulsů, z důvodu značných řekmitů řechodné charakteristiky, také fázová charakteristika je velmi nelineární (skuinové zoždění je značně zvlněné). Oačné vlastnosti, tedy konstantní skuinové zoždění, mají filtry Besselovy. Při návrhu filtrů oužíváme kmitočtové a imedanční normování, jehož výsledkem jsou normované hodnoty součástek (ka. 4. ). V katalozích jsou tabelizovány normované dolní rousti (NDP) různého řádu a tyu aroximací. Proto zadané toleranční schéma (ole) ožadovaného tyu filtru (nař. PP) transformujeme a normujeme na toleranční ole NDP. K němu v katalogu vybereme obvodovou strukturu NDP. V dalším kroku ak řecházíme, zětnou kmitočtovou transformací a odnormováním, z NDP na ožadovaný ty filtru (nař. PP), což odrobně robereme v ka. 4.4. 4. Normování a transformace Jak jsme již uvedli v ředchozí ka. 4., ři návrhu asivních filtrů RLC s výhodou oužíváme kmitočtové a imedanční normování a transformace různých tyů filtrů (DP, PP, HP, PZ) na NDP. Zjednoduší se tím výrazně odklady ro návrh, nař. katalogy filtrů. Kmitočtové normování jsme zavedli v ka..3 a je definované vztahy (.8 ). Solečné kmitočtové a imedanční normování lze definovat následovně R L r, l, c CR. ( 4. ) R R Zde R o je normující odor (nař. zatěžovací R z ), o je normující (nař. mezní) kmitočet. Výsledkem jsou normované hodnoty součástek, označované malými ísmeny. V katalozích (nař. [ 6] nebo Tabulka 4.6) jsou tabelizovány normované dolní rousti (NDP) různého řádu a tyu aroximací. Proto zadané toleranční shéma (ole) ožadovaného tyu filtru (nař. PP) transformujeme a normujeme dle Obrázek 4. na toleranční ole NDP (blíže ka. 4.4.). K němu navrhneme (ka. 4.4.4) obvodovou strukturu NDP. Kmitočtovou transformací a odnormováním, stručně zachyceným v Tabulka 4., ak řecházíme z NDP na ožadovaný ty filtru, v našem říadě na PP ( blíže ka. 4.4.5).
3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obrázek 4.: Transformace tolerančních olí různých tyů filtrů. DP, PP, HP a PZ na toleranční ole NDP. V říadě zadání šířky ásma ( ) u geometricky souměrných PP nebo PZ lze vyočítat dolní a horní kmitočet c res. s dle následujícího vztahu, + ( ) ± ( 4. ) Poznamenejme, že jen u velmi úzkého ásma lze geometrickou souměrnost nahradit jednodušší souměrností aritmetickou. Příklad 4.: Transformace tolerančního schématu ásmové zádrže Toleranční schéma ásmové zádrže: f c khz, f c 6 khz, A c db, f s 3 khz, f s 4 khz, A s 4 db, transformujte na normovanou dolní roust. Nakreslete obě toleranční schémata.
Elektrické filtry 33 Tabulka 4.: Transformace a odnormování normované dolní rousti. K získání zaojení ožadovaného tyu filtru (DP, PP, HP, PZ).
34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 4.: Transformace tolerančního schématu ásmové rousti Toleranční schéma ásmové rousti: s rad/sec, s 7 rad/sec, A s 3 db, c 3 rad/sec, c 6 rad/sec, A c 3 db, transformujte na normovanou dolní roust. Nakreslete obě toleranční schémata. Příklad 4.3: Transformace tolerančního schématu ásmové rousti Toleranční schéma ásmové rousti: f m 9 Hz, f m Hz, K m - 3 db, f 8 Hz, f Hz, K -4 db, transformujte na normovanou dolní roust. Nakreslete obě toleranční schémata. 4.3 Tyy filtrů dle oužité aroximace Pro zadané toleranční ole res. útlumový lán (Obrázek 4.) vybíráme určitou aroximující funkci. V ka. 4. jsme stručně uvedli ty nejoužívanější. Teď si je odrobně rozebereme. Poznamenejme, že odle zvolené aroximace ak rozlišujeme a nazýváme i různé tyy filtrů. Na Obrázek 4. jsou uvedeny tyické růběhy kmitočtových charakteristik základních tyů filtrů. Tyické charakteristické rysy by jste si měli důkladně zaamatovat! Obrázek 4.: c) d) e) Kmitočtové charakteristiky základních tyů filtrů a) Butterworthův filtr, b) Čebyševův filtr, c) inverzní Čebyševův filtr, d) Cauerův filtr, e) Besselův filtr a jeho srovnání s Butterworthovým. 4.3. Butterworthova aroximace Charakteristickou funkci filtrace (.5 ) lze vyjádřit ve tvaru olynomu n F( Ω ) β + βω +... β nω. ( 4.3 ) U Butterworthových (olynominálních) filtrů je tato funkce nahrazena jednodušším vztahem (mocninová aroximace) n F( Ω ) +ε Ω ( 4.4 ) kde ε je arametr odovídající šířce kanálu v roustném ásmu ((Obrázek 4.3a)
Elektrické filtry 35 Obrázek 4.3: Butterworthův filtr. a) Parametry útlumové charakteristiky, b) rozložení ólů (nulové body jsou v nekonečnu), c) modulové charakteristiky různých řádů, d) řechodné charakteristiky ro různý řád, d) charakteristiky skuinového zoždění ro různý řád. ε, Amax. ( 4.5 ) Běžně ro Amax A( fc ) 3, db ε. ( 4.6 ) Přenosová funkce filtru má ak ro různý řád následující jmenovatele D () s + s D () s + + s ( )( ) D () s + s+ s + s + s + s+ s 3 3 Další koeficienty jsou až do -tého řádu uvedeny v Tabulka 4.3 Modulová charakteristika K K( Ω) n + ε Ω je v roustném ásmu maxiálně lochá (Obrázek 4.3)a, c. ( 4.7 ) ( 4.8 )
36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4.3. Čebyševova aroximace Čebyševova aroximace je izoextremální aroximace, kdy funkce filtrace (.5 ) je vyjádřena vztahem F( Ω ) +ε T n ( Ω), ( 4.9 ) kde arametr ε (dovoleného zvlnění v roustném ásmu) je dán vztahem ( 4.5 ). Čebyševovy olynomy jsou obecně definovány následovně T n ( Ω) cos( nar cosω), Ω, ( 4. ) T ( Ω ) cosh( narcosh Ω ), Ω >. ( 4. ) n Absolutní hodnota olynomu ( ) T n Ω ro Ω kmitá mezi nulou a jedničkou ( 4. ). Aroximace se roto nazývá izoextremální. Pro Ω>hodnota monotónně narůstá ( 4. ). Obrázek 4.4: Čebyševův filtr. a) Parametry útlumové charakteristiky, b) rozložení ólů (nulové body jsou v nekonečnu), c) modulové charakteristiky sudých řádů, s dovoleným zvlněním v roustném ásmu 3 db, d) jejich detail v roustném ásmu. Modulová kmitočtová charakteristika (Obrázek 4.4) je dána vztahem αk K( Ω), + ε ( Ω) T n Ω ( 4. )
Elektrické filtry 37 kde α, n liché α + ε, n sudé Přesné hodnoty normovaných koeficientů B i jmenovatele řenosové funkce (. ) jsou oět uvedeny v Tabulka 4.3. 4.3.3 Cauerova aroximace Cauerova aroximace je charakteristická zvlněním v roustném i neroustném ásmu (obr. 4.6a), nulovým řenosem (nulovými body) na konkrétním kmitočtu (Obrázek 4.5b). Funkce filtrace (.5 ) je aroximována vztahem F( Ω ) +ε R n ( Ω), ( 4.3 ) Parametr dovoleného zvlnění ε je dán oět vztahem ( 4.5 ). Racionálně lomená funkce R n (Ω) je dána Jacobiho elitickým dvojrozměrným sinem sn modulu d ( 4.5 ) a argumentu u, který je určen elitickými integrály K(d),K(k) ( 4.4 ), což je odrobněji rozebráno v [ ]. R ( Ω ) n sn ( nud ). Kd u ( ) Kk F ( arsinω ( ) d ) ( 4.4 ) Útlumový činitel (diskriminační faktor), A S d ( 4.5 ), AC. Činitel selektivity (k) je dán vztahem ( 4. ). Modifikovaný činitel selektivity, jako dolňkový faktor, je ak k 4 d k ( 4.6 ) Modulární činitel (zavedený v teorii elitických integrálů) 5 9 3 q q + q + 5q + 5q kde kd ( 4.7 ) q + kd. Obrázek 4.5: Cauerův filtr. a) Útlumová charakteristika, b) rozložení ólů a nulových bodů 4.3.4 Besselova aroximace Besselovy (Thomsonovy) filtry mají říznivější růběh řechodové charakteristiky, konstantní skuinové zoždění a lineární růběh fázové charakteristiky, v širokém kmitočtovém ásmu, jak ještě ukážeme v ka. 4.3.6. Navržen je tak, aby skuinové zoždění bylo konstantní τ ( Ω) konst. ro Ω.
38 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Normované skuinové zoždění (vzhledem k meznímu kmitočtu ) τ ( Ω) m τ τ π τ N ( Ω) f m ( Ω) ( Ω). ( 4.8 ) Tm V řenosu tohoto olynominálného filtru (. ) jsou koeficienty B i dány Besselovými olynomy [ ] ( N i B ) i N i ( N )!!. ( 4.9 ) Jejich normované hodnoty (do n ) jsou oět uvedeny v Tabulka 4.3 Obrázek 4.6: Besselův filtr. a) modulové charakteristiky, b) řechodné charakteristiky, c) charakteristiky skuinového zoždění. 4.3.5 Další aroximace Inverzní Čebyševova aroximace má lochou modulovou charakteristiku (Obrázek 4.7a) v roustném ásmu a zvlněnou v ásmu tlumení, s výraznými rejekcemi (nulovými body). Má leší fázové vlastnosti a řechodnou charakteristiku (Obrázek 4.7b) téměř stejné jako u odovídající Butterworthovy aroximace a to za cenu větší složitosti filtru. Můžeme ji navrhnout (inverzně) s využitím vztahů ro klasickou Čebyševovu aroximaci. Tranzitivní Besselova-Butterworthova aroximace je komromisem mezi lešími vlastnostmi Besselovy a větším útlumem v neroustném ásmu Butterworthovy aroximace. Míru komromisu volíme hodnotou tranzitivního arametru. Leších útlumových vlastností dosáhneme i ři lineární fázové charakteristice u tranzitivních aroximací s nulami řenosu, nař. s aroximací Feistelovou - Unbehauenovou.
Elektrické filtry 39 Obrázek 4.7: Inverzní Čebyševova aroximace různého řádu a) Modulové charakteristiky, b) řechodné charakteristiky 4.3.6 Srovnání různých aroximací Na závěr této kaitoly rovedeme na dvou říkladech srovnání zavedených aroximací. Na Obrázek 4.8 jsou uvedeny útlumové charakteristiky horních roustí různého řádu a tyu aroximace. Z něj je atrné, že Cauerův filtr 3. řádu dosahuje řibližně stejné strmosti jako Čebyševův filtr 4. řádu a Butterworthův filtr 7. řádu. Obrázek 4.8: Charakteristiky HP různého řádu a tyu aroximace. Porovnání charakteristik různých tyů olynominálních filtrů 4. řádu je na Obrázek 4.9. Nejstmější je zde Čebyševův filtr. Strmější by byl Cauerův filtr (není však olynominální), u něhož modulová charakteristika neklesá monotoně (zvlnění v neroustném ásmu). Z růběhu skuinového zoždění (Obrázek 4.9d) je zřejmá výhoda Besselových filtrů. Ze srovnání řechodových charakteristik (Obrázek 4.9b) je zřejmé, že tyto filtry jsou vhodné k řenosu imulsů.