Desky. Petr Kabele. Pružnost a pevnost 132PRPE Přednášky. Deska/stěna/skořepina, desky základní předpoklady, proměnné a rovnice

Transkript

1 Pružnost a pevnost 13PRPE Přednášk Desk Deska/stěna/skořepina, desk ákladní předpoklad, proměnné a rovnice Petr Kabele České vsoké učení technické v Prae Fakulta stavební

2 Úvod Přemístění, deformaci a napjatost elastického tělesa v prostoru popisuje 15 složek veličin, které jsou funkcemi prostorových souřadnic,,. Vtah mei těmito veličinami jsou dán parciálními diferenciálními a lineárními rovnicemi. Velmi složitá úloha snažíme se o jednodušení snížením počtu veličin,,,,,,, redukcí dimene úloh,,, P. Kabele

3 Úvod Liniový konstrukční prvek - prut: Prvek, jehož jeden roměr (délka) převládá nad ostatními. Základní tp namáhání prutu: Tah/tlak Ohb Kroucení P. Kabele 3

4 Úvod Plošné konstrukční prvk: Prvek plochého tvaru. Le definovat jeho střednicovou plochu. Roměr ve směru kolmém na střednicovou plochu je výraně menší než roměr podél této ploch. S rovinnou střednicovou plochou: desk a stěn. Se akřivenou střednicovou plochou: skořepin P. Kabele 4

5 Úvod Příklad skořepin James S. McDonnell Planetarium - želeobeton (1963) B The original uploader was Agent-88 at English Wikipedia [FAL], via Wikimedia Commons Chladicí věže JETE - želeobeton (000-00) Od User:Japo (Fotografie je vlastním dílem) [Public domain], prostřednictvím Wikimedia Commons Kresge Auditorium, MIT - želeobeton (1956) B The original uploader was Daderot at English Wikipedia (Transferred from en.wikipedia to Commons.) [GFDL or CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons George Nakashima Arts Building and Cloister - dřevěná překližka (1967) Více na P. Kabele 5

6 Úvod Deska vs. stěna Deska... atížení a reakce od podepření působí na kolmo na střednicovou rovinu. Stěna... atížení a reakce od podepření působí ve střednicové rovině P. Kabele 6

7 Desk Desk ákladní předpoklad Kirchhoffova hpotéa: úsečk, které jsou kolmé ke střednicové rovině v nedeformovaném stavu desk, ůstávají kolmé ke střednicové ploše i v deformovaném stavu P. Kabele 7

8 Desk Rodělení deformace po objemu desk V důsledku Kirchhoffov hpoté jsou nenulové poue složk deformace,,. Tto složk mají po tloušťce desk lineární průběh a můžeme je vjádřit v ávislosti na. derivacích průhbu, (křivostech).,,,,,,,,,, P. Kabele 8

9 Desk Rodělení napětí po objemu desk Za složk napětí můžeme vjádřit pomocí materiálových rovnic (de předpokládáme lineárně elastické chování materiálu):! 1# $#! 1# $# % I napětí je pak roděleno po tloušťce desk lineárně: P. Kabele 9

10 Desk Vnitřní síl v desce Podobně jako u prutu vjádříme vnitřní síl jako výsledné účink napětí po tloušťce desk. σ Měrné ohbové moment: m h = h σ d m h = σ d h Měrné krouticí moment: m h = h τ d m ( m = m ) h = h τ d Měrné ohbové a krouticí moment vjadřují intenit vtažené na jednotku šířk desk P. Kabele 10 σ m τ m m τ m m m m m

11 Desk S vužitím materiálových rovnic a vtahů mei deformacemi a průhbem můžeme vjádřit vnitřní síl: +, & '! 1# $# ) * $# -+, +, & '! 1# $# ) * $# -+, +, & ' % ) 1# * -+, *!h / 1 1#... desková tuhost P. Kabele 11

12 Desk Z podmínek rovnováh v bodě kontinua ve směrech os a vplývá, že v desce musí vnikat i smková napětí a, jejichž výslednicemi jsou měrné posouvající síl. +, 0 1 ) 0 1 ), - + +, - +, q m q m m Tto podmínk vedou i na vtah mei měrnými posouvajícími sílami a moment: m m m q m q m & $& 0 & $& P. Kabele 1

13 Desk Desková rovnice Ze bývající podmínk rovnováh ve směru os a eliminací měrných posouvajících sil obdržíme statickou rovnici desk: m m f = 0 m f (, ) Substitucí dříve odvoených vtahů do statické rovnice ískáme tv. deskovou rovnici... diferenciální rovnici pro průhb desk: * $ $ P. Kabele 13

14 Desk Okrajové podmínk Desková rovnice je parciální diferenciální rovnice 4. řádu. Pro naleení partikulárního řešení je třeba v každém bodě na obvodě desk definovat okrajové podmínk. Např.: vetknutí n kloubové podepření t n & volný okraj t n & 5 0 & 57 8 $ P. Kabele 14 t

15 Desk Příklad: Určete okrajové podmínk pro obraenou desku & 0 & 0 & $0 0 & 0 & $ P. Kabele 15

16 Desk Příklad: Určete okrajové podmínk pro obraenou desku. 0 & 0 * $# 0 & 0 & $ & 0 * $# 0 & $0 0 * $# 0 $ 0 1# * * $# 1# * $ * $# P. Kabele 16

17 Desk Shrnutí řídících rovnic Průhb Vnější síl Geometrické rovnice Statické rovnice Křivosti Zobecněné materiálové rovnice Měrné moment P. Kabele 17

18 Desk Shrnutí řídících rovnic D w w w + + f = m m f = 0 m,, & * $# & * # $ & * 1# &,&,& P. Kabele 18

19 Desk Postup řešení 1) Vřešíme deskovou rovnici s okrajovými podmínkami analtick (ve speciálních případech) numerick (např. metodou sítí, metodou konečných prvků): * $ $3 3 0 & O.P., ) Pomocí kinematických rovnic určíme křivosti:,,, 3) Pomocí obecněných materiálových rovnic a podmínek rovnováh určíme měrné moment a posouvající síl: &, * $# &, * # $ &, * 1# 0?@ A $?@ AB?? 0?@ AB $?@ B?? q P. Kabele m 19 m q m m q m m q m m

20 Desk 4) Vpočteme rodělení deformace pomocí křivostí:,,,,,, 5) Vpočteme rodělení napětí:,,! 1# $# 1 & h /,,! 1# $# 1 & h /,, % 1 & h / Etrém nastávají na horním a dolním povrchu desk. σ τ τ σ P. Kabele 0

21 Desk 6) Dopočteme smková napětí od měrných posouvajících sil,,! h 4 8 1# / $/ / τ 3 h 1 h F,,! h 4 8 1# / $/ / τ σ τ τ σ 3 h 1 h F Etrém nastávají na střednicové rovině desk P. Kabele 1

22 Porovnání prut - deska Základní předpoklad a proměnné Prut Deska - ohb - ohb - kroucení G,!H ) 3 ) 3 ) G %H I ) 0 * 3 3 $ 3 $ P. Kabele

23 Porovnání prut - deska Prut - ohb - kroucení Výnamné složk napětí a vnitřní síl Deska - ohb τ σ [Pa] τ σ τ τ [Pa] M M V [N, N.m] P. Kabele 3 m q m m m q [N/m, N.m/m]

24 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Pružnost a pevnost pro student Stavební fakult ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chb. Autor srdečně děkuje kolegům doc. Jitce Bittnarové a prof. Milanovi Jiráskovi a to, že mu laskavě posktli své přednáškové materiál jako droj nejen inspirace, ale i některých formulací, obráků a příkladů. Datum poslední revie: P. Kabele 4