Contribution to Stability Analysis of Nonlinear Control Systems Using Linearization Vyšetřování stability nelineárních systémů metodou linearizace

Transkript

1 XXIX. ASR '4 Semi, Istumets Cotol, Ostv, Apil, 4 6 Cotibutio to Stbility Alysis o Nolie Cotol Systems Usig Lieiztio Vyšetřováí stbility elieáích systémů metoou lieizce GAHURA, Pet Ig., VUT FSI v Bě, Ústv utomtizce iomtiky, Techická, Bo, ghu@post.cz Abstkt: Stbilit je ejůležitější vlstostí egulčích obvoů, ť už lieáích ebo elieáích. Stbilit elieáích systémů je šioký pojem, kteý se v zásě olišuje o běžého pojetí stbility u lieáích systémů. Po učeí stbility elieáích systémů existuje ř meto. V tomto příspěvku se bueme pooběji zbývt metoou lieizce. Teto způsob řešeí vypcovl A.M. Ljpuov řeší lokálí stbilitu ovovážých stvů elieáích systémů pomocí lieizce systému v blízkém okolí těchto ovovážých stvů. Můžeme vyjít z přestvy, že z učitých přepoklů se bue elieáí systém při mlých ochylkách o ovovážého stvu chovt poobě jko jeho lieáí poximce. Výslekem lieizce jsou soustvy lieáích ieeciálích ovic, pomocí jejichž vlstostí pk posuzujeme vlstosti vyšetřového elieáího systému. Cílem tohoto příspěvku je sestvit tbulku, z kteé by jsme mohli so učit zlieizovou ovici siguláí boy po ejpoužívější elieáí ovice uhého řáu tím tké poměě so usuzovt o stbilitě ovovážých stvů. Klíčová slov: stbilit elieáích systémů, meto lieizce, siguláí boy, zlieizová ovice Úvo Nelieáí systémy jsou složey obvykle z ůzých lieáích elieáích čleů. Tyto čley mohou být popsáy buď lgebickými ovicemi ebo ieeciálími ovicemi. Nelieáí systémy obshují obvykle ůzé lieáí čley jeu ebo větší počet elieit. V elieáích systémech může vzikout velké možství ůzých jevů, kteé se evyskytují v systémech lieáích. U lieáích systémů pltí picip supepozice poto můžeme k popisu použít opeátoového ekvečího přeosu, ekvečí chkteistiky ebo oezvy speciický či obecý vstupí sigál. Je li lieáí systém stbilí, je stbilí z všech počátečích pomíek. Chováí elieáího systému je mohem komplikovější. Nelieáí systémy mohou být při učitých počátečích pomíkách stbilí při jiých počátečích pomíkách estbilí. Ze již epltí picip supepozice, poto již emůžeme využít opeátoových ekvečích meto. Rověž popis systému oezvou speciický ebo obecý vstupí sigál je evýhoý, potože chováí závisí typu sigálu jeho pmetech.

2 XXIX. ASR '4 Semi, Istumets Cotol, Ostv, Apil, 4 6 Nebuzeý elieáí systém může mít libovolý počet ovovážých stvů, mohou v ěm vzikout ustáleé kmity, kteé se zývjí smovolě buzeé kmity ebo utooscilce. Ty ejsou vybuzey vějším peioickým sigálem, le jsou áy je vlstostmi ebuzeého systému. V ěkteých systémech mohou vzikout kvzipeioické kmity ebo chotické chováí viz []. Vyšetřováí stbility metoou lieizce Nelieáí utoomí obvo - tého řáu lze popst elieáí ieeciálí ovicí - tého řáu ebo soustvou ovic.řáu, v ichž eí explicitě vyjáře čs. x x ( x, x, x,..., x ( x, x, x,..., x LLLLL x ( x, x, x,..., x ( ebo v mticovém tvu x (x ( ke x, x jsou - ozměé vektoy vektoová ukce -poměých. Řešeí systému ( ebo ( je áo tjektoií v ozměém stvovém postou. Rovovážé stvy systému jsou v postou, ke pltí (x (x (x.. (x, eboli (x, potože v ovovážém stvu jsou ychlosti změ všech souřic ulové tj. x x... x tyto boy jsou siguláími boy soustvy ovic ( či (. Jejich hooty stovíme řešeím systému elieáích lgebických ovic. U lieáího systému je (x lieáí ukcí x soustvu ovic ( lze psát ve tvu x Ax. Z přepoklu, že et A, je řešeí x. Po tkový lieáí systém pk existuje jeiý ovovážý stv počátek stvového postou. U elieáího obvou může existovt větší počet ovovážých stvů, potože (x může mít větší počet řešeí větší počet siguláích boů. Rovovážé stvy mohou být stbilí ebo estbilí pole toho, bue li se stvová tjektoie s čsem t k tomuto bou blížit ebo se o ěho vzlovt. Stbilitu ovovážých stvů ve smyslu Ljpuov můžeme po ý elieáí systém vyšetřit tk, že jeho ovici lieizujeme v okolí kžého ovovážého stvu zjišťujeme stbilitu áhího lieáího systému. Je li tto lieizce přípustá, pk se elieáí systém chová v okolí ovovážého stvu (tj. siguláího bou poobě jko systém lieizový. Vyšetřeí stbility lieizového systému pltí i po elieáí systém. Ovšem pouze v okolí siguláího bou, je to tey lokálí stbilit čili stbilit v mlém. Je li možo ukce i v soustvě ( ozvést v Tyloovu řu kolem kžého siguláího bou, lze pk po tkový libovolý siguláí bo psát

3 XXIX. ASR '4 Semi, Istumets Cotol, Ostv, Apil, 4 6 t x x... t ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x o x ( ebo v mticovém tvu t ( x - x J( x ( x - x (4 ke ( L M M M J x (5 M M M L je Jcobiho mtice, o íž jsou z všechy souřice x i oszey číselé hooty pávě vyšetřového siguláího bou. Rovice ( či (4 je soustvy lieáích ovic, kteými jsme hili půvoí elieáí soustvu ( či (. Vzikl jejím zlieizováím po blízké okolí siguláího bou. Rovovážý stv elieáího systému bue stbilí je tehy, buou li kořey chkteistické ovice ležet v levé komplexí polooviě. Má li chkteistická ovice kořey s klými eálými částmi, je ovovážý stv systému (siguláí bo estbilí. Má li ěkteý koře ulovou eálou část, eí možé pole lieáího přiblížeí stovit, z půvoí elieáí systém má uvžový ovovážý stv stbilí ebo estbilí. Tkto zjištěá stbilit se všk týká je chováí systému v blízkém okolí siguláího bou skutečou oblst stbility elze tímto způsobem zjistit. Lieizce systému. řáu A yí poveeme pktickou lieizci systému popsého elieáí ovicí uhého řáu ( y + ( y + g y (6 Substitucí ( x y x y osteme soustvu ovic pvího řáu, kteá opovíá soustvě ; x x x g ke ( x ( x g( x ( x x (7 Siguláí boy tohoto systému získáme řešeím jsou to boy eálé ose [ x ;]. Zveeme li po stučost ozčeí ( x ( ψ g (8 x

4 XXIX. ASR '4 Semi, Istumets Cotol, Ostv, Apil, 4 64 je Jcobiho mtice tohoto systému (ke z x x x ; x ; x se osí souřice siguláího bou J ( x (9 soustv zlieizových ovic, kteá opovíá obecé soustvě lieáích ovic ( bue t t ( x x x x ( x x + x x x ( x x x + x Tto soustv vzhleem k použité substituci opovíá zlieizové ovici uhého řáu y y y + ( Touto ovicí můžeme hit půvoí elieáí ovici (6 vyšetřovt stbilitu elieáího systému, le pouze v mlé oblsti okolo siguláího bou. Absolutí čle v ovici ( je pouze kostt emá vliv stbilitu systému. Poku leží siguláí bo v počátku souřého systému, x x, je tto kostt ulová ovice ( má tv y y y ( 4 Příkl učeí stbility systému Nyí si jko příkl učeme stbilitu systému popsého ovicí, y + y + y + y Soustvy ovic pvího řáu lze získt substitucí x y x y ; pk tey x x x x x x Siguláí boy systému získáme řešeím x x x x Z toho plye, že obvo má pouze jeiý siguláí bo jeiý ovovážý stv tím je počátek souřicového systému [;]. V ěm je

5 XXIX. ASR '4 Semi, Istumets Cotol, Ostv, Apil, 4 65 ( x x x 6x [ ;] zlieizová ovice je y + y + y ( x x x Její chkteistická ovice je s + s + má kořey s -, s -8,87, jsou eálé zápoé, jeá se o stbilí ovovážý stv, systém je v okolí tohoto bou stbilí. Bližším ozboem bychom mohli zjistit, že se jeá o ovovážý stv typu uzel. V tbulce ( jsou umístěy ejpoužívější elieáí obvoy.řáu k im jsou přiřzey jejich siguláí boy zlieizová ovice po okolí těchto siguláích boů. Tbulk Zlieizové ovice elieáích systémů siguláí č. ovice elieáího systému ψ zlieizová ovice boy y + by y + y bx x x y + y y + by y + cy c x x x y + y y + by + cy + y + y x x x c c ; y + y y + 4 t y + by + cy + y t x x x + y 5 y + by + cy y + y b x x x x + y 6 y + by + cy + y + ey b + y e x x x x b ; e y 7 y + by + cy t + y + ey e t b x x x x + y 8 y + b( m + y y + cy b c ( m + x x x y + my + y 9 p q y + b( my + y y + cy b p q c c ( mx + x x x y + y Pk tey ovice z příklu, y + y + y + y opovíá ovici číslo 4 v tbulce, ke,; b ; c ; ; t. T má pole tbulky jeiý siguláí bo [;] v jeho okolí pltí zlieizová ovice + y po umeickém vyjářeí získáme ovici y + y + y. Jk viíme tk výsleek z tbulky se ám shouje s výslekem příklu. Z čehož vyplívá, že tbulk ám může v moh přípech usit řešeí stbility elieáích systémů uhého řáu.

6 XXIX. ASR '4 Semi, Istumets Cotol, Ostv, Apil, Závě Jk jsme mohli zjistit, ť již z tohoto příspěvku či jié litetuy, učeí stbility elieáích systémů metoou lietizce je složitější více čsově áočé ež učeí stbility u lieáích systémů. Stbilit je ejůležitější vlstostí egulčích obvoů, tuíž ji učujeme poměě čsto, její učeí ám zbee poměě zčou obu, ehleě to, že při elších výpočtech oje so k chybě. Poto si myslím, že zkostuováí tbulky ( by mělo přispět ke zkychleí učováí stbility elieáích systémů uhého řáu při použití metoy lieizce. Z tbulky lze ověž zjistit kolik má ý systém siguláích boů. V buoucu bue tbulk ještě ozšíře o lší elieáí systémy uhého řáu ověž bue vytvoře poobá tbulk po elieáí systémy třetího řáu. 6 Použitá litetu [] ŠVARC, I., Automtizce, Automtické řízeí. Skiptum VUT, Bo, ISBN [] LEVINE, W.S.: The Cotol Hbook CRC Pess, Ic. Boc Rto, Floi, 996, ISBN [] RAZÍM, M.- ŠTĚCHA, J., Nelieáí systémy. Skiptum ČVUT 997, ISBN [4] ŠVARC, I., Teoie utomtického řízeí II. Skiptum VUT, Bo 99, ISBN