Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová

2 Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které jsem vyprcovl smosttě. Všechy zdroje, prmey literturu, které jsem při vyprcováí používl ebo z ich čerpl, v práci řádě cituji s uvedeím úplého odkzu příslušý zdroj. Vedoucí práce: RNDr. Pvel Šišm

3 Obsh Prohlášeí... Obsh... Poslouposti... Pojem poslouposti... Rekuretí určeí poslouposti...8 Některé vlstosti posloupostí...0 Aritmetické geometrické poslouposti... Aritmetické poslouposti... Užití ritmetických posloupostí...9 Geometrické poslouposti... Užití geometrických posloupostí... Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí...8 Limity poslouposti...0 Výsledky ávody k řešeí úloh...7 Sezm zkrtek zček...

4 Poslouposti Pojem poslouposti Fukce, jejíž defiičí obor je moži N všech přirozeých čísel ebo její podmoži typu {,,, k}, kde k N, se zývá posloupost. Posloupost ( ), jejíž defiičí obor je moži N se zývá ekoečá posloupost. Posloupost posloupost. ( ) k, jejíž defiičí obor je moži {,,, k} se zývá koečá Příkld V soustvě souřdic v roviě obrázku (Obr. ) je zobrzeo prvích sedm čleů jisté ekoečé poslouposti ( ). Vypište je: Obr. Řešeí, 0,,,,,. 7 Příkld () f. Prví čle poslouposti je tedy. Vypočtěte prvích šest čleů poslouposti zdé vzorcem pro -tý čle ( ). Řešeí Prví čle poslouposti je hodot fukce f v bodě, po doszeí do vzorce dosteme

5 Dále: f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 9 8 Prvích šest čleů poslouposti jsou tedy čísl,, 9,,, 8. Příkld Určete vzorcem -tý čle poslouposti posloupost zdou ěkolik prvími čley:,,,,,, Řešeí Vidíme, že, tj. liché sudé čley + poslouposti se liší pouze ve zméku. Vidíme, že zákldem bude číslo bude ásobeo mociou čísl. Protože u sudých čleů je lichá moci čísl musí být mocitel tvru +. Tvr -tého čleu poslouposti je ( ) +. Grfem poslouposti ( ) přičemž A má souřdice [, ], kde N, R. Grfem koečé poslouposti je moži vzájem izolových bodů A, A,, A,, ( ) k je koečá moži vzájem izolových bodů A, A,, A,, A k přičemž A má souřdice [, ], kde N, R. Příkld Zázorěte prvích čleů poslouposti Řešeí,,,,. Zázorěí těchto čleů je obrázku (Obr. )..

6 ,, 0, 0 0 Obr. Cvičeí. Překreslete si do sešitu ásledující tbulky doplňte je: 7 8! 7 si π 0. Npište prvích pět čleů těchto posloupostí: ( ) ) b) c) cos π d) ( ). Vypište prvích šest čleů poslouposti dé vzorcem pro -tý čle: ) b) ( ) ( ( ) ) d) + e) ( ( ) ) ) + ( ) c) ( ). Vypište prvích šest čleů poslouposti dé vzorcem pro -tý čle: ) cos π π b) si. Npište prvích deset čleů poslouposti h, která je dá tkto, h() 0, je-li mociou čísl, h(), eí-li mociou čísl. Máme mysli mociu s přirozeým expoetem.

7 . Njděte vyjádřeí -tého čleu koečé poslouposti: ),,,, c),, 0,,, b),,,,, d) tg 0, tg 0, tg 0, tg 80 e) log, log, log8, log, log Určete vzorcem pro -tý čle tyto koečé poslouposti: ),,,,, b),,,,,, c),,,, d),,,,,,, 8. Posloupost ( ) je defiová tkto: Je-li číslo prvočíslo, je, eí-li číslo prvočíslo, je 0. Určete čley, 7,,, 9,, 89, 99, 0, Zjistěte, která z čísel,, jsou čley poslouposti ( 8) 0. V ekoečé poslouposti ( ) +. je pro kždé sudé číslo, pro kždé liché číslo pltí. Zpište tuto posloupost vzorcem pro -tý čle.. Njděte záko vytvořeí poslouposti vyjádřete její -tý čle: ),, 9, 7, 8 b),,, 7, 9, c) 0,, 8,,. Zázorěte grficky prvích pět čleů poslouposti: ( ) ) ( ( ) ) c) ( ) ) b) + ( ) +. Je dá posloupost (8 0 ). Kolik bodů grfu této poslouposti leží: ) d osou x; b) vlevo od osy y. 7

8 Rekuretí určeí poslouposti Nechť je posloupost ( ) zdá vzorcem pro -tý čle:... + c + c, kde c c,..., R kde pro ěkteré i {,..., }, c + c + c může pltit, že 0. Pk řekeme, že posloupost je zdá rekuretě (z ltiského recurrere, což zmeá vrceti se zpět). c i... Příkld Nechť, +. Určete prvích sedm čleů této poslouposti. + Řešeí Do rekuretího vzorce budeme postupě doszovt vypočíté hodoty, dokud ezískáme prvích sedm čleů Prvích sedm čleů zdé poslouposti jsou čísl,, 7,,,, 7. Pozámk: Posloupost zdá rekuretě, může být tké zdá jiými vzorci pro vyjádřeí -tého čleu poslouposti v závislosti předchozích čleech ež rekuretím vzorcem uvedeým v předchozí defiici. Lze použít příkld vzorce: c +, kde c R + c, kde c R 8

9 Cvičeí. Njděte prvích sedm čleů poslouposti ( ), v íž je: ) 0, + b) b 0, b, b + b c) c,c,c c d) + c - d 0,,d 0,d + d + d. Vypište prvích sedm čleů poslouposti ( ) ), + + b), + c) + d),. Určete dé poslouposti rekuretě: ) ( ( + ) ) b) +, +, která je dá rekuretě: c) ( log0 ). Určete prví sedmý čle poslouposti, pro kterou pltí: + ) b) 0. Určete prví čle poslouposti ( ) N je , 0, pro kterou pltí,, pro všech,. Njděte záko vytvořeí poslouposti vyjádřete rekuretím vzorcem: ),,, 0,, b),,,,, 8,,,, 9

10 Některé vlstosti posloupostí Posloupost Posloupost ( ) Je-li r < s, pk r < s. ( ) Je-li r < s, pk r > s. se zývá rostoucí, právě když pro všech r, s N pltí: se zývá klesjící, právě když pro všech r, s N pltí: Příkld Dokžte, že posloupost ( ) Řešeí b je klesjící. Vypíšeme si ěkolik prvích čleů poslouposti ( ) b, b, b, b, b 8 9 b > b +. 7 b : vidíme, že pro kždé {,,, } pltí Zdá se, že posloupost pltí: eboli: ( b ) je klesjící. K tomu je všk uté ověřit, že pro všech N Úprvmi erovosti dosteme postupě: b > > > b + > ( + ) ( ) < Tto erovost je prvdivá pro kždé N. Tímto jsme dokázli, že posloupost ( ) klesjící. b je 0

11 Posloupost ( ) se zývá eklesjící, právě když pro všech r, s N pltí: Je-li r < s, pk r s. Posloupost ( ) se zývá erostoucí, právě když pro všech r, s N pltí: Je-li r < s, pk r s. Příkld b Rozhoděte, zd posloupost ( ) Řešeí + je erostoucí ebo eklesjící. Opět si vypíšeme prvích ěkolik čleů poslouposti: b, b, b, b, 7 9 b {,, }, b b + vidíme, pro kždé pltí. Zdá se, že posloupost b ) je erostoucí. K tomu je všk uté ověřit, že pro všech N pltí: eboli: Úprvmi erovosti postupě dosteme: b b ( ) > 0 Tto erovost je prvdivá pro kždé N. Tím jsme ukázli, že posloupost b ) je erostoucí. Dokoce vidíme, že posloupost je klesjící. ( ( Poslouposti poslouposti. ( ), které jsou erostoucí ebo eklesjící, se zývjí mootóí

12 Příkld Rozhoděte, zd je posloupost Řešeí ( log ) mootóí. Vypíšeme si ěkolik prvích čleů poslouposti: 0, 0, 0, 0, 0. Víme, že logritmus o jkémkoli zákldu je vždy 0. Vidíme, že tto posloupost má všechy čley stejé. Dá posloupost tedy eí i rostoucí i klesjící, le je mootóí. Posloupost ( ) pro všech N je h. Posloupost ( ) pro všech N je d. se zývá shor omezeá, právě když existuje tkové číslo h R, že se zývá zdol omezeá, právě když existuje tkové číslo d R, že Posloupost ( ) se zývá omezeá, právě když je omezeá shor i zdol. Příkld Dokžte, že posloupost Řešeí Vypíšeme si ěkolik čleů poslouposti: je omezeá. 8 0,,,,,,... Vidíme, že ejmeší čle je 0 9 ejvětší čle se přibližuje. Posloupost číslem 0. Nyí toto tvrzeí musíme dokázt pro N: 0 0 je omezeá shor číslem zdol < 0

13 Prví erovost bude vždy pltit, protože zlomek ikdy epřevýší číslo pro >. Rovost ste pouze pro. Druhá erovost pltí vždy pro kždé N. Posloupost je tedy omezeá shor číslem zdol číslem 0. Dohromdy je tedy posloupost omezeá. Cvičeí. Zjistěte, zd posloupost + je rostoucí ebo klesjící.. Rozhoděte, zd ásledující poslouposti jsou rostoucí ebo klesjící: ) log b) ( ) c) 7 ( log ) 0, ) d) ( cosπ e) ( ) + 0. Rozhoděte, zd posloupost ( ), je erostoucí ebo eklesjící.. Zjistěte, které z ásledujících posloupostí jsou mootóí: ) ) ( log ) d) ( cos( )) π b) ( c). Pro která x R je posloupost ( ), x : + ) rostoucí ; b) klesjící; c) mootóí.. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou shor omezeé; zdol omezeé; omezeé: + ) ([ ( ) ] ) ( ) + b) c) ( ) 7. Je dá posloupost log. ) Dokžte, že dá posloupost je rostoucí; ( ) d) tg π b) rozhoděte, zd uvedeá posloupost je shor omezeá, zdol omezeá, omezeá; c) vyjádřete tuto posloupost rekuretě.

14 Aritmetické geometrické poslouposti Aritmetické poslouposti Aritmetickou posloupostí rozumíme tkovou číselou posloupost ( ), v íž se rozdíl mezi libovolými dvěm po sobě jdoucími čley eměí (je kosttí). Teto rozdíl, tj. +, ozčíme d zveme diferece ritmetické poslouposti. Je-li posloupost tvr: ( ) ritmetická s diferecí d, pk vzorec pro -tý čle poslouposti má ( ) d +. Příkld Zpište prvích pět čleů ritmetické poslouposti, jejíž prví čle diferece d. Zázorěte je v soustvě souřdic. Řešeí Prví čle je ze zdáí. Druhý čle je, třetí čle, čtvrtý čle pátý čle. Tyto čley pk zázoríme v soustvě souřdic (viz Obr. ): Obr. V ritmetické poslouposti ( ) s diferecí d pltí pro kždé N rekuretí vzorec: + + d.

15 Příkld V ritmetické poslouposti této poslouposti čle. Řešeí ( ) jsou dáy její čley, 8. Určete difereci 7 Uvedeé čley dosdíme do vzorce pro -tý čle, vyřešeím dosteme difereci poslouposti: d d ( 7 ) 7 + d 8 + d Zjistili jsme tedy, že diferece d. Nyí určíme čle : tedy čle 8. + ( )( ) + ( ) 8 ; V ritmetické poslouposti ( ) s diferecí d pltí pro všech r, s N vzorec: s ( s r) d +. r Příkld V ritmetické poslouposti čley 7. ( ) Řešeí Nejdříve podle vzorce spočteme difereci d. Pltí tedy: jsou dáy její čley, 8. Určete difereci d 8 + (8 ) d + d d Tedy diferece d. Dále spočítáme čle podle vzorce: Tedy prví čle poslouposti. + d d

16 Nkoec spočítáme čle 7 podle stejého vzorce: Sedmáctý čle poslouposti je tedy 7. + (7 ) d Součtem s prvích čleů ritmetické poslouposti čleů poslouposti, tj Součet s vypočítáme vzorcem: s ( + ). ( ) rozumíme součet prvích Důkz vzorce: Nejdříve si zpíšeme součet prvích čleů vzestupě poté sestupě: s s + Tyto dvě rovice yí sečteme: Pltí: Je tedy: k k k k ( ) + ( + ) ( + ) + ( ) s + k + k kd k + k + (( k) )d kd ( kd ) ( kd ) k + + k Odtud plye, že kždý z sčítců je rove +. Můžeme proto psát: s ( ) s + ( + )

17 Příkld Určete součet prvích deseti čleů ritmetické poslouposti, ve které je,. Řešeí Nejdříve musíme zjistit difereci, potom prví desátý čle poslouposti: 7, + d, d d, + (7 ) d 7, + ( ) d +, , 7, + (0 ) d 7, + 9, Nyí dosdíme do vzorce zjistíme součet prvích deseti čleů poslouposti: Součet prvích deseti čleů je tedy 0. s s s ( 7, + 7,) Cvičeí. Vypište prvích šest čleů ritmetické poslouposti ( ) ), d b), d c) 0,, d, d), d 0. Vypište prvích pět čleů ritmetické poslouposti ( ) ) 8, d b) 8, 9 c), 8 d), 0 7, ve které pltí:, ve které pltí:. Určete prví čle difereci d ritmetické poslouposti ( ), ve které pltí: + 9 ) b) , c) d) Určete součet prvích k čleů ritmetické poslouposti ( ) +.. V ritmetické poslouposti je 8, d. Určete idex prvího čleu této poslouposti, který je kldým číslem. 7

18 . Délky str prvoúhlého trojúhelíku jsou tři po sobě ásledující čley ritmetické poslouposti, délk delší odvěsy je,8 dm. Vypočítejte délky zbývjících str. 7. V tbulce jsou ěkteré údje o ritmetických posloupostech. Překreslete si tbulku doplňte ji: d s , Obvod trojúhelíku je, velikosti str jsou celá čísl tvoří tři z sebou jdoucí čley ritmetické poslouposti. Určete velikosti str tohoto trojúhelík. 9. V ritmetické poslouposti je,8 d 0,. Kolik z sebou jdoucích čleů, počíje prvím, je třeb sečíst, by součet byl větší ež 70? 0. Mezi čísl 7 vložte čísl tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost o součtu. Určete počet vložeých čísel difereci tkto vytvořeé ritmetické poslouposti.. Určete ritmetickou posloupost, ve které pltí: Kolik čleů poslouposti dává součet 8?. Osm čísel tvoří ritmetickou posloupost. Určete ji, víte-li, že součet prostředích čleů + souči krjích 8.. Určete ritmetickou posloupost, ve které s. 8

19 Užití ritmetických posloupostí Příkld Část střechy domu má tvr lichoběžíku je třeb ji pokrýt tškmi. Víme, že do řdy u hřebeu se vejde 8 tšek, do spodí řdy při okpu 0 tšek. Přitom tšky budou srováy do řd tk, že v kždé ásledující řdě bude o jedu tšku více ež v řdě předchozí. Kolik je třeb tšek pokrytí části střechy? Řešeí Počty tšek v řdách směrem od hřebeu k okpu přibývjí vždy o jedu. To zmeá, že počty tšek v jedotlivých řdách tvoří čley ritmetické poslouposti, jejíž diferece d. Nším úkolem je určit počet tšek, které stčí k pokrytí části střechy. K tomuto budeme moci využít vzorec pro součet prvích čleů ritmetické poslouposti. Víme, že 8, 0, ezáme všk ještě (které ozčuje počet řd). K výpočtu ezámého využijeme vzorec pro výpočet -tého čleu poslouposti: Nyí můžeme vypočítt s 8 : ( ) s s (8 + 0) 8 N pokrytí příslušé střechy je tedy potřeb 8 kusů tšek. Cvičeí. Ocelové roury se skládjí do vrstev tk, že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy. Do kolik vrstev se složí 90 rour, jsou-li v ejhořejší vrstvě roury? Kolik rour je v ejspodější vrstvě?. Buduje se hlediště letího ki přibližě pro 00 diváků. Do prví řdy je pláováo 0 seddel, do kždé ásledující řdy postupě o seddl více. Kolik řd seddel bude mít hlediště? 9

20 . Vypočtěte vitří úhly šestiúhelíku, tvoří-li úhly ritmetickou posloupost ejmeší je 70. Součet všech úhlů v šestiúhelíku je 70.. Dělík vyrobí z směu součástek. Kdyby zvyšovl svůj výko deě o jedu součástku, kolik součástek by vyrobil z 8 dí?. Dělík obsluhuje utomtických stvů, z ichž kždý vyrobí z hodiu k metrů látky. Prví stv uvede v chod v 8:00 hod. kždý ásledující zpojí vždy z miut. Kolik metrů látky je vyrobeo, když zpíá posledí stv?. Jká je teplot v šich dolech 0 m pod povrchem, víme-li, že teplot Země přibývá o C m hloubky je-li v hloubce m stálá teplot + 9 C? 7. Jk dlouho by pdl koule do hloubky 9, m, bylo-li zjištěo, že v prví vteřiě proléte dráhu s,90 m v kždé dlší vteřiě o 9,808 m více ež v předchozí? 0

21 Geometrické poslouposti Geometrickou posloupostí rozumíme tkovou číselou posloupost ( ), v íž se podíl libovolých dvou po sobě jdoucích čleů eměí (je kosttí). Teto podíl, tj. +, ozčíme q zveme kvociet geometrické poslouposti. ( ) Obecý -tý čle geometrické poslouposti o kvocietu q je dá vzorcem: q. + Příkld Zpište prvích pět čleů geometrické poslouposti, jejíž prví čle q 0,. Zázorěte je v soustvě souřdic v roviě. 8 kvociet Řešeí Prví čle poslouposti je ze zdáí 8. Dlší čley poslouposti dopočítáme pomocí vzorce: ( 0,) 8 ( 0,) ( ) ( 0,) ( 0,) ( ) 0, Nyí vypočíté čley zobrzíme v soustvě souřdic v roviě (viz Obr. ) Obr.

22 V geometrické poslouposti vzorec: ( ) s kvocietem q pltí pro kždé N rekuretí + q. Příkld ( ) V geometrické poslouposti b jsou dáy její čley b, b 8. Určete kvociet této poslouposti čley b, b, b b. Řešeí Kvociet q vypočítáme pomocí vzorce: 8 q q q q Nyí víme, že kvociet q můžeme spočítt čley b, b, b b. b b b b ( ) ( ) ( ) 8 q b 8 ( ) b ( ) ( ) V geometrické poslouposti ( ) s kvocietem q pltí pro všech r, s N vzorec: s r s r q. Příkld V geometrické poslouposti Řešeí ( b ) Kvociet q vypočítáme pomocí vzorce: jsou dáy její čley b b q b b. Určete q b.

23 Po doszeí čleů ze zdáí do tohoto vzorce dostáváme: q q q q Tedy kvociet q. A yí spočítáme prví čle poslouposti b : Tedy prví čle poslouposti je. b b b b q ( ) Součtem s prvích čleů geometrické poslouposti ( ) rozumíme součet prvích čleů poslouposti, tj Součet s lze vypočítt vzorci: ) s pro q ; b) q s pro q. q Důkz vzorců: ) Pro kždé N je, tedy: s b) Nejdříve píšeme součet prvích čleů ásledě jej vyásobíme kvocietem q: s q s + q q q q Tyto dvě rovice odečteme po úprvě dostáváme: s ( q ) q. + q

24 Vzhledem k tomu, že q, můžeme obě stry rovice vydělit číslem (q ) dosteme hledý vzorec. Příkld ( 0 ) Vypočítejte součet prvích osmi čleů geometrické poslouposti, ( ) Řešeí Nejdříve si vypočítáme prví druhý čle poslouposti: 0, 0, ( ) 0, ( ) ( ) 0, Již záme prví dv čley poslouposti tk můžeme vypočítt kvociet q: q. A yí můžeme spočítt součet prvích osmi čleů podle vzorce: s s s q q ( ) ( ) 8 ( ) 8 Tedy součet prvích osmi čleů poslouposti je 8.. Cvičeí. Vypište prvích šest čleů geometrické poslouposti ( ) ) 0,, q b), q 0, c),, q d),, q. V geometrické poslouposti ( ), ve které pltí: jsou dáy její čley, 8. Určete kvociet q této poslouposti čley,,.. Určete prví čle kvociet geometrické poslouposti, v íž pltí:

25 . V geometrické poslouposti ( ) c jsou dáy její čley c, c. Určete q c.. Vypište prvích pět čleů geometrické poslouposti ( ), ve které pltí: ), q b), 0 c) 0, 9 0. Zjistěte, která z čísel 8,,, 0, 8 jsou čley geometrické poslouposti ( ) 7, q. 7. Určete prví čle kvociet geometrické poslouposti ( ) + ) b) + + c) + +, ve které pltí: d) + + 0, v íž je 8. Mezi čísl 8 7 vložte pět tkových čísel, by spolu s dvěm dými tvořil prvích sedm čleů geometrické poslouposti. ( ) 9. Vypočítejte součet prvích osmi čleů geometrické poslouposti ( ) 0. Kolik čleů geometrické poslouposti ( 0 ) ež? 0,., musíme sečíst, by součet byl větší. Součet prvích čtyř čleů geometrické poslouposti je s 80. Určete je, víte-li, že pltí 9.. Vyroste-li z rok z jedoho zr průměrě zr, jké možství zr vyroste z jedoho zr z let?. Určete počet prvích čleů geometrické poslouposti ( ) ( 9) 7,, s. +, záte-li

26 Užití geometrických posloupostí Příkld Bk poskytl podikteli počátkem roku 000 úvěr ve výši ,- Kč, to dobu tří let s ročí úrokovou mírou % (úrokovcí období je rok). Podiktel spltí půjčku ve třech stejých ročích splátkách, prví po jedom roce od poskytutí úvěru. Kolik koru bude čiit jed splátk? (Jedá se o složeé úrokováí). Řešeí Nezámou je výše jedé splátky, ozčme ji k Kč. Dluh podiktele koci roku 000 (bk si připsl úroky): Dluh počátku roku 00 (po prví splátce): [ 0 ( 0) ] +, Kč. [ 0 ( 0) ] +, k Kč. Dluh počátku roku 00 (po připsáí úroků z dluhu z rok 00 po druhé splátce): [ k] Kč [( 0 ( + 0,) k) ( + 0,) k] Kč 0 ( + 0,) k( 0,) Dluh počátku roku 00 (po třetí splátce): [( 0 ( + 0, ) k( 0, ) k)( + 0, ) k] 0 ( + 0, ) k( 0, ) k( 0, ) k Kč [ ]Kč Úvěr počátku roku 00 bude splce je tedy: 0 0 ( + 0, ) k( 0, ) k( 0, ) ( + 0, ) k ( 0, ) + ( 0, ) k 0 ( + ) 0 S využitím vzorce pro součet prvích čleů geometrické poslouposti dosteme: Odtud je: 0 Jed splátk čií 0 7 Kč. ( + 0) ( + 0, ) ( + 0, ), k 0. 0 k ( + 0,) ( + 0,) k 07. 0,.

27 Cvičeí. Kupec chtěl koupit koě. S prodvčem se dohodl tkto: koě doste zdrmo, zpltí pouze hřebíky v jeho podkovách. Kždá podkov je přibit šesti hřebíky, celkem jich tedy je. Z prví hřebík zpltí groš, z druhý groše, z kždý dlší zpltí dvkrát tolik co z předchozí. Kolik grošů by měl kupec zpltit?. Určete velikost ejmešího vitřího úhlu prvoúhlého trojúhelíku, víte-li, že velikosti jeho úhlů tvoří tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti.. V roce 97 bylo v ší republice 7 počítčů. Určete, ve kterém roce byl u ás použit prví počítč, jestliže od zvedeí počítčů ž do roku 97 čiil ročí přírůstek %.. Drát má průměr mm. Jedím protžeím se průměr drátu zmeší o 0 %. ) Jký bude průměr drátu po deseti protžeích? b) Po kolik protžeích bude průměr drátu meší ež mm?. Kvádr, jehož hry tvoří geometrickou posloupost, má povrch S 78 součet hr, které procházejí jedím vrcholem, je. Vypočtěte objem V kvádru.. Světelý pprsek ztrácí při průchodu skleěou deskou své jsosti. Jká je jsost pprsku po průchodu pěti stejými deskmi? 7. Kolik je uto ukládt počátkem kždého roku po dobu deseti let, chceme-li mít kocem desátého roku střádáo 0 000,- Kč při % složitém úrokováí. 8. Jistý druh bktérií se rozmožuje v přízivých podmíkách tk, že kždá bkterie se z půl hodiy rozdělí dvě. Kolik bkterií vzike tkto z hodi? 9. Kuřák prokouří ročě přibližě 000,- Kč. Kolik by ušetřil z 0 let, jestliže by tuto částku ukládl kocem kždého roku vkldí kížku s % úrokováím? 0. Vkldtel uložil počátku roku do bky 000,- Kč termíový vkld rok s ročí úrokovou mírou 9 %. Úrokovcí období je rok. Jkou celkovou částku bude mít termíovém vkldu koci roku. Úroky z vkldu jsou zdňováy %.. Vkldtel uložil počátku roku termíový vkld roky částku 000,- Kč. Ročí úroková mír je 9, %. Jk vysokou částku bude mít koci druhého roku, jestliže si v průběhu celé doby evybírl úroky je-li úrokovcí období čtvrt roku. 7

28 Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí Aritmetické geometrické poslouposti mjí stejé vlstosti jko všechy poslouposti, tj. mohou být rostoucí, klesjící, erostoucí, eklesjící, mootóí; zdol ebo shor omezeé, omezeé. Příkld Rozhoděte, zd posloupost ( ), kde, d, je rostoucí ebo klesjící, omezeá. Řešeí Nejdříve si črteme grf (Obr. ): Obr. Posloupost ( ) je zřejmě rostoucí: Pro kždé N je + + tedy < +. Posloupost. ( ) je omezeá zdol číslem, protože pro všech přirozeá čísl je Zjistíme, zd je tto posloupost shor omezeá. Ptáme se tedy, zd existuje ějké číslo h R tkové, že pro všech N je h, čili: ( ) h + Tto posledí erovost všk pltí je pro tková přirozeá čísl, pro ěž je kždé > h + je > h. Posloupost ( ) eí shor omezeá eí tedy omezeá. h +. Pro ( ) Aritmetická posloupost s diferecí d je rostoucí pro d > 0 klesjící pro d < 0. 8

29 Pro ritmetickou posloupost s diferecí d pltí: ) Je-li d > 0, pk je zdol omezeá, le eí shor omezeá; b) Je-li d < 0, pk je shor omezeá, le eí zdol omezeá; c) Je-li d 0, pk je shor omezeá i zdol omezeá. Geometrická posloupost ( ) s kvocietem q je: ) Rostoucí pro q >, > 0 ebo 0 < q <, < 0; b) Klesjící pro 0 < q <, > 0 ebo q <, < 0. Geometrická posloupost ( ) s kvocietem q je: ) Omezeá, právě když q ebo 0; b) Zdol omezeá, le eí shor omezeá, právě když > 0, q > ; c) Shor omezeá, le eí zdol omezeá, právě když < 0, q > ; d) Neí omezeá i shor i zdol, právě když 0, q <. Cvičeí. Uveďte příkldy ritmetických posloupostí, které jsou rostoucí; klesjící; ejsou i rostoucí i klesjící.. Vyjádřete vzorcem pro -tý čle geometrickou posloupost ( ), ve které je c 0,, q 0,. Rozhoděte pk, zd je tto posloupost rostoucí či klesjící; shor omezeá či zdol omezeá.. Uveďte příkldy geometrických posloupostí, které jsou rostoucí; klesjící; ejsou i rostoucí i klesjící. 9

30 Limity poslouposti Řekeme, že posloupost ( ) je kovergetí, právě když existuje tkové číslo R, že pltí: Ke kždému ε > 0 existuje 0 N tk, že pro všech přirozeá čísl 0 je < ε. Číslo se pk zývá limit poslouposti ( ) Skutečost, že posloupost ( ). má limitu rovu číslu, zpisujeme: lim čteme limit pro jdoucí k ekoeču je rov ebo stručěji limit je. Poslouposti, které ejsou kovergetí, se zývjí divergetí. Příkld Je dá posloupost + kterého počíje pltí < 0, 0.. Zjistěte, zd existuje tkový čle této poslouposti, od Řešeí Určíme všech N, pro která pltí + < 00. Protože zlomek dostáváme: + je kldý pro všech N, pltí < + 00 >, Počíje čleem pltí pro všechy čley poslouposti < 0, odtud 0

31 Příkld Zázorěte v krtézské soustvě souřdic ěkolik prvích čleů poslouposti ( ) zjistěte ke kterému číslu posloupost koverguje. Řešeí Čley dé poslouposti jsou čísl,,,,,,... Grfické zázorěí prvích šesti čleů poslouposti je obrázku (Obr. ). Je zřejmé, že obrzy všech čleů dé poslouposti lze umístit do pásu určeého rovoběžkmi s osou x, které procházejí př. body [0, ] [0, ]. 0,8 0, 0, 0, 0-0, -0, -0,8 - A A -0, 0 A A A A Obr. Vidíme, že čley této poslouposti se s rostoucím eomezeě blíží k číslu 0, tz. že tto posloupost koverguje k 0. Přitom všk pro žádé epltí, že ( ) 0. Příkld ( b ) Dokžte, že posloupost, b je kovergetí. + Řešeí Obrázek (Obr. 7) ás vede k hypotéze, že čley této poslouposti se s rostoucím eomezeě blíží k číslu, čili lim. +

32 0,8 0, 0, 0, Obr. 7 Nším úkolem je tedy dokázt, že ke kždému ε > 0 existuje 0 N tk, že pro všech přirozeá čísl 0 je b < ε, čili < ε. + Tuto erovici s ezámou N. Nejprve uprvíme výrz, který tvoří levou stru této erovice: Doszeím do původí erovice můžeme yí přejít k ásledující erovici tu vyřešíme: < ε + + > ε > ε Řešeím erovice jsou všech přirozeá čísl >, čili pro všech tto pltí ε b < ε. Z 0 můžeme vzít př. celé číslo z itervlu, + ε ε. ( b ) Posloupost, b je tedy kovergetí její limitou je číslo : + lim b.

33 Říkáme, že posloupost ( ) má evlstí limitu plus ekoečo, právě když pro kždé reálé číslo K existuje tkové 0 N, že pro všech přirozeá čísl 0 je > K. Zpisujeme: lim +. Říkáme, že posloupost ( ) má evlstí limitu míus ekoečo, právě když pro kždé reálé číslo L existuje tkové 0 N, že pro všech přirozeá čísl 0 je < L. Zpisujeme: lim. Příkld Zjistěte limitu poslouposti (, 0, ). Řešeí Nejdříve si zázoríme prvích ěkolik čleů v soustvě souřdic (Obr. 8):,, 0, 0-0, , - Obr. 8 Vidíme, že posloupost s rostoucím stále klesá (diverguje k ). To le musíme dokázt. Ať zvolíme jkkoli mlé reálé číslo L, vždy existuje 0 N tkové, že pro všech 0 je b < L. Číslo 0 můžeme zjistit zákldě řešeí erovice:,, < L L -, > 0, Z 0 lze vzít jkékoli přirozeé číslo, které je větší ež, 0, ) posloupost ( má evlstí limitu zpíšeme: (, 0, ) lim. L -, 0,. Tudíž řekeme, že

34 Věty o limitách posloupostí ( ) ( ) Jsou-li poslouposti, b kovergetí přitom lim, lim b, b + pk jsou kovergetí i poslouposti ( ) ( ), ( ) b ( ) b,, c b kde c je libovolé reálé číslo. Přitom pltí: lim lim lim ( + b ) ( b ) ( b ) lim ( c ) lim lim lim, + lim b limb limb c lim + b; b; b; c. Jsou-li poslouposti, ( ) ( b ) kovergetí, lim, lim b přitom b b 0 b 0 pro všech N, pk je kovergetí i posloupost pltí: b lim lim. b limb b Kždá geometrická posloupost ( ) kovergetí lim 0., pro jejíž kvociet q pltí q <, je Příkld Rozhoděte, zd posloupost Řešeí je kovergetí, pk vypočtěte její limitu.. Poslouposti (), jsou kovergetí proto je i kovergetí posloupost. Pltí: lim lim lim lim

35 Cvičeí. Je dá posloupost ( ) c, + c. ) Vypočítejte prvích deset čleů této poslouposti zázorěte je v soustvě souřdic v roviě. b) Rozhoděte, zd je ( ) c) Je-li ( ) c kovergetí ebo divergetí svůj závěr zdůvoděte. c kovergetí, zpište její limitu.. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou kovergetí které z ich mjí limitu rovu číslu 7: ) ( 7) b) c) 7 + d). Dokžte, že pltí: + ) lim b) ( e) 7 + ( ) f) 7 ( ) ( + ) lim 0 ) ( 7) ( 7) c) + 7 lim + 7 c. Pro která c, d R je posloupost d. Rozhoděte, které z uvedeých posloupostí jsou kovergetí: ( ) + + ) b) 0 0 c) 0, ( ) (, ) (, ) kovergetí určete její limitu.. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou kovergetí, mjí evlstí limitu + ebo, jsou divergetí emjí vlstí limitu: ) ( ) b) ( ) c) ( ) ) d) 7. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou kovergetí, mjí evlstí limitu + ebo, jsou divergetí emjí vlstí limitu: ( ) ) log0 b) ( log ) c) 0, ( cos( π ) ) d) ( si ( π ) )

36 ( ) + 8. Posloupost koverguje k. Dokžte zázorěte grficky Ukžte, že posloupost 0. Vypočítejte limitu: ( + )! lim.! ( + )! je kovergetí vypočítejte její limitu.

37 Výsledky ávody k řešeí úloh Pojem poslouposti.! :,,,, 0, 70, 00, 00 si π :, 0,, 0,, 0,. ),,,, ; b) 0,,,, 0; c) 0,, 0,, 0; d),, 8,, 8. ),,,,, ; b),,,,, 8; c),, 8,,, ; d) 0, 8, 0,, 0, 8; e) 0,, 0, 8, 0,.. ), 0,, -,, 0; b). 0, 0,, 0,,,, 0,,. ) ; b) + ; c) + 7. ) () ; b) ( ) ,,, 0,, 0,, 0,, 0 9., o, e., + ( ), 0. ( ) ( ) ), ; d) tg.0 ; e) log( ). ( ) ( ) 8 + ; c) ( ) ; d) ( ) ( ). ) ; b) ; c) ( ), 0,,, ),,,, (Obrázek ); b), 0,, 8, (Obrázek ); c),,,, 8 (Obrázek ) Obrázek 7

38 Obrázek,, 0,7 0, 0, -0, 0-0, -0,7 -, - 0 Obrázek. ) ; b) žádý Rekuretí určeí poslouposti. ) 0, 9, 7, 7,, 89, 77; b) 0,, 0,, 0,, 0; c),,,,,, ; d) 0 -, 0,, 0, 0, 0, 0.. ),,,,, 7, 8; b),, 8,,,, 8; c),,,,,, ; d),,,,, ), + +, + + ( + ) ; b), + + ; c) + +, + +, ), 7 ; b), ( + ) +, ( + ) 8

39 . ), + ( + ) + ; b),, Některé vlstosti posloupostí. rostoucí.. ) klesjící; b) rostoucí; c) klesjící; d) i rostoucí i klesjící; e) klesjící.. eklesjící.. ) e (rostoucí); b) e (rostoucí); c) o; d) e (i rostoucí i klesjící).. ) x > 0; b) x < 0; c) x 0.. ) omezeá; b) zdol omezeá; c) shor omezeá; d) omezeá 7. b) zdol omezeá; c) log ; + log + Aritmetické poslouposti. ),,, 8, 0, ; b),,, 8,, ; c) 0,,,,,,,, 8; d),,,,,.. ),, 8,, ; b),, 8,, 0; c), 0,,, 8; d) 7,, 9,,.. ), d ; b) 9,7, d, ; c) 0, d 0 ; d) dvě řešeí, 7; 9, d 7 [Řešíme kvdrtickou rovici ].. k ( k + 7).,., dm, dm. [Řešíme rovici (,8 d ) +,8 (, 8 + d ) s ezámou d R]. 7. d s 0, , 7, 0, Máme čtyři možosti: {8, 8, 8}, {7, 8, 9}, {, 8, 0}, {, 8, } d,, vkládám 0 čísel (7, 0,,, 9,,, 8,, )., d 7, sečteme sedm prvích čleů.. Jsou dvě možosti: buď 8, d ebo, d. 8, d Užití ritmetických posloupostí. vrstev, rour. 7. d 0, α 70, α 90,, α 70. součástek. 0 metrů. 8 C 7. si 0 vteři 9

40 Geometrické poslouposti. ) 0,; 0,; 0,; 0,8; ;,; b) 0; ;,;,; 0,; 0,; c),;,;,;,;,;,; d),;,;,;,;,;,. q ; ; 8; ;., q. q ; c. ), 8,,, ; b),,, 8, ; c) dvě možosti:,,,, 0;,,,, 0., 8 o, zbytek e 7. ) Dvě možosti:, q ;, q [Přejdeme k soustvě rovic (+q), q (q+) (q ); je-li q, pk q + řešíme rovici q + q (q+) (q-) ; pro q bychom v prví rovici dé soustvy rovic dostli 0 ]; b) dvě možosti:, q 0, ;, q ; c), q ; [ + ( + ) q]; d) dvě možosti:, q 0;, q [ + q (q+) 0, právě když 0 ebo q 0 ebo q ; vyšetříme všechy tyto přípdy] 8. 8 ; ; ; ; 8; 9 ; Součet libovolého počtu čleů poslouposti je vždy meší ež..,, 8,. si 8 zr [Prví čle poslouposti kvociet q ]. Užití geometrických posloupostí. 777 grošů. α 8 0'. v roce 98 [Předpokládejte, že prví počítč byl použit let před rokem 97 kvociet bude +0,].. ),7 mm; b) si po protžeích. V 7. Jsost pprsku je 7. Je uté ukládt 80,0 Kč ,- Kč 0. 7,0 Kč 9,. 7 8,0 Kč [ 000 ( + 0,8 00 ) 8 ] Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí. c 0,, klesjící, shor i zdol omezeá. 0

41 Limity posloupostí. ),,,,,, 7, 8, 9, 0, Obrázek ; b) kovergetí [Dokážeme že ke kždému ε > 0 existuje 0 N tk, že pro všech přirozeá čísl 0 je c < ε čili + < ε.]; c) lim c,9,8,7,,,,,, Obrázek. ), b), c) kovergetí, limit je 7; d) kovergetí, limit je ; e) divergetí; f) kovergetí, limit je +. [) + + ; b) ( )( + ) ; c) ]. Kovergetí pro tyto přípdy: d 0; d 0 zároveň c 0. V prvím přípdě je limit c, ve druhém přípdě 0. (Je-li d 0 c 0 pk je posloupost divergetí). d., b) kovergetí; c) eí kovergetí. ) + ; b) ; c) divergetí, emá evlstí limitu; d) kovergetí 7. ) + ; b) ; c) divergetí, emá evlstí limitu; d) kovergetí, 0 8. Posloupost je zázorě obrázku (Obrázek ).,, 0,8 0, 0, 0, limit je Obrázek 0.

42 Litertur [] Bed P., Dňková B., Skál J.: Sbírk mturitích příkldů z mtemtiky, Státí pedgogické kldtelství Prh 9 [] Bušek I.: Řešeé mturití úlohy z mtemtiky, Státí pedgogické kldtelství Prh 98 [] Bydžovský B., Vojtěch J.: Mthemtik pro ejvyšší třídu reálek, JČM Prh 9 [] Delvethl K. M. kol.: Kompedium mtemtiky, Kiží klub Prh 00 [] Jrík J.: Poslouposti řdy, Mldá frot Prh 979 [] Kubát J.: Sbírk úloh z mtemtiky pro příprvu k přijímcím zkouškám vysoké školy, Státí pedgogické kldtelství Prh 988 [7] Odvárko O.: Mtemtik pro gymázi Poslouposti řdy, Prometheus Prh 99 [8] Odvárko O.: Sbírk úloh z mtemtiky pro gymázi Poslouposti řdy, Prometheus Prh 000 [9] Polák J.: Přehled středoškolské mtemtiky, Prometheus Prh 000 [0] Smid J., Odvárko O.: Mtemtik pro III. ročík gymázií Poslouposti řdy reálých čísel, Státí pedgogické kldtelství Prh 989 [] Vyší J.: O ekoečých řdách, Jedot českosloveských mtemtiků fysiků Prh 98

43 Sezm zkrtek zček N moži všech přirozeých čísel R moži všech reálých čísel N prvek áleží do možiy všech přirozeých čísel < b prvek je meší ež prvek b > b prvek je větší ež prvek b b prvek je meší ebo rove prvku b b prvek je větší ebo rove prvku b b prvek se erová prvku b hodot prvku je přibližě! fktoriál čísl. Jeho hodot je rov součiu... ( )

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Čílo projektu Čílo mteriálu CZ..07/.5.00/34.0394 VY_4_Iovce_3_MA_4.0_ Aritmetická poloupot prcoví lit Název školy Střeí oborá škol Střeí oboré učiliště, Hutopeče, Mrykovo ám. Autor Temtický celek Mgr.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky Posloupnosti Motivace Víš, jaký bude následující člen v řadách 2, 4, 6, 8,? a 2, 4, 8, 16,?? Urči součet řady Jak převedeš číslo na zlomek? 1 Definice posloupnosti Posloupnost je funkce. Definiční obor

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Sbírka příkladů. Posloupnosti. Mgr. Anna Dravecká. Gymnázium Jihlava

Sbírka příkladů. Posloupnosti. Mgr. Anna Dravecká. Gymnázium Jihlava Sbírka příkladů Posloupnosti Mgr. Anna Dravecká Gymnázium Jihlava Anotace Sbírka příkladů Posloupnosti je vytvořen jakou souhrn příkladů vhodné pro samostatné domácí procvičování základních poznatků z

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157 Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5 5 Pojem poloupoti číel 5 5 Grfické zázorěí poloupoti 5 5 Některé vltoti poloupotí 55 Kotrolí otázky 57 5 Aritmetická poloupot 58 5 Součet prvích čleů ritmetické

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více