Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Transkript

1 Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK

2 Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q p, q K Pk určíme možu M všech rcoálích čísel, které mohou být kořey: V šem přípdě je proto p q { ±, ±, ±, ±, ±, ± } { ± } { ±, ±, ±, ±, ±, ± } M Tuto možu M ještě omezíme, eboť pltí vět: Nechť p Q je koře polyomu q Pk qc p c qc p c c K, echť Z, používá se ejčstěj pro c, kdy dostáváme p pro koře podmíky p, q p q q Nejprve zjstíme, že, p q q p p q výsledek Dlší výpočet zpíšeme do tbulky: p q q p p q výsledek - o - - e - - o -9 e - e - -9 e - - o -9 e - e - -9 e Zjstl jsme, že M {,, } Horerovým schémtem vyšetříme, které prvky z M jsou kořey polyomu : Z vypočítých hodot plye závěr polyom emá rcoálí kořey

3 Descrtesov vět: Odhd počtu reálých kořeů jejch polohy Počet kldých kořeů polyomu zmékových změ v posloupost počet meší K je buď rove počtu,, K jeho koecetů, ebo je o sudý, V polyomu jsou zmékové změy Počet kldých kořeů je tedy buď ebo Všechy reálé kořey polyomu V šem přípdě je A, A K leží v tervlu m,, K, kde A,,,,, A m proto všechy reálé kořey polyomu v tervlu ; Dlší odhdy polohy reálých kořeů polyomu leží K Předpokládejme, že spoň jede z koecetů polyomu je záporý Ozčme ejmeší záporý koecet, r prví záporý koecet s ejvětší kldý koecet před prvím záporým koecetem, B ejvětší z bsolutích hodot záporých koecetů Pk pro kždý reálý koře α polyomu Mclurov vět α <, r Lgrgeov vět α < B, Tllotov vět α < K pltí: rs s Pro áš polyom pltí: r s B

4 Mclurov vět: Lgrgeov vět: α < α < α < α < α < r α < B Tllotov vět: α < α < α < Použtí těchto vět ám původí odhd ; ezlepšlo Dolí odhdy kořeů polyomu získáme opkováím postupu pro polyom g, pro který pltí g protože je sudé, kdyby bylo lché, pltlo by g Polyom g tedy je g rs s protože má jedeu zmékovou změu, má jede kldý koře Proto má polyom jede záporý koře Pro polyom g pltí: r s B Mclurov vět: Lgrgeov vět: α < α < α < α < r B Tllotov vět: α < α < α < rs s α < <, Zjstl jsme, že reálé kořey polyomu v tervlu ; leží Jede koře je záporý buď tř ebo jede je kldý

5 Seprce kořeů Seprovt kořey polyomu zmeá určt tervly, v chž leží právě jede koře polyomu Sturmův řetězec: Nechť R[ ] Sturmovým řetězcem polyomu zýváme koečou posloupost polyomů,,, K, m, deových tkto:,, q j j j, q j m m m j, K, m polyom j je zbytek př děleí polyomu j polyomem j D, Buď [ ] α < α β kořeů polyomu číslu σ α σ β, kde polyomu, m je Sturmov vět: R Nechť je β Pk počet vzájem růzých K ležících v tervlu α, β je rove σ je počet zmékových změ ve Sturmově řetězc K Pomocí této věty můžeme určt přesý počet kořeů dého polyomu v dém tervlu Sturmův řetězec polyomu má tyto čley: jedotlvé výpočty čleů posloupost jsou uvedey v dodtku Protože je st D,, emá polyom víceásobé kořey tj má pouze jedoduché kořey

6 Sestrojme yí tbulku zméek polyomu ze Sturmov řetězce v tervlu ;, k výpočtu zméek hodot v jedotlvých bodech můžeme využít tké Horerovo schém ukázk v dodtku: σ Z tbulky vdíme, že polyom má jede jedoduchý koře v tervlu, jede jedoduchý koře v tervlu,

7 Iterčí metody hledáí reálých kořeů polyomu R[ ] Metod půleí tervlu: Hledáme koře α polyomu s přesostí ε > Buď c,c tkový tervl, že c c leží spoň jede zmék čísel jsou růzá pk v tervlu, c,c koře polyomu Ozčme c c c Pk buď c c Ke kostrukc bodu který pltí c c < α c c použjeme te z tervlů c,c, c,c, ebo, pro tj te tervl, v jehož krjích bodech má ukce opčá zmék Popsým způsobem pokrčujeme tk dlouho, ž lezeme buď přímo koře α, ebo ž pltí c c < ε Metod teče Newtoov metod: R má jedoduché kořey Nechť β Předpokládejme, že polyom [ ] α, je tkový tervl, uvtř kterého leží jedý koře α polyomu, echť celém tervlu α, β je, Ozčme c to z čísel α, β, pro ěž pltí c c >, d druhé z čísel α, β, tj číslo, pro ěž pltí d d < Utvořme posloupost c, c d, d c d c, c d c c, d c d c, c d c K,, K Potom jed z posloupostí je klesjící, druhá rostoucí obě posloupost kovergují ke kořeu α polyomu Metod seče metod regul ls: R má jedoduché kořey Nechť β Předpokládejme, že polyom [ ] α, je tkový tervl, uvtř kterého leží jedý koře α polyomu, echť celém tervlu α, β je, Ozčme Sestrojme posloupost { } Pk posloupost { } α c c předpsem c c β β α β α β β c β c,,,k c koverguje ke kořeu α polyomu

8 Apromce kořeů Uvžujme ejprve tervl, můžeme použít kteroukol z uvedeých terčích metod Použjme příkld Newtoovu metodu: Pltí,, Protože >, <, <, > c c c c c c -,87 c c 8,98 c c c c -,97 c c, c c c c -,7 c c,97 c c c c -,7 c d d d d d -,8779 d c d d d -,8 d c d d d -, d c - -,9 -,99 -,99 Víme, že posloupost { c } je rostoucí, posloupost { } lm c lm d Proto c d,7,,, -7-9,8 -,8-9,7 d klesjící 7

9 I v druhém tervlu, <, >, >, > můžeme použít Newtoovu metodu, protože c c 8 c c c c,8 c c 8,98 c c c c, c c,7 c c c c, c c,7 c c c c,8 c d d d d d,888 d c d d d,8977 d c d d d, d c d d d, c - -9,7 -,8978 -,78 Víme, že posloupost { c } je klesjící, posloupost { } lm c lm d Proto d c,;,8, Polyom z ch v tervlu,7,,,;,8 8 9,98 7,889 9, d rostoucí Závěr: má dv reálé jedoduché kořey Prví druhý v tervlu Polyom je stupě, proto má dlší dv kompleí kořey Progrm DERIVE všechy kořey vypočetl tkto: 8

10 9 DODATKY Horerovo schém ve vybrých bodech Výpočty polyomů Sturmov řetězce : : : : :

11 : 9 8 : LITERATURA NOVOTNÁ, J TRCH, M: Algebr teoretcká rtmetk Polyomcká lgebr Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult, Prh ŠISLER, M ANDRYS, J: O řešeí lgebrckých rovc Mldá rot, Prh 9 OBSAH Rcoálí kořey Odhd počtu reálých kořeů jejch polohy Seprce kořeů Iterkčí metody hledáí reálých kořeů polyomu R[ ] DODATKY 9 LITERATURA OBSAH