KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o"

Transkript

1 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij zýváme koeficiety soustvy čísl b i bsolutími čley Mtice ( A m m m se zývá mtice soustvy ( mtice R m m m b b b m je rozšířeá mtice soustvy ( Vektor ( se zývá vektor řešeí soustvy ( vektor b (b b m je vektor bsolutích čleů Pozámk Soustv m lieárích rovic o ezámých tvru ( budeme pro stručost ozčovt S(m ždou soustvu lieárích rovic S(m lze chrkterizovt její rozšířeou mticí soustvy R typu m ( Nmísto pojmu vektor řešeí soustvy S(m budeme čsto užívt stručějšího pojmu řešeí soustvy S(m Všechy vektory řešeí soustvy S(m předstvují její obecé řešeí Řešit soustvu S(m zmeá určit její obecé řešeí ebo jik řečeo lézt všech řešeí soustvy Soustvu S(m můžeme stručější zpisovt pomocí mticové symboliky Zpíšeme-li vektor řešeí vektor bsolutích čleů b jko sloupcové vektory b b b M M b m Můžeme vektor povžovt z mtici typu vektor b z mtici typu m soustvu S(m můžeme psát ve tvru

2 A b ( Součiem mtice A typu m mtice typu je podle defiice ásobeí mtic mtice b typu m Jestliže poecháme vektor řešeí vektor bsolutích čleů b ve tvru řádkových vektorů tj mtic typu m můžeme soustvu S(m psát ve tvru T kde je trspoová mtice k mtici typu b jsou tedy opět sloupcové vektory Řešitelost soustvy lieárích rovic T T A b T trspoová mtice k mtici b typu m T V tomto odstvci si ukážeme z jkých podmíek má soustv lieárích rovic řešeí kolik těchto řešeí může mít jké jsou jejich vlstosti Následující důležitá vět se uvádí pod ázvem Frobeiov vět Vět Soustv lieárích rovic S(m má řešeí právě tehdy když hodost mtice soustvy A se rová hodosti rozšířeé mtice soustvy R Důkz Předpokládejme ejprve že soustv S(m má řešeí dokžme že pk h( A h( R Je-li řešeí soustvy S(m pk pltí s s b přičemž s jsou sloupcové vektory mtice A z čehož vyplývá že sloupec bsolutích čleů b je j ( ij mj lieárí kombicí osttích sloupců rozšířeé mtice soustvy R při výpočtu hodosti mtice R lze teto sloupec vyecht Je tedy h( A h( R Předpokládejme opk že pltí h( A h( R Mtice R má tedy stejý počet lieárě ezávislých sloupců jko mtice A tkže posledí sloupec mtice R tj vektor b musí být lieárí kombicí sloupců mtice A Proto eistuje vektor c (c c tk že pltí c s s b c To všk zčí že vektor c (c c předstvuje řešeí soustvy S(m Příkld Soustv dvou lieárích rovic o třech ezámých T b emá řešeí Mtice soustvy A má hodost h( A kdežto rozšířeá mtice soustvy R

3 má hodost h( R Nepltí tedy h( A h( R eí splě podmík Frobeiovy věty dá soustv emá řešeí Je-li splě Frobeiov vět pk řešeí soustvy lieárích rovic S(m eistuje Zbývá pk rozhodout kolik má soustv řešeí Jk vyplývá z věty závisí v tom přípdě počet řešeí soustvy počtu ezámých Vět Nechť soustv lieárích rovic S(m má řešeí h je hodost mtice soustvy je počet ezámých Pltí: Jestliže h má soustv S (m právě jedo řešeí bjestliže h < má soustv S(m ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech Důkz Viz [] s Pozámk V přípdě že soustv S(m má ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech můžeme z h ezámých volit libovolá reálá čísl Odpovídjícím ezámým říkáme volé ebo volitelé ezámé Hodoty zbylých h ezámých jsou určey jedozčě vyjdřujeme je pomocí volých ezámých Příkld Řešme soustvu dvou lieárích rovic o třech ezámých Řešeí Soustvě lieárích rovic přiřdíme rozšířeou mtici soustvy převedeme ji trojúhelíkový tvr určíme hodosti h( A h( R Hodost rozšířeé mtice soustvy R je h( R hodost mtice soustvy A je h( A počet ezámých Soustv má ekoečě moho řešeí závislých h prmetru tj jed ezámá je volá Druhé mtici přiřdíme zpětě soustvu dvou rovic o třech ezámých tvru Nyí položíme př t kde t R Po doszeí t do rovice - máme t Posledí ezámou vypočteme z prví rovice soustvy Po doszeí t t t obdržíme tedy t Všech řešeí zdé soustvy se djí zpst ve tvru t t t

4 kde t R Pozámk Nechť soustv lieárích rovic S(m má ekoečě moho řešeí eboli h( A h( R < Vzth zhrující všech řešeí soustvy se zývá obecé řešeí soustvy Dosdíme-li z volé ezámé kokrétí reálá čísl dosteme jedo řešeí soustvy které zýváme prtikulárí řešeí soustvy Npř ( je prtikulárí řešeí soustvy z příkldu pro t Prtikulárí řešeí soustvy ve kterém jsou všechy volé ezáme rovy ule se zývá zákldí řešeí soustvy Npříkld ( je zákldí řešeí soustvy z příkldu pro t Defiice Soustv lieárích rovic S(m se zývá homogeí jestliže pltí b b Je-li lespoň jedo i m b zývá se soustv ehomogeí i m Pozámk V homogeí soustvě lieárích rovic jsou všechy prvé stry rovic rovy ule soustv má tedy tvr m m m Homogeí soustvu lieárích rovic budeme stručě zčit S (m Vět Homogeí soustv lieárích rovic má vždy řešeí Ozčíme-li h hodost mtice soustvy počet ezámých pltí: Jestliže h má homogeí soustv jedié řešeí ( bjestliže h < má soustv ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech Důkz Rozšířeá mtice homogeí soustvy lieárích rovic S (m má tvr R m m m Protože přidáím ulového sloupce se hodost mtice eměí pltí pro kždou homogeí soustvu rovost h( A h( R tkže homogeí soustv má vždy řešeí Zbývjící tvrzeí jsou důsledkem věty Pozámk Homogeí soustv lieárích rovic S (m kde > m tedy počet ezámých je větší ež počet rovic má vždy ekoečě moho řešeí Tto situce je popsá ásledující větou Vět Nechť mtice A soustvy lieárích rovic S (m má hodost h( A h < Obecé řešeí soustvy tvoří vektorový prostor dimeze h tkže báze tohoto prostoru obshuje h lieárě ezávislých řešeí všech osttí řešeí jsou jejich lieárími kombicemi Důkz Viz [] s 8 Metody řešeí soustv lieárích rovic Podle závěrů předchozího odstvce umíme určit počet souřdic lieárích rovic S(m Nyí se budeme zbývt otázkou jk řešeí soustvy lézt Uvedeme zde ejčstěji používé metody řešeí soustv lieárích rovic Předtím všk budeme defiovt pojem ekvivletích soustv lieárích rovic

5 Defiice Dvě soustvy lieárích rovic S (m S (m se stejými ezámými se zývjí ekvivletí jestliže moži všech řešeí soustvy S (m je rov možiě všech řešeí soustvy S (m Mějme soustvu lieárích rovic S(m Úprvy této soustvy po jejichž provedeí vziká soustv S (m s dou soustvou ekvivletí tedy úprvy jimiž se eměí moži řešeí soustvy zýváme ekvivletí úprvy soustvy lieárích rovic Jsou to zvláště tyto úprvy: (R zámě pořdí rovic (R ásobeí libovolé rovice eulovým reálým číslem (R přičteí lieárí kombice rovic soustvy k jié rovici soustvy (R vyecháí rovice která je lieárí kombicí jiých rovic dé soustvy (R zámě pořdí ezámých Podotýkáme že lieárí kombicí rovic zde rozumíme odpovídjící lieárí kombici řádkových vektorů rozšířeé mtice soustvy Ekvivletím úprvám soustvy lieárích rovic (R (R odpovídjí logické ekvivletí úprvy její rozšířeé mtice soustvy R (U (U při ichž se podle čláku hodost mtice R eměí Lze tedy kosttovt: Dvě soustvy lieárích rovic S (m (m z ichž jed vzike z druhé je požitím ekvivletích S úprv (R(R jsou ekvivletí právě tehdy když jejich odpovídjící rozšířeé mtice jsou ekvivletí Tohoto poztku prkticky využíváme při výpočtu řešeí soustvy S(m tk že rozšířeou mtici R této soustvy převedeme trojúhelíkovou mtici ekvivletími úprvmi (U (U Gussov elimičí metod Gussov metod je zlože převodu rozšířeé mtice R soustvy lieárích rovic S(m trojúhelíkovou mtici postupým prováděím ekvivletích úprv Postupujeme přitom stejě jko při výpočtu hodosti mtice Algoritmus řešeí soustvy lieárích rovic Gussovou elimičí metodou můžeme shrout do ásledujících kroků: Soustvě lieárích rovic S(m přiřdíme její rozšířeou mtici R Rozšířeou mtici soustvy převedeme ekvivletími úprvmi (U (U trojúhelíkovou mtici N zákldě vět rozhodeme o řešitelosti soustvy počtu jejích řešeí Trojúhelíkové mtici přiřdíme soustvu lieárích rovic ekvivletí soustvě S (m Vziklou soustvu lieárích rovic zdol vyřešíme Gussovou elimičí metodu předvedeme ásledujících dvou příkldech Příkld Určeme všech řešeí soustvy čtyř lieárích rovic o čtyřech ezámých Řešeí Rozšířeou mtici soustvy R uprvíme ekvivletími úprvmi trojúhelíkový tvr V prvím kroku sčítáme prví druhý řádek mtice od třetího řádku odečítáme dvojásobek prvího čtvrtý řádek je součtem prvího čtvrtého řádku původí mtice Dále změíme druhý třetí řádek mtic poté sčítáme dvojásobek ového druhého řádku trojásobkem čtvrtého řádku tk vzike ový čtvrtý řádek mtice

6 8 dosžeí trojúhelíkové mtice zbývá zjistit by pltilo Stčí trojásobek čtvrtého řádku mtice přičíst ke třetímu řádku 8 Z posledí mtice vidíme že pltí h( h( R A Dá soustv lieárích rovic má tedy právě jedo řešeí které sdo vypočteme ze soustvy lieárích rovic - Řešeím soustvy zdol postupě zjistíme že Řešeím soustvy je vektor ( Příkld Nlezěme všech řešeí soustvy tří lieárích rovic o čtyřech ezámých Řešeí Hed ze zdáí úlohy je zřejmé že soustv má buď ekoečě moho řešeí ebo žádé řešeí Počet ezámých je totiž určitě větší ež hodost obou mtic soustvě přiřzeých která je ejvýše rov třem Rozšířeou mtici soustvy uprvíme obdobými úprvmi jko v příkldě trojúhelíkovou mtici

7 Pltí h( A h( R Soustv má ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech Zvolíme-li příkld s t kde s t R z ekvivletí soustvy obdržíme s t ásledě s t Obecé řešeí soustvy je tedy kde s t R s s s t t t Volbou s t můžeme dostt prtikulárí řešeí ( volb s t vede k prtikulárímu řešeí ( které je zároveň zákldím řešeím (viz pozámk odezčí metod odezčí metodu řešeí soustvy lieárích rovic můžeme povžovt z modifikci Gussovy elimičí metody Scéář řešeí je opět dá kroky - Z úvodu odstvce s tím rozdílem že ve druhém kroku převádíme rozšířeou mtici soustvy trojúhelíkovou mtici pomocí kodezčího lgoritmu tk jk tomu bylo při určováí hodosti mtice Metodu si přiblížíme řešeím ásledujících tří příkldů Příkld Řešme soustvu lieárích rovic - Řešeí úprvě rozšířeé mtice soustvy použijme kodezčí metodu která odpovídá ekvivletím úprvám Výpočet probíhá tkto:

8 8 Protože h( h( R A má soustv právě jedo řešeí Posledí trojúhelíkové mtici odpovídá soustv lieárích rovic Řešeím posledí rovice je - Postupým doszováím vypočteých hodot z ezámé do jedotlivých rovic dosteme Jediým řešeím soustvy je tedy vektor ( Příkld Nlezěme řešeí soustvy lieárích rovic Řešeí Obdobě jko v předchozí úloze uprvujeme rozšířeou mtici R trojúhelíkovou mtici 8 R Pro přehledost dlších úvh změňme posledí dv řádky mtice Z této mtice je vidět že hodost mtice soustvy A tj mtice ekvivletí mtici R bez posledího sloupce je h( A kdežto hodost mtice R je h( R Protože h( h( R A emá podle Frobeiovy věty soustv žádé řešeí

9 Pozámk Jkmile se v ěkteré mtici vziklé z dé rozšířeé mtice soustvy ekvivletími úprvmi (tedy i kodezčí metodou vyskyte řádek obshující smé uly ž eulový prvek v posledím sloupci zmeá to že dá soustv emá řešeí Příkld Řešme soustvu lieárích rovic - Řešeí Protože se jedá o homogeí soustvu rovic která má vždy řešeí stčí prcovt pouze s mticí soustvy Je tedy Dále eí třeb mtici soustvy uprvovt Z posledího řádku mtice ihed plye poté z druhého řádku ze třetího řádku pk koec z prvího Soustv má pouze triviálí řešeí ( Dokočeím převodu mtice soustvy trojúhelíkovou mtici se může čteář sám sdo přesvědčit že pltí h( A že podle věty má soustv jedié triviálí řešeí Jordov metod úplé elimice V ekoomických plikcích hrjí důležitou roli zákldí řešeí těch soustv lieárích rovic které mjí ekoečě moho řešeí Tto zákldí řešeí je možo hledt použitím Jordovy metody úplé elimice Má-li uvžová soustv lieárích rovic ezámých pltí-li h( A h( R h < má soustv ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech eboli volých ezámých Počet růzých zákldích řešeí soustvy pk závisí tom kolik způsoby můžeme tyto volé ezámé vybrt Dá se ukázt že kždá soustv lieárích rovic která má ekoečě moho řešeí má koečý počet zákldích řešeí ejvýše h zákldích řešeí Postup při řešeí soustvy lieárích rovic Jordovou metodou se dá shrout ásledově: Rozšířeou mtici soustvy převedeme trojúhelíkovou mtici V trojúhelíkové mtici vyulujeme prvky d hlví digoálou N hlví digoále tkto uprveé mtice vytvoříme pomocí ekvivletích úprv jedičky Výsledé mtici zpětě přiřdíme soustvu kterou již sdo vyřešíme Jordovu metodu si blíže vysvětlíme příkldech Příkld 8 Řešme soustvu lieárích rovic - Řešeí

10 Rozšířeou mtici soustvy ejprve převedeme trojúhelíkovou mtici tomu použijeme lgoritmus kodezčí metody Je vidět že pltí h( h( R A počet ezámých Zmeá to že soustv má ekoečě moho řešeí přičemž dvě ezámé jsou volitelé Dále vyulujeme prví řádek d hlví digoálou to tk že od prvího řádku odečteme řádek druhý posléze vydělíme prví řádek dvěmi Mtici přiřdíme soustvu rovic Volbou získáme jedo ze šesti zákldích řešeí soustvy (- ezámým přitom říkáme bázické proměé Jordov metod umožňuje přechode od jedoho zákldího řešeí k jiému změou bázické proměé Budeme-li chtít by bázickými proměými byly místo dále proměé je třeb čtvrtý sloupec posledí mtice uprvit jedotkový tvr T ( př tk že druhý řádek dělíme číslem - poté od prvího řádku odečteme trojásobek druhého Číslu přitom říkáme klíčový prvek druhému řádku klíčový řádek čtvrtému sloupci klíčový sloupec Této mtici odpovídá soustv rovic - - Volbou získáme tedy dlší zákldí řešeí je - ( N závěr řešeí příkldu uvádíme přehled všech zákldích řešeí soustvy

11 Výpočty v předchozím příkldu je možo opět do jisté míry zutomtizovt zákldě kodezčího lgoritmu Předpokládejme že chceme jít zákldí řešeí s bázickými proměými s volými proměými Zčěme př u proměé zřďme ji mezi bázické proměé Z klíčový prvek můžeme v rozšířeé mtici soustvy povžovt libovolé z čísel prvího sloupce Zvolme prvek Dále počítáme dle schémtu: - vydělíme klíčový řádek klíčovým prvkem - do klíčového sloupce doplíme uly - čísl ležící mimo klíčový řádek mimo klíčový sloupec počítáme podle vzthu j ij ' pro klíčový prvek i ij Rozšířeá soustv mtice je poté * zřzeí proměé mezi bázické je možo prcovt buď s klíčovým prvkem Zvolme z klíčový prvek Pk ebo * přitom ový prvek ' jsme počítli jko ' kdežto ový prvek ' jko ' (eí-li klíčový prvek v hlví digoále determitu druhého řádu pk teto determit měí zméko Máme tk zákldí řešeí ( Příkld ilustrci tohoto postupu vyřešíme ještě jede příkld

12 Řešme soustvu tří rovic o třech ezámých Řešeí Budeme postupě volit klíčové prvky v hlví digoále rozšířeé mtice soustvy * * * Z výsledé mtice vidíme že pltí h( A h( R tedy soustv má jedié řešeí ( Crmerovo prvidlo Jko posledí metodu řešeí soustv lieárích rovic uvádíme metodu zložeou použití determitů Metod má spíše je teoretický výzm dá se použít pouze tehdy je-li počet rovic soustvy počet ezámých shodý mtice soustvy musí být regulárí Nvíc víme z kpitoly o determitech že výpočet determitů vyšších řádů je čsto velmi prcý Hlví výzm Crmerov prvidl spočívá v tom že umožňuje eplicitě zpst řešeí soustvy pomocí prvků rozšířeé mtice soustvy že Crmerovým prvidlem se dá určit libovolá ezámá ezávisle osttích ezámých soustvy Vět Mějme soustvu lieárích rovic o ezámých b b b Jestliže je mtice soustvy A regulárí pk má soustv právě jedo řešeí tvru det A j j j det A kde A j je mtice vziklá z mtic soustvy A výměou jejího j-tého sloupce sloupcem prvých str rovic soustvy Důkz Protože je mtice soustvy A regulárí pltí pltí Ozčme h( A h( R soustv má právě jedo řešeí Dokážeme že det A det A

13 b b b det A Dosdíme-li do tohoto determitu vyjádřeí b ve tvru b j máme j j j j det A prvímu sloupci tohoto determitu přičteme lieárí kombici zbylých sloupců s koeficiety - - Odtud je det A det A protože det A pltí det A det A Obdobě se dokáže pltost vzthu det A j j pro j det A Příkld Crmerovým prvidlem řešme soustvu rovic Řešeí Pltí det A mtice soustvy A je regulárí soustv má právě jedo řešeí Dále det A 8 8 odtud det A 8 8 det A det A odtud det A det A

14 Příkld Crmerovým prvidlem řešme soustvu rovic z příkldu Řešeí Pltí 8 det A det A 8 8 det A det A Soustv má právě jedo řešeí 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uiverzit Krlov v Prze Pedgogiká fklt SEMINÁRNÍ PRÁCE Z LGERY ELEMENTY LINEÁRNÍ LGERY 999/ CIFRIK PŘEHLED DEFINIC POJMŮ iárí rele R iárí rele R mezi možimi moži Pro dv prvky b (prvek) je v reli R s (prvkem)

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici,

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na HEMIKÁ KINETIK hemická kietik je část fyzikálí chemie zbývjící se způsobem rychlostí, kterými chemické rekce procházejí mezi počátečím koečým stvem. To jí odlišuje od chemické termodymiky, která studuje

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Interpolace a aproximace. Interpolace algebraickým polynomem a aproximace metodou nejmenších čtverců

Interpolace a aproximace. Interpolace algebraickým polynomem a aproximace metodou nejmenších čtverců Iterpolce promce Iterpolce lgebrckým polomem p g ý p promce metodou ejmeších čtverců Iterpolce lgebrckým polomem Apromce metodou ejmeších čtverců Úloh. Dá tbulk hodot,, j pro j. Hodot jsou přesé. Hledáme

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více