y regulovaná veličina w žádaná hodnota regulované veličiny e regulační odchylka y R akční veličina u řídicí veličina v poruchová veličina w(t) e(t)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "y regulovaná veličina w žádaná hodnota regulované veličiny e regulační odchylka y R akční veličina u řídicí veličina v poruchová veličina w(t) e(t)"

Transkript

1 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová cvičeí - tbilit regulčího obvodu 6.. tbilit regulčího obvodu Při ávrhu zpětovzebího řízeí vycházíme z poždvku stbilitu chováí uzvřeé regulčí smyčky, tedy z poždvku, by se chováí uzvřeého regulčího obvodu vyvedeého z rovovážého stvu vlivem působeí poruch ebo vlivem změy žádé hodoty regulové veličiy ustálilo v původím popř. ovém rovovážém stvu. Využijme k objsěí pojmu stbility obr. 6., ěmž je zázorě pohyb kuličky po tvrové kulise. Je zřejmé, že kuličk se po vychýleí odstrěí příčiy vychýleí vlivem své tíže vždy vrátí do původího rovovážého stvu, tj. do bodu A. Nopk, byl-li původí rovovážý stv v bodě B, jk ukzuje obr.6., kuličk se buď do původího rovovážého stvu evrátí (), ebo se od ěj vzdluje (b). Vzhledem k uvedeým příkldům můžeme říci, že systém je stbilí, když po vychýleí zujme původí rovovážý stv. tbilit se ám tudíž jeví jko vlstost systému, která je spoje s jeho podsttou. B A B Obr. 6..: tbilí systém () (b) Obr. 6..: Nestbilí systémy Pro vysvětleí pojmu stbility uzvřeé regulčí smyčky budeme vycházet ze zákldího blokového schémtu regulčího obvodu (obr.6.). Pro jedoduchost budeme předpokládt, že všechy veličiy obvodu jsou jedorozměrové. regulová soustv (řízeý systém) v(t) u(t) y(t) R regulátor (řídicí systém) y R (t) R e(t) w(t) Obr.6..: Zákldí blokové schém regulčího obvodu y regulová veliči w žádá hodot regulové veličiy e regulčí odchylk y R kčí veliči u řídicí veliči v poruchová veliči Vstupími veličimi regulčího obvodu jsou žádá hodot regulové veličiy w(t) poruchová veliči v(t), výstupí veličiou obvodu je regulová veliči y(t). Defiujme regulčím obvodu tzv. přeos řízeí G w ( s ) v, tj. přeos žádé hodoty regulové veličiy w(t) výstup - regulovou veličiu y(t) - z podmíky v(t) : G w ( s ) Y( s ) W( s ) v v GR( s )G ( s ) + G ( s )G ( s ) R (6.) - -

2 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. přeos poruchy G v ( s ), tj. přeos poruchové veličiy v(t) regulovou veličiu y(t) w z podmíky w(t) : Y( s ) G ( s ) Gv( s ) (6.) w V( s ) + G ( s )G ( s ) w Přeosy (6.) resp. (6.) jsou čsto ozčováy pouze jko G w ( s ) resp. G v ( s ) priori se předpokládá podmík v(t) resp. w(t). Cílem zpětovzebího řízeí je, by řídicí veliči u( t ) vyrovávl skutečou hodotu regulové veličiy y(t) úměrě změám žádé hodoty regulové veličiy w(t) tk, by veliči y(t) kopírovl veličiu w(t), tj. by v ideálím přípdě pltilo: y(t)w(t) tedy G w ( s ), dále by byly kompezováy ežádoucí vlivy poruchové veličiy v(t), tj. by v ideálím přípdě pltilo: G v ( s ) Přeosy G w ( s )(6.) i G v ( s ) (6.) uzvřeého regulčího obvodu mjí stejý chrkteristický polyom tedy i stejou chrkteristickou rovici: s + s + s s + která je určující pro řešeí stbility uzvřeého regulčího obvodu. R, (6.) Příkld 6..: Vypočítejte přeos řízeí G w ( s ) přeos poruchy G v ( s ) pro regulčí obvod obr.6., kde: - přeos regulové soustvy : G( s ) s( s + ) - přeos regulátoru (PD): ( s ) r r s. G ( s ) w G ( s ) v v w Y( s ) W( s ) Y( s ) V( s ) G ( s )G ( s ) GR + ( r + r s ) R 4 + GR( s )G ( s ) s + 6s + s + ( r + 8 )s + r G ( s ) 4 + GR ( s )G ( s ) s + 6s + s + ( r + 8 )s + r Je zřejmé, že chrkteristické rovice přeosu řízeí G v ( s ) uzvřeého regulčího obvodu: G w ( s ) přeosu poruchy { 4 s + s + s + s + s + s + s + ( r + )s + r 44 jsou stejé koeficiety jsou (v omezeé míře) ovlivitelé stveím regulátoru! - -

3 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Z rovic (6.) (6.) je ptré, že regulčí pochod (průběh regulové veličiy y(t)) jko odezv vstupí sigál (tedy sigál žádé hodoty regulové veličiy w(t) resp. sigál poruchové veličiy v(t)) je ve spojitých lieárích regulčích obvodech s kosttími prmetry popsá lieárí difereciálí rovicí obecě -tého řádu: y ( ) + y ( ) y + y b m c w v ( m ) ( m ) m + b + c m m w ( m ) b w + b w resp. ( m ) v c v + c v, (6.4) jejíž prvá str je modifiková podle toho, která z veliči w(t) resp. v(t) regulčí pochod vyvoll. Řešeí y(t) difereciálí rovice (6.4): y( t ) y ( t ) y ( t ) (6.5) hom + je dáo obecým řešeím y hom (t) homogeí difereciálí rovice: prt ( ) ( ) y y... y y, (6.6) popisujícím chováí regulové veličiy y(t) po dobu přechodového děje, prtikulárím řešeím y prt (t) ehomogeí difereciálí rovice, popisujícím vuceou složku regulové veličiy y(t). tbilit řešeí y(t) je dá vitří strukturou systému ikoli chrkterem vstupích sigálů w(t) resp. v(t). Proto je určová chrkterem přechodového (volého) pohybu systému ezávisle fyzikálě relizovtelých (tz. eergeticky omezeých) vstupech, tedy pouze obecým řešeím homogeí difereciálí rovice (6.6). Regulčí obvod je stbilí, jestliže obecé řešeí y hom (t) se s rostoucím čsem blíží k ule: lim y ( t ) (6.7) t hom Pro posouzeí stbility uzvřeého regulčího obvodu je tedy rozhodující homogeí difereciálí rovice (6.6). kde Řešeím y hom (t) této homogeí difereciálí rovice je: s i, i,,..., y hom ( t ) i C e i sit jsou kořey chrkteristické rovice: s + s + s s +, (6.8), (6.9) tedy chrkteristické rovice přeosů G w ( s )(6.) G v ( s ) (6.) uzvřeého regulčího obvodu. Vzhledem k tomu, že chrkteristický polyom levé strě rovice (6.9) je polyomem s reálými koeficiety, mohou být kořey chrkteristické rovice reálé komplexě sdružeé (s eulovou reálou částí či ryze imgiárí). Podívejme se yí, jk poloh kořeů v komplexí roviě ovlivňuje řešeí yhom(t) homogeí difereciálí rovice (6.6). - -

4 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. ) Reálé kořey si αi určují periodické složky řešeí: αit y ( t ) C e hom,i i (6.) N obr.6.4 jsou zázorěy typické periodické průběhy regulčího pochodu, které v závislosti poloze kořeů chrkteristické rovice (6.9) reálé ose mjí chrkter stbilího děje, děje mezi stbility či estbilího děje. ) Im(s) b) y hom (t) c) y hom (t) d) y hom (t) α α α α α α Re(s) t t t Obr.6.4.: Aperiodický stbilí regulčí pochod (b), pochod mezi stbility (c) periodický estbilí regulčí pochod (d) určeý polohou kořeů chrkteristického polyomu () m-ásobý reálý koře m s α m určuje složku řešeí homogeí rovice ve tvru: m αt yhom( t ) ( C + C t + C t Cm t ) e (6.) N obr.6.5. je zázorě příkld stbilího regulčího pochodu systému s -ásobým reálým kořeem v levé poloroviě komplexí roviy. Im(s) y hom (t) α α α α Re(s) t Obr.6.5.: Příkld stbilího regulčího pochodu (-ásobý reálý koře v levé poloroviě) b) Komplexě sdružeé kořey si,i α i ± jω určují kmitvé složky řešeí: + i y αit + ( t ) Cie cosωit + Ci hom i,i + e αit siω t i (6.) N obr.6.6 jsou zázorěy typické periodické průběhy regulčího pochodu, které v závislosti poloze kořeů chrkteristické rovice (6.9) v komplexí roviě mjí chrkter stbilího děje, děje mezi stbility či estbilího děje. ) Im(s) b) y hom (t) c) y hom (t) d) y hom (t) α α α α,α α,α α,α Re(s) t t t α α α - 4 -

5 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Obr.6.6.: Periodický (kmitvý) stbilí regulčí pochod (b), periodický estbilí regulčí pochod (c) periodický pochod mezi stbility (d) určeý polohou kořeů chrkteristického polyomu () stbilí oblst Im (s) mez stbility estbilí oblst Re (s) Obr.6.7.: Rozložeí kořeů chrkteristické rovice v komplexí roviě Z uvedeé lýzy je zřejmé, že utou postčující podmíkou pro stbilitu uzvřeého lieárího regulčího obvodu je, by všechy kořey chrkteristické rovice obvodu měly záporou reálou část, tj. by ležely v levé poloroviě komplexí roviy (obr.6.7)! Kořey chrkteristické rovice uzvřeého regulčího obvodu, ležící imgiárí ose, vymezují chováí obvodu mezi stbility kořey s kldou reálou částí, tj. ležící v prvé poloroviě komplexí roviy, estbilí chováí obvodu. Příkld 6..: Rozhoděte o stbilitě uzvřeého regulčího obvodu s přeosem řízeí: Y( s ) GR( s )G ( s ) s + s + s + 4 Gw( s ) v W( s ) + G ( s )G ( s ) ( s + 5 ) ( s + )( 4s + )( s R + s + ) Kořey chrkteristické rovice ( tedy póly přeosu řízeí G w ( s ) uzvřeého regulčího obvodu) jsou: 5 s, s s4 s5, 6 ± j 4 Všechy kořey chrkteristické rovice mjí záporou reálou část, leží v levé poloroviě komplexí roviy uzvřeý regulčí obvod je tudíž stbilí. Záme-li kokrétí přeos uzvřeého regulčího obvodu, jko tomu bylo v příkldu 6.., je jeho stbilit urče polohou pólů (kořeů chrkteristické rovice) přeosu. Poloh pólů uzvřeého regulčího obvodu se všk měí s kždým přestveím kostt PID regulátoru (příkld 6.). Póly se v závislosti stveí kostt regulátoru pohybují po jistých trjektoriích mohou se ze stbilí oblsti (levé poloroviy komplexí roviy) posuout po těchto trjektoriích do oblsti estbility (prvé poloroviy komplexí roviy). K posuu pólů smozřejmě dochází i vlivem změ prmetrů řízeého systému. Jk uvidíme v odstvci 6., existuje řd postupů, kterými lze vymezit oblsti, v ichž mohou jedotlivé prmetry PID regulátoru ležet, by byl zruče stbilit uzvřeého regulčího obvodu. Tyto oblsti zýváme oblstmi stbility

6 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Příkld 6..: Mějme uzvřeý regulčí obvod (obr.6.). Nechť je regulová soustv s sttismem. řádu popsá přeosem G ( s ) PD regulátor R přeosem s ( s + ) GR( s ) r + rs. Cílem je určit roviu prmetrů, v íž leží prmetry PD regulátoru ( r r ), pro kterou je uzvřeý regulčí obvod stbilí. Pro určeí chrkteristického polyomu uzvřeého regulčího obvodu určíme ejdříve přeos řízeí G ( s ): Y( s ) GR( s )G ( s ) r + r s GW ( s ) W( s ) + GR( s )G ( s ) s + s + r s + r. Chrkteristická rovice je tedy rov: s + s + r s + r Je možo dokázt, že mjí-li kořey chrkteristické r rovice uzvřeého regulčího obvodu ležet ve stbilí oblst stbility oblsti, je ezbyté, by prmetry r r PD hrice stbility regulátoru splňovly ásledující podmíky: 45 r r r >, r >, ( r r ) > r > r. r V roviě prmetrů (obr.6.8) je oblst stbility vyzče šrfováím; mezí stbility je přímk r r. Obr.6.8: Oblst stbility v roviě prmetrů r r 6.. Míry stbility V odstvci 6. jsme vysvětlili eje příčiy posuu pólů přeosu uzvřeého regulčího obvodu v komplexí roviě, le i ásledky tohoto posuu pólů stbilitu regulčí smyčky. Aktuálí poloh pólů určuje, zd je systém stbilí či ikoli, le ikterk evypovídá o tom, jk dleko je systém od přípdé estbility. Z těchto důvodů byly zvedey tzv. míry stbility, které jsou měřítkem této vzdáleosti. Zmííme 4 ejčstěji používé míry stbility: stupeň stbility, reltiví tlumeí, mplitudovou fázovou bezpečost. ) tupeň stbility δ je defiová jko miimálí bsolutí hodot reálé části pólů stbilího systému (uzvřeého regulčího obvodu), tedy jko vzdáleost pólu/ů ležícího/ležících ejblíže imgiárí osy komplexí roviy od této osy: δ mi Re( si ) i,,...,, (6.) kde s i jsou póly stbilího systému. Aby měl systém stupeň stbility δ, musí všechy jeho póly ležet ve vyšrfové oblsti (obr.6.9). W - 6 -

7 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. b) Reltiví (poměré) tlumeí ξ mi je defiováo jko kosius mximálího úhlu ϕ mx, který s reálou osou svírjí spojice jedotlivých párů komplexě sdružeých pólů s počátkem komplexí roviy: ξ mi cosϕ mx (6.4) Aby měl systém reltiví tlumeí ξ mi, musí všechy jeho póly ležet ve vyšrfové oblsti (obr.6.). Im(s) Im(s) estbilí oblst ϕ mx estbilí oblst δ Re(s) Re(s) Obr.6.9.: tupeň stbility δ Obr.6..: Miimálí reltiví tlumeí ξ mi cosϕ mx c) Amplitudová bezpečost m fázová bezpečost γ jsou mírmi stbility, které se odečítjí z frekvečích chrkteristik (v komplexích ebo logritmických souřdicích) otevřeého regulčího obvodu. Pozmeejme, že otevřeý regulčí obvod (tzv. rozpojeá smyčk) vzike rozpojeím uzvřeého regulčího obvodu libovolém místě jeho přeos je dá součiem přeosů systému G ( s ) regulátoru G R ( s ) : c) γ b) ω ) - /m ImG (jω) ω ImG (jω) Obr.6..: Amplitudová fázová bezpečost v komplexích souřdicích G ( s ) G ( s )G ( s ) Změy prmetrů otevřeé regulčí smyčky ovlivňují stbilitu uzvřeého regulčího obvodu. N obr. 6. je zkresle frekvečí chrkteristik ()) otevřeého regulčího obvodu, která protíá reálou osu komplexích souřdic uvitř jedotkové kružice se středem v počátku. Uzvřeme-li rozpojeý regulčí obvod s touto frekvečí chrkteristikou, bude uzvřeý regulčí obvod stbilí. Zvětšíme-li zesíleí otevřeého (rozpojeého) regulčího obvodu tk, by frekvečí chrkteristik protíl reálou osu v bodě, tedy obvodu jedotkové kružice (obr.6.b), bude uzvřeý regulčí obvod mezi stbility. Zvětšíme-li zesíleí otevřeého regulčího obvodu tolik, že bude R - 7 -

8 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. frekvečí chrkteristik otevřeého regulčího obvodu protít reálou osu komplexích souřdic vě jedotkové kružice (obr.6.c), bude již uzvřeý regulčí obvod estbilí. Vzdáleost frekvečí chrkteristiky otevřeého regulčího obvodu od kritického bodu (-, j) udává bezpečost ve stbilitě uzvřeého regulčího obvodu. K pochopeí podstty mplitudové fázové bezpečosti dobře poslouží Nyquistovo kritérium, jemuž je věová odstvec 6... Amplitudová bezpečost m u stbilího regulčího obvodu určuje, kolikrát (m-krát) je třeb zvětšit resp. F (jω) db zmešit zesíleí otevřeého regulčího obvodu, by uzvřeý regulčí obvod dosáhl meze stbility (obr.6.). Fázová bezpečost γ u log ω m stbilího regulčího obvodu určuje o rg F (jω) kolik (úhel γ ) je třeb zvětšit resp. zmešit fázi otevřeého regulčího γ obvodu, by uzvřeý regulčí obvod dosáhl meze stbility (obr.6.). Amplitudová fázová bezpečost log ω uzvřeého regulčího obvodu pro frekvečí chrkteristiky otevřeého regulčího obvodu v komplexích sou- Obr.6..: Amplitudová bezpečost m fázová souřdicích je zázorě obr.6.; bezpečost γ v logritmických souřdicích v logritmických souřdicích obr.6.. -π 6.. Kritéri stbility Jk již bylo řečeo, stbilit uzvřeého regulčího obvodu je urče polohou pólů přeosu uzvřeé smyčky v komplexí roviě. Vzhledem k tomu, že výpočet pólů je mohdy poměrě složitý vyžduje použití iterčích lgoritmů, byl vyviut řd kritérií, která umožňují rozhodout o stbilitě systému bez zlosti polohy jeho pólů. Kritéri dělíme do dvou zákldích skupi lgebrická kritéri frekvečí kritéri stbility Algebrická kritéri stbility Algebrická kritéri stbility umožňují rozhodout o stbilitě resp. estbilitě zákldě koeficietů,,..., chrkteristického polyomu (s) přeosu G(s) uzvřeého regulčího obvodu: ( s ) s + s + s s (6.5) + Nejčstěji používými lgebrickými kritérii jsou Routhovo, Hurwitzovo Routh- churovo kritérium. Dříve ež přistoupíme k objsěí jedotlivých kritérií, uvedeme - 8 -

9 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. ěkolik obecě pltých prvidel, pomocí kterých lze okmžitě rozhodout o stbilitě resp. estbilitě obvodu. ) Nutou, ikoli postčující, podmíkou stbility systému je, by všechy koeficiety,,..., chrkteristického polyomu (s) přeosu G(s) měly stejé zméko zároveň žádý z těchto koeficietů esmí být rove. Příkld 6.4.: Rozhoděte o stbilitě regulčího obvodu podle tvru chrkteristického polyomu: 4 ( s ) s + 8s + 6s + (Obvod je estbilí, eboť koeficiet ). Příkld 6.5.: Rozhoděte o stbilitě regulčího obvodu podle tvru chrkteristického polyomu: 4 ( s ) s + s + 8s 6s + (Obvod je estbilí, eboť koeficiety chrkteristické rovice emjí stejé zméko). b) Je-li chrkteristický polyom. řádu všechy koeficiety,, jsou eulové stejého zmék, je regulčí obvod vždy stbilí bez ohledu velikost koeficietů,,. Příkld 6.6.: Rozhoděte o stbilitě regulčího obvodu podle tvru chrkteristického polyomu: ( s ) 8s + 6s + (Obvod je stbilí, eboť všechy koeficiety chrkteristického polyomu. řádu mjí stejé zméko jsou eulové). c) Je-li chrkteristický polyom. vyššího řádu všechy jeho koeficiety jsou stejého zmék jsou růzé od, je stbilit regulčího obvodu závislá velikosti jedotlivých koeficietů je uté ji řešit př. pomocí lgebrických kritérií stbility. Algebrická kritéri stbility umožňují rozhodout o stbilitě resp. estbilitě systému bez výpočtu pólů. Vycházejí z chrkteristického polyomu systému ve tvru: ( s ) s + s + s s (6.6) předpokldu, že i >, i,,,...,. + tvru: ) Routhovo kritérium stbility Routhovo kritérium stbility vychází z výpočtu tzv. pole Routhových koeficietů ve s

10 kde: Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. s s - b - b -4 b -6 s - c - c -5 : s d d s e e s f s g b b b 4 k f g d e 4 M k M d e e 5 k c c k + M b k + Prví dv řádky pole Routhových koeficietů jsou tvořey smotými koeficiety chrkteristického polyomu (s). Pozmeejme, že pole Routhových koeficietů má + řádků, má tvr trojúhelíku libovolý řádek pole je možé dělit ebo ásobit libovolým kldým číslem. Routhovo kritérium stbility: Chrkteristický polyom (s) má všechy kořey se záporou b( s ) reálou částí (tj. systém s přeosem G ( s ) je stbilí), jsou-li všechy koeficiety ( s ) v Routhově poli kldé. Počet kořeů s kldou reálou částí (tj. estbilích kořeů) je rove počtu změ zmék koeficietů v prvím sloupci pole Routhových koeficietů. Příkld 6.7.: Pomocí Routhov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: b b 4 ( s ) s + s + s + 4s + 5 Routhovo pole koeficietů: s s + 4 s + 5 Prví změ zmék s -6 Druhá změ zmék s +5 4 b k - -

11 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. ystém s dým chrkteristickým polyomem je estbilí existují dv kořey s kldou reálou částí. Pokud je ěkterý koeficiet v prvím sloupci Routhov pole rove osttí koeficiety v tomtéž řádku jsou eulové, hrdíme ulový čle mlým kldým číslem ε vypočítáme zbytek koeficietů Routhov pole. Jsou-li zmék d ulovým pod ulovým koeficietem stejá, chrkteristický polyom má pár ryze imgiárích kořeů (komplexě sdružeých kořeů s ulovou reálou částí). Jsou-li zmék opčá, pk to zmeá pouze jedu změu zmék v poli Routhových koeficietů. Ukžme si tuto situci ázorém příkldě. Příkld 6.8.: Pomocí Routhov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: ( s ) s + 5s + s + 5 Routhovo pole koeficietů: + s +5 5 s ε s +5 ystém s dým chrkteristickým polyomem má dv ryze imgiárí komplexě sdružeé kořey (±j) jede záporý reálý (-5) je tudíž systémem mezi stbility. Pokud jsou všechy koeficiety určitého řádku ulové, pk má chrkteristický polyom pár ebo páry reálých kořeů stejé velikosti, le opčého zmék, ebo pár či páry komplexě sdružeých ryze imgiárích kořeů. Výpočet zbytku pole Routhových koeficietů provedeme tk, že hrdíme ulový řádek koeficiety, které jsou rovy derivci polyomu c(s), tedy dc(s)/ds. Polyom c(s) utvoříme z koeficietů řádku, předcházejícího ulový řádek. Je-li polyom c(s) stupě k, pk existuje k párů kořeů stejé velikosti, le opčého zmék. b) Hurwitzovo kritérium stbility Z koeficietů chrkteristického polyomu (s) přeosu Hurwitzovu mtici: b( s ) G ( s ) sestvíme tzv. ( s ) - -

12 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. H 5 4 L O (6.7) Její hlví digoál zčíá koeficietem kočí koeficietem ; Hurwitzov mtice je tedy mticí -tého řádu. Jedotlivé řádky mtice jsou doplěy koeficiety chrkteristického polyomu (s) tk, by se směrem doprv zmešovly jejich idexy. Osttí prvky Hurwitzovy mtice jsou ulové. Hurwitzovo kritérium stbility: Nutou postčující podmíkou k tomu, by chrkteristický polyom (s) měl všechy kořey se záporou reálou částí (tj. systém s přeosem b( s ) G ( s ) byl stbilí), je splěí ásledujících podmíek: ( s ) Δ > Δ > Δ > Δ > Δ > M pro sudé pro liché, (6.8) kde: Δ Δ det... det Δ H Δ jsou hlví miory mtice H - tzv. Hurwitzovy subdetermity. Je zřejmé, že pro > musí být všechy Hurwitzovy subdetermity kldé. Příkld 6.9.: Pomocí Hurwitzov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: 4 ( s ) s + s + s + 4s + 5 Hurwitzov mtice (6.7) je rov: 4 5 H 4 5 Hurwitzovy subdetermity jsou zřejmě: Δ Δ Δ Δ

13 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Vzhledem k tomu, že koeficiet > všechy Hurwitzovy determity ejsou kldé, je systém estbilí. Je-li ěkterý z kořeů chrkteristické rovice ulový, tj. leží-li mezi stbility, je koeficiet tedy i Δ det H Δ. Má-li chrkteristická rovice pár komplexě sdružeých ryze imgiárích kořeů (tj. kořeů, ležících opět mezi stbility), je Δ. Mez stbility proto můžeme zjišťovt z podmíky: resp. Δ (6.9) Příkld 6..: Mějme uzvřeý regulčí obvod s regulovou soustvou s přeosem G (s) regulátorem s přeosem G R (s): K G ( s ) s( + st )( + st ), kde K, 5 T, 5s T, s R r G ( s ) (proporcioálí regulátor) Pomocí Hurwitzov kritéri zjistěte kritické zesíleí r krit regulátoru, tj. zesíleí, při kterém se systém dostává mez stbility při jehož dlším zvýšeí se systém ste estbilím. Nejdříve zjistíme z přeosu řízeí G W ( s ) : G W ( s ) Y( s ) W( s ) GR( s )G ( s ) + G ( s )G ( s ) uzvřeého regulčího obvodu chrkteristický polyom (s) uzvřeého regulčího obvodu: ( s ) T { T s + (T + T )s + { s + r { K 44 Nutá podmík stbility je zřejmě splě (všechy koeficiety chrkteristického polyomu (s) jsou kldé). Hurwitzov mtice je rov: Podle podmíek (6.8) pltí: T + T H TT R r K Δ TT (T + T ) > Máme-li zjistit kritické zesíleí r krit regulátoru, tj. zesíleí, při kterém se systém dostává mez stbility, musíme split podmíku (6.9), tj. Δ. Proto: - -

14 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6..!! ( T + T ) TT r K r r krit Δ 4 Kritické zesíleí proporcioálího regulátoru je tedy r 4. Pro r < 4 se regulčí obvod chová jko stbilí, pro r > 4 jko estbilí. krit Hurwitzovo kritérium, stejě jko osttí lgebrická kritéri, umožňují tedy vyšetřovt oblsti stbility regulčích obvodů, tj. oblsti stvitelých prmetrů regulčího obvodu, pro které je uzvřeý regulčí obvod stbilí. Příkld 6..: Vyšetřete oblst stbility regulčího obvodu pomocí Hurwitzov kritéri, je-li přeos otevřeého regulčího obvodu: r G( s ) GR( s )G ( s ) s(t s + )(T s + ) Nejdříve určíme přeos G(s) uzvřeého regulčího obvodu: r G ( s ) s(t s + )(Ts + ) G( s ) + G r ( s ) (T + T + s + s(t s + )(T s + ) T T r TT ) s + Chrkteristický polyom uzvřeého regulčího obvodu je tedy rove: Hurwitzov mtice má tvr: ( s ) s (T + T + T T T + T TT H ) s + r TT TT T + T T T T T r s + T T r TT T T r s + T T Vzhledem k tomu, že koeficiet >, musí být všechy Hurwitzovy subdetermity Δ, Δ Δ kldé, tj.: T + T! T + T! Δ > r TT TT TT > r T T! + Δ Δ r > T T TT Vzhledem k tomu, že T,T, r >, postčí pro zjištěí stbility splěí podmíky: - 4 -

15 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová T + T T T r > r- [s - ] r- [s - ] pro T,5s estbilí oblst mez stbility r - 5 < T + T estbilí oblst pro T,5s mez stbility 5 stbilí oblst 5 stbilí oblst T [s] Obr.6..: Příkldy závislosti r - (T ) pro T,5 s r - (T ) pro T,5 s T [s] c) Routhovo-churovo kritérium stbility Routhovo-churovo kritérium vychází opět z koeficietů chrkteristického polyomu (s) přeosu systému. Provádí se postupá redukce stupě chrkteristického polyomu (s) podle ásledujícího lgoritmu (viz příkld 6.): ) koeficiety prvího řádku Routhov-churov pole jsou rovy sestupě uspořádým koeficietům chrkteristického polyomu (s). b) sudé řádky tvoříme z předchozích lichých řádků ásledujícím postupem. V lichých řádcích podtrheme zprv všechy koeficiety ležící sudé pozici (tedy koeficiety s lichým idexem). Podtržeé koeficiety opíšeme do ásledujícího sudého řádku, posueme je le o jedu pozici doprv. Osttí koeficiety sudého řádku jsou ulové. c) liché řádky (kromě prvího) se tvoří tk, že k předchozímu lichému řádku přičteme předchozí sudý řádek vyásobeý tkovým koeficietem, by se ve vytvářeém lichém řádku vyulovl prví koeficiet zprv. Routhovo-churovo kritérium stbility: Pokud jsou všechy koeficiety v Routhově- churově poli kldé (z předpokldu > ), pk všechy kořey chrkteristického polyomu (s) leží ve stbilí oblsti. Jkmile se při vytvářeí pole Routhových-churových koeficietů objeví záporý koeficiet, je možo výpočet ukočit, eboť chrkteristická rovice má koře v estbilí oblsti. Popsou redukci eí třeb provádět kroků, stčí pouze - kroků (tj. do okmžiku získáí tří kldých koeficietů). Příkld 6..: Pomocí Routhov-churov kritéri rozhoděte o stbilitě systému, jehož chrkteristický polyom (s) je rove: 4 s s + s + s + 6s +. () - 5 -

16 Cvičeí 6 - REGULAČNÍ OBVOD České vysoké učeí techické v Prze Fkult iformčích techologií Ktedr číslicového ávrhu Doc.Ig. Kteři Hyiová, Cc. Kteři Hyiová 6.. Postupujeme tk, že píšeme všechy koeficiety do řdy ozčíme podtržeím šipkou kždý druhý zlev doprv. 6 6 k k Podtržeé koeficiety ásobíme redukčí kosttou, která je podílem prvího druhého koeficietu zlev. Získé součiy píšeme do míst vyzčeých šipkmi odečteme od předchozích epodtržeých koeficietů. Po odečteí těchto součiů od předchozího řádku získáme prví redukovou řdu. Když i tto řd vyhovuje uté podmíce, tj. má všechy koeficiety kldé, pokrčujeme v dlší redukci stejým způsobem. V redukci pokrčujeme tk dlouho, dokud se v redukové řdě eobjeví záporé zméko ebo dokud počet čleů redukové řdy je větší ež tři. V dém přípdě obě redukové řdy mjí všechy koeficiety kldé proto chrkteristická rovice má všechy kořey v levé poloroviě komplexí roviy odpovídjící systém je stbilí. k - 6 -

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Příklady k přednášce 12 - Frekvenční metody

Příklady k přednášce 12 - Frekvenční metody Příklady k předášce 1 - Frekvečí metody Michael Šebek Automatické řízeí 018 8-3-18 Frekvečí charakteristika OL a mez stability CL Pro esoudělý OL přeos Ls () platí: 1) Je-li s C pól CL, pak 1 + Ls () =

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

2.4. Rovnováhy v mezifází

2.4. Rovnováhy v mezifází 2.4. Rovováhy v mezfází Mezfázím se rozumí teká vrstv (tloušťk řádově odpovídá molekulárím dmezím) rozhrí dvou fází, která se svým složeím lší od složeí stýkjících se fází. Je-l styčá ploch fází mlá, lze

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu

6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu 6. Setrvčný kmitový člen. řádu Nejprve uvedeme dynmické vlstnosti kmitvého členu neboli setrvčného členu. řádu. Předstviteli těchto členů jsou obvody nebo technická zřízení, která obshují dvě energetické

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Příklady k přednášce 5 - Identifikace

Příklady k přednášce 5 - Identifikace Příklady k předášce 5 - Idetifikace Michael Šebek Automatické řízeí 05 3-3-5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Jiá metoda pro. řád bez ul kmitavý Hledáme ω Gs () k s + ζω s + ω Aplikujeme u( )

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

Technická kybernetika. Regulační obvod. Obsah

Technická kybernetika. Regulační obvod. Obsah Akdemický rok 6/7 Připrvil: Rdim Frn echnická kybernetik Anlogové číslicové regulátory Stbilit spojitých lineárních systémů Obsh Zákldní přenosy regulčního obvodu. Anlogové regulátory. Číslicové regulátory.

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více