STATIKA TUHÉHO TĚLESA Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumil Vybíral

Transkript

1 STTIK TUHÉH TĚLES Studijní tet pro řešitee a ostatní zájemce o fziku ohumi Vbíra bsah Úvod Soustav si působících na těeso 5. Sía Moment sí vzhedem k bodu Moment sí vzhedem k nehbné ose Rovinná soustava si se spoečným působištěm... 7 a) Grafické řešení b) Početní řešení c) Varignonova věta becná rovinná soustava si a) Soustava dvou rovnoběžných si b) Momentová věta c) Siová dvojice a její moment d) Rovnoběžné posunutí sí do ibovoného bodu v těese... e) Výsenice obecné rovinné soustav si Grafické určení výsednice rovinných soustav si Těžiště 7. Těžiště tuhého těesa Těžiště poch a čár Grafické určení těžiště Rovnováha a uožení těesa v rovině. Podmínk rovnováh těesa Některé nutné podmínk rovnováh si a) Rovnováha dvou si b) Rovnováha tří si v rovině Uožení těesa v rovině Princip uvonění z vazb, určování reakcí

2 Úvod R s s s 0,0 m R R 0 dispozice: 0 mm = m siový obrazec: mm =,5 kn 44 R s 0 R br. 67 s s dáno: =60kN řešením reakce: R =0kN, R =40kN R Skutečná těesa pevného skupenství, neboi pevná těesa, se vznačují tím, že vzdáenosti mezi částicemi, z nichž jsou sožena, nejsou stáé. Působením si se tto vzdáenosti mění, vzniká deformace pevného těesa. Tto změn vzdáeností jsou u řad úoh z mechanik zanedbatené, a pokud nedojde působením si k porušení soudržnosti těesa, není nutné k nim přihížet. Proto zavádíme pojem tuhé těeso. Je to mode skutečného pevného těesa, u kterého se definuje, že vzdáenosti mezi jednotivými bod těesa jsou neproměnné při ibovoných působících siách. Dáe se definuje, že tvar tuhého těesa a rozožení hmotnosti v něm je stejné jako u skutečného těesa, přičemž rozožení hmotnosti se předpokádá spojité. Tohoto modeu neze použít v případech, kd se např. upatňují pružné vastnosti skutečného těesa. Uvažujme o třech bodech tuhého těesa, které neeží na jedné přímce, půjde např. o bod,, na obr.. Upevníme-i nní tuhé těeso tak, že jeden jeho bod, např., bude ve vztažné soustavě nepohbivý, mohou ostatní bod opisovat trajektorie, které budou ežet na kuových pochách se středem v bodě. udoui ve vztažné soustavě dva bod nepohbivé, např.,, budou ostatní bod těesa opisovat kruhové trajektorie, jejichž spoečnou osou je přímka, na níž eží bod, br.. Zamezíme-i v uvažované vztažné soustavě i pohbu bodu, bude těeso v této vztažné soustavě nepohbivé. Z této úvah vpývá, že pooha tuhého těesa v prostoru je jednoznačně určena poohou jeho tří bodů, které neeží na téže přímce. Protože tto bod můžeme považovat za vrch rovinného trojúheníka, je pooha tuhého těesa rovněž jednoznačně určena poohou ibovoného trojúheníka spřaženého s těesem. Pooha každého z uvažovaných bodů,, je ve vztažné soustavě určena třemi souřadnicemi, takže pro určení pooh těesa máme cekem devět číse. Všech těchto devět číse však neze nezávise měnit, protože tím bchom mohi tři bod tuhého těesa umístit kamkoi do prostoru, což není vzhedem k tuhosti těesa možné. Protože ted =konst, =konst, =konst, ze při pohbu voit nanejvýš = 6 nezávisých souřadnic tuhého těesa. Říkáme, že voné tuhé těeso konající obecný prostorový pohb má šest stupňů vonosti. Toto zjištění je rozhodující pro ceou mechaniku tuhého těesa. Např. k jednoznačnému řešení prostorového pohbu tuhého těesa je třeba řešit šest skaárních pohbových rovnic a k určení rovnováh tuhého těesa v prostoru je

3 Výsedk úoh. M v = 666 N m, v = 9 N. v =7, N, α v =47 0, v = 4,75 m. v =60N, v =7mm 4. T =5, m 5. a) T =4mm, T =58mm b) T =8mm, T =6mm c) T =50mm, T =9,7 mm d) T =,9r, T =0mm 6. T =9,5 mm, T =6, mm 9. S =,6 kn,s =5,5 kn 0. Jde o rovnováhu S tří R si:, R,. Protože musí být komá ke stěně (tření je nuové), musí nositek těchto si procházet bodem D, ežícím ve středu úsečk C. Pak tg α s = a cos α =,8 m,r= G =50N, S = R + G = N.. Z rovnováh momentu si k bodu je rh h = mg. r h. Jde o rovnováhu tří si. Sía v aně vchází o veikosti S = 8 N. b nedošo k prokouznutí, musí být R f>r. Vchází R f = 9 N, R = 7 N a k prokouznutí ted nedojde.. Výpočtem z podmínek rovnováh m =7,7 kg,s=6,8 N. 4. Nosník z obr. 58: Reakce R má směr komý k podožce podpor. R =(a + a ) tg α, R = + a + a 4, Soustav si působících na těeso. Sía Ve statice všetřujeme soustav si, které sestávají z jednotivých si. Sía se ve fzice zavádí jako veičina, která je mírou dnamických účinků na těeso (sía jako příčina změn pohbového stavu těesa) anebo je mírou statických účinků na těeso (např. tah na závěs, tak na podožku, míra vzájemného působení mezi těes, sía jako příčina deformace pružných těes). Z eperimentů je zřejmé, že sía je vektorová veičina. Při působení na skutečná těesa je jednoznačně určena veikostí, směrem a působištěm. p U tuhých těes není vazba sí na působiště () nutná, neboť účinek sí na tuhé těeso se jejím posunutím po přímce nositece (p) nezmění vtuhém těese je sía vázaná na přímku viz.obr.. Tuto vektorovou přímku sí budeme nazývat nositeka sí. Síu grafick znázorňujeme orientovanou úsečkou a používáme pro ni značku, případně ve speciáních případech ještě značk R, N, S. Důežitým případem sí pro statiku je tíhová sía G. br. Je to výsednice tíhových si působících na eement těesa v tíhovém poi. Má působiště v G těžišti těesa. Kromě toho zavádímetíhu. Je to sía, kterou působí těeso v tíhovém poi na jiné těeso (např. podožku) v místě dotku těchto těes. Jednotkou sí je newton (N). Při práci se siovými soustavami je vemi výhodné provést rozkad sí do kartézských sožek (obr. ): j z r z i k z br. = + + z = + i + j z, () k i kde j, k, jsou jednotkové vektor ve směru os,, z kartézské soustav souřadnic. Rozišujeme vektor,, z jako kartézské sožk sí askaár,, z jako kartézské souřadnice sí. V obr. je působiště sí určeno poohovým r vektorem o souřadnicích,, z. Patí = r + i + z j. () k 5

4 m T m m m m 0 m G 45 z = 0, bude = M r =( + i j ) ( + i j )= j k i 0 0 = = k( )=M z. (6) M Vektor má v tomto případě jedinou sožku, která eží v ose z uvažované vztažné soustav. Jednotkou momentu sí je newton metr (N m). br. 60 br. 6. Moment sí vzhedem k nehbné ose 7. g α mg ξ br. 6 Čověk o hmotnosti m vstupuje po žeb- říku (uvažujte, že se žebříku dotýká bodově). Žebřík v bodě stojí na vodorovné drsné podožce, s níž má koeficient smkového tření f avbodě se dotýká svisé dokonae hadké stěn, s níž svírá úhe α (obr. 6). Žebřík má déku a zanedbatenou hmotnost. Určete reakce v bodech, pro případ obecné pooh čověka ve vzdáenosti ξ od bodu. Jaká podmínka musí patit pro součinite f, ab nedošo k prokuzu žebříku po podaze v žádné pooze čověka? 8. Na obr. 6 je znázorněna brzda k měření výkonu motoru. Sía působí prostřednictvím pák a špaíku na buben o pooměru r, který se otáčí úhovou rchostí ω. Koeficient smkového tření mezi bubnem a špaíkem je f.vpočtěte reakci v bodě a výkon P motoru. 9. Na obr. 64 je schéma zatěžovacího zařízení. Grafick určete sí S až S 7 v prutech a sí, kterými je stačována krche při dané vnější síe o veikosti =50kN. 0. Je dán příhradový nosník pode obr. 65 zatížený ve stčníku II. siou o veikosti = 80kN. Grafickým postupem určete: a) Reakce v podporách,. b) Veikost a směr si v prutech až 5. Vede o 0 momentu sí vzhedem k bodu se zavádí ještě moment sí vzhedem k nehbné ose. Je mírou otáčivýchúčinkůsí na těeso, které je otáčivé koem této d M nehbné os. Je to vektor 0, který eží v ose otáčení a má veikost t M 0 = 0 d, (7) br. 6 kde 0 je průmět sí do přímk t (obr. 6), která je tečnou ke kružnici, jež o b opisova bod při otáčení těesa koem 0 nehbné os o a d je pooměr této kružnice. M d Vztah mezi momentem sí vzhedem amomentemm kbodu 0 téže sí vzhedem k ose o, kterábodem prochází, je M 0 t α zřejmý z obr. 7. Patí r M M 0 = M cos α, (8) kde α je úhe, který tto dva vektor svírají. br. 7.4 Rovinná soustava si se spoečným působištěm Úohou je najít jedinou výsednici soustav si, jejichž účinek na tuhé těeso je stejný, jaký má ceá soustava jednotivých si. Uvažujme soustavu n si, které eží v rovině z = 0 a které mají spoečné působiště. Pokud sí nemají spoečné působiště, avšak jejich nositek se protínají v jednom bodě, posuneme jednotivé sí do tohoto bodu. 40 7

5 výšku rozděíte na n stejných díků. Vote n =4an =8aporovnejte přesnost řešení. Výsedek v tab. I. patí pro imitní případ n. 9. Určete grafickým řešením a výpočtem sí S a S v obou částech ana, které nese sedačku anové dráh pode obr. 5. Je dáno: =0kN, =m, =m, h =0,5 m. h S S br. 5 C D α a G s Neboi moment výsednice soustav si protínajících se v jednom bodě () vzhedem k ibovonému bodu () je roven vektorovému součtu momentů sožkových si k témuž bodu (). Tato věta se nazývá věta Varignonova pode rancouze Pierra Varignona (654 7), který ji poprvé vsovi. Je-i výsedná sía soustav si se spoečným působištěm nuová, je nuový i vektorový součet momentů sožkových si vzhedem k ibovonému bodu. Tato poučka obecně nepatí pro soustavu rovnoběžných si, u níž je nuová výsednice si v = 0 (viz odst..5c)..5 becná rovinná soustava si Pro naezení postupu určení výsednice obecné rovinné soustav si, ted soustav si, jejichž působiště nejsou totožná, budeme se nejprve zabývat zváštním případem dvou rovnobežných si a zavedeme pojem siové dvojice. a) Soustava dvou rovnoběžných si 54 br. 0. Homogenní tč je pode obr. 54 jedním koncem opřena o dokonae hadkou stěnu a druhým koncem zavěšena na aně C. Vpočtěte jaká vzdáenost C = s přísuší rovnovážné pooze soustav. Určete rovněž S síu v aně a R reakci stěn v bodě. Je dáno: déka tče = a =4m, α =45, G = 00 N. R R S h 0 α C r r 0 R. Jakou síu musíme vvinout, abchom překuii váec o hmotnosti m ao pooměru r přes překážku výšku h (h <r) pode obr. 55. br. 55 m r. Jakou siou S musíme táhnout za ano, abchom v tíhovém poi udržei rovnováhu přímé homogenní tče zanedbatené toušťk o hmotnosti m = 0 kg opřené spodním koncem o drsnou podahu pode obr. 56. Řešte grafick. Zkontroujte zda nedojde k prokuzu tče, je-i součinite smkového tření f =0, 4. R v. Mějme soustavu dvou spřažených kvade, která se v tíhovém poi nachá- br

6 v R 5 Úoh. Je dána soustava si pode obr. 48, kde = 00 N, = 00 N. Vpočtěte moment si vzhedem k počátku vztažné soustav. Grafickou metodou určete výsednici si a výpočtem ověřte patnost Varignonov vět pro daný příkad. R 0 C 0 α m 5m br α α α br. 49. Je dána rovinná soustava si pode obr. 49, kde =0N, =0N, =5N,α =60, α =0, α =45 a působiště mají souřadnice (,0;,5) m, (4,0;,0) m, (,0;,5) m. Početní metodou určete veikost a směr výsednice. Stanovte rovněž poohu bodu, v němž její nositeka protíná osu.. Je dána rovinná soustava pode obr. 50, kde =4 4, = 4, = 4 a 4 =0N. Grafickou metodou určete veikost výsednice a poohu její nositek kg 4kg 4kg kg R 0 S 0 C = r C = r = r = r r R br. Výsednice má veikost v = (5) a eží v bodě C mimo úsečku na straně větší sí. Vzdáenost r bodu C od bodu určíme z momentové vět (4), nebo z podobnosti trojúheníků na obr.. Patí r = r = (r + r), neboi r = r = r. v Po vnásobení sin α dostaneme vztah pro ramena si 4 br. 50 4m 4m m br Určete poohu těžiště diskrétní soustav hmotných bodů ežících na ose p = p. (6) v Uvažujme nní zváštní případ dvou vzájemně rovnoběžných si opačného směru a stejné veikosti (obr. ). Její veikost pode (5) je v = 0 a její pooha pode (6) je p. Tato zváštní soustava se nazývá siová dvojice. 6

7 stčníku nepůsobí více než dvě prutové sí. V našem případě ze tudíž začít stčníkem I nebo III. Vjdeme ze stčníku I a nakresíme přísušný siový trojúheník (pně vtažený trojúheník v obr. 46c). Při kresení siového obrazce zásadně připojujeme sí za sebou v takovém pořadí, v jakém násedují za sebou při oběhu koem stčníku. běh voíme např. ve směru chodu ručiček na hodinách. Tak máme vřešen stčník I. Sí a na obr. 46c jsou sí, kterými působí prut a na stčník, ab jej uved do rovnováh. Naopak stčník působí pode principu vzájemného působení na prut siami opačného směru (obr. 46a). Prut je ted namáhán na tak (budeme definovat, že sía má zápornou hodnotu), prut je namáhán na tah (budeme definovat, že sía má kadnou hodnotu). Do dispozice (obr. 46a) nakresíme šipk přísušných si. Nní můžeme postoupit do stčníku II. nebo IV. Zvome stčník II., kde síu v prutu již známe. Nakresíme siový obrazec (tečkovaný v obr. 46c) a vznačíme směr si v dispozici. Nní postoupíme do stčníku III. (čerchovaný siový obrazec). Siový obrazec pro stčník IV. (čárkovaný) kresíme jen pro kontrou, protože sí jsou již určen z rovnováh ostatních stčníků. Jak si můžeme všimnout, není nutné při kresení siových obrazců sí v prutech překresovat, ae ze nakresit jediný obrazec (obr. 46d), kterému se říká Cremonův siový obrazec. Směr vnitřních si, tj. si v prutech, se do tohoto obrazce nevznačují, ae kresí se přímo do dispozice. Při praktickém řešení se v dispozici nevznačují dvojice šipek směrů vnitřních si, jak je tomu v obr. 46a. Vznačují se jen směr vnitřních si, kterými působí prut na stčník. Tak již je to provedeno v řešení násedujícího příkadu 0 a v řešení úoh. Příkad 0 Grafickou metodou určete R reakce R, a sí v prutech prutové soustav z obr. 47a. Jsou dán veikosti si =,5 kn, =5,0 kn a jejich směr. Řešení Nejprve grafick určíme R reakce R, na výsednou vnější síu = +. Poté budeme postupně určovat sí v prutech Cremonovým siovým obrazcem. Můžeme postupovat buď od stčníku v podpoře, nebo od stčníku v podpoře. Výsedk řešení jsou uveden v tabuce, přičemž tahové zatížení prutu je označeno znaménkem + a takové zatížení znaménkem. Zajímavé je, že pro dané vnější sí není prut zatížen (nemuse b tam tudíž ani být). Podstata řešení úoh je v principu jednoduchá. Postupem uvedeným v předcházejícím odstavci ad d) úohu převedeme na skádání různoběžných vektorů si a momentů si. Uvažujme např. obecnou síu j, která eží v rovině v z =0vpůsobišti j. Tato sía reprezentuje ibovonou síu z n-tice v d M v daných si. Tto sí přeneseme do určitého bodu rovin, např. do počátku (obr. 4). Ke každé přene- j j v sené síe musíme při pojit moment j M j přísušné siové dvojice. j Poté můžeme najít výsednici si a momentů siových dvojic soustav: v n n v = j, M v = M j. (9) br. 4 j= j= K tomu je třeba připomenout, že v případě rovinné soustav mají všechn M moment j směr komý k rovině si (mají v našem případě směr os z) a tudíž se skádají skaárně. Pro výsedný moment b v obr. 4 použit pro jednoduchost smbo oboučku se šipkou, naznačuje směr rotace, kterou b moment sí vvoa. Tento moment v ze zcea eiminovat vhodným přemístěním výsednice v tak, ab v d = M v. Půjde-i naopak o rovinnou soustavu rovnoběžných si, bude úoha snadno řešitená. Při početním postupu ze jednak vužít výše popsané metod s tím, že obě rovnice (9) budou skaární. Jednak ze vužít momentové vět (4). ba postup upatníme v násedujícím příkadě. Příkad Určete výsednici si,,, které působí na tuhý nosník pode (obr. 5). Tíhovou síu nosníku neuvažujte. 4

8 4 Řešení rovinných prutových soustav Jako důežitou technickou apikaci dosud probraných poznatků naznačíme nní statické řešení prutových soustav, tj. soustav sožených z jednotivých prutů, se kterými se setkáváme např. u mostů, jeřábů, stožárů, střešních vazniků, u ešení apod. Pro jednoduchost se budeme zabývat jen rovinnými soustavami. Jednotivé prut soustav se protínají v místech, která se nazazývají stčník. Ve stčnicích jsou prut zpravida spojen prostřednictvím stčníkových pechů, na které jsou prut přinýtován nebo přivařen, případně jsou zde spojen koub. Pro statické řešení budeme prutovou soustavu definovat jako soustavu soženou z tuhých prutů zanedbatené hmotnosti, které jsou navzájem spou spojen ideáními koub (v nichž není tření) ve stčnicích (obr. 44). a) b) p p v 0 p C v 0 P (pó) v v obrazec váknový 0 obrazec siový R br. 44 br. 45 Při řešení prutové soustav musí být spněn tto podmínk:. Prutová soustava musí být dokonae tuhá, tj. prut musí tvořit statick určité obrazce, jimiž jsou trojúheník (obr. 44).. Vnější dané sí působí jen ve stčnicích (obr. 44).. V jednotivých prutech působí jen vnitřní sí; tj. na uvoněných prutech musí být rovnováha si. Protože vnější sí působí jen ve stčnicích, eží nositek si, které prut přenášejí, v ose prutů. Vnitřní sí namáhají prut buď na tah nebo na tak. 4. Vůči vnějším siám se prutová soustava chová jako tuhé těeso (obr. 45). Reakce proto určujeme jako u nosníků (viz č..4). Grafický způsob řešení, který je za uvedených předpokadů vemi jednoduchý, si ukážeme na příkadech. Máme např. určit sí v prutech konzoového jeřábu (obr. 46a) zatíženého ve stčníku I. siou a uoženého ve stčnicích II. a III. Nejprve je nutné zvoit měřítko dispozice, tj. měřítko nákresu jeřábu tak, že mm nákresu odpovídá λ mm ve skutečnosti a dáe měřítko si tak, že mm siového obrazce odpovídá R br. 6 K soustavě připojíme nuovou soustavu si 0, 0 na nositece 0 směru podstatně odišného od směru nositeek p, p. Pracujeme nejprve se siou 0, kterou sečteme s danou siou a dostaneme díčí výsednici = 0 + (obr. 6b). Nositeka této sí musí procházet průsečíkem nositeek p a 0 viz váknový obrazec (obr. 6a). Nní se vrátíme do siového obrazce a k síe přičteme danou síu a dostaneme díčí výsednici = +, jejíž nositeka musí procházet průsečíkem nositeek a p. Nakonec je třeba odečíst voženou síu 0, ted připojit síu 0. Tak dostaneme výsednou síu v = 0, která ve váknovém obrazci musí procházet průsečíkem C nositeek 0,. od P je význačným bodem siového obrazce; nazývá se pó. Ceýpostup ze formáně zjednodušit jak ukážeme na daším příkadě. Mějme soustavu čtř si v rovině pode obr. 7. Pomocné sí (voženou nuovousoustavusi 0, 0 a díčí výsednice) získáme spojením koncových bodů daných s vhodně voeným póem P v siovém obrazci (označujeme je nní již jen čís) a směr těchto si přenášíme do váknového obrazce. Na konci postupu již nepřipojujeme síu 0, nýbrž použijeme nositek 0 sí 0,která má stejný směr. Sía v dopňuje přísušný n+ úheník. Její nositeka prochází průsečíkem nositeek 0, 4 ve váknovém obrazci. 5

9 Řešením dostaneme veikost sožek reakcí b) Nosník (krakorec) z obr. 40. M R R a R R = R = sin α, a cos α R = cos α mg + mg, a cos α + mg. / br. 4 Rovnice rovnováh: Řešením R =0, R + mg + =0, M R a + mg + =0. R =0, R = + mg, M R = a + mg +. Příkad 9 Je dáno těeso zeva uchcené dvěmi prutovými podporami a zprava kuzně podepřené pode obr. 4a. Pro danou síu grafick určete přísušné reakce. Řešení Jde o úohu rozožit danou síu na tři sí (reakce) daných směrů, přičemž směr R nositek je komý k podožce. Řešení provedeme prostřednictvím Cumannov C sí (viz příkad 7). Těžiště. Těžiště tuhého těesa Na jednotivé hmotné eement Δm těesa působí v homogenním tíhovém poi Země sí, které jsou vzájemně rovnoběžné. Předpokádáme-i, že těeso je homogenní o hustotě ϱ, bude eement tíhové Δ sí G = Δm = g ϱδv.ceková g tíhová sía G = m = ϱv prochází významným g bodem, který g se nazývá těžiště (tento bod přitom nemusí být součástí těesa, jak je tomu např. u kruhového prstence). Poohu T, T, zt těžiště těesa na obr. 8 určíme pode pravide pro skádání rovnoběžných si, přičemž souřadnice g V T Δm T, z T určíme tak, že tíhové poe necháme působit ve směru os a souřadnici T tak, že tíhové poe necháme působit ve směru os. Uži- Δ G jeme přitom Varignonovu větu, např. T G z T pro souřadnici T bude patit z T gϱδv = T gϱv, br. 8 (V ) přičemž smbo značí, že součet provádíme přes ceý objem těesa. Po krácení gϱ vpočteme T. Tak postupně dostaneme všechn souřadnice (V ) těžiště T = V ΔV, (V ) T = V ΔV, (V ) z T = V zδv. (0) Výpočet pode těchto vzorců bude tím přesnější, čím menší eement ΔV,které vpňují ceé těeso o objemu V, budeme voit. V imitě ΔV 0 vede výpočet na integrování, což přesahuje rámec tohoto tetu. Má-i homogenní těeso rovinu nebo osu souměrnosti, eží těžiště v této rovině nebo na této ose. Má-i homogenní těeso střed souměrnosti, je jeho těžiště totožné s tímto středem. Pooha těžiště od podstav některých homogenních těes na jejich ose v závisosti na výšce h těchto těes je uvedena v tab.i. Tab. I. (V ) váec, hrano n boký jehan kuže pookoue h h h h = 8 r Je-i těeso sestaveno z někoika díčích těes, jejichž hmotnosti Δm = ϱδv a souřadnice jejich těžišť známe, určíme těžiště těesa užitím vzorců (0). 0 7

10 C br. 6 br. 7 jený prut odebere jeden stupeň vonosti např. v bodě na obr. 6. Trojnásobné vužití této vazb je na obr. 7. tření v uožení na obr. až 7 se ve statice neuvažuje. Eistuje ještě vazba, která okáně odebírá tuhému těesu všechn stupně vonosti. Je to vetknutí (obr. 8). Tuhému těesu v rovině odebírá ted tři stupně vonosti, těesu konajícímu prostorový pohb odebere šest br. 8 stupňů vonosti..4 Princip uvonění z vazb, určování reakcí Řešení rovnováh vázaného těesa (neboi těesa podrobeného vazbám) převádíme na řešení rovnováh voného těesa tím, že je uvoníme z vazb, tj. odstraníme vazb a jejich účinek nahradíme působením pasivních si, tzv. reakcí (nazývají se rovněž vazbové sí). Popsaný postup je vjádřením principu uvonění z vazb. Reakce se zpravida označují smboem R. Tto sí vstupují do podmínek rovnováh (5), (6) spoečně s danými siami. Ještě je třeba vědět, jaký směr budou mít reakce u jednotivých druhů podpor.. Podporu pevnou ( v obr. 4) nahradíme reakcí R,kterámůžemít v rovině ibovoný směr. Má ted dvě sožk R, R (dvě neznámé).. Podporu prutovou (,, na obr. 6, 7) nahradíme reakcí R, kterámá směr prutu (jedna neznámá veikost).. Podporu posuvnou ( v obr. 4) nahradíme reakcí R,kterámásměr komý na možný směr posuvu těesa na podpoře (jedna neznámá veikost). 4. Vetknutí ( v obr. 8) v rovinné úoze nahradíme reakcí R,kterámůže mít v rovině ibovoný směr (má dvě sožk R, R )areakčnímmomentem M R, který je komý k uvažované rovině (cekem tři neznámé). dvou vztahů (0) za V = ts, ΔV = tδs dostaneme T = ΔS, T = ΔS. () S S (S) Podobně pro výpočet souřadnic těžiště rovinné čár si představme drát konstantního příčného průřezu S vemi maých rozměrůoproti déce. PakV = S, ΔV = SΔ a pode (0) dostaneme T = Δ, T = Δ. () () V imitě ΔS 0neboΔ 0 přecházejí výraz () a () opět na integrá. Výsedk řešení pro některé důežité čár a poch jsou uveden v tab. II. Příkad Vpočtěte souřadnice těžiště poch na obr. 0. Řešení: Nejprve vhodně zvoíme soustavu souřadnic (viz obr., ). Pocha je smetrická pode os, proto počítáme jen souřadnici T,neboť T =0. Pochu ze rozožit na obdéník. Je někoik možností, zvoíme dvě. (S) () br. a) Pochu rozožíme na tři obdéník (obr. ). S = S = 00 mm, S = 900 mm,s=s + S = 500 mm, = =5mm, =5mm, T = S + S =7mm. S b) Pochu rozožíme na dva obdéník (obr. ): od obdéníku CD poch S odečteme obdéník EGH poch S.Patí S = 600 mm, S = 00 mm, S = S S = 500 mm, =0mm, =5mm, T = S S S T =7mm. 8 9

11 Nositeka p neznámé sí musí procházet bodem, podobně nositeka p neznámé sí musí procházet bodem. Váknový obrazec uzavřeme přímkou, která je spojnicí bodů, a udává směr třetí pomocné S sí. Nní ve sožkovém obrazci (obr. 9c) rozožíme S síu 0 na S síu a hedanou síu. Výsednice pomocných S si S a pak dává veikost druhé neznámé sí. Tím je úoha vřešena. Podobně budeme řešit i probém popsaný v příkadě 5, jestiže průsečík přímek p, p bude mimo ist papíru. Příkad 7 Danou síu na nositece p uveďte do rovnováh třemi siami,, C, které eží na daných různoběžkách p, p, p C bez spoečného průsečíku, přičemž všechn přímk p, p, p, p C eží v jedné rovině. Situace je konkretizována na obr. 0. Řešení p p p C br. 0 a) p b) D p c p 6 E br. p C p C C T S br. 4 T =7mm S Řešení: Úohu převedeme na skádání si, jejichž veikost je úměrná veikosti přísušných poch. a) br. b) br. 4 Řešení ad b) je méně přesné, protože se zde upatňuje rozdí si. Proto bo zvoeno větší měřítko pro dék. Příkad 4 Určete grafickým řešením souřadnice těžiště omené čár pode obr. 5. α 4 α br. 5 0 S T S S S 0 P = = 4 =5mm, =40mm, α =45 Řešení: Nejprve zvoíme soustavu souřadnic (obr. 6). Veikost tíhových si bude úměrná dékám úseček, jejich působiště bude ve středu úseček. Směr těchto si bude pro souřadnici T v záporném směru os, pro T ve směru os. Siové obrazce spojíme do jednoho obrazce se spoečným póem P (viz obr. 6).

12 ude-i na těeso působit jen soustava momentů si, vvoaných např. soustavou siových dvojic, pak postačí pro rovnováhu těesa jen spnění podmínk (4), resp. (6). Pro obecnou soustavu si je to opět jen podmínka nutná. Současné spnění obou podmínek (), (4), resp. (5), (6), dává podmínku nutnou a postačující pro případ působení obecné soustav si na tuhé těeso. Rovnováh tuhého těesa bude dosaženo v těchto dvou případech:. Pro dané sí (často označované jako vtištěné sí) obecně působící na těeso budou spněn podmínk (), (4), neboi výsednice daných si a jejich momentů bude nuová.. Nebudou-i výsednice daných si a jejich momentů nuové, je nutné tuhé těeso vhodně uožit (viz. odst..). Pak vzniknou v uožení reakce, které dopní soustavu daných si a momentů si tak, že podmínk (), (4) budou spněn.. Některé nutné podmínk rovnováh si a) Rovnováha dvou si Dvě sí budou v rovnováze, jen kdž budou ežet na téže nositece. b to ba podmínka nutná i postačující, musí být tto sí také stejně veké a vzájemně opačného směru. Např. voná kuička v tíhovém poi nebude G v rovnováze, působením tíhové sí bude padat. bchom ji uvedi do rovnováh při zachování R působení dané sí G, poožíme ji na vodorovnou podožku. Ta začne na kuičku působit ve směru br. 7 R svisice G siou reakcí =,kterájiuvede do rovnováh (obr. 7). b) Rovnováha tří si v rovině Nutnou podmínkou pro rovnováhu tří různoběžných si působících v rovině je, ab tto sí procháze jedním bodem. Tato věta má vekou důežitost pro statiku rovinných soustav, jak uvidíme v daších příkadech a úohách. Příkad 5 Danou síu, která eží na nositece p, uveďte do rovnováh dvěma siami, přičemž o jedné víte, že eží na přímce p, která je různoběžná s přímkou p a druhá prochází bodem, který eží v rovině určené přímkami p, p.příkadje konkretizován na obr. 8a. Rovnováha a uožení těesa v rovině. Podmínk rovnováh těesa Věnujme nejprve pozornost případu tuhého těesa, které se nachází v inerciání vztažné soustavě a na nějž působí obecná prostorová soustava si (obecně si vzájemně mimoběžných). b toto těeso bo v rovnováze, ab ted eistovaa vztažná soustava, v níž se nebude pohbovat ani posouvat, ani otáčet, musí být výsednice si působících na těeso nuová a musí být nuová i výsednice momentů si. Musítedpatit n j = 0, () j= n M j 0 =. (4) j= Tto dvě vektorové rovnice reprezentují šest sožkových rovnic. Vonétěeso, jak víme z Úvodu, má šest stupňů vonosti a spnění každé z těchto sožkových rovnic odebírá těesu jeden stupeň vonosti. Těeso, které se ve vztažné soustavě nepohbuje, má nua stupňů vonosti. V této stati, která je jen úvodem do statik, bude účené zabývat se pouze řešením případu rovnováh tuhého těesa v rovině. Pak se v případě obecné soustav si v rovině redukuje rovnice () na dvě sožkové rovnice a rovnice (4) na jednu sožkovou rovnici. udou-i sí působit v rovině z = 0, budou mít sožkové rovnice rovnováh tvar n n j =0, j =0, (5) j= j= n M zj =0. (6) j= Jde ted o tři rovnice, které odpovídají tomu, že voné těeso má v rovině tři stupně vonosti. Spnění každé z rovnic (5), (6) odebírá těesu jeden stupeň vonosti. ude-i na těeso působit jen soustava různoběžných si, ted soustava si se spoečným působištěm, bude rovnováh těesa dosaženo při spnění podmínek (), resp. (5). Pro dosažení rovnováh těesa zde proto postačí, ab siový obrazec b uzavřený, neboi, ab výsednice si ba nuová. U obecné soustav sijetopodmínkapouzenutná. 4

13 Řešení T T =0mm T =6mm Užijeme větu o třech siách sí musí procházet průsečíkem přímek p, p (obr. 8b). Tím je dán směr sí přímkap, která je spojnicí bodů,. Ze siového obrazce na obr. 8c určíme veikost si,. Siový obrazec je uzavřen jde o sí v rovnováze. a) p b) p c) T T 4 p p p p p 4 P br br. 6 8Příkad Danou síu, která eží na nositece p, uveďte do rovnováh dvěma rovnoběžnými siami,, které působí na daných různých přímkách p, p, přičemž přímk p, p, p jsou vzájemně rovnoběžné a eží v téže rovině. Situace je konkretizována na obr. 9a. Řešení Protože sí,, se protínají v nekonečnu, není možné přímo použít větu o třech siách. Síu uvedeme do rovnováh dvěma pomocnými siami S 0 S, podstatně odišného směru (vhodnou vobou póu P). Situace je znázorněna na obr. 9b, c a řeší se postupem reciprokým postupu, který b popsán v č..6. Ve váknovém obrazci (obr. 9b) nakresíme nositek 0, S si 0, S tak, ab se protína na nositece p S (sí 0 S,, jsou v rovnováze procházejí bodem ). a) b) c) p p p p p 0 p S S 0 P S br. 9 5

14 = S T T T S H G D C S T S S S br. br.. Grafické určení těžiště Protože při hedání souřadnic těžiště jde v podstatě o úohu naezení působiště výsednice soustav rovnoběžných si v prostoru nebo v rovině, ze pro řešení této úoh použít grafických metod vpracovaných pro řešení těchto soustav. Pro řešení těžiště osově smetrických těes, pochých těes, poch a čar ze použít grafického řešení, které je popsáno v čánku.5. Ukážeme si to na dvou příkadech. Příkad Naezněte souřadnici T těžiště poch z příkadu grafickou metodou, a to pro případ ad a), ad b) rozkadu poch. T 0 T E S +S 0 S P Jde o rovnováhu čtř si, kterou převedeme prostřednictvím pomocné Cumannov sí na rovnováhu dvou trojic si, ted na řešení známého probému. Cumannova sía C má směr Cumannov přímk c, která je spojnicí průsečíků D, E (obr. a). Ve sožkovém obrazci (obr. b) nejprve uvedeme do rovnováh síu siami, C a pak rozožíme síu C na hedané sí, C,kterémají spoečné působiště v bodě E.. Uožení těesa v rovině Voné těeso v prostoru má šest stupňů vonosti, voné těeso v rovině má tři stupně vonosti. Pooha těesa v rovině je jednoznačně určena poohou úsečk, která eží v této rovině (např. poohou úsečk na obr. ). K tomu je zapotřebí tří souřadnic, např.,, ϕ. ϕ (, ) br. ϕ br. Pohbivost voného těesa můžeme snížit zavedením vazb. Zamezíme-i pohbu bodu (obr. ), odebereme těesu v rovině dva stupně vonosti. Těeso bude mít jeden stupeň vonosti jeho pohbivost bude popsána změnou jediné souřadnice ϕ. Pohbubodu zamezíme pevnou podporou (obr. ). Zbývající jeden stupeň vonosti odebereme posuvnou podporou vbodě (obr. 4), která zamezí rotaci těesa koem bodu. Pokud bchom v bodě použii pevnou podporu jako v bodě, babsoustavajižstatick neurčitá (měa b = stupňů vonosti) viz obr. 5. Takovou soustavu již neze řešit jen užitím zákonů statik. Pokud se tato podpora u skutečného těesa použije, musí se řešení dopnit užitím zákonů pružnosti a pevnosti. Pokud bchom vožii mezi bod, v obr. 5 ještě podporu posuvnou, ba b soustava již dvakrát statick neurčitá. S +S S br. 4 br. 5 br. S T =7mm Pevnou podporu v rovině můžeme reaizovat rovněž připojením dvou tuhých prutů do jednoho bodu těesa, např. v bodě na obr. 6. Jeden připo- S 0 7

15 v těese dutina nebo otvor, připojíme do tě- T S G S G G br. 9Je-i hranou s otvorem. žiště této chbějící části tíhovousíu opačnéhosměru. Např. v hranou na obr. 9 je asmetrick vtvořený vácový otvor. Do bodu S ted připojíme tíhovou síu G opačného směru než má tíhová sía G. Sía G odpovídá ceistvému hranou, G = G G. Těžiště poch a čár naogick pojmu těžiště těesa se zavádí pojem těžiště poch a těžiště čár. Pro výpočet souřadnic těžiště rovinné poch si představme homogenní poché těeso o poše zákadn S a konstantní toušťce t. Podosazenídoprvních Kruhový obouk Půkruhový obouk Tab. II b T r αα s α = π/, b = πr, s =r T T = r sin α α T = r π = r b s Upatnění popsaného postupu početního řešení si ukážeme na násedujícím příkadě. V daším příkadě bude užito grafické řešení rovnováh. Příkad 8 Určete reakce pro homogenní tuhé nosník zatížené siami a uožené pode obr. 9 a 40. Nosník se nacházejí v homogenním tíhovém poi, hmotnost každého z nich je m. Pode zvkostí vote kadný směr si doů. g a α br. 9 a br. 40 Řešení Nosník nejprve uvoníme z vazb, připojíme reakce a napíšeme podmínk pode (5) a (6). Za momentový bod budeme v obou případech voit bod. Ve středu nosníků působí tíhová mg sía. a) Nosník z obr. 9. Trojúheník h T T T = h R / a R mg R Kruhová výseč Půkruh r αα T 8 α = π/ T T = T = 4r π r sin α α = sin α, = cos α br. 4 Rovnice rovnováh: R =0, R + + mg R =0, a + mg R =0. 9

16 a) b) 4 0 a) D b) R D c R D R R P R R v C 4 br. 4 v br. 7 6

17 d M v C a a a v br. 5 =60N, =40N, =0N, a =0, 0 m Řešení a) Dané sí přeneseme do bodu a najdeme výsednou síu a výsedný moment siových dvojic: v = + = 50 N M v = a + a a = N m. M Výsedný moment v vrušíme přemístěním výsedné sí v do vzdáenosti d, pronížpatí d = M v = v 50 m=0,4 m. b) Poohu výsednice ze určit rovněž užitím momentové vět (4), pode níž součet momentů sožkových si vzhedem k bodu (C) ežícímu na výsednici je nuový: (d a)+ (a d) (a d) =0 d = + + a =0,4 m..6 Grafické určení výsednice rovinných soustav si Grafické řešení popsané v čánku.4a (obr. 8) ze použít jen pro případ různoběžných si. Grafické řešení pro rovnoběžné sí (obr. 0, ) apikované na obecnější případ b bo vemi pracné. Proto ba vpracována metoda váknového a siového obrazce. Metodu si ukážeme na konkrétním jednoduchém případě dvou rovnoběžných si (obr. 6a). κ newtonů (N). Při řešení nejprve určíme známým postupem reakce R, R (obr. 46 a,b). II R IV R 4 5 R III a)dispozice: R R R 5 d) 4 I mm = λ mm siový obrazec: mm = κ N R R b) 46 br. Zákadní mšenkou řešení vnitřních si v prutech je, že musí být v rovnováze sí působící na každý jednotivý stčník. Přitomsiuvědomíme,ženositeksi v prutech eží na osách prutů a že ve stčnicích se protínají v jednom bodě. Pro každý stčník ze ted určit dvě neznámé sí v prutech. Z požadavku, že siový obrazec musí být uzavřen, dostaneme grafické řešení všude tam, kde ve 5 4 c) 4

18 Účinek siové dvojice se zřejmě projevuje pouze momentem sí. Vpočteme jeho veikost k ibovoně umístěnému (momentovému) bodu (obr. ): M = +( + p) = p. (7) a) Nezávisí M ted na pooze bodu. Vektor momentu M siové dvojice je komý k rovině, v níž dvojice eží a není vázán k žádnému bodu p je to vektor voný. Přizachování směru jej můžeme posunout do ibovoného bodu v prostoru. br. d) Rovnoběžné posunutí sí do ibovoného bodu v těese a) b) c) r r r 0 = R R R R M br. Působí-i sía vbodě tuhého těesa (obr. a), můžeme ji posunout do ibovoného bodu v těese tak, že v tomto bodě připojíme k těesu nuový vektor,, přičemž = (obr. b). Vzájemná pooha bodů, je zřejmě určena r vztahem 0 r r =. Při rovnoběžném posunutí sí do bodu musíme ted připojit k síe = dopňkovou siovou dvojici, =. Její moment k ibovonému bodu je M = r + r ( )=(r r ) = r 0, (8) neboi je nezávisý na vobě momentového bodu. Výsedek rovnoběžného posunutí bodu je znázorněn na obr. c. e) Výsednice obecné rovinné soustav si Mějme soustavu n si, které nemají spoečné působiště. Pro jednoduchost zvoíme rovinnou soustavu a budeme početním způsobem hedat její výsednici. R R br. 47 dáno: =, 5kN, =5, 0kN řešením reakce: R =6, 5kN, R =0, 0kN dispozice: mm = 5 mm siový obrazec: mm = 65 N prut /kn -0,7-5,8 0-5,8 -,5-9, +4, -9,0-4, -,5 +6,8 5

19 Mějme dvě rovnoběžné sí, pode obr. 0. Úohu převedeme na soustavu dvou různoběžných si tak, že k siám připojíme nuový vektor 0, 0. Tím dostaneme různoběžné R sí R,, které procházejí bodem S. Jejich výsednice v R = R + =( 0 )+( + 0 )= + () má veikost v = +, jejich nositeka je rovnoběžná se siami, a prochází bodem C, jehož pooha se určí z podobnosti přísušných trojúheníků (obr. 0): dtud r SC = 0, r r SC = 0. =. r Neboi r = r, respektive po vnásobení sin α dostaneme r sin α r sin α =0, () kde r sin α = p, r sin α = p jsou ramena si k momentovému bodu C. od C se nazývá střed rovnoběžných si. b) Momentová věta Pode vztahu () výsednice dvou rovnoběžných si prochází bodem C, vzhedem k němuž je součet momentů jednotivých sožkových si nuový. Je to zřejmě proto, že výsednice () má vzhedem k tomuto bodu nuové rameno. Tento poznatek ze zobecnit pro soustavu n různoběžných si. Zvoíme-i momentový bod na nositece jejich výsednice bude pro moment sožkových si patit n M j 0 =. (4) j= Výsedek (4) se označuje jako momentová věta. Je-i výsednice soustav rovnoběžných si nuová, nemusí být nuový moment sožkových si, jak uvidíme v násedujícím odstavci. S momentovou větou se setkáváme ještě v tomto znění: táčivý účinek si působících na tuhé těeso otáčivé koem nehbné os se ruší, jestiže vektorový součet momentů všech si vzhedem k ose je nuový vektor. c) Siová dvojice a její moment Vraťme se nní k soustavě dvou vzájemně rovnoběžných si, avšak uvažujme sí opačného směru. Při hedání výsednice postupujeme anaogick jako u soustav rovnoběžných si stejného směru, tj. probém převedeme zavedením pomocných si 0, 0 na probém různoběžných si. Výsedek řešení je zřejmý z obr.. pode obr Určete poohu těžiště rovinných obrazců znázorněných na obr. 5 a, b, c, d. a) b) d) c) r 60 0 S r br. 5 < 6. Vpočtěte poohu těžiště čár z příkadu 4. P 7. věřte výsedek pro poohu těžiště půkruhu z tab. II. proužkovou metodou. Pochu půkruhu přitom rozděte na šest proužků stejné šířk a řešte grafick i početně. 8. věřte výpočtem výsedek pro poohu těžiště homogenního kužee a homogenní pookoue z tab. I. Užijte metod děení daného těesa tak, že jeho 0 7

20 a) Grafické řešení 4 Postupujme br. 8 pode pravida o geometrickém sčítání vektorů. Ke konci vektoru první sí připojíme vektor druhé sí atd., až ke konci předposední sí připojíme vektor posední sí. Výsednice je pak určena orientovanou úsečkou vedenou z počátku ke konci posední sí. Výsednice ted uzavírá tento siový n + úheník. Řešení pro n =4je na obr. 8. b) Početní řešení Jednotivé sí rozožíme na kartézské sožk a přísušné kartézské sožk sečteme (jde o vektor ežící ve směru os a ): v = n =( n i ) +( n j ) = = + i = j +, (9) kde, jsou kartézské sožk a, kartézské souřadnice výsedné sí v. Její poární souřadnice určíme pomocí vztahů (). c) Varignonova věta Stanovme nní moment výsednice soustav n různoběžných si, které eží v jedné rovině, např. z = 0 (obr. 9). Výsednice pode vztahu (9) je n r v n n = j. (0) j= Jednotivé sí a jejich výsednice procházejí spoečným bodem, jehožpo- oha vzhedem k počátku vztažné soustav je dána poohovým vektorem. bě stran vztahu (0) nní zeva r vektorově r vnásobíme a na pravé straně provedeme rozpis pode distribu- br. 9 čního zákona. Tak dostaneme n r v = r j, neboi M v = j= n M j. () j= zejí v rovnovážné pooze pode obr. 57. odová hmotnost m je neznámá, m =5kg, hmotnost ramen a hmotnost vákna je zanedbatená. Určete hmotnost m a síu S napínající v rovnovážné pooze vákno uchcené v bodech, kvade. C S br m m 00 br Vpočtěte reakce tuhých nosníků zanedbatené hmotnosti a zatížené obecně zadanými siami pode obr. 58 a 59. a a α br. 58 a br Určete reakce homogenního nosníku jeřábové dráh nesoucí jeřáb o hmotnosti m = 4000 kg se zavěšeným břemenem o hmotnosti m = 000 kg (obr. 60). Pooha těžiště T nezatíženého jeřábu je vznačena. Hmotnost jeřábové dráh m = 000 kg. Pro jednoduchost uvažujte g =0m s. 6. Určete reakce v prutech,, soustav pode obr. 6. Je dáno = 00 N, G = 500 N v

21 α br. 4 V tomto tetu se až na výjimk omezíme na rovinnou soustavu si. Pak z =0,z = 0. Často pracujeme i s poárními souřadnicemi sí: =, α (obr. 4). Pak = cos α, = sin α, = +, tg α =. () b r ω a D C 6. Moment sí vzhedem k bodu Důežitým pojmem mechanik je moment (M) sí vzhedem k bodu, který definujeme jako vektorový součin poohového vektoru (r ) M působiště sí od přísušného bodu () a vektoru ) sí zde působící: ( ϕ r M r p =. (4) Je mírou otáčivých účinků sí na těeso, br. 5 které je otáčivé koem nehbného bodu. Z vastností vektorového součinu dvou vektorů vpývá, že je vektor, M který má tto vastnosti (viz. obr. 5): a) Je komý k rovině proožené vektor, r. b) Jeho orientace je určena pravidem pravé ruk pro vektorový součin (zde ze toto pravido speciaizovat tak, že orientace je určena pacem pravé ruk, kdž prst ukazují směr rotace, kterou b sía vzhedem k bodu způsobia). r c) Jeho veikost je určena pochou rovnoběžníka opsaného vektor, : br. 6 m I 5 II 4 4m m br. 64 br. 65. Prutová soustava mostního jeřábu pode obr. 66 je zatížena ve stčníku C siou, jejíž veikost je = 60 kn a jejíž nositeka je komá na spojnici stčníků,. Prutová soustava je vtvořena jako soustava pěti rovnostranných trojúheníků, každý o zákadně,00 m. Určete grafickým postupem: a) R Reakce R, vpodporách. b) Veikost a směr si v prutech až. M = M = r sin ϕ = p, (5) kde p = r sin ϕ je rameno sí (obr. 5). d) Je vázán k bodu, kterýsenazývámomentový bod. e) Je nuový buď pro 0 = anebo r pro 0 =, ted kdž nositeka sí prochází momentovým bodem. Je nuový rovněž pro ϕ =0,tedkdž nositeka sí je rovnoběžná s poohovým r vektorem ajep =0. Kartézské sožk M vektoru určíme obecným postupem pro vektorový součin. mezíme-i se na rovinný případ, kd r vektor, budou ežet v rovině 6 C m br

22 třeba řešit šest skaárních podmínek rovnováh. V mechanice tuhých těes často řešíme tzv. rovinné úoh. Patří sem napříkad všetřování pohbu těesa, jehož bod opisují trajektorie, které jsou rovinnými křivkami. Nebo půjde o všetřování rovnováh těesa, kd soustava si působících na těeso je rovinná. Podmínk řešitenosti rovinných úoh jsou podstatně jednodušší než u obecných prostorových úoh. Vpývá to i z počtu stupňů vonosti voného tuhého těesa vkonávajícího rovinný pohb. Tento počet určíme opět z úvah o pohbu tuhé soustav tří bodů z obr.. becně voené bod,, opisují při rovinném pohbu trajektorie, které eží ve třech vzájemně rovnoběžných rovinách. Tto tři bod, které vmezují trojúheník, můžeme bez újm obecnosti voit tak, ab eže jen v jedné z těchto rovnoběžných rovin. Pak je ovšem zřejmé, že k jednoznačnosti určení pooh těesa při rovinném pohbu stačí uvažovat jen o jedné ze stran tohoto trojúheníka, napříkad o úsečce. Její pooha v rovině je určena třemi nezávisými souřadnicemi, např. dvěma kartézskými souřadnicemi bodu a úhem, který svírá úsečka s ibovonou přímkou v této rovině. Ted voné tuhé těeso konající rovinný pohb má tři stupně vonosti. Pode druhů řešených úoh se mechanika tuhého těesa čení na:. statiku řeší podmínk rovnováh těesa,. kinematiku zabývá se pohbem těesa bez zřetee k jeho příčinám,. dnamiku všetřuje souvisost mezi pohbem těesa a siami a jejich moment působícími na teeso. V našem tetu se omezíme jen na statiku tuhého těesa. R = a + a cos α Nosník z obr. 59: R =0,M R =(a ). 5. R =44kN, R =6kN. 6. R = R = 50 N,R = 707 N. 7. R = mg, R = R = mg ξ tg α, f tg α. 8. R = f ( ) a + fb, R = a + fb, P = ωfr a + fb. 9. Postupně řešíme rovnováhu tří si v koubech,, C, D. JeS = S = S = = S 4 =70kN. To jsou současně sí, kterými je stačována krche. Dáe S 5 = S 6 = S 7 =50kN. 0. a) R =5, kn, R =6,7 kn, b) S =75,5 kn (tak),s = S 4 =5,0 kn (tah), S =59,0 kn (tak),s 5 =80,0kN (tah)... Viz obr. 67. prut zatíž./kn,,6,,, 4,8 prut zatíž./kn, 46,4 46,4, 46,4 4 4

23 4 Řešení rovinných prutových soustav 5 Úoh 6 Výsedk úoh 4 Literatura 45 Literatura [] aník, I., aník, R., Zámečník, J.: zika netradične, Mechanika. fa, ratisava 990 [] rdička, M., Hadík,.: Teoretická mechanika. cademia, Praha 987 [] Horák, Z., Krupka,., Šindeář.: Technická fzika. SNTL, Praha 96 [4] Juiš, K., Tepřík,., Savík,.: Statika. SNTL, Praha 987 [5] Trka, V.: Mechanika hmotných bodů a tuhého těesa. Nak. ČSV, Praha 956 [6] Vbíra,.: Teoretická mechanika,. a. dí. Gaudeamus, Hradec Kráové 99 45