Statistika v příkladech

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Statistika v příkladech"

Transkript

1 Verlag Dashöfer Statistika v příkladech Praktické aplikace řešené v MS Ecel Ukázkové tety z připravované učebnice Doc. Ing. Jan Kožíšek, CSc. Ing. Barbora Stieberová, Ph.D. Praha 0

2 Obsah Obsah. Předmluva 3. Obsah 4 3. Budoucí struktura kapitol 4 4. Ukázky učebních tetů s příklady 5 Ukázka : Dvourozměrná náhodná veličina 5 Ukázka : Základní pravděpodobnostní rozdělení (modely) 0 Ukázka 3: Rozdělení spojitých náhodných veličin 4 Ukázka 4: Příklad testování hypotéz při regresní a korelační analýze 9 5. Ukázka úloh 6. Ukázka slovníčku důležitých pojmů 3

3 . Předmluva. Předmluva Vážení čtenáři, dostává se vám do rukou ukázka z připravovaného vydání učebnice statistiky, která je určena studentům vysokých škol, především technických oborů, a také všem, kteří se setkávají se statistikou při řešení problémů v podnikové prai výrobním manažerům, technikům, kontrolorům nebo manažerům v oblasti řízení kvality. Kniha je rozdělena do 8 kapitol a zahrnuje jak základní statistické metody používané v celé řadě vědních disciplín a oblastí, tak také aplikace statistických metod pro technickou a výrobní prai statistiku v metrologii, statistickou analýzu a regulaci výrobního procesu, statistickou přejímku a také statistiku ve spolehlivosti. Začíná se metodami popisné statistiky, následuje navržení vhodných pravděpodobnostních modelů, aproimace a vyrovnání. Navazují metody matematické statistiky, a to statistický odhad a ověřování statistických hypotéz včetně neparametrických testů. Jednotlivé kapitoly obsahují teoretický výklad doplněný pro rychlé pochopení problematiky velkým množstvím detailně zpracovaných příkladů. Důraz je kladen na správné použití metod v prai a na interpretaci získaných výsledků. Příklady jsou řešeny početně a také v MS Ecel. Tento software byl vybrán pro jeho nejsnazší dostupnost všem čtenářům a jeho názornost při řešení příkladů. K publikaci je pro lepší pochopení přiloženo CD s řešením všech příkladů v MS Ecel, což umožňuje také rozvíjet dovednost pracovat s tímto softwarem. Samozřejmostí je i soubor úloh pro samostatnou práci včetně výsledků. Každá kapitola je doplněna anglicko-českým slovníčkem základních pojmů, aby se čtenáři orientovali v zahraniční literatuře a byli vybaveni pro práci v mezinárodních společnostech. Za připomínky a podněty předem děkujeme. Autoři Praha, říjen 0 3

4 . Obsah. Obsah. Úvod. Popisná statistika 3. Regresní a korelační analýza 4. Základy pravděpodobnosti 5. Náhodné veličiny 6. Pravděpodobnostní modely 7. Limitní vlastnosti náhodných veličin 8. Aproimace a vyrovnání 9. Náhodný výběr a výběrová rozdělení 0. Statistický odhad. Ověřování statistických hypotéz. Vybrané neparametrické testy 3. Analýza rozptylu 4. Statistika v metrologii 5. Statistická analýza výrobního procesu 6. Statistická regulace procesů 7. Statistická přejímka 8. Statistika ve spolehlivosti 9. Statistické tabulky 3. Budoucí struktura kapitol. Výkladový učební tet s řešenými příklady. Úlohy 3. Výsledky úloh 4. Pojmy k zapamatování (odborný česko-anglický slovníček) 4

5 4. Ukázky učebních tetů s příklady 4. Ukázky učebních tetů s příklady Ukázka : Dvourozměrná náhodná veličina Podmíněná rozdělení V kapitole základy pravděpodobnosti jsme se zabývali podmíněnou pravděpodobností P( AB) náhodných jevů, tj. pravděpodobností náhodného jevu A podmíněného eistencí (výskytem) náhodného jevu B. Nyní se budeme zabývat podmíněnými rozděleními náhodných veličin. Podmíněné pravděpodobnosti U dvourozměrné diskrétní náhodné veličiny zadané tabulkou máme dány pravděpodobnosti p( i; yj) uvnitř tabulky a okrajové (marginální) pravděpodobnosti p( i ) a p( y j ). Pomocí těchto pravděpodobností můžeme definovat podmíněné pravděpodobnosti P( i yj) a P( yj i ). Tyto podmíněné pravděpodobnosti jsou definovány obdobně jako podmíněné pravděpodobnosti náhodných jevů. p i yj P( (, ) p i yj i yj)= a P( (, ) yj i)=. p y p ( j ) Podmíněné pravděpodobnosti dvourozměrné diskrétní náhodné veličiny (X, Y): t p (, y) = P ( / y) py = p, p (, y) = Py ( / ) p = py. i j j= j= i= t i j j i s i j i= i= s i j i i p( y) p ( y py ( i j ) t i, j) = j = p ( i ) P ( i / yj) = = =, Py ( j / i) = = =. py py p p s i j s j j j= t i i j Podmíněné hustoty pravděpodobnosti dvourozměrné spojité náhodné veličiny (X, Y): f( / y) = f( y, ) f y, f(y / ) f ( y) = (, ) f ( ), f (, y) d f (, y) dy f ( y) f( ) f ( / y) d = = = a f ( y / ) dy = = =. f ( y) f ( y) f ( ) f ( ) Podmíněné distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny: F ( / y ) = P ( / y = y ) j a F ( y / ) = P ( y / = ) i, i je podmíněná pravděpodobnostní funkce (pravděpodobnost) náhodné veličiny X pro zvolenou hodnotu kde P X y = y j y = yj ( j =,,, t), a P y = i pro zvolenou hodnotu = i =,,, s. yj y je podmíněná pravděpodobnostní funkce (pravděpodobnost) náhodné veličiny Y i Podmíněné distribuční funkce spojité dvourozměrné náhodné veličiny (X, Y): f (, t y) dt F( / y) = f ( t / y) dt = = f (, y) d f ( t, y ) dt f ( y), 5

6 Statistika v příkladech y f (, z) dz F( y / ) = f ( z / ) dz = = f (, y) dy f (, z ) dz f ( ). Z předcházejících vztahů plyne: = = F y f y dy dt f, y d F a F y f d f, y dy dz F y. = = y Stochasticky nezávislé náhodné veličiny Pro stochasticky nezávislé diskrétní náhodné veličiny X a Y platí obdobné vztahy jako u nezávislých náhodných jevů: = a P y p y P y p i j i ( j i)= ( j). Pro stochasticky nezávislé náhodné veličiny X a Y spojité platí pro libovolnou dvojici (, y): f ( y)= f ( ) =. a f y f y Po dosazení předcházejících vztahů do vzorce pro podmíněné pravděpodobnosti dostaneme: případně ( i j)= ( i) ( j), p, y p p y =. p,,..., p p... p s ( y, ) dvouroz- Po dosazení do vzorců pro podmíněné hustoty pravděpodobnosti obdržíme hustotu pravděpodobnosti f měrné spojité náhodné veličiny (X, Y) v případě stochastické nezávislosti náhodných veličin X a Y = f y, f f y. s Z výsledných vztahů vidíme, že v případě stochastické nezávislosti náhodných veličin X a Y můžeme soudit na pravděpodobnostní chování dvourozměrné náhodné veličiny (X, Y) z pravděpodobnostního (stochastického) chování jednotlivých náhodných veličin X a Y. Výsledné vztahy můžeme rozšířit na konečný počet mezi sebou (v souhrnu) nezávislých náhodných veličin =. f,,, f f f s s s Stochastickou (pravděpodobnostní) nezávislost dvou náhodných veličin můžeme definovat také pomocí distribučních funkcích náhodných veličin X a Y = F ( y )= F ( y), F y F = F y, F F y. Také tyto vztahy můžeme rozšířit na vícerozměrnou náhodnou veličinu při konečném počtu mezi sebou (v souhrnu) nezávislých náhodných veličin,,, s. =. F,,, F F F s s s 6

7 4. Ukázky učebních tetů s příklady Příklad. Tabulka obsahující rozdělení četností názorů na novou reklamu: (n = 354 respondentů) Úkol:. Stanovte pravděpodobnostní rozdělení.. Znázorněte zákon rozdělení graficky. 3. Určete podmíněné pravděpodobnosti P( i yj) a P( yj i). Pravděpodobnostní rozdělení Grafické znázornění Podmíněné pravděpodobnosti p i yj P( (, ) i yj)= p y ( j ) P(názor/ženy) p y P( y)= (, ), = = 0, 53 p y 05, p y P( y)= (, ), = = 0, 94 p y 05, Pro 53, % žen je reklama výborná. Pro 9,4 % žen je reklama dobrá. 7,5 % žen se reklama nelíbí. 7

8 Statistika v příkladech Podmíněné pravděpodobnosti p i yj P( (, ) yj i)= p y ( j ) P(pohlaví/výborná) p y P( y )= (, ), = = 0, 60 p 0, 4350 p y P( y )= (, ), = = 0, 3896 p 0, 4350 Reklama je výborná pro: 6 % žen 39 % mužů Podmíněné střední hodnoty a podmíněné rozptyly Paralelou podmíněných (dílčích) průměrů y j a i v regresní a korelační analýze popisné (empirické) statistiky jsou u náhodných veličin podmíněné střední hodnoty E(Y/X) a E(X/Y), paralelou rozptylů podmíněných průměrů s y a s jsou podmíněné rozptyly D(Y/X) a D(X/Y). Podmíněné střední hodnoty E(Y/X) a E(X/Y) a podmíněné rozptyly D(Y/X) a D(X/Y) slouží k posouzení stochastické korelační závislosti (korelačního vztahu) mezi náhodnými veličinami Y a X. Podmíněné střední hodnoty diskrétních náhodných veličin Y a X: t = i j ( j i) j= EY X= yp y s ( j )= i ( i j) i= a E X Y= y P y. Podmíněné střední hodnoty spojitých náhodných veličin Y a X: = E Y X yf y dy a E Y X f y d. = = i ) a o měnlivosti náhod- Abychom získali představu o měnlivosti náhodné veličiny Y pro zvolené hodnoty X (tj. pro X né veličiny X pro zvolené hodnoty (pevné hodnoty) Y =, určíme podmíněné rozptyly. Podmíněné rozptyly D(Y/X) diskrétní náhodné veličiny Y a D(X/Y) diskrétní náhodné veličiny X: y j t D( Y X)= yj E( Y X = i) P yj i j = s DXY = E XY= y P y i= j j i j. Podmíněné rozptyly spojitých náhodných veličin Y a X: = D Y X y E Y X f y dy = D X Y E X Y f y d. 8

9 4. Ukázky učebních tetů s příklady Příklad. Vrátíme se k předchozímu příkladu. Vypočítáme si podmíněné střední hodnoty a podmíněné rozptyly pro názor na reklamu. (Abychom mohli stanovit očekávané hodnocení, je třeba převést slovní hodnocení na numerické vyjádření: Výborná 3, Dobrá, Nic moc.) Podmíněné střední hodnoty náhodné veličiny X (názor) pro hodnoty Y = ženy, muži 3 = = + + = E X Y= zeny Æ P i i y 3 0, 530 0, 938 0, 754, 355 Od žen se očekává průměrné bodové ohodnocení reklamám,355. i= 3 = i ( i )= + + = E X Y= muzi Æ P y 3 0, 339 0, 437 0, 373, 0 i= Od mužů se očekává průměrná známka reklamám,0. Podmíněné rozptyly hodnoty náhodné veličiny X (názor) pro hodnoty Y = ženy, muži s s D( X Y = yj)= i E( X Y = yj) P( y )= P( y ) E X Y = y i= i j i i j j i= D( X Y = ženy)= ( 3, 355) 0, (, 355) 0, (, 355) 0, 754 = 0, 5795 Rozptyly u hodnocení mužů a žen jsou obdobné. 9

10 Statistika v příkladech Ukázka : Základní pravděpodobnostní rozdělení (modely) Rozdělení diskrétních náhodných veličin Binomické rozdělení Budeme uvažovat n nezávislých pokusů, při každém z nich může nastat zdar s pravděpodobností p nebo nenastat s pravděpodobností π. Uvažujeme-li určité uspořádání výsledků n nezávislých pokusů, potom bude pravděpodobnost, že zdar nastane v pokusech a nenastane v ( n ) pokusech, rovna součinu pravděpodobností ve všech jednotlivých nezávislých pokusech. Tento součin je roven π ( π) a je vyjádřením tzv. Bernoulliho schématu. Takovýmito uspořádání- n mi n nezávislých pokusů, při nichž krát zdar nastane a ( n ) krát nenastane, jsou všechny možné kombinace té třídy z n prvků, tj. jejich počet je. Hledaná pravděpodobnost, že v n nezávislých pokusech zdar nastane krát a nenastane n krát je rovna n n P( X = )= π ( π). Rozdělení pravděpodobností dané tímto vztahem nazýváme binomické a charakterizuje tzv. výběr s vracením. E( X)= nπ D( X)= nπ( π), σ( X)= nπ ( π). Příklad. Zmetkovitost výrobní linky je,5 %. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru 5 součástí bude zmetek? Můžou nastat např. tyto kombinace: NNNNNNNNNNNNNNZ pravděpodobnost této kombinace 0, 05 0, 05 NNNNNNNNNNNNNZN pravděpodobnost této kombinace 0, 05 0, 05 NNNNNNNNNNNNZNN pravděpodobnost této kombinace 0, 05 0, 05 NNNNNNNNNNNZNNN pravděpodobnost této kombinace 0, 05 0, 05 5 Celkem je kombinací 5 Takže hledaná pravděpodobnost P()= ,, Celé rozdělení si můžeme stanovit v MS Ecel BINOM.DIST(počet úspěšných pokusů; počet pokusů; pravděpodobnost úspěchu; PRAVDA, pokud chceme distribuční funkci, NEPRAVDA, pokud chceme pravděpodobnostní funkci) 0

11 4. Ukázky učebních tetů s příklady Hypergeometrické rozdělení Při statistické přejímce nebo destruktivních zkouškách nevracíme zpět výrobek do dávky nebo ho zničíme a jedná se tedy o tzv. výběr bez vracení. Pravděpodobnost výskytu ve výběru n není stálá, a proto znak, který takto vzniká, má jiné pravděpodobnostní chování než binomický znak. Vybereme-li místo n výrobků za sebou bez vracení zpět n výrobků najednou a ptáme se na pravděpodobnost, že ve výběru n výrobků je právě výrobků s vlastností a, přičemž v celkové dávce N výrobků je (M/N)00 % s vlastností a, jde o hypergeo metrické rozdělení. M N M n P( X = )= N n N počet výrobků celkem M počet výrobků s vlastností a celkem (tedy např. zmetků) (N-M) počet výrobků bez vlastnosti a v základním souboru (tedy např. počet dobrých výrobků v celém základním souboru) n výběr n je počet výrobků s vlastností a ve výběru (tedy např. počet zmetků ve výběru n) (n-) počet výrobků bez vlastnosti a ve výběru (tedy např. počet dobrých výrobků ve výběru) min (n, M) Pro N přechází rozdělení hypergeometrické v binomické rozdělení a mizí rozdíl mezi výběrem bez vracení a výběrem s vracením. Můžeme odvodit střední hodnotu a rozptyl přímo z definice E( X)= n M, D X n M M N n = N N N N ; σ ( X)= D( X). N n Výraz N je tzv. konečnostní násobitel, který má význam v teorii náhodných výběrů. Je patrné, že jej lze zanedbat pro nn< 0,05, ( 0 ),, M N < 0,0 a N. Pro n je také výběr bez vracení a výběr s vracením totožný, jde o výběr pouze jednoho výrobku (tj. alternativní rozdělení).

12 Statistika v příkladech Příklad. Z dodávky 500 výrobků je kontrolováno 5 výrobků. Zmetkovitost činí 6 %. Jaká je pravděpodobnost, že v 5 vybraných výrobcích bude 0,,, 3, 4, 5 zmetků? Řešení M N M n P( X = )= N n 30 P( X = )= = = 0, Pravděpodobnost, že v 5 vybraných výrobcích není žádný zmetek, je 73, %. V MS Ecel použijeme následující funkce pro získání hodnot pravděpodobnostní funkce a hodnot distribuční funkce HYPGEOM.DIST(počet zmetků ve výběru; velikost výběru; počet zmetků v základním souboru; počet hodnot v základním souboru; PRAVDA, pokud chceme distribuční funkci, NEPRAVDA, pokud chceme pravděpodobnostní funkci) =HYPGEOM.DIST(A6;5;30;500;NEPRAVDA) =HYPGEOM.DIST(A6;5;30;500;PRAVDA) Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení je levostranně nesymetrické, a proto nachází uplatnění u tzv. řídkých jevů (počet vad, počet zameškaných dnů) jak v technologii, tak v konstrukci nebo v oblasti ekonomických jevů. Používá se pro modelování počtu událostí za jednotku času (kolik automobilů přijede na čerpací stanici za hodinu, kolik zákazníků přijde do obchodu za jeden den, kolik zákazníků se dovolá na zákaznickou linku za hodinu). Pravděpodobnost, že za jednotku času nastane událostí: λ P( X = )= e λ!, E( X)= µ = µ = λ, D( X)= µ = λ, σ( X )= λ.

13 4. Ukázky učebních tetů s příklady Poissonovo rozdělení aproimuje binomické rozdělení pro lim n π = λpro π 0, n. Poissonovo rozdělení je jednoparametrické. Tabulky distribuční i pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení jsou uvedeny ve statistických tabulkách. Tyto hodnoty lze najít také pomocí MS Ecel. Příklad:.3 Průměrný počet nemocných pracovníků na dílně je 5 za měsíc. Určete pravděpodobnost, že za týden onemocní 3 pracovníci. λ P( X = )= e λ! V MS Ecel využijeme následující funkci P( X = 3)= e 54 ( 54) 3! 3 = 0, 093 Kde střední představuje λ =POISSON.DIST(A7;5/4;NEPRAVDA) =POISSON.DIST(A7;5/4;PRAVDA) Určete pravděpodobnost, že za týden onemocní víc než 3 pracovníci. P X > 3 F 3 0, , = = = 3

14 Statistika v příkladech Ukázka 3: Rozdělení spojitých náhodných veličin Rozdělení rovnoměrné Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení, jestliže má hustotu pravděpodobnosti: f ( )= pro ab, b a 0 pro ostatní a b Distribuční funkce F b a dt b a t a = = [] = pro ab, a b a a F( )= 0 Pro < a F( )= Pro > b a b E( X)= +, α 3 = 0, D( X)= ( b a) b a, α 4 = 8,, σ ( X )= 3. Toto rozdělení se používá pro charakterizování náhodných veličin spojitých se stejnou pravděpodobností výskytu v určitém intervalu stejné délky (např. rozměry, tolerance). 4

15 4. Ukázky učebních tetů s příklady Příklad 3. Na prohlídce výstavy je promítán doprovodný film o životě autora vystavovaných děl. Jeho projekce začíná každých 0 minut. Určete pravděpodobnost, že pokud náhodně přijdete do promítacího sálu, a) nebudete čekat víc než 5 minut, b) budete čekat mezi 5 a 0 minutami, c) střední hodnotu a směrodatnou odchylku. P( X < 5 )= F( )= 0 0 = 0 5, P( 5 < X < 0)= F( 0) F( 5)= =, 0 E( X)= + 0 = 0 minut b a σ ( X )= 0 0 = = 5 minut 7 7, 3 3 Rozdělení eponenciální Náhodná veličina se řídí eponenciálním rozdělením, jestliže její hustota pravděpodobnosti je: f ( )= 0 pro 0 λ e λ pro > 0 K eponenciálnímu rozdělení můžeme dojít limitním přechodem od geometrického rozdělení. To vidíme i srovnáním charakteristik : E( X)= λ a D( X)= λ, F ( )= e λ. Eponenciální rozdělení slouží jako vhodný model pro výpočet pravděpodobnosti životnosti zařízení v teorii spolehlivosti. Je také velmi často používaným rozdělením v teorii front, tj. v teorii hromadné obsluhy, kde modeluje dobu mezi po sobě následujícími událostmi. 5

16 Statistika v příkladech Příklad 3. Průměrná životnost strojní součástky je hodin. Určete:. pravděpodobnost, že součástka nevydrží více než 000 hodin. pravděpodobnost, že součástka vydrží více než hodin 3. dobu, do kdy se porouchá 95 % součástek EXPON.DIST(A;/30000;NEPRAVDA) EXPON.DIST(A;/30000;PRAVDA) λ = = = = P X < 000 λ e λ d F 000 0, = = = P X > λ e λ d F , 3 0 0, 95 = 30000ln ( 0, 95)= 8987, 97 hodiny 6

17 4. Ukázky učebních tetů s příklady Weibullovo rozdělení Používá se například v teorii spolehlivosti pro modelování doby života: hustota pravděpodobnosti: f ( )= λα α e λ α, > 0, λ >, α > 0 distribuční funkce: F( )= e λ α α = α > α < přechází Weibullovo rozdělení v eponenciální rozdělení úbytek je konstatní úbytek se s časem zmenšuje (na začátku se porouchává více součástek) úbytek se s časem zvyšuje (na konci se porouchává více součástek) λ souvisí se střední hodnotou Hustota rozdělení pravděpodobnosti Weibullova rozdělení f Distribuční funkce Weibullova rozdělení F( ) 7

18 Statistika v příkladech Příklad 3.3 Weibullovo rozdělení s parametry α = 5, a λ = 50 hodin modeluje životnost elektronické součástky. Nalezněte pravděpodobnost, že elektronická součástka vydrží funkční více než 900 hodin. Řešíme v MS Ecel a hledáme hodnotu distribuční funkce pro 900: Výsledkem je F ( 900)= 0, 75, takže hledaná pravděpodobnost je P ( X > 900) = F( 900) = 0, 75. 8

19 4. Ukázky učebních tetů s příklady Ukázka 4: Příklad testování hypotéz při regresní a korelační analýze Příklad 4. Posuďte vzájemnou závislost mezi hodnotami benzo(a)pyrenu (ng/m 3 ) naměřeného stacionárně v určité oblasti v průběhu měsíce února s hodnotami naměřených personálních epozic benzo(a)pyrenu (z odběrů krve). Naměřené údaje Grafické zobrazení lineární regrese a korelace V MS Ecel pro získání dat pro testování použijeme Data Analýza dat Regrese (viz kapitola o regresní a korelační analýze) a obdržíme následující výstup. Korelační koeficient Koeficient determinace Æ ( y i y ) Æ ( yi yi) ( y i y ) Hodnota p F testu Testové kritérium F ST p F = S n p R Regresní koeficienty s b b T = y β s b y Hodnota p t-testu Intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu P( by t α sb βy by + t α sb )= α 9

20 Statistika v příkladech Testování regresního koeficientu a) t-test H : b y = β y = 0 0 H : b y β y 0 P( tα/ T t α/ )= α by β y P tα t α = α sb 0, P tα t α α =, P(, , 754, 9983)= 0, 95 Testové kritérium neleží v intervalu, což podporuje zamítnutí hypotézy o nulové hodnotě regresního koeficientu. t α = t0, 975 ( 63) =, 9983 (Určíme z Ecelu jako =T.INV(0,975;63)) Převod na p hodnotu Převod na p hodnotu spočívá v určení procenta, které je vymezeno testovým kritériem. by β y Tedy pro hodnotu T = = 3, 754 nalezneme odpovídající procento. Tuto hodnotu určíme z Ecelu (jedná se s b o dvoustranný test) jako = T.DIST.T(3,754;63) = 0,000385, tedy 0,0385 %. Tato hodnota je menší než 5 %, tzn., že hodnota podporuje zamítnutí hypotézy o nulové hodnotě regresního koeficientu. Tzn., že mezi jevy je závislost. b) Celkový F-test H : b y = β y = 0 0 H : b y β y 0 Testové kritérium F ST p 3,594 F = S n p 6,09 65 R = ( ) = 4, = = Kritická hodnota Fisher-Snedecorova rozdělení je F α p ; n p F0, 95 ; 63 3, 99, (určeno v Ecelu jako =F.INV(0,95;;63)). Významnost F ST p Pro hodnotu F = S n p R = 4, 073 nalezneme odpovídající procento. Tuto hodnotu určíme z Ecelu jako (=F.DIST(4,073;;63;)) = 0,000385, tedy 0,0385 %. Což odpovídá t-testu. 0

21 4. Ukázky učebních tetů s příklady Testování korelačního koeficientu H 0 : ρ = ρ 0 H : ρ ρ 0 T = r y r y [ n ] 0, 47 T = [ 65 ] = 3, 748 0, 47 ( α α ) P t T t P, , 748, 9983 Testové kritérium neleží v intervalu, tzn., že máme podpořeno zamítnutí hypotézy nula o nulovosti korelačního koeficientu. Hodnota korelačního koeficientu 0,47 není příliš vysoká - jedná se o střední závislost. Intervaly spolehlivosti pro parametr β y P( by t α sb βy by + t α sb )= α P ( b y + ) = 0, 5056, , , 5056, , , 95 P( 0, 367 β y 0, 77493)= 0, 95

22 Statistika v příkladech Ukázka úloh. Úloha Vypočtěte procento zmetků, jestliže rozměry součástí mají normální rozdělení s parametry: µ = 6, 656 mm, σ 0 = 0, 080 mm Toleranční meze jsou 6, 500 +, + 0, 00.. Úloha Do servisu přijde průměrně 6 požadavků za hodinu. Určete pravděpodobnost, že do servisu přijde 0 požadavků za hodinu. Určete pravděpodobnost, že počet požadavků za hodinu nebude větší než 5 požadavků. 3. Úloha Pravděpodobnost výskytu jevu v každém z pokusů je stejná a je rovna 0,. Pokusy jsou na sobě nezávislé a provádějí se tak dlouho, dokud jev nenastane. Jaká je pravděpodobnost, že se bude muset provádět 5. pokus? 4. Úloha Jaká je pravděpodobnost, že v n = 0 pokusech se výrobek. jakostní třídy a možnosti výskytu 0,60 objeví 5krát, výrobek. jakostní třídy s možností výskytu 0,5 objeví 3krát, výrobek 3. jakostní třídy s možností výskytu 0,0 objeví krát a zmetek krát? 5. Úloha K montáži výrobku jsou potřebné 3 součástky. V dodávce první součástky se objevuje 0 % zmetků, druhé 5 % zmetků, třetí % zmetků. Najděte pravděpodobnost, že při montáží výrobku se neobjeví žádný,,, 3 zmetky. 6. Úloha V dodávce 00 hotových výrobků bývá 5 % zmetků. Provedeme výběr 5 výrobků. Určete pravděpodobnost, že mezi 5 vybranými výrobky nebude žádný zmetek. 7. Úloha Určete pravděpodobnosti P( X 8 ) a 6, P( X 0 ),a P 8, 6 X 0, µ = 9 a 8, σ = 0. 5, u normální náhodné veličiny s parametry 8. Úloha Určete pravděpodobnosti P( / U/ ), P( / U/ ), P( / U/ 3 ) u normované normální náhodné veličiny. 9. Úloha Určete pravděpodobnost výhry v I., II., III., IV. pořadí ve Sportce.

23 6. Ukázka slovníčku důležitých pojmů Ukázka slovníčku důležitých pojmů Statistický odhad Parametr základního souboru Výběrová charakteristika Velikost výběrového souboru Bodový odhad Konzistentní odhad Nevychýlený odhad Suficience Vydatný odhad Rao-Cramérova nerovnost Metoda momentů Metoda největší (maimální) věrohodnosti Věrohodnostní funkce Intervalový odhad Interval spolehlivosti (dvoustranný, jednostranný) Hladina významnosti Směrodatná odchylka výběrová Estimation theory Population parameter Sample statistic Sample size Point estimation (point estimator) Consistent estimator Unbiased estimator Sufficiency Efficient estimator Cramér Rao bound (CRB) or Cramér Rao lower bound (CRLB) Method of moments Maimum-likelihood estimation (MLE) Likelihood function Interval Estimation Confidence interval CI (two-tailed, one-tailed) (two-sided, one-sided) Confidence level Standard error Chyba odhadu u α σ n Margin of error 3

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Grafický a číselný popis rozložení dat 3.1 Způsoby zobrazení dat Metody zobrazení kvalitativních a ordinálních dat Metody zobrazení kvan

Grafický a číselný popis rozložení dat 3.1 Způsoby zobrazení dat Metody zobrazení kvalitativních a ordinálních dat Metody zobrazení kvan 1 Úvod 1.1 Empirický výzkum a jeho etapy 1.2 Význam teorie pro výzkum 1.2.1 Konstrukty a jejich operacionalizace 1.2.2 Role teorie ve výzkumu 1.2.3 Proces ověření hypotéz a teorií 1.3 Etika vědecké práce

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Obsah Úvod Kapitola 1 Než začneme Kapitola 2 Práce s hromadnými daty před analýzou

Obsah Úvod Kapitola 1 Než začneme Kapitola 2 Práce s hromadnými daty před analýzou Úvod.................................................................. 11 Kapitola 1 Než začneme.................................................................. 17 1.1 Logika kvantitativního výzkumu...........................................

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Návrh a vyhodnocení experimentu

Návrh a vyhodnocení experimentu Návrh a vyhodnocení experimentu Návrh a vyhodnocení experimentů v procesech vývoje a řízení kvality vozidel Ing. Bohumil Kovář, Ph.D. FD ČVUT Ústav aplikované matematiky kovar@utia.cas.cz Mladá Boleslav

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 12 Testování hypotéz Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR

LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR Ve většině případů pracujeme s výběrovým souborem a výběrové výsledky zobecňujeme na základní soubor. Smysluplné

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1. Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více