Jednoduché výpočty ve fyzice živé přírody

Transkript

1 Jednoduché výpočty ve fyzice živé přírody ZDENĚK BOCHNÍČEK Přírodovědecká fakuta MU, Brno Abstrakt. V příspěvku je ukázáno někoik příkadů použití jednoduchých fyzikáních modeů na popis dějů v živé přírodě, převážně v souvisosti s idským těem. Příkady z mechaniky a termiky vyžadují pouze znaosti fyziky střední, nebo dokonce zákadní škoy. Modey přes svou jednoduchost poskytují výsedky dobře shodné s experimentem, nebo s naší každodenní zkušeností. Úvod Objekty živé přírody podéhají fyzikáním zákonům stejně jako vše ve vesmíru. Detainí popis dějů v živé přírodě může být vemi kompikovaný, ať se jedná napříkad moekuární interakce v živé buňce nebo činnost pohybového aparátu čověka během nějakého sportovního výkonu. Pokud se však spokojíme s přibižnými odhady, může být vhodný fyzikání mode vemi jednoduchý. V příspěvku je popsáno někoik modeů konkrétních situací souvisejících s idským těem. ematicky jsou modey omezeny na obast mechaniky a termiky nevyžadují hubší než středoškoské nebo dokonce zákadoškoské znaosti fyziky. Svaová sía ahová sía svau je u jednoduchých, tzv. nezpeřených svaů dána počtem svaových váken, tedy v podstatě příčným průřezem svau. Udává se, že maximání napětí σ, která je schopen sva vyvinout, je asi 300 kn/m. Reáně je tato hodnota ovivněna trénovaností jedince, ae jako přibižný odhad nám postačí. Pro popis je asi nejjednodušší situace u dvouhavého svau pažního, bicepsu, který přes oketní koub přitahuje předoktí k paži. Zkusme odhadnout, jaké maximání závaží udržíme v jedné ruce při vodorovném předoktí. Situace je znázorněna na obrázku 1. Dvouhavý sva je upevněn asi v jedné desetině vzdáenosti mezi oketním koubem a daní. Síu svaové kontrakce snadno spočítáme jako Fsvau S Odhaduji, že můj dvouhavý sva má průřez asi 50 cm, pak je sía svau rovna F svau N Vzhedem k pákovému mechanismu je sía v dani asi desetinou, tedy Obr. 1 48

2 Fsvau Fruky 150N 10 to odpovídá tíhové síe 15 kg závaží, což je v dobrém souadu s mými reánými schopnostmi. Rychost chůze Pode zkušenosti i pode objektivních měření existuje jen úzký interva rychostí chůze, ve kterém je chůze dostatečně rychá, vytrvaá a efektivní. Předpokádejme tedy, že optimání rychost chůze odpovídá vastní frekvenci kmitů nohy. Noha je fyzické kyvado s osou v kyčením koubu a tedy periodu kmitů ze vyjádřit známým vztahem jako J mga Pro odhad momentu setrvačnosti uvažujeme nohu jako homogenní tyč déky. Nehomogenitu nohy/tyče částečně zohedníme předpokadem, že těžiště nohy je ve vzdáenosti 40 % déky nohy od kyčeního koubu. Dostaneme tak odhad periody kmitů 1 m m 0,4 0,4 1 0, ,5s m g 0,4 g 0,4 100,4 kde jsme za déku nohy dosadii hodnotu 1m. S uvážení déky kroku 0,8m pak pro rychost chůze dostaneme d 0,8m v 3,8 km/h 1,5s Kmity fyzického kyvada nejsou standardní součástí středoškoského učiva. Pokud aproximujeme nohu jako matematické kyvado déky 40 % cekové déky nohy, vychází rychost chůze 4,4 km/h. Obě získané hodnoty jsou bízké skutečné obvyké rychosti chůze dospěého čověka. Rychost chůze a veikost chodce Je zajímavé si všimnout, jak souvisí rychost chůze s veikostí chodce (resp. s dékou doních končetin). Snadno odvodíme, že rychost je úměrná druhé odmocnině z déky nohy (pro mode fyzického i matematického kyvada). Což je pravido přibižně patné pro suchozemská zvířata. Rychost běhu a veikost běžce Vyjdeme ze vztahu pro periodu kmitů nohy při chůzi m m 1 m g 0,4 49

3 Při chůzi nohu urychuje tíhová sía (výraz mg ve jmenovatei), při běhu je to sía svaů, která je úměrná poše průřezu svau (tedy druhé mocnině déky nohy). Hmotnost je přitom úměrná třetí mocnině ineárního rozměru těa (déky nohy). Použijeme-i zmíněné úměrnosti, dostaneme 5 3. Perioda kmitů nohy je při běhu úměrná její déce. Déka kroku je ovšem také úměrná déce nohy a z této úvahy vychází, že rychost běhu na veikosti běžce nezávisí. Skutečně v přírodě pro středně veké živočichy nenacházíme žádnou závisost rychosti běhu na jejich vekosti. Napříkad žirafa běží rychostí 50km/h zatímco mnohem menší zajíc 60 km/h. Skok o tyči Při skoku o tyči je výšky dosaženo tak, že s využitím easticity tyče je vodorovný běh ateta převeden do svisého směru., viz obr.. Vastní úsií ateta během etu je pro cekovou výšku skoku podstatně méně významné. Za tohoto předpokadu můžeme výšku skoku o tyči odhadnout ze zákona zachování mechanické energie E E K( při rozběhu ) P( maximání při výstupu ) v mv mgh h g Nejepší mužští ateti se při rozběhu bíží rychosti 10m/s. akto pro výšku skoku dostaneme h m S uvážením skutečnosti, že těžiště ateta se při rozběhu pohybuje přibižně ve výšce přibižně 1m, je výsedná výška skoku rovna 6 m, což je hodnota vemi bízká světovému rekordu 6,16 m (Renaud Lavienie, 014) epené ztráty čověka Obr. 1 Pokusme se odhadnout, jakou vrstvou je tepeně izoované idské těo. Předpokádejme, že při okoní tepotě cca 6 C by se kidný, spoře oděný čověk cíti po deší dobu tepotní komfort. o znamená, že tepené ztráty jsou za těchto podmínek vyrovnány s kidovým tepeným výkonem idského těa. Za ustáeného stavu je tepený výkon procházející napříč vekou homogenní deskou dán vztahem Q S ( 1 ) P t Q Obr. 3 S 50

4 Kde význam symboů je buď jasný nebo zřejmý z obrázku 3. oušťka izoační vrstvy a její tepená vodivost jsou v případě kompikované struktury idského těa zcea nejasné veičiny. Provedeme tedy substituci, ve které jsme poměr těchto veičin nahradii veičinou ß. Z rovnice snadno určíme S S P 80 W 5,5 S 1,5 10 m K Kde jsme za kidový tepený výkon dosadii 80W a za pochu povrchu těa 1,5 m. Význam čísené hodnoty ß si není snadné nějak názorně představit. Spočítejme tedy, jakou toušťku by muse mít obvyký izoační materiá (pěnový poystyrén nebo minerání vata), aby byo dosaženo stejné hodnoty ß. 0,035 0,006m 6mm 5,5 Naše těo je tedy izoováno tak, jako by byo pokryto 6mm vrstvou stavebního izoačního materiáu. Možná se to zdá máo, ae je to v souadu s našimi zkušenostmi. Jsme-i izoováni jen tenkou vrstvou, pak přidání daší tenké vrstvy, napříkad košie, bude mít veký viv na naši tepenou pohodu za nižší okoní tepoty. A tak to skutečně je. Pocení maratonce Za jistých předpokadů ze vemi jednoduše odhadnout, koik maratónec vypotí během závodu, a koik by tedy mě pít. Předpokádejme, že závod se koná za takových tepotních podmínek, kdy by se maratónec v kidu ve svém běžeckém dresu douhodobě cíti v tepotním komfortu (viz obdobná úvaha v předchozím příkadu). Mechanický výkon vrchoového sportovce při vytrvaostním běhu je asi 300 W. Je-i účinnost práce idských svaů 0 % - 5 %, pak se při tomto mechanickém výkonu uvoňuje tepený výkon asi 100 W. ento výkon se musí uchadit odpařováním vody (potu) z povrchu kůže. Snadno sestavíme rovnici Pt Q P t m m vyp kde vyp je skupenské tepo výparné, ostatní symboy mají obvyký význam. Dosazením (předpokádáme, že maratónec běží,5 hodiny) dostaneme vyp ,5 m 4kg 6,,510 což vemi dobrá shoda s obvykým doporučením vypít během závodu 4-5 itrů vody., 51

5 Ztráty tepa dýcháním V chadném počasí ztrácíme značné množství tepa dýcháním. Studený vzduch se v našich picích jednak ohřívá, a jednak zvhčuje. Odhadněme, koik tepa takto ztrácíme při okoní tepotě např. 0 C. Předpokádejme, že v kidu dýcháme v průměru 0,3 /s a vydechujeme vzduch o tepotě našeho těa a 100% reativní vhkosti. Viv ohřevu vzduchu Výkon tepených ztrát ze určit jako Q mc V c P, t t t kde c je měrná tepená kapacita vzduchu, m je hmotnost vydechovaného vzduchu, V jeho objem a ρ hustota. Dosazením čísených hodnotu dostaneme Viv zvhčení vzduchu P 3 0,310 1, W P 1 Maximání hmotnost vodní páry ve vzduchu - absoutní vhkost - vemi sině závisí na tepotě, viz tabuka. Při ohřevu se v kontaktu se siznicí vzduch zvhčuje tepota a tepený výkon potřebný k odparu vody ze určit jako ( C) Q t m voda vyp, kde m voda je hmotnost odpařené vody. S využitím tabuky dosadíme čísené hodnoty (41,5 4,9) 10 kgm 0,310 m,510 Jkg P 8W 1s t V součtu jsou ztráty tepa za těchto podmínek obrovské; tvoří asi 50 % našeho kidového tepeného výkonu. Znaost této skutečnosti může mít pro nás veký význam. Pokud napříkad spíme za nepříznivých podmínek a je nám v noci zima, vemi pomůže, pokud si zcea přikryjeme havu a dýcháme do nějaké odvětrávané kapsy. Pak totiž částečně vdechujeme předchozími výdechy ohřátý a zvhčený vzduch a tepené ztráty tak významně snížíme. Pode osobních zkušeností autora, je efekt takového opatření značný. Rezonance ve vnějším zvukovodu Zvukovod je trubice, kterou je do středního ucha přiváděn zvuk. Je ukončena bubínkem a má déku asi,5cm. Na zvukovod se můžeme dívat jako na rezonanční trubici s jedním uzavřeným a jedním otevřeným koncem. První rezonanční mód tedy odpovídá situaci, kde déka trubice je rovna čtvrtině vnové déky zvuku, tedy rezonanční frekvence je rovna c 340 f zvuku 3400Hz. 0,1 abs. vhkost (g/m 3 ) 0 4,9 10 9,4 0 17, , , , 5 Obr. 4

6 Skutečně v obasti frekvencí koem 3000 Hz má idské ucho nejvyšší citivost. Zesíení zvuku ve středním uchu Střední ucho převádí zvukové vnění do vnitřního ucha. Ae nejen to, Střední ucho je současně vemi účinným zesiovačem intenzity zvuku, který pracuje na jednoduchém fyzikáním principu. Střední ucho je ohraničeno bubínkem a ováným okénkem. Zákadní trik je v tom, že bubínek má asi 0krát větší pochu než ováné okénko (60mm resp. 3mm), viz obrázek 5. Předpokádejme nejprve, že bubínek je s ováným okénkem spojen tuhou tyčkou, která pouze přenáší takovou síu zvuku na bubínek přímo na ováné okénko, viz obr. 6. bubínek ováné okénko S 1 S p F 1 1 F p Obr. 6 Pak zřejmě patí F p S 1 p F p S ps 1 1, S kde p 1 a p jsou přísušné akustické taky. Vzhedem k tomu, že ováné okénko (S ) je asi 0krát menší než bubínek (S 1 ), je tak na ováné okénko 0krát vyšší, než původní akustický tak na bubínek. Ve skutečnosti středoušní kůstky nepřevádějí takovou síu z bubínku na ováné okénko ve stejné veikosti, ae pracují jako páka se zesíením asi 1,5krát. Cekově je tedy akustický tak ve středním uchu zesíen přibižně 30krát. Intenzita zvuku je úměrná druhé mocnině ampitudy akustického taku, tedy intenzita je zesíena téměř 1000krát, tj. o 30 db. Závěr Obr. 5 Fyzika popisuje svět koem nás. Přesto se, paradoxně, často žákům jeví jako abstraktní a od reaity odtržená věda. Využití příkadů popisujících dobře známé jevy z bezprostředního okoí žáků může být pro žáky nejen zajímavé a atraktivní, ae může zvýšit respekt k fyzice jako takové. Obast živé přírody a idské těo zejména patří k nejvhodnějším objektům pro žákovské fyzikání zkoumání. Posíení nyní tak propagovaných mezipředmětových vztahů je jen daším bonusem navíc. 53