Fyzikální korespondenční seminář UK MFF 10. II. 2

Transkript

1 10. ročník, úoha II magnetické kyvado (5 bodů; průměr?; řešio 60 studentů) V homogenním tíhovém poi (tíhové zrychení g = 9,81 m s 2 ) je na závěsu zanedbatené hmotnosti déky = 1,00 m umístěna maá kovová kuička o hmotnosti m = 10,0 g. Na kuičku by přiveden náboj o vei kosti Q = 5,0 µc. Ceá tato aparatura se nachází ve svisém homogen α ním magnetickém poi, jehož vektor magnetické indukce B o veikosti B = 0,5 T má stejný směr jako tíhové zrychení g. Ostatní magnetická g B poe jsou vůči tomuto magnetickému poi zanedbatená. Ceá soustava se nachází v kidu. Závěs vychýíme o úhe α = 7 a uvoníme. Popište pohyb kuičky po uvonění. Nejprve uveďme kvaitativní řešení. Na kuičku působí magnetická sía, která je dána vektorovým součinem Obr. 1 F m = Qv B. (1) Magnetické poe způsobuje zakřivení dráhy kuičky. Sía, kterou působí na kuičku, ji de Fe mingova pravida evé ruky odchyuje doeva (při pohedu shora a při kadném náboji kuičky) od směru jejího pohybu (v zadání úohy míří magnetické poe ve směry osy z). Její dráha musí být odpovídajícím způsobem prohnuta. Uvážíme-i, že dominujícím pohybem kuičky je pohyb matematického kyvada, vypadá její kmitání při pohedu shora de obr. 5. Na kružnici eží ty body, v nichž je rychost kuičky nuová. Magnetické poe tedy způsobuje stáčení roviny kyvu kyvada. Cíem kvantitativního řešení, kterým se fyzika ve skutečnosti zabývá, je dostat řešením pohybových rovnic závisost poohového vektoru částice na čase r (t). Vycházíme při tom z po hybových rovnic ma = F g + F m + R, kde R je sía vákna. V kartézském systému (x, y, z) mají tvar ma x = BQv y + R x, ma y = BQv x + R y, (2) ma z = mg + R z. Toto je kompikovaná soustava rovnic, jejíž přímé řešení je obtížné. My se však bez něho obejdeme. Předně si uvědomíme, že i obyčejné matematické kyvado anayticky vy řešíme jen pro maé výchyky α, kdy můžeme psát sin α. = α. Potom se pohyb odehrává přibižně v rovině konstantní souřadnice z. Pode obrázku 2 rozo žíme tíhovou síu na sožku komou na závěs a sožku ve směru závěsu, která se vyrovná s vazebnou siou závěsu. Potom sía mg sin α působí přibižně proti výchyce y, pro niž patí sin α = y/. Tím se nám redukují rovnice (2) na dvojrozměrný probém ma x = F x = BQv y mg x, K R mg y α Obr. 2 ma y = F y = BQv x mg y. (3) S

2 Na první pohed jsme si moc nepomohi, neboť před sebou máme soustavu ineárních diferen ciáních rovnic d 2 x dt 2 d 2 y dt 2 = BQ dy m dt g x, = BQ dx m dt g y. (4) I když ze tuto soustavu rovnic oproti původní soustavě řešit přesně matematickým postu pem, nebudeme ho provádět a raději zkusíme naézt řešení fyzikání anaogií. Ta spočívá v tom, že náhodou víme ještě o jedné síe, která je jako magnetická sía (1) dána vektorovým součinem rychosti částice a nějakého vektoru. Je to sía Corioisova. Nejprve vysvětíme, jak vypadá Corioisova sía a s čím úzce souvisí, a potom vám objasníme ideu našeho řešení magnetického kyvada. Pohybový zákon v rotující vztažné soustavě Mějme inerciání vztažnou soustavu (IVS) S a soustavu S, která vůči ní rotuje koem spoečného počátku konstantní úhovou rychostí ω (viz obr. 3), jedná se tedy o soustavu neinerciání (NIVS). Druhý Newtonův zákon patí jen pro IVS a to v podobě, kterou všichni dobře známe (čárkovaně značíme veičiny náežející do S ) ma = F, (5) V soustavě S však vznikají tzv. zdánivé síy, které nikterak nesouvisí s fundamentáními interakcemi (s gravitační či eektromagnetickou siou). Tyto síy jsou přímým důsedkem toho, že se soustava S pohybuje vůči všem IVS zrycheně. Pohybový zákon v soustavě S pak můžeme zapsat v podobě ma = F + F S, (6) kde F je výsednice všech skutečných si (např. eektrická, magnetická či gravitační sía) a F S je výsednice všech zdánivých (setrvačných) si. V soustavě S působí obecně dvě takové zdánivé síy Jednou z nich je sía odstředivá, tu všichni dobře znáte z kootoče, F O = mω 2 [x, y ] mω 2 ϱ, kde jsme ϱ označii poohový vektor v rovině (x, y). Druhou siou je sía Corioisova, která je zodpovědná např. za stáčení pasátních větrů v subtropech. A toto je námi hedaná sía, která nám pomůže úohu eegantně vyřešit, neboť je podobně jako magnetická sía dána vektorovým součinem (působí komo na směr rychosti) F C = 2mω v. Patí pro ni stejné zákonitosti, které jsme popsai u síy magnetické. Druhý Newtonův zákon v soustavě S pak má tvar ma = F + mω 2 ϱ + 2mω v, což v rovině (x, y) dává soustavu rovnic ma x = F x 2mωv y + mω 2 x, ma y = F y + 2mωv x + mω 2 y. (7) - 2 -

3 Řešení rovnic anaogií Rovnice (7) vypadají veice podobně jako rovnice (3). Představme si, že rovnice (3) nepopi sují působení magnetického a tíhového poe na kyvado při jeho maých výchykách v naší IVS, nýbrž že se jedná o kyvado v NIVS S rotující úhovou rychostí ω a s nuovým magnetickým poem. Jinak řečeno: budeme považovat magnetickou síu za síu Corioisovu, kde ω = BQ 2m. Proč to všechno děáme? K naší hypotetické NIVS S totiž existuje IVS S, která má tu vast nost, že z pohybovém zákona (6) se stane zákon (5), ve kterém už žádný vektorový součin v ω není. Tím se pohybové rovnice veice zjednoduší a nám nebude činit probémy je vy řešit. Naezneme tak řešení v soustavě S, které jednoduchou transformací přeneseme zpět do soustavy S. Přidáme-i do (3) nuu, tzn. přičteme a odečteme mω 2 x, resp. mω 2 y, rovnice budou mít tvar «g a x = + ω2 x 2ωv y + ω 2 x, «g a y = + ω2 y + 2ωv x + ω 2 y. (8) Srovnáme-i rovnice (8) s (7), vidíme, že výrazy mω 2 x a mω 2 y, kde jsme označii Ω 2 = g + ω2, (9) hrají roi sožek síy F v rovnici (6). Nyní stačí jenom vědět, jak se transformují sožky síy do soustavy S, vůči níž se S otáčí, a tuto transformaci odvodíme z obr. 3. Veice snadno zjistíte, že x = x cos ωt + y sin ωt, y = x sin ωt + y cos ωt. (10) y y ϱ y ϱ y S ϱ ωt K ϱ x Obr. 3 ϱ x x x Jedná se jenom o hedání těch správných pravo úhých trojúheníků, jejichž odvěsny dohromady poskádají x a y. Inverzní transformace z S do S vychází x = x cos ωt y sin ωt, y = x sin ωt + y cos ωt, neboť soustava S se vůči S otáčí s úhovou rychostí ω. Jeikož sía F je úměrná vektoru [x, y], ihned odtud vypývá, že v soustavě S bude mít tvar F = [ Ω 2 x, Ω 2 y ], - 3 -

4 a tedy musíme v S řešit dvě rovnice, které už nejsou mezi sebou provázány, a x = Ω 2 x, a y = Ω 2 y. (11) Rovnice (11) určitě všichni poznáváte, jejich řešením jsou obyčejné kmity, neboť zrychení je přímo úměrné výchyce, ae opačného směru. Ae pozor, jsou to obecně eiptické kmity, neboť zde veice záeží na počátečních podmínkách. Obecné řešení rovnic (11) napíšeme jako superpozici harmonických funkcí sin a cos x = K sin Ωt + L cos Ωt, y = M sin Ωt + N cos Ωt, (12) konstanty K, L, M, N musíme dopočítat z počátečních podmínek (např. konkrétně pro hod noty K = N 0, L = M = 0 dostáváme obyčejné kruhové kmity). V čase t = 0 patí (počátek soustavy souřadné odpovídá rovnovážné pooze kyvada bod S na obr. 2) y (0) = ξ, v y(0) = 0, x (0) = 0, v x(0) = ωξ, (13) kde jsme označii počáteční výchyku ve směru y (a tím i y ) ξ = sin α. Rychost v x(0) jsme zvoii nuovou, a proto v soustavě S je v x(0) = ωξ, neboť se ceá S otáčí vůči S úhovou rychostí ω. Ze známého vzorečku v = ωr pro rovnoměrný pohyb po kružnici, a uvážíme-i, že rychosti jsou maximání tam, kde jsou nuové poohy, a naopak, snadno odvodíme v x = KΩ cos Ωt LΩ sin Ωt, v y = MΩ cos Ωt NΩ sin Ωt, (14) Dosadíme-i počáteční podmínky (13) do rovnic (14) a (12), získáme K = ξω/ω, L = 0, M = 0, N = ξ. V soustavě S má řešení naší úohy tvar x = ξω Ω sin Ωt, y = ξ cos Ωt. V soustavě S kyvado vykonává eiptické kmity, jak je to vidět na obrázku 4. Teď už stačí provést transformaci zpět do soustavy S pode vztahu (10). Řešení naší úohy pak vypadá takto x = ξ cos Ωt sin ωt ξω Ω y = ξ cos Ωt cos ωt + ξω Ω sin Ωt cos ωt, sin Ωt sin ωt. (15) - 4 -

5 Za použití stejných počátečních podmínek bychom dospěi k výsedku (15) řešením rovnic (4). Cíem této úohy v žádném případě neby výkad řešení soustavy diferenciáních rovnic. Uzná vám, že námi použitá finta není úpně triviání, pokud jste ji ae pochopii, měi byste mít jasno v tom, co to vastně ty zdánivé síy jsou. Na obr. 5 se skutečně můžeme přesvědčit, že pohyb kyvada v našem přibížení (15) kvai tativně souhasí s tím, co jsme předpověděi v úvodu. 6,4,2,0 y ξ 2 y 0 ξ x 2 ξ ω Ω 4 5 x 3 5,3,1 6 2ξ ω Ω 1 Obr. 4 Obr. 5 Závěr Kyvado bude kmitat s úhovou frekvencí Ω, přičemž ae nikdy neprojde rovnovážnou poo hou. Během kmitání se stáčí vždy doeva, směřuje-i magnetické poe ve směru osy z a naopak doprava, je-i B ve směru z, a to tak, že poohy maximáních či minimáních výchyek se stáčí úhovou rychostí ω. Kyvado tak děá charakteristické špičky. Nejmenší vzdáenost od po čátku souřadné soustavy je ξω/ω. Pro zadané hodnoty získáme počáteční výchyka ξ = 12 cm, frekvence ω = 1, Hz, úhová frekvence Ω = 3,1 Hz. Tyto hodnoty samozřejmě vůbec neodpovídají obrázkům, kde by použit poměr frekvencí asi 1 : 8,5. Magnetická sía je mnohem sabší než tíhová, a tak za těchto podmínek můžeme muvit o stáčení roviny kyvů kyvada, neboť veikost vedejší pooosy ξω/ω z obrázku 4 je zanedbatená vůči havní pooose ξ, je asi desetitisíckrát menší. Stejně tak můžeme zanedbat ω ve vztahu (9). Dostáváme tak obyčejné matematické kyvado kmitající s periodou 2 s, jehož rovina kyvů se otočí koem dokoa za 14 hodin. Poznámka Úpně stejný pohyb vykazuje popuární Foucautovo kyvado, na které působí námi použitá Corioisova sía s tím, že úhová frekvence rotace pooh maximání a minimání vzdáenosti od rovnovážné poohy kyvada je ω = ω Z/ sin ϕ, kde ϕ je zeměpisná šířka a ω Z je veikost uhové rychosti Země rotující okoo vastní osy. To souvisí s tím, že na pohyb kyvada v našem přibížení má viv pouze sožka vektoru ω Z ve směru tíhového zrychení. V naší zeměpisné šířce (ϕ = 50 ) se Foucautovo kyvado otočí koem dokoa asi za 31,3 hodin; na severní pookoui se stáčí doprava, kdežto na jižní pookoui doeva. Kdybychom chtěi naše magnetické kyvado experimentáně změřit, musei bychom přihédnout i k rotaci Země, která rovněž způsobuje stáčení roviny kyvů, neboť jsou oba jevy řádově srovnatené

6 Někdy se stáčení Foucautova kyvada vysvětuje tak, že se nemění orientace roviny kyvů vůči stáicím, což není obecně pravda, patí to jenom na póech. Je to napříkad vidět z toho, že za jeden den se ocitneme ve stejné pozici vůči stáicím, avšak kyvado rotační pohyb zdaeka ještě nedokončio. Správným vysvětením pohybu Foucautova kyvada je jen a jen působení Corioisovy síy, která je důsedkem toho, že soustava spjatá se zemí je neinerciání. Haef & Danie Kráľ Fyzikání korespondenční seminář je organizován studenty UK MFF. Je zastřešen Odděením pro vnější vztahy a propagaci UK MFF a podporován Ústavem teoretické fyziky UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků