Obsah POHYB TĚLESA PO ELIPTICKÉ TRAJEKTORII V RADIÁLNÍM GRAVITAČNÍM POLI. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku

Transkript

1 ; ; 7. POHYB TĚLEA PO ELIPTICKÉ TRAJEKTORII V RADIÁLNÍM GRAVITAČNÍM POLI tudijní text pro řešitele FO osttní zájemce o fyziku Přemysl Šedivý Ivo Volf ÚVFO Hrdec Králové Obsh 1 Úvod Geometrie elipsy 4 3 Keplerovy zákony 8 4 Mechnická energie těles n eliptické trjektorii 11 5 Výpočet rozměrů eliptické trjektorie doby oběhu z okmžitého pohybového stvu těles 14 6 Čsový průběh pohybu po eliptické trjektorii. Keplerov rovnice 17 7 Modelování pohybu těles po eliptické trjektorii 19 Litertur Výsledky úloh 3 4 1

2 Přesnost výpočtu bychom mohli zvětšit zkrácením čsového kroku, čímž se ovšem prodlužuje dob výpočtu, nebo volbou přesnější numerické metody. Podrobněji se modelováním pohybů numerickými metodmi zbývá studijní text [ ]. Úloh Modelujte pohyb Hlleyovy komety v období okolo průletu periheliem. Zvolte čsový krok 1 týden. Do téhož obrázku znázorněte pro srovnání trjektorii Země. trjektorie r: v = r, T = 4π r 3 T, r = 3 4π (3) Podmínk F d = F g = konst. nebývá u přirozených oběžnic lunce či plnet přesně splněn její splnění u umělých kosmických těles je obtížné, neboť to vyžduje velkou přesnost při udělení rychlosti i při nstvení poloměru trjektorie. Proto se většin přirozených i umělých těles pohybuje kolem centrálního těles po jiné periodicky se opkující trjektorii po elipse. Úlohy 1. Mezinárodní kosmická stnice I se pohybuje ve výšce 380 km nd Zemí. Vypočítejte její rychlost dobu oběhu. Zemi povžujte z homogenní kouli o poloměru R z = km hmotnosti M z =6, kg.. V jké výšce nd rovníkem se ncházejí stcionární družice, jejichž dob oběhu je hvězdný den. = s? Poloměr rovníku je km. Litertur 3. Země se pohybuje okolo lunce po přibližně kruhové trjektorii. třední vzdálenost Země od lunce je 1 AU. =1, m jeden rok má přibližně 3, s. Vypočítejte z těchto údjů hmotnost lunce. [1] Šedivý, P.: Užití numerických metod při řešení rovnic ve fyzikálních úlohách. tudijní text 35. ročníku FO [] Šedivý, P.: Modelování pohybů numerickými metodmi. Knihovničk fyzikální olympiády č. 38, MAFY, Hrdec Králové 1999 [3] Ungermnn, Z., Volf, I.: Pohyb těles v rdiálním grvitčním poli. Škol mldých fyziků, PN, Prh 1985 [4] Volf, I.: Pohyb umělých družic. Škol mldých fyziků, PN, Prh 1974 [5] Lepil, O., Grün, M., Šedivý, P.: Fyzik technik. PN, Prh

3 IF f<0 THEN E0=E; ELE E1=E END END x=a*cos(e)-ex y=b*sin(e) Model: Umocněním této rovnosti lgebrickou úprvou dostneme (x + e) + y (x e) + y = (x + y + e ) dlším umocněním úprvou dojdeme ke vzthu ( e )x + y = ( e ), který můžeme uprvit n rovnici elipsy v osové poloze: x + y =1 (5) b ; A y C X X 1 F 1 F x B H A ϱ 1 b C K ϱ K 1 K 1 B K Obr. 4 D D Obr. 5 ; Čstěji se setkáváme s modelováním pohybů v grvitčním poli numerickými metodmi, které vycházejí pouze z pohybové rovnice Fg = m, ze zákldních kinemtických vzthů Δv = Δt, Δr = v Δt. Chceme-li pro ritmetickou posloupnost čsů {t i } =0,h,h, 3h,... určit posloupnost polohových vektorů {ri}, vyjdeme z počáteční polohy r0 počáteční rychlosti v0 opkovně použijeme rekurentní vzthy vi+1 = v i + i h, ri+1 = ri + v i h, Oblouky elipsy v okolí vrcholů můžeme nhrdit oblouky oskulčních kružnic, jejichž středy K 1, K nlezneme jednoduchou konstrukcí podle obr. 5. Z podobnosti trojúhelníků AC HAK 1 K CH určíme poloměry oskulčních kružnic ϱ 1 ϱ : ϱ 1 b = b = ϱ, ϱ 1 = b, ϱ = b. (6) Elipsu v osové poloze můžeme získt tké z kružnice o poloměru, jestliže souřdnice y bodů zmenšíme v poměru b : (obr. 6). Zvedením excentrické nomálie E dojdeme k prmetrickým rovnicím elipsy v osové poloze: kde i = F gi m = ri; r 3 i x = cos E, y= b sin E, E 0, π). (7) 0 5

4 ; Keplerovou rovnicí je excentrická nomálie určen implicitně pro dné t ji musíme vypočítt některou z přibližných numerických metod (viz studijní text [ 1 ]). Pro t (0,T) je výrz Qt vintervlu(0, π) tkée je v intervlu (0, π). Známe-li E, vypočítáme souřdnice bodu X včset pomocí vzthů Příkld Komet Hle Bopp (obr. 15) objevená prolétl periheliem ve vzdálenosti 0,9141 AU od lunce. Hlvní poloos její trjektorie měří 187,8 AU. V jké vzdálenosti od lunce se ncházel v době objevení jkou rychlostí se přitom pohybovl? x = cos E e, y = b sin E. (7) d) Propojte oblouky oskulčních kružnic přes body určené bodovou konstrukcí pomocí křivítk.. Elips z předcházející úlohy je umístěn v osové poloze. Bod X =[3cm,?] elipsy leží v prvním kvdrntu. ) Vypočtěte výstřednost e číselnou výstřednost ε elipsy. b) Určete excentrickou nomálii bodu X. 3. tejnou elipsu s tímtéž bodem X popište pomocí polárních souřdnic zvedených podle obr. 7. ) Npište rovnici dné elipsy v polárních souřdnicích. b) Určete souřdnice r ϕ bodu X. Obr. 15 Řešení Nejprve vypočítáme číselnou výstřednost délku vedlejší polosy trjektorie. e = r p. = 186,9 AU, ε = e =0,99513, b = e =18,51 AU. Od objevení komety do průletu periheliem uplynulo 618 d = 5, s. Tento čs hodnoty =, m, M =1, kg dosdíme do Keplerovy rovnice uprvíme ji n tvr E 0,99513 sin E 0,00413 = 0. Numerickým řešením dojdeme ke kořenu E = 0,59 rd doszením do vzthů (7) dostneme souřdnice míst, kde se komet ncházel v době jejího objevení. x. = 8, m= 5,35 AU, y. =7, m=4,74 AU. Z toho určíme vzdálenost komety od lunce. Velikost rychlosti komety v místě objevení vypočítáme pomocí vzthu (0). r = x + y. =1, m=7,15 AU, v = m s 1. Úloh Z jkou dobu od průletu periheliem se bude komet z příkldu ncházet ve vedlejším vrcholu trjektorie? 18 7

5 Řešení Doszením do vzthů () (3) postupně vypočítáme D = 3, J kg 1, w =1, m s 1, =, m=1,364 AU, b =1, m=0,883 AU, T =5, s = 58 d. Výstřednost číselná výstřednost trjektorie mjí hodnoty e =1, m=1,04 AU, ε =0,76. Pomocí vzthu (8) určíme okmžitý úhel ϕ, který svírá průvodič meteoru s polopřímkou lunce perihelium. Pltí cos ϕ = p r 1 ε = b r 1 e = b r er = 0,97109, ϕ = 166,. Pro zobrzení trjektorií n obr. 13 bylo použito měřítko 1 AU =3cm. ϕ r v M Obr. 13 Úloh Družici Země byl ve výšce 00 km udělen kolmo k průvodiči rychlost o velikosti m s 1. Vypočtěte rozměry její trjektorie dobu oběhu. riodou T z = 365, 4 d Mrs s periodou T, kterou z chvíli vypočteme, průměrnými úhlovými rychlostmi ω m = π T, ω z = π T z. Při pozorování Mrsu z pohybující se Země nemůžeme přímo určit siderickou (skutečnou) dobu oběhu Mrsu T, le sndno zjistíme synodickou dobu oběhu T s = 779, 94 d, tj. průměrnou dobu mezi dvěm opozicemi Mrsu (okmžiky, kdy se Mrs nchází přesně n opčné strně Země než lunce). Pozorovteli n Zemi se pohyb Mrsu jeví, jko by probíhl průměrnou úhlovou rychlostí ω s = π = ω z ω m = π π T s T z T. (10) Z toho určíme siderickou dobu oběhu Mrsu jko T = T zt s = 687 d = 1,881 r. (11) T s T z Zobrzme nejprve v určitém měřítku trjektorii Země, která má téměř přesně tvr kružnice, n ni polohy Země Z 1 včset 1 Z 1 včset 1 = t 1 +kt, kde kt je celistvý násobek periody Mrsu. Zobrzme tké polopřímky s 1 s 1, n kterých vidíme Mrs z bodů Z 1 Z 1 včsecht 1 t 1. Protože polohy Mrsu se opkují s periodou T, nchází se Mrs v čsech t 1 t 1 vtomtéžboděm 1, který nlezneme jko průsečík polopřímek s 1 s 1. Opkováním popsné konstrukce pro dlší dvojice čsů t,t ; t 3,t 3... můžeme postupně vymodelovt celou trjektorii Mrsu. Popsným způsobem vyšetřil Kepler pohyby všech tehdy známých plnet odhlil výše uvedené zákony. Znl ovšem jen poměrné velikosti eliptických trjektorií. Jejich skutečné rozměry bylo možno vypočítt ž po r. 167, kdy Cssini trigonometrickým měřením určil vzdálenost Země Mrsu. Keplerovy zákony popisují, jk se pohybují plnety, le nevysvětlují, proč se tk pohybují. Tento problém vyřešil ž Isc Newton ( ), který objevil grvitční zákon, sestvil pohybovou rovnici hmotného bodu v rdiálním grvitčním poli jejím řešením Keplerovy zákony odvodil. Vrťme se nyní k prvním dvěm Keplerovým zákonů. Obsh plochy Δ opsné průvodičem plnety z krátkou dobu Δt určíme jko obsh trojúhelník v určeného průvodičem v vektorem Δt, kde je okmžitá r rychlost plnety (obr. 9). Jestliže ob vektory svírjí úhel α, pltí Δ = 1 rvδt sin α. Podíl 16 9

6 5 Výpočet rozměrů eliptické trjektorie doby oběhu z okmžitého pohybového stvu těles Vokolípericentr (periheli, perige,...) probíhá pohyb těles jko rovnoměrný pohyb po oskulční kružnici o poloměru ϱ 1, způsobený dostředivou grvitční silou F g (obr. 1). Má přitom plošnou rychlost w = v pr p. Z (1), (4) (6) plyne F g = m r p = m d = mv p ϱ 1 = mv p b, b = v prp = e = ( r p ) =r p rp. Úprvou dostneme r p = r p v prp = ( ), v p r p b = Obr. 1 v p r p = 4w ( ). v p r p Zveďme substituci D = v p. r p Výrz D má jednoduchý fyzikální význm, který odhlíme jeho úprvou n tvr 1 mv p m r p D =. m Je to celková mechnické energie obíhjícího těles při jeho průletu pericentrem dělená jeho hmotností, tedy měrná mechnická energie. Podlezákon zchování energie se ovšem celková mechnická energie během obíhání nemění můžeme ji vypočítt z polohy okmžité rychlosti v kterémkoliv bodě trjektorie. Z odvození je tké zřejmé, že při pohybu po eliptické trjektorii je ϱ 1 M r p Fg vp m 3. Trjektorie plnetky Apollo má délku hlvní poloosy = 1,471 AU číselnou výstřednost ε = 0,560. ) Určete dobu oběhu vzdálenosti od lunce v periheliu féliu. b) Určete velikost vedlejší poloosy trjektorie do společného obrázku v měřítku 1 AU = 5 cm zkreslete trjektorii Země jko kružnici o poloměru 1 AU trjektorii plnetky. (Obě křivky n obrázku se sice protínjí, le rovin skutečné trjektorie plnetky Apollo je od roviny ekliptiky odchýlen o 6,35 plnetk proto Zemi nemůže zsáhnout.) 4 Mechnická energie těles n eliptické trjektorii Při pohybu hmotného bodu po eliptické trjektorii se mění jeho okmžitá rychlost i vzdálenost od středu centrálního těles. Mění se tedy i jeho kinetická potenciální energie, le celková mechnická energie zůstává konstntní. Vzth pro výpočet kinetické energie známe: E k = 1 mv, kde z v doszujeme velikost okmžité rychlosti. Vzth pro výpočet grvitční potenciální energie E pg těles o hmotnosti m v rdiálním grvitčním poli těles o hmotnosti M nyní odvodíme. Práce, kterou musíme vykont, bychom těleso m o hmotnosti m posunuli ve směru průvodiče ze vzdálenosti r 1 od středu centrálního těles do vzdálenosti M r (obr. 11), je rovn přírůstku jeho grvitční potenciální energie r 1 r Obr.11 W 1 = E pg E pg1 = F p (r r 1 ), (14) kde F p je velikost průměrné síly, kterou musíme působit: F 1 = m r 1, F = m r, F p = F 1 F = m r 1 r

7 Po doszení E pg E pg1 = m (r r 1 )=m m = m r 1 r r 1 r r ( m ). r 1 Při popisu pohybů v rdiálním grvitčním poli je výhodné zvolit potenciální energii v nekonečné vzdálenosti z nulovou. Pk je ovšem v konečné vzdálenosti záporná pltí E pg = m. (15) r Užitím vzthu (13) zákon zchování energie odvodíme vzth pro výpočet velikosti okmžité rychlosti v kterémkoliv bodě eliptické trjektorie. Vyjdeme ze soustvy rovnic 1 mv p m e 1 mv m r v = v p e + e Doszením z (16) do (17) úprvou dostneme v p = = 1 mv m + e = 1 mv p m e + e e (16) (17) (18) (19) po doszení do (18) příslušných úprvách ( v = r ) 1. (0) Pomocí vzthu (19) můžeme vyjádřit plošnou rychlost jko w = 1 r pv p = e + e e = 1 ( e ), Úlohy 1. Jk velkou práci musejí vykont motory rkety, by vynesly družici o hmotnosti kg do výšky 630 km udělily jí rychlost potřebnou pro pohyb po trjektorii tvru kružnice?. Určete grvitční potenciální energii těles o hmotnosti 1 kg, které se nchází n povrchu Země. Uvžujte jen grvitční pole Země energii povžujte z nulovou pro r. 3. Jkou počáteční rychlost bychom museli udělit tělesu v těsné blízkosti Země, by se trvle vzdálilo z doshu jejího grvitčního působení? 4. Hlleyov komet prolétl nposled okolo lunce r vrátí se opět z 76,1 r. V periheliu byl od lunce vzdálen 0,587 AU. Určete rychlost komety v periheliu, plošnou rychlost obsh plochy omezené její trjektorií. 5. Při letu kosmické sondy k jiným plnetám můžeme téměř po celou dobu letu znedbt grvi- J tční působení plnet přihlížet jen ke grvitčnímu působení lunce. Energeticky nejvýhodnější je tzv. Hohmnnov trjektorie, kterásedotýká trjektorie Země v místě strtu trjektorie plnety v místě přistání. Tto míst musí ležet n opčných strnách od lunce. N obr. 1 je znázorněn Hohmnnov trjektorie pro let ze Země Z n Jupiter. Obr. 1 ) Určete dobu letu. b) Určete rychlost sondy po opuštění oblsti, kde převládá grvitční působení Země, před vstupem do oblsti, kde převládá grvitční působení Jupiter. c) Porovnejte rychlosti určené v úkolu b) s rychlostmi Země Jupiter. Trjektorie Země Jupiter povžujte z kružnice o poloměrech 1 AU 5, AU. Dob oběhu Jupiter je 11,86 r. w = b (1) 1 13

8 w = Δ Δt = rv sin α (1) udává obsh plochy opsné průvodičem z jednotku čsu nzýváme jej plošná rychlost plnety. Podle. Keplerov zákon je pro dnou plnetu konstntní. Pohybuje-li se plnet po eliptické trjektorii s délkou hlvní poloosy excentricitou e, délk průvodiče i úhel α se mění. Proto se mění i velikost okmžité rychlosti plnety. Největší je rychlost v p v periheliu, kdy je vzdálenost plnety od lunce r p = e,nejmenšívféliu, kdy pltí r = +e. V obou přípdech je α =90 (obr. 10). Zrovnosti 1 v pr p = 1 v r plyne vδt α v p v = r r p = + e e. (13) celková mechnická energie obíhjícího těles záporná (jink by vyšlo <0). Tké plošná rychlost w je během pohybu konstntní můžeme ji vypočítt v kterémkoliv bodě trjektorie podle vzthu (1). Známe-li tedy v některém okmžiku vzdálenost r obíhjícího těles od centrálního těles, velikost okmžité rychlosti v úhel α, který svírjí vektory r v, můžeme vypočítt délky poloos eliptické trjektorie pomocí vzthů = D, b = w v, kde D = D r, w = vr sin α Dobu oběhu vypočítáme, když plochu elipsy dělíme plošnou rychlostí: Doszením ze vzthu (1) dostneme T = πb w. () (3) r vp e +e v T = 4π 3, T 3 = 4π, (4) což souhlsí se vzthem (3) pro výpočet periody těles n kruhové trjektorii upřesňuje 3. Keplerův zákon (9). Obr. 9 Obr. 10 Keplerovy zákony pltí nejen pro pohyb plnet dlších těles plnetek, komet, meteorů okolo lunce, le i pro pohyb měsíců družic v blízkosti plnet, kdy ovšem roli centrálního těles přebírá dná plnet. Úlohy 1. Oběžná dob Mrsu je T = 1,881 r číselná výstřednost jeho trjektorie ε =0, ) Určete délky poloos jeho trjektorie. b) Určete vzdálenosti Mrsu od lunce v periheliu féliu. c) Určete poměr rychlostí Mrsu v periheliu féliu.. Trjektorie Plut má délku velké poloosy =39,5 AU znčnou číselnou výstřednost ε = 0,48. Trjektorie Neptun má přibližně tvr kružnice o poloměru 30,1 AU. Vypočítejte vzdálenost Plut od lunce v periheliu porovnejte ji s poloměrem trjektorie Neptun. Poznámk: Jestliže D = 0, má trjektorie tvr prboly s prmetrem p =r p = 4w κm. Jestliže D>0, je trjektorií větev hyperboly, jejíž poloosy jsou = κm D, b = w D. Příkld 1 Meteor se pohybuje ve vzdálenosti, AU od lunce rychlostí o velikosti 1,5 km s 1, jejíž směr je odchýlen od směru průvodiče o 55. Určete rozměry trjektorie dobu oběhu. Do společného obrázku nkreslete dráhu Země okmžitou polohu meteoru. Pk dokreslete trjektorii meteoru

9 3 Keplerovy zákony Zákldní pozntky o pohybu plnet po eliptických trjektoriích okolo lunce objevil Johnnes Kepler ( ). Formulovl tři zákony, které vyplynuly z rozboru velmi přesných záznmů o polohách plnet, které prováděl po dlouhá lét dánský stronom Tycho Brhe ( ). Ob se setkli v Prze ve službách císře Rudolf II., velkého příznivce strologie. První druhý zákon uveřejnil Kepler r. 1609: Plnety se pohybují okolo lunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je lunce. Obshy ploch opsných průvodičem plnety z jednotku čsu jsou konstntní. K nim přidl r třetí zákon: Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou plnet se rovná poměru třetích mocnin velkých poloos jejich trjektorií: T 1 T = Způsob, jk Kepler dospěl k uvedeným zákonům, si můžeme velmi zjednodušeně vysvětlit podle obr. 8, kde jsou v určitém měřítku zobrzeny trjektorie Země Mrsu. trjektorie Mrsu Z 3 Z Z 1 s 3 s M 3 M M 1 s 1 s 3 s s 1 (9) 6 Čsový průběh pohybu po eliptické trjektorii. Keplerov rovnice Zvolme vztžnou soustvu tk, by počátek ležel ve středu centrálního těles, tedy v ohnisku trjektorie, kldná poloos x by procházel pericentrem (obr. 14). Z dobu t od průchodu pericentrem vyplní průvodič těles část elipsy omezenou obloukem PX úsečkmixf FP. Tento obrzec můžeme získt oddělením trojúhelník FX 0 od kruhové výseče PX 0 zmenšením zbytku ve směru osy y vpoměrub :. Obsh plochy opsné průvodičem z dobu t můžeme z pomoci vzthu (1) vyjádřit pomocí excentrické nomálie E bodu X jko = wt = bt ( E = ) e sin E b = b E be sin E. (E udáváme v rdiánech.) Vynásobíme-li vzth výrzem, dostneme Keplerovu rovnici b () 0,5 1,5 t = E e sin E, (5) neboli E ε sin E Qt =0, (6) kde ε je numerická excentricit trjektorie Q =() 0,5 1,5. X 0 X y trjektorie Země b E e F vp P x Z 1 Z Z 3 Obr. 8 Trjektorie Země, Mrsu i osttních plnet leží přibližně v téže rovině všechny plnety obíhjí lunce v témže smyslu. Země obíhá kolem lunce s pe- Obr

10 A C 0 C b y E X 0 X B x 7 Modelování pohybu těles po eliptické trjektorii Model pohybu těles po eliptické trjektorii můžeme vytvořit tk, že pro ritmetickou posloupnost čsů {t i } s počáteční hodnotou 0 zvolenou diferencí (čsovým krokem) h, tj.pro{t i } =0,h,h, 3h,... vypočítáme polohy těles řešením Keplerovy rovnice ve vhodném měřítku je zobrzíme. D D 0 Při popisu pohybu hmotného bodu v rdiálním grvitčním poli čsto volíme počátek souřdnicové soustvy v ohnisku používáme polární souřdnice r, ϕ. Zvolíme-li pól v ohnisku F polární osu F B podle obr. 7, pltí (e + r cos ϕ) +(r sin ϕ) = r. Úprvou dostneme r( + e cos ϕ) = e = b, A Obr. 6 X r ϕ o F 1 e O F B Obr. 7 Příkld 3 Řešením Keplerovy rovnice modelujte pohyb družice Země, jejíž perigeum je ve vzdálenosti km od zemského středu rychlost v perigeu má velikost m s 1.Zvoltečsovýkrok60s. Řešení v systému FAMULU Progrm výpočtu: proměnné, konstnty, procedury funkce m=6e4! hmotnost Země km=m*6.67e-11! hmotnost Země vynásobená grvitční konstntou h=60! čsový krok počáteční hodnoty t=0 x=6.7e6; y=0! počáteční souřdnice družice v=9000! počáteční rychlost r = b p 1+ e = cos ϕ 1+εcos ϕ. (8) Prmetr p je roven poloměru ϱ 1 oskulční kružnice v hlvním vrcholu, ε je číselná výstřednost. Úlohy 1. Nrýsujte elipsu, jestliže = 5cm,b = 3cm. Návod: ) Nrýsujte osový kříž podle obr. 3 sestrojte ohnisk F 1, F. b) Podle obr. 5 nhrďte elipsu v blízkosti vrcholů oblouky oskulčních kružnic. c) Bodovou konstrukcí podle obr. 4 nlezněte v kždém kvdrntu několik bodů elipsy ve větší vzdálenosti od vrcholů. etmrk4(1,3); Disp4(1,0,0,6.37e6,6.37e6) A=x/(-v^*x/km) ex=a-x; ce=ex/a B=sqrt(A^-ex^) T=*pi*A*B/v/x! vykreslení Země! výpočet prmetrů trjektorie doby oběhu Q=sqrt(km)*A^-1.5 DIP model t=t+h E0=0; E1=10;! řešení Keplerovy rovnice LOOP! metodou půlení intervlu E=E0/+E1/; f=e-ce*sin(e)-q*t IF bs(f)<1e-6 THEN E=E; EXIT END 6 19

11 ; Geometrie elipsy Budete-li chtít rychle zobrzit elipsu, použijte kpesní svítilnu, jejíž světelný tok je omezen rotční kuželovou plochou. vítíte-li kolmo n stěnu, je osvětlená ploch ohrničen kružnicí. Nkláněním osy světelného kužele dostáváme stále protáhlejší elipsy, pk v jedné poloze prbolu potom následují hyperboly (obr. ). h p C k e 1 e D Obr. 3 Obr. Zfixujte svítilnu v poloze, kdy je osvětlená ploch ohrničen elipsou, obkreslete si elipsu n ppír vystřihněte ji. Přeložením se můžete přesvědčit, že je symetrická podle dvou os AB CD, které jsou nvzájem kolmé protínjí se ve středu elipsy (obr. 3). Delší hlvní os o délce spojuje hlvní vrcholy A, B, krtšívedlejší os o délce b spojuje vedlejší vrcholy C, D. Vezmeme-li do kružítk délku hlvní poloosy z vedlejšího vrcholu přetneme hlvní osu, dostneme ohnisk elipsy F 1, F. Jejich vzdálenost e od středu elipsy se nzývá výstřednost (excentricit) elipsy. Pltí A F 1 e F b B Příkld 4 Předcházející příkld řešte numerickým modelováním. Řešení v systému FAMULU Progrm výpočtu: proměnné, konstnty, procedury funkce m=6e4! hmotnost Země km=m*6.67e-11! hmotnost Země vynásobená grvitční konstntou h=60! čsový krok počáteční hodnoty t=0; x=6.7e6; y=0; vx=0; vy=9000 DIP etmrk4(1,3); Disp4(1,0,0,6.37e6,6.37e6)! vykreslení Země model f=-km/(x^+y^)^1.5; x=f*x; y=f*y! cyklický výpočet vx=vx+x*h; vy=vy+y*h x=x+vx*h; y=y+vy*h t=t+h Model: = b + e, e = b. (4) Podíl ε = e se nzývá číselná výstřednost (numerická excentricit) elipsy. oučet vzdáleností kteréhokoliv bodu elipsy od ohnisek F 1, F je roven délce hlvní osy. Z toho vychází bodová konstrukce elipsy podle obr. 4. Zvolíme-li n hlvní ose bod X 1 sestrojíme oblouky o poloměrech AX 1 BX 1 se středy v ohniskách elipsy, dostneme bod X dlší tři body souměrně sdružené k bodu X podle os středu elipsy. Zvolme počátek soustvy souřdnic ve středu elipsy osy x y vhlvní vedlejší ose elipsy. Pk pro libovolný bod X =[x, y] elipsy pltí F 1 X + F X = (x + e) + y + (x e) + y =. ; Jednoduchá numerická metod, jkou jsme právě použili, vede k modelu, který sice dobře vystihuje chrkter sledovného pohybu, le je dosti nepřesný. 4 1

12 1 Úvod V nebeské mechnice čsto studujeme pohyby reltivně mlých těles v rdiálním grvitčním poli osmoceného těles s mnohonásobně větší hmotností. Největší plnet luneční soustvy Jupiter má hmotnost 1 050krát menší než lunce. Hmotnosti osttních plnet, plnetek, komet meteorů jsou v porovnání s hmotností lunce zcel neptrné. Hmotnost Měsíce je přibližně 81krát menší než hmotnost Země. Některé velké měsíce osttních plnet mjí sice hmotnosti srovntelné s Měsícem Země, le v porovnání s hmotnostmi plnet, kolem kterých obíhjí, jsou tké neptrné. Umělá kosmická těles vyslná do vesmíru člověkem v tomto srovnání předstvují jen neptrná zrnk hmoty. Pohyb mlého těles v grvitčním poli osmoceného těles s mnohonásobně větší hmotností můžeme nejsnáze vyšetřit ve vztžné soustvě, jejíž počátek leží ve středu velkého těles souřdnicové osy směřují ke vzdáleným hvězdám. Přitom dosáhneme dosti přesných výsledků, budeme-li tuto vztžnou soustvu povžovt z inerciální (což ve skutečnosti není nikdy přesně splněno) znedbáme-li grvitční působení všech vzdálených velkých těles jiných mlých těles, která se součsně ncházejí v okolí. Velká kosmická těles hvězdy plnety mjí kulový tvr. Grvitční pole v okolí tkového těles je stejné, jko kdyby se celá jeho hmot ncházel v jeho středu. m Je-li M hmotnost centrálního těles, m r Fg hmotnost obíhjícího mlého těles r M jeho vzdálenost od středu centrálního těles (obr. 1), působí n mlé těleso přitžlivá grvitční síl o velikosti F g = m r, (1) Obr. 1 kde κ =6, N m kg je grvitční konstnt. V prvním ročníku střední školy jste studovli pohyb v rdiálním grvitčním poli, který se uskutečňovl po ideální křivce po kružnici. Grvitční síl udělovl obíhjícímu tělesu dostředivé zrychlení d stálé velikosti. Z rovnosti F g = m r = m d = m v r = m4π T r () jste odvodili vzthy pro výpočet velikosti rychlosti v, dobyoběhut poloměru Výsledky úloh 1.1. v = m s 1, T = 5500 s. 1.. r = 4 30 km, h= km M =1, kg... e =4cm, ε =0,8; y =,4 cm, E =rcsin y b =53,13 =0,97 rd. 1,8 cm.3. r = 1+0,8cosϕ ; x = 1 cm, y =,4 cm, r =,6 cm, p r 1 cos ϕ = = 0,3846, ϕ = 11 ε =1,966 rd. ( ) T 3.1. =1AU 3 =1,54 AU, e =0,14 AU; 1r r p =1,3815 AU, r =1,6661 AU, v p =1,06. v 3.. r p = (1 ε) =9,7 AU T =1,78 r, r p =0,647 AU, r =,95 AU; b =1,19 AU. 1AU =1cm 4.1. v = R z + h = m s 1, ( ) 1 1 W = m + 1 Rz R z + h mv =5, J. 4.. E pg = 6, J v u = = m s R 1. z ( 4.4. =17,96 AU, v p = 1 ) =55 10 rp 3 m s 1, w = 1 v pr p =, m s 1, = wt =5, m = r z + r j =3,1 AU, t = T =,73 r, v p = m s 1, v = 7 40 m s 1, v z = m s 1, v j = m s =8, m, b =7, m, T = 7 00 s. π 6. t = E ε sin E 0,99513 = Q 7, s=7, s = 36 r. (T = 570 r.) 3