ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

Transkript

1 OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický popis zvádíme veliinu zvtšení optického zobrzení. Je deinováno jko podíl velikosti obrzu velikosti pedmtu: y, y kde y je velikost pedmtu y velikost obrzu. Souvislost mezi zvtšením pedmtovou obrzovou vzdáleností vyplývá z obrázku. pro kulová zrcdl z obrázku. 2 pro oky. Obr. : vtšení dutého zrcdl (pevzto z [5]) Obr. 2: vtšení dutého zrcdl (pevzto z [5]) podobnosti trojúhelník vyznených n obou obrázcích vyplývjí vzthy pro velikost

2 zvtšení kulových zrcdel oek: y y Obecn mohou nstt tyto pípdy (pltí pro kulová zrcdl i pro oky): ) > vzniká obrz zvtšený b) < vzniká obrz zmenšený c) = vzniká obrz stejn velký jko pedmt d) > 0 vzniká obrz pímý e) > 0 vzniká obrz pevrácený obrzovcí rovnice Vzájemné vzthy mezi pedmtovou vzdáleností, obrzovou vzdáleností ohniskovou vzdáleností vyjduje tzv. zobrzovcí rovnice. Její tvr je stejný jk pro kulová zrcdl, tk pro oky. Pltí: Pozn.: ) Všechny vzdálenosti (ohnisková, pedmtová, obrzová) odeítáme od vrcholu zrcdl, resp. od optického stedu oky proto rovnici v tomto tvru oznujeme jko vrcholovou zobrzovcí rovnici. Ve strší litertue bývá oznován tké jko Gussov zobrzovcí rovnice. 2) Krom vrcholové zobrzovcí rovnice existuje ješt jeden tvr zobrzovcí rovnice tzv. ohnisková zobrzovcí rovnice (nkdy též Newtonov zobrzovcí rovnice) ve tvru qq = 2, kde q je vzdálenost pedmtu od ohnisk, q vzdálenost obrzu od ohnisk ohnisková vzdálenost. Pi ešení píkld je teb mít tké n pmti znménkovou konvenci, která se mírn liší pro oky kulová zrcdl. nménková konvence pro kulová zrcdl: všechny vzdálenosti, které se ncházejí ped zrcdlící plochou, mjí znménko kldné; všechny vzdálenosti, které se ncházejí z zrcdlící plochou, mjí znménko záporné; ohnisková vzdálenost dutého zrcdl je kldná, vypuklého zrcdl záporná; vzniká-li obrz pímý, pk má velikost obrzu znménko kldné, vzniká-li obrz pevrácený, pk má velikost obrzu znménko záporné. nménková konvence pro oky: pedmtová vzdálenost má vždy znménko kldné; obrzová vzdálenost má znménko kldné, je-li ve smru pprsk procházejících okou (tj. obrz vzniká z okou), jestliže obrz vzniká ve stejné ásti prostoru jko leží pedmt, pk má obrzová vzdálenost znménko záporné; ohnisková vzdálenost spojky je kldná, rozptylky záporná; vzniká-li obrz pímý, pk má velikost obrzu znménko kldné, vzniká-li obrz pevrácený, pk má velikost obrzu znménko záporné.

3 Pi ešení píkld se zobrzovcí rovnicí zrcdl nebo oky je dležité íst mezi ádky obs se zde vyskytují dležité údje. N zákld ormulce zdání úlohy je pk možné urit dlší vlstnosti obrzu. Np. vt n stínítku vzniká obrz znmená, že vzniká skutený obrz. árove je dobré si zkontrolovt výsledek jestli vypotené urené vlstnosti souhlsí s teoreticky odvozenými pedpokldy. ešené píkldy (zobrzovcí rovnice kulového zrcdl) ) Ve vzdálenosti 20 cm od dutého kulového zrcdl s ohniskovou vzdáleností 5 cm se nchází pedmt vysoký 0 cm. Urete, v jké vzdálenosti vznikne jeho obrz urete vlstnosti tohoto obrzu. = 20 cm, = 5 cm, y = 0 cm, =?, =? e zobrzovcí rovnice vyplývá: 60 cm. Obrz vzniká ve vzdálenosti 60 cm od vrcholu zrcdl. vtšení obrzu vypoteme z rovnice pro zvtšení: 3. Obrz bude pevrácený, zvtšený skutený, jeho velikost je 30 cm. 2) Ve vzdálenosti 5 m od vypuklého kulového zrcdl s ohniskovou vzdáleností 2 m se nchází pedmt vysoký,5 m. Urete, v jké vzdálenosti vznikne jeho obrz urete vlstnosti tohoto obrzu. = 2 m, = -5 m, y =,5 m, =?, =? Stejným zpsobem jko v píkldu. vypoteme obrzovou vzdálenost ze zobrzovcí rovnice zvtšení zobrzení z rovnice pro zvtšení:,43 m.,428 0,7. 2 Obrz vytvoený vypuklým zrcdlem je zmenšený, pímý, neskutený jeho velikost je,07 m.

4 3) Ve vzdálenosti 60 cm od dutého kulového zrcdl se nchází pedmt vysoký 20 cm. N stínítku vzniká jeho dvkrát zvtšený obrz. Urete ohniskovou vzdálenost dutého kulového zrcdl. = 60 cm, = -2, =? V zdání je ureno, že zvtšený obrz pedmtu vzniká n stínítku duté zrcdlo vytváí zvtšený obrz ve dvou pípdech. V prvním pípd se pedmt nchází mezi ohniskem stedem kivosti jeho obrz je zvtšený, pevrácený skutený, ve druhém pípd se pedmt nchází mezi vrcholem zrcdl ohniskem jeho obrz je zvtšený, pímý neskutený. e zdání úlohy proto vyplývá, že se budeme zbývt první situcí, protože jedin skutený obrz lze zchytit n stínítko. Proto pro zvtšení pltí: = -2. Nyní máme dv možnosti pro ešení (ob jsou rovnocenné) bu si pmtujeme souvislost mezi zvtšením, pedmtovou ohniskovou vzdáleností užijeme ji k ešení píkldu, nebo si tuto souvislost nepmtujeme odvodíme si ji ze zobrzovcí rovnice rovnice pro zvtšení zrcdl. volíme první, jednodušší vrintu, druhou složitjší si ukážeme n píkldu. 4. Úprvou rovnice získáme rovnici pro ohniskovou vzdálenost ve tvru 2.60 cm 40 cm. 2 Ohnisková vzdálenost zrcdl je 40 cm (souhlsí s teoretickým pedpokldem, že se pedmt nchází mezi ohniskem stedem kivosti zrcdl). 4) Urete, v jké vzdálenosti od vypuklého kulového zrcdl s polomrem kivosti 80 cm se musí ncházet pedmt, by jeho obrz byl tikrát zmenšený? r = -80 cm,, =? 3 podmínek v zdání úlohy vyplývá, že obrz je pímý, zmenšený neskutený proto je zvtšení rovno 3. V tomto konkrétním pípd je teb užít ob rovnice (pro zvtšení zrcdl i zobrzovcí rovnici). Máme tedy soustvu dvou rovnic o dvou neznámých: 2. r r 2

5 rovnice pro zvtšení si vyjádíme obrzovou vzdálenost dosdíme do zobrzovcí rovnice: 2 r (po úprv) r 2 Doszením íselných hodnot získáme výsledek: cm 80 cm Pedmt se musí ncházet ve vzdálenosti 80 cm od vrcholu zrcdl. 5) Urete, v jké vzdálenosti od dutého kulového zrcdl s ohniskovou vzdáleností m se musí ncházet pedmt, by jeho obrz byl ptkrát zvtšený? = m, = 5, =? podmínek v zdání úlohy vyplývá, že obrz je zvtšený. Duté zrcdlo vytváí zvtšený obrz ve dvou pípdech (viz p.. 3), protože v zdání nejsou uvedeny žádné dlší vlstnosti obrzu, bude mít úloh dv jedno pro = -5 (skutený pevrácený obrz), druhé pro = 5 (neskutený pímý obrz). Nejprve vyešíme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých obecn pk budeme doszovt jednotlivé íselné hodnoty:. rovnice pro zvtšení si vyjádíme obrzovou vzdálenost dosdíme do zobrzovcí rovnice: (po úprv). ( = -5): 2. ( = 5): 5 5 m 5 5 m 2,2 m. 0,8 m.

6 Pedmt se musí ncházet bu ve vzdálenosti 0,8 m od vrcholu zrcdl nebo ve vzdálenosti,2 m. ešené píkldy (zobrzovcí rovnice oky) 6) Urete ohniskovou vzdálenost tenké oky, jestliže zobrzí pedmt, který se nchází ve vzdálenosti 60 cm, n stínítku ve vzdálenosti 40 cm od optického stedu oky. Urete vlstnosti obrzu. = 60 cm, = 40 cm, =? Obrzová vzdálenost bude mít kldné znménko, protože n stínítku vzniká skutený obrz. e zobrzovcí rovnice oky dále vyplývá: cm 24 cm Ohnisková vzdálenost oky je 24 cm. Obrz pedmtu má následující vlstnosti: je zmenšený, pevrácený skutený. 7) Urete, v jké vzdálenosti od stedu tenké rozptylky s ohniskovou vzdáleností 30 cm se nchází pedmt, vzniká-li jeho obrz ve vzdálenosti 5 cm od oky. Urete vlstnosti obrzu. = -30 cm, = -5 cm, =? Obrzová vzdálenost bude mít záporné znménko, protože rozptylk vždy vytváí neskutený obrz. e zobrzovcí rovnice oky vyplývá: ( 30).( 5) cm 30 cm. 5 ( 30) Pedmt se musí ncházet ve vzdálenosti 30 cm od optického stedu oky. Obrz je neskutený, zmenšený pímý. 8) Urete, v jké vzdálenosti od stedu tenké rozptylky s ohniskovou vzdáleností 20 cm vzniká tyikrát zmenšený obrz pedmtu. = -20 cm,, =? 4 Rozptylk vytváí zmenšený pímý obrz, proto je velikost zvtšení. Obrzová 4 vzdálenost bude mít opt záporné znménko, protože rozptylk vždy vytváí neskutený obrz. rovnice pro zvtšení oky si vyjádíme zlomek dosdíme jej do zobrzovcí rovnice oky: ; ( ) ( 20). cm5 cm. 4

7 tyikrát zmenšený obrz pedmtu vzniká ve vzdálenosti 5 cm od rozptylky. Použitá litertur: [] BARTUŠKA, K. Sbírk ešených úloh z yziky IV.. vyd. Prh: Prometheus 2000 [2] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzik.. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [3] HORÁK,., KRUPKA, F.: Fyzik. 2. vyd. Prh: SNTL, 976 [4] JAVORSKIJ, B. M., SELENV, J. A. Pehled elementární yziky.. vyd., Prh: SNTL, 989 [5] LEPIL, O. Fyzik pro gymnázi Optik. 3. vyd. Prh: Prometheus, 2002 [6] VON LAUE, M. Djiny yziky.. vyd. Prh: Orbis, 958