Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné"

Transkript

1 Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8

2 Obsh Neurčitý integrál. Primitivní funkce Definice vlstnosti Tbulkové integrály Metod per prtes Integrce substitucí Substituce typu ϕ() = t Substituce typu = ϕ(t) Integrce rcionální lomené funkce Integrce goniometrických funkcí Určitý integrál. Geometrický význm určitého integrálu Definice Vlstnosti určitého integrálu Substituce v určitém integrálu Metod per prtes v určitém integrálu Geometrické plikce určitého integrálu Obsh rovinného útvru Délk rovinné křivky Objem rotčního těles Obsh rotční plochy

3 Kpitol Neurčitý integrál V předcházejícím studiu jste se seznámili s důležitým pojmem, to derivce funkce. Funkci f () jsme přiřdili novou funkci f (). Úloh, které se budeme věnovt nyní, je v podsttě opčná. K funkci f () budeme hledt funkci F() tk, by pltilo F () = f (). Tzn. položíme si otázku, jkou funkci je nutné derivovt, bychom dostli zdnou funkci f ().. Primitivní funkce Definice: Necht funkce f () je definovná n intervlu I. Funkce F() se nzývá primitivní k funkci f () n I, jestliže pltí F () = f () pro kždé I. Vět: Necht funkce F() je primitivní k f () n I, pk kždá jiná primitivní funkce k funkci f () n I má tvr F() + c, kde c R. Poznámk: Pokud k dné funkci eistuje primitivní, je jich nekonečně mnoho liší se pouze konstntou c. Víme, že pokud sestrojíme v bodě tečnu k dné funkci, je derivce funkce v dném bodě směrnicí tečny. Grfy primitivních funkcí jsou posunuty rovnoběžně ve směru osy y. Tečny ke grfům v dných bodech jsou rovnoběžné (mjí stejnou směrnici) z toho plyne, že mjí stejnou derivci.. Definice vlstnosti Definice: Množinvšech primitivních funkcí k funkci f () n I se nzývá neurčitý integrál funkce f () znčí se symbolem f ()d. Tedy f ()d = F() + c, I. Poznámk:. Funkci f () nzýváme integrndem.. Výrz d je diferenciál proměnné v tuto chvíli je jeho význm v tom, že nám říká, jk je oznčená proměnná.. Číslo c nzýváme integrční konstnt. Vlstnosti neurčitého integrálu: Vět: Kždá funkce y = f (), spojitá n intervlu I, má n tomto intervlu neurčitý integrál je opět spojitou funkcí n I. f ()d, který Uvedeme jednoduchou (le důležitou) větu, kterou budeme při výpočtu neurčitých integrálů neustále používt.

4 Vět: Eistují-li n I integrály násobku konstntou: f ()d Vzth mezi funkcí její primitivní funkcí: ( f () ± g()) d = g()d, pk n I eistuje rovněž integrál jejich součtu, rozdílu k f ()d = k f ()d ± f ()d, k R. g()d Pokud funkce nbývá v bodě kldné hodnoty, je v dném bodě primitivní funkce rostoucí nopk. Jkmile je funkce v bodě nulová, je v dném bodě primitivní funkce mimum, minimum nebo inflení bod.. Tbulkové integrály Podobně jko pro derivování, i pro integrování eistuje celá řd prvidel, kterými se při výpočtu musíme řídit. První skupinu vzorců (-) dostneme, obrátíme-li zákldní vzorce pro derivování. Doplníme ji o dv užitečné vzorce.. d = c n d = n+ + c, n =, > n + e d = e + c d = ln + c d = ln + c sin d = cos + c cos d = sin + c cos d = tn + c, = (k + ) π sin d = cot + c, = kπ d = rcsin + c, < d = rctn + c + f () d = ln f () + c f () f () f ()d = f () + c

5 Obecné vzorce d = ln + + c + e d = e + c sin d = cos + c cos d = sin + c + d = rctn + c d = rcsin + c cos d = tn + c sin d = cot + c + d = ln s c ( Příkld : Vypočtěte integrál 7 + sin ) + d. Integrnd je složen ze součtu tří funkcí, proto využijeme vlstnosti o integrci součtu funkcí, dostneme součet tří integrálů: 7 d + sin d + d, ve všech integrálech je funkce ve tvru konstnt krát funkce, využijeme tedy druhé vlstnosti konstnty vytkneme před integrál: 7 d + sin d + d, funkci si npíšeme ve tvru mocninné funkce, s využitím vlstností jsme získli zákldní integrály, které již podle vzorců (.), (6.) (.) integrujeme. ( 7 + sin ) + d = cos rctn + c = 5 5 cos rctn + c. ( e ) Příkld : Vypočtěte integrál e cos d. Integrnd je složen ze součtu funkcí, proto opět využijeme vlstnosti o integrci součtu funkcí, dostneme součet dvou integrálů: e e + d + 4 cos d. Výpočet prvního integrálu: s využitím vzorce b = ( b)( + b) uprvíme čittel (e )(e + ) e d = + (e )d,

6 rozdělíme n integrály pomocí vzorců pro integrování (.), (.) vypočítáme (e )d = e + c. Výpočet druhého integrálu: konstntu vytkneme před integrál, jmenovtel si uprvíme (cos + sin = ) podle (9.) integrujeme 4 cos d = 4 sin d = 4 cot + c. ( e ) e cos d = e 4 cot + c. Příkld : Vypočtěte integrál tn cos d. Vidíme integrnd ve tvru zlomku, proto nejdříve kontrolujeme, zd nelze využít vzorec (.). Víme, že (tn ) = cos. Po úprvě integrndu dostáváme: tn cos d = cos tn d. Tedy pltí, že derivce jmenovtele je v čitteli lze využít vzorec (.). tn cos d = ln tn + c. Příkldy k procvičení: ) b) c) ( 5 + ) d ( + 4 )d d e) f) g) ( e ) d d + cos ( ) d i) j) e d ( + ) d d) d h) ( cos )d k) d 4

7 .4 Metod per prtes Víme, že integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) integrálů. Pro součin (podíl) nic tkového obecně nepltí. f () g()d = f ()d g()d Z prvidl pro derivci součinu dostneme velmi užitečný vzth pro integrci součinu: (u v) = u v + u v u v = (u v) u v Po integrci dostáváme: u v d = u v u vd Vět: Necht funkce u() v() mjí derivci n intervlu I, pk pltí pokud lespoň jeden z integrálů eistuje. u() v ()d = u() v() Tto metod se nzývá metod per prtes (po částech). u () v()d, Hodí se n integrály, jejichž integrnd má tvr součinu dvou odlišných funkcí. Abychom dokázli npst prvou strnu vzthu, musíme jeden činitel n levé strně umět derivovt, což není problém, druhý činitel musíme umět integrovt, což už může být problém. Metod per prtes integrál vypočítá jen zčásti. Zbývá vypočítt nový integrál, který by měl být jednodušší. Integrály typické pro výpočet metodou per prtes Bud P() polynom. Metodou per prtes integrujeme npř. integrály následujících typů: P()e α d, P() sin(α)d, P() cos(α)d P() rctn d, P() ln m d. U první skupiny postupujeme tk, že polynom derivujeme (snížíme jeho stupeň), v přípdě potřeby postup opkujeme. U druhé skupiny nopk polynom integrujeme derivujeme druhý činitel. Poznámk: V souvislosti s metodou per prtes se používá obrt, který spočívá v tom, že po integrci per prtes úprvách se nám znovu objeví výchozí integrál. Tzn. dostáváme rovnici: f ()d = h() + α f ()d, kde α =. Převedením integrálů n jednu strnu dostneme hledný výsledek: f ()d = h() + c. α 5

8 Příkld 4: Vypočtěte integrál: Integrál je ve tvru ( + ) cos d. P() derivujeme funkci cos integrujeme. P() cos d, což je integrál typický pro výpočet metodou per prtes, kde polynom u = + u = v = cos v = sin Po plikci PP : ( + ) cos d = + + sin sin d = sin + Dostli jsme jednodušší integrál sin d, který již umíme vyřešit pomocí vzorců, sin d = cos + c. sin d. ( + ) cos d = + sin cos + c. 9 Příkld 5: Vypočtěte integrál: ln d. Funkci ln integrovt neumíme, proto musíme k výpočtu využít metodu per prtes, kde si integrnd npíšeme ve tvru součinu funkce s jedničkou : ln d. Volíme u = ln v = u = ln v = Po plikci PP : ln d = ln ln d = ln Dostli jsme jednodušší integrál ln d, který řešíme opět metodou PP ln d. u = ln v = u = v = Po plikci PP : ln d = ln d = ln d = ln + c. ln d = ln ( ln ) + c. 6

9 Příkldy k procvičení: ) sin ( )d d) ( ) ln d g) cos(ln )d b) c) e d ln d e) f) sin d e sin d.5 Integrce substitucí Seznámíme se s význmnou metodou, která je jednou z nejdůležitějších nejpoužívnějších při řešení integrálů. Bohužel neeistuje univerzální návod, kdy jk substituci použít, proto je důležité pochopit princip substitučních metod umět vzorce pro derivování..5. Substituce typu ϕ() = t Vět: Necht funkce f (t) má n otevřeném intervlu J primitivní funkci F(t), funkce ϕ() má derivci n otevřeném intervlu I pro libovolné I pltí ϕ() J. Potom je funkce F(ϕ()) primitivní funkce k funkci f (ϕ())ϕ () n I pltí: f [ϕ()] ϕ ()d = f (t)dt = F(t) + c = F [ϕ()] + c. Z předcházející věty vidíme, jk musí vypdt integrnd, by bylo možno substituční metodu použít. Musí jít o výrz, který je složen ze součinu složené funkce derivce vnitřní funkce. Problémem je, že potřebný součin není vždy n první pohled viditelný je potřeb integrnd vhodně uprvit. Shrnutí prktické použití:. oznčíme substituci ϕ() = t. rovnost diferencujeme: ϕ ()d = dt. v integrálu 4. řešíme integrál f (ϕ())ϕ ()d nhrdíme z ϕ() proměnnou t z výrz ϕ ()d diferenciál dt f (t)dt proměnné t 5. do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci Lineární substituce: + b = t Jestliže má funkce f (t) primitivní funkci F(t), tj. f (t)dt = F(t) + c, pltí, že: f ( + b)d = F( + b) + c,, b R, =. Příkld 6: Vypočtěte integrál: e + d. Integrnd je ve tvru e +b, proto k nlezení primitivní funkce využijeme lineární substituce, kde =, b =. 7

10 e + d = e + + c. Příkld 7: Vypočtěte integrál: 4 ( ) d. Integrnd je ve tvru, proto k nlezení primitivní funkce využijeme opět lineární substituci (b + d) ( obecný vzorec d = rcsin ), + c kde =, b =, d =. d = rcsin + c. 4 ( ) Příkldy k procvičení: ) b) sin(4 )d 4 + d c) d) ( 5) d e 6 d e) f) d d Příkld 8: Vypočtěte integrál: tn( )d. Derivce vnitřní funkce je rovn druhé funkci v součinu, ( ) =, využijeme tedy substituce: Po plikci: Dostli jsme integrál = t d = dt d = dt tn( )d = tn tdt. sin t tn tdt, který si npíšeme ve tvru cos t dt. Všimneme si, že derivce jmenovtele je v čitteli (liší se pouze konstntou), proto tento integrál řešíme přímou metodou s využitím vzorce d = ln f () + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. f () f () tn( )d = ln cos( ) + c. 8

11 Příkld 9: Vypočtěte integrál: rcsin d. Integrnd je ve tvru součinu dvou funkcí: rcsin d. Derivce jedné funkce je rovn druhé funkci v součinu, (rcsin ) =, využijeme tedy substituci: rcsin = t d = dt Po plikci: rcsin d = tdt. Získli jsme tbulkový integrál, který již umíme pomocí vzorce vypočítt. tdt = t + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. rcsin d = rcsin + c. Příkldy k procvičení: ) b) d ( + ) rctn e cos(e )d c) d) cot( + )d ( + ln ) 5 d e) f) cos sin d e d.5. Substituce typu = ϕ(t) Podle věty o. substituční metodě jsme převedli integrál f [ϕ()] ϕ ()d pomocí substituce ϕ() = t n integrál s novou proměnnou f (t)dt. Někdy je potřeb zvolit postup opčný proměnnou nhrdit vhodnou funkcí. Tzn. máme vypočítt integrál f ()d. S využitím substituce = ϕ(t) d = ϕ (t)dt se snžíme převést integrál n tvr integrálu f [ϕ(t)] ϕ (t)dt. Abychom byli schopni nlézt primitivní funkci, musí pltit, že:. f () je spojitá n(, b). = ϕ(t) je n (α, β) ryze monotónní ϕ (t) = je spojitá n (α, β). Pokud jsou tyto předpokldy splněny, eistuje inverzní funkce ϕ () = tedy t = ϕ (). Vět: Necht funkce f () je spojitá n intervlu J, necht funkce [ ϕ(t) má ] derivci n otevřeném intervlu I pltí ϕ(i) = J. Pk má f () n intervlu J primitivní funkci F ϕ () pltí: f ()d = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. 9

12 Substituční metodou integrujeme většinou ircionální funkce. ) Integrnd obshuje výrz n + b. U těchto integrálů používáme substituci + b = t n, d = nt n dt. b) Obshuje-li integrovná funkce více odmocnin s různými odmocniteli substituci + b = t n, kde n je nejmenší společný násobek čísel n, n,... c) Integrnd obshuje výrz n + b, n + b,... zvádíme b. Substituce se oznčuje jko goniometrická, protože kldeme b = sin t nebo b = cos t, tzn. d = b cos tdt přípdně d = sin tdt. b Příkld : Vypočtěte integrál: sin + d. V prvním kroku potřebujeme odstrnit odmocninu z rgumentu funkce sinus. Po nhrzení novou proměnnou: + = t = t d = tdt sin + d = t sin t dt = t sin tdt. Nový integrál proměnné t je ve tvru P(t) sin tdt, který řešíme pomocí metody per prtes. Po plikci PP přímé metody: u = t u = t sin tdt = t cos t + v = sin t v = cos t cos tdt = t cos t + sin t + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci t = +. sin + d = + cos + + sin + + c. Příkldy k procvičení: d ) ( + ) + b) cot d c) d) e d rctn d.6 Integrce rcionální lomené funkce Kždou rcionální lomenou funkci tvru f () = P(), kde P() Q() jsou polynomy libovolných stupňů, Q() lze vyjádřit ve tvru P() Q() = S() + R () R s (),

13 kde S() je mnohočlen R (),..., R s () jsou prciální zlomky. Prciální zlomky jsou speciální rcionální lomené funkce. Rozlišujeme typy: A, k N; α, A R ( α) k B( + p) + C ( + p + q) k, k N; B, C, p, q R; p 4q < Postup rozkldu ryze lomené funkce n prciální zlomky. njdeme kořeny polynomu ve jmenovteli. npíšeme předpokládný tvr rozkldu. celou rovnici rozkldu vynásobíme polynomem ve jmenovteli 4. nlezneme koeficienty rozkldu: srovnávcí metodou, doszovcí metodou nebo kombincí těchto metod 4 + Příkld : Vypočtěte integrál: d. V čitteli funkce je stupeň polynomu roven čtyřem, polynom ve jmenovteli je. stupně. Stupeň ve jmenovteli je menší, polynomy tedy lze dělit. Dělíme tk, že vždy vezmeme v čitteli člen s nejvyšší mocninou vydělíme členem s nejvyšší mocninou ve jmenovteli. Dlším krokem je vynásobení výsledku získného dělení se jmenovtelem odečtení od původního polynomu v čitteli (snížíme stupeň čitteli). Provedeme kontrolu, zd získný polynom je již nižšího stupně než polynom, kterým dělíme. Pokud no, jedná se o zbytek (ryze lomená funkce), pokud ne, musíme dělit dále. Po dělení ( 4 + ) : ( ) = ( 4 ) + ( ) + ( ) + ( ) 4 ( + d = ) d. Využitím vlstností vzorců řešíme 5 tbulkových integrálů d = ln + c.

14 Příkldy k procvičení: ) Vyjádřete rcionální funkci R() = + b) Rozložte n prciální zlomky: R() = 4 c) Rozložte n prciální zlomky: R() = d) Rozložte funkci R() = ( )( n prciální zlomky. + ) jko součet polynomu ryze lomené rcionální funkce. Integrce prciálních zlomků s reálnými kořeny ve jmenovteli Pro k = : Pro k : A d = A ln α + c α A ( α) k d = A ( k)( α) k + c Integrce prciálních zlomků s kompleními kořeny ve jmenovteli Při integrování zlomku Při integrování zlomku kde B( + p) + p + q dostáváme: B( + p) + p + q d = B ln + p + q + c C + p + q doplníme trojčlen + p + q n čtverec: C + p + q d = C Příkld : Vypočtěte integrál: d ( + p/) + = C + p/ rctn + c, = d. q p 4. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel rozložíme n kořenové činitele, Tvr rozkldu : + ( )( + ) = A + B +. Vynásobíme výrzem ( )( + ), + 6 = ( )( + ). Využijeme doszovcí metodu: + = A( + ) + B( ). = : 4 = 5A A = 4 5 = : = 5B B = 5

15 Integrujeme prciální zlomky s reálnými kořeny pro k = d = 4 5 d d d = 4 5 ln + ln + + c. 5 Příkld : Vypočtěte integrál: d. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel rozložíme n kořenové činitele, Tvr rozkldu : + ( + ) = A + + B ( + ). Vynásobíme výrzem ( + ), = ( + ). + = A( + ) + B. Využijeme kombinci doszovcí srovnávcí metody: = : 7 = B : = A + B 6 = A A = Integrujeme prciální zlomek s reálnými kořeny pro k = prciální zlomek s reálnými kořeny pro k = d = + d + 7 ( + ) d. + 7 d = ln c. Příkld 4: Vypočtěte integrál: d. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel má dv kompleně sdružené kořeny. Tvr rozkldu : B( + ) = C Vynásobíme výrzem ( + + 4), Využijeme srovnávcí metody: = B( + ) + C. : = B B = Integrujeme prciální zlomky s kompleními kořeny d = : = B + C C = d d.

16 ( Jmenovtel druhého integrndu si uprvíme n tvr + ) d = ln( + + 4) rctn ( + ) + c. 7 7 Příkldy k procvičení: ) + 8 d c) ( + )( + 4) d e) + d b) 8 ( 4)( ) d d) ( + 9)( ) d f) + 5 d ( + ) Příkld 5: Vypočtěte integrál: + d. Integrnd obshuje výrz n + b, využijeme substituci: = t d = t dt Dostáváme: d = + 9t (t + ) dt. Získli jsme rcionální lomenou funkci, kde v čitteli je stupeň větší než ve jmenovteli, musíme dělit: 9t (t + ) dt = 9 ( t + 4 ) dt = 9 ( ) t t + 4 ln t + + c. t + Vrátíme substituci. + d = 9 ( ) ( ) + 4 ln + + c. Příkld 6: Vypočtěte integrál: 4 + d. Integrnd obshuje více odmocnin s různými odmocniteli, využijeme substituci: = t 4 d = 4t dt Dostáváme: 4 d = 4 + t t + t dt. 4

17 Získli jsme rcionální lomenou funkci, kde v čitteli je stupeň větší než ve jmenovteli, musíme dělit: ( 4 t 4 t + 4t 8t + 6 ) ( ) t 5 dt = 4 t + 5 t4 + 4t 4t + 6t ln t + + c. Vrátíme substituci. ( d = ) ln c. Příkldy k procvičení: ) d b) + 5 d.7 Integrce goniometrických funkcí Integrály typu sin m cos n d, kde m, n Z. Pokud je spoň jedno z čísel m, n liché použijeme k řešení substituci: sin = t, je-li n liché cos = t, je-li m liché Pokud jsou obě liché, můžeme si vybrt.. Pokud jsou obě čísl m, n sudá nezáporná, je nejvýhodnější použití vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = cos = cos + cos.pokud jsou obě čísl m, n sudá je-li lespoň jedno z čísel záporné, použijeme substituci tn = t. Pk sin = t, cos =. + t + t Univerzální substituce tn = t, ( π, π) = rctn t d = + t dt 5

18 sin = t t, cos = + t + t Univerzální substituce se používá při řešení integrálů typu f (sin, cos )d, kde f (u, v) je rcionální funkce proměnných u = sin, v = cos. Jedná se o obecný postup (substituci) při řešení integrálů funkcí složených z goniometrických funkcí. Příkld 7: Vypočtěte integrál: cos sin 5 d. Integrnd je typu sin m cos n d, kde u funkce kosinus je sudá mocnin u funkce sinus lichá, tudíž využijeme substituci: cos = t sin d = dt Musíme si integrnd uprvit, by byl složen pouze z funkce cos jedné funkce sin : cos sin 4 sin d = cos ( cos ) sin d. Po plikci substituce: t ( t ) dt = (t t 4 + t 6 )dt = t + t5 5 t7 7 + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. cos sin 5 d = cos + cos5 5 cos7 7 + c. Příkld 8: Vypočtěte integrál: sin cos d. Integrnd je typu sin m cos n d, kde u funkce kosinus je lichá mocnin u funkce sinus sudá, tudíž využijeme substituci: sin = t cos d = dt Po plikci substituce: t dt = t + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. sin cos d = sin + c. 6

19 Příkld 9: Vypočtěte integrál: Integrnd je typu substituci: sin 4 cos 8 d. sin m cos n d, kde u obou funkcí jsou sudé mocniny jedn je záporná, tudíž využijeme tn = t cos d = dt Integrd si uprvíme: sin 4 cos 8 d = tn 4 cos cos d. Po plikci substituce: t 4 ( + t )dt = t5 5 + t7 7 + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. sin 4 cos 8 d = tn5 + tn7 + c. 5 7 Příkld : Vypočtěte integrál: sin cos d. Integrnd je typu sin m cos n d, kde u obou funkcí jsou sudé nezáporné mocniny, tudíž využijeme goniometrických vzorců: ( ) ( ) cos + cos sin cos d = d = 4 ( cos )d. Opět využijeme stejného vzorce: 4 ( cos )d = 4 ( ) + cos 4 d. Využitím zákldních integrčních vzorců spočítáme. sin cos d = 8 sin 4 + c. Příkld : Vypočtěte integrál: + cos d. 7

20 Integrndem je rcionální funkce obshující goniometrické funkce, využijeme tedy univerzální substituci: + cos d = + t + t dt = +t 6 + t dt. Využitím obecného vzorce + d = rctn + c spočítáme: 6 6 dt = rctn + t t + c. Vrátíme substituci. + cos d = rctn tn + c. Příkld : Vypočtěte integrál:. způsob řešení: sin d. Integrndem je rcionální funkce obshující goniometrickou funkci, využijeme univerzální substituci: + t sin d = t + t dt = t dt. Využitím zákldního integrčního vzorce spočítáme vrátíme substituci: t dt = ln t + c = tn ln + c.. způsob řešení: Integrnd je typu t. sin m cos n d, kde u funkce sinus je lichá mocnin, tudíž využijeme substituci cos = Integrnd si uprvíme: sin d = sin sin d = sin cos d = dt t. Rozložíme n prciální zlomky po nlezení primitivní funkce vrátíme substituci: ( ) (t ) dt = (t + ) ln cos ln cos + + c. Příkldy k procvičení: ) sin cos d b) sin cos d c) d) sin cos 6 d cos 4 d e) f) 4 sin + 4 d + cos + sin d 8

21 Příkld : Vypočtěte integrál: 9 6 d. Integrnd obshuje b, využijeme substituci: 4 = sin t 4d = cos tdt Dostáváme: 9 6 d = 9 9 sin t cos tdt = 9( sin t) cos tdt = cos tdt. Získli jsme integrál gonimetrické funkce se sudou mocninou, musíme využít vzorce pro dvojnásobný úhel: 9 cos tdt = 9 ( + cos t)dt = 9 ( ) sin t t + + c = 9 ( ) sin t cos t t + + c = 9 ( ) t + sin t ( sin t) + c. 8 Vrátíme substituci. 9 6 d = 9 8 ( rcsin ) + c = rcsin c. Příkldy k procvičení: ) d c) d (9 ) b) d d) 4 d 9

22 Kpitol Určitý integrál. Geometrický význm určitého integrálu Mějme nezápornou ohrničenou funkci f (), spojitou n intervlu, b. Dá se dokázt, že určitý integrál b f ()d udává obsh rovinného obrzce P ohrničeného grfem funkce f (), osou přímkmi =, = b. Pro obecnou funkci f () ztím obsh obrzce P vypočítt nedovedeme. Nvrhněme, jk vypočítt obsh tohoto útvru lespoň přibližně:. Rozdělíme útvr P rovnoběžkmi s osou y n části. Je zřejmé, že obsh útvru P dostneme jko součet obshů jednotlivých částí. Oznčíme obsh P jko S(P). Pk pltí:s(p) = S(P ) + S(P ) S(P n ). Potřebujeme tedy určit obsh jednotlivých částí. Jelikož jsou opět ohrničeny shor funkcí f (), provedeme výpočet přibližně. A to tk, že proimujeme plochy obdélníkem. Zvolíme v jednotlivých částech body ξ i (v mezích dné části) v těchto bodech spočteme funkční hodnotu. V této výšce zrovnáme n obdélník (funkci jsme nhrdili funkční hodnotou). Ze znlosti vzorce pro výpočet obshu obdélníku dostáváme (přibližný) obsh původního obrzce: S(P). = ( ) f (ξ ) + ( ) f (ξ ) (b n ) f (ξ n ). Je zřejmé, že se dopouštíme chyby pokud zvolíme více dělících bodů (více částí), tím bude chyb menší. Obsh P tedy dostneme jko limitu pro nekonečný počet částí.. Definice Definice: Pokud limit ( n lim n i= funkce v intervlu, b píšeme S(P i ) = S n ), pk je tto limit oznčován jko Riemnnův integrál S n = b f ()d, kde číslo se nzývá dolní mez, číslo b horní mez funkce f () integrnd. Poznámk: Pokud je funkce f () spojitá n, b, pk má Riemnnův integrál. Po zobecnění dostáváme následující definici. Definice: Necht je f () omezená po částech spojitá v, b, pk má f () v, b Riemnnův integrál.

23 Výpočet určitého integrálu Pro výpočet určitého integrálu využijeme Newton-Leibnizovu formuli, která vyjdřuje vzth mezi primitivní funkcí Riemnnovým integrálem. Definice: Necht F() je primitivní funkcí k funkci f () v intervlu I. Pk pro čísl, b z tohoto intervlu definujeme Newtonův určitý integrál funkce f () v mezích od do b vzorcem: b f ()d = [F()] b = F(b) F().. Vlstnosti určitého integrálu Vět: Necht f () g() jsou integrovtelné n, b, pk tké součet (rozdíl) těchto funkcí násobek funkce konstntou je integrovtelný n tomto intervlu pltí: b ( f () ± g())d = b b f ()d ± g()d, b b c f ()d = c f ()d, c R. Dlší vlstnosti: Vět: Necht f () g() jsou integrovtelné n, b, pk pltí: f ()d =, b b b f ()d = f ()d b f ()d, f ()d, je-li f () g(), pro, b, pk tké b f ()d b g()d. Následující vlstnost je užitečná zejmén v přípdech, kdy integrnd nebude mít n celém intervlu, b jednotný nlytický předpis. Vět: Necht f () je integrovtelná n, b < c < b právě tehdy, když je integrovtelná n obou intervlech, c c, b pltí: b f ()d = c b f ()d + c f ()d.

24 π Příkld 4: Vypočtěte integrál: ((4 ) + cos )d. Integrnd uprvíme s využitím vlstností dostneme součet 4 integrálů: π π ( cos )d = 6 π d 8 π d + π d + cos d. Všechny integrály jsou tbulkové, tzn. umíme nlézt primitivní funkci. Využijeme tedy N-L formuli. π π π π [ ] 6 d 8 d + d + cos d = 6[] π 4[ ] π π [ sin + + ( ) π = 6(π ) 4(π ) + + ( ) = 6π 4π + π. ] π π ((4 ) + cos )d = 6π 4π + π. Příkldy k procvičení: ) ( + )d b) ( ) d c) + d Výpočet integrálu sudé liché funkce Pokud je n intervlu, funkce f () sudá, pk f ()d = f ()d. y = 4 = = Pokud je n intervlu, funkce f () lichá, pk f ()d =.

25 = π = π y = tn = π 4 = π 4 Příkld 5: Vypočtěte integrál: π 4 tn d. π 4 Funkce tngens je n intervlu π 4, π 4 lichá, tudíž využijeme vlstnosti určitého integrálu pro lichou funkci víme tedy, že integrál je roven. Ověříme: π 4 π 4 tn d = π 4 π 4 sin cos d = [ln cos ] π 4 π 4 = ( ln ln ) =. Příkld 6: Vypočtěte integrál: 4 d. Funkce 4 je n intervlu ; sudá, tudíž využijeme vlstnosti určitého integrálu pro sudou funkci: 4 d = 4 d = [ 5] 5 = 5 ( ) = 5. Příkldy k procvičení: ) π 4 π 4 ( + cos )d b) 5 d c) + d.4 Substituce v určitém integrálu Vět: Je-li funkce f () integrovtelná v, b funkce = ϕ(t) má v intervlu α, β spojitou derivci ϕ (t), přičemž ϕ(α) = ϕ(β) = b, pk pltí: b β f ()d = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. α

26 Poznámk: Postup výpočtu zápis je obdobný jko u neurčitého integrálu, jen přibude určení nových mezí. Výhodou je, že se nemusíme po substituci vrcet k původní proměnné. Příkld 7: Vypočtěte integrál: π cos d. Integrnd je ve tvru součinu dvou funkcí, kde derivce vnitřní funkce je přímo druhá funkce součinu (lišící se pouze konstntou), využijeme tedy substituci: = t d = dt Musíme přepočítt meze pro novou proměnnou t: dolní mez: = horní mez: π π Po plikci: π cos d = π π cos tdt = [sin t]π = (sin π ). cos d = sin π. Příkld 8: Vypočtěte integrál: 8 + d. Jedná se o integrál obshující odmocninu. Využijeme substituci: + = t d = tdt Musíme přepočítt meze pro novou proměnnou t: dolní mez: + = horní mez: = Po plikci: 8 d = + t t t + dt = 8 [ ] t ( t(t )dt = t 7 = 9 ( 8 4 )). + d =. 4

27 Příkldy k procvičení: ) e + ln d b) π sin cos d.5 Metod per prtes v určitém integrálu Vět: Necht funkce u() v() mjí n, b, < b, derivce, které jsou n dném intervlu integrovtelné, pk pltí b b u() v ()d = [u() v()] b u () v()d. Poznámk: Použití je nlogické jko v přípdě neurčitého integrálu. Výhodou oproti postupu u neurčitého integrálu spočívá v průběžném doszování mezí do částečně určené primitivní funkce. Výpočet se zkrátí zpřehlední. Příkld 9: Vypočtěte integrál: ln d. Integrnd je složená funkce, zkusíme využít metody per prtes: u = ln v = u = v = Po plikci PP : ln d = [ ln ] d = ln 4 ln [] = ln 4 ( ). ln d = (ln 4 ). Příkldy k procvičení: ) ( + )e d c) ln( + )d b) rctn d d) rcsin d 5

28 Příkld : Vypočtěte integrál: + 6 ( + + 6) d. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel má dv kompleně sdružené kořeny jeden dvojnásobný reálný kořen roven. Tvr rozkldu : Vynásobíme ( + + 6) + 6 ( + + 6) = A + B C( + ) D = A( + + 6) + B( + + 6) + C( + ) + D Využijeme srovnávcí metody: : =A + C C = A C = + 6 ( + + 6) d = [ ] 6 ( : =A + B + C + D D = : =6A + 6B A = : 6 =6B B = d + [ ln( + + 6) ] 6 rctn 7 rctn d d ) d = [ln ] [rctn ( ] + = ln + (ln 6 ln 8) ). Příkldy k procvičení: ) + ( + ) d b) ( + ) d.6 Geometrické plikce určitého integrálu.6. Obsh rovinného útvru ) Pokud se jedná o rovinný útvr omezený osou, přímkmi =, = b grfem spojité, nezáporné funkce y = f (), pk je jeho obsh dán určitým integrálem, jk bylo uvedeno u geometrické interpretce určitého integrálu: P = b f ()d. V přípdě, že funkce y = f () je v intervlu, b záporná, je integrál rovněž záporný. Vzhledem k tomu, že obsh kždého obrzce je vždy nezáporné číslo, použijeme pro libovolnou funkci ve výpočtu obshu její bsolutní hodnotu: b b P = f () d = f ()d. 6

29 Jestliže funkce y = f () nbývá v intervlu, b jk kldných, tk i záporných hodnot, potom tento intervl rozdělíme n dílčí intervly, ve kterých funkce nbývá pouze nekldných hodnot resp. nezáporných hodnot, vypočteme obshy podle předcházejícího. Tzn. pokud bychom počítli integrál kldné záporné části by se odečítli. b f ()d n celém, b, Příkld : Znázorněte grf funkce y = vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: 6 y = = = Z grfu vidíme, že funkce je n intervlu, záporná: P = ( )d = [ ( 4 5 )d = 4 5 ] = ( 4 5 ) + (4 + 4) = 7 4. Příkld : Znázorněte grf funkce y = vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: 7

30 6 = = y = Z grfu vidíme, že funkce je n intervlu, nezáporná: P = ( )d = ] ( [ = ( )) + = 4. Příkld : Znázorněte grf funkce y = + + vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: y = = = 5 Z grfu vidíme, že funkce n intervlu, mění znménko, musíme proto určit zvlášt obsh části pod osou nd osou, určíme si průsečík s osou n intervlu, : 8

31 , = ± + 8 hledný průsečík je = P = = ( + + ) d + ( + ( )) + ( + + ) [ d = ] ( + ( + + )) + [ + + = 6 + = 6 ] Příkldy k procvičení: ) Znázorněte grf funkce y = ln vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. b) Znázorněte grf funkce y = ln vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = = 4. c) Vypočtěte obsh útvru (dný útvr znázorněte) ohrničeného osou funkcí y = přímkmi: =, =. d) Vypočtěte obsh útvru (dný útvr znázorněte) ohrničeného osou jednou kldnou vlnou funkce y = sin. ) Pokud je rovinný útvr ohrničený dvěm funkcemi (křivkmi) y = f () y = g(), přičemž pltí f () g(), přímkmi =, = b je jeho obsh určen: P = b ( f () g()) d. V přípdě, že je rovinný útvr ohrničený pouze dvěm funkcemi, musíme první určit -ové souřdnice průsečíků křivek ( tzn. řešíme rovnici f () = g() ). Příkld 4: Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi y =, y = +. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: 4 y = + y = 9

32 Z grfu vidíme, že ploch je ohrničená shor funkcí y = + zdol kvdrtickou funkcí y =, potřebujeme určit intervl omezující dný útvr, tzn. určíme si průsečíky funkcí: + = řešíme tedy kvdrtickou rovnici 4 = hledné průsečíky jsou =, = P = ( + ( ))d = ( + 4)d = ] [ + 4 = 8 ( ) =. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi y = e, y = e =. b) Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi y = +, y =. ) Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, kde funkce ψ(t) je spojitá nezáporná n α, β funkce ϕ(t) má n intervlu α, β derivci různou od nuly ϕ(t) je integrovtelná n α, β, pltí pro obsh útvru ohrničeného grfem funkce f n intervlu α, β : P = β α ψ(t) ϕ(t)dt. Příkld 5: Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi = sin t cos t, y = sin t, t, π. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: = sin t cos t, y = sin t, t, π = = = 4 Pro výpočet obshu rovinné plochy ohrničené prmetrickými rovnicemi potřebujeme znát derivci funkce = sin t cos t: ϕ(t) = (cos t sin t) = ( sin t). Dosdíme do vzorečku:

33 π P = (sin t sin t)dt = π [cos t] π 4 ( cos t) sin tdt [ ] π = cos t cos t ( = ( )) = 4. Příkldy k procvičení: Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného osou křivkou zdnou prmetrickými rovnicemi = t t, y = t t, kde t ;..6. Délk rovinné křivky Vět: Je-li funkce y = f () definovná n, b má zde spojitou derivci, pk pro délku jejího grfu pltí: l = b + ( f ()) d. Nyní se podíváme n obecnější přípd, kdy křivk nemusí být grfem funkce (může se jednt o trjektorii nkreslenou bodem spojitě se pohybujícím v rovině). Tzn. zdáme křivku pomocí prmetrických rovnic = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α; β. Z fyzikálního pohledu je délk křivky vlstně drhou, kterou bod urzí od okmžiku α do okmžiku β. Pro délku křivky dné prmetrickými rovnicemi lze dokázt následující tvrzení: l = β α ( ϕ(t)) + ( ψ(t)) dt. Příkld 6: Vypočtěte velikost dráhy, kterou urzí bod od t = do t = při pohybu po křivce dné prmetrickými rovnicemi = t, y = t (t ). Znázorníme si křivku, jejíž délku máme spočítt: = t, y = t (t ), t, Pro výpočet délky křivky dné prmetrickými rovnicemi potřebujeme znát derivce funkcí: Dosdíme do vzorečku: l = 4t + t 4 t + dt = ϕ(t) = t ψ(t) = t t 4 + t + dt = + t = t (t + ) dt = [ t + t ] =.

34 Příkld 7: Vypočtěte délku křivky y = rcsin + pro. Znázorníme si křivku, jejíž délku máme spočítt: y = rcsin() +,, Pro výpočet délky křivky potřebujeme znát druhou mocninu derivce funkce: ( ) ( f ()) = = +. Dosdíme do vzorečku: l = + + d = d = d = + t t dt = [t] = 4. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte délku křivky y = n ;. b) Vypočtěte délku křivky y = ln sin pro π 4 π. c) Vypočtěte velikost dráhy. kterou urzí bod od t = do t = při pohybu po křivce dné prmetrickými rovnicemi = t, y = 5t..6. Objem rotčního těles Necháme-li rovinný útvr rotovt kolem osy, vznikne rotční těleso, jehož objem můžeme vypočítt pomocí určitého integrálu. Vět: Necht je funkce y = f () spojitá nezáporná n, b. Pk rotční těleso, vzniklé rotcí křivky y = f () kolem osy v intervlu, b, má objem: b V = π f ()d. Poznámk: ) Obdobný vzorec pltí, je-li osou rotce os y. Objem těles, které vznikne rotcí spojité křivky = h(y) pro y c, d kolem osy y, vypočteme ze vzthu: d V = π h (y)dy. c

35 ) Pokud získáme těleso rotcí útvru ohrničeného křivkmi y = f () y = g(), přičemž pltí f () g() kolem osy n, b, pk objem tkového těles určíme jko b V = π f () g () d Vět: Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α; β, pltí pro objem těles, které vznikne rotcí útvru kolem osy : β V = π α ψ (t) ϕ(t) dt. Příkld 8: Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí (kolem osy ) oblstí ohrničené funkcí y = ln, osou v, e. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: y = ln,, e = = e y z Oblst je ohrničen pouze jednou funkcí, tzn. budeme počítt integrál z druhé mocniny dné funkce. Dosdíme do vzorečku: e V = π e ln d = (PP) = π[ ln ] e π = πe πe + π[] e = π(e ). e ln d = (PP) = πe π [ ln ] e d Příkld 9: Vypočtěte objem těles, vzniklého rotcí oblsti (oblst nčrtněte) ohrničené funkcemi y = e, y = e + kolem osy. Znázorníme si oblst, která bude rotovt:

36 = y = e y = e + y = ln z Z grfu vidíme, že oblst je ohrničená shor funkcí y = e + zdol funkcí y = e, potřebujeme určit intervl omezující dný útvr, tzn. určíme si průsečíky funkcí: e + = e e + e = e + e e = e + e =, zvedeme substituci e = t řešíme kvdrtickou rovnici t t + = =, = ln. V = π = π ln ( e + ) e d = π [ e + e + 9 e ln ] ln (4e e + 9 e )d = π(9 ln 6). Příkld 4: Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = cos t, y = sin t, kde π t, π kolem osy. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: π = cos t, y = sin t, t, π Potřebujeme znát derivci funkce = cos t:.5 y.5.5 z ϕ(t) = cos t sin t. 4

37 Dosdíme do vzorečku: π V = π π cos t sin 5 tdt = (substituce: sin t = u) = π u 5 du = π[u6 ] = π. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí oblstí ohrničené funkcí y = v, kolem osy. b) Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí grfu funkce y = sin,, π kolem osy. c) Vypočtěte objem těles, vzniklého rotcí oblsti (oblst nčrtněte) ohrničené funkcemi y =, y = kolem osy. d) Vypočtěte objem těles, vzniklého rotcí oblsti (oblst nčrtněte) ohrničené funkcemi y = e, y = + kolem osy. e) Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = t + t, y = + t, kde t ; kolem osy..6.4 Obsh rotční plochy Pomocí určitého integrálu vypočítáme i obsh pláště rotčního těles. Vět: Necht je funkce y = f () spojitá nezáporná n, b má zde spojitou derivci. Pk pro obsh rotční plochy, která vznikne rotcí křivky y = f () kolem osy v intervlu, b,pltí: b S = π f () + ( f ()) d. d Poznámk: Rotce kolem osy y: S = π c h(y) + (h (y)) dy. Vět: Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α; β, pltí pro obsh plochy těles, které vznikne rotcí grfu funkce f kolem osy : S = β α ψ(t) ( ϕ(t)) + ( ψ(t)) dt, ψ(t). Příkld 4: Vypočtěte povrch rotčního těles vzniklého rotcí křivky y = n ; kolem osy. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: 5

38 y =, t, y 4 4 z Potřebujeme znát druhou mocninu derivce funkce: (y ) =. Dosdíme do vzorečku: S = 4π + d = 4π + 8 [ ] d = 4π + d = π ( + ) = 8 π( 7 ). Příkld 4: Vypočtěte obsh rotčního těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = cos t, y = sin t kolem osy, kde t, π. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: = cos t, y = sin t, t, π Potřebujeme určit druhé mocniny derivcí obou funkcí:.5 y.5.5 z ( ϕ(t)) = 4 cos t sin t ( ψ(t)) = 4 cos t sin t 6

39 Dosdíme do vzorečku: S = π sin t 8 cos t sin tdt = π 8 cos t sin tdt = (substituce: sin t = u) = 8 u du = [u 4] =. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte povrch rotčního těles vzniklého rotcí křivky y = kolem osy pro ; 4. b) Vypočtěte povrch těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = sin t, y = sin t, kde t ; π kolem osy. 7

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.

vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět. POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

Masarykova univerzita

Masarykova univerzita Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

12.1 Primitivní funkce

12.1 Primitivní funkce Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f. MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

Matematika II: Řešené příklady

Matematika II: Řešené příklady Matematika II: Řešené příklady Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Řešené příklady Integrální počet funkcí jedné

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010 právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné 1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y) . NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17 Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

Lineární nerovnice a jejich soustavy

Lineární nerovnice a jejich soustavy teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice

Více

3. Kvadratické rovnice

3. Kvadratické rovnice CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:

Více

Obsah na dnes Derivácia funkcie

Obsah na dnes Derivácia funkcie Johnnes Kepler Dec 2, 57- Nov 5, 63 Mtemtik I Prednášjúci: prof. RNDr. Igor Podlný, DrSc. http://www.tke.sk/podln/ # Osh n dnes Deriváci fnkcie 74 KAPITOLA 3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Určitý integrál 8. Vlstnosti

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu

Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více