ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE. Fakulta elektrotechnická BAKALÁŘSKÁ PRÁCE X35BP. Dynamika rychlých servopohonů.

Transkript

1 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE X35BP Dynamika rychlých seropohonů 9 Pael Jaroš

2 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE 9 ii Pael Jaroš

3 9 iii Pael Jaroš

4 Abstrakt Tato bakalářská práce se zabýá identifikací mechanického stroje - Žonglér s pěti seromotory (4 rotační, 1 lineární) a torbou modelu mechaniky stroje a modelu termodynamiky jeho pohonů. Nad těmito modely je naržena kinematika pro přehazoání třemi koulemi. K realizaci procesu přehazoání třemi koulemi je použito ačkoých profilů tořených programu Automation studia společnosti B&R. Abstract This bachelor thesis deals with identification of mechanical machinery - Juggler, which contains 5 sero dries (4 rotating, 1 linear). It contains also model of mechanics, kinematics and thermodynamics of sero dries. There is described design of kinematics for juggling with three billiard balls based on those models. The trajectories of sero dries are defined by CAM profiles which were designed in Automation Studio software of B&R company. 9 i Pael Jaroš

5 Poděkoání Na tomto místě bych rád poděkoat edoucímu bakalářské práce Ing. Palu Mezeroi, který se cennými radami a sými zkušenostmi nemalou měrou zasloužil o znik této práce. Poděkoání patří také mým týmoým kolegům Tomáši Kohoutoi a Lubomíru Prudkoi za jejich přínosné rady a spolupráci. V neposlední řadě bych chtěl poděkoat rodině a přátelům, kteří mi poskytoali psychickou podporu a inspiraci nejenom při psaní této práce. 9 Pael Jaroš

6 Obsah: 1. ÚVOD...1. IDENTIFIKACE STROJE KONCEPCE STROJE..... PARAMETRY ČÁSTÍ STROJE MODEL MECHANIKY STROJE METODA UVOLŇOVÁNÍ OMEZENÍ POHYBU VERTIKÁLNÍCH OS ŽONGLÉRA OMEZENÍ POHYBU HORIZONTÁLNÍCH OS ŽONGLÉRA MODEL TERMODYNAMIKY NÁHRADNÍ SCHÉMA TEPELNÉHO OBVODU VERIFIKACE DLE TEPLOTNÍHO MODELU VINUTÍ VERIFIKACE DLE TEPLOTNÍHO MODELU CELÉHO MOTORU NÁVRH KINEMATIKY ŘÍZENÝCH OS OPTIMALIZACE ŽONGLOVÁNÍ ZABRÁNĚNÍ KOLIZI DVOU KOULÍ ŽONGLOVACÍ TEORÉM VRH ŠIKMÝ VZHŮRU VÝPOČET PARAMETRŮ ŽONGLOVÁNÍ NÁVRH VAČKOVÝCH PROFILŮ CHARAKTERISTIKA VAČEK EDITOR VAČKOVÝCH PROFILŮ VAČKOVÉ PROFILY PRO ŽONGLOVÁNÍ SE TŘEMI KOULEMI KONTINUÁLNÍ CHOD STROJE NATOČENÍ MISEK HORIZONTÁLNÍCH RAMÉNEK MECHANICKÉ ODLEHČENÍ PŘETĚŽOVANÝCH VERTIKÁLNÍCH POHONŮ VOLBA VHODNÉ PŘEVODOVKY TYPY PŘEVODOVEK ZÁVĚR...59 SEZNAM LITERATURY...61 SEZNAM OBRÁZKŮ...6 SEZNAM TABULEK...63 SEZNAM PŘÍLOH i Pael Jaroš

7 1. ÚVOD Od počátku zniku průmysloé ýroby je zřejmá snaha o urychlení šech technologických procesů a omezení lidského faktoru při ýrobě, neboť lidé se mohou mýlit, spráně naprogramoaný stroj nikoli. S urychloáním technologických procesů souisí zaádění noých technologií ýroby. Jedním z možných prostředků mohou být rychlé a přesné seropohony, které kombinaci s inteligentními řídícími systémy ytlačí mohutné a často neflexibilní stroje. Tato bakalářská práce naazuje na diplomoé práce Jana Pšeničky a Ilji Grudinina a znikla na základě týmoého projektu Žonglér, jehož hlaním cílem je ytoření komplexního ýukoého modelu sloužícího k ýuce na fakultě řídicí techniky. Studenti se seznámí s průmysloým řešením úloh se serosystémy, s nárhem a řízením polohoých aplikací, a še by mělo být uzpůsobeno k práci přes zdálený přístup, což praxi znamená, že model bude snímán rychloběžnou kamerou a student bude mít možnost na tomto modelu pracoat režimu on-line. Hlaním cílem bakalářské práce je identifikace stroje spojená s naržením modelů mechaniky stroje a termodynamiky pohonů stroje s následným yužitím modelů k nárhu kinematiky řízených os pro proces přehazoání třemi koulemi. Stroj bude schopný nadhodit šechny tři koule ze zásobníku do cyklu žongloání a poté je udrží kontinuálním chodu co nejdelší časoý úsek, který je daný mechanickými a termodynamickými možnostmi stroje. Dalším bodem této práce bude nárh a zhodnocení kontinuálního chodu stroje. Práce bude zakončena nárhem úlohy, která bude použita při ýuce polohoých aplikací. 9 1 / 81

8 . IDENTIFIKACE STROJE Jednou z důležitých součástí každého matematického modelu mechanického stroje je jeho identifikace. Matematické model je poskládán ze submodelů jednotliých fyzických částí stroje, které mají formu a parametry udané dodaatelem rámci dokumentace. Identifikací stroje je myšlen předeším popis jeho nejdůležitějších částí společně s identifikací šech jeho důležitých parametrů. Dříe než lze narhnout kinematiku pro žongloání se třemi koulemi, musí být identifikoána šechna dynamická omezení stroje, která musí být při nárhu respektoána. Mezi tato omezení patří: maximální moment při stálém zatížení krátkodobý maximální moment omezený tepelnými podmínkami a maximálními otáčkami omezení na střední i maximální brzdící ýkon maximální odběrný proud u serozesiloačů maximální rychlost a zrychlení pro lečené kabely maximální rychlost použitých spínačů, atd. Cílem je zpraidla ytořit co možná nejhladší křiku, což předstauje minimální možné požadaky na dynamiku stroje. Popisem dynamiky seropohonů neboli ytořením mechanického a termodynamického modelu stroje získáme důležité mezní hodnoty parametrů seropohonů a jiných částí stroje, které yužijeme při nárhu ačkoých profilů pro žongloání se třemi koulemi..1. KONCEPCE STROJE Stroj Žonglér je příkladem extrémně rychlých (rychlost 5 m/s, zrychlení 79 m/s ) polohoých seromechanizmů. Stroj je naržený jako pětiosé mechanické zařízení osazené pěti synchronními motory (4 rotační, 1 lineární), u nichž lze realizoat zájemnou součinnost a synchronizaci. Uspořádání jednotliých částí modelu je patrné z obrázku.1. Fotografie reálného modelu je přiložena příloze č.1. 9 / 81

9 Obrázek.1 - Koncepce stroje Žonglér Stroj je realizoán jako da samostatné ertikálně orientoané polohoé seromechanizmy typu B&R 8MSA5L (sero_, sero_4) s použitím lineárních pásoých edení MLR 1 11 firmy Rexroth Bosh na jejichž pohybliých ozících jsou uchyceny rotační polohoé seromechanizmy typu B&R 8MSA3L (sero_1, sero_3) oládající otočná raménka zakončená miskou pro kouli. Model je doplněn o pátou osu realizoanou pohybem lineárního motoru, typu PRA 5 firmy Parker, e ertikálním směru. Sislé lineární moduly jsou zdáleny přesně tak, aby se středy těchto misek protínaly nazájem. V této ose je i střed misky připeněné k pátému lineárnímu seromotoru určeného k nadhazoání koulí. Uspořádání seomotorů 8MSA3L a PRA 5 je patrné z obrázku.. K zajištění bezpečnosti proozu celého zařízení je každá osa osazena děma koncoými spínači. Přejetí koncoého spínače má za následek okamžité odpojení pohonu od napájení, které zajistí serozesiloač daného pohonu. V budoucnosti bude stroj jistit tz. zónoé zabezpečení. 9 3 / 81

10 Obrázek. Rotační motory 8MSA3L a lineární motor PRA 5 K ochraně lineárních pásoých modulů před poškozením slouží tlumiče umístěné na obou koncích modulů. Mozkem stroje je řídící PLC, které na základě ytořeného programu, případně dat z rychloběžné kamery, komunikuje přes rychlou průmysloou RT síť Ethernet Powerlink se serozesiloači typu B&R ACOPOS, které řídí zájemnou součinnost a synchronizaci seropohonů. Jedním z požadaků na stroj je bezobslužný chod a možnost přístupu a práce režimu online, čili zdáleného přístupu ke stroji. Aby bylo možné této podmínce yhoět, byl stroj doplněn o podaač koulí (obrázek.3), e kterém se nepoužité koule shromažďují a případě potřeby jsou puštěny na misku lineárního motoru a odtud mohou být yhozeny do misek horizontálních motorů. Obrázek.3 Automatický podaač koulí 9 4 / 81

11 .. PARAMETRY ČÁSTÍ STROJE K ytoření dynamiky stroje je zapotřebí nejdříe získat informace o ětšině identifikujících parametrů každé jeho části. Nejdůležitější částí stroje jsou jeho pohonné jednotky, jimiž jsou synchronní motory, které realizují synchronizoaný pohyb e ertikálním a horizontálním směru. Pro stroj žongléru byli ybrány a zakoupeny da typy třífázoých synchronních motorů společnosti B&R s ohledem na jejich ýborné dynamické lastnosti, precizní řízení polohy dané ysokou rozlišitelností jednotek na jednu otáčku, ale také s ohledem na minimální hmotnost a rozměry motorů. Jako zpětná azba od obou typů motoru pro získání aktuální pozice je použit enkodér typu rezoler. Synchronní motor typu 8MSA5L Tento typ synchronního motoru (obrázek.4) byl ybrán pro realizaci pohybu e ertikálním směru. Jeho hlaní předností je špičkoý kroutící moment 43 Nm a jmenoitými otáčkami 3 min -1. Další důležité parametry motoru jsou uedeny tabulce.1, případně podrobnější údaje příloze č.. Momentoá charakteristika motoru je na obrázku.5. Obrázek.4 Synchronní motor typu 8MSA5L 9 5 / 81

12 Otáčky n [min -1 ] JM: 3 MAX: 9 Kroutící moment M [Nm] JM: 11 MAX: 43 Hmotnost s brzdou [kg] m Teplotní časoá konstanta t THERM [min] 1,1 55 Tabulka.1 Technické parametry synchronního motoru 8MSA5L Obrázek.5 Momentoá charakteristika synchronního motoru 8MSA5L Synchronní motor typu 8MSA3L Tento typ synchronního motoru (obrázek.6) byl ybrán pro realizaci pohybu horizontálním směru. Hlaní požadakem na tento motor byla nízká hmotnost z důodu co nejnižší ertikální hmoty, která oliňuje dynamiku celého celku. Další důležité parametry motoru jsou uedeny tabulce., případně podrobnější údaje příloze č.3. Momentoá charakteristika motoru je na obrázku.7. Otáčky n [min -1 ] JM: 3 MAX: 1 Kroutící moment M [Nm] JM:,15 MAX: 1 Hmotnost s brzdou m [kg] Teplotní časoá konstanta t THERM [min] 3, 3 Tabulka. Technické parametry synchronního motoru 8MSA5L 9 6 / 81

13 Obrázek.6 Synchronní motor typu 8MSA5L Obrázek.7 Momentoá charakteristika synchronního motoru 8MSA3L Synchronní motor typu PRC 5 Tento typ synchronního motoru (obrázek.8) byl ybrán jako pomocný motor realizující pohyb e ertikálním směru. Požadakem na tento motor byly předeším dobré dynamické a termodynamické lastnosti, elkou měrou oliňující přesnost nadhazoání koulí. Důležité parametry motoru jsou uedeny tabulce.3, případně podrobnější údaje příloze č.4. Charakteristika síla/rychlost motoru je na obrázku / 81

14 Obrázek.8 Synchronní motor typu PRC 5 Maximální rychlost MAX [m/s] 8, 7 Moment M [Nm] JM: 51 MAX: 31 Hmotnost m [kg] 1, 15 Tabulka.3 Technické parametry synchronního motoru PRC 5 Obrázek.9 Charakteristika síla/rychlost synchronního motoru PRC / 81

15 Lineární pásoý modul MLR 1-11 Rotační pohyb synchronních motorů 8MSA5L je třeba transformoat na pohyb lineární e ertikálním směru. K tomuto účelu je použitý lineární pásoý modul, který může být zatížen maximální silou 174 N a jí odpoídajícím maximálním momentem 8 Nm působícího pásu. Podrobnější údaje o lineárním pásoém modulu jsou uedeny příloze č.5. Lineární pásoý modul je realizoaný pomocí ozubeného řemene (pásu), který unáší na něm přichycený ozík a je poháněn rotačním pohybem skrze hnací řemenici která se připojuje k motoru. Obrázek.1 Lineární pásoý modul MLR / 81

16 .3. MODEL MECHANIKY STROJE Každý mechanický stroj je sázán sými omezeními, neboli kritickými hodnotami, které jsou zpraidla šechny hlídány ochrannými obody a případě překročení některé z kritických hodnot je stroj yřazen z činnosti. Nalezení kritických hodnot řeší model mechaniky stroje, který toří základ pro další nárhy. V případě žongléra toří základ pro nárh kinematiky pro přehazoání třemi koulemi. Při nárhu ačkoých profilů se definují hodnoty trajektorie zrychlení, rychlosti a polohy seropohonu, které dosahují ždy některém bodě sého maxima a úkolem modelu mechaniky je mimo jiné najít mez, kterou tato maxima nesmějí překročit. K ytoření modelu mechaniky stroje je možné použít íce metod (Lagrangeoy ronice, metoda uolňoání, redukce sil a hmot), případě žongléru, kdy se jedná o mechanické zařízení složené ze synchronizoaných, zájemně šak téměř nezáislých částí se jeí jako nejhodnější použít fyzikální metodu popisu nazýanou metodou uolňoání METODA UVOLŇOVÁNÍ Několik těles, spojených nazájem azbami, je mechanice nazýáno soustaou těles nebo též (jedná-li se o pohybliou soustau) mechanismem. Uolnit těleso znamená pomyslně odstranit azby a zaést azboé účinky. Postup sestaení ronic metodou uolňoání uolnění těles z azeb azby nahradíme silami pro každé těleso jedna pohyboá ronice yloučení nitřních sil dostaneme tolik pohyboých ronic, kolik má soustaa stupňů olnosti zaedení kinematických ztahů 9 1 / 81

17 .3.. OMEZENÍ POHYBU VERTIKÁLNÍCH OS ŽONGLÉRA Vertikální směr pohybu stroje zajišťují ětší synchronní motory 8MSA5L pracující na hranici sých ýkonoých možností. Na seromotory jsou kladeny elké požadaky na přesnost, rychlost a zrychlení. Rotační pohyb motoru je přes jeho hřídel a lineární modul přeeden na přímočarý pohyb ertikálního směru. Na základě ýše uedené metody uolňoání bude sestaena pohyboá ronice pohybu stroje, popisující šechna důležitá omezení pohybliých ertikálních os stroje konajících pohyb nahoru dolů. Proměnné a konstanty potřebné k algebraickému yjádření pohyboé ronice jsou uedeny tabulce.4. M MAX - max. moment motoru [N.m] M - statický moment zatížení motoru [N.m] ϕ& & - úhloé zrychlení [rad.s - ] & y& - zrychlení e ertikálním směru [m.s - ] g - graitační zrychlení [m.s - ] m - hmotnost ertikální pohyblié hmoty [kg] r - poloměr hřídele [m] I 1 - moment setračnosti motoru [kg.m ] I - moment setračnosti kladky [kg.m ] I CELK - celkoý moment setračnosti [kg.m ] Tabulka.4 Použité konstanty a proměnné pohyboé ronice 9 11 / 81

18 Sestaení pohyboých ronic dle D Alembertoa principu dynamické ronoáhy (dle obrázku.11): Ronice (.1 ), (. ) a (.3 ) předstaují pohyboé ronice šech nitřních sil. Sílu S 3 řemeni je možné zanedbat, neboť řemen je téměř nepružný a dochází u něj k minimálním deformacím. S S ϕ& & + M (.1 ) 1 r I1 1 MAX ϕ& & r I S (. ) m g m& y (.3 ) S1 Za předpokladu dokonale nepružného řemene lze tedy yužít ztahu (.4 ). ϕ ϕ ϕ & ϕ && ϕ & ϕ 1 1 (.4 ) Ronice (.5 ) říká, že rotační pohyb lze přepočítat na pohyb přímočarý, tedy úhloé zrychlení rotační osy ϕ& & o poloměru r přeést na přímočaré zrychlení & y& e ertikálním směru. & y && ϕ r && ϕ && y r Obrázek.11 Popis ertikální osy (.5 ) Vyjádření nitřních sil S, S 1 z ronice (.1 ) a z ronice (. ) pomocí ronic (.4 ) a (.5 ): S S 1 && y I1 r I M r && y r MAX (.6 ) (.7 ) 9 1 / 81

19 Vyjádření pohyboé ronice pohybu ertikálních os dosazením ronic (.6 ) a (.7 ) do ronice (.3 ): && y M MAX ( I I m r ) + m g 1 r r (.8 ) Člen tíhoé síly hřídel motoru klidoém stau. Člen ( I I m ) m g ronici (.8 ) lze nahradit statickou silou 1 r předstauje celkoý moment setračnosti CELK M, působící na r I složený z momentu setračnosti motoru s brzdou I 1, moment setračnosti kladky I a moment setračnosti ertikální pohyblié hmoty motoru 8MSA3L a z hmotnosti ozíku, na kterém je motor uchycen. m r složený z hmotnosti menšího Výsledná pohyboá ronice (.9 ) pohybu ertikálních os stroje. sgn( y& ) 1 pohyb směrem NAHORU sgn( y& ) + 1 pohyb směrem DOLŮ I CELK && y r M M sgn( y& ) MAX + + r r (.9 ).3... Identifikace neznámých parametrů pohyboé ronice Dříe než je možné z pohyboé ronice číselně yjádřit hodnoty maximálního (špičkoého) zrychlení ertikální hmoty e směru nahoru a dolů, musí být nejpre proedena identifikace neznámých parametrů pohyboé ronice (M a I CELK ). K získání dat potřebných k ýpočtu těchto neznámých hodnot lze yužít možnosti yčítání (tz. traceoání) aktuálních hodnot šech parametrů motoru ze serozesiloačů, které sými akčními zásahy řídí pohyb seropohonů. K tomuto účelu slouží prostředí Automation Studia společnosti B&R funkce TRACE. Traceoáním seropohonů ertikálního pohybu byla naměřena data o aktuálním kroutícím momentu a aktuální rychlosti motoru patrná z obrázku / 81

20 M [Nm] - Aktualni MOMENT motoru cislo t [s] Aktualni RYCHLOST motoru cislo 4 dfi [rad/s] t [s] Aktualni ZRYCHLENI motoru cislo 4 ddfi [rad/s ] t [s] Obrázek.1 Průběhy momentu, rychlosti a zrychlení ertikálního pohybu Takto naměřené údaje jsou důležité z hlediska identifikace neznámých parametrů M a I CELK. Z ronice (.1 ) pro aktuální kroutící moment motoru lze tyto parametry identifikoat ýpočtem pomocí metody nejmenších čterců nazýané také metodou minimalizace sumy kadrátu chyb. M I CELK ϕ& & + M (.1 ) Metoda nejmenších čterců je matematická metoda, určená ke statistickému zpracoání dat, která umožňuje nalézt hodnou aproximační funkci pro dané, empiricky zjištěné hodnoty. Hledaná funkce musí být lineární kombinací předem známých funkcí, tomto případě metoda umožní ypočítat jejich koeficienty. Metoda nejmenších čterců slouží k nalezení takoého řešení, aby součet druhých mocnin chyb nalezeného řešení byl minimální. Ronice (.1 ) má charakter lineární funkce y ax + b, proto lze její průběh úspěšně aproximoat lineární funkcí (tz. lineární regrese) a ypočítat její koeficienty / 81

21 Pokud je dána soustaa lineárních ronic e taru A x b (A je matice, kterou známe, b je ektor a také jej známe, x je neznámý ektor) a matice A má ětší počet řádků než sloupců, ektor b má ětší rozměr než ektor x, tak se jedná o přeurčenou soustau ronic, která má íce ronic než neznámých. V tomto případě je teoreticky možné některé ronice zanedbat, ale protože jsou ronice získány z experimentálních dat, u kterých je ýznamné každé měření a nelze rozhodnout, kterou z ronic lze zanedbat, tak je yužito šech ronic, podílejících se na řešení. K ýpočtu se definuje tz. chyba měření e A x b a je hledáno takoé řešení x, aby tato chyba (respektie elikost ektoru e) byla minimální. Odození ronice pro x pomocí deriace matic a ektorů: Protože e je ektor, je tento požadaek uprait tak, aby součet čterců jednotliých odchylek (tedy složek ektoru e) byl minimální. Při takoém způsobu formulace kritéria se lastně jedná minimalizaci skalárního součinu, který je možné napsat pomocí transpozice: e e e T e min (.11 ) Součin bude minimální tehdy, když jeho deriace podle proměnné x bude rona nule: [ ] T T ( e e) ( Ax b) ( Ax b) (.1 ) Pomocí praidel pro transpozici součinu a deriaci součinu matic a ektorů můžeme ztah dále upraoat: T T T T T T T T [ x A A x x A b b A x + b b] A A x A b (.13 ) Z ýše uedeného ztahu lze již yjádřit ýsledný zorec pro x: x T 1 T ( A A) A b (.14 ) 9 15 / 81

22 Výpočtem ektoru x je dokončena identifikace neznámých parametrů pohyboé ronice (.9 ), protože ektor x osahuje hodnoty I CELK a M a lze tedy psát: x X x 1 I M CELK. Vzhledem k tomu, že se při identifikaci pracuje s elkým množstím naměřených dat, byl tedy k usnadnění práce napsán skript, který je schopný načíst data e formátu.txt a zobrazit průběhy aktuální rychlosti, kroutícího momentu a zrychlení dopočítaného deriací aktuální rychlosti podle času. Na základě dopočítaného zrychlení a ronice (.14 ) dopočítá hodnoty neznámých I CELK a M. Ukázka skriptu je na obrázku.13. Obrázek.13 Ukázka skriptu pro ýpočet I CELK a M ertikálního pohybu Výsledky identifikace: I CELK,56 kg m (.15 ) M 3, 64 N m (.16 ) 9 16 / 81

23 Oěřit spránost identifikoaných dat je možné poronáním průběhů reálných dat (skutečný moment) s daty dopočítanými (určený moment) na základě ronice (.1 ). 15 Urceny moment Skutecny moment 1 5 M [Nm] t [s] Obrázek.14 Poronání ýsledků identifikace I CELK a M Požadoaný maximální budící moment e ertikálním směru pohybu je dán ronicí (.17) pro pohyb nahoru a ronicí (.18) pro pohyb dolů. Hodnota zrychlení a Y je určena z požadaků na kinematiku os stroje, tedy z ronice ( 3.4 ).,89 MbudN IMAX ay M,89 +,56+, 5 + 3,64 17, 784 Nm π π,89 MbudD IMAX ay M,89,56+, 5 3,64 1, 54 Nm π π (.17) (.18) K dalším ýpočtů se bude ještě hodit hodnota efektiního zatížení M eff yjádřena ronicí (.19). Hodnoty času d (doba zatížení motoru momentem M budn ) a e (doba zatížení motoru momentem os stroje určených kapitole M budd ) jsou určeny z požadaků na kinematiku M d MbudN + e MbudD,4 17, 784 +,4 1,54 14, Nm (.19) d + e,4 +,4 eff / 81

24 Dosazení identifikoaných parametrů do pohyboé ronice Po dokončení identifikace šech neznámých parametrů pohyboé ronice lze číselně yjádřit hodnoty maximálního možného zrychlení ertikální hmoty kladném a záporném směru pohybu. Dosazením hodnot z tabulky.5 do ronice (.9 ) dostááme ýsledek pro: - kladný směr pohybu: - záporný směr pohybu: & y MAX & y MAX 66 m s 79 m s M MAX - max. moment motoru [N.m] 4,5 M - statický moment zatížení motoru [N.m] 3,64 g - graitační zrychlení [m.s - ] 9,81 r - poloměr hřídele [m],46 I CELK - celkoý moment setračnosti [kg.m ],56 Tabulka.5 Hodnoty proměnných dosazené do pohyboé ronice Velikost maximálního zrychlení ertikální hmoty je záislá na směru pohybu z důodu působení graitační síly na pohybující se ertikální hmotu, tudíž pohyb nahoru může být konán s menším zrychlením oproti pohybu dolů, tomu naopak graitační síla pomáhá. Vertikální hmota je šak proměnliá, objeuje se zde nelinearita dána hmotností lečného pásu, který chrání proti poškození příodní kabely k menším motorům, ykonáajících horizontální pohyb. Vzhledem k uchycení lečného pásu ke konstrukci stroje dochází při pohybu ke změně hmotnosti, která se podílí na ertikální hmotnosti a oliňuje tak maximální možné zrychlení. V tomto případě, kdy uažujeme linearizoaný model lze tuto nelinearitu zanedbat, protože ertikální hmota se pohybuje pouze okolí bodu s počátečními podmínkami, pro které byla identifikace neznámých parametrů proedena / 81

25 .3.3. OMEZENÍ POHYBU HORIZONTÁLNÍCH OS ŽONGLÉRA Horizontální směr pohybu stroje zajišťují menší synchronní motory 8MSA3L, na jejichž hřídele jsou přichycena raménka zakončená miskami pro manipulaci s koulemi. Raménka ykonáají rotační pohyb, na který šak nejsou kladeny příliš elké požadaky z hlediska elikosti úhloé rychlosti a zrychlení, neboť ertikální osy stroje jsou od sebe zdáleny pouze 3 cm a k přehození koule tedy není třeba příliš ysoké hodnoty rychlosti a zrychlení. Pro úplnost modelu mechaniky je šak zapotřebí tyto omezující hodnoty identifikoat Identifikace neznámých parametrů ronice horizontálního pohybu Dříe než je možné z ronice (. ) číselně yjádřit hodnoty maximálního (špičkoého) úhloého zrychlení pro horizontální pohyb, musí být nejpre proedena identifikace neznámých proměnných (M a I CELK ) této ronice. Proměnná M předstauje hodnotu momentu statického zatížení motoru a případě horizontálního pohybu má minimální elikost, neboť horizontálním směru nepůsobí klidoém stau na motor téměř žádné síly. Proměnná I CELK yjadřující hodnotu momentu setračnosti motoru a raménka již šak zanedbatelná není. K získání dat potřebných k ýpočtu těchto neznámých hodnot lze yužít možnosti yčítání (tz. traceoání) aktuálních hodnot šech parametrů motoru ze serozesiloačů, které sými akčními zásahy řídí pohyb seropohonů. K tomuto účelu slouží prostředí Automation Studia společnosti B&R funkce TRACE. M I CELK ϕ& & + M (. ) Traceoáním seropohonů horizontálního pohybu byla naměřena data o aktuálním kroutícím momentu a aktuální úhloé rychlosti motoru patrná z obrázku.15. Takto naměřené údaje jsou důležité z hlediska identifikace neznámých parametrů M a I CELK. Z ronice (. ) pro aktuální kroutící moment motoru lze tyto parametry identifikoat ýpočtem pomocí metody nejmenších čterců nazýané také metodou minimalizace sumy kadrátu chyb. Tato metoda je popsána již kapitole / 81

26 Aktualni MOMENT motoru cislo 3 M [Nm] t [s] Aktualni RYCHLOST motoru cislo 3 dfi [rad/s] alfa [rad/s ] t [s] Aktualni ZRYCHLENI motoru cislo t [s] Obrázek.15 Průběhy momentu, rychlosti a zrychlení horizontálního pohybu Výpočtem ektoru x podle ronice (.14 ) je dokončena identifikace neznámých parametrů ronice (. ), protože ektor x osahuje hodnoty I CELK a M a x lze tedy psát: X x 1 I M CELK. Vzhledem k tomu, že se při identifikaci pracuje s elkým množstím naměřených dat, byl tedy k usnadnění práce napsán skript, který je schopný načíst data e formátu.txt a zobrazit průběhy aktuální rychlosti, kroutícího momentu a zrychlení dopočítaného deriací aktuální rychlosti podle času. Na základě dopočítaného zrychlení a ronice (.14 ) dopočítá hodnoty neznámých I CELK a M. Ukázka skriptu je na obrázku / 81

27 Obrázek.16 Ukázka skriptu pro ýpočet I CELK a M horizontálního pohybu Výsledky identifikace: I CELK,5 kg m (.1 ) M, N m (. ) Dosazení identifikoaných parametrů do ronice horizontálního pohybu Po dokončení identifikace neznámých parametrů ronice (. ) lze číselně yjádřit hodnoty maximálního možného úhloého zrychlení horizontálním směru pohybu dosazením hodnot z tabulky.6 do ronice a dosazením za aktuální moment motoru M maximální jmenoitý moment M MAX. Výsledné maximální možné uhloé zrychlení horizontálního pohybu: ϕ& & MAX rad s Požadoaný maximální budící moment horizontálním směru pohybu je yjádřen ronicí (.3 ), kde hodnota úhloého zrychlení a x je určena požadaky na kinematiku os stroje (ronice ( 3. )). M I a + M,5 16,377 +,, Nm (.3 ) Xbud MAX x / 81

28 M MAX - maximální moment motoru [N.m] 1 M - statický moment zatížení motoru [N.m], g - graitační zrychlení [m.s - ] 9,81 I CELK - celkoý moment setračnosti [kg.m ],4 Tabulka.6 Hodnoty proměnných dosazené do ronice (. ).4. MODEL TERMODYNAMIKY V případě, že požadaky na dynamiku seropohonů přesahují při přerušoaném proozu krátkodobě hodnoty pro tralý prooz tz. jmenoité hodnoty, je možné místo pořizoání ýkonnějšího a dražšího motoru proést posouzení z hlediska termodynamiky (ytoření termodynamického modelu) a oěřit, zda-li při daném průběhu zatěžoání (kinematika žongloání se třemi koulemi) teplota inutí nepřekročí soji poolenou mez a nedojte tak k náhlému bezpečnostnímu odpojení pohonu od zdroje. Protože náhlé bezpečnostní odpojení stroje není pro stroj ideální z hlediska častého přetěžoání, je třeba pomocí modelu termodynamiky nalézt mezní bod, e kterém je proces ykonáaný strojem ukončen a je tak zabráněno bezpečnostnímu odpojení stroje z důodu přetížení. Termodynamický model předpoídá dobu, po kterou bude možné stroj s požadoanou kinematikou proozoat, aniž by došlo k jeho změnám NÁHRADNÍ SCHÉMA TEPELNÉHO OBVODU Termodynamický model (schéma na obrázku.17) je ekialentní k elektrickému obodu, kde z hlediska modeloání lze ztráty odporu inutí (teplo ekialentní k elektrickému proudu, oba předstaují tok energie) znikající proudem při rozběhu i brzdění modeloat zdrojem toku ýkonu, který je akumuloán tepelnou kapacitou inutí (kapacitor), které je přes tepelný odpor (odporník) ochlazoáno tělem motoru s lastní tepelnou kapacitou, která je též ochlazoána přes tepelný odpor prostředí ůči potenciálu teploty okolního prostředí. Teplota je ekialentní elektrickému napětí, neboť oba reprezentují potenciály. Vnitřní teplotu motoru, což je tedy okolní teplota naýšená o oteplení zniklé tepelnými ztrátami e inutí je hodné udržoat co nejníže, neboť s jejím nárůstem klesá žiotnost izolace inutí i ložisek. 9 / 81

29 Obrázek.17 Schéma termodynamického modelu Podle schématu termodynamického modelu lze sestait diferenciální ronice popisující termodynamické změny unitř každého motoru do taru (.4 ) a (.5 ). Použité proměnné jsou ysětleny tabulce.7. δ Θ δ t Cu 1 C Cu ( P Cu ( ztrátoý ) Θ R Cu Θ Fe inutí šasi ) (.4 ) δ Θ δ t Fe 1 C Fe Θ ( R Cu Θ Fe inutí šasi Θ R Fe šasi okolí ) (.5 ).4.. VERIFIKACE DLE TEPLOTNÍHO MODELU VINUTÍ Efektiní hodnota zatížení M eff 14,65 Nm dána ronicí (.19) a jí odpoídající hodnota špičkoého proudu I MAX 11,631 A jsou ětší (+ 3%), než tralé poolené zatížení 11 Nm dáno dokumentací pohonu. Z hlediska zatížení motoru tepelnými ztrátami je hodné proést ýpočet nárůstu tepelného ýkonu. Na základě ronice (.6 ) lze předpokládat, že nárůst oteplení je minimálně (se zyšující teplotou se odpor inutí motoru zyšuje a magnetické lastnosti zhoršují) roen ztahu (.7 ) a ýslednému nárůstu tepelného ýkonu o 76%. Vzhledem k tomu, že je za základ brán jmenoitý zatěžoací moment motoru, tak se jedná o 76% překročení ztrátoého tepelného ýkonu, který je běžně motor schopen yzářit. Jinak řečeno, z hlediska tepelných ztrát zatěžujeme motor na 176%. V této situaci je třeba dopočítat čas, za který dojde k odpojení motoru a k zastaení stroje liem teplotního přetížení motoru ertikálního pohybu. 9 3 / 81

30 P R I, M k I Cu( ztrátoý) Cu (.6 ) M eff 14,64 P ( ) % 11 Cu ztrátoý (.7 ) M jm Motor z hlediska inutí je podle dokumentace B&R popsán ronicí (.8 ). Tato ronice přepokládá, že unitř motoru probíhá adiabatický děj (termodynamický děj, při kterém nedochází k tepelné ýměně mezi plynem a okolím. Děj probíhá při dokonalé tepelné izolaci, takže soustaa žádné teplo nepřijímá ani neydáá), kdy se předpokládá, že se teplo motoru akumuluje pouze samotném inutí motoru. Takto získaná časoá konstanta samotného inutí je Acoposu dále yužíaná teplotním modelu motoru, kde se případě přetížení (rozdíl aktuálního a jmenoitého proudu je ětší než nula) kadrát tohoto rozdílu filtruje dolní propustí (obdoba RC článku s ýše spočtenou čas. konstantou) a poronáá s kritickou teplotou, při které je motor pro přehřátí odpojen. A s TMAX TU 11 4 τ thc ,47 184,93 4 A Cu (.8 ) mm K I 8,68 V případě žongléra je použito časoé konstanty τ thc za účelem možného jednoduchého počítání s efektiními hodnotami namísto s časoými průběhy sledoaných eličin. Platí, že perioda signálu zatěžoání je τ d + e,8 s což je mnohem méně (3x) než spočítaná časoá konstanta τ thc 184,93 s, tedy dodáané teplo inutím je dostatečně yfiltroané, aby bylo možné dále operoat pouze s efektiními hodnotami sledoaných eličin. 9 4 / 81

31 P Cu (ztrátoý) - ztrátoý ýkon znikající na odporu inutí [W] C Fe - tepelná kapacita železa [W.s. C -1 ] C Cu - tepelná kapacita mědi [W.s. C -1 ] R Cu - tepelný odpor (odporník) [ C.W -1 ] Θ - teplota daném místě obodu [ C] I MAX - špičkoý proud 11,631 [A] I - střední hodnota proudu (datasheet) 8,68 [A] k - přeodní konstanta s % rezerou (datasheet) 1,56 [Nm/A] A Cu - linkoý řez (datasheet) 1,47 [mm ] T MAX - maximální teplota inutí (datasheet) 11 [ C] T U - nominální teplota okolí (datasheet) 4 [ C] τ T - teplotní časoá konstanta motoru (datasheet) 33 [s] τ thc - teplotní časoá konstanta inutí [s] Tabulka.7 Proměnné použité k popisu termodynamického modelu.4.3. VERIFIKACE DLE TEPLOTNÍHO MODELU CELÉHO MOTORU Vzhledem k tomu, že je dokumentaci motorů dostupný pouze jediný parametr popisující průběh ohříání motoru ztrátoým teplem τ T 55 min 33 s a identifikace jednotliých parametrů není triiální, mohla být díky integroanému teplotnímu senzoru e inutí zkoumaného motoru a schopnosti serozesiloače ACOPOS zaznamenáat průběhy sledoaných eličin (funkce Trace) proedena alternatiní identifikace odezou na jednotkoý skok zatížení. Měření bylo proedeno pouze se statickou zátěží (odpoídá 3, 46 Nm) a znormoáno na jednotkoé zatížení (obrázek.18) podle ztahu (.9 ). h Θ Θ w ( t ) Cu ( t ) T ( t ) Tmer mer (.9 ) M mer t) n i 1 M ( t T i) h ( i) h ( i ) w w 1 T + Θ ( (.3 ) t) M h t T + Θ C, Nm, C Nm Cu ( eff w okoli ;, 9 5 / 81 okoli C (.31 )

32 1,4 teplotní koeficient hw [ C/Nm ] 1, 1,8,6,4, t [s] Obrázek.18 Normalizace teplotní odezy statické zátěže na jedno. zatížení Vzorec (.3 ) pro konoluci je možné použít při ýpočtech teplotního průběhu z průběhu zátěže, která není dostatečně filtroána. V případě žongléra postačí k ýpočtu zjednodušený zorec (.31 ), kdy namísto konoluce stačí normalizoanou odezu na jednotkoé zatížení násobit kadrátem efektiního momentu, protože tepelný ýkon je dostatečně filtroán a zatěžoací kroutící moment je možné reprezentoat hodnotou efektiního momentu. 9 8 Telpota motoru [ C] Vypočítaná Naměřená t [s] Obrázek.19 Poronání naměřené a ypočítané teploty 9 6 / 81

33 Na základě průběhu teplotního modelu serozesiloače Acoposu, který si teplotní model dopočítáá sám, lze určit teplotu, při které dojde k odpojení stroje z důodu teplotního přetížení. K ypínání dochází při naměřené teplotě inutí 75 C. Pomocí termodynamického modelu stroje tak lze konstatoat, že k odpojení dojde po přibližně 5 minutách kontinuálního běhu, při počáteční teplotě 35 C, což je ustálená teplota motoru při stání a teplotě okolí 3 C. Při odpojení motoru a ukončení kontinuálního běhu se motor ochlazuje na teplotu okolí s časoou konstantou τ T 55 min 33 s dle dokumentace motoru. Při odpojení motoru, ještě před dosažením noé ustálené teploty, chladne zpru rychleji, když teplota inutí dohání pomaleji chladnoucí šasi motoru, ale poté co se teploty yronají už opět pokračuje chladnutí podle katalogoé časoé konstanty τ T (obrázek.). Pokud tedy není elký požadaek na přesné určení doby chladnutí motoru, bezpečně postačí katalogoá časoá konstanta τ T. 8 7 přetížený běh Teplota inutí [ C] rychlé chladnutí pomalé chladnutí t [s] Obrázek. Odeza teploty e inutí při chodu motoru přetížení 9 7 / 81

34 3. NÁVRH KINEMATIKY ŘÍZENÝCH OS Nárh kinematiky řízených os pro přehazoání třemi koulemi je příkladem na ariační počet, neboť hledané trajektorie jsou dané okrajoými podmínkami a nyní již známými dynamickými a termodynamickými možnostmi stroje. Okrajoými podmínkami jsou zde myšleny body, e kterých přehazoaná koule opouští nebo dopadá na misku raménka. V těchto bodech přestáá nebo začíná být poloha koule záislá na poloze misky, kterou je možné řídit a olinit tím trajektorii přehazoaných koulí. Mezi opuštěním prní misky a dopadem na druhou misku sleduje koule trajektorii rhu šikmého zhůru s počátečním ektorem rychlosti shodným s ektorem rychlosti misky při odpoutáání se od koule, tj. když negatiní zrychlení při pohybu zhůru překročilo 1g ~ 9, 81 ms -. Pro bezpečné chycení dopadající koule musí ektor rychlosti pohybu koule opět souhlasit s ektorem rychlosti pohybu misky, když negatiní zrychlení při pohybu dolů klesne pod 1g ~ 9, 81 ms -. Pohyb koule, která se pohybuje mezi osami stroje je tedy složen ze dou fází, z pohybu shodného s pohybem synchronizoaných os stroje a z pohybu rhu šikmého zhůru s počátečním ektorem rychlosti shodným s ektorem rychlosti misky okamžiku odpoutání se od ní. Trajektorie pohybu koule a mechanických os žongléru jsou patrné z obrázku 3.1. Obrázek 3.1 Trajektorie pohybu koule a os stroje 9 8 / 81

35 3.1. OPTIMALIZACE ŽONGLOVÁNÍ Žongloat lze se spoustou různých pomůcek od látkoých pytlíčků plněných rýží až po billiardoé koule. V projektu žongléra byly pro přehazoání zoleny práě billiardoé koule zhledem ke sé hmotnosti, tuhosti materiálu a stálému objemu. Těchto lastností lze yužít ke zjednodušení popisu kinematiky (zanedbání odporu zduchu při přehazoání koule) a k eliminaci dalších nežádoucích jeů jako např. odraz míčku od misky atd. Obrázek 3. Typ žongloací techniky kaskáda Před popisem kinematiky řízených os je nutné nejpre zolit optimální způsob přehazoání tří koulí mezi osami stroje. Optimální olbou techniky žongloání lze snížit ýkonoé zatížení akčních částí stroje a ýrazně tak prodloužit jejich chod bez ýpadků způsobených přetížením a neposlední řadě také prodloužit jejich žiotnost. Existuje celá řada technik žongloání od jednodušších až po mnohem složitější techniky např. kaskáda, sprcha nebo fontána. Pro projekt žongléra byla zolena technika známá pod názem kaskáda iz. obrázek 3. a to předeším z důodu, že při této technice dochází k yhazoání a chytání koulí e stejné ertikální poloze a liší se pouze bodem yhazoání a chytání koule na ose horizontální, což uleí již tak hodně namáhané ose ertikální. Techniku fontána je nemožné realizoat z důodu celkoé koncepce stroje, neboť stroj k tomu není uzpůsobený. 9 9 / 81

36 Techniku sprchy je nemožné realizoat z důodu nesplnitelných ýkonoých požadaků, které by daná technika na stroj kladla. Při použité technice kaskády dochází k postupnému přehazoání koulí z jedné žongloací ruky na druhou do dou symetrických oblouků. Každá mechanická ruka yhazuje kouli blíže ke středu, zatímco druhá mechanická ruka chytá kouli dále od středu ZABRÁNĚNÍ KOLIZI DVOU KOULÍ Při kaskádoé technice žongloání může dojít ke kolizi dou koulí. Pro zamezení kolize mezi yhazoanou a dopadající koulí, musí být místo dopadu zdáleno od místa ýhozu minimálně o průměr koule, tedy o zdálenost 57 mm. Pro minimální zdálenost s 75% bezpečnostní rezerou platí ztah ( 3.1 ). Místo dopadu na protějším raménku je dáno průsečíkem možné trajektorie tohoto raménka s tečnou trajektorií yhazujícího raménka okamžiku ýhozu (bere se zazší průsečík). Výhoz, trajektorie letu a dopad koule záislé na úhlu ýhozu jsou znázorněny na obrázku 3.3. D min δ 1+ max δ x y ( d + ε ) 1+ ( 57mm+ 75% 57mm) 1 mm koule 1 8 ( 3.1 ) Pro minimální zdálenost a zolenou 75% bezpečnostní rezerou platí: D min 1 mm F min 393, 69 mm úhel ýhozu β_ min + 6, 49 úhel dopadu β_ch min - 45, 783 Pro maximální zdálenost platí: D max 173, 5 mm F max 44, 64 mm úhel ýhozu β_ max + 19, 471 úhel dopadu β_ch max / 81

37 z [mm] Fmin Delka letu koule F [mm] x [mm] Uhel yhozu koule [ ] Fmin D [mm] 1 Dmin Uhel yhozu koule [ ] Obrázek 3.3 Výhoz, trajektorie letu a dopad koule záislosti na úhlu ýhozu Výše uedené ýpočty a postupy platí pro yhazoání koulí, kdy nedochází ke křížení dou symetrických oblouků. V projektu žonglér je yužito ýsledků pro maximální zdálenost místa ýhozu od místa chycení koule. K yhazoání a chytání koulí u obou žongloacích rukou dochází totožných místech, čili při ýhozu koulí e stejný časoý okamžik by došlo ke střetu dou koulí, neboť koule se pohybují po dou symetrických obloucích, které se zájemně kříží (obrázek 3.4). Při žongloání se třemi koulemi je yužito faktu, že při kaskádoé technice žongloání nelze yhazoat kouli z obou žongloacích rukou současně. Minimální dobu, po kterou nesmí být yhozena další koule určuje ztah ( 3. ). t min D min ( 3. ) 9 31 / 81

38 .8 t.4s osa y [m] osa x [m] Obrázek 3.4 Trajektorie letu koulí s možnou kolizí ŽONGLOVACÍ TEORÉM Dříe než je možné zaést některé ztahy popisující problém žongloání je dobré definoat proměnné, které se budou e ztazích objeoat. Všechny použité proměnné popisuje tabulka 3.1. b h f y x H α F L - počet koulí - počet mechanických rukou - čas letu (čas mezi yhozením a chycením koule) - ertikální rychlost hodu - horizontální rychlost hodu - počáteční ektor rychlosti daný ertikální a horizontální rychlostí hodu - ýška hodu - eleační úhel - horizontální zdálenost letu koulí - délka akcelerační dráhy 9 3 / 81

39 g d e r τ ω - graitační zrychlení - čas mezi chycením a yhozením koule - okamžik prázdné ruky mezi yhozením a chycením další koule - činitel obsazenosti ruky - perioda hodu (čas mezi děma hody ze stejné ruky) - průměrný počet koulí e zduchu jednom oblouku Tabulka 3.1 Proměnné popisující problematiku žongloání K popisu žongloání se třemi koulemi zolenou technikou kaskády lze yužít některých zajímaých poznatků, které shromáždil Claude Shannon, který se proslail na poli matematických a informačních ěd. Nejzajímaější z pohledu žongloání je Shannonů žongloací teorém elegantně popisující ztah mezi časoými proměnnými a poměrem mezi počtem koulí a počtem mechanických rukou iz. ronice ( 3.3 ). b h d + f ( 3.3 ) d + e Na základě tabulky 3.1 je dobré definoat další ztahy, které íce ozřejmí problematiku žongloání. Vztahy ( 3.4 ), ( 3.5 ) a ( 3.6 ) definují zájemné ztahy mezi proměnnými žongloání a přispíají k popisu procesu žongloání. Perioda hodu τ určuje dobu, která uplyne mezi děma hody ze stejné žongloací ruky. Hodnota činitele obsazenosti ruky r se ždy pohybuje rozmezí hodnot a 1 a popisuje průměrný počet koulí nacházejících se ruce při žongloání. Hodnotou ω lze definoat jako počet koulí, které se nacházejí e zduchu jednom oblouku. τ d + e ( 3.4 ) d d r τ d + e f f ω τ d + e ( 3.5 ) ( 3.6 ) 9 33 / 81

40 VRH ŠIKMÝ VZHŮRU Doplněním žongloacího teorému o ztahy yplýající z popisu kinematiky rhu šikmého zhůru pro tuhá tělesa získáme kompletní soubor ronic k sestaení kinematiky řízených os stroje. Popis rhu šikmého zhůru je patrný z obrázku 3.5. Obrázek 3.5 Kinematika rhu šikmého zhůru Vztahy uedené pro rh šikmý zhůru platí pouze pro případy, kdy na těleso nepůsobí odpor zduchu. V druhém případě by se křika paraboly změnila na balistickou křiku a ronice níže uedené by byli nepřesné. V případě žongléru lze odpor zduchu zanedbat, neboť k žongloání jsou použity billiardoé koule, které mají elkou hmotnost při malém čelním profilu, čímž působení odporu zduchu minimalizují. K popisu rhu šikmého zhůru je yužito možnosti rozkladu pohybu do osy x a osy y (metoda superpozice). Pro stanoení okrajoých podmínek pohybliých částí žongléra je rozklad přínosný, protože pohyb stroje je lastně synchronizoaný pohyb ertikálních a horizontálních os. K popisu se yužíá kinematických ztahů pro polohu ( 3.7 ) a rychlost ( 3.8 ) rozepsaných podle souřadnic. x x y y + + t cosα t sinα 1 g t ( 3.7 ) 9 34 / 81

41 X Y X Y cosα g t sinα g t ( 3.8 ) Vztah pro počáteční ektor rychlosti ( 3.9 ) je patrný z obrázku 3.5. X Y + ( 3.9 ) Vztah mezi ertikální a horizontální rychlostí pohybu hmotného bodu nejlépe ystihuje ronice ( 3.1 ) Y F g X ( 3.1 ) Vrcholu trajektorie V dosáhne koule (hmotný bod) za čas t V ( 3.11 ) a dopadne za čas t D ( 3.1 ) odpoídající době letu koule f. Y sinα sinα g tv tv ( 3.11 ) g t f D t V ( 3.1 ) Výraz ( 3.13 ) je roen ýšce rhu šikmého zhůru s počátečním ektorem rychlosti, který klade podmínku na maximální možnou dosaženou ýšku. H sin α g ( 3.13 ) 9 35 / 81

42 VÝPOČET PARAMETRŮ ŽONGLOVÁNÍ Na základě ronic pro optimalizaci žongloání je třeba dopočítat neznámé parametry žongloání potřebných k sestaení kinematiky pohybliých os žongléra. Tar (sklon hrany) misky určuje minimální poměr složek rychlosti dopadající koule, tak aby tato byla tlačena do misky a neypadla, čímž je předurčena i minimální doba letu koule ( 3.14 ) a minimální rychlost e ertikálním a horizontálním směru pohybu. Hodnotu doby letu koule olíme tak, že 1 tan ( ϕ ) d δ min δ y x 1 g t F min f tmin. t min δ min δ y x F g 8,393m 1 9,81m s,8 s ( 3.14 ) Pro horizontální pohyb platí omezení dané ztahem ( 3.15 ) pro předpokládanou dobu letu f,8 s. Raménko se musí četně dráhy potřebné pro zrychlení a zpomalení ejít do fyzických omezení +/- 9. F,393 m x,4913 m f,8 s s ( 3.15 ) Pro ertikální pohyb platí omezení: δ y m m y > min x 8, , 93 s s δ x ( 3.16 ) Žongloací teorém je možné rozepsat do taru ( 3.17 ), kdy cyklus raménka mezi děma hody ze stejné ruky odpoídá periodě hodu. doba obehu koule d1 + f1 + d + f d + e < pocet kouli b τ ( 3.17 ) Za předpokladu d d1 d e platí:,8s +,8s d e <, 4s ( 3.18 ) / 81

43 Během doby d e,4s se musí být pohony schopny zbrzdit sůj pohyb z rychlosti, při které koule dopadají, a posléze zrychlit na rychlost, při které se koule yhazují [ x XVYH XCHYT, y YVYH YCHYT ] a při tomto pohybu se nesmějí posuy dostat mimo sé limity e zrychlení ani poloze. Minimální zrychlení dané rychlostmi ýhozu a rychlostí chycení koule: a > VYH d CHYT ( 3.19 ), 4913 m (, 4913 m ) s s, 4s, 457 m s 16, 377 rad s XVYH XCHYT a x > ( 3. ) d 3,93m ( 3,93 m ) s s,4s YVYH YCHYT a y > ( 3.1 ) d 19,65 m s Minimální zrychlení potřebné ke zrychlení na požadoanou rychlost na akcelerační dráze délky L je: max a > max (, ) VYH L CHYT (, ) (,4913 m ) ( ) ( rad ) s π ( π ) 18 ( 3. ) a throw catch > x ( 3.3 ) max L (, ) ( 4,913m ) s (,5m) 6,95 rad s throw catch a y > ( 3.4 ) L s 5 m s Vyšší požadaky na zrychlení jsou pro pohyb horizontálním směru kladeny z podmínky pro rychlost, a pro ertikální pohyb z podmínky pro akcelerační dráhu ( potaz je brán přísnější požadaek ětší potřebné zrychlení) / 81

44 K ýpočtu parametrů žongloání se yužíá předem známých parametrů žongloání (počet koulí, atd.) uedených tabulce 3. a omezení, která jsou na cyklus žongloání kladena. b - počet koulí 3 h - počet mechanických rukou g - graitační zrychlení [m.s - ] 9,81 f - čas letu koule (čas mezi yhozením a chycením koule),8 d - čas mezi chycením a yhozením koule,4 F - horizontální zdálenost letu koulí,44 Tabulka 3. Hodnoty známých a olených konstant pro žongloání Důležitou proměnnou žongloání je hodnota času mezi chycením a yhozením koule d, která byla dopočítána pomocí žongloacího teorému. Tato proměnná splňuje podmínky kladené na chod stroje tedy ideálním případě (pohyb ronoměrně zrychlený) při zrychlení 5 m/s - stroj dosáhne rychlosti 5 m/s za čas,1s. H [m],55,785,85 1, Y [m/s] 3,85 3,94 4,84 4,43 X [m/s],633,53,59,47 [m/s] 3,346 3,96 4,116 4,454 sin α [rad],98,991,99,994 cos α [rad],189,134,14,15 f [s],67,8,833,93 d [m],4,4,4,4 e [m],313,4,4,469 ω [m],939 1, 1,13 1,4 r [m],561,5,487,461 τ [m],713,8,8,869 Tabulka 3.3 Dopočítané parametry žongloání 9 38 / 81

45 Při pohybu zrychleném se šak předpokládá, že je hodnota zrychlení po celou dobu pohybu konstantní, což při nárhu ačkoých profilů nelze zajistit, protože ačkoý editor si požadoané hodnoty trajektorie dopočítáá sám na základě fixních bodů definoaných užiatelem. Fixní body poté prokládá polynomem yššího řádu. Hodnotě času mezi chycením a yhozením koule d,4s (motor musí při chycení koule,s brzdit sůj pohyb a poté dalších,s zrychloat na požadoanou rychlost) odpoídá dopočítaná hodnota minimálního zrychlení e ertikálním směru 5 m/s -. Další omezující parametrem žongloání je ýška ýhozu koule, která nesmí překročit určitou hranici, záislou na olbě místa yhazoání a dopadu koule a celkoé ýšky manipulačního prostoru stroje. Pro sronání jsou parametry žongloání dopočítané z ronic pro optimalizaci žongloání uedeny tabulce 3.3 a šedou barou zýrazněný sloupec pro ýšku hodu H,785m předstauje parametry zolené k ytáření ačkoých profilů, čili požadaky kladené na kinematiku řízených os stroje. 3.. NÁVRH VAČKOVÝCH PROFILŮ K řízení pohybu a nastaoání polohy se průmysloé automatizaci yužíá elmi mnoho systémů a softwaroých řešení. Serozesiloače firmy B&R podporují možnosti softwaroého řízení pomocí speciálních řídicích příkazů tz. akcí (ncaction), řízení pomocí funkčních bloků mezinárodního standardu polohoého řízení PLCopen Motion Control a předeším řízení ačkoými automaty (CAM profile automat), které použíají ačkoých profilů (CAM profile) realizujích kinematiku řízených os pomocí užiatelem definoaných křiek polohy, rychlosti a zrychlení. V projektu žongléra bylo yužíáno předeším ačkoých automatů. Vačkoé automaty umožňují elektronicky propojit několik mechanických os (případně irtuální a mechanickou osou) na základě tz. zasynchronizoání připraených ačkoých profilů, definujících práě zájemné záislosti mezi osami, do požadoaných sekencí. Více o funkci ačkoých automatů bakalářské práci Lubomíra Prudka. Vzájemné záislosti mezi osami se definují pomocí hodně olených polynomů (neboli ačkoých profilů). Polynomy mohou být statické, nebo se mohou dynamicky počítat až za běhu stroje. Takto je možné realizoat spoustu 9 39 / 81

46 technologických funkcí např. elektronickou přeodoku, definoaný ačkoý profil a další CHARAKTERISTIKA VAČEK Vačka obecně e strojích zajišťuje transformaci (přeod) jednoho pohybu na druhý podle stanoené funkce. Například přeod otáčiého pohybu na pohyb posuný, a to přesně ymezeném okamžiku MECHANICKÉ VAČKY Mechanická ačka má obykle ejčitý tar. Je o ní opřeno zdihátko, které je k ní přitlačeno pružinou. Při otáčení ačky se zdihátko pohybuje podle taru ačky. Tarem ačky lze mechanicky naprogramoat dobu a ýšku zdihu záislosti na jejím natočení. Pokud je e stroji hřídel, určená speciálně pro umístění aček, nazýá se ačkoá hřídel (master osa). Detaily aček jsou na obrázku 3.6 a 3.7. Patrně nejznámějším yužitím aček je oládání pohybu entilů e čtyřdobém spaloacím motoru. Vačky jsou yužíány šak také mnoha dalších strojích (pístoá čerpadla, regulátory, ypínače, různé ystaoací mechanismy, mechanicky naprogramoané automaty jako například obráběcí stroje pro hromadnou ýrobu atd.). Vačkoé stroje mohou e sronání s klasickými stroji dosáhnout značně yšší produktiity. Neýhodou tohoto systému šak je elmi komplikoaný mechanický systém. Ani ýpočet ačkoých kotoučů není snadný je třeba brát úahu nejen trajektorii pohybu a rychlosti, ale také zrychlení, neboť jeho prudké změny způsobují rychlé opotřebení mechanických dílů. Optimalizace stroje je nákladná, protože při změně uspořádání je nutné pro každý mechanismus stroje yrobit noý ačkoý kotouč. Kromě toho mají ačkoé stroje extrémně dlouhou dobu přípray při změně ýroby změna ýroby znamená, že se ačkoé kotouče musejí yměnit. Na takoých strojích se yplatí yrábět pouze elké ýrobní dáky. 9 4 / 81

47 Obrázek 3.6 Vačka tangenciální Obrázek 3.7 Vačka doupolohoá ELEKTRONICKÉ VAČKY Aby bylo možné zýšit flexibilitu strojů, byla yinuta tz. elektronická ačka. Místo profilu ačky zde funguje soubor dat uložený paměti řídicího obodu. Stále rychlejší a ýkonnější mikroprocesory a řídicí integroané obody přinášejí do regulátorů pohonu stále íce inteligence. Tak mohou regulátory pohonu přebírat i složité úkoly. Jestliže před několika roky musela koordinoání pohonů zajistit nadřazená řídicí jednotka, může nyní tento úkol přezít i regulátor pohonu. Již dlouho není yužíán celý ýpočetní ýkon řídicího integroaného obodu pouze pro regulaci motoru. Tak mohly být yužity např. existující kapacity obodu pro integroání jednotky PLC do regulátoru pohonu (tz. Sero-PLC, Sero Programmable Logic Controller). Přehled hlaních ýhod elektronické ačky: Vysoká funkčnost Vysoká flexibilita zařízení Užiatelsky příětiý editor ačky Možnost importu dat křiky Optimalizace s důrazem na eliminaci rázů, maximální zrychlení a sklon k rozkmitání Monitoroací prooz pro optimální diagnostiku Možnost použití irtuální řídicí osy (master osa) / 81

48 K synchronizaci pohybu íce aček slouží ačka nazýaná master (specifická referenční hodnota). Vačky záislé se pak nazýají slae (záislé na pohybu mastera). Touto konencí se myslí, že pokud jsou pohony aktině propojené touto azbou, tak pohon slae musí přizpůsobit sůj pohyb pohybu master pohonu. Jako master osa může být olen pohyb některého z fyzických pohonů a na něm jsou potom záislé ostatní slae pohony. Je šak také možné jako master osu olit tz. irtuální osu, realizoanou také ačkoým profilem, ašak tato osa neřídí přímo pohyb žádného pohonu. Existují da způsoby změny pohybu master osy a to tz. lineární polohoání, kdy se pohyb mastera mění lineárně a tz. dynamické polohoání, kdy se pohyb mastera mění naopak nelineárně. Oba způsoby polohoání jsou patrné z obrázku 3.8. Obrázek 3.8 Synchronizace reálných os k ose irtuální 3... EDITOR VAČKOVÝCH PROFILŮ Podporou k nárhu ačkoých profilů z připraených dat a zaedení projektu do proozu zajišťuje tz. editor ačky. Editor ačkoých profilů je součástí softwaru Automation Studia společnosti B&R. 9 4 / 81