tečné napětí (τ), které je podle Newtona úměrné gradientu rychlosti, tj. poměrnému

Transkript

1 III. TERMODYNAMIKA PROUDÍCÍCH PLYNŮ A PAR Termodynamika plynů a par sleduje změny stau látek za předpokladu, že jsou látky klidu, nebo že li rychlosti proudění látky má zanedbatelný li na změnu termodynamického stau látky. Kinetická energie proudící zdušniny menší než 40 J kg - odpoídá rychlosti proudění do 30 m s -. Protože hodnota energie je nepatrná, lze do uedené rychlosti uažoat změny stau jako klidné látce. Termodynamicky sta klidného plynu je jednoznačně určen staoými eličinami p,, (V), T. Termodynamický sta proudícího plynu určují staoé eličiny (p,, T) a eličiny elikosti a směru rychlosti proudění každém místě pohybující se látky. Takoé případy nastáají dmychadlech, kompresorech, turbínách atp. Změna kinetické energie způsobená změnou rychlosti proudění () a změna potenciální energie proudící látky mají podstatný li na změnu jejího termodynamického stau. Je proto nutné nalézt zákony, které popisují zájemnou záislost těchto změn..0 Druhy proudění Při poznáání záislostí proudících plynů a par se roněž použíá idealizace proudícího media. Z hlediska termodynamiky proudícího plynu je látka ideální tehdy, jestliže tato proudí bez ztrát energie proudu. U skutečného plynu k těmto ztrátám dochází liem nitřního tření, turbulence proudu a íření samotných částic plynu. Dále se rozlišuje jedno a ícerozměrné proudění.. Jednorozměrné proudění Je nejjednodušším druhem proudění, při němž musí být splněny tyto podmínky: - průtočný průřez je elmi malý a mění se spojitě jen elmi zolna, - poloměr eent. zakřiení je elmi značný, - proudící látka je hydrodynamicky ideální, tj. neazká. Jsou-li tyto podmínky splněny, jsou liboolném kolmém průřezu trubice tytéž hodnoty eličin stau (p,, T) i rychlosti (). Takoá trubice se nazýá proudoá trubice a její obsah sestáá z proudoých láken. Tento sta proudění nastáá yjímečně.

2 . Laminární a turbulentní proudění Nastáá při proudění azkých tekutin. Při laminárním proudění je maximální rychlost proudění ětší než u turbulentního proudění (obr. č. III-). Této maximální rychlosti je dosaženo ose proudění. Obr. č. III- Rychlostní profil proudění U laminárního proudění se jednotlié rsty pohybují ůči sobě ronoběžně. Jednotlié rsty si lze předstait jako lákna, která se po sobě pohybují různou rychlostí. Vlákna rychlejší liem tření urychlují lákna (rsty) pomalejší a opačně lákna pomalejší brzdí lákna rychlejší (obr. č. III-). Vliem tohoto tření zniká mezi rstami tečné napětí (τ), které je podle Netona úměrné gradientu rychlosti, tj. poměrnému y přírůstku rychlosti () e směru (y) kolmém ke směru proudění: τ = η (III ) y Obr. č. III- Tečné napětí při proudění azké zdušniny Součinitel úměrnosti η se nazýá součinitelem nitřního tření nebo častěji dynamickou iskozitou τ η = [N s m - ] = [Pa s](iii ) y 3

3 Laminární proudění nastáá buď při nízkých rychlostech proudění nebo při ysokém součiniteli azkosti či dynamické iskozitě. Při turbulentním proudění dochází kromě postupného pohybu částic k jejich neuspořádanému pohybu jiném směru, nežli je směr proudění. Rychlost částic jistém průřezu není stálá, nýbrž kolísá kolem určité střední hodnoty. Kriterium, podle kterého se rozlišuje laminární a turbulentní proudění je hodnota Reynoldsoa čísla (Re): d Re = [-] (III 3) ν s kde s - je střední rychlost proudění (obr. č. III-) [m s - ] d - je charakteristický rozměr (průměr) [m] ν - je kinematická iskozita [m s - ]. Kinematická iskozita (ν) je dána poměrem: η ν = ρ [m s - ] (III 4) kde ρ - je měrná hmotnost látky [kg m -3 ] η - dynamická iskozita [Pa s] Pro znik turbulentního proudění existuje jednoznačná spodní hranice Reynoldsoa čísla. Při proudění kruhoým průřezem to je Re = 30. Při nižších hodnotách je proudění laminární. Nad touto hodnotou naazuje oblast smíšeného (přechodného) proudění, tj. turbulence začíná některých místech průtočného průřezu a rozšiřuje se na celý průřez postupně. Podle poahy látky a trubice (kanálu) může k úplné turbulenci dojít také až při Re = Proudění adiabatické a izoentropické V praxi může nastat proudění látky bez ýměny tepla s okolím, resp. se zanedbatelnou ýměnou tepla. Takoé proudění se nazýá adiabatické, které má dě arianty: 4

4 . Adiabatické proudění termodynamicky i hydrodynamicky ideální tekutiny, které probíhá bez aerodynamických a hydraulických odporů a tedy bez ztrát energie. Při takoém proudění se entropie proudící látky nemění, a proto se nazýá izoentropické.. Adiabatické proudění reálného azkého plynu je proázeno energetickými ztrátami, které způsobuje odpor kanálu a nitřní tření proudící látky. Práce potřebná k překonání těchto odporů se na tomto místě přemění teplo a zůstáá proudící látce. Tento děj je neratný, při němž roste entropie látek, proudění je sice adiabatické, protože se teplo nepřiádí z nějšku, ale není isoentropické..4 Machoo číslo Při yšetřoání charakteru proudění stlačitelných medií má elký ýznam rychlost zuku. Z akustiky je známo, že šíření zuku je proázeno podélným lněním zdušniny stlačitelného média. Je to lastně postupné zhušťoání a zřeďoání prostředí, které se od zdroje šíří kuloých lnách. Poloměr této zukoé koule roste přímo úměrně s časem. Každou sekundu zroste o délku proběhnutou rychlostí zuku (obr. č. III-3). Obr. č. III-3 Šíření zduchoých ln při klidném a pohybujícím se zdroji Je-li zdroj zukoé lny klidu (a), toří zukoé lny soustředné kružnice. Pohybuje-li se zdroj zukoé (tlakoé) poruchy podzukoou rychlostí < a, pak čela zukoých ln předbíhají zdroj z (b). Pohybuje-li se zdroj rychlosti zuku = a, pak zdroj z leží n rcholu ln (c). Konečně pohybuje-li se zdroj nadzukoou rychlostí > a, předbíhá zdroj z čela ln (d). Tečny k zukoým kružnicím ze zdroje z se nazýají 5

5 Machoy čáry, které s osou souměrnosti sírají Machů úhel (φ). Vztah rychlosti proudění () a Machoým úhlem určuje ronice (obr. č. III-4): a sin ϕ = = (III 5) M kde M je Machoo číslo dané poměrem rychlostí proudu () a rychlosti zuku (a): M = [-] (III 6) a je to bezrozměrná eličina použíaná dynamice proudění stlačitelných medií jako kriterium dynamické podobnosti. Obr. č. III-4 Machů úhel Protože je zuk způsoben malou tlakoou (p) poruchou ycházející z určitého zdroje, která způsobuje změnu hustoty prostředí (ρ = ) a tedy způsobuje lastně změnu stau zdušniny, je rychlost zuku za těchto podmínek funkcí staoých eličin. Na zukoé kružnici (obr. č. III-3), resp. kouli jsou eličiny stau (p, ρ =, T) konstantní. Proto lze termodynamický sta plynu charakterizoat kromě jiného také rychlostí zuku plynu za tohoto stau. Okamžitý místní sta proudu pak charakterizuje poměr rychlosti () a rychlosti zuku (a), tj. Machoo číslo (M). Rychlost zuku (a) lze obecně pro liboolný průřez trubice, němž je plyn o stau (p, ρ =, T) yjádřit ztahem odozeným akustice: δp a = (III 7) δρ s 6

6 tj. poměrem změny tlaku záislosti na změně měrné hmotnosti, při stálé entropii (s = konst). Z ronice isoentropy: p κ = p ρ -κ = konst (III 8) lze po deriaci získat: -κ ρ -κ- p ρ + ρ -κ p = 0 nebo κ p ρ p + κ ρ ρ = κ + 0 p ρ κ ρ κ κ + p = ρ p p = κ = κ r T ρ ρ Z poronání ronice III 7 a III 9 yplýá, že rychlost zuku je dána: (III 9) p a = κ = κ r T (III 0) ρ.5 Zákon o zachoání hmoty a ronice kontinuity Při ustáleném průtoku protéká průřezy S, S (obr. č. III-5) totéž hmotnostní průtočné množstí Q m [kg s - ], pro něž platí: Q m = Q ρ = Q ρ nebo pro ρ = Q m = Q Q = (III ) pro objemoý průtok Q [m 3 s - ] platí: Q = S, Q = S (III ) pak Takže Q m = S ρ = S S = S = konst (III 3) 7

7 Obr. č. III-5 Určení ronice kontinuity což je ronice kontinuity stlačitelných látek, která současně yjadřuje zákon o zachoání hmoty. Ronice III platí obecně tedy i pro nestlačitelné látky, u nichž je měrný objem konstantní, takže se ronice zjednoduší na tar: S = konst (III 4) Většinu ýpočtu lze proést pro jednotku hmotnosti. Průtočný průřez, kterým proudí tato jednotka hmotnosti ( kg) za jednotku času ( s) se nazýá měrný průtočný průřez s. Ronice kontinuity má pak tar: a) při yjádření měrnou hmotností b) při yjádření měrným objemem ρ s = konst. =, s = konst. = (III 5) po logaritmoání ronice III 5 ln ρ + ln + ln s = 0, ln s + ln ln = 0 a po diferencoání bude ρ s + + = 0, ρ s s + = 0 s (III 6) Diferenciální ronice kontinuity (III 6) yjadřuje zájemnou záislost poměrných přírůstků změny měrné hmotnosti (ρ) či objemu (), rychlosti proudění () a měrného průřezu (s)..6 Zákon o zachoání energie Obecně je nutno uažoat proudění trubicí (kanálem) se třením a příodem tepla. Z hlediska odezdané práce se yskytují praxi da případy proudění trubicí (kanálem): a) dynamicky neizoloanou trubicí, níž dochází ke složitým a zájemným přeměnám energie tepelné, kinetické a tlakoé. Část z celkoé energie se odádí 8

8 naenek jako technická práce stroje. Takoé děje se nazýají praconími procesy např. tepelných turbin apod. b) dynamicky izoloanou trubicí, níž se mění část tepelné a tlakoé energie kinetickou energii a naenek se neodádí žádná práce (např. proudění potrubní sítí, ýměníky tepla). Takoé děje se nazýají procesy proudění. Pro dynamicky neizoloanou trubici platí, že element proudící látky (obr. č. III-6) obsahuje energii tepelnou e t = u, energii kinetickou e k =, energii potenciální e p = g h. Dále je proudící látkou přinášena tz. energie proudu e t = p, která je rona práci k překonání nějších tlakoých sil při posunu proudu mezi průřezy S a S + S. Tuto práci ( a t ) yjadřuje rozdíl součinů tlaku, plochy a rychlosti proudění těchto průřezů: a t = (p + p) (S + S) ( + ) S p (III 7) po roznásobení: a t = p S + p S + p S + p S + p S + p S + p S d + + p S S p členy druhého a třetího řádu lze zanedbat, protože jsou zanedbatelně malé hodnoty. Pak platí: a t = p S + p S + S p = p (S) + S p (III - 8) Obr. č. III-6 Působení nějších sil na pohybující se element proudící látky Z ronice kontinuity (III 3) platí pro jednotkoou průtočnou plochu S = a pak ronice III 8 má tar: a t = p + p = (p) odkud po integraci je práce ( a t ): a t = a t = (p) = p p (III 9) 9

9 Celkoou energii elementu ( Q m ) proudící látky lze yjádřit: Q m (u + + g h + p ) (III 0) Změna energií proudící látky mezi průřezy S, S+ S je dána liem z nějšku přiedeného tepla ( q) a odedené tlakoé práce ( a t ). Za těchto podmínek bude možno zákon o zachoání energie formuloat následoně diferenciální formě: q a t = u + + g h + (p) (III ) Proces tření proudícího media formulaci tohoto zákona nezmění, protože k překonání tření se musí ykonat práce a tř, která se přemění teplo q tř, jež zůstane proudící látce. Takže ronice III se doplní o: q + q tř a t a tř = u + + g h + (p) (III ) Protože práce tření (a tř ) není energií přiedenou z enku jedná se jen o zájemnou přeměnu energií unitř látky, musí platit dq tř = da tř. Z tohoto yplýá, že se ronice III a III shodují, což potrzuje platnost předešlého trzení, že tření azké zdušniny nezmění formulaci zákona o zachoání energie. Použitím dříe odozeného ztahu i = u + (p) lze ronici III resp. III uprait na tar: q = i + + g h + a t (III 3) a po integraci mezích bude: q = i i + + g (h h ) + a t (III 4) Tato základní energetická ronice proudění je formulací I. zákona termodynamiky pro oteřené systémy. Pro dynamicky izoloanou trubici je odáděná tlakoá práce nuloá (a t = 0) a pak formulace I. zákona termodynamiky je podle ronice III 3 dána: q = i + + g h (III 5) či po integraci těchže mezích: 0

10 q = i i + + g (h h ) (III 6) z této ronice plyne, že přiedené teplo (q) způsobí změnu entalpie, kinetické a polohoé energie. Je-li trubice (kanál) odoroná a neuažuje-li se tření, má ronice III 6 tar: i + + q = i + (III 7) a dále není li látce okolí přiáděno teplo (q = 0), bude podle ronice III 5 platit: po integraci: = i = i i (III 8) Tato ronice se nazýá pohyboou energetickou ronicí adiabatického proudění plynu. Vyjadřuje záislost změny kinetické energie na změně entalpie, tj. na změně teploty plynu. Změna energie je způsobena pouze změnou rychlosti. Nemění-li se rychlost, nemění se ani teplota..7 Expanze plynu při proudění ýtoku tryskou a otorem Předpokládá-li se adiabatický ýtok termodynamicky i hydrodynamicky (bez odporů) ideálního plynu, je tento děj isoentropický. Podmínky a zákonitosti při ýtoku tryskou a otorem z klidoého stau se poněkud odlišují a proto jsou popsány zlášť..7. Expanze při ýtoku tryskou - nátrubkem Pro průtok mezi průřezy S a S (obr. č. III-7) při adiabatickém ději (q = 0) platí podle ronice III 7 zákon zachoání energie e taru: odkud i + = i + (III 9) = + (i i ) (III 30)

11 Obr. č. III-7 Výtok z trysky nátrubku Tepelný isoetropický spád lze yjádřit: i i = c p (T T ) = c p T ( - T ) (III 3) T Poměr teplot T /T lze pro isoentropickou změnu nahradit poměrem tlaků p /p : κ T p κ = T p po dosazení do ronice III 3 bude: i i = c p T κ.r po dosazení za c p = κ κ p κ (III 3) p a p ρ = r T bude: i i = κ κ dosazením ronice III 33 do III 30 platí: = + κ p ρ p κ (III 33) p κ κ κ p ρ p κ (III 34) p V případě, že počáteční sta je klidoý ( = 0) a hodnoty p, ρ jsou rony p 0, ρ 0, bude mít předešlá ronice tar:

12 = κ κ κ p 0 ρ p κ (III 35) 0 p 0 Pro průtok se ztrátami platí tytéž ronice jako pro průtok beze ztrát s tím rozdílem, že měrná entalpie i e ýtokoém (ýstupoém) průřezu (S ) má liem přijatého tepla ekialentního práci potřebné k překonání odporů, yšší hodnotu i (i > i ). Plyn totiž expanduje na tentýž tlak p jako při ýtoku beze ztrát (obr. č. III-8), ale expanzní křika není isoentropická (s = konst), nýbrž leží liem sdíleného tepla naprao od isoentropické expanze (0 ) tzn., že entropie zrůstá (s 0 s ). Obr. č. III-8 Proudění tryskou s odpory Pro tento případ proudění se ztrátami platí energetická ronice: i + = i + (III 36) odkud = + (i i ) (III 37) pokud se ýtok tryskou uskutečňuje z klidoého stau ( = 0) při hodnotách staoých eličin p 0, ρ 0, T 0, bude ýtokoá rychlost ( ) dána: = (i - i ) (III 37) Půodní tepelný spád (i i ) se liem odporů zmenší na i i (obr. č. III-8), resp. na i 0 i. Tento tepelný spád se nazýá efektiní nebo skutečný. Zmenšením tepelného spádu se sníží ýtokoá rychlost z na ( > ). 3

13 Popsaný děj probíhá bez sdílení tepla s okolím, takže je tento děj adiabatický, i když jeho průběhu entropie roste. Vli odporů proudění se zpraidla yjadřuje poměrem ýtokoých rychlostí: = ϕ (III 37) kde φ je rychlostní součinitel pro trysku (nátrubek), jehož hodnoty se pohybují mezích 0,80 0,95. Ztráta rychlosti je tím ětší, čím je rychlost proudění ětší. Ztráta kinetické energie se yjadřuje poměrem skutečného (efektiního) a isoentropického (teoretického) tepelného spádu a yjadřuje isoentropickou účinnost trysky (η d ) η d = i i 0 i i = = (III 38) Z poronání ronic III 37 a III 38 plyne ztah: η d = φ (III 39).7. Expanze při ýtoku otorem nádobě Je to technicky důležitý případ (zdušníky atp.) expanze z klidoého stau při staoých eličinách p 0, ρ 0, T 0 na konečný tlak p, při němž plyn proudí rychlostí otorem plochy s (obr. č. III-9). Pro průtok bez ztrát platí: odkud = i 0 i (III 40) 0 = (i i ) (III 4) a obdobně lze e smyslu ronice III 35 psát záislost: κ κ κ p0 p = (III 4) κ ρ 0 p0 což je tz. Saint-Venantoa-Wantzeloa ronice. Z této ronice plyne důležitý poznatek a to, že rychlost proudění ( ) nemůže růst neomezeně z počáteční nuloé rychlosti ( = 0) nýbrž, že může dosáhnout jen určité maximální rychlosti ( max ). Této rychlosti se dosáhne při úplné expanzi z klidoého (počátečního) tlaku (p 0 ) do absolutního akua tj. na absolutní konečný tlak p = 0. Pro p = 0 je poměr p /p 0 = 0 a pak ronice III 4 má tar: 4

14 κ p p 0 0 = max = =.κκ (III 43) κ ρ0 κ ρ0 Obr. č. III-9 Výtok otorem nádobě Protože podle ronice III 0 platí, že κ ρ zuku klidném plynu, je maximální rychlost ( max ) dána ztahem: max 0 p 0 0 = κ p 0 0 = a 0, což je kadrát rychlosti = a (III 44) κ či pro κ =,4 lze psát: max =,3 a 0 (III 45) Z ronic III 44 a III 45 plyne, že maximální rychlost ( max ) záisí na hodnotě Poissonoy konstanty (κ), která je dána stabou molekuly plynu (jednoatomoé, íce atomoé). Obr. č. III-0 Průtok nátrubkem a clonou Při ýtoku otorem z nádoby, pokud není taroě řešen jako konergentní (obr. č. III-) dochází k zúžení proudoých láken jako při průtoku clonou (obr. č. III-0). Zúžení plochy průřezu proudu z plochy S na S yjadřuje součinitel kontrakce (α) S α = (III 46) S 5

15 Obr. č. III- Výtok z konergentní trysky při p x > pa, = x pak skutečná průtočná hmotnost (Q m ) ychází z teoretické (Q m ) a je dána: Q m = α Q m (III 47) Obr. č. III- Expanze ze zúžené trysce při p x > p a 6