Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Transkript

1 Ing. Bc. Michl Mlík, Ing. Bc. Jiří Prims ECHNICKÁ UNIVERZIA V LIBERCI Fkult mechtroniky, informtiky mezioborových studií ento mteriál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinncován Evropským sociálním fondem státním rozpočtem ČR

2 Helmholtzov rovnice Využívá se ve fyzice při řešení úloh s prciálními diferenciálními rovnicemi pro prostor i čs. Helmholzov rovnice je čsově nezávislou podobou původně řešené rovnice. Je získán pomocí metody seprce proměnných využívné ke zjednodušení problému. U k U, k nk r kde sklární funkce předstvuje některou ze šesti složek E H U U vektorů kde. k c 1

3 Monochromtické elektromgnetické vlny Je-li elektromgnetická vln vlnou monochromtickou, jsou všechny složky elektrického mgnetického pole hrmonickými funkcemi čsu se stejnou frekvencí. yto složky lze vyjádřit pomocí komplexních mplitud: E r H r E H r, t ReE r kde jsou komplexní mplitudy elektrického mgnetického pole je úhlová frekvence. e r, t ReH r. e j t j t

4 Odvození vzthu pro optickou intenzitu I. Intenzit bývá definován jko: Středujeme-li kvdrát rovnice vlny přes čs delší než je period vlny, le krtší než je délk pozorovného jevu, získáme optickou intenzitu. Vyjdeme z rovnice monochromtické vlny: Operce středování, kterou se chystáme použít funguje následovně: 1 u u dt Po doszení můžeme npst: I r, t u r, t u I, r, t u r t r, t r cost r využijeme jednoduchého vzorce pro práci s goniometrickými funkcemi: r cos t r cos x cosx 1 dt

5 Odvození vzthu pro optickou intenzitu II. Po doszení do integrálu se konečně dostáváme k výpočtu: u 1 r, t r 1 cos4t r dt 1 r dt r cos4t r dt 1 1 r t r cos4t r dt 1 1 r r cos4t r dt 1 r r cos4t r dt

6 Odvození vzthu pro optickou intenzitu III. Podíváme-li n grf funkce kosinus, lze úlohu vyřešit úvhou: r r Zvolení hodnot integrčních mezí závisí zcel n nás, pokud dodržíme podmínku, že to bude čs delší než je period vlny le krtší než je délk pozorovného jevu. Funkce kosinus je sudá (symetrická podle osy y). Integrál tkové funkce je roven pokud si integrční meze - zvolíme tkto:, kde k je celé číslo k.

7 Odvození vzthu pro optickou intenzitu IV. Pokud tedy uvžujeme jko celočíselný násobek čísl π, celý integrál bude roven nule: I r, t u r, t r U r Můžeme tedy říci, že optická intenzit monochromtické vlny je čtverec modulu její komplexní mplitudy tké, že intenzit monochromtické vlny se nemění s čsem.

8 Elementární elektromgnetické vlny trnsverzální Jedná se o monochromtickou elektromgnetickou vlnu, jejíž složky elektrického mgnetického pole jsou rovinné vlny: E H r r E. e H. e jkt jkt

9 Elementární elektromgnetické vlny sférické Sférická vln je definovná tkto: r kde r je vzdálenost od počátku k je vlnové číslo. c c Komplexní mplitud sférické vlny vznikjící v bodě r je: Její vlnoplochy jsou sféry se středem v r. U Vln s tkto definovnou komplexní mplitudou je sférická vln postupující dovnitř (ve směru k počátku), n rozdíl od vlny šířící se ven (ve směru od počátku). U r r r A r e r U jkr A r e jkr