Obsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody

Transkript

1 Moment setrvčnosti průřezů - použití určitýc integrálů v ecnické mecnice Dn Říová, Pvl Kotásková Mendelu Brno Perspektiv krjinnéo mngementu - inovce krjinářskýc discipĺın reg.č. CZ..7/../5.8 Os Moment setrvčnosti průřezů Steinerov vět 3 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů Odélník Ověření Steinerov vět Čtverec Dutý odélník Prvoúlý trojúelník Rovnormenný trojúelník Čtvrtkru Půlkru Kru Mezikruží 4 Neurčitý integrál - vlstnosti, vzorce, integrční metod 5 Určitý integrál - vlstnosti, výpočet Jko Steiner švýcrský mtemtik - geometr

2 Moment setrvčnosti průřezů Moment setrvčnosti průřezu s plocou k ose k ose I = d, I = d Moment setrvčnosti k osám procázejícím těžištěm se nzývjí centrální. Steinerov vět Souvislost momentů setrvčnosti k rovnoěžným osám Steinerov vět Moment setrvčnosti průřezu k ose, která neprocází těžištěm, se rovná momentu setrvčnosti průřezu k těžišt ové ose, která je s ní rovnoěžná, zvětšenému o součin ploc průřezu čtverce vzdálenosti oou os I = I I = I + c + d Steinerov vět předstvuje vzt mezi moment setrvčnosti k těžišt ovým osám k osám, které jsou s nimi rovnoěžné.

3 d c Po úprvě lze Steinerovu větu použít ve tvru I I = I c = I d Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - odélník Odélník - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám I = = 3 d d d = d diferenciál ploc proužku integrční meze od po / / [ ( d = ) 3 ( ) 3 ] d = = [ [ 3 d = 3 ] = ] = = 3

4 Odélník - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám d d / / d = d diferenciál ploc proužku integrční meze od po I = = 3 d = [ ( ) 3 ( ) 3 ] d = = [ [ 3 d = 3 ] = 3 ] 3 8 = 3 = Ověření Steinerov vět Odélník - moment setrvčnosti k osám procázejícím strnmi odélník Moment setrvčnosti vpočteme nejprve podle vzorce. d d d = d diferenciál ploc proužku integrční meze od po I = d = [ ] d = 3 d = 3 = 3 3

5 Odélník - moment setrvčnosti k osám procázejícím strnmi odélník Stejný výsledek získáme i výpočtem pomocí Steinerov vět. I = I + c = c = I = 3 I = I + c = 3 + ( ) = = = 3 3 Odélník - moment setrvčnosti k osám procázejícím strnmi odélník Výpočet momentu setrvčnosti podle vzorce. d d d = d diferenciál ploc proužku integrční meze od po I = d = [ ] d = 3 d = 3 = 3 3

6 Odélník - moment setrvčnosti k osám procázejícím strnmi odélník entýž výsledek lze získt použitím Steinerov vět. / I = I + d = d = I = 3 I = I + d = 3 + ( ) = = = 3 3 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - čtverec Čtverec - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám pro čtverec pltí = = / / I = 3 = 4 I = 3 = 4 I = I = 4

7 Čtverec - moment setrvčnosti k osám procázejícím strnmi čtverce pro čtverec pltí = = / / I = 3 3 = 3 4 I = 3 3 = 3 4 I = I = 3 4 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - dutý odélník Dutý odélník - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám Jde o složený orzec z vnějšío odélníku o rozměrec, odečítný vnitřní odélník o rozměrec,. moment setrvčnosti odélníku I = 3 I = 3 I = 3 3 = ( 3 3 ) I = 3 3 = ( 3 3 )

8 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - prvoúlý trojúelník Prvoúlý trojúelník - moment setrvčnosti k osám procázejícím vrcolem Vpočtený moment setrvčnosti použijeme dále pro odvození centrálnío momentu. I = d = d diferenciál ploc proužku z podonosti trojúelníků plne d d = = d = d = d d = 3 d = 3 d = [ ] 4 4 = 4 4 = 4 3 Prvoúlý trojúelník - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám K výpočtu použijeme vzt plnoucí ze Steinerov vět již vpočtený moment setrvčnosti k ose jdoucí vrcolem trojúelníku. 3 I = I c = c = 3 I = 4 3 I = I c = 4 3 ( 3 ) = = = 36 3

9 Prvoúlý trojúelník - moment setrvčnosti k osám procázejícím vrcolem ento moment setrvčnosti se užije při výpočtu centrálnío momentu. d = d diferenciál ploc proužku I = d = d d 3 d = z podonosti trojúelníků plne = = d = d = d 3 d = [ 4 4 ] = 4 4 = 4 3 Prvoúlý trojúelník - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám Použijeme vzt odvozený ze Steinerov vět již vpočtený moment setrvčnosti k ose jdoucí vrcolem trojúelníku. 3 I = I d = d = 3 I = 4 3 I = I d = 4 3 ( 3 ) = = = 36 3

10 Prvoúlý trojúelník - moment setrvčnosti k osám procázejícím strnmi trojúelníku Moment setrvčnosti prvoúléo trojúelníku k ose, která procází strnou, udeme potřeovt pro odvození momentu setrvčnosti rovnormennéo trojúelníku. Moment vpočteme pomocí Steinerov vět. 3 I = I + d = d = 3 I = 36 3 I = I + d = ( ) = = = 3 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - rovnormenný trojúelník Rovnormenný trojúelník - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám Rovnormenný trojúelník se skládá ze dvou smetrickýc prvoúlýc trojúelníků. Použijeme moment setrvčnosti pro prvoúlý trojúelník, to k těžišt ové ose k ose procázející společnou strnou těcto trojúelníků. 3 3 ( I = ( 36 I = / / ) ) 3 ( = 36 3 ( ) 3 ) = 3 pro prvoúlý trojúelník pltí I = 36 3 I = 3 I je moment ke strně trojúelníku, jež je výškou rovnormennéo trojúelníku (os je totožná s nší osou ) délk spodní strn není, le /

11 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - čtvrtkru Čtvrtkru - moment setrvčnosti k osám jdoucím očními strnmi I = = π d d d = r r d = d diferenciál ploc proužku rovnice kružnice o poloměru r, středu [, ] + = r = r pro d = d = r d = r sin t d = r cos t dt r d = (t = rcsin r ) = = t = rcsin = = r t = rcsin = π π r sin t r r sin t r cos t dt = r 4 sin t sin t cos t dt = Čtvrtkru - moment setrvčnosti k osám jdoucím očními strnmi π = r 4 sin t cos t sin t dt = = sin t + cos t sin t = cos t = π sin t cos t = sin t = r 4 sin t cos t dt = 4 sin t cos t = sin t sin t cos t = = π 4 r4 sin t dt = 4 sin t sin cos t t = sin cos 4t = π t = 8 r4 ( cos 4t) dt = [ 8 r4 t ] π 4 sin 4t = = [( π 8 r4 ) 4 sin π ( 4 )] sin = ( π ) 8 r4 = 6 πr4 I = 6 πr4

12 Čtvrtkru - moment setrvčnosti k osám jdoucím očními strnmi r d d d = d diferenciál ploc proužku rovnice kružnice o poloměru r, středu [, ] + = r = r pro d = d = r d nlogick jko moment setrvčnosti I se vpočte (vjde stejný určitý integrál) = r sin t r d = r cos t dt I = d = r d = (t = rcsin r ) = = t = rcsin = = r t = rcsin = π π = r sin t r r sin t r cos t dt = = 6 πr4 Čtvrtkru - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám Pro výpočet užijeme vzt plnoucí ze Steinerov vět již odvozené moment setrvčnosti k osám. 4r 3π r 4r 3π I I = I c = I d I = I = 6 πr4 moment k osám c = d = 4 r 3 π plne ze souřdnic těžiště čtvrtkruu = 4 πr I = I = I c = I d = ( ) ( 4 r π 6 πr4 3 π 4 πr = r ) 9π

13 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - půlkru Půlkru - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám Půlkru je složený orzec ze dvou čtvrtkruů. Použijeme moment setrvčnosti čtvrtkruu k těžišt ové ose k ose procázející společnou strnou oou čtvrtkruů (je osou smetrie půlkruu). r 4r 3π ( π I = r ) ( π = r 4 9π 8 8 ) 9π I = 6 πr4 = 8 πr4 pro čtvrtkru pltí ( π I = r ) 9π I = 6 πr4 I je moment setrvčnosti k ose procázející oční strnou čtvrtkruu (je to os smetrie půlkruu tudíž těžišt ová os ) Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - kru Kru - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám Kru je složený orzec ze dvou půlkruů. Protože je kru smetrický podle os i, ude pro moment setrvčnosti k těžišt ovým osám pltit I = I. S r pro půlkru pltí I I = 8 πr4 je moment setrvčnosti k ose smetrie procázející středem S I = I = 8 πr4 = 4 πr4

14 Moment setrvčnosti zákldníc průřezů - mezikruží Mezikruží - moment setrvčnosti k těžišt ovým osám Mezikruží je složený orzec z vnějšío kruu o poloměru r odečítný vnitřní kru o poloměru r. r r pro kru pltí S I = I = 4 πr4 I = I = 4 πr4 4 πr4 = 4 π ( r 4 r 4 ) Neurčitý integrál - vlstnosti Srnutí zákldnío mtemtickéo prátu potřenéo pro výpočet momentů setrvčnosti průřezů Vlstnosti neurčitéo integrálu [f() ± g()] d = f() d ± cf() d = c f() d g() d

15 Neurčitý integrál - vzorce Zákldní vzorce pro integrování n d = n+ + c, (n ) n + d = ln + c e d = e + c, sin d = cos + c, sin d = cotg + c, + d = rctg + c, d = rcsin + c, d = + c d = ln + c cos d = sin + c cos d = tg + c d = ln + + c, ± B d = ln + ± B + c Neurčitý integrál - integrční metod Sustituční metod f [ϕ()] ϕ () d = t = ϕ() dt = ϕ () d = f(t) dt Ze sustituční metod plnou následující vzorce: Integrce funkce s lineární vnitřní složkou f( + ) d = F ( + ) + c Speciální přípd zlomku f () f() d = ln f() + c

16 Metod per prtes u()v () d = u()v() u ()v() d Určitý integrál - vlstnosti Vlstnosti určitéo integrálu [f() ± g()] d = cf() d = c f() d ditivit vzledem k mezím f() d = c f() d + f() d ± Výměn mezí určitéo integrálu f() d = f() d =, ( = ) c f() d f() d, ( > ) g() d

17 Určitý integrál - výpočet Newton - Leinizov formule pro výpočet určitéo integrálu f() d = [F ()] = F () F () F je primitivní funkce k f, ted neurčitý integrál f() d = F () + c Určitý integrál - integrční metod Metod per prtes pro určitý integrál u()v () d = [ u()v() ] u ()v() d Sustituční metod pro určitý integrál β α f [ ϕ() ] ϕ () d = t = ϕ() ϕ(β) dt = ϕ () d = f(t) dt ϕ(α)

18 Litertur Kompn, F., Brtoš, Z., Finová,.: ecnická mecnik. Brtislv: Prírod, 99. ISBN Rektors, K.: Přeled užité mtemtik I. Pr: Prometeus, 9. ISBN Jrešová, M., Volf, I.: Integrální počet ve fzice [online]. Studijní tet pro řešitele FO, Hrdec Králové: MFY, 8. Dostupné z ttp://fziklniolmpid.cz/tet/mtemtik/intpoc.pdf [cit. -9-5]. 4 Krejs, M.: Moment setrvčnosti deviční moment [online]. Výukový mteriál předmětu Stvení sttik, Fkult stvení VŠB - ecnická univerzit Ostrv, 9. Dostupné z ttp://fst.vs.cz/krejs/studium/ss_tem.pdf [cit. -9-5]. 5 Vokáč, M.: Sttik - průřezové veličin [online]. Výukový mteriál předmětu Sttik, Fkult rcitektur ČVU Pr,. Dostupné z ttp://5.f.cvut.cz/?downlod=_/predmet.s/st_.pdf [cit. -9-5]. 6 Vokáč, M.: ulk zákldníc geometrickýc orzců [online]. Výukový mteriál předmětu Sttik, Fkult rcitektur ČVU Pr, 9. Dostupné z ttp://5.f.cvut.cz/?downlod=_/predmet.s/tprurezu.pdf [cit. -9-5].

19 Prezentce l zprcován v rámci projektu: Perspektiv krjinnéo mngementu - inovce krjinářskýc discipĺın reg.č. CZ..7/../5.8