Petriho sítě PES 2007/2008. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz"

Transkript

1 PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze ) FIT, VUT v Brně, Božetěhov 2, CZ Brno

2 Jzyky Petriho sítí PES Jzyky Petriho sítí p. 2/34

3 PES Jzyky Petriho sítí p. 3/34 1. Zákldní pojmy Formálně lze pojem jzyk Petriho sítě zvést s využitím zoeněné přehodové funke Petriho sítě: Definie 1: Neht N = (P, T, F, W, K, M 0 ) je Petriho sít [M 0 její množin dosžitelnýh znčení. Přehodovou funkí Petriho sítě N nzveme funki δ: δ: [M 0 T [M 0, pro kterou t T : M, M [M 0 : δ(m, t) = M def. M[t M Přehodová funke δ může ýt zoeněn n posloupnosti přehodů: δ: [M 0 T [M 0 tkto: δ(m, tτ) = δ(δ(m, t), τ), τ T, t T δ(m, ε) = M, kde ε je prázdný řetěze

4 PES Jzyky Petriho sítí p. 4/34 Posloupnost (řetěze) τ T + nzveme výpočetní posloupností sítě N, je-li definován hodnot δ(m 0, τ). Množin všeh výpočetníh posloupností Petriho sítě N je zákldem pro definii jzyk Petriho sítě. Příkld 1: N: L(N) = {ε,, }

5 PES Jzyky Petriho sítí p. 5/34 Definie jzyků Petriho sítí Vedle množiny přehodů T zvedeme eedu Petriho sítě Σ zorzení λ: T Σ {ε}, které kždému přehodu sítě přiřdí symol eedy Σ neo prázdný symol ε. Zorzení λ udeme nzývt ohodnoením přehodů (leling) příslušnou Petriho sít ohodnoenou Petriho sítí. Podle tvru zorzení λ rozlišujeme 3 typy ohodnoenýh Petriho sítí: 1. Nejomezenější typ je dán injektivním ohodnoením λ: T Σ: t, t T : λ(t) = λ(t ) t = t Tyto sítě jsou oznčovné jko free-leled Petri nets. 2. Druhý typ nepřipouští ohodnoení prázdným symolem ε: 3. Třetí typ připouští liovolné ohodnoení: λ: T Σ λ: T Σ {ε}

6 PES Jzyky Petriho sítí p. 6/34 Počáteční stv počáteční místo Petriho sítě Dosud jsme z počáteční stv Petriho sítě povžovli liovolné znčení M 0. Pro opere nd jzyky Petriho sítí je vhodné, y počáteční stv yl spojen se znčkou v jediném speiálním místě - počátečním (strtovím) místě p s : M 0 (p s ) = 1 p P \{p s }: M 0 (p) = 0 Ukážeme, že tto modifike fktiky neomezuje výěr počátečního stvu Petriho sítě.

7 PES Jzyky Petriho sítí p. 7/34 Popis trnsforme Uvžujme liovolnou Petriho sít N = (P, T, F, W, K, M 0 ). Ekvivlentní sít N = (P, T, F, W, K, M 0) s počátečním místem p s vytvoříme tkto: 1. P = P {p s } 2. T = T {t s } 3. F = F F ts, kde F ts = {< p s, t s >} {< t s, p > M 0 (p) 0} 4. W je rozšíření váhové fune W : W (p s, t s ) = 1 W (t s, p) = k M 0 (p) = k, k N \{0} 5. K je rozšíření K: K (p s ) = 1 6. M 0: P {p s } N, M 0(p s ) = 1 p P : M 0(p) = 0

8 PES Jzyky Petriho sítí p. 8/34 Příkld 2: Počáteční místo Petriho sítě p s t s w w w i1 i2 ik.. p p p i1 i2 ik N počátku je proveditelný pouze přehod t s. Množiny výpočetníh posloupností sítí N N se liší pouze tím, že kždá výpočetní posloupnost sítě N zčíná symolem t s. Při ohodnoení λ (t s ) = ε t T : λ (t) = λ(t) jsou jzyky sítí N N shodné.

9 PES Jzyky Petriho sítí p. 9/34 Konové stvy typy jzyků Petriho sítě V závislosti n koneptu konového stvu sítě yly definovány 4 typy jzyků Petriho sítí: L,G,T,P Definie 2: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ: T Σ {ε}, s přehodovou funkí δ: [M 0 T [M 0 s množinou konovýh stvů (znčení) Q f [M 0. Jzyk L(N) Σ Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu L. L(N) = {λ(α) α T δ(m 0, α) Q f } Tto definie není zel v souldu se zákldní filozofií Petriho sítí, speiálně s prvidly provádění přehodů sítě. Je-li přehodová funke δ(m, t) definován pro znčení M, pk je tké definován δ(m, t) pro kždé M M.

10 PES Jzyky Petriho sítí p. 10/34 Definie 3: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ, s přehodovou funkí δ s množinou konovýh stvů Q f. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu G. L(N) = {λ(α) α T M f Q f : δ(m 0, α) M f } Definie 4: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ přehodovou funkí δ. 1. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko L(N) = {λ(α) α T δ(m 0, α) [M 0 t T : δ(δ(m 0, α), t) = nedef.} se nzývá jzykem typu T. 2. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu P. L(N) = {λ(α) α T δ(m, α) [M 0 }

11 PES Jzyky Petriho sítí p. 11/34 Uvžujeme-li nyní,že pro kždou ze tříd L ž P mohou ýt vymezeny tři třídy jzyků Petriho sítí podle typu ohodnoení λ, dostáváme elkem dvnát speifikýh tříd. Mezi těmito třídmi existují vzthy vyjádřitelné množinovou inkluzí. Příkld 3: Třídy jzyků Petriho sítí podle typu ohodnoení λ jejih vzájemné vzthy T T T L G P e e e e L G P L G P f f f f Orientovná hrn z A do B vyjdřuje inkluzi B A. Zákldní vzthy: L f L L ε G f G G ε T f T T ε P f P P ε L ε, resp. L, resp. L f znčí třídu jzyků s ohodnoením λ: T Σ {ε}, resp. λ: T Σ, resp. λ: T Σ s injektivním λ (free-leled).

12 PES Jzyky Petriho sítí p. 12/34 Příkld 4: Ilustre různýh typů jzyků Petriho sítí p2 Uvžujme: Q f = {(0, 0, 1, 0)} M 0 = (1, 0, 0, 0) p1 p3 d p4 L-typ: L = { n n n 0} G-typ: L = { m n m n 0} T-typ: L = { m n d m n 0} P-typ: L = { m m 0} { m n m n 0} { m n d m n 0}

13 PES Jzyky Petriho sítí p. 13/34 2. Vlstnosti jzyků Petriho sítí typu L Definie 5: Petriho sít N = (P, T, F, W, M 0, p s, Σ, λ, P f, Q f ) nzveme ohodnoenou Petriho sítí ve stndrdním tvru, jestliže: 1. Složky P, T, F, W, M 0, Σ, Q f mjí dosud užívný význm 2. p s P je počáteční místo tkové, že () M 0 (p s ) = 1 p P \{p s }: M 0 (p) = 0 () t T : < t, p s >/ F 3. λ: T Σ je ohodnoení přehodů sítě 4. P f P je množin konovýh míst { {p f, p s }, jestliže ε L(N) () P f = {p f }, jestliže ε / L(N) () () t T : < p f, t >/ F Je-li M(p f ) > 0 pro nějké M [M 0, pk δ(m, t) je nedefinován pro všehn t T

14 PES Jzyky Petriho sítí p. 14/34 Vět 1: Ke kždé ohodnoené Petriho síti N (typu L) existuje ekvivlentní ohodnoená Petriho sít N ve stndrdním tvru tková, že L(N) = L(N ). Důkz: Viz. skript str Příkld 5: Konstruke Petriho sítě ve stndrdním tvru p r t4 t 5 t3 p f p s Petriho sít N t2

15 PES Jzyky Petriho sítí p. 15/34 Uzávěrové vlstnosti jzyků Petriho sítí Vět 2: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1.L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 3: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 4: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 5: Jzyky Petriho sítí jsou uzvřeny vzhledem k reverzi, tj. je-li L = L(N) jzyk generovný Petriho sítí N, pk existuje Petriho sít N, L(N ) = L R.

16 PES Jzyky Petriho sítí p. 16/34 Příkld 6: Ilustre konktene Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ).L(N 2 ) N : 1 N : 2 P s1 P f1 P s2 P f2 N: P s P f P f1 = P s2

17 PES Jzyky Petriho sítí p. 17/34 Příkld 7: Ilustre sjednoení Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : 1 N: P s1 P f1 P s P f N : 2 P s2 P f2

18 PES Jzyky Petriho sítí p. 18/34 Příkld 8: Ilustre průniku Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : N : P s1 L(N 1 ) = { 3n 2n n > 0} P f1 P s2 L(N 2 ) = { 2n 3n n > 0} P f2 N: 2 3 P s P f 3 2

19 PES Jzyky Petriho sítí p. 19/34 Pro modelování prlelní činnosti dvou Petriho sítí zvedeme speiální operátor prlelní kompozie řetězů jzyků (onurreny opertor), který se oznčuje symolem Definie 6: Neht x 1, x 2 Σ jsou dv řetěze nd eedou Σ neht, Σ. Prlelní kompozii (spojení) dvou řetězů definujeme rekurentně: x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) + (x 1 x 2 ) ε = ε = Prlelní kompozie L 1 L 2 jzyků L 1 L 2 je definován předpisem: L 1 L 2 = {x y: x L 1 y L 2 } Příkld 9: Je-li L 1 = {} L 2 = {}, pk L 1 L 2 = {,, } Vět 6: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí.

20 PES Jzyky Petriho sítí p. 20/34 Příkld 10: Ilustre prlelní kompozie Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : 1 P s1 P f1 N: P s1 P f1 P s P f N : P s2 P f2 P s2 P f2

21 PES Jzyky Petriho sítí p. 21/34 Vět 7: Jzyky Petriho sítí (typu L) jsou uzvřeny vzhledem ke konečnému počtu plikí operí: sjednoení konkteni průniku prlelní kompozii reverzi jzyk Vět 8: Jzyky Petriho sítí nejsou uzvřeny vzhledem k operi itere jzyk. Důležitou operí, popisujíí prinip strke je opere sustitue. Neht L je jzyk do něhož provádíme sustitui, tj. nhrzujeme kždý symol Σ kždé věty x L. Můžeme rozlišit tři typy sustitue: 1. oená sustitue (L je liovolný formální jzyk) 2. konečná sustitue (L je konečný jzyk) 3. homomorfismus (L je tvořen jediným řetězem)

22 PES Jzyky Petriho sítí p. 22/34 Vět 9: Jzyky Petriho sítí nejsou uzvřeny vzhledem k oené sustitui. Důkz: Uvžujme jzyk L = { n n n 1} sustituovný do jzyk L = { i i 1}. L i L jsou zřejmě jzyky Petriho sítí. Výsledkem sustitue je jzyk L = { m 1 m 1... m k m k m i 1, k 1} = L +, ož podle Věty 8 není jzyk Petriho sítí. Vět 10: Neht L 1 je jzyk generovný Petriho sítí L 2 je regulární jzyk. Pk jzyk L, který vznikne konečnou sustituí jzyk L 2 do jzyk L 1, je jzyk generovtelný Petriho sítí.

23 PES Jzyky Petriho sítí p. 23/34 Vzth jzyků Petriho sítí k Chomského hierrhii jzyků Vět 11: Kždý regulární jzyk je jzykem generovným Petriho sítí. Důkz: Je tře ukázt, že ke kždému konečnému utomtu M lze sestrojit ohodnoenou Petriho sít N tk, že L(M) = L(N). Prinip konstruke: p q p = (t) q t Konečný utomt Petriho sít

24 PES Jzyky Petriho sítí p. 24/34 Studujme nyní vzth jzyků Petriho sítí k vyšším třídám Chomského hierrhie. Příkld 11: N: P s P f L(N) = { n n n 1} Příkld 12: N: L(N) = { n n n n 1} P s P f

25 PES Jzyky Petriho sítí p. 25/34 Lemm 1: Jzyk L = {w w R w Σ } není jzykem Petriho sítí. Důkz: Nejprve odvodíme nutnou podmínku pro mohutnost stvového prostoru Petriho sítě generujíí jzyk L pk ukážeme, že tto podmínk nemůže ýt splněn. Předpokládejme tedy, že existuje Petriho sít N tková, že L = L(N). Neht Σ = k, k > 1 uvžujme řetěze xx R L, x = r. Protože existuje k r různýh možnýh řetězů x, musí stvový prostor Petriho sítě N oshovt lespoň k r různýh stvů (dostupnýh znčení) tk, y provedení r přehodů generujííh řetěze x vedlo k jednoznčnému zpmtování struktury řetěze x. Skutečně, pokud yhom disponovli menším počtem stvů, pk y pro jisté řetěze x 1 x 2 pltilo δ(m 0, x 1 ) = δ(m 0, x 2 ) pro x 1 x 2. Pk le δ(m 0, x 1 x R 2 ) = δ(δ(m 0, x 1 ), x R 2 ) = δ(δ(m 0, x 2 )x R 2 ) = δ(m 0, x 2 x R 2 ) Q f tedy y pltilo x 1 x R 2 L pro x 1 x 2, ož je spor s definií jzyk L.

26 PES Jzyky Petriho sítí p. 26/34 Důkz: (pokrčování) Nyní všk ukážeme, že podmínk, y provedení výpočetní posloupnosti délky r ktulizovlo liovolný ze stvů množiny o mohutnosti k r, je nesplnitelná. Uvžujme tkovouto výpočetní posloupnost: M 0 [t 1 M 1 [t 2... [t r M r předpokládejme, že množin přehodů T Petriho sítě N má mohutnost T = m. Znčení M r můžeme vyjádřit ve tvru: M r = M 0 + N.u kde N je mtie změn Petriho sítě u je vektor u : T N se složkmi u(t) = {i t i = t 1 i r} Zřejmě pltí: u(t) = r t T

27 PES Jzyky Petriho sítí p. 27/34 Důkz: (pokrčování) V nejlepším přípdě kždý z vektorů u splňujíí tuto podmínku generuje různý stv M r. K vyčíslení počtu různýh vektorůu použijeme vzth pro počet rozkldů čísl r N n m nezápornýh eločíselnýh členů (dávjíí v součtu r), který je roven kominčnímu číslu: ( r + m 1 m 1 ) Protože ( r + m 1 m 1 ) = (r + m 1)... (r + 1) (m + 1)! < (r + m) m je počet dosžitelnýh stvů po provedení r přehodů ostře menší než (r + m) m. Pro dosttečně velké r pk pltí (r + m) m < k r nutná podmínk pro generování řetěze xx R tedy není splněn (spor s poždovnou velikostí stvového prostoru). Jzyk L tedy není jzykem Petriho sítí.

28 PES Jzyky Petriho sítí p. 28/34 Důkz: (pokrčování) Závěr: Nekomptiilit stvovýh prostorů Petriho sítí zásoníkovýh utomtů: Petriho sítě - komintoriky rostouí počet dostupnýh stvů Zásoníkové utomty - exponeniálně rostouí počet dostupnýh stvů N druhé strně odlišnosti v řízení : Petriho sítě - liovolný čítč (místo) Zásoníkové utomty - vrhol zásoníku

29 PES Jzyky Petriho sítí p. 29/34 Definie 7: Bezkontextový jzyk L se nzývá omezeným ezkontextovým jzykem (ounded ontext free lnguge) nd eedou Σ, jestliže existují řetěze w 1, w 2,..., w n Σ tkové, že L w 1w 2... w n Vět 12: Tříd omezenýh ezkontextovýh jzyků je nejmenší tříd jzyků splňujíí podmínky: (1) Je-li B konečná podmnožin množiny Σ, pk B je omezený ezkontextový jzyk. (2) Jsou-li B 1 B 2 omezené ezkontextové jzyky, pk B 1 B 2, B 1.B 2 jsou omezené ezkontextové jzyky. (3) Je-li B omezený ezkontextový jzyk x, y Σ, pk jzyk {x i By i i 0} je omezený ezkontextový jzyk.

30 PES Jzyky Petriho sítí p. 30/34 Vět 13: Kždý omezený ezkontextový jzyk je jzykem generovným Petriho sítí. Důkz: K důkzu využijeme tvrzení předhozí Věty 12. Ukážeme, že kždá z podmínek (1) ž (3) pltí v určité podtřídě jzyků Petriho sítí tudíž existuje podtříd jzyků Petriho sítí, které generují právě omezené ezkontextové jzyky. () () () Jzyk splňujíí (1) je regulární tedy je jzykem Petriho sítí. Podmínk (2) je splněn pro všehny jzyky Petriho sítí. Ayhom ukázli, že je splněn i podmínk (3), popíšeme konstruki Petriho sítě generujíí jzyk {x i By i i 0}. Předpokládejme, že jzyk B je generován Petriho sítí N (Příkld 13) ve stndrdním tvru neht x = x 1 x 2... x n y = y 1 y 2... y m.

31 PES Jzyky Petriho sítí p. 31/34 Příkld 13: Petriho sít generujíí omezený ezkontextový jzyk P s... Petriho sít N x 1 p x 2 x n L(N) = B y 1 y 2 y m P f... Pomoné místo p má funki čítče. Kždé generování řetěze x = x 1 x 2... x n zvýší počet znček míst p o jedničku. Protože konový stv sítě vyžduje znčku pouze v místě p f, je tedy řetěze y = y 1 y 2... y m generován právě tolikrát, kolikrát yl generován řetěze x.

32 PES Jzyky Petriho sítí p. 32/34 Vět 13: Všehny jzyky Petriho sítí jsou kontextové jzyky. Důkz: Ukžme, že jzyk L Petriho sítě N může ýt přijímán lineárně omezeným Turingovým strojem. Neht pásk Turingov stroje uhovává momentální znčení kždého míst Petriho sítě N. Po přečtení vstupního symolu je simulováno provedení příslušného přehodu, tj. změn znčení některýh míst. Kvntifikujme využívnou část pásky elkovým součtem S všeh znček všeh míst zkoumejme, jk se tento součet mění v závislosti n déle vstupního řetěze. Neht vstupnímu řetězi délky k 1 odpovídá výpočetní posloupnost t 1 t 2... t k provedenýh přehodů Petriho sítě N. Oznčme d t počet znček, kterým přispívá přehod t (jeho provedení) k elkovému počtu znček sítě. Zřejmě pltí: d t = p t W(t, p) p t W(p, t)

33 PES Jzyky Petriho sítí p. 33/34 Důkz: (pokrčování) Pk počet znček S po provedení výpočetní posloupnosti t 1... t k lze vyjádřit ve tvru: S = 1 + k i=1 d ti Z definie Petriho sítě plyne existene mxim: m = mx t T d t S jehož využitím lze hodnoty S ohrničit v závislosti n déle výpočetní posloupnosti k tudíž i vstupního řetěze funkí: S(k) 1 + k.m Což je lineární funke nezávislé proměnné k příslušný Turingův stroj je tedy lineárně omezený.

34 PES Jzyky Petriho sítí p. 34/34 Příkld 14: Vzth jzyků Petriho sítí jzyků Chomského hierrhie Jzyky typu 0 Kontextové jzyky Omezené ezkontextové jzyky Jzyky Petriho sítí Bezkontextové jzyky Regulární jzyky Otázk: Čím lze rozšířit modeloví shopnost Petriho sítí?

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111.

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111. Grmtiky. Vytvořte grmtiku generující množinu řetězů { n m } pro n, m N {} tková, že n m. Pomocí této grmtiky derivujte řetezy,. 2. Grmtik je dán prvidly S ɛ S A A S B B A B. Je regulární? Pokud ne, n regulární

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I .4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek Sírk příkldů do IFJ Petr Zemek 11. ledn 2012 Osh Předmluv 1 1 Aeedy, řetěze jzyky 3 2 Úvod do překldčů 5 3 Modely regulárníh jzyků 6 4 Speiální konečné utomty 8 5 Lexikální nlýz 10 6 Modely ezkontextovýh

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí 3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu:

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Výfučtení: Goniometrické funkce

Výfučtení: Goniometrické funkce Výfučtení: Goniometriké funke Tentokrát se seriál ude zývt spíše mtemtikým než fyzikálním témtem. Pokud počítáte nějkou úlohu, ve které vystupují síly, tk je potřeujete dost čsto rozložit n součet dopočítt

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny.

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny. 4.3.9 Sinus ostrého úhlu I Předpokldy: 040308 Správně vyplněné hodnoty funke z minulé hodiny. α 10 20 30 40 50 60 70 80 poměr 0,17 0,34 0,50 0,64 0,77 0,87 0,94 0,98 Funke poměr se nzývá sinus x (zkráeně

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28 Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení...

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení... Osh Úvod 1 1 Teoretická informtik 2 1.1 Vznik vývoj teoretické informtiky................... 2 1.1.1 Mtemtik............................. 2 1.1.2 Jzykověd............................. 5 1.1.3 Biologie...............................

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN pevné látky jsou chrkterizovány omezeným pohybem zákldních stvebních částic (tomů, iontů, molekul) kolem rovnovážných poloh PEVNÉ LÁTKY krystlické morfní KRYSTAL pevné

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka

Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Tehniká dokumente ng Lukáš Proházk Tém: hlvní část dokumentu, orázky, tulky grfy 1) Osh hlvní části dokumentu ) Orázky, tulky grfy ) Vzore rovnie Hlvní část dokumentu Hlvní část dokumentu je řzen v následujíím

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Sírk příkldů pro cvičení II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv 24. listopdu 2016 Anotce:

Více

Evropská unie Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropská unie Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropská unie Evropský soiální fon Prh & EU: Investujeme o vší uounosti ávrh čítče jko utomtu Osh ÁVRH ČÍAČE JAKO AUOMAU.... SYCHROÍ A ASYCHROÍ AUOMA..... Výstupy utomtu mohou ýt přímo ity pměti stvu.....

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Tangens a kotangens

Tangens a kotangens 4.3.12 Tngens kotngens Předpokldy: 040311 Př. 1: Úhel, pod kterým je možné ze pozorovt vrhol věže ze vzdálenosti 19 m od její pty, yl změřen n 53 od vodorovné roviny. Jk je věž vysoká? h 53 19 m Z orázku

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II 1.7.4 Výšky v trojúhelníku II Předpokldy: 010703 Opkování z minulé hodiny Výšk trojúhelníku: úsečk, která spojuje vrhol trojúhelníku s ptou kolmie n protější strnu. 0 0 v v 0 Př. 1: Nrýsuj trojúhelník

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. / TROJÚHELNÍK Trojúhelník, vlstnosti trojúhelníků Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přitom ody A, B, C jsou různé neleží v jedné příme. Trojúhelník ABC zpisujeme symoliky ABC. Symoliky píšeme:

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Pájený tepelný výměník XB

Pájený tepelný výměník XB Popis Řd tepelných výměníků XB s mědí pájenou deskou je určen k použití v systémech dálkového vytápění (DH) neo chlzení (DC), npříkld pro výrou užitkové teplé vody, jko pomocné topné stnice k oddělení

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Ing. Bc. Michl Mlík, Ing. Bc. Jiří Prims ECHNICKÁ UNIVERZIA V LIBERCI Fkult mechtroniky, informtiky mezioborových studií ento mteriál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinncován

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

3 NÁHODNÁ VELIČINA. Čas ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět

3 NÁHODNÁ VELIČINA. Čas ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět NÁHODNÁ VELIČINA Čs ke studiu kpitol: 8 minut Cíl: o studování tohoto odstvce udete umět oecně popst náhodnou veličinu pomocí distriuční funkce chrkterizovt diskrétní i spojitou náhodnou veličinu porozumět

Více

Goniometrické funkce obecného úhlu

Goniometrické funkce obecného úhlu 0 Goniometrické funkce oecného úhlu V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce,, tg, cotg liovolného úhlu tkto: α α tg α cotg α Význmné hodnoty gon. funkcí 0 0 60 90 α 0 α 0 tg α 0 nedef. cotg

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY 1. Mezinárodní soustv jednotek SI Slovo fyzik je odvozeno z řeckého slov fysis, které znmená přírod. Abychom správně

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I.

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I. EKONOMETRIE. přednáška Modely hování výrobe I. analýza raionálního hování firmy při rozhodování o objemu výroby, vstupů a nákladů při maimalizai zisku základní prinip při rozhodování výrobů Produkční funke

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204 3..5 ythgoro ět, Euklidoy ěty I ředpokldy: 1107, 304 roúhlý trojúhelník = trojúhelník s nitřním úhlem 90 (s prým nitřním úhlem) prý úhel je z nitřníh úhlů nejětší (zýjíí d musí dát dohromdy tké 90 ) strn

Více

11. Projektivní prostor

11. Projektivní prostor 11. Projektivní prostor Definice 11.1. Nechť V je vektorový prostor dimenze n. Projektivním prostorem P(V) dimenze n 1rozumímemnožinusměrůve V,neoli P(V)={ v v V, v o}, dim(p(v))=dim(v) 1. Říkáme,žeprojektivníprostor

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Orgnizční záležitosti Přednášk: n weu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk/utomty) Proč chodit n přednášku? Cvičení: dozvíte

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více