Petriho sítě PES 2007/2008. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz"

Transkript

1 PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze ) FIT, VUT v Brně, Božetěhov 2, CZ Brno

2 Jzyky Petriho sítí PES Jzyky Petriho sítí p. 2/34

3 PES Jzyky Petriho sítí p. 3/34 1. Zákldní pojmy Formálně lze pojem jzyk Petriho sítě zvést s využitím zoeněné přehodové funke Petriho sítě: Definie 1: Neht N = (P, T, F, W, K, M 0 ) je Petriho sít [M 0 její množin dosžitelnýh znčení. Přehodovou funkí Petriho sítě N nzveme funki δ: δ: [M 0 T [M 0, pro kterou t T : M, M [M 0 : δ(m, t) = M def. M[t M Přehodová funke δ může ýt zoeněn n posloupnosti přehodů: δ: [M 0 T [M 0 tkto: δ(m, tτ) = δ(δ(m, t), τ), τ T, t T δ(m, ε) = M, kde ε je prázdný řetěze

4 PES Jzyky Petriho sítí p. 4/34 Posloupnost (řetěze) τ T + nzveme výpočetní posloupností sítě N, je-li definován hodnot δ(m 0, τ). Množin všeh výpočetníh posloupností Petriho sítě N je zákldem pro definii jzyk Petriho sítě. Příkld 1: N: L(N) = {ε,, }

5 PES Jzyky Petriho sítí p. 5/34 Definie jzyků Petriho sítí Vedle množiny přehodů T zvedeme eedu Petriho sítě Σ zorzení λ: T Σ {ε}, které kždému přehodu sítě přiřdí symol eedy Σ neo prázdný symol ε. Zorzení λ udeme nzývt ohodnoením přehodů (leling) příslušnou Petriho sít ohodnoenou Petriho sítí. Podle tvru zorzení λ rozlišujeme 3 typy ohodnoenýh Petriho sítí: 1. Nejomezenější typ je dán injektivním ohodnoením λ: T Σ: t, t T : λ(t) = λ(t ) t = t Tyto sítě jsou oznčovné jko free-leled Petri nets. 2. Druhý typ nepřipouští ohodnoení prázdným symolem ε: 3. Třetí typ připouští liovolné ohodnoení: λ: T Σ λ: T Σ {ε}

6 PES Jzyky Petriho sítí p. 6/34 Počáteční stv počáteční místo Petriho sítě Dosud jsme z počáteční stv Petriho sítě povžovli liovolné znčení M 0. Pro opere nd jzyky Petriho sítí je vhodné, y počáteční stv yl spojen se znčkou v jediném speiálním místě - počátečním (strtovím) místě p s : M 0 (p s ) = 1 p P \{p s }: M 0 (p) = 0 Ukážeme, že tto modifike fktiky neomezuje výěr počátečního stvu Petriho sítě.

7 PES Jzyky Petriho sítí p. 7/34 Popis trnsforme Uvžujme liovolnou Petriho sít N = (P, T, F, W, K, M 0 ). Ekvivlentní sít N = (P, T, F, W, K, M 0) s počátečním místem p s vytvoříme tkto: 1. P = P {p s } 2. T = T {t s } 3. F = F F ts, kde F ts = {< p s, t s >} {< t s, p > M 0 (p) 0} 4. W je rozšíření váhové fune W : W (p s, t s ) = 1 W (t s, p) = k M 0 (p) = k, k N \{0} 5. K je rozšíření K: K (p s ) = 1 6. M 0: P {p s } N, M 0(p s ) = 1 p P : M 0(p) = 0

8 PES Jzyky Petriho sítí p. 8/34 Příkld 2: Počáteční místo Petriho sítě p s t s w w w i1 i2 ik.. p p p i1 i2 ik N počátku je proveditelný pouze přehod t s. Množiny výpočetníh posloupností sítí N N se liší pouze tím, že kždá výpočetní posloupnost sítě N zčíná symolem t s. Při ohodnoení λ (t s ) = ε t T : λ (t) = λ(t) jsou jzyky sítí N N shodné.

9 PES Jzyky Petriho sítí p. 9/34 Konové stvy typy jzyků Petriho sítě V závislosti n koneptu konového stvu sítě yly definovány 4 typy jzyků Petriho sítí: L,G,T,P Definie 2: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ: T Σ {ε}, s přehodovou funkí δ: [M 0 T [M 0 s množinou konovýh stvů (znčení) Q f [M 0. Jzyk L(N) Σ Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu L. L(N) = {λ(α) α T δ(m 0, α) Q f } Tto definie není zel v souldu se zákldní filozofií Petriho sítí, speiálně s prvidly provádění přehodů sítě. Je-li přehodová funke δ(m, t) definován pro znčení M, pk je tké definován δ(m, t) pro kždé M M.

10 PES Jzyky Petriho sítí p. 10/34 Definie 3: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ, s přehodovou funkí δ s množinou konovýh stvů Q f. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu G. L(N) = {λ(α) α T M f Q f : δ(m 0, α) M f } Definie 4: Neht N je Petriho sít s počátečním znčením M 0, s ohodnoením přehodů λ přehodovou funkí δ. 1. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko L(N) = {λ(α) α T δ(m 0, α) [M 0 t T : δ(δ(m 0, α), t) = nedef.} se nzývá jzykem typu T. 2. Jzyk L(N) Petriho sítě N definovný jko se nzývá jzykem typu P. L(N) = {λ(α) α T δ(m, α) [M 0 }

11 PES Jzyky Petriho sítí p. 11/34 Uvžujeme-li nyní,že pro kždou ze tříd L ž P mohou ýt vymezeny tři třídy jzyků Petriho sítí podle typu ohodnoení λ, dostáváme elkem dvnát speifikýh tříd. Mezi těmito třídmi existují vzthy vyjádřitelné množinovou inkluzí. Příkld 3: Třídy jzyků Petriho sítí podle typu ohodnoení λ jejih vzájemné vzthy T T T L G P e e e e L G P L G P f f f f Orientovná hrn z A do B vyjdřuje inkluzi B A. Zákldní vzthy: L f L L ε G f G G ε T f T T ε P f P P ε L ε, resp. L, resp. L f znčí třídu jzyků s ohodnoením λ: T Σ {ε}, resp. λ: T Σ, resp. λ: T Σ s injektivním λ (free-leled).

12 PES Jzyky Petriho sítí p. 12/34 Příkld 4: Ilustre různýh typů jzyků Petriho sítí p2 Uvžujme: Q f = {(0, 0, 1, 0)} M 0 = (1, 0, 0, 0) p1 p3 d p4 L-typ: L = { n n n 0} G-typ: L = { m n m n 0} T-typ: L = { m n d m n 0} P-typ: L = { m m 0} { m n m n 0} { m n d m n 0}

13 PES Jzyky Petriho sítí p. 13/34 2. Vlstnosti jzyků Petriho sítí typu L Definie 5: Petriho sít N = (P, T, F, W, M 0, p s, Σ, λ, P f, Q f ) nzveme ohodnoenou Petriho sítí ve stndrdním tvru, jestliže: 1. Složky P, T, F, W, M 0, Σ, Q f mjí dosud užívný význm 2. p s P je počáteční místo tkové, že () M 0 (p s ) = 1 p P \{p s }: M 0 (p) = 0 () t T : < t, p s >/ F 3. λ: T Σ je ohodnoení přehodů sítě 4. P f P je množin konovýh míst { {p f, p s }, jestliže ε L(N) () P f = {p f }, jestliže ε / L(N) () () t T : < p f, t >/ F Je-li M(p f ) > 0 pro nějké M [M 0, pk δ(m, t) je nedefinován pro všehn t T

14 PES Jzyky Petriho sítí p. 14/34 Vět 1: Ke kždé ohodnoené Petriho síti N (typu L) existuje ekvivlentní ohodnoená Petriho sít N ve stndrdním tvru tková, že L(N) = L(N ). Důkz: Viz. skript str Příkld 5: Konstruke Petriho sítě ve stndrdním tvru p r t4 t 5 t3 p f p s Petriho sít N t2

15 PES Jzyky Petriho sítí p. 15/34 Uzávěrové vlstnosti jzyků Petriho sítí Vět 2: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1.L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 3: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 4: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí. Vět 5: Jzyky Petriho sítí jsou uzvřeny vzhledem k reverzi, tj. je-li L = L(N) jzyk generovný Petriho sítí N, pk existuje Petriho sít N, L(N ) = L R.

16 PES Jzyky Petriho sítí p. 16/34 Příkld 6: Ilustre konktene Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ).L(N 2 ) N : 1 N : 2 P s1 P f1 P s2 P f2 N: P s P f P f1 = P s2

17 PES Jzyky Petriho sítí p. 17/34 Příkld 7: Ilustre sjednoení Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : 1 N: P s1 P f1 P s P f N : 2 P s2 P f2

18 PES Jzyky Petriho sítí p. 18/34 Příkld 8: Ilustre průniku Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : N : P s1 L(N 1 ) = { 3n 2n n > 0} P f1 P s2 L(N 2 ) = { 2n 3n n > 0} P f2 N: 2 3 P s P f 3 2

19 PES Jzyky Petriho sítí p. 19/34 Pro modelování prlelní činnosti dvou Petriho sítí zvedeme speiální operátor prlelní kompozie řetězů jzyků (onurreny opertor), který se oznčuje symolem Definie 6: Neht x 1, x 2 Σ jsou dv řetěze nd eedou Σ neht, Σ. Prlelní kompozii (spojení) dvou řetězů definujeme rekurentně: x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) + (x 1 x 2 ) ε = ε = Prlelní kompozie L 1 L 2 jzyků L 1 L 2 je definován předpisem: L 1 L 2 = {x y: x L 1 y L 2 } Příkld 9: Je-li L 1 = {} L 2 = {}, pk L 1 L 2 = {,, } Vět 6: Neht L 1 L 2 jsou dv jzyky generovné Petriho sítěmi. Pk jzyk L = L 1 L 2 je tké jzykem generovným Petriho sítí.

20 PES Jzyky Petriho sítí p. 20/34 Příkld 10: Ilustre prlelní kompozie Petriho sítí, L(N) = L(N 1 ) L(N 2 ) N : 1 P s1 P f1 N: P s1 P f1 P s P f N : P s2 P f2 P s2 P f2

21 PES Jzyky Petriho sítí p. 21/34 Vět 7: Jzyky Petriho sítí (typu L) jsou uzvřeny vzhledem ke konečnému počtu plikí operí: sjednoení konkteni průniku prlelní kompozii reverzi jzyk Vět 8: Jzyky Petriho sítí nejsou uzvřeny vzhledem k operi itere jzyk. Důležitou operí, popisujíí prinip strke je opere sustitue. Neht L je jzyk do něhož provádíme sustitui, tj. nhrzujeme kždý symol Σ kždé věty x L. Můžeme rozlišit tři typy sustitue: 1. oená sustitue (L je liovolný formální jzyk) 2. konečná sustitue (L je konečný jzyk) 3. homomorfismus (L je tvořen jediným řetězem)

22 PES Jzyky Petriho sítí p. 22/34 Vět 9: Jzyky Petriho sítí nejsou uzvřeny vzhledem k oené sustitui. Důkz: Uvžujme jzyk L = { n n n 1} sustituovný do jzyk L = { i i 1}. L i L jsou zřejmě jzyky Petriho sítí. Výsledkem sustitue je jzyk L = { m 1 m 1... m k m k m i 1, k 1} = L +, ož podle Věty 8 není jzyk Petriho sítí. Vět 10: Neht L 1 je jzyk generovný Petriho sítí L 2 je regulární jzyk. Pk jzyk L, který vznikne konečnou sustituí jzyk L 2 do jzyk L 1, je jzyk generovtelný Petriho sítí.

23 PES Jzyky Petriho sítí p. 23/34 Vzth jzyků Petriho sítí k Chomského hierrhii jzyků Vět 11: Kždý regulární jzyk je jzykem generovným Petriho sítí. Důkz: Je tře ukázt, že ke kždému konečnému utomtu M lze sestrojit ohodnoenou Petriho sít N tk, že L(M) = L(N). Prinip konstruke: p q p = (t) q t Konečný utomt Petriho sít

24 PES Jzyky Petriho sítí p. 24/34 Studujme nyní vzth jzyků Petriho sítí k vyšším třídám Chomského hierrhie. Příkld 11: N: P s P f L(N) = { n n n 1} Příkld 12: N: L(N) = { n n n n 1} P s P f

25 PES Jzyky Petriho sítí p. 25/34 Lemm 1: Jzyk L = {w w R w Σ } není jzykem Petriho sítí. Důkz: Nejprve odvodíme nutnou podmínku pro mohutnost stvového prostoru Petriho sítě generujíí jzyk L pk ukážeme, že tto podmínk nemůže ýt splněn. Předpokládejme tedy, že existuje Petriho sít N tková, že L = L(N). Neht Σ = k, k > 1 uvžujme řetěze xx R L, x = r. Protože existuje k r různýh možnýh řetězů x, musí stvový prostor Petriho sítě N oshovt lespoň k r různýh stvů (dostupnýh znčení) tk, y provedení r přehodů generujííh řetěze x vedlo k jednoznčnému zpmtování struktury řetěze x. Skutečně, pokud yhom disponovli menším počtem stvů, pk y pro jisté řetěze x 1 x 2 pltilo δ(m 0, x 1 ) = δ(m 0, x 2 ) pro x 1 x 2. Pk le δ(m 0, x 1 x R 2 ) = δ(δ(m 0, x 1 ), x R 2 ) = δ(δ(m 0, x 2 )x R 2 ) = δ(m 0, x 2 x R 2 ) Q f tedy y pltilo x 1 x R 2 L pro x 1 x 2, ož je spor s definií jzyk L.

26 PES Jzyky Petriho sítí p. 26/34 Důkz: (pokrčování) Nyní všk ukážeme, že podmínk, y provedení výpočetní posloupnosti délky r ktulizovlo liovolný ze stvů množiny o mohutnosti k r, je nesplnitelná. Uvžujme tkovouto výpočetní posloupnost: M 0 [t 1 M 1 [t 2... [t r M r předpokládejme, že množin přehodů T Petriho sítě N má mohutnost T = m. Znčení M r můžeme vyjádřit ve tvru: M r = M 0 + N.u kde N je mtie změn Petriho sítě u je vektor u : T N se složkmi u(t) = {i t i = t 1 i r} Zřejmě pltí: u(t) = r t T

27 PES Jzyky Petriho sítí p. 27/34 Důkz: (pokrčování) V nejlepším přípdě kždý z vektorů u splňujíí tuto podmínku generuje různý stv M r. K vyčíslení počtu různýh vektorůu použijeme vzth pro počet rozkldů čísl r N n m nezápornýh eločíselnýh členů (dávjíí v součtu r), který je roven kominčnímu číslu: ( r + m 1 m 1 ) Protože ( r + m 1 m 1 ) = (r + m 1)... (r + 1) (m + 1)! < (r + m) m je počet dosžitelnýh stvů po provedení r přehodů ostře menší než (r + m) m. Pro dosttečně velké r pk pltí (r + m) m < k r nutná podmínk pro generování řetěze xx R tedy není splněn (spor s poždovnou velikostí stvového prostoru). Jzyk L tedy není jzykem Petriho sítí.

28 PES Jzyky Petriho sítí p. 28/34 Důkz: (pokrčování) Závěr: Nekomptiilit stvovýh prostorů Petriho sítí zásoníkovýh utomtů: Petriho sítě - komintoriky rostouí počet dostupnýh stvů Zásoníkové utomty - exponeniálně rostouí počet dostupnýh stvů N druhé strně odlišnosti v řízení : Petriho sítě - liovolný čítč (místo) Zásoníkové utomty - vrhol zásoníku

29 PES Jzyky Petriho sítí p. 29/34 Definie 7: Bezkontextový jzyk L se nzývá omezeným ezkontextovým jzykem (ounded ontext free lnguge) nd eedou Σ, jestliže existují řetěze w 1, w 2,..., w n Σ tkové, že L w 1w 2... w n Vět 12: Tříd omezenýh ezkontextovýh jzyků je nejmenší tříd jzyků splňujíí podmínky: (1) Je-li B konečná podmnožin množiny Σ, pk B je omezený ezkontextový jzyk. (2) Jsou-li B 1 B 2 omezené ezkontextové jzyky, pk B 1 B 2, B 1.B 2 jsou omezené ezkontextové jzyky. (3) Je-li B omezený ezkontextový jzyk x, y Σ, pk jzyk {x i By i i 0} je omezený ezkontextový jzyk.

30 PES Jzyky Petriho sítí p. 30/34 Vět 13: Kždý omezený ezkontextový jzyk je jzykem generovným Petriho sítí. Důkz: K důkzu využijeme tvrzení předhozí Věty 12. Ukážeme, že kždá z podmínek (1) ž (3) pltí v určité podtřídě jzyků Petriho sítí tudíž existuje podtříd jzyků Petriho sítí, které generují právě omezené ezkontextové jzyky. () () () Jzyk splňujíí (1) je regulární tedy je jzykem Petriho sítí. Podmínk (2) je splněn pro všehny jzyky Petriho sítí. Ayhom ukázli, že je splněn i podmínk (3), popíšeme konstruki Petriho sítě generujíí jzyk {x i By i i 0}. Předpokládejme, že jzyk B je generován Petriho sítí N (Příkld 13) ve stndrdním tvru neht x = x 1 x 2... x n y = y 1 y 2... y m.

31 PES Jzyky Petriho sítí p. 31/34 Příkld 13: Petriho sít generujíí omezený ezkontextový jzyk P s... Petriho sít N x 1 p x 2 x n L(N) = B y 1 y 2 y m P f... Pomoné místo p má funki čítče. Kždé generování řetěze x = x 1 x 2... x n zvýší počet znček míst p o jedničku. Protože konový stv sítě vyžduje znčku pouze v místě p f, je tedy řetěze y = y 1 y 2... y m generován právě tolikrát, kolikrát yl generován řetěze x.

32 PES Jzyky Petriho sítí p. 32/34 Vět 13: Všehny jzyky Petriho sítí jsou kontextové jzyky. Důkz: Ukžme, že jzyk L Petriho sítě N může ýt přijímán lineárně omezeným Turingovým strojem. Neht pásk Turingov stroje uhovává momentální znčení kždého míst Petriho sítě N. Po přečtení vstupního symolu je simulováno provedení příslušného přehodu, tj. změn znčení některýh míst. Kvntifikujme využívnou část pásky elkovým součtem S všeh znček všeh míst zkoumejme, jk se tento součet mění v závislosti n déle vstupního řetěze. Neht vstupnímu řetězi délky k 1 odpovídá výpočetní posloupnost t 1 t 2... t k provedenýh přehodů Petriho sítě N. Oznčme d t počet znček, kterým přispívá přehod t (jeho provedení) k elkovému počtu znček sítě. Zřejmě pltí: d t = p t W(t, p) p t W(p, t)

33 PES Jzyky Petriho sítí p. 33/34 Důkz: (pokrčování) Pk počet znček S po provedení výpočetní posloupnosti t 1... t k lze vyjádřit ve tvru: S = 1 + k i=1 d ti Z definie Petriho sítě plyne existene mxim: m = mx t T d t S jehož využitím lze hodnoty S ohrničit v závislosti n déle výpočetní posloupnosti k tudíž i vstupního řetěze funkí: S(k) 1 + k.m Což je lineární funke nezávislé proměnné k příslušný Turingův stroj je tedy lineárně omezený.

34 PES Jzyky Petriho sítí p. 34/34 Příkld 14: Vzth jzyků Petriho sítí jzyků Chomského hierrhie Jzyky typu 0 Kontextové jzyky Omezené ezkontextové jzyky Jzyky Petriho sítí Bezkontextové jzyky Regulární jzyky Otázk: Čím lze rozšířit modeloví shopnost Petriho sítí?

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek Sírk příkldů do IFJ Petr Zemek 11. ledn 2012 Osh Předmluv 1 1 Aeedy, řetěze jzyky 3 2 Úvod do překldčů 5 3 Modely regulárníh jzyků 6 4 Speiální konečné utomty 8 5 Lexikální nlýz 10 6 Modely ezkontextovýh

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I.

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I. EKONOMETRIE. přednáška Modely hování výrobe I. analýza raionálního hování firmy při rozhodování o objemu výroby, vstupů a nákladů při maimalizai zisku základní prinip při rozhodování výrobů Produkční funke

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ SMLOUVA O REZERVACI POZEMKU A SMLOUVA O BUDOUCÍ SMLOUVĚ O DÍLO Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: 1. EURO DEVELOPMENT JESENICE, s.r.o., IČ 282 44 451, se sídlem Ječná 550/1, Prh 2, PSČ 120 00, zpsná

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

3.4.12 Konstrukce na základě výpočtu II

3.4.12 Konstrukce na základě výpočtu II 3.4. Konstruk n záklě výpočtu II Přpokly: 34 Př. : J án úsčk o jnotkové él úsčky o élkáh,, >. Nrýsuj: ) úsčku o él = +, ) úsčku o él Při rýsování si élky úsčk, vhoně zvol. =. Prolém: O výrzy ni náhoou

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

dvojice těchto prvků. Takto si můžeme například i znázorňovat možnosti jak cestovat z

dvojice těchto prvků. Takto si můžeme například i znázorňovat možnosti jak cestovat z Grfy V této kpitole e enámíme e ákldními pojmy teorie grfů, ukážeme i možnoti jejih použití tké e enámíme některými lgoritmy, které řeší úlohy teorie grfů. Grfy louží čto jko protředek k lepšímu poroumění

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Národní centrum výzkumu polárních oblastí

Národní centrum výzkumu polárních oblastí Národní centrum výzkumu polárních oblstí Dohod o spolupráci při výzkumu polárních oblstí Země Msrykov univerzit Žerotínovo nám. 9, 601 77 Brno, IČ 00216224, zstoupená rektorem Prof. PhDr. Petrem Filou,

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Word praktická cvičení

Word praktická cvičení Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: Informční.. Ing. Andre komunikční (podle ooru Květen 03 Modrovská tehnologie změření) Název zprovného elku: Textový proesor Word prktiká vičení Word prktiká vičení Tento

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: KOPPA, v.o.s., se sídlem Mozrtov 679/21, 460 01 Liberec, ustnovená prvomocným Usnesením č.j. KSUL 44 INS 5060/2014-A-13, ze dne 04. dubn 2014, insolvenčním správcem

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: se sídlem: Koterovská 633/29, 326 00 Plzeň, ustnovený prvomocným Usnesením č.j. KSPL 54 INS 378/2012-A-19 ze dne 29.3.2012, insolvenčním správcem dlužník:. prvomocným

Více

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita Stbilit tomového jádr Rdioktivit Proton Kldný náboj.67 0-7 kg Stbilní Atomové jádro Protony & Neutrony Neutron Bez náboje.67 0-7 kg Dlouhodobě stbilní jen v jádře Struktur jádr A Z N A nukleonové číslo

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

dodatek č. 1 ke smlouvě o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli

dodatek č. 1 ke smlouvě o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli 1. Zdeněk Berntík, nr. 14.5.1954 Jrmil Berntíková, nr. 30.12.1956 ob bytem Stroveská 270/87, Ostrv-Proskovice ob jko Smluvní strn 1 2. Tělovýchovná jednot Petřvld

Více

É ÍČ úýě Ú ř Ě č ř ž ř š š š ú ý č č ýň Ú ž š č ž ž č š č č ž š š š č ž ž ž š š š š š ň š ž š ž ž č č č č ž š Ú č ž ž š š ž š ž š č š č č š š ť ť ž ž Ť ž ž č ž č Š č č č č ž č ž č ž č š š č č š ó ž č ú

Více

e Stavby pro reklamu podle 3 odst. 2. f

e Stavby pro reklamu podle 3 odst. 2. f Jenouhé stvy, terénní úprvy uržoví práe vyžujíí ohlášení 104 ost. 1 stveního zákon Stvení záměr Formulář Umístění Stvy pro ylení pro roinnou rekrei o 150 m 2 elkové zstvěné plohy, s jením pozemním polžím

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

grafický manuál květen 2004 verze 1.0

grafický manuál květen 2004 verze 1.0 květen 2004 verze 1.0 grfický mnuál Úvodní slovo Tento dokument slouží jko mnuál pro používání log Fondu soudržnosti. Součástí mnuálu je i zákldní grfický design pro tištěné elektronické mteriály sloužící

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM Ing. Michl Sedláček, Ph.D. ko-k s.r.o., Thákurov 7, Prh 6 Sptil erth pressure on circulr shft The pper present method for estimtion sptil erth pressure

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM homogenizace (směšovací pravidla)

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM homogenizace (směšovací pravidla) KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE 23TVVM hoogenizce (sěšovcí prvidl) Hoogenizce Stvební teriály sou z hledisk zstoupení doinntních složek několikfázové systéy: Dvoufázové trice, vzduch (póry)

Více

é ě é ý š š š ý ž š é ž éď ž é é ě š é š ě š ě š ž ě ě š ý ž é ě ě ě š ž é ž ě š ě ý ě ě ý ě é Ť ě é ě ě ě Ž ý ě é Ť š é ž ž Ť ě ě é é ž é ě ě š ě é é ě é Ž ě ě Ú ě ý ě ě ž é ě é ě ž ý ě é š ě ě š é ž

Více

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence:

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence: Konvence Integrovného doprvního systému Libereckého krje (IDOL) Účstníci Konvence: KORID LK, spol. s r.o. Liberecký krj Město Česká Líp Město Jblonec nd Nisou Sttutární město Liberec Město Turnov České

Více

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit.

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit. Statiké a dynamiké harakteristiky Úvod : Základy Laplaeovy transformae dále LT: viz lit. hlavní užití: - převádí difereniální rovnie na algebraiké (nehomogenní s konstantními koefiienty - usnadňuje řešení

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

Referenční příručka pro instalační techniky

Referenční příručka pro instalační techniky Referenční příručk pro instlční techniky Tepelné čerpdlo země/vod Dikin Altherm Referenční příručk pro instlční techniky Tepelné čerpdlo země/vod Dikin Altherm češtin Osh Osh 1 Všeoecná ezpečnostní optření

Více

Dveřní a podlahové zavírače

Dveřní a podlahové zavírače Dveřní podlhové zvírče Dveřní zvírče, s.r.o., člen celosvětového zámkřského koncernu ASSA ABLOY AB, zujímá vedoucí postvení n českém trhu změřeném n bezpečnostní systémy, zámky ochrnu mjetku. Výrobky společnosti,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám Sttik stvebních konstrukcí I.,.ročník bklářského studi Tém 4 Rovinný rám Zákldní vlstnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzvřený rám Ktedr stvební mechniky Fkult stvební, VŠB - Technická

Více

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004.

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004. STÁLÁ UŽITNÁ ZTÍŽENÍ ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Ztížení konstrukcí Objemové tíhy, vlstní tíh užitná ztížení pozemních stveb. Prh : ČNI, 004. 1. Stálá ztížení stálé (pevné) ztížení stvebních prvků zhrnuje

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II 1.3.5 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů II Přepokly: 1304 Pegogiká poznámk: Ieální je poku tto hoin vyje n vičení. Postup stuentů je totiž velmi iniviuální ěljí velké množství hy, oěht elou tříu

Více

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla Dobývání znlostí z dtbází (MI-KDD) Přednášk číslo 4 Asociční prvidl (c) prof. RNDr. Jn Ruch, CSc. KIZI, Fkult informtiky sttistiky VŠE zimní semestr 2011/2012 Evropský sociální fond Prh & EU: Investujeme

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Porovnání výsledků analytických metod

Porovnání výsledků analytických metod Metdický lit 1 EURCHEM-ČR 212 Editr: Zbyněk Plzák (plzk@iic.c.cz) Prvnání výledků nlytických metd Chrkterizce výknnti nlytické měřící metdy je jedním z důležitých znků nlytickéh měřicíh ytému, zejmén pr

Více

Í ř Á Á Č Č ř Š ó ř Č ř š ř ů ř ň ň ň ř Ž Ž Ž ň ř ť ň Ť ř ř ů ř ř Ž ř š ň É ó Ť š š ř ř ř š ř ř ř ř š ř š ř ř š ř š š ř ť ř ň š ř ř ť ř ř š Ť ř ř ř š ř Ť š ř ř ř š ř š ř ř ř š ů ř š ř ř š ř ř š ř ř ť š

Více

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Kinemik hmoného bodu Obsh Klsická mechnik... Vzžný sysém... Polohoý ekor... Trjekorie... Prmerické ronice rjekorie... 3 Příkld 1... 3

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Grafický manuál v1.0

Grafický manuál v1.0 Grfický mnuál v1.0 Zákldní informce Logotyp je zákldním prvkem prezentce prcovní skupiny tvoří klíčovou konstntu designu. Logotyp se používá zásdně v podobě kodifikovné tímto mnuálem. Dále jsou v mnuálu

Více

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. "Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE pro zjednodušené podlimitní řízení n služby v rámci projektu Hospodárné odpovědné město Klimkovice, reg. č. CZ.1.04/4.1.01/89.00121, který bude finncován ze zdrojů EU "Pordenství

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa Smlouv o ustájení zjišťování veterinární péče pro toulvá opuštěná zvířt odchycená n území měst Česká Líp Smluvní strny Objedntel: Město Česká Líp, náměstí TGM 1,47001 Česká Líp Zstoupené : p. Jiřím Pzourkem,

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Budova mateřské školy je řešena jako sendvičová

Budova mateřské školy je řešena jako sendvičová 42 Sendvičová dřevěná stv s jednoduchým půdorysem Stv Mteřské školy Sklníkov v Mriánských Lázních-Úšovcích je příkldem použití dřevěné konstrukční áze pro udovu očnského vyvení. Proszení tkovéto stvy stále

Více

SINEAX C 402 Hlásič mezních hodnot

SINEAX C 402 Hlásič mezních hodnot pro stejnosměrné proudy neo stejnosměrná npětí Použití SINEAX C 402 (or. 1) se používá především k sledování mezních hodnot při měřeních s proudovými neo npěťovými signály. Signlizce se přitom provádí

Více

smlouvu o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli

smlouvu o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli 1. Zdeněk Berntík, nr. 14.5.1954 Jrmil Berntíková, nr. 30.12.1956 ob bytem Stroveská 270/87, Ostrv-Proskovice ob jko Smluvní strn 1 2. Tělovýchovná jednot Petřvld

Více

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Uživtelská příručk pro Windows Řešení prolémů s instlcí Kontrolní seznm pro řešení ěžných prolémů při instlci. Zákldní informce o tiskárně Informce o částech tiskárny softwru

Více

Začínáme. Stručný návod k obsluze MFC-J200 VAROVÁNÍ UPOZORNĚNÍ DŮLEŽITÉ POZNÁMKA VAROVÁNÍ

Začínáme. Stručný návod k obsluze MFC-J200 VAROVÁNÍ UPOZORNĚNÍ DŮLEŽITÉ POZNÁMKA VAROVÁNÍ Stručný návod k osluze Zčínáme MFC-J200 Před nstvením zřízení si přečtete Příručku ezpečnosti výroku. Potom si přečtěte tento Stručný návod k osluze pro správnou konfiguri instli. Příručky uživtele pro

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ů ů š Ú š ů š š ů Ú ž Č Š Š š É ň š ž ňš ú š ž ó ů š ó ó žů šů ů š š ů š š ó ó ú ó ó ó š ó ó ůš š ž ú š ú ú ů ž š ó ů ů š ó ž Š š ů š š ů ž š ů ú ž ž š ž š š š š ó ž ó ž ů ú š š ó š Ž š š Ž Ž Ž š š ž š

Více

Český jazyk a literatura

Český jazyk a literatura Český jzyk litertur Chrkteristik předmětu Předmět je rozdělen n tři disciplíny literární výchovu, jzykovou výchovu ční slohovou výchovu, které tvoří svébytné celky, le zároveň jsou ve výuce čsto propojovány.

Více

NAVRHOVÁNÍ BETONOVÝCH MOSTŮ PODLE EUROKÓDU 2 ČÁST 2 MOSTY Z PŘEDPJATÉHO BETONU

NAVRHOVÁNÍ BETONOVÝCH MOSTŮ PODLE EUROKÓDU 2 ČÁST 2 MOSTY Z PŘEDPJATÉHO BETONU POZVÁNKA A ZÁVAZNÁ PŘIHLÁŠKA DOPORUČENO PRO AUTORIZOVANÉ OSOBY SLEVY: AO ČKAIT 10 %, ČBS 20 %, AO+ČBS 30 % PŘI ÚČASTI NA 5. NEBO 6. BĚHU ŠKOLENÍ EC2-1 DALŠÍ SLEVA 5 % Ktedrou betonových zděných konstrukcí

Více

Smlouva o příspěvku na provoz školy (dále jen smlouva)

Smlouva o příspěvku na provoz školy (dále jen smlouva) v zstoupení : Ing. Hn Novotná, ředitelk jko strn oprávněná (dále jen oprávněná strn) I.2. studentk student denního studi oboru 23-45-L/005 Mechnik číslicově řízených strojů studentkou - studentem. v zstoupení

Více

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR Aktuální informce Ústvu zdrvotnických informcí sttistiky České repuliky Prh 8.1.2004 1 Zhouný novotvr ledviny mimo pánvičku v ČR Počet hlášených onemocnění zhouným novotvrem ledviny mimo pánvičku (dg.

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem:

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem: Níže uvedeného dne, měsíce roku byl uzvřen mezi těmito smluvními strnmi: obchodní společnost se sídlem: IČ: DIČ: zpsná zstoupen (dále jen jko budoucí strn prodávjící ) v obchodním rejstříku vedeném, oddíl,

Více

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky.

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky. SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ Hilti. Splní nejvyšší nároky. Spřhovcí prvky Technologie spřhovcích prvků spočívá v připevnění prvků přímo k pásnici ocelového nosníku, nebo připevnění k pásnici přes

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

Smlouva o partnerství s finančním příspěvkem uzavřená podle 1746 odst. 2 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník

Smlouva o partnerství s finančním příspěvkem uzavřená podle 1746 odst. 2 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník Smlouv o prtnerství s finnčním příspěvkem uzvřená podle 1746 odst. 2 zákon č. 89/2012 Sb., občnský zákoník Článek I Smluvní strny PROFIMEDIA s.r.o. sídlo: tříd Spojenců 550/18, 74601 Opv - Předměstí zpsná

Více