DIPLOMOVÁ PRÁCE. České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební. Prvky pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí.

Transkript

1 České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební katedra mechaniky DIPLOMOVÁ PRÁCE Prvky pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí Autor: Bc. Edita Dvořáková Vedoucí práce: Prof. Dr. Ing. Bořek Patzák Praha, 215

2

3 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracovala samostatně, pouze za odborného vedení vedoucího práce Prof. Dr. Ing. Bořka Patzáka. Veškerou použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v přiloženém seznamu zdrojů. V Praze dne iii

4 Poděkování: Na tomto místě bych velice ráda poděkovala Prof. Dr. Ing. Bořku Patzákovi za odborné vedení, podporu, trpělivost a cenné rady, které mi poskytl při zpracování této diplomové práce. iv

5 Název práce: Prvky pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí Autor: Bc. Edita Dvořáková Katedra: Katedra mechaniky Vedoucí bakalářské práce: Prof. Dr. Ing. Bořek Patzák Abstrakt Tato diplomová práce se zabývá studiem vybraných konečných prvků pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí. V práci je stručně představena metoda konečných prvků a základní principy využívané pro analýzu stěn, desek a skořepin. Pro deskové konstrukce jsou představeny dva prvky založené na diskrétní Kirchhoffově teorii. Pro analýzu skořepin byly zvoleny dva prvky založené na odlišných přístupech. Jeden z prvků je sestrojen kombinací deskového a stěnového prvku, formulace druhého skořepinového prvku vychází z třídimenzionální analýzy s přihlédnutím k vlastnostem skořepin. Všechny čtyři prvky jsou implementovány do prostředí MATLAB, program je ověřen na několika jednoduchých testech. Na složitějších konstrukcích je porovnána konvergence jednotlivých prvků, výsledky jsou porovnány s dalšími dostupnými prvky a v některých případech s analytickým řešením. Klíčová slova: desky, skořepiny, MITC4, DKT, rotační stupně volnosti, metoda konečných prvků v

6 Title: Finite elements for analysis of plates and shells Author: Bc. Edita Dvorakova Department: Department of Mechanics Supervisor: Prof. Dr. Ing. Borek Patzak Abstract This thesis deals with the study of selected finite elements for analysis of plate and shell structures and their implementation. The finite element method and basic principles used for analysis of plane stress structures, plates and shells are briefly introduced. Two finite elements based on discrete Kirchhoff theory are presented for plate analysis. For the shell analysis, two different approaches were considered. One of the elements is constructed by combining plane stress and plate element. The second shell element is based on three-dimensional formulation with consideration of shell behaviour. All four elements are implemented in MATLAB and verified by means of simple tests. Some more complex structures are analyzed and the convergence of different types of elements is compared to other available elements and in some cases also with analytical solution. Keywords: plates, shells, MITC4, DKT, drilling degrees of freedom, finite element method

7 OBSAH Zadání práce Abstrakt ii v 1. Úvod Motivace Úvod do metody konečných prvků Teorie pružnosti Základní neznámé Geometrické rovnice Konstitutivní rovnice Rovnice rovnováhy Okrajové podmínky Princip virtuálních prací Variační principy Ritzova metoda Analýza plošných konstrukcí Stěny Desky Skořepiny vii

8 Obsah 4. Deskové prvky Deskový prvek DKT Vlastnosti prvku Sestavení prvku Deskový prvek DKQ Sestavení prvku Skořepinové prvky Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti Stěnový prvek s rotačními stupni volnosti Formulace skořepinového prvku Skořepinový prvek MITC Základní vztahy Sestavení prvku Implementace do prostředí MATLAB Patch testy Deskové prvky DKT a DKQ Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti Skořepinový prvek MITC Výsledky patch testů Numerické výsledky Kloubově podepřená deska Zkosená konzola Skořepina tvaru válce Závěr 64 Seznam obrázků 66 Seznam tabulek 68 Literatura 7 viii

9 Obsah Přílohy I A. Implementace geometrických matic do prostředí MATLAB II A.1. Deskový prvek DKT II A.2. Deskový prvek DKQ A.3. Stěnový prvek s rotačními stupni volnosti A.4. Skořepinový prvek MITC III IV V ix

10 KAPITOLA PRVNÍ ÚVOD Cílem předkládané diplomové práce je formulace vybraných konečných prvků určených pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí a jejich následná implementace do prostředí MATLAB. Byly vybrány celkem čtyři prvky, dva deskové a dva skořepinové. Jako deskové prvky byly vybrány prvky založené na diskrétní Kirchhoffově teorii tenkých desek, a to jak trojúhelníkový, tak čtyřúhelníkový prvek. Pro analýzu skořepin je představen prvek MITC4, tedy čtyřúhelníkový prvek s použitím redukované interpolace pro smykové složky napětí, a trojúhelníkový prvek, který vznikl sloučením deskového trojúhelníkového prvku se stěnovým prvkem s rotačními stupni volnosti. Pro porovnání s dalšími dostupnými prvky byl využit program OOFEM [15], v některých případech bylo k porovnání využito analytické řešení nebo experimentální výsledky. Práce je uvedena kapitolou, která stručně představuje metodu konečných prvků a její základní principy. V kapitole 3 jsou uvedeny základní vlastnosti desek, stěn a skořepin, které jsou využity v následujících dvou kapitolách pojednávajících postupně o deskových prvcích (kapitola 4) a skořepinových prvcích (kapitola 5). Program, který byl v rámci této práce zpracován, je představen v kapitole 6, kde je také otestován na klasických patch testech, složitější konstrukce jsou následně analyzovány v kapitole 7. V po- 1

11 Motivace slední kapitole jsou shrnuty závěry, které lze na základě numerických výsledků vyvodit Motivace Během posledních pár desítek let došlo k velkému rozvoji výpočetní techniky. Tento rozvoj umožnil rozšíření numerických metod, které jsou dnes nedílnou součástí inženýrské praxe. Většina softwaru pro analýzu konstrukcí je založena na metodě konečných prvků. Ačkoliv se na rozvoji této metody pracuje již několik desítek let, stále je zde velký prostor pro výzkum. Přesnost této metody záleží z velké části na volbě použitého prvku. Vzhledem k tomu, že software je často používán pracovníky, kteří nutně nemusí mít příliš hluboké znalosti o metodě konečných prvků, je třeba, aby implementované prvky byly spolehlivé a co nejlépe vystihovaly chování skutečné konstrukce. Právě řešení desek a především skořepin bylo prvním podnětem pro analýzu metodou konečných prvků. Již od počátku bylo navrženo několik více či méně úspěšných přístupů k řešení této problematiky. Ačkoliv se jedná v podstatě o třídimenzionální problém, řešení klasickými prostorovými prvky se jeví jako velice neefektivní a často i problematické. Hlavním problémem, se kterým se analýza deskových a skořepinových konstrukcí potýká, je především smykové a membránové zatuhnutí, ke kterému dochází pro velmi tenké konstrukce. V tomto případě se může konstrukce jevit výrazně tužší než ve skutečnosti je. V případě deskových konstrukcí lze problém smykového zatuhnutí vyřešit vhodnou volbou deskové teorie. Prvky založené na Kirchhoffově teorii tenkých desek problémem smykového zatuhnutí netrpí, neboť vliv posouvajících sil je zanedbán. Na druhou stranu, jejich implementace je náročnější vzhledem k vyšším požadavkům na spojitost aproximačních funkcí. V této práci jsou prezentovány prvky založené na diskrétní Kirchhoffově teorii. Ve vybraných diskrétních bodech jsou tedy vynuceny požadavky pro ohyb tenkých desek. Pro formulaci skořepinových prvků zde byly zvoleny dva 2

12 Motivace různé přístupy. Velice dobrého poměru mezi náročností výpočtu a přesností bylo dosaženo díky tzv. smíšené interpolaci tenzorových složek - MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components). Právě takto je formulován prvek MITC4, který je v rámci této práce představen. Druhým prvkem pro analýzu skořepin, který zde bude uveden, je prvek složený z deskového DKT prvku a stěnového prvku s rotačními stupni volnosti. Výhodou tohoto prvku je fakt, že prvek disponuje v každém uzlu šesti stupni volnosti a není tedy nutné dodatečně dopočítávat či zavádět chybějící tuhost. Předkládaná diplomová práce vznikla jako součást řešení projektu TAČR č. TA Využití metod adaptivní a nelineární analýzy v návrhu železobetonových konstrukcí. 3

13 KAPITOLA DRUHÁ ÚVOD DO METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Metoda konečných prvků (MKP) je přibližná metoda, která začala vznikat na konci první poloviny 2. století. Asi poprvé se myšlenka MKP objevila v práci Richarda Couranta v roce 1943, který navrhl možnost řešení spojitého problému rozdělením na konečný počet podoblastí [17]. Právě myšlenka diskretizace se jeví jako hlavní princip MKP. Tento přístup začali dále rozvíjet především inženýři pro řešení statických a dynamických úloh. Později se však ukázalo, že metoda konečných prvků je velice blízká v té době již dlouho známé Ritzově metodě, a díky tomu došlo k dalšímu prohloubení i po matematické stránce. Na následujících několika stranách budou uvedeny základní vztahy z teorie pružnosti a principy [6, 7], které pomohou v dalších kapitolách ukázat, jakým způsobem byl program pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí sestaven Teorie pružnosti Teorie pružnosti je částí mechaniky kontinua, která se zabývá vztahy mezi deformacemi a napětími tělesa. Pokud dochází pouze k malým deformacím, lze hovořit o lineární pružnosti. V této práci je dále uvažován lineární vztah mezi složkami napětí a 4

14 Teorie pružnosti deformace, tzv. Hookeův zákon Základní neznámé Za základní neznámé v teorii pružnosti lze považovat vektorové pole posunů u, dále pak tenzorová pole deformací ε a tenzorová pole napětí σ. Vzhledem k symetrii smykových složek tenzoru napětí a deformace bývají tyto tenzory často zapisovány v kompaktní vektorové formě u = {u, v, w} T, ε = {ε x, ε y, ε z, γ yz, γ zx, γ xy } T, σ = {σ x, σ y, σ z, τ yz, τ zx, τ xy } T, kde ε i značí normálové složky deformace a σ i značí normálové složky napětí. Složky γ ij a τ ij potom značí smykové složky deformace, respektive napětí Geometrické rovnice Pomocí geometrických rovnic lze vyjádřit vztah právě mezi vektorem posunutí u a vektorem deformace ε. V maticové formě platí ε = T u, (2.1) kde a tedy = ε x ε y ε z γ yz γ zx γ xy x z y y z x z = y x y z z y z x y x x u v. w (2.2) 5

15 Teorie pružnosti Konstitutivní rovnice Vztah mezi složkami tenzoru defomace a složkami tenzoru napětí dále vyjadřují tzv. konstitutivní vztahy. Pro lineárně pružné izotropní materiály lze aplikovat rozšířený Hookeův zákon, kde s uvážením nulové počáteční deformace platí následující formulace kde D = E(1 ν) (1 + ν)(1 2ν) σ = Dε, (2.3) 1 ν 1 ν ν 1 ν ν ν 1 ν 1 1 ν ν 1 ν ν 1 ν 1 1 2ν 2(1 ν) 1 2ν 2(1 ν) 1 2ν 2(1 ν) kde E je Youngův modul pružnosti a ν je Poissonův součinitel. S využitím měrné potenciální energie deformace W(ε) lze tyto vztahy také zapsat ve tvaru kde, σ = W ε, (2.4) W(ε) = 1 2 εt Dε. (2.5) Rovnice rovnováhy Tzv. Cauchyho rovnice rovnováhy jsou často nazývány jako rovnice statické. Vyjadřují vztahy mezi všemi vnitřními a vnějími silami působícími na diferenciální element tělesa. Tuto soustavu parciálních diferenciálních rovnic lze v maticové formě vyjádřit následovně: σ x x z y y z x z y x σ y σ z τ yz τ zx τ xy + X Ȳ Z =, 6

16 Teorie pružnosti kde vektor X = { X, Ȳ, Z} T je vektorem objemových sil. σ + X =, (2.6) Okrajové podmínky Soubor šesti geometrických rovnic (2.1), šesti konstitutivních rovnic (2.3) a tří rovnic rovnováhy (2.6) tvoří kompletní systém pro řešení úlohy o patnácti neznámých (tři složky vektoru posunutí, šest složek tenzoru deformace a šest složek tenzoru napětí), nicméně vzhledem k tomu, že se jedná o formulaci pomocí diferenciálních rovnic, je třeba zavést okrajové podmínky. Podmínky lze definovat dvojího druhu, a to statické okrajové podmínky a podmínky kinematické. Hranici tělesa lze rozdělit na část hranice tělesa Γ p, která je podrobena podmínkám statickým, a část Γ u, kde jsou aplikovány podmínky kinematické. Statické okrajové podmínky Statické okrajové podmínky vyjadřují rovnováhu mezi napětím a vnějším zatížením na povrchu tělesa. Na hranici Γ p platí σ x n x n z n y n y n z n x n z n y n x σ y σ z τ yz τ zx τ xy p x p y p z =, nσ p =. (2.7) Vektor p = { p x, p y, p z } T značí předepsané povrchové síly na hranici Γ p a v matici n jsou uspořádány směrové kosiny vnější normály k povrchu této hranice. 7

17 Princip virtuálních prací Kinematické okrajové podmínky Na části hranice Γ u, kde je předepsána hodnota posunutí ūu lze přemístění tělesa definovat podle kinematických okrajových podmínek, a tedy u ūu =. (2.8) 2.2. Princip virtuálních prací Princip virtuálních prací (PVP) lze rozlišit na dva základní typy, a to princip virtuálních posunutí (PVp), princip virtuálních sil (PVs). Vzhledem k tomu, že většina MKP programů, a také program zpracovaný v rámci této práce, jsou založeny na deformační variantě metody konečných prvků, která plyne z principu virtuálních posunutí, bude zde dále zpracován pouze tento přístup. Princip virtuálních posunutí lze vyjádřit vztahem V δε T σdv = V δu T XdV + δu T pdγ, (2.9) Γ p kde levá strana rovnice odpovídá virtuální práci vnitřních sil a pravá strana virtuální práci sil vnějších. Virtuální posuny nesmí narušovat kinematické okrajové podmínky, a tedy δu = na Γ u. Virtuální deformace musí být s virtuálními posuny svázány geometrickými rovnicemi, tedy δε = T δu Variační principy Přímým důsledkem principu virtuálních posunutí je tzv. Lagrangeův variační princip. Obdobně z principu virtuálních sil lze odvodit Castiglianův variační princip, tato práce se jím však nebude dále zabývat. Lagrangeův princip je založen na minimu potenciální energie a říká: "Ze všech kinematicky přípustných stavů pružného tělesa nastává takový stav, který dává potenciální energii systému minimální hodnotu." 8

18 Ritzova metoda Pro potenciální energii systému lze tedy psát Π = E i + E e = min, (2.1) kde E i značí potenciální energii deformace a E e odpovídá potenciální energii vnějších sil, a tedy Π = V W(ε)dV u T XdV u T pdγ. (2.11) V Γ p Kinematicky přípustný stav předpokládá spojité posuny s po částech spojitými derivacemi v celé oblasti. Posuny musí na hranici Γ u splňovat předepsané okrajové podmínky a s deformacemi musí svázány geometrickými rovnicemi. Položením variace funkcionálu potenciální energie nule lze získat δπ = V δε T W ε dv V δu T XdV δu t pdγ =. Γ p Dosazením z konstitutivních rovnic (2.4) do prvního integrálu lze získat shodnou formulaci problému s formulací na základě principu virtuálních posunutí (2.9) Ritzova metoda Jak již bylo řečeno v úvodu této kapitoly, metoda konečných prvků je úzce spojena s Ritzovou metodou. V této části bude tedy ukázán postup v případě deformační varianty Ritzovy metody. Přibližné řešení bude hledáno ve tvaru u = u + Nr, kde funkce v u jsou zvoleny na základě kinematických okrajových podmínek, a tedy u = {ū, v, w} T na Γ u. V matici N jsou uspořádány bázové funkce z prostoru V. Pro úlohu minimalizace potenciální energie systému (2.11) musí být tyto funkce na V spojité a musí umožňovat splnění geometrických okrajových podmínek. Bázové funkce musí být lineárně nezávislé a na hranici Γ u musí navíc splňovat homogenní geometrické podmínky, tedy mít na této hranici nulovou hodnotu. Vektor r je vektor neznámých posunutí. 9

19 Ritzova metoda Dosazením do geometrických rovnic a následně také do rovnic konstitutivních, lze vyjádřit aproximované pole deformace, ε = T (u u + Nr), respektive pole napětí ε = T u + T Nr, ε = ε ε ε + Br, (2.12) σ = Dε, σ = D( ε ε ε + Br). Aproximované pole deformace (2.12) lze dosadit do vztahu pro výpočet měrné potenciální energie (2.5) a následně do funkcionálu potenciální energie systému (2.11) Π = V 1 2 ( ε ε ε + Br)T D( ε ε ε + Br)dV V W = 1 2 ( ε ε ε + Br)T D( ε ε ε + Br), (u u + Nr) T XdV u (uu + Nr) T pdγ. (2.13) Γ p Vzhledem k formulaci Lagrangeova principu je hledáno minimum tohoto funkcionálu. Po bližším přezkoumání rovnice (2.13) je patrné, že po integraci je jedinou neznámou této úlohy vektor neznámých posunutí r. Pro extrém funkce o více proměnných platí, že nastane v případě nulových hodnot prvních parciálních derivací podle všech proměnných. Zderivováním lze dospět k následující formulaci úlohy Π r V = B T D( ε ε ε + Br)dV N T XdV N T pdγ =. (2.14) V Γ p Jedná se o soustavu lineárních algebraických rovnic, zavedením matice tuhosti K a vektorů zatížení R f a reakcí R u lze psát Kr = R f + R u, kde K = V B T DBdV, (2.15) 1

20 Ritzova metoda R f = V N T XdV + N T pdγ, Γ p B T D ε ε εdv. R u = V Rozdíl mezi klasickou Ritzovou metodou a metodou konečných prvků spočívá pouze ve volbě bázových funkcí. Zatímco v Ritzově metodě jsou bázové funkce voleny na celé řešené oblasti, v metodě konečných prvků jsou voleny funkce s velmi malým nosičem, až na nejbližšší oblast kolem uzlových bodů jsou tedy nulové. Ačkoliv se tento rozdíl nemusí na první pohled zdát příliš důležitý, přináší spoustu výhod pro formulaci úlohy. Metoda konečných prvků díky své formulaci bázových funkcí umožňuje relativně jednoduchou aproximaci komplikovaných oblastí řešení, proměnlivého podepření a lze snadno docílit zpřesnění řešení. 11

21 KAPITOLA TŘETÍ ANALÝZA PLOŠNÝCH KONSTRUKCÍ Za plošné konstrukce jsou považovány takové konstrukce, kde je jeden z rozměrů výrazně menší než zbylé dva. Dle statického působení lze plošné konstrukce rodělit na stěny, desky a skořepiny. Vzhledem k relativně malé tloušťce takových konstrukcí je napětí σ z velmi malé a lze ho tedy zanedbat. Stěny a desky jsou rovinné konstrukce, v případě stěn je uvažováno pouze zatížení v rovině konstrukce, desky jsou naopak zatěžovány kolmo ke střednicové ploše, tedy k rovině, která půlí tloušťku konstrukce. Skořepinové konstrukce jsou zakřivené a kombinují stěnové a deskové působení Stěny Ačkoliv tématem této práce jsou deskové a skořepinové konstrukce a o stěnových konstrukcích práce přímo nepojednává, základní vztahy pro analýzu stěn zde budou i přesto stručně uvedeny, a to především z toho důvodu, že chování skořepin je možné vystihnout kombinací deskového a stěnového působení. Řešení stěn spadá mezi problémy rovinné napjatosti. 12

22 Desky Úloha rovinné napjatosti V úloze rovinné napjatosti jsou neznámé pouze dvě složky vektoru posunutí u, a to posuny v rovině konstrukce. Vektor neznámých posunutí má tedy tvar u = {u, v} T. Odpovídající pole deformací ε má tvar ε = {ε x, ε y, γ xy } T a pole napětí σ potom σ = {σ x, σ y, τ xy } T. Matici tuhosti materiálu D použitou pro formulaci konstitutivních rovnic (2.3) lze pro rovinnou napjatost upravit na tvar 1 ν D = E 1 ν 2 ν 1 1 ν 2 Deformace ε z je nenulová a lze ji dopočítat z. (3.1) ε z = ν E (ε x + ε y ), vzhledem k uvážení nulového napětí σ z však tato deformace nepřispívá do práce vnitřních sil. Pro formulaci úlohy rovinné napjatosti je dále třeba upravit také geometrické rovnice, rovnice rovnováhy a okrajové podmínky. Tyto vztahy lze získat z obecných formulací v předchozí kapitole, konkrétně z (2.1), (2.6), (2.7) a (2.8), uvážením pouze složek odpovídajících výše uvedenému vektoru posunutí a polím deformací a napětí. Je také třeba přihlédnout k faktu, že je uvažováno pouze zatížení v rovině konstrukce Desky Deskové a skořepinové konstrukce mohou být svým způsobem považovány za konstrukce třídimenzionální. Ačkoliv se teorie pružnosti pro třídimenzionální analýzu nepotýká se žádnými zásadními problémy, aplikace pro deskové a skořepinové konstrukce 13

23 Desky je poněkud složitější. Tloušťka těchto konstrukcí je velmi malá v porovnání se zbylými dvěma rozměry a komplexní řešení používané pro 3D konstrukce je nejen zbytečně náročné, ale také se potýká s problémem smykového zatuhnutí. Ještě dlouho před tím, než se objevily některé numerické metody, které by pomohly vyřešit problémy při výpočtech deskových konstrukcí, byly formulovány teorie, které nabízely zjednodušený pohled na deskové konstrukce. Za první formulaci deskové teorie je považována Kirchhoffova teorie z roku 185. Tuto teorii lze použít pro analýzu tenkých desek. Upravené předpoklady uplatnil v roce 1945 Reissner a v lehce odlišné verzi v roce 1951 Mindlin. Tyto upravené teorie uvažují vliv smykového přetvoření a lze je tak na rozdíl od Kirchhoffovy teorie uplatnit i při analýze tlustých desek. Dle tloušťky lze desky rozdělit do tří kategorií: tenké desky 1 1 h l 1 1, tlusté desky h l 1 1, membrány h l 1 1, kde h je tloušťka desky a l je rozměr v rovině desky. Pokud se jedná o membránové působení konstrukce, nelze uvažovat přenos ohybových účinků, nicméně je uvažován pouze přenos normálových sil ve střednicové rovině. Ačkoliv Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek je historicky starší teorií, je v podstatě jen zvláštním případem Mindlinovy teorie. V následujícím textu bude tedy prezentována především Mindlinova teorie a Kirchhoffovy předpoklady budou zavedeny až při formulaci konkrétních konečných prvků. Mindlinova teorie Je uvažována deska se střednicovou plochou v rovině x, y. Mindlinova teorie tlustých desek vychází z následujícíh předpokladů: 14

24 Desky stlačení desky ve směru osy z je malé v porovnání s hodnotami průhybu, lze ho tedy zanedbat, normály ke střednicové rovině se po deformaci mění v pseudonormály, zůstávají tedy přímé, ale již nejsou ke střednicové rovině kolmé, normálové napětí σ z je malé ve srovnání se složkami napětí působících ve směrech os x a y, proto se zanedbává. Z prvního předpokladu vyplývá, že průhyb w desky je nezávislý na souřadnici z a je tedy pouze funkcí x a y. Z druhého předpokladu je patrné, že není uvažováno zborcení příčných průřezů, přemístění bodů na normále lze tedy chápat jako přemístění tuhého tělesa.vztažením parametrů přemístění ke střednicové rovině lze obdržet nulové posuny ve střednicové rovině u(x, y, ) a v(x, y, ). Dále není třeba uvažovat pootočení kolem vlastní osy normály, tedy pootočení ϕ z, jelikož normálu lze chápat jako body ležící na jedné úsečce, pootočení kolem vlastní osy nemá tedy žádný význam. Přemístění bodů pseudonormály lze tedy popsat pomocí tří stupňů volnosti, a to následovně u(x, y, z) = zϕ y (x, y), v(x, y, z) = zϕ x (x, y), w(x, y, z) = w(x, y). Pro nenulové složky deformací potom platí: ε x = u x = z ϕ y x = zκ x, ε y = v y = z ϕ x y = zκ y, γ xy = u y + v x = z ( ϕy y ϕ x x γ xz = u z + w x = ϕ y + w x, γ yz = v z + w y = ϕ x + w y, ) = zκ xy, 15

25 Desky kde ε x, ε y, γ xy jsou membránové složky tenzoru deformace a γ xz, γ yz jsou složky smykové. V maticové formě lze potom psát ε x ε y γ xy = z x y y x 1 1 ϕ x ϕ y, γ yz γ xz = ε m = κz = z T Sϕ, x w + y 1 1 γ = w + Sϕ, ϕ x ϕ y, kde κ je vektor příslušných křivostí, tedy κ = κ x κ y κ xy = ϕ y x ϕ x y ϕ y y ϕ x x. (3.2) Desku si lze představit jako mnoho slabých vrstviček rovnoběžných se střednicovou plochou. Vzhledem k předpokladu velmi malého napětí σ z, které je tedy zanedbáváno, lze považovat stav napětí v každé z těchto vrstviček za stav rovinné napjatosti, a tedy jej charakterizovat pomocí složek napětí σ x, σ y a τ xy. Matice tuhosti materiálu má pro membránové složky napětí obdobný tvar jako pro stěny a lze tedy psát σ m = σ x σ y τ xy 1 ν E = z 1 ν 2 ν 1 κ = zdκ, 1 ν 2 pro smykové složky τ = τ xz τ yz = E ν 1 γ = Eγ. Celková deformační energie je dána součtem energie příslušející ohybu a energie příslušející smyku E i = E m + E s. (3.3) 16

26 Skořepiny Ze vztahů pro měrnou energii deformace (2.5) plyne kde E m = E s = V W(ε m )dv = V W(γ)dV = A h A h D m = D s = k 1 2 κt Dz 2 κdzda = 1 κ T D m κda, (3.4) 2 A 1 2 γt EγdzdA = 1 γ T D s γda, 2 A h Dz 2 dz, (3.5) h Edz, kde A je plocha střednicové roviny a k představuje smykový faktor zohledňující nerovnoměrné rozložení příčných smykových napětí po tloušťce. Pro případ konstantní tloušťky desky lze psát D m = Eh 3 12(1 ν 2 ) 1 ν ν 1 1 ν 2 (3.6) a D s = Ehk 1 2(1 + ν) Skořepiny Zvláštním případem skořepin jsou tzv. stěnodesky. Jak již název napovídá, jedná se o rovinnou konstrukci, která kombinuje působení stěn a desek, zatížení tedy není omezeno svým směrem. Skořepina je pouze zobecněním stěnodesky, a to ve smyslu možnosti zakřivení konstrukce. Zakřivení se v praxi využívá pro snížení velikosti měrných ohybových účinků a posouvajících sil, ideálním stavem je takový tvar konstrukce, kdy jsou ohybové momenty a posouvající síly nulové, tzv. membránový stav. Pro nenulové měrné momenty se jedná o stav ohybový. 17

27 Skořepiny V průběhu let bylo navrženo několik různých přístupů, jak formulovat prvky pro skořepinové konstrukce. Z počátku bylo navrženo několik prvků, které byly díky interpolačním funkcím vyššího stupně schopny vystihnout zakřivený tvar konstrukce. Tato metoda se ukázala jako účinná, nicméně relativně časově náročná, proto se postupem času přešlo k práci na vývoji plochých prvků s interpolačními funkcemi nižšího stupně. Zakřivení konstrukce je v takovém případě modelováno pouze vhodným uspořádáním většího množství plochých prvků. Díky této možnosti lze pro řešení skořepin zkombinovat působení stěnových a deskových prvků. Další možností, jak lze k analýze skořepin přistupovat, je vyjít z třídimenzionální analýzy a upravit podmínky pro napětí a deformace s ohledem na chování skořepinových konstrukcí. Tento postup není závislý na žádné konkrétní teorii skořepin a může se tak jevit jako výhodnější. Na druhou stranu se ukázalo, že s nižším stupněm interpolačních funkcí se tento přístup potýká se smykovým zatuhnutím. Jako vhodné řešení tohoto problému se jeví použití redukované interpolace pro smykové složky napětí. Základní vztahy pro skořepinové prvky V případě skořepin jsou uváženy posuny ve všech třech směrech, vektor posunutí má tedy tvar u = {u, v, w} T. Pokud je skořepinový prvek sestaven kombinací stěnového a deskového prvku, je úloha formulována na základě vztahů pro stěny a pro desky s přihlédnutím ke konkrétní použité deskové teorii. Pokud je však prvek formulován na základě třídimenzionální analýzy, jsou pro prvek ležící v rovině x, y uvažována následující pole deformací a napětí ε = {ε x, ε y, γ yz, γ zx, γ xy } T, (3.7) σ = {σ x, σ y, τ yz, τ zx, τ xy } T. 18

28 Skořepiny Obdobně jako pro úlohu rovinné napjatosti je třeba upravit matici tuhosti materiálu, která je použita pro formulaci konstitutivních rovnic. Platí 1 ν ν 1 D = k 1 ν 2 k 1 ν 2 1 ν 2, (3.8) Vzhledem k uvážení pouze pěti složek pole deformací a pole napětí je třeba obdobně jako pro stěny upravit geometrické rovnice (2.1), rovnice rovnováhy (2.6) a okrajové podmínky (2.7), (2.8). 19

29 KAPITOLA ČTVRTÁ DESKOVÉ PRVKY V rámci této kapitoly budou představeny dva prvky pro analýzu deskových konstrukcí Deskový prvek DKT Jedním z prvků vybraných pro analýzu deskových konstrukcí v této práci je trojúhelníkový prvek DKT, z anglického Discrete Kirchhoff Triangle, který je velmi rožšířený v oblasti analýzy ohýbaných desek. Jedná se o trojúhelníkový prvek vycházející z Mindlinovy teorie desek, uvažuje tedy tři stupně volnosti v každém uzlu, konkrétně jsou to průhyb a dvě pootočení (obr. 4.1). Smykové složky deformace jsou pro tenké desky velmi malé v porovnání s ohybovými složkami a energie příslušející smykové deformaci je tedy při řešení zanedbávána. Požadavky Kirchhoffovy teorie ohybu tenkých desek jsou vynuceny pouze v diskrétních bodech, a to ve vrcholech a středech stran. Kirchhoffova teorie navíc kromě požadavků Mindlinovy teorie předpokládá, že normála ke střednicové rovině zůstává normálou i po deformaci, pootočení normály lze tedy vyjádřit pomocí derivace průhybu. 2

30 Deskový prvek DKT 2 w φ z, w w φ x φy 3 x φy y 1 w φ x φy x Obrázek 4.1.: Trojúhelníkový prvek DKT - Discrete Kirchhoff Triangle Vlastnosti prvku Formulace prvku je převzatá z článku [1]. Vzhledem k tomu, že jsou zde zanedbány smykové účinky, deformační energie (3.3) je rovna pouze energii příslušející ohybu (3.4), a tedy E i = E m = 1 2 κ T D m κda, (4.1) A kde D m je matice tuhosti materiálu definovaná v (3.6). Z definice křivostí κ (3.2) plyne, že rovnice (4.1) obsahuje pouze první derivace pootočení ϕ x a ϕ y, je tedy potřeba zajistit pouze C spojitost a to by mělo být relativně snadné. Vzhledem k tomu, že se v rovnici (4.1) nevyskytuje průhyb w, bude potřeba tuto neznámou vyjádřit pomocí pootočení ϕ x a ϕ y. Při formulaci prvku byly navrženy následující požadavky: Trojúhelníkový prvek by měl mít pouze devět stupňů volnosti, a to průhyb w a pootočení ϕ x a ϕ y v každém ze tří uzlů elementu r e = {w 1, ϕ x1, ϕ y1, w 2, ϕ x2, ϕ y2, w 3, ϕ x3, ϕ y3 } T. 21

31 Deskový prvek DKT Podle Kirchhoffovy teorie, která předpokládá nulové příčné smykové deformace, platí pro pootočení normál v uzlových bodech: ϕ x = w y, ϕ y = w x. Vynucení Kirchhoffových předpokladů může být dále požadováno i v dalších diskrétních bodech. Musí být zachována spojitost ϕ x a ϕ y mezi jednotlivými prvky. Výsledná formulace prvku uvažuje následující body: Průběh pootočení ϕ x a ϕ y po prvku je uvažován kvadratický. Kirchhoffovy předpoklady jsou vynuceny ve vrcholech a ve středech hran. Podél hran je uvažován kubický průběh průhybu w. Průběh pootočení střednice podél hrany prvku je uvažován lineární Sestavení prvku Transformace stupňů volnosti Jedním z hlavních požadavků, který má prvek splňovat, je, aby všechny stupně volnosti byly soustředěny pouze do vrcholů prvku, celkem je tedy požadováno devět stupňů volnosti. Splnění Kirchhoffových předpokladů je ale požadováno i uprostřed hran, pootočení ϕ x a ϕ y uprostřed hran je tedy třeba vyjádřit pomocí uzlových stupňů volnosti. Pro každou hranu prvku lze uvažovat lokální systém souřadnic s a n (obr. 4.2). Pro posuny podél hrany prvku lze tedy psát u s = zϕ n, w(s, n, z) = w(s). 22

32 Deskový prvek DKT y n 2 s s n 3 n s 1 x Obrázek 4.2.: Zavedení lokálního souřadného systému na hranách prvku. j s y y k Δy l ij γ n x Δx i x Obrázek 4.3.: Znázornění hrany prvku pro odvození vztahů pro pootočení ϕ n a ϕ s uprostřed hrany prvku a následnou transformaci ze systému souřadnic s a n do kartézského systému. 23

33 Deskový prvek DKT Podél hrany ij (obr. 4.3) je uvažována kubická aproximace průhybu w(s) = as 3 + bs 2 + cs + d, pro derivaci průhybu tedy platí w (s) = 3as 2 + 2bs + c. Na základě hodnot v uzlových bodech i a j lze stanovit následující okrajové podmínky w() = w i, w () = w i = ϕ n(), w(l ij ) = w j, w (l ij ) = w j = ϕ n(l ij ) a tyto podmínky lze využít pro stanovení neznámých koeficientů a, b, c a d w() = d = w i, w () = c = w i, w(l ij ) = al 3 ij + bl2 ij + w i l ij + w i = w j w (l ij ) = 3al 2 ij + 2bl ij + w i = w j w 2 a = w 1 2bl ij 3lij 2 Derivace průhybu uprostřed hrany je potom dána vztahem b = 3(w 2 w 1 ) l 2 ij. 2w i w 2 l ij ( ) ( w lij = w i 3 ) ( ) ( 3 + w j + w i 1 ) ( + w j 1 ) 2 2l ij 2l ij 4 4 a pro pootočení ϕ n tedy platí ( ) lij ϕ n 2 ( ) ( = w lij = w i 3 2 2l ij ϕ n () = w i, ϕ n (l ij ) = w j, ) + w j ( 3 2l ij ) ( + w i 1 ) ( + w j 1 ). 4 4 Vzhledem ke kubickému průběhu průhybu a ke kvadratickému průběhu pootočení, které je stanoveno ve třech bodech, bude při použití kvadratické aproximace pootočení zajištěno splnění Kirchhoffových předpokladů podél celé hrany prvku, a tedy podél 24

34 Deskový prvek DKT celé hranice. Na základě předpokladu lineární aproximace pootočení střednice podél hrany prvku lze pro potočení ϕ s uprostřed hrany prvku psát ( ) lij ϕ s = 1 ( ϕs () + ϕ s (l ij ) ). 2 2 Vztah vyjadřující pootočení ϕ n a ϕ s uprostřed hrany prvku pomocí stupňů volnosti ve vrcholech lze zapsat v maticové formě, a to w i ϕ n ϕ s lij 2 = 3/(2l ij) 1/4 3/(2l ij ) 1/4 1/2 1/2 ϕ ni ϕ si w j. ϕ nj ϕ sj Pro sestavení matice tuhosti je třeba transformovat uvedené vztahy do kartézského souřadného systému (obr. 4.3). Toho lze docílit pomocí transformační matice T ij ϕ n ϕ s ϕ x ϕ y = T ij = TT ij ϕ x ϕ y ϕ n ϕ s,, kde a T ij = c ij s ij s ij c ij c ij = cos(γ ij ) = y l ij, s ij = sin(γ ij ) = x l ij. 25

35 Deskový prvek DKT Pro pootočení ve středech hran tedy platí w i ϕ x ϕ y lij 2 = c ij s ij s ij c ij 3/(2l ij) 1/4 3/(2l ij ) 1/4 1/2 1/2 ϕ ni ϕ si w j, ϕ nj ϕ sj kde w i ϕ ni ϕ si w j ϕ nj ϕ sj = 1 c ij s ij s ij c ij 1 c ij s ij s ij c ij w i ϕ xi ϕ yi w j ϕ xj ϕ yj. Upravením předchozích dvou vztahů lze získat w i ϕ x ϕ y lij 2 = G ij ϕ xi ϕ yi w j, ϕ xj ϕ yj kde G ij = 3c ij /(2l ij ) 3s ij /(2l ij ) 1/4c 2 ij + 1/2s2 ij 1/4c ij s ij 1/2c ij s ij 1/4c ij s ij 1/2c ij s ij 1/4s 2 ij + 1/2c2 ij 3c ij /(2l ij ) 3s ij /(2l ij ) 1/4c 2 ij + 1/2s2 ij 1/4c ij s ij 1/2c ij s ij T. (4.2) 1/4c ij s ij 1/2c ij s ij 1/4s 2 ij + 1/2c2 ij Uvedená matice G ij umožnuje vyjádření pootočení ϕ x a ϕ y uprostřed hrany, pomocí pootočení a průhybu v krajních bodech hrany, tedy pomocí stupňů volnosti ve vrcholech 26

36 Deskový prvek DKT trojúhelníka. Tuto matici lze napočítat pro všechny tři hrany trojúhelníka a uspořádat ji do celkové transformační matice T e ϕ x1 ϕ y1 ϕ x2 ϕ y2 ϕ x3 ϕ y3 ϕ x4 ϕ y4 ϕ x5 ϕ y5 ϕ x6 ϕ y6 = G G G G G G G G G G G G G11 23 G12 23 G13 23 G14 23 G15 23 G16 23 G21 23 G22 23 G23 23 G24 23 G25 23 G26 23 G14 31 G15 31 G16 31 G11 31 G12 31 G13 31 G24 31 G25 31 G26 31 G21 31 G22 31 G23 31 r ϕ = T e r e. Matice T e tedy zprostředkovává převod mezi stupni volnosti prvku a mezi pootočením ϕ x a ϕ y v šesti bodech prvku, a to ve vrcholech a středech hran. Díky tomu je možné použít kvadratickou aproximaci pro pootočení po prvku. w 1 ϕ x1 ϕ y1 w 2 ϕ x2 ϕ y2 w 3 ϕ x3 ϕ y3, Geometrická matice Je uvažována kvadratická aproximace pootočení, které lze tedy vyjádřit pomocí šesti uzlových hodnot ϕ x (x, y) = ϕ y (x, y) = 6 N i (x, y)ϕ xi, i=1 6 N i (x, y)ϕ yi. i=1 Bázové funkce N i pro kvadratickou aproximaci na trojúhelníku jsou zobrazeny na obrázku (4.4) a mají následující tvar 27

37 Deskový prvek DKT N1 N2 N N4 N5 N6 Obrázek 4.4.: Bázové funkce trojúhelníkového prvku s kvadratickou aproximací [2]. N 1 = ξ 1 (2ξ 1 1), N 2 = ξ 2 (2ξ 2 1), N 3 = ξ 3 (2ξ 3 1), N 4 = 4ξ 1 ξ 2, N 5 = 4ξ 2 ξ 3, N 6 = 4ξ 3 ξ 1, (4.3) kde ξ 1, ξ 2 a ξ 3 jsou přirozené souřadnice na trojúhelníku [6]. Pootočení ϕ x a ϕ y po celém prvku lze tedy zapsat následovně ϕ x ϕ y = Ne r ϕ, kde N e = N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6. S využitím transformační matice T e lze vektor uzlových pootočení r ϕ vyjádřit pomocí pootočení a průhybů ve vrcholech r e ϕ x ϕ y = Ne T e r e. 28

38 Deskový prvek DKQ Geometrická matice prvku je potom dána vztahem B = T N e T e. Matice tuhosti Pro matici tuhosti byl odvozen (2.15) následující vztah K = K = Aplikací matice D m odvozené v (3.5) K = A V A h B T DBdV, B T DBdhdA. B T D m BdA. Pro vyčíslení matice tuhosti je použita Gaussova numerická integrace [6]. Vzhledem k použití kvadratické aproximace je použita tříbodová integrační formule, která je v tomto případě dostatečná pro přesné vyčíslení integrálu Deskový prvek DKQ Druhým prvkem, který bude představen v rámci prvků pro analýzu deskových konstrukcí je DKQ prvek, z anglického Discrete Kirchhoff Quadrilateral. Jedná se o prvek založený na stejných principech jako DKT prvek, nicméně v tomto případě se jedná o prvek čtyřúhelníkový, celkově má tedy 12 stupňů volnosti (obr. 4.5). Vlastnosti prvku a předpoklady pro jeho sestavení jsou stejné jako pro trojúhelníkový DKT prvek, nebudou zde proto znovu opakovány Sestavení prvku Transformace stupňů volnosti Odobně jako u trojúhelníkového prvku, i pro čtyřúhelníkový prvek je potřeba vyjádřit pootočení uprostřed hran pomocí stupňů volnosti ve vrcholech. Matice G ij (4.2) pro tuto 29

39 Deskový prvek DKQ w φ φ x y 3 2 w φ z, w y w φ φ x y 4 x φy 1 w φ φ x y x Obrázek 4.5.: Čtyřúhelníkový prvek DKQ - Discrete Kirchhoff Quadrilateral. transformaci na hraně prvku byla odvozena v podkapitole Pro připomenutí w i ϕ x ϕ y lij 2 = G ij ϕ xi ϕ yi w j. ϕ xj ϕ yj 3

40 Deskový prvek DKQ Pro transformaci pro celý prvek pomocí matice T e potom platí ϕ x1 ϕ y1 ϕ x2 ϕ y2 ϕ x3 ϕ y3 ϕ x4 ϕ y4 ϕ x5 ϕ y5 ϕ x6 ϕ y6 ϕ x7 ϕ y7 ϕ x8 ϕ y8 = G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G11 34 G12 34 G13 33 G14 34 G15 34 G16 34 G21 34 G22 34 G23 34 G24 34 G25 34 G26 34 G14 41 G15 41 G16 41 G11 41 G12 41 G13 41 G24 41 G25 41 G26 41 G21 41 G22 41 G23 41 r ϕ = T e r e. w 1 ϕ x1 ϕ y1 w 2 ϕ x2 ϕ y2 w 3 ϕ x3 ϕ y3 w 4 ϕ x4 ϕ y4, Geometrická matice Opět je uvažována kvadratická aproximace pootočení, pro čtyřúhelníkový prvek bude tentokrát využito osm uzlových hodnot ϕ x (x, y) = ϕ y (x, y) = 8 N i (x, y)ϕ xi, i=1 8 N i (x, y)ϕ yi. i=1 31

41 Deskový prvek DKQ Bázové funkce N i pro kvadratickou aproximaci na čtyřúhelníku mají následující tvar N 1 = 1 4 ((1 ξ)(1 η)(1 + ξ + η)), N 2 = 1 4 ((1 + ξ)(1 η)(1 ξ + η)), N 3 = 1 4 ((1 + ξ)(1 + η)(1 ξ η)), N 4 = 1 4 ((1 ξ)(1 + η)(1 + ξ η)), N 5 = 1 2 ((1 ξ2 )(1 η)), N 6 = 1 2 ((1 + ξ)(1 η2 )), N 7 = 1 2 ((1 ξ2 )(1 + η)), N 8 = 1 2 ((1 ξ)(1 η2 )), (4.4) kde ξ a η jsou přirozené souřadnice [6]. Funkce budou obdobně jako pro trojúhelníkový prvek uspořádány do matice bázových funkcí kde N e = ϕ x ϕ y = Ne r ϕ, N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 S využitím transformační matice T e lze pootočení aproximovat pomocí stupňů volnosti prvku ϕ x ϕ y = Ne T e r e. Geometrická matice prvku je potom dána vztahem B = T N e T e.. Matice tuhosti Výsledný vztah pro matici tuhosti prvku (2.15) lze získat analogickou úvahou jako u trojúhelníkového prvku DKT K = B T D m B da. A Pro vyčíslení přesné hodnoty integrálu byly s přihlédnutím ke kvadratické aproximaci zvoleny 2x2 integrační body v rovině prvku. 32

42 KAPITOLA PÁTÁ SKOŘEPINOVÉ PRVKY Pro skořepinové konstrukce zde budou představeny dva prvky, přičemž každý z prvků vychází z jiného přístupu k formulaci skořepinových prvků Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti Jak již bylo uvedeno na začátku této práce, skořepinové konstrukce jsou vystaveny jak ohybovým, tak membránovým účinkům zatížení. Jednou z možností, jak zkonstruovat prvek pro analýzu skořepinových konstrukcí, je kombinace prvku pro řešení ohýbaných konstrukcí a prvku pro analýzu membránového působení. V této práci je tímto způsobem sestrojen trojúhelníkový prvek se šesti stupni volnosti v každém uzlu. Část přenášející ohybové účinky zde reprezentuje DKT prvek, který byl prezentován v této práci v rámci analýzy deskových konstrukcí. Pro přenos membránových účinků zatížení byl použit stěnový prvek s rotačními stupni volnosti, který bude představen nyní. Formulace tohoto prvku byla ukázána v [1, 11]. 33

43 Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti y v 3 u v φ 1 φ u v 2 φ u x Obrázek 5.1.: Trojúhelníkový prvek s rotačními stupni volnosti Stěnový prvek s rotačními stupni volnosti Tento prvek narozdíl od klasického stěnového prvku uvažuje v každém uzlu jako stupně volnosti nejen posuny u a v, ale také rotaci ϕ z kolem normály roviny prvku. Má tedy tři stupně volnosti v každém uzlu (obr. 5.1). Vektor neznámých posunutí má tedy tvar r e = {u 1, v 1, ϕ 1, u 2, v 2, ϕ 2, u 3, v 3, ϕ 3 } T. Sestavení prvku Detailní odvození tohoto prvku je předvedeno v [2]. Pro účely této práce zde budou uvedeny pouze hlavní vztahy pro sestavení matice tuhosti. Pro sestavení prvku se vychází z předpokladu kvadratické aproximace posunů u a v, neznámé posuny jsou tedy zavedeny ve vrcholech a ve středech hran trojúhelníka. Podobně jako u deskového prvku DKT je cílem soustředit všechny stupně volnosti do vrcholů, je tedy nutné vyjádřit posuny ve středech hran pomocí posunů a rotace ve vrcholech. Lze ukázat, že pro tuto transformaci posunů uprostřed hrany ij platí následující vztahy ( ) l u = u i + u j + y j y i (ϕ j ϕ i ),

44 Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti Obrázek 5.2.: Tvarové funkce trojúhelníkového prvku s rotačními stupni volnosti. Pro posuny u a v lze tedy psát ( ) l v = v i + v j x j x i (ϕ i ϕ j ). 8 u = N 1 u 1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 + N 4 ( u 1+u y 2 y 1 8 (ϕ 2 ϕ 1 )) +N 5 ( u 2+u y 3 y 2 8 (ϕ 3 ϕ 2 )) +N 6 ( u 3+u y 1 y 3 8 (ϕ 1 ϕ 3 )) v = N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 + N 4 ( v 1+v x 2 x 1 8 (ϕ 1 ϕ 2 )) +N 5 ( v 2+v x 3 x 2 8 (ϕ 2 ϕ 3 )) +N 6 ( v 3+v x 1 x 3 8 (ϕ 3 ϕ 1 )) kde N i jsou bázové funkce pro kvadratickou aproximaci na trojúhelníku (4.3). Aproximace posunů lze tedy vyjádřit následovně u v = Ne r e,,, kde a N e = N uv1 N uϕ1 N uv2 N uϕ2 N uv3 N uϕ3 N uv1 N vϕ1 N uv2 N vϕ2 N uv3 N vϕ3 N uv1 = N 1 + N N 6 2, N uv2 = N 2 + N N 4 2, 35

45 Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti N uv3 = N 3 + N N 5 2, N uϕ1 = N 6 y 1 y 3 8 N uϕ2 = N 4 y 2 y 1 8 N uϕ3 = N 5 y 3 y 2 8 N vϕ1 = N 6 x 1 x 3 8 N vϕ2 = N 4 x 2 x 1 8 N vϕ3 = N 5 x 3 x 2 8 Dle (2.12) je geometrická matice B dána vztahem B = T N, y 2 y 1 N 4, 8 y 3 y 2 N 5, 8 y 1 y 3 N 6, 8 x 2 x + 1 N 4, 8 x 3 x 2 + N 5, 8 x + 1 x 3 N 6. 8 kde je část operátorové matice (2.2) odpovídající rovinné úloze. Pro matici tuhosti K platí K = A B T DBdA, kde matice konstitutivních vztahů D odpovídá případu rovinné napjatosti (3.1). Při výpočtu byly použity čtyři integrační body. Módy nulové energie Při MKP výpočtu mohou nastat stavy, kdy speciální kombinaci posunů a rotací přísluší nulová deformační energie, taková úloha pak vede na singulární matici tuhosti. Tyto stavy lze identifikovat pomocí spektrálního rozkladu matice tuhosti, pro stěnový prvek s rotačními volnosti tento stav nastane pro shodné rotace ve všech třech vrcholech (obr. 5.3). Tento problém je zde vyřešen přidáním malého množství energie do matice tuhosti. Dle [18] lze přidanou energii vyjádřit následovně E R = α R Vϕ T R Gϕ R, kde α R = 1 6 je předem zvolený parametr, A je plocha prvku a ϕ R je relativní rotace v těžišti prvku, kde ϕ R = ϕ T 1 n n ϕ i i=1 36

46 Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti φ1 = φ 2 = φ φ1= 2= 3 φ φ 1 φ = φ 2= φ3 Obrázek 5.3.: Deformace prvku při stavu nulové energie. ϕ T = 1 ( v 2 x u ) T y. T Formulace skořepinového prvku Vzhledem k tomu, že každý z prvků, ze kterých se při formulaci vychází, odpovídá jiným stupňům volnosti, lze výsledné vztahy pro skořepinový prvek získat velice snadno. Pro řešení stěnodesek lze úlohu vyřešit zvlášť pro membránový stav a zvlášť pro ohyb. Aby bylo možné aplikovat prvek i na řešení skořepin, je třeba sestavit celkovou matici tuhosti, která zahrnuje oba stavy. Trojúhelníkovému prvku se šesti stupni volnosti odpovídá následující vektor neznámých posunutí r e = {u 1, v 1, w 1, ϕ x1, ϕ y1, ϕ z1, u 2, v 2, w 2, ϕ x2, ϕ y2, ϕ z2, u 3, v 3,, w 3, ϕ x3, ϕ y3, ϕ z3 } T. 37

47 Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti Matice konstitutivních vztahů bude mít tedy tvar DROT 11 DROT 12 D ROT 13 D ROT 21 DROT 22 D 23 ROT D D = DKT 11 DDKT 12 D 13 DKT DDKT 21 DDKT 22 DDKT 23, DDKT 31 DDKT 32 DDKT 33 DROT 31 DROT 32 DROT 33 kde D ROT odpovídá úloze rovinné napjatosti a D DKT odpovídá matici D m (3.6). Analogicky je setavena i geometrická matice prvku BROT 11 BROT 21 BROT 31 BROT 12 BROT 22 B 32 ROT BDKT 11 BDKT 21 BDKT 31 BDKT 12 BDKT 22 BDKT 32 BDKT 13 BDKT 23 BDKT 33 BROT 13 BROT 23 B 33 ROT BROT 14 BROT 24 B 34 ROT B ROT 15 BROT 25 B 35 ROT B B = DKT 14 BDKT 24 B 34 DKT BDKT 15 BDKT 25 BDKT 35 BDKT 16 BDKT 26 BDKT 36 BROT 16 BROT 26 BROT 36 BROT 17 BROT 27 BROT 37 BROT 18 BROT 28 BROT 38 BDKT 17 BDKT 27 BDKT 37 BDKT 18 BDKT 28 BDKT 38 BDKT 19 BDKT 29 BDKT 39 BROT 19 BROT 29 BROT 39 kde B ROT odpovídá matici stěnového prvku s rotačními stupni volnosti a B DKT odpovídá matici DKT prvku. Celková matice tuhosti potom opět plyne ze vztahu K = B T DBdA. A T, 38

48 Skořepinový prvek MITC4 Transformace do prostoru Až doposud byl prvek formulován v rovině. Pro použití prvku pro analýzu skořepinových konstrukcí je nutné provést transformaci do prostoru. Pro převod vektoru z lokálního systému do globálního platí r L = Ar G, kde a a a A = a a a a a je matice složená ze směrových kosínů mezi osami x, y, z lokálního a X, Y, Z globálního systému. Tyto hodnoty jsou v matici a uspořádány následovně cos(x, X) cos(x, Y) cos(x, Z) a = cos(y, X) cos(y, Y) cos(y, Z). cos(z, X) cos(z, Y) cos(z, Z) Globální matici tuhosti lze pak získat ze vztahu K G = A T K L A Skořepinový prvek MITC4 Formulace tohoto prvku vychází z prvku pro třídimenzionální analýzu vylepšeného tak, aby nedocházelo ke smykovému uzamknutí. Název představovaného čtyřúhelníkového prvku MITC4 plyne z anglického spojení Mixed Interpolation of Tensorial Components, do češtiny volně přeloženo jako smíšená interpolace tenzorových složek. Po praktické stránce z tohoto přístupu vyplývá, že je pro příčné smykové deformace použita jiná interpolace než pro zbylé složky vektoru deformací. Tento přístup byl navržen v článku [4]. 39

49 Skořepinový prvek MITC4 r 3 V n 3 3 r 2 x 3 x 2 4 V n 4 g 3 g 2 V n 2 2 g 1 V n 1 e 3 e 2 1 r 1 e 1 x 1 Obrázek 5.4.: Čtyřúhelníkový prvek pro analýzu skořepin - MITC Základní vztahy Geometrie prvku je znázorněna na obrázku 5.4 a lze ji popsat následovně x i = 4 h k xi k + r a k h k Vni k, (5.1) k=1 k=1 kde h k (r 1, r 2 ) jsou dvoudimenzionální interpolační fuknkce odpovídající uzlu k, r i jsou přirozené souřadnice, x i vyjadřuje souřadnice kartézského systému pro libovolný bod, x k i odpovídá kartézským souřadnicím k-tého uzlu, V k ni jsou složky řídícího vektoru v uzlu k a a k je tloušťka skořepiny v uzlu měřená podél řídícího vektoru. Pro posunutí libovolného bodu platí u i = 4 h k ui k + r a k h k ( V2i k α k + V1i k β k), (5.2) k=1 k=1 kde u i jsou posuny ve směru os x i a α a β jsou rotace řídícího vektoru V k n kolem V k 1 a V k 2, kde V k 1 = e 2 V k n e 2 V k n, 4

50 Skořepinový prvek MITC4 V2 k = Vn k V1 k. Vektor e 2 je bázovým vektorem kartézského systému souřadnic. Vektor neznámých posunutí takto formulovaného prvku má tvar r e = {u 1 1, u1 2, u1 3, α 1, β 1, u 2 1, u2 2, u2 3, α 2, β 2, u 3 1, u3 2, u3 3, α 3, β 3, u 4 1, u4 2, u4 3, α 4, β 4 } T. Pro interpolaci posunutí a geometrie jsou využity bilineární aproximační funkce, které mají na čtyřúhelníku tvar h 1 = 1 4 (1 + r 1)(1 + r 2 ), h 2 = 1 4 (1 r 1)(1 + r 2 ), h 3 = 1 4 (1 r 1)(1 r 2 ), (5.3) h 4 = 1 4 (1 + r 1)(1 r 2 ). Pro derivace h k,i interpolačních funkcí podle r i platí h 1,1 = h 1 r 1 = 1 4 (1 + r 2), h 1,2 = h 1 r 2 = 1 4 (1 + r 1), h 2,1 = h 2 r 1 = 1 4 (1 + r 2), h 2,2 = h 2 r 2 = 1 4 (1 r 1), h 3,1 = h 3 r 1 = 1 4 (1 r 2), h 3,2 = h 3 r 2 = 1 4 (1 r 1), h 4,1 = h 4 r 1 = 1 4 (1 r 2), h 4,2 = h 4 r 2 = 1 4 (1 + r 1). (5.4) Sestavení prvku Hlavním problémem takto formulovaného prvku je smykové zatuhnutí pro tenké konstrukce. Použitím interpolace posunutí dle (5.2) vychází příčné smykové deformace nenulové i pro namáhání konstantním ohybovým momentem. Z tohoto důvodu bylo navrženo nepočítat tyto deformace z posunutí vyjádřených v (5.2), ale interpolovat tyto složky takovým způsobem, který by umožnil obdržení konstantní aproximace smykových složek deformace podél směrů r 1 a r 2, tedy ε 13 = 1 2 (1 + r 2) ε A (1 r 2) ε C 13, ε 23 = 1 2 (1 + r 1) ε D (1 r 1) ε B 23, (5.5) kde značí vyjádření v systému přirozených souřadnic a složky ε A 13, εb 23, εc 13 a εd 23 odpovídají hodnotám příslušných deformací ve středech hran prvku spočtených z posunutí, tj. například ε A 13 = ( u r 3 + w r 1 ) A. 41

51 Skořepinový prvek MITC4 y 2 A r 2 1 B D r 1 3 C 4 x Obrázek 5.5.: Uvažovaná poloha prvku v lokálním souřadném systému. Vzhledem k tomu, že celková geometrická matice je vyjádřena v kartézském systému souřadnic, je nutné vztahy pro výpočet příčných smykových deformací transformovat do tohoto systému. Je uvažován prvek se střednicovou plochou ležící v rovině x, y (obr. 5.5). V systému přirozených souřadnic r 1, r 2 a r 3 je vhodné zavést tzv. kovariantní a kontravariantní báze. Pro kovariantní bázové vektory g i (i = 1, 2, 3) platí g i = x r i. (5.6) Kontravariantní bázové vektory g j (j = 1, 2, 3) lze dopočítat ze vztahu g i g j = δ j i, (5.7) kde δ j i je tzv. Kroneckerovo delta, δj i = 1 pro i = j a δ j i = pro i = j. Pro složky ε ij lze psát ε ij = 1 2 ε ij = 1 2 ( u r i g j + u r j g i ( u r i x r j + u r j x r i ), ). (5.8) 42

52 Skořepinový prvek MITC4 Dosazením z (5.1) a (5.2) do rovnice (5.8) a napočítáním konkrétních hodnot interpolačních funkcí a jejich derivací v bodech A, B, C, D lze vyjádřit vztahy pro ε A 13, εb 23, εc 13 a ε D 23, a tedy ε A 13 = 1 8 [ (u 1 u 2 ) 1 2 (a 1V 1 n + a 2 V 2 n )+ (x 1 x 2 ) 1 2 (a 1( V2 1α 1 + V1 1β 1) + a 2 ( V2 2α 2 + V1 2β 2)) ], ε C 13 = 1 [ 8 (u 4 u 3 ) 1 2 (a 3Vn 3 + a 4 Vn 4 )+ (x 4 x 3 ) 1 2 (a 3( V2 3α 3 + V1 3β 3) + a 4 ( V2 4α 4 + V1 4β 4)) ], ε B 23 = 1 [ 8 (u 1 u 4 ) 1 2 (a 1Vn 1 + a 4 Vn 4 )+ (x 1 x 4 ) 1 2 (a 1( V2 1α 1 + V1 1β 1) + a 4 ( V2 4α 4 + V1 4β 4)) ], ε D 23 = 1 [ 8 (u 2 u 3 ) 1 2 (a 2Vn 2 + a 3 Vn 3 )+ (x 2 x 3 ) 1 2 (a 2( V 2 2 α 2 + V 2 1 β 2) + a 3 ( V 3 2 α 3 + V 3 1 β 3)) ]. (5.9) Výsledné vztahy pro ε 13 a ε 23 lze vyjádřit dosazením vztahů (5.9) do rovnic (5.5). Pro transformaci do kartézského systému souřadnic lze využít vztahu ε ij g i g j = ε kl e k e l, kde ε kl jsou složky tenzoru deformací v kartézském souřadném systému s bázovými vektory e k a e l. Uvážením symetrie tenzoru deformací lze vyjádřit složky vektoru deformací γ xz a γ yz, a to následovně γ xy = 2 ε 13 (g 1 e 1 )(g 3 e 3 ) + 2 ε 23 (g 2 e 1 )(g 3 e 3 ), γ yz = 2 ε 13 (g 1 e 2 )(g 3 e 3 ) + 2 ε 23 (g 2 e 2 )(g 3 e 3 ) (5.1) Výsledné vztahy pro příčné smykové deformace lze obdržet dosazením z (5.5) a (5.9) do (5.1). Pro ostatní složky vektoru deformace (3.7) lze využít vztahy plynoucí z (2.1) a (2.2), tedy ε x = u 1 x 1, ε y = u 2 x 2, (5.11) γ xy = u 1 x 2 + u 2 x 1. 43

53 Skořepinový prvek MITC4 Pro derivace posunů u 1 a u 2 podle přirozených souřadnic platí u i r 1 = u i r 2 = 4 h k,1 ui k + r 3 2 k=1 4 h k,2 ui k + r 3 2 k=1 4 a k h k,1 ( V2i k α k + V1i k β k), k=1 4 a k h k,2 ( V2i k α k + V1i k β k), (5.12) k=1 u i = 1 4 r 3 2 a k h k ( V2i k α k + V1i k β k), k=1 kde h k,i jsou derivace interpolačních funkcí definované v (5.4). Z věty o derivaci složené funkce plyne kde J je tzv. Jakobián x 1 x 2 x 3 J = = J 1 r 1 r 2 r 3 x 1 x 2 x 3 r 1 r 1 r 1 x 1 x 2 x 3 r 2 r 2 r 2 x 1 x 2 x 3 r 3 r 3 r 3, (5.13) Výsledné vztahy pro složky vektoru deformací ε x, ε y, ε xy lze vyjádřit dosazením z (5.12) a (5.13) do (5.11).. Geometrická matice Dle (2.12) geometrická matice B zprostředkovává vztah mezi vektorem deformací a vektorem neznámých posunutí ε = Br e. Geometrickou matici pro tento prvek lze tedy sestavit vytknutím jednotlivých stupňů volnosti z výše uvedených formulací složek vektoru deformace. Matice tuhosti Celková matice tuhosti je opět dána vztahem K = B T DBdV, V kde konstitutivní matice D zohledňuje vlastnosti skořepin (3.8). Při praktickém výpočtu byly použity 2x2x2 integrační body. 44

54 Skořepinový prvek MITC4 Transformace do prostoru Vzhledem k tomu, že předvedená formulace prvku uvažovala střednicovou plochu v rovině x, y, je opět nutné provést transformaci do prostoru. Pro převod vektoru posunutí a matice tuhosti z lokálního systému do globálního platí r L = Ar G, K G = A T K L A. kde A = a b a b a b. Pro převod rotací je zde použita submatice b, která zohledňuje pouze dvě rotace ve vektoru posunutí v lokálním systému. V globálním souřadném systému je ve výsledku uvažováno šest stupňů volnosti v každém uzlu. Pro submatice a a b platí cos(x, X) cos(x, Y) cos(x, Z) a = cos(y, X) cos(y, Y) cos(y, Z), cos(z, X) cos(z, Y) cos(z, Z) cos(x, X) b = cos(x, Y) cos(x, Z). cos(y, X) cos(y, Y) cos(y, Z) 45

55 KAPITOLA ŠESTÁ IMPLEMENTACE DO PROSTŘEDÍ MATLAB Jedním z hlavních výstupů této práce je program 1 napsaný v prostředí MATLAB [14]. Program je určen pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí, k dispozici jsou dva deskové a dva skořepinové prvky představené v předchozích kapitolách. Program je určen předvším k porovnání těchto prvků, je v něm tedy připraveno několik příkladů, na kterých jsou prvky testovány. Struktura programu je však navržena takovým způsobem, aby bylo snadné zadat libovolnou úlohu. Vstupní data Před spuštěním programu je potřeba definovat řešený problém. Je nutné: zvolit typ prvku, zadat materiálové charakteristiky - E, ν, formulovat řešenou úlohu. Způsob, jakým by měla být úloha formulována je patrný z následujícího příkladu. 1 Program je k práci přiložen na CD. 46

56 1 % DKT PATCH BENDING 2 3 % Poissonuv soucinitel 4 ny =.3; 5 % Younguv modul pruznosti 6 E = 2.1*1^6; 7 % Smykovy faktor 8 k = 1.; 9 1 % Tloustka konstrukce 11 h = 1.; % Pole souradnic uzlu 14 xy = [ 1 ; 15 ; ; ; ; ; ; 21 1 ]; % Pole kodovych cisel 24 lm = [ ; ; ; ; ; ; ; ; ; ]; % Umisteni zatizeni 36 lf = [21 24]; 37 % Velikost zatizeni 38 f = [5. 5.]; 39 % Podeprene stupne volnosti 4 sp = [ ]; Jedná se o vstupní data pro patch test deskového DKT prvku. Síť konstrukce je zobrazena na obrázku 6.1. Okrajové podmínky jsou zadané pomocí vektorů lf, f a sp, kde lf stanovuje jakému stupni volnosti zatížení odpovídá, f udává velikosti jednotlivých sil (momentů) a sp udává kódová čísla odebraných stupňů volnosti. Pro formulaci úlohy je také možné zvolit jednu z předem připravených funkcí. Jsou připraveny 47

57 Patch testy y M = 5 1, 2, 3 19, 2, , 8, , 14, , 17, , 5, 6 1, 11, , 23, 24 M = 5 x Obrázek 6.1.: Síť prvků pro patch test definovaný v ukázce kódu pro formulaci úlohy. Podtržítkem jsou označeny odebrané stupně volnosti. celkem tři úlohy, a to: po obvodu kloubově podepřená deska se spojitým zatížením, zkosená konzola se spojitým zatížením, válcová skořepina zatížená protilehlými silami. Detailní popis těchto konstrukcí je uveden v rámci následující kapitoly. U všech těchto problémů je možné zvolit rozměry konstrukce, velikost zatížení a jemnost dělení sítě konečných prvků. Příslušná vstupní data jsou pak vygenerována automaticky Patch testy Pro prvotní ověření implementovaných prvků byly použity tzv. patch testy. Jedná se o testy na jednoduchých soustavách několika prvků. V uzlech prvků jsou zadány takové okrajové podmínky, které vedou na stav konstantní deformace. Pro patch testy 48

58 Patch testy y y x x Obrázek 6.2.: Sestavy trojúhelníkových (vlevo) a čtyřúhelníkových (vpravo) prvků použité pro patch testy. provedené v rámci této práce byla zvolena síť prvků znázorněná na obrázku 6.2. Všechny testy byly provedeny pro dvě různé tloušťky t konstrukce, a to t = 1. a t = Deskové prvky DKT a DKQ Pro otestování deskových prvků DKT a DKQ byly zvoleny dva testy, a to test, kdy je konstrukce zatížena konstantním momentem (obr. 6.3 a) a konstrukce zatížená kroutící silou (obr. 6.3 c). Oba testy byly splněny pro oba prvky. V případě zatížení konstantním momentem byl obdržen lineární průběh rotací v obou směrech, a to pro obě testované tloušťky konstrukce. Pro konstrukci zatíženou kroucením byly pro obě tloušťky obdrženy konstantní křivosti v obou směrech konstrukce Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti Stěnodeskový prvek s rotačními stupni volnosti (dále jako RDKT) byl otestován na stejných příkladech jako předchozí dva prvky. Vzhledem k způsobu formulace tohoto 49

59 Patch testy u,v,w,φ y M w F w F u,v,φ,φ y x u,v u,w,φ y M F w w a) b) c) w Obrázek 6.3.: Způsob zatížení a podepření pro jednotlivé patch testy. Popsané posuny a rotace značí odebrané stupně volnosti (pokud jimi prvek disponuje), stupně volnosti uvedené v rámečku jsou odebrány na celém prvku. Síla F působí kolmo ke střednicové rovině. prvku je zřejmé, že výsledky byly shodné s výsledky deskového DKT. Prvek byl dále otestován pro membránové působení, tedy pro stavy konstantního napětí σ x, σ y, τ xy, kterým vyhověl Skořepinový prvek MITC4 Prvek MITC4 byl otestován na všech doposud uvedených příkladech. Prvek splnil všechny testy pro obě tloušťky konstrukce, pouze pro zatížení kroutící silou bylo možné pozorovat ve vektoru posunutí malou nesymetrii (třetí platná číslice) v případě t = 1.. To je způsobeno nesymetrickým zastoupením příčných smykových deformací. Pro prvek MITC4 byl navíc proveden patch test pro stav konstantní příčné smykové deformace (obr. 6.3 b). Tento test byl opět splněn, lineární průběh průhybu byl obdržen pro obě tloušťky konstrukce. 5

60 Patch testy Výsledky patch testů prvek test DKT DKQ RDKT MITC konstantní křivost konstantní kroucení konstantní smyk σ x = konst. - - σ y = konst. - - τ xy = konst

61 KAPITOLA SEDMÁ NUMERICKÉ VÝSLEDKY V této kapitole je provedeno několik výpočtů na složitějších konstrukcích. Cílem je porovnat obdržené výsledky s ostatními dostupnými prvky a případně i s dostupným přesným řešením Kloubově podepřená deska Pro otestování prvků na deskových konstrukcích byla zvolena kloubově podepřená deska (obr. 7.1). Testy byly provedeny pro různé tloušťky konstrukce a pro různou jemnost dělení sítě. Výpočet byl proveden s využitím všech prezentovaných prvků s výjimkou stěnodeskového prvku s rotačními stupni volnosti, který se pro řešení desek shoduje s DKT prvkem. Výsledky byly porovnány i s některými dalšími prvky [16] implementovanými v programu OOFEM. Z těchto prvků byl vybrán tzv. Constant Curvature Triangle (CCT), který je založen na Mindlinově teorii a uvažuje konstantní křivosti po prvku. Druhým prvkem pro porovnání je Mindlinovský čtyřúhelníkový prvek s lineární aproximací s uvážením plné a redukované integrace, dále budou tyto prvky značeny Q4FI, respektive Q4RI. Hodnoty průhybu uprostřed desky jsou uvedeny v tabulce

62 Kloubově podepřená deska y E = 3 GPa ν =.18 L = 1 m q = 1 kn h L x Obrázek 7.1.: Kloubově podepřená deska zatížená konstantním tlakem w[m] x y x Obrázek 7.2.: Průhyb kloubově podepřené desky o tloušťce t=.125 spočtený prvkem DKQ. 53

63 Kloubově podepřená deska w[m] t/l h = 1 m h =.5m h =.25m DKT DKQ MITC CCT Q4RI Q4FI Tabulka 7.1.: Hodnoty průhybu po obvodě kloubově podepřené desky pro různé tloušťky t konstrukce a různou jemnost dělení sítě. 54

64 Zkosená konzola Z výsledků pro tlustou desku (t/l=.5) je patrný rozdíl mezi prvky, které zanedbávají vliv posouvajících sil (DKT, DKQ) a mezi prvky, které vliv posouvajících sil uvažují. Průhyby první skupiny prvků vycházejí podstatně menší, pro analýzu tlustých desek nejsou tedy tyto prvky vzhledem k úvážení Kirchhoffových předpokladů vhodné. Se snižováním tloušťky konstrukce naopak nastává problém u řady ostatních prvků. Prvek CCT vykazuje pro malou tloušťku konstrukce pomalejší konvergenci, nicméně při použití dostatečného množství prvků umožní vyčíslit obdobnou hodnotu průhybu, jako ostatní prvky. U čtyřúhelníkového prvku Q4FI s plnou integrací lze pozorovat výrazné smykové uzamknutí, tento prvek je tedy nemožné použít pro ohýbané konstrukce. Prvek MITC4 vykazuje jak pro tenkou, tak pro tlustou desku o něco vyšší hodnoty průhybu, nicméně z výsledků je patrné, že díky upravení příčných smykových složek deformace nedochází ke smykovému zatuhnutí a prvek je tedy vhodný pro výpočet konstrukcí bez ohledu na jejich tloušťku. Na obrázku 7.2 je zobrazen průhyb desky, z vektoru posunutí byly dále spočteny hodnoty napětí a momentů ukázané na obrázku Zkosená konzola Jako další příklad pro otestování prvků na deskových konstrukcích je zkosená konzola. Jedná se o tenkou vetknutou zkosenou desku, která je zatížena konstantním spojitým zatížením obr Analýza byla opět provedena pro oba deskové prvky a pro skořepinový prvek MITC4. Porovnávány byly hodnoty průhybu v šesti různých bodech. Byla zvolena síť s dělením 4x4. Pro porovnání jsou uvedeny také hodnoty získané použitím čtyřúheníkového izoparametrického prvku s 16-ti uzly (dále značen Q16) [4] a hodnoty získané experimentálně [4]. Pro prvek Q16 byla použita síť 2x2. 55

65 Zkosená konzola 1 σ x [Pa] x m x [N] 1 y y x 5 1 x 4 1 σ y [Pa] x m y [N] 1 y y x 5 1 x 4 1 τ xy [Pa] x m xy [N] 2 y 5 y x x 2 Obrázek 7.3.: Hodnoty napětí v dolních vláknech spočtených pomocí MITC4 (vlevo) a momentů spočtených pomocí DKQ (vpravo). 56

66 Zkosená konzola y 6 E = 1.5x1 Pa ν =.3 t =.125 m q =.2666 N m x 12m Obrázek 7.4.: Zkosená konzola s naznačením použité sítě prvků. Na obrázku 7.5 je znázorněn průhyb konstrukce, výsledné hodnoty jsou uvedeny v tabulce 7.2. Z výsledků je patrné, že prvky DKT a DKQ dosahují lepších výsledků než prvky MITC4 a Q16. Formulace prvku Q16 je obdobná jako pro prvek MITC4, vzhledem k použití interpolačních funkcí vyššího stupně u tohoto prvku však není nutné dodatečně řešit smykové zamykání. Z obdržených výsledků je zřejmé, že prvek MITC4 je díky navrženému opatření schopný vystihnout ohyb obdobně jako prvek Q16, výpočet s interpolačními funkcemi nižšího stupně je navíc méně časově náročný. Z vektoru posunutí byly opět spočteny hodnoty napětí a momentů ukázané na obrázku

67 Zkosená konzola 1 8 w [m] y x.372 Obrázek 7.5.: Průhyb zkosené konzoly spočtený pomocí DKQ. w[m] bod DKT DKQ MITC Q experiment Tabulka 7.2.: Hodnoty průhybu zkosené konzoly. 58

68 Zkosená konzola y σ x [Pa] x y 1 5 m x [N] 1 2 x y σ y [Pa] x 2 4 y m y [N] x y τ xy [Pa] x y 1 5 m xy [N] 1 2 x Obrázek 7.6.: Hodnoty napětí v dolních vláknech spočtených pomocí MITC4 (vlevo) a momentů spočtených pomocí DKT (vpravo). 59

69 Skořepina tvaru válce F 6 E = 3x1 MPa ν =.3 L = 6 mm R = 3 mm t =3 mm F = 25 N R z x y F L Obrázek 7.7.: Válcová skořepina zatížená protilehlými silami Skořepina tvaru válce Skořepinové prvky byly navíc otestovány na třídimenzionální skořepinové konstrukci. Kromě prvků MITC4 a stěnodeskového prvku s rotačními stupni volnosti (RDKT), byl pro porovnání použit také prvek, který je sestaven obdobně jako prvek RDKT, pro deskovou část je zde však použit místo DKT prvku prvek CCT, jenž byl představen v rámci testů na deskových konstrukcích. Takto složený prvek bude dále značen jako RCCT. Byla vybrána konstrukce válce, která je často pro testování skořepin používána. Výhodou tohoto testu je analytické řešení [3], se kterým je možné porovnat vypočtené výsledky. Je uvažována válcová konstrukce s poměrem délky konstrukce ku poloměru L/R = 2 a poloměru ku tloušťce R/t = 1. Otvory válcové konstrukce jsou vyplněny tuhými membránami a konstrukce je zatížena dvěma protilehlými silami. Konstrukce je zobrazena na obrázku (7.7), pro analýzu byla vzhledem k symetrii použita pouze jedna osmina válce, okrajové podmínky jsou upřesněny na obrázku (7.8). Pro porovnání výsledného průhybu v místě zatížení byl použit vzorec w c = w c P Et, kde w c = (viz [3]). Tvar deformované konstrukce je ukázán na obrázku (7.9). Výsledné hodnoty pro všechny tři prvky jsou zaznamenány v grafu a tabulce na obrázku (7.1). 6

70 Skořepina tvaru válce C x F H z F F I I I H H D A I I I G E E I E I I B G G Odebrané stupně volnosti: A : B : C : D : E : F : G : H : : y u,v,φ,φ,φ u,w,φ,φ,φ x y z v,φ,φ x z v,w,φ,φ x y u,φ,φ,φ x y z v,φ,φ x z w,φ,φ x y v,w,φ x I - x y z Obrázek 7.8.: Část konstrukce použitá pro analýzu s vyznačením odebraných stupňů volnosti. Obrázek 7.9.: Deformovaný tvar konstrukce válcové skořepiny (zobrazeny 25 x hodnoty skutečných posunů). Barevná škála znázorňuje normálové napětí v dolních vláknech v rovině y, z. 61