Model tenisového utkání

Transkript

1 Model tenisového utkání Jan Šustek Semestrální rojekt do ředmětu Náhodné rocesy 2005 V této ráci se budu zabývat modelem tenisového utkání. Vstuními hodnotami budou úsěšnosti odání jednotlivých hráčů, neboli ravděodobnosti, že daný hráč ři svém odání vyhraje bod. V rvní části odrobně rozeberu vývoj stavu v jednotlivém gamu. Najdu vzorec ro ravděodobnost toho, že daný hráč ři svém odání vyhraje game. V dalších částech rozeberu vývoj skóre v setu a v celém záasu. Odvozování vzorců v těchto částech je obdobné jako v rvní části, avšak situace je značně komlikovanější. Proto v těchto částech budu vzorce a rovnice odvozovat jen stručně a vznié soustavy rovnic vyřeším jen částečně. I tak budou vzorce dost složité. Ne vždy bude oužitá symbolika matematicky zcela korektní, avšak vždy bude z kontextu zřejmý její význam. Často budu oužívat dolní i horní indexy. Vždy však bude jasné, kdy se jedná o horní index a kdy o mocninu. 1 Model gamu Nechť je úsěšnost odání odávajícího hráče. Označme = 1 je ravděodobnost toho, že bod uhraje soueř. Na následujícím grafu je znázorněn vývoj skóre v gamu, včetně ravděodobností řechodů mezi jednotlivými stavy. 0:0 15:0 0:15 30:0 15:15 0:30 40:0 30:15 15:30 0:40 40:15 30:30 15:40 V1 40:30 30:40 V2 Ad1 40:40 Ad2 1

2 Jednotlivé stavy označím následovně: E ij, i, j = 0, 1, 3, 4 Stav gamu je ϕi:ϕj, řičemž ϕ0 = 0, ϕ1 = 15, ϕ3 = = 30 a ϕ4 = 40; E Ai, i = 1, 2 Hráč i má výhodu v grafu Adi ; E Vi, i = 1, 2 Hráč i vyhrál game v grafu Vi. Označme I = {00, 10, 01, 30, 11, 03, 40, 31, 13, 04, 41, 33, 14, V1, 43, 34, V2, A1, 44, A2}. Potom S = {E j j I} je množina všech možných stavů. Nechť X n je náhodná veličina označující stav systému o n krocích. Nechť n j, j I, n N, označuje ravděodobnost, že o n krocích bude systém ve stavu E j. Na začátku je stav 0:0; očáteční stav systému tedy je X 0 = E 00. To znamená, že {X n } n N je Markovův řetězec s diskrétním časem, jehož množina stavů je S, vektor 0 očátečního rozdělení ravděodobnosti je dán vztahem { 0 1, j = 00, j = 0 jinak a matice ravděodobností řechodů je E 00 E 10 E 01 E 30 E 11 E 03 E 40 E 31 E 13 E 04 E 41 E 33 E 14 E V1 E 43 E 34 E V2 E A1 E 44 E A2 E E E E E E E E E P = j i E 04 i,j I = E E E E V E E E V E A E E A Nyní uvedu rozdělení ravděodobnosti n o rvních několika krocích. Rozdělení o jednom kroku je 1 = 0 P = E 00 E 10 E 01 E 30 E 11 E 03 E 40 E 31 E 13 E 04 E 41 E 33 E 14 E V1 E 43 E 34 E V2 E A1 E 44 E A , 2

3 o dvou krocích 2 = 1 P = E 00 E 10 E 01 E 30 E 11 E 03 E 40 E 31 E 13 E 04 E 41 E 33 E 14 E V1 E 43 E 34 E V2 E A1 E 44 E A , o třech krocích 3 = 2 P = E 00 E 10 E 01 E 30 E 11 E 03 E 40 E 31 E 13 E 04 E 41 E 33 E 14 E V1 E 43 E 34 E V2 E A1 E 44 E A , atd. Je zřejmé, že o n 6 krocích bude mít rozdělení tvar n = E 00 E 10 E 01 E 30 E 11 E 03 E 40 E 31 E 13 E 04 E 41 E 33 E 14 E V1 E 43 E 34 E V2 E A1 E 44 E A α V1 0 0 α V2 α A1 α 44 α A2, kde ravděodobnosti α j závisí na hodnotě n. Označme K j náhodnou veličinu rerezentující dobu čekání na rvní růchod stavem E j za ředoadu, že v čase t = 0 byl systém ve stavu E j. Náhodná veličina K j se nazývá doba návratu do stavu E j. Označme {k n j } n=0 rozdělení náhodné veličiny K j. Nyní rovedu asifikaci stavů. j J 1 = {00, 10, 01, 30, 11, 03, 40, 31, 13, 04, 41, 33, 14, 43, 34} Je-li systém na začátku v některém stavu E j, j J 1, ak o jednom či více krocích systém nemůže být v témže stavu E j. To znamená, že k n j = 0 ro všechna j J 1 a n = 1, 2,.... Protože n=1 kn j = 0 < 1, jsou všechny stavy E j, j J 1, řechodné. j = 44 Je-li systém na začátku ve stavu E 44, ak se zět do tohoto stavu buď nikdy nedostane, nebo rvní návrat do stavu E 44 nastane rávě o dvou krocích, a to s ravděodobností 2. To znamená, že k 2 44 = 2 a k n 44 = 0 ro ostatní n. Odtud lyne, že stav E 44 je eriodický s eriodou λ = 2. Protože n=1 kn 44 = 2 < 1, je stav E 44 řechodný. j J 2 = {A1, A2} Je-li systém na začátku v některém stavu E j, j J 2, ak se zět do tohoto stavu buď nikdy nedostane, nebo rvní návrat do tohoto stavu nastane o sudém očtu kroků, a to s ravděodobností k 2m j = m. Pro lichá n je k n j = 0. Protože n=1 kn j = < 1, jsou stavy E 1 A1 a E A2 řechodné. Tyto stavy jsou eriodické a jejich erioda je λ = 2. j J 3 = {V1, V2} Je-li systém na začátku v některém stavu E j, j J 3, ak se z tohoto stavu nikdy nedostane. Stavy E V1 a E V2 jsou roto absorční. Protože Markovův řetězec obsahuje absorční stavy, je tento řetězec rozložitelný. Označme T = I \ {V1, V2} množinu indexů všech řechodných stavů. To znamená, že {E j j T } je množina všech řechodných stavů. Stav E V1 je absorční. Pro j T označme x j ravděodobnost absorce v množině {E V1 } za ředoadu, že na očátku byl systém ve stavu j. Ve skutečnosti x 00 je ravděodobnost, že odávající hráč vyhraje game. Pravděodobnosti x j, j T, jsou řešením soustavy x j x 1 j = ν T ν j x ν, j T, 1 3

4 kde x 1 j je ravděodobnost absorce v rvním kroku. Je zřejmé, že x 1 j = V1 j. Dosazením tohoto do 1 dostaneme x 00 = x 10 + x 01, x 40 = x 41 +, x 14 = x 34, x 10 = x 30 + x 11, x 31 = x 41 + x 33, x 43 = x 44 +, x 01 = x 11 + x 03, x 13 = x 33 + x 14, x 34 = x 44, x 30 = x 40 + x 31, x 04 = x 14, x A1 = x 44 +, x 11 = x 31 + x 13, x 41 = x 43 +, x 44 = x A1 + x A2, x 03 = x 13 + x 04, x 33 = x 43 + x 34, x A2 = x 44. Tato soustava má řešení x 00 = x 10 = x 01 = x 30 = x 11 = x 03 = x 40 = x 31 = x 13 = , x 04 = 5 1 2,, x 41 = +, x 33 = 2 1 2,, x 14 = 4 1 2, 1 2 1,, x 43 = ,, x 34 = 3 1 2,, x A1 = ,, x 44 = 2 1 2,, x A2 = Hlavním výsledkem této části je vzorec ro ravděodobnost A, že odávající hráč vyhraje game, za ředoadu, že ravděodobnost, že ři svém odání uhraje bod, je. Platí A = x 00 = Graf funkce A je na následujícím obrázku. y x 4

5 2 Model setu Označme hráče odávajícího v rvním gamu daného setu jako hráče 1, jeho soueře jako hráče 2. Nechť ravděodobnost toho, že hráč 1 ři svém odání vyhraje game, a nechť v 1 = 1 je ravděodobnost, že ři odání hráče 1 vyhraje game hráč 2. Podobně označme u 2 ravděodobnost toho, že hráč 2 ři svém odání vyhraje game, a = 1 u 2 ravděodobnost, že ři odání hráče 2 vyhraje game hráč 1. Pro jednoduchost budu ředoádat, že se hraje odle starých ravidel, tedy, že vítěz setu musí vyhrát alesoň šest gamů a řitom vyhrát alesoň o dva gamy více než soueř. Z hlediska vývoje stavu v setu jsou ekvivalentní stavy 4:4, 5:5, 6:6, 7:7,..., rotože k vítězství v setu za tohoto stavu každý hráč otřebuje vyhrát dva gamy a žádný nerohrát. Podobně jsou ekvivalentní stavy 5:4, 6:5, 7:6,... a stavy 4:5, 5:6, 6:7,.... Na následujícím grafu je znázorněn vývoj skóre a odání v setu, včetně ravděodobností řechodů mezi jednotlivými stavy. Symbol i:j Pk znamená, že stav setu je i:j a v současném gamu odává hráč k. Symbol Vk Pl znamená, že set vyhrál hráč k a na začátku dalšího setu bude odávat hráč l. 5:0 V1 4:0 v 1 u 2 5:1 V1 3:0 u 2 4:1 u 2 v2 v 1 5:2 2:0 v 1 3:1 v 1 4:2 v 1 u 2 1:0 u 2 2:1 u 2 3:2 u 2 4:3 u 2 5:3 v 1 5:4 Jednotlivé stavy označím následovně: 0:0 v 1 1:1 v 1 2:2 v 1 3:3 v 1 u 2 4:4 0:1 u 2 1:2 u 2 2:3 u 2 3:4 u 2 4:5 0:2 v 1 1:3 v 1 2:4 v 1 3:5 0:3 u 2 1:4 u 2 2:5 0:4 v 1 F ij Skóre v setu je i:j, řitom odává hráč i + j mod 2 + 1; G Set vyhrál hráč k a na začátku dalšího setu bude odávat hráč l. v 1 u 2 v 1 u2 1:5 V2 v 1 0:5 u 2 V2 5

6 Označme ij res. rij ravděodobnost řechodu ze stavu F ij do stavu F res. G během jednoho kroku. Jednotlivé ravděodobnosti lze vyčíst z výše uvedeného grafu. Podobně jako v rvní části označme T = {00, 10, 01,..., 54, 45} množinu indexů řechodných stavů. To znamená, že {F j j T } je množina všech řechodných stavů. Stavy G jsou absorční. Označme ravděodobnost absorce v množině {G } za ředoadu, že na očátku byl systém ve stavu F ij. Ve skutečnosti y00 znamená ravděodobnost, že okud na začátku setu odával hráč 1, ak set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude odávat hráč l. Podobně označme zij ravděodobnost absorce v množině {G } za ředoadu, že na začátku byl systém ve stavu G ij. Je zřejmé, že latí zij = δ ik δ jl, kde δ je Kroneckerova funkce. Pravděodobnosti musí slňovat soustavu rovnic odobnou soustavě 1, řičemž s využitím toho, že absorční množiny jsou jednorvkové, lze tuto soustavu řesat následovně: y ij = µν T µν ij y µν + 2 α,β=1 r αβ ij z αβ, ij T, k, l = 1, 2. 2 Dosazením ravděodobností z grafu a vztahu ro z ij do 2 dostáváme = y i+1,j + v 1 y i,j+1, ij = 00, 20, 11, 02, 40, 31, 22, 13, 04, 42, 33, 24, 44, = y i+1,j + u 2 y i,j+1, ij = 10, 01, 30, 21, 12, 03, 41, 32, 23, 14, 43, 34, = δ 1k δ 1l + u 2 y i,j+1, ij = 50, 52, = y i+1,j + u 2 δ 2k δ 1l, ij = 05, 25, = δ 1k δ 2l + v 1 y i,j+1, ij = 51, 53, = y i+1,j + v 1 δ 2k δ 2l, ij = 15, 35, y54 = δ 1k δ 1l + u 2 y44, y45 = y44 + u 2 δ 2k δ 1l, k, l = 1, 2. Tato soustava 140 rovnic o 140 neznámých má jediné řešení. Důležité je řešení ro neznámé y 00: y = u 4 1 u u 3 1u 2 2 3u 4 1u u 3 1u 3 2v 1 + 4u 4 1u 4 2v u u 3 1u u 2 1u 2 v u 3 1u 2 2v u 2 1u u 3 1u 3 2v1 2 2 u 2 1v 1 v v u 2 1u 2 v u 2 v1v v1v v1v u 2 v1v v1v 5 2 5, 1 u 2 v 1 y = u 2 1 4u 3 1 u u 2 1u u 2 1u 2 2v v u v 3 1v 3 2, y = y = u 2 1 u 2 v 1 5u 4 1 u 4 2 4u 5 1u u 2 1u 3 2v 1 6u 3 1u 4 2v 1 + u u u 3 1u 3 2v 1 20u 4 1u 4 2v u u 2 1u u 2 2v1v u 2 1u 2 2v u 2 v1v u 2 2v1v u 2 v1v u 2 1u 2 2v1v u 2 v1v v1v u 2 v1v 4 2 4, 1 u 2 v 1 4u 3 1 u u 2 2v u 2 1u 2 2v 1 + 3u 2 v u 2 v v1v

7 Označme B, u 2 ravděodobnost toho, že okud na začátku setu odával hráč 1, ak set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude odávat hráč l, za ředoadu, že ravděodobnost toho, že hráč 1 ři svém odání vyhraje game, je rovna a ravděodobnost toho, že hráč 2 ři svém odání vyhraje game, je rovna u 2. Tu dostaneme z y 00 dosazením v 1 = 1 a = 1 u 2. Platí B 11, u 2 = 1 u 2 1 4u u 3 1 9u u u 2 u 2 1u 2 46u 3 1u u 4 1u 2 40u 5 1u 2 10u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u u 5 1u u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u u 5 1u u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u u 5 1u u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u 5 2, + u 2 2 u 2 B 12, u 2 = u 2 1 u u u u 2 54 u u 2 1u 2 36u 3 1u 2 12u u u 2 1u u 3 1u u u u 2 1u u 3 1u 3 2, B 21, u 2 = 1 u u1 6u u 3 1 u u 2 43 u u 2 1u 2 109u 3 1u u 4 1u 2 4u 5 1u 2 9u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u u 5 1u u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u u 5 1u 3 2 4u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u u 5 1u u u 2 1u u 3 1u u 4 1u 5 2, + u 2 2 u 2 B 22, u 2 = 1 2 u u1 + 12u 2 1 4u 3 1 9u u 2 81u 2 1u u 3 1u 2 + 9u u u 2 1u u 3 1u 2 2 4u u u 2 1u u 3 1u 3 2. Pravděodobnost, že set vyhraje hráč k, bez ohledu na to, kdo bude odávat na začátku dalšího setu, je rovna B k1, u 2 +B k2, u 2. Předoádejme, že jsou oba soueři stejně silní, že mají stejnou úsěšnost odání. Potom jsou stejné i ravděodobnosti u i = A toho, že ři svém odání vyhraje game. Dosazením do B dostaneme B 11, u 2 + B 12, u 2 = B 21, u 2 + B 22, u 2 = 1 2. To znamená, že okud jsou soueři stejně silní, ak mají stejnou ravděodobnost, že vyhrají set, a to nezávisle naříad na tom, kdo odával na začátku setu. 7

8 3 Model záasu Označme hráče odávajícího na začátku záasu jako hráče 1, jeho soueře jako hráče 2. Nechť úsěšnost odání hráče 1 je 1 a nechť 1 = 1 1 je ravděodobnost, že ři odání hráče 1 bod uhraje hráč 2. Podobně označme 2 úsěšnost odání hráče 2 a 2 = 1 2 ravděodobnost, že ři odání hráče 2 bod uhraje hráč 1. Jednotlivé stavy označím následovně: H ijk Stav záasu je i:j na sety, na začátku setu odává hráč k v grafu H Vi Záas vyhrál hráč i v grafu Vi. i:j Pk ; Označme s j ravděodobnost toho, že když na začátku setu odává hráč j, ak daný set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude odávat hráč l. Na následujícím grafu je znázorněn vývoj skóre a odání v záasu, včetně ravděodobností řechodů mezi jednotlivými stavy. 0:0 s 111 s 112 s 121 s 122 s 111 s 112 1:0 s 122 s 211 1:0 s 221 s 222 s 111s 112 0:1 s 122 s 211 0:1 s 221 s 222 2:0 s 121 s 122 2:0 s 121 s 212 s 222 s 111 s 221 s 112 1:1 s 122 s 211 1:1 s 121 s 212 s 221 s 222 s 111 s 112 0:2 s 211 s 212 0:2 s111 + s112 s s 212 s s 112 2:1 s s 212 s 122 2:1 s 121 s 212 s 221 s 222 s 111 s 112 1:2 s 211 1:2 s121 + s 122 s s 122 s s 222 s221 + s222 V1 s s 112 s 121 2:2 2:2 s 212 s s 222 V2 s s 212 s s 122 8

9 Označme z ijk ravděodobnost absorce v množině {H V1 } za ředoadu, že na očátku byl systém ve stavu G ijk. Ve skutečnosti z 001 znamená ravděodobnost, že okud na začátku záasu odával hráč 1, ak záas vyhraje hráč 1. Podobně jako v ředchozích částech musí ravděodobnosti z ijk slňovat soustavu rovnic Řešení z 001 této soustavy je z 001 = s 111 z s 112 z s 121 z s 122 z 012, z 101 = s 111 z s 112 z s 121 z s 122 z 112, z 102 = s 211 z s 212 z s 221 z s 222 z 112, z 011 = s 111 z s 112 z s 121 z s 122 z 022, z 012 = s 211 z s 212 z s 221 z s 222 z 022, z 201 = s s s 121 z s 122 z 212, z 202 = s s s 221 z s 222 z 212, z 111 = s 111 z s 112 z s 121 z s 122 z 122, z 112 = s 211 z s 212 z s 221 z s 222 z 122, z 021 = s 111 z s 112 z 122, z 022 = s 211 z s 212 z 122, z 211 = s s s 121 z s 122 z 222, z 212 = s s s 221 z s 222 z 222, z 121 = s 111 z s 112 z 222, z 122 = s 211 z s 212 z 222, z 221 = s s 112, z 222 = s s 212. z 001 = s s 2 111s s 3 111s s 2 111s 112 s s 3 111s s 2 111s 112 s s 111 s 112 s s 2 112s s 111 s 112 s 121 s s 2 112s 121 s s 111 s 112 s 2 121s s 2 112s 2 121s s 2 111s 122 s s 111 s 112 s 122 s s 2 111s 121 s 122 s s 111 s 112 s 121 s 122 s s 112 s 122 s s 112 s 121 s 122 s s 111 s 2 122s s 112 s 2 122s s 111 s 112 s s 111 s 112 s 121 s s 111 s 112 s 2 121s s 2 111s 122 s s 2 111s 121 s 122 s s 112 s 211 s s 112 s 121 s 211 s s 112 s 2 121s 211 s s 111 s 122 s 211 s s 112 s 122 s 211 s s 111 s 121 s 122 s 211 s s 112 s 121 s 122 s 211 s s 111 s 2 122s 211 s s 2 122s 2 211s s 112 s s 112 s 121 s s 112 s 2 121s s 111 s 122 s s 111 s 121 s 122 s s 122 s 211 s s 121 s 122 s 211 s s 2 122s 211 s s 122 s s 121 s 122 s s 2 111s 112 s s 111 s 2 112s s 2 111s 112 s 121 s s 111 s 2 112s 121 s s 3 111s 122 s s 2 111s 112 s 122 s s 2 112s 211 s s 2 112s 121 s 211 s s 111 s 112 s 122 s 211 s s 2 112s 122 s 211 s s 111 s 112 s 212 s s 2 112s 212 s s 111 s 112 s 121 s 212 s s 2 112s 121 s 212 s s 2 111s 122 s 212 s s 111 s 112 s 122 s 212 s s 112 s 122 s 211 s 212 s s 111 s 122 s 2 212s s 112 s 122 s 2 212s s 111 s 2 112s s 3 112s s 111 s 112 s 211 s s 2 112s 211 s s 111 s 112 s 121 s 211 s s 2 112s 121 s 211 s s 2 111s 122 s 211 s s 111 s 112 s 122 s 211 s s 112 s 122 s 2 211s s 111 s 112 s 212 s s 111 s 112 s 121 s 212 s s 2 111s 122 s 212 s s 112 s 211 s 212 s s 112 s 121 s 211 s 212 s s 111 s 122 s 211 s 212 s s 112 s 122 s 211 s 212 s s 112 s 2 212s s 112 s 121 s 2 212s s 111 s 122 s 2 212s s 122 s 211 s 2 212s s 122 s 3 212s s 2 111s 112 s 221 s s 111 s 2 112s 221 s s 2 112s 211 s 221 s s 111 s 112 s 212 s 221 s s 2 112s 212 s 221 s s 111 s 112 s 211 s s 2 112s 211 s s 111 s 112 s 212 s s 112 s 211 s 212 s s 112 s 2 212s Označme toto řešení jako C s 111, s 112, s 121, s 122, s 211, s 212, s 221, s 222 = z001. 9

10 Nyní určím ravděodobnosti s j. Pokud na začátku setu odává hráč 1, ak ravděodobnost toho, že ři odání hráče 1 vyhraje game hráč 1, je rovna = A 1 a ravděodobnost toho, že ři odání hráče 2 vyhraje game hráč 2, je rovna u 2 = A 2. Proto je ravděodobnost toho, že daný set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude odávat hráč l, rovna s 1 = B A 1, A 2. Pokud na začátku setu odává hráč 2, ak ravděodobnost toho, že ři odání hráče 2 vyhraje game hráč 2, je rovna = A 2 a ravděodobnost toho, že ři odání hráče 1 vyhraje game hráč 1, je rovna u 2 = A 1. Proto je ravděodobnost toho, že daný set vyhraje hráč k a na začátku dalšího setu bude odávat hráč l, rovna s 2 = B 3 k,3 l A 2, A 1. Odtud lyne, že ravděodobnost V 1, 2 toho, že hráč odávající na začátku záasu tento záas vyhraje, za ředoadu, že ravděodobnost toho, že hráč odávající na začátku záasu ři svém odání uhraje bod, je 1, a ravděodobnost toho, že druhý hráč ři svém odání uhraje bod, je 2, je rovna V 1, 2 = C B 11 A1, A 2, B 12 A1, A 2, B 21 A1, A 2, B 22 A1, A 2, B 22 A2, A 1, B 21 A2, A 1, B 12 A2, A 1, B 11 A2, A 1. V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty V i, i + j, kde i je číslo uvedené v záhlaví řádků a j je číslo uvedené v záhlaví slouců Předoádejme, že jsou oba soueři stejně silní, že mají stejnou úsěšnost odání. Potom dosazením do V dostaneme V, = 1 V, = 1 2. To znamená, že okud jsou oba soueři stejně silní, ak mají stejnou ravděodobnost, že vyhrají záas. Předoádejme, že záas hrají hráči A a B. Označme A úsěšnost odání hráče A a B úsěšnost odání hráče B. Pokud na začátku záasu odává hráč A, ak ravděodobnost jeho výhry v záasu je V A, B. Pokud na začátku záasu odával hráč B, ak ravděodobnost, že záas vyhraje hráč A, je 1 V B, A. Ze vzorce ro V lyne, že latí V A, B = 1 V B, A. 10

11 To znamená, že ravděodobnosti výhry v záasu nezávisí na tom, kdo odával na začátku záasu. Předoádejme, že hráči A a B jsou skoro stejně silní, že úsěšnost odání hráče A je A = 0.75 a úsěšnost odání hráče B je B = Z výše uvedené tabulky lyne, že ravděodobnost toho, že hráč A vyhraje záas, je rovna Pravděodobnost, že záas vyhraje hráč B, je Odtud je vidět, že okud jsou soueři skoro stejně silní, ak se ravděodobnosti výhry v záasu liší mnohem více, než se liší úsěšnosti odání jednotlivých hráčů. Závěr Výsledkem této ráce je, že tenis je sravedlivá hra. Jsou-li oba soueři stejně silní, ak mají stejnou ravděodobnost, že vyhrají záas. Jestliže má jeden hráč jen o málo větší úsěšnost odání než druhý hráč, ak ravděodobnost jeho výhry v záasu je mnohem větší. Pravděodobnosti výhry v záasu nezávisí na tom, kdo odával na začátku záasu, ale ouze na úsěšnosti odání jednotlivých hráčů. 11