Náhodným (stochastickým) procesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou veličinu X ( t)
|
|
- Eliška Bartošová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MARKOVOVY PROCESY JAKO APARÁT PRO ŘEŠENÍ SPOLEHLIVOSTI VÍCESTAVOVÝCH SYSTÉMŮ Náhodné rocesy Náhodným (stochastckým) rocesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou velčnu X ( t). Proměnná t má ve většně říadů význam času. t T řřadí Realzací náhodného rocesu rozumíme konkrétní ozorování náhodného rocesu, tj. jž nenáhodnou funkc, a značíme j x ( t). Dle ovahy množny T rozlšujeme: náhodné rocesy se sojtým časem (náhodné funkce) T je reálný nterval, náhodné rocesy s dskrétním časem (náhodné oslounost) T je reálná dskrétní množna. Hodnota X ( t) vyjadřuje stav ozorovaného objektu v čase t. 0
2 Dle ovahy náhodné velčny X ( t) rozlšujeme: náhodné rocesy se sojtým stavy - X ( t) je sojtá, náhodné rocesy s dskrétním stavy - X ( t) je dskrétní. Náhodný roces { ( t) : t 0} X se sojtým časem a s dskrétním stavy 0,1,2, obvykle nazýváme čítací roces, rotože zaznamenává očet nějakých událostí v čase. Hodnota X ( t) ak ředstavuje očet daných událostí v ntervalu ( 0, t a vzdálenost jednotlvých okamžků událostí od očátku t = 0 jsou náhodné velčny. 1
3 Markovovy řetězce Obdobou Markovových rocesů v dskrétním čase jsou Markovovy řetězce. Nechť I označuje množnu {,1,2,... } řetězec (nebo oslounost), okud latí P 0. Náhodná oslounost { : n = 0,1,2,... } X n se nazývá Markovův ( X j X =, X = X = ) = P( X = j X ) n + 1 = n n 1 n 1,..., 0 0 n+ 1 n = ro lbovolná 0, 1,..., n 1,, j I (Markovská vlastnost). Pokud ravděodobnost řechodu nezávsejí na n, nazveme Markovův řetězec homogenním a íšeme ( X = j X ) j = P n+1 n =. Pravděodobnostm řechodu vyšších řádů v homogenním Markovově řetězc rozumíme k P X = j X ( ) ( ) = +, k = 0,1,2,. j n k n = 2
4 V homogenním Markovově řetězc latí (tzv. Chamanovy-Kolmogorovovy rovnce) j = k = 0 ( k + k ) ( k ) ( k ) 1 2 Tedy ravděodobnost, že systém řešel ze stavu do nějakého mezstavu k řes r řechodů a z mezstavu k se dostal do koncového stavu j v (n r) řechodech mez stavy, je vyjádřena vztahem Secálně ro n = 0 latí a ro n = 1 latí ( n) = ( r) ( n r) j k kj. k = 0 k 1, k = j kj ( 0) = 0, jnak, j ( ) j = 1. Mějme Markovův řetězec s m možným stavy. Matc { } m j j ravděodobností řechodu. 1 kj def 2. P = nazveme matcí, =1 3
5 Vlastnost matce P: P je čtvercová matce m m, j 0, 1, součet rvků v každém řádku matce je jednotkový. Protože (ř r = 1) latí j j = k ( ) = 2 (, j)-tý rvek matce = k ( ) ( ) = 3 2 (, j)-tý rvek matce k k kj kj 2 P, 2 3 P P, P = objasnl jsme následující tvrzení: V homogenním Markovově řetězc latí Je řtom zvykem dodefnovat: P ( 0 ) P = I = 0 k ( k) P P =, k = 0,1,2,. 4
6 Defnce: Nechť S označuje množnu stavů { 1, s2, s3,...} s. Nechť { : n = 0,1,2,... } X n je Markovův řetězec (nebo oslounost). Rozdělení náhodné velčny X n nazveme rozdělením Markovovy oslounost v čase n a označujeme P ( X s ) (n) = n) = ( ( n), ( ),...) n = ( 1 2 n Rozdělení Markovovy oslounost v čase 0 nazveme očátečním rozdělením, ( 0) = ( 1 (0), 2(0),...) P X = s = (0 ( ) ) 0 Pozn: X 1,...X n ): K osu MŘ tedy otřebujeme znát (abychom mohl určt konečněrozměrné rozdělení vektoru { } (0) = ( 1(0), 2(0),...) a ravděodobnost řechodu: 5
7 Příklady: () Uvažujme částc, která se ohybuje v celočíselných bodech na římce tak, že se v každém kroku osune o jednotku vravo s ravděodobností (0,1) nebo vlevo s ravděodobností q = 1-, a to nezávsle na ředchozích krocích. Toto je MŘ a je určen ravděodobnostm řechodu j = ro j = +1 a j = q ro j = -1, j = 0 jnak (ro všechna n N). Tento roces se nazývá náhodná rocházka. 6
8 () Uvažujme obdobný roces jako v bodě (). Částce se ale tentokrát ohybuje ouze mez body 0 a α N. Pokud dosáhne těchto bodů, jž je neoustí. Tento MŘ se nazývá náhodná rocházka s ohlcujícím stěnam a její ravděodobnost řechodu jsou: j = ro =1, 2, α - 1 a j = + 1 j = q ro =1, 2, α - 1 a j = 1 00 = αα = 1 j = 0 ve všech ostatních říadech Matce ravděodobností řechodu ro (): 7
9 Příklad 2: (v) Pozměníme nyní chování částce z říkladu (). Částce, která se vydá z bodu 1 do bodu 0, bude vrácena do bodu 1, a částce, která se vydá z bodu α-1 do bodu α, bude vrácena do bodu α-1. Dostáváme náhodnou rocházku s odrážejícím stěnam: 8
10 Defnce: Stav s j Markovova řetězce je dosažtelný ze stavu s, okud je nenulová ravděodobnost, že se Markovova oslounost během konečného očtu kroků dostane ze stavu s do stavu s j. Věta: Stav s j Markovova řetězce je dosažtelný ze stavu s, okud ro nějaké n N { 0} latí j ( n) > 0. Dk: Trvální, sorem. Je-l každý stav řetězce dosažtelný z každého stavu, nazveme řetězec neredukovatelným (ří. nerozložtelný, rreducble). Stavy s a s j solu komunkují (nebo jsou navzájem dosažtelné), okud s je dosažtelný z s j a naoak s j je dosažtelný z s. Píšeme s s ve smyslu ekvvalence s těmto vlastnostm (Věta ): 1. s s ro každý stav s, 2. ( s s j ) ( s j s ), 9
11 [ ] ( s s ) ( s ) ( ) 3. s j a s j sk k Důkaz. Nechť n 1, n 2, n 3, n 4 N takové, že j (n 1 ) > 0, j (n 2 ) > 0, jk (n 3 ) > 0 a kj (n 4 ) > 0. Tato čísla odle ředchozí věty exstují. Pak k ( n n ) = ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) m 1 mk 3 j 1 jk 3 f s S m Obdobně se ukáže, ( n2 n4 ) f 0 k +, což stačí k důkazu, že s sk 10
12 Defnce: Nechť C S () Množna stavů C se nazývá stochastcky uzavřená, jestlže j = 0 ro každý s C a každý s j C, s s ro každé () Uzavřená množna C se nazývá nerozložtelná, jestlže j dva stavy s, s j C, () MŘ se nazývá nerozložtelný, jestlže množna jeho stavů S je stochastcky uzavřená a nerozložtelná (v) Jestlže C je nerozložtelná množna stavů a každá větší množna C 1 : C 1 ( C 1 S, C 1 C, C 1 C ) jž není nerozložtelná, budeme C nazývat třídou (souslednost) stavů daného MŘ. Poznámka: Třída souslednost ro daný MŘ je tedy maxmální množna stavů MŘ slňujících odmínku nerozložtelnost. 11
13 Příklad: MŔ je zadán matcí ravděodobnost řechodu: Třídy souslednost: C 1 = {s 1, s 2, s 3 } a C 2 = { s 4, s 5 } Příklad: Množna C = {s 1, s 2,s 3 } je třída souslednost. Množna A={s 4 } není třída souslednost, rotože není uzavřená. ( 43 > 0 ) 12
14 Příklad: Náhodná rocházka s ohlcujícím stěnam: Dvě třídy souslednost: množny C 1 = {0} C 2 = {α }. Množna A = {1,2,, α 1 } není třída souslednost, rotože není uzavřená. Náhodná rocházka s odrážejícím stěnam má jednou třídu souslednost rovnou množně všech stavů: {1,2,, α 1 } 13
15 Podstatné (oř. rekurentní) a neodstatné (řechodné, transentní) stavy MŘ Defnce. Stav s MŘ se nazývá odstatný, jestlže exstuje třída souslednost C taková, s C. V oačném říadě se s nazývá neodstatný Věta. Každý odstatný stav leží řesně v jedné třídě souslednost. Důkaz: Podle defnce leží každý odstatný stav v nějaké třídě. Předokládejme, že stav s leží ve dvou třídách C 1 a C 2. Podle Věty latí ro každý stav s 1 C 1 a ro každý stav s 2 C 2 : s s a s s s [( ) ( )] 1 2 ( 1 s2 ) ( s s ) a ( s s ) s [ ] ( ) s1 Tedy s1 s2, a rotože s 1 byl lbovolný stav z C 1, latí s 2 C 1. Protože s 2 byl lbovolný stav z C 2, latí C2 C 1. Konečně každá třída musí být uzavřená, latí tedy C 2 = C 1. Tedy s leží v jedné třídě C = C 1 = C 2. Množna všech stavů MŘ se tedy rozadá na navzájem dsjunktní třídy souslednost, které obsahují odstatné stavy, a na nejvýše jednu množnu neodstatných stavů (obvykle označujeme A) 14
16 5.5.4 Věta. Nechť množna S všech stavů MŘ je konečná z každého stavu je dosažtelný nějaký odstatný stav. Důkaz. Indukcí odle očtu stavů. Nechť S = {s 1 }. Pak je zřejmě tento stav odstatný a je dosažtelný sám ze sebe. Budeme dále ředokládat, že okud je očet stavů menší nebo roven n N, otom je z každého stavu dosažtelný odstatný stav. Nechť má MŘ n +1 stavů. Jestlže nějaký stav s 0 S je odstatný, ak z něho jsou dosažtelné všechny (odstatné) stavy říslušné třídy. Jestlže je stav s 0 neodstatný, ak exstuje stav s 1 takový, že s0 s 1, ale s 0 není dosažtelný z s 1. (Kdyby s0 s1 mlkovalo s1 s0, ak by s 0 ležel v nějaké třídě odstatných stavů.) Nechť S je množna všech stavů dosažtelných ze stavu s 1. Těchto stavů je nejvýše n, rotože s 0 S. Od chvíle, kdy se MŘ dostal do stavu s 1, se bude ohybovat ouze uvntř stavů z S. Podle ndukčního kroku musí exstovat cesta z s 1 do nějakého odstatného stavu v S. Tím je důkaz dokončen. 15
17 5.5.5 Věta. Nechť je MŘ v čase n v odstatném stavu s C. Potom s ravděodobností 1 nabývá dále už ouze stavy z této třídy C. Důkaz. Indukcí odle očtu kroků: Pro každý stav s C a každý stav s j C latí j = 0, tedy v následujícím kroku zůstává MŘ ve třídě C. Nechť MŘ zůstane v této třídě o n kroků. Po tomto n-tém kroku je tedy ve stavu s k C. Protože kj = 0 ro každý stav s j C, bude MŘ ve třídě C o (n+1)-ním kroku. 16
18 Klasfkace stavů Markovova řetězce Nechť je MŘ na očátku ve stavu s. Potom ravděodobnost, že tento MŘ bude o n krocích oět ve stavu s, je rovna (n), a ravděodobnost, že bude o n krocích v jném stavu s j, je rovna j (n). Označme q (n), res q j (n), ravděodobnost, že tento MŘ řejde během n kroků ze stavu s oět do stavu s, res. do stavu s j, řčemž rocházel ouze jným stavy než s, res. s j. Počet kroků do rvního návratu do stavu s je náhodná velčna, kterou označíme T. Jestlže je s odstatný stav otom n= 1 q ( n) = 1 a tedy q (n) je rozdělení náhodné velčny T. Na rozdíl od toho (n) není nkdy rozdělení ravděodobnost, může totž být n= 1 Označíme dále µ střední hodnotu náhodné velčny T, µ = ET = n=1 nq ( n). tedy ( n) = +. 17
19 Defnce: Podstatný stav s se nazývá nenulový, jestlže µ = ET + a nulový, jestlže µ = + Defnce Podstatný stav s se nazývá erodcký, okud exstuje řrozené číslo λ > 1 takové, že ( n) = 0 ro všechna n N, která nejsou děltelná číslem λ. Největší číslo λ s touto vlastností se nazývá eroda stavu s. Jestlže takové číslo neexstuje, je stav neerodcký Věta () Stav s je neodstatný V tomto říadě latí n= 1 ( n) + ro každý stav s j S n= 1 j ( n) + 18
20 () Stav s je odstatný nulový když ( n) = + avšak n V tomto říadě lm ( n) = 0 n=1 n=1 j ( n) = + a dále j n lm ( n) = 0 ro každý s j S () Je-l stav s odstatný nenulový neerodcký, otom lm ( n) = n 1 µ Důkaz: Duač, Duačová: Markovovy rocesy, Skrtum MFF UK 19
21 Defnce: Stav s nazveme absorbující (absorční), okud jž MŘ (o vstouení do tohoto stavu) v tomto stavu zůstane až do konce, tj. = 1. Absorbující stav je ekvvalentní (ve výše uvedeném smyslu) ouze sám se sebou a je a je jedným rvkem nějaké třídy souslednost C = {s }. Defnce: Podstatný nenulový neerodcký stav se nazývá ergodcký Věta. Je-l stav s dosažtelný ze stavu s j a je-l také stav s j dosažtelný ze stavu s oba stavy jsou téhož tyu DK - níže (Tím, že dva stavy jsou stejného tyu, rozumíme, že jsou buď oba odstatné nebo oba neodstatné, oba nulové nebo oba nenulové, okud je jeden z nch erodcký, ak je erodcký ten druhý, a to se stejnou erodou, a (což lyne z ředchozího) buď jsou oba ergodcké nebo není ergodcký an jeden.) 20
22 Z této věty hned vylývá: Věta Odtud vylývá věta o soldartě: Ve třídě souslednost jsou všechny stavy téhož tyu. Důkaz V.5.6.8: Z ředokladů věty lyne, že exstují n, m N takové, že j ( m) f 0 a ( n) = α f 0 Pro lbovolné k N nyní latí ( k + m + n) ( n). ( k). ( m) = α. β ( k) jj j j. a také ( k + m + n) ( m). ( k). ( n) = α. β ( k) j jj j. Je-l nyní k= 1 jj ( k) +, ak z rvní nerovnost vylývá jj k= 1 = β ( k) + j. Je-l tedy s j řechodný, ak je také s řechodný (vz Věta 5.6.5). Oačná mlkace lyne z druhé nerovnost. Pro odstatné stavy odobně, s rovností místo nerovnost, atd. 21
23 Věta. V MŘ s konečně mnoha stavy neexstují nulové (odstatné) stavy a není možné, aby všechny stavy byly neodstatné. Důkaz. Druhá část věty jž byla dokázána ve Větě První část dokážeme sorem. Nechť s k S je nulový stav. Označme C množnu všech stavů dosažtelných ze stavu s k. Podle defnce je C třídou. Podle Věty se můžeme na C dívat jako na samostatný MŘ (jestlže se MŘ dostane do C, otom C obsahuje všechny stavy, které MŘ v budoucnu může nabýt). Označme P C matc ravděodobnost řechodu ro MŘ třídu C. Je jasné, že s C C j = 1 a ro každé n N také s oba vztahy latí ro každý s j C. Platí tedy C C j ( n) = 1 lm n s C C j ( n) = 1 ro každé s j C, tedy ro s k : lm n s C C k ( n) = 1 22
24 Protože je s k nulový stav, latí odle Věty k C n lm ( n) = 0 ro každý stav s C. Protože C obsahuje konečný očet stavů, lyne odtud lm n s C C k ( n) = lm n s C C k ( n) = 0. což latí ro všechny slouce matce P C neboť všechny stavy jsou nulové. Tedy, C lm k ( n) = lm n n s C s C s C neboť k C k ( n) = 0 lm n s C C k ( n) = 1, sor s k C s C C k ( n) s C C k ( n). 23
25 Příklady: Příklad 1. Náhodná rocházka s odrážejícím stěnam má jednou třídu stavů rovnou množně všech stavů: {1,2,, α 1 } V této třídě jsou všechny stavy stejného tyu (Věta o soldartě). Stačí tedy osat jeden stav. Podle Věty budou tyto stavy odstatné. Podle Věty budou nenulové. Protože naříklad stav s=1 může nastat ve dvou o sobě následujících krocích ( 11 > 0), je tento stav neerodcký, a tedy všechny stavy jsou neerodcké. Náhodná rocházka s odrážejícím stěnam má tedy jednu třídu ergodckých stavů. Ještě další říklady vz dokument Příklady: Klasfkace stavů 24
26 Staconární a fnální ravděodobnost MŘ začíná v nějakém lbovolném stavu s S. Př studu dalšího vývoje nás bude zvláště zajímat, co můžeme říct o jeho stavech o ulynutí velm dlouhé doby, tj o velkém očtu kroků. Ve fyzkálním smyslu se táme na asymtotckou stabltu systému, chceme tedy najít lmtní evné rozdělení ravděodobnost stavů systému, které by latlo bez ohledu na očáteční stav. = (,,...) Defnce. Rozdělení ravděodobnost MŘ se nazývá staconární, jestlže je slněna následující odmínka: jestlže má MŘ rozdělení v čase t = n, ak má stejné rozdělení ro všechny časy t n. (Často mluvíme o staconárních ravděodobnostech.) Věta 5.7.3: Rozdělení (jako řádek) MŘ s matcí ravděodobností řechodu P je staconární Důkaz: jednoduchý, stačí odle defnce rozesat ( t +1) ř znalost (t) ( t + 1) = ( t). s j S j j P = 25
27 5.7.4 Věta. Nechť s je neodstatný stav nebo odstatný nulový stav ro každé staconární rozdělení latí = 0 Důkaz. Jestlže je s neodstatný nebo odstatný nulový stav, latí lm ( n) = 0. n Věta. Nechť (1) a (2) jsou dvě staconární rozdělení téhož MŘ. Potom také = α (1) + (1 - α) (2) je staconární rozdělení ro každé α (0,1) Důkaz. Podle V P = (α (1) + (1 - α) (2) ). P = α (1). P + (1 - α) (2). P = α (1) + (1 - α) (2) = 26
28 Věta. Nechť MŘ má jednou třídu odstatných stavů, a nechť je tato třída ergodcká. Potom ro tento MŘ exstuje rávě jedno staconární rozdělení ravděodobnost. Důkaz: Duač, Duačová, MFF Věta Na každou třídu odstatných stavů se můžeme dívat jako na samostatný MŘ (Věta 5.5.5). Jestlže je taková třída C ergodcká, exstuje ro n staconární rozdělení. q = ( ) q s C Defnujme rozdělení celého MŘ takto = q ro s C =0 ro s C Pak je staconární rozdělení celého MŘ (Věta 5.5.5). Pro každou ergodckou třídu tedy exstuje řesně jedno staconární rozdělení MŘ, které je nulové mmo tuto třídu. Tato rozdělení nazveme čstá. Exstují-l alesoň dvě čstá staconární rozdělení, ak má říslušný MŘ odle Věty nekonečně mnoho staconárních rozdělení. (Dokonce víc: lze dokázat, že všechna staconární rozdělení získáme jako konvexní kombnace čstých rozdělení.). Dokázal jsme vlastně následující větu: 27
29 5.7.8 Věta. () MŘ nemá žádné staconární rozdělení když nemá žádnou třídu ergodckých stavů () MŘ má jedné staconární rozdělení ravděodobnost když má jednou třídu ergodckých stavů. () MŘ má nekonečně mnoho staconárních rozdělení když má alesoň dvě třídy ergodckých stavů Defnce: Rozdělení ravděodobnost lm n ( n) = = ( ) s S MŘ se nazývá fnální, jestlže latí: ř lbovolném očátečním rozdělení (0) = ( (0)) s S Fnální rozdělení budeme značt: π = (π ) s S 28
30 Věta. Nechť MŘ má alesoň dvě třídy odstatných stavů nemá fnální rozdělení Důkaz. (Sorem) Za uvedeného ředokladu exstují stavy s C 1 a s j C 2. Jestlže je očáteční rozdělení rovno (0)=1, k (0)=0 ro ro k, ak l (n)=0 ro každé s l C1, secálně tedy ro každé s l C2, a ro každé n N. Tedy s C l 2 ( n) = 0. l ro každé n N. Jestlže je očáteční rozdělení rovno j (0)=1, k (0)=0 ro k j ak odle Věty zůstává MŘ jž trvale ve třídě C 2 a latí tedy s C l 2 l ( n) = 1. Tím jsme dostal sor. Věta je dokázána. Věta Nechť MŘ má fnální rozdělení toto rozdělení je také staconární. Bez Dk. [Kannan: An Introducton to Stochastc Processess] 29
31 Věta. MŘ má fnální rozdělení má jednou třídu odstatných stavů a tato je ergodcká. Důkaz: Důsledek ředchozích dvou vět Věta. Rozdělení ravděodobnost MŘ π je fnální když Důkaz. Protože P n = P(n), máme vlastně dokázat, že π = lm j n (ro každý stav s j S) ( n) 30
32 Nechť je očáteční stav s 0 S lbovolný. Počáteční rozdělení je tedy q 0 (0)=1, q (0)=0 ro S S 0. Rozdělení je fnální π = lm ( n) = lm j (0) j( n) n n s S j ro lbovolné očáteční rozdělení (0). Položíme (0)= q(0). Potom j ( 0) j( n) = q0(0) 0 ( n) s S j Dokázal jsme tedy, že π bude fnální π = lm j ( n) ro každý stav s j S, c.b.d., neboť stav s 0 zvolen lbovolně. n 31
33 Dskuse k hledání staconárního rozdělení: Máme-l najít staconární (fnální) rozdělení MŘ, máme nyní k dsozc dva možné ostuy. Vždy se omezíme na jednu třídu ergodckých stavů. Pro n exstuje rávě jedno staconární rozdělení, které je ro n také současně fnálním. Buďto můžeme ostuovat odle Věty 5.7.3, nebo odle Věty V rvním říadě dostáváme staconární rozdělení jako řešení soustavy lneárních rovnc, v druhém jako řádek v lmtní matc. Příklady: Závěr: Zatím víme, jak se budou z dlouhodobého hledska chovat ergodcké stavy. (Věty a ) a také neodstatné a nulové stavy (Věta 5.7.4). Vůbec jsme zatím nevyšetřoval erodcké stavy, ro které také exstuje jakýs ostu, jak osat růměrné chování během jedné erody o velm dlouhé době. Ještě další říklady vz dokument Příklady: Staconární a fnální ravděodobnost 32
Dále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
VíceModel tenisového utkání
Model tenisového utkání Jan Šustek Semestrální rojekt do ředmětu Náhodné rocesy 2005 V této ráci se budu zabývat modelem tenisového utkání. Vstuními hodnotami budou úsěšnosti odání jednotlivých hráčů,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
VíceMarkovovy řetězce se spojitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain)
Markovovy řetězce se soitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain) 3 5 1 4 Markovovy rocesy X Diskrétní stavový rostor Soitý obor arametru t { } S e1, e,, en t R t 0 0 t 1 t t 3 t Proces e Markovův
VíceSHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ
SHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ JAN ŠŤOVÍČEK Abstrakt. Důkaz Shannonových vět ro binární symetrický kanál tak, jak měl být robrán na řednášce. Číslování vět odovídá řednášce. 1. Značení a obecné ředoklady
VíceNumerická integrace konstitučních vztahů
Numercká ntegrace konsttučních vztahů Po výočtu neznámých deformačních uzlových arametrů v každé terac NR metody je nutné stanovt naětí a deformace na rvcích. Nař. Jednoosý tah (vz obr. vravo) Pro nterval
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VícePřednáška č. 11 Analýza rozptylu při dvojném třídění
Přednáška č. Analýza roztlu ř dvojném třídění Ve většně říadů v rax výsledk exermentu, rozboru závsí na více faktorech. Př této analýze se osuzují výsledk náhodných okusů (exerment nebo soubor získané
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
Více1.3.3 Přímky a polopřímky
1.3.3 římky a olořímky ředoklady: 010302 edagogická oznámka: oslední říklad je oakování řeočtu řes jednotku. okud hodina robíhá dobře, dostanete se k němu řed koncem hodiny. edagogická oznámka: Nakreslím
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více2.3.6 Práce plynu. Předpoklady: 2305
.3.6 Práce lynu Předoklady: 305 Děje v lynech nejčastěji zobrazujeme omocí diagramů grafů závislosti tlaku na objemu. Na x-ovou osu vynášíme objem a na y-ovou osu tlak. Př. : Na obrázku je nakreslen diagram
Více1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.
. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme
VíceTERMIKA VIII. Joule uv a Thompson uv pokus pro reálné plyny
TERMIKA VIII Maxwellova rovnovážná rozdělovací funkce rychlostí Joule uv a Thomson uv okus ro reálné lyny 1 Maxwellova rovnovážná rozdělovací funkce rychlostí Maxwellova rychlostní rozdělovací funkce se
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Víceina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceZnačení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,
Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí
VíceNárodní informační středisko pro podporu jakosti
Národní informační středisko ro odoru jakosti Konzultační středisko statistických metod ři NIS-PJ Analýza zůsobilosti Ing. Vratislav Horálek, DrSc. ředseda TNK 4: Alikace statistických metod Ing. Josef
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více3.1.1 Přímka a její části
3.1.1 Přímka a její části Předoklady: Pedagogická oznámka: Úvod do geometrie atří z hlediska výuky mezi nejroblematičtější části středoškolské matematiky. Několik rvních hodin obsahuje oakování ojmů a
Více4. Kombinatorika a matice
4 Kombinatorika a matice 4 Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že chceme znát počet přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Označme N k množinu přirozených čísel
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceLaplaceova transformace.
Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č. 300043 a v rámci
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMaticová exponenciála a jiné maticové funkce
Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceCharaktery v teorii čísel, kubický a bikvadratický
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA K A T E D R A A L G E B R Y A G E O M E T R I E DIPLOMOVÁ PRÁCE Charaktery v teorii čísel, kubický a bikvadratický zákon vzájemnosti Vedoucí dilomové
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceZpůsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost
Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány
VíceDynamické programování
ALG Dynamické rogramování Nejdelší rostoucí odoslounost Otimální ořadí násobení matic Nejdelší rostoucí odoslounost Z dané oslounosti vyberte co nejdelší rostoucí odoslounost. 5 4 9 5 8 6 7 Řešení: 4 5
Více7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.
75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
Více12.1 Úvod. Poznámka : Příklad 12.1: Funkce f(t) = e t2 nemá Laplaceův obraz. Příklad 12.2: a) L{1} = 1 p, p > 0 ; b) L{ eat } = 1, [ZMA15-P73]
KAPITOLA 2: Lalaceova transformace [ZMA5-P73] 2. Úvod Lalaceovým obrazem funkce f(t) definované na, ) nazýváme funkci F () definovanou ředisem Definičním oborem funkce F F () = f(t) e t dt. je množina
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VíceRegresní lineární model symboly
Lneární model, Dskrmnační analýza, Podůrné vektory Regresní lneární model symboly Použté značení b arametry modelu (vektor ) očet atrbutů (skalár) N očet říkladů (skalár) x jeden říklad (vektor ) x -tá
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceSpojitá náhodná veličina
Lekce 3 Sojitá náhodná veličina Příad sojité náhodné veličiny je komlikovanější, než je tomu u veličiny diskrétní Je to dáno ředevším tím, že jednotková ravděodobnost jistého jevu se rozkládá mezi nekonečně
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Více, : (vzor prvku b) q ).
DSM Cv 6 Zobrazení : X Y, X X Y Y Je dána relace, : Obraz množiny X v relaci, ( X ) = { y Y; x X :[ x, y] }; v říadě, že X = { a}, íšeme ( a) (obraz rvku a), Vzor množiny Y v relaci, ; v říadě, že ( Y
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více5.1.8 Vzájemná poloha rovin
5.1.8 Vzájemná oloha rovin Předoklady: 5107 Př. 1: Kolik solečných bodů mohou mít dvě roviny? Každou možnost dokumentuj omocí dvou rovin určených vrcholy krychle a urči vzájemnou olohu rovin. Mohou nastat
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceV p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :
Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceÚvěr a úvěrové výpočty 1
Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 Úvěr a úvěrové výočty 1 1 Rovnice úvěru V minulých řednáškách byla ro stav dluhu oužívána rovnice 1), kde ředokládáme, že N > : d = a b + = k > N. d./
Vícemůžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.
RAVDĚODOBNOST - matematická discilína, která se zabývá studiem zákonitostí, jimiž se řídí hromadné náhodné jevy - vytváří ravděodobnostní modely, omocí nichž se snaží ostihnout náhodné rocesy. Náhodné
VíceDynamika populací. s + W = 1
Je-li oulace v genetické rovnováze, je stabilizovaná bez dalšího vývoje - evoluční stagnace. V reálných oulacích zvířat a rostlin, kdy nejsou slňovány výše zmíněné odmínky rovnováhy, je H.-W. genetická
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Vícedefinovat pojmy: PI člen, vnější a vnitřní omezení, přenos PI členu popsat činnost PI regulátoru samostatně změřit zadanou úlohu
. PI regulátor Čas ke studu: 5 mnut Cíl Po rostudování tohoto odstavce budete umět defnovat ojmy: PI člen, vnější a vntřní omezení, řenos PI členu osat čnnost PI regulátoru samostatně změřt zadanou úlohu
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceEKONOMETRIE 4. přednáška Modely chování spotřebitele
EKONOMETRIE 4. řednáška Modely chování sotřebitele Rozočtové omezení Sotřebitel ři svém rozhodování resektuje tzv. rozočtové omezení x + x y, kde x i množství i-té sotřební komodity, i cena i-té sotřební
VíceCyklické kódy. Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23
Cyklické kódy 5. řednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23 Obsah 1 Cyklické kódy Generující olynom - kódování Kontrolní olynom - objevování chyb Alena Gollová, TIK Cyklické
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VícePQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více27 Systémy s více vstupy a výstupy
7 Systémy s více vstupy a výstupy Mchael Šebek Automatcké řízení 017 4-5-17 Stavový model MIMO systému Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Má obecně m vstupů p výstupů x () t = Ax() t + Bu() t y()
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Více