Radek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010

Transkript

1 Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21

2 Program

3 Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále znači jako P, T ), T. Úroková míra R, T ) Úroková míra R, T ), T, je definována jako míra výnosnosi do doby splanosi T bezrizikového bezkuponového dluhopisu se jmenoviou hodnoou 1 $, j. P, T ) = e R,T ) T ), T.

4 Výnosová křivka Jednoduše odvodíme R, T ) = 1 log P, T ), T. T Je zřejmé, že znalos cen bezrizikového bezkuponového dluhopisu P, T ) je ekvivalenní znalosi spojiých úrokových měr R, T ). Výnosová křivka Funkci R, ) nazýváme výnosovou křivkou.

5 Okamžiá úroková míra Plaí R, + ) = Okamžiá úroková míra log P, + ),, >. Okamžiou úrokovou míru r) definujeme jako r) = lim R, + ) = ) log P, ). T

6 Forwardová úroková míra Forwardová úroková míra Forwardovou úrokovou míru f, T, T 1 ) v čase na dobu od T do T 1, T < T 1, definujeme jako řešení rovnice e R,T1) T1 ) = e R,T ) T ) e f,t,t1) T1 T ). Levá srana udává hodnou jednokového vkladu uloženého na dobu od do T 1, pravá srana pak jeho uložení na dobu od do T a následně uložení ve formě forwardu na dobu od T do T 1. Zjevně plaí j. 1 P, T 1 ) = 1 P, T ) ef,t,t1) T1 T ), f, T, T 1 ) = log P, T ) log P, T 1). T 1 T

7 Okamžiá forwardová úroková míra Okamžiá forwardová úroková míra Okamžiou forwardovou úrokovou míru f, T ) definujeme jako f, T ) = lim f, T, T 1) = ) log P, T ), T. T 1 T T r) = f, ) log P, T ) = log P, T ) log P, ) = T = T f, s)ds P, T ) = exp log P,s) s T f, s)ds Znalos cen bezrizikového bezkuponového dluhopisu P, T ) je udíž ekvivalenní znalosi okamžié forwardové úrokové míry f, T ). ) ds

8 Forwardová křivka Forwardová křivka Funkci f, ) nazýváme forwardovou křivkou. Forwardová křivka f, ) se podobá výnosové křivce R, ), obecně jsou však yo navzájem různé, neboť plaí R, T ) T = T log P, T ) T ) = P,T ) T 1 P,T ) T ) + log P, T ) T ) 2 f, T ) T ) + log P, T ) = T ) 2 f, T ) = R, T )+T ) R, T ). T Je-li výnosová křivka rosoucí klesající), je forwardová křivka věší menší) než výnosová.

9 Model Jednoduchý model forwardové úrokové míry Mějme dánu počáeční forwardovou inegrovaelnou) křivku f, T ), uvažujme dále, že se forwardová míra f, T ) řídí sochasickou diferenciální rovnicí d f, T ) = α, T )d + σdw, kde σ je daná konsanní volailia a α, ) je omezená deerminisická funkce času a mauriy T. Zřejmě f, T ) = f, T ) + αs, T )ds + σw. forwardová úroková míra má normální rozdělení rozdíl f, T ) f, S) je plně deerminisický v modelu vysupuje pouze jediný náhodný člen, j. Wienerův proces W

10 Peněžní úče cash bond) I. Zaveďme peněžní úče cash bond) v čase, B, jakožo jednoku měřící hodnou našeho akiva bezrizikového bezkuponového dluhopisu). B se přirozeně řídí obyčejnou diferenciální rovnicí db = r B d, B = 1 B = exp r s d s ). Víme, že r = f, ), j. r = f, ) + αs, )ds + σw. r je v omo případě normálně rozdělený náhodný proces model však připouší i záporné hodnoy r

11 Peněžní úče cash bond) II. Z předešlých úvah vyplývá ) B = exp σ W s ds + f, u)du + αs, u)duds, s dále pak P, T ) = exp = exp T f, s)ds ) σt )W T ) T f, s)ds αs, u)duds.

12 Replikační sraegie I. Replikační sraegie Naším cílem je replikova nějaké finanční akivum X v časovém horizonu S T. 1 Nalezneme rizikově neurální míru Q, při keré je proces Z = B 1 P, T ) maringalem. 2 Zavedeme E = E Q B 1 S X F ). 3 Nalezneme previsibilní proces φ ak, že de = φ dz. Proces Z vyjadřuje hodnou akiva P, T ) v jednokách peněžního úču.

13 Replikační sraegie II. Z = B 1 P, T ) = = exp σt )W σ T ) T W s ds f, u)du αs, u)duds. s Aplikací Iôova lemmau dosáváme ) ) T dz = Z σt )dw α, u)du d σ2 T ) 2 d.

14 Replikační sraegie III. První krok replikační sraegie Plaí ) ) T dz = Z σt )dw α, u)du d σ2 T ) 2 d. Položme γ = 1 2 σt ) + 1 T α, u)du. σt ) Podle věy C-M-G získáváme míru Q ekvivalenní míře P akovou, že W = W + γ sds je Q-Brownův pohyb. Příslušná sochasická diferenciální rovnice je dz = σz T )d W. Náhodný proces Z je edy Q-maringal.

15 Replikační sraegie IV. Druhý krok replikační sraegie Položme E je Q-maringal. Třeí krok replikační sraegie E = E Q B 1 S X F ). Aplikací věy o reprezenaci maringalů nalezneme F-previsibilní proces φ akový, že E = E Q B 1 S X ) + φ s dz s.

16 Obchodní sraegie Obchodní sraegie φ, ψ ) držíme φ jednoek bezrizikového bezkuponového dluhopisu s cenou P, T ) držíme ψ = E φ Z jednoek na peněžním úču Hodnoa našeho porfolia v čase je V = φ P, T ) + ψ B = B E. Porfolio je samofinancující se, neboť dv = φ d P, T ) + ψ db. Hodnoa porfolia v čase je V = E Q B 1 S X ), v čase S poom V S = X.

17 Replikační sraegie V. Pokusme se nyní oceni dluhopis s mauriou S, P, S). Uvažujme X = PS, S) = 1 jakožo akivum určené k replikaci pomocí peněžního úču a dluhopisu s mauriou T. Položme Y = B 1 P, S), podobně jako dříve lze odvodi ) ) S dy = Y σs )dw α, u)du d σ2 S ) 2 d. Definujme γ S = 1 1 S 2σS ) + σs ) α, u)du, poom dy = σy S ) d W + γ S ) ) γ d. K omu, aby byl proces Y Q-maringalem, je nuné, aby γ S = γ.

18 Replikační sraegie VI. γ edy nesmí závise na T, j. γ / T =. Ze vzahu γ = 1 1 2σT ) + σt ) T α, u)du posupně dosáváme σt )γ = 1 T 2 σ2 T ) 2 + α, u)du σγ + σt ) γ T = σ2 T ) + α, T ), α, T ) = σ 2 T ) + σγ. / T, Poslední uvedená rovnice říká, jaké omezení kladené na funkci α, T ) je v rámci námi uvažovaného modelu nuné splni.

19 Úvod v roce 199 jej publikovali David Heah, Bob Jarrow a Andy Moron dnes jedním z nejpoužívanějších modelů jedná se de faco o jakýsi rámec speciální případy Hull-Whie, Ho-Lee)

20 Odvození modelu I. Výchozí sochasický model Fixujme T a nechť je rizikově neurální dynamika procesu hodnoy bezrizikového bezkuponového dluhopisu P, T ) řízena rovnicí dp, T ) = r P, T )d + s, T )P, T )dw, kde volailia s, T ) závisí na minulých a současných hodnoách okamžiých úrokových měr a vývoji cen dluhopisu. Pro forwardovou úrokovou míru plaí f, T, T 1 ) = log P, T ) log P, T 1), T 1 T j. df, T, T 1 ) = d[log P, T )] d[log P, T 1)]. T 1 T

21 Odvození modelu II. Aplikací Iôova lemmau obdržíme [ d[log P, T )] = r 1 ] 2 s2, T ) d + s, T )dw, [ d[log P, T 1 )] = r 1 ] 2 s2, T 1 ) d + s, T 1 )dw. Dosadíme-li, dosáváme df, T, T 1 ) = s2, T 1 ) s 2, T ) 2T 1 T ) d + s, T ) s, T 1) dw. T 1 T Vidíme, že proces pro forwardovou míru závisí pouze na volaiě s.

22 Odvození modelu III. Liminím přechodem pro T 1 T v předchozím vzahu získáváme df, T ) = s, T ) s, T ) s, T ) d T T dw. Položme α, T ) = s, T ) s,t ) T a σ, T ) = s,t ) T. Proože s, T ) = s, T ) s, ) = můžeme shrnou T s, τ) T dτ = σ, τ)dτ, τ T α, T ) = σ, T ) σ, τ)dτ.

23 Odvození modelu IV. Nechť je dána počáeční forwardová křivka f, T ), řekneme, že se forwardová úroková míra f, T ) řídí em, vyhovuje-li sochasické diferenciální rovnici kde d f, T ) = α, T )d + σ, T )dw, T, T α, T ) = σ, T ) σ, τ)dτ, σ, T ) = s, T ) T.

24 Technické předpoklady Technické předpoklady 1 Pro všechna T jsou α, T ) a σ, T ) previsibilní procesy závisející pouze na hisorii pohybů okamžiých úrokových měr a cen dluhopisů do času, dále plaí T σ 2, T )d < a T α, T ) d <. 2 f, T ) je deerminisická a vyhovuje podmínce 3 T T f, u) du <. u α, u) ddu < a E T u σ, u)dw du <.

25 Peněžní úče cash bond) Víme, že r = f, ), j. r = f, ) + σs, )dw s + αs, )ds. ) Z B = exp r sds vyplývá ) ) B = exp σs, u)du dw s + f, u)du + αs, u)duds. s s Dále dosáváme P, T ) = exp ) T f, u)du = = exp s ) T ) T σs, u)du dw s f, u)du αs, u)duds.

26 Replikační sraegie I. Z, T ) = B 1 P, T ) = T T ) = exp Σs, T )dw s σ W s ds f, u)du αs, u)duds, s kde Σs, T ) = T σ, u)du. Aplikací Iôova lemmau dosáváme d Z, T ) = Z, T ) Σ, T )dw + ) ) 1 T 2 Σ2, T ) α, u)du d.

27 Replikační sraegie II. První krok replikační sraegie Plaí edy d Z, T ) = Z, T ) Σ, T )dw + Položme γ = 1 2 Σ, T ) 1 T Σ,T ) α, u)du. ) ) 1 T 2 Σ2, T ) α, u)du d. Podle věy C-M-G při splnění echnické podmínky ) 1 T E P exp 2 γ2 d < ) získáváme míru Q ekvivalenní míře P akovou, že W = W + γ sds je Q-Brownův pohyb. Příslušná SDE je varu d Z, T ) = Z Σ, T )d W. ) 1 T Je-li splněno E Q exp 2 Σ2, T )d <, pak je proces Z, T ) Q-maringalem.

28 Replikační sraegie III. Druhý krok replikační sraegie Položme E je Q-maringal. Třeí krok replikační sraegie E = E Q B 1 S X F ). Aplikací věy o reprezenaci maringalů nalezneme F-previsibilní proces φ akový, že E = E Q B 1 S X ) + φ s dzs, T ) v omo případě je však nuné, aby Σ, T ) > pro < T.

29 Obchodní sraegie Obchodní sraegie φ, ψ ) držíme φ jednoek bezrizikového bezkuponového dluhopisu s cenou P, T ) držíme ψ = E φ Z, T ) jednoek na peněžním úču Hodnoa našeho porfolia v čase je V = φ P, T ) + ψ B = B E. Porfolio je samofinancující se, neboť dv = φ d P, T ) + ψ db. Hodnoa porfolia v čase je V = E Q B 1 S X ), v čase S poom V S = X.

30 Replikační sraegie IV. Pokusíme-li se opě oceni dluhopis s mauriou S, P, S), přičemž uvažujme X = PS, S) = 1 jakožo akivum určené k replikaci pomocí peněžního úču a dluhopisu s mauriou T, pak bychom podobně jako dříve odvodili podmínku pro drif α, T ) = σ, T ) γ Σ, T )), T. Položíme-li σ, T ) = σ a Σ, T ) = σt ), přecházíme k jednoduchému modelu uvažovaném v předcházející sekci.

31 Podmínky pro Podmínky pro Exisuje F-previsibilní proces γ akový, že α, T ) = σ, T ) γ Σ, T )), T. Proces A ω) = Σ, T )ω) je kladný pro skoro všechny, ω), < T, pro všechny mauriy T. ) 1 T E P exp 2 γ2 d <. ) 1 T E P exp 2 γ Σ, T )) 2 d <.

32 Iô Iôovo lemma Nechť X je sochasický proces ve varu dx = σ dw + µ d a f je deerminisická dvakrá diferencovaelná funkce. Poom Y = f X ) je aké sochasický proces a plaí: dy = ) σ f X ) dw + µ f X ) + 1 ) 2 σ2 f X ) d.

33 C-M-G Věa Cameron - Marin - Girsanov Nechť W je Brownův pohyb vzhledem k míře P. γ je F -adapovaný ) 1 T proces, kerý splňuje podmínku E P exp 2 γ2 d <. Pak exisuje míra Q aková, že plaí: 1 Q je ekvivalenní s P, dq 2 dp = exp T γ ) dw 1 T 2 γ2 d, 3 W = W + γ sds je Brownův pohyb vzhledem k míře Q.

34 Reprezenace maringalu Věa o reprezenaci maringalu Nechť M je maringal vzhledem k míře Q, jehož volailia σ je s.j. nenulová. Pokud N je libovolný maringal vzhledem k míře Q, pak exisuje F -previsibilní proces φ ak, že s.j. plaí T φ2 σ 2 d < a N lze vyjádři jako: N = N + φ s dm s. Proces φ je navíc určen jednoznačně.

35 Posačující podmínka pro maringal Věa Nechť dx = σ X dw, přičemž σ je F-previsibilní proces, poom 1 )) E exp σs 2 ds < X je maringal. 2

36 Lieraura Baxer, M. & Rennie A. 23). Financial calculus: An Inroducion o derivaive pricing. Cambridge: Cambridge Universiy Press. Hull, J. C. 26). Opions, fuures and oher derivaives. New Jersey: Pearson Prenice Hall. Málek, J. 25). Dynamika úrokových měr a úrokové deriváy. Praha: Ekopress.

37 Závěr Děkuji Vám za pozornos.