Youla-Kučerova parametrizace. Co to je?

Transkript

1 Youla-Kučerova parametrizace. Co to je? Vladimír Kučera Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky ČVUT Ústav teorie informace a automatizace AV ČR Slavnostní přednáška při příležitosti 50 let nepřetržitého pracovního poměru.

2 Úvod Moderní teorie řízení se ve stále větší míře opírá o algebru. Algebraický formalismus totiž nabízí řadu matematických nástrojů pro návrh zpětnovazebních systémů řízení, včetně tak zvané metody zlomků.

3 Úvod Tato metoda je založena na přenosových vlastnostech systémů. Základní myšlenka je považovat přenos systému za prvek podílového tělesa vhodného okruhu. Tento krok je zcela přirozený pro lineární systémy, jejichž přenos je racionální, to jest pro systémy se soustředěnými parametry. Ale za určitých podmínek bude tento přístup produktivní i pro systémy s neracionálním přenosem, tedy s rozprostřenými parametry.

4 Úvod Ve většině případů je vyžadováno, aby systém řízení byl stabilní a případně splňoval další požadavky, jako optimalitu nebo robustnost. Je proto zcela přirozené navrhovat systém postupně, krok za krokem: nejprve zajistit stabilitu a pak další požadované vlastnosti jednu po druhé. Pro tento postup je však nutné mít k dispozici vždy všechna řešení daného kroku dříve, než přistoupíme ke kroku následujícímu.

5 Úvod A to je právě motivace pro parametrické vyjádření všech regulátorů, které daný systém stabilizují. Tento výsledek umožnil postupný návrh zpětnovazebních systémů řízení a vtisknul teorii optimálního a robustního řízení zcela nový směr výzkumu. Požadavky nad rámec stability lze totiž zajistit vhodným výběrem parametru. Klíčové přitom je, že přenos uzavřené smyčky závisí na tomto parametru lineárně, takže splnění dalších požadavků se zjednodušuje.

6 Úvod Přednáška provede posluchače algebraickými metodami syntézy zpětnovazebních systémů řízení. Připomene historii vzniku parametrizace stabilizujících regulátorů, dnes běžně nazývané jako Youla-Kučerova parametrizace.

7 Úvod Přednáška vysvětlí použití parametrizace při standardních úlohách syntézy, kdy požadujeme sledování referenčního signálu, potlačení poruchy, specifické umístění pólů systému, dosažení konečné impulzní odezvy, optimalizaci norem l 1 nebo H 2 vybraných signálů, robustní stabilizaci, nebo robustní umístění pólů systému. Mezi nestandardní aplikace této parametrizace patří například stabilizace systému při omezené amplitudě vstupů, redukce překývnutí odezvy systému, nebo návrh stabilizujících regulátorů daného řádu.

8 Signály Signál je funkce f: T A, kde T je osa signálu a A je obor hodnot. Budeme se zabývat dynamickými systémy, pro které T je čas. Jestliže T je spočetná množina časových okamžiků (T := Z, celá čísla), f je signál v diskrétním čase. Jestliže T je interval časových okamžiků (T := R, reálná čísla), f je signál ve spojitém čase.

9 Signály Velikost signálu měříme normou. Pro signál f(t) ve spojitém čase (řekněme lokálně integrovatelná funkce) norma L p 1 p p f L f ( t) dt if 1 p p f esssup f ( t) if p. L t0 Množina funkcí f takových, že f tvoří prostor L p. L p

10 Signály Pro signál v diskrétním čase f ( k) fk ( k), ( k) jednotkový impuls k norma l p 1 p p f l f if 1 p k 0 k p f sup f if p. l k0 k Množina funkcí f takových, že f tvoří prostor l p. l p

11 Signály Omezíme se na signály ve spojitém čase, které obsahují konečný počet delta distribucí δ(t) nebo jejich derivací všech konečných řádů na každém konečném intervalu, a jsou po částech spojité spolu se svými derivacemi všech konečných řádů na každém konečném intervalu, na kterém nejsou delta distribuce; funkce po částech spojitá je z L p a distribuční část je z l p.

12 Systémy Systém je trojice (U, Y, R), kde U je množina vstupních signálů, Y je množina výstupních signálů a R U Y je relace systému. Omezíme se na systémy lineární, časově invariantní, kauzální, diferenciální (spojité v čase) nebo diferenční (diskrétní v čase), jejichž vstupy jsou nulové pro záporné časy. Vstup a výstup takových systémů je vázán konvolucí.

13 Systémy Přenos spojitého systému je Laplaceova transformace jeho odezvy g(t) na vstup δ(t), Přenos diskrétního systému je z-transformace jeho odezvy g(k) na vstup Δ(k), st G( s) g( t) e dt Přenosy námi uvažovaných systémů jsou racionální funkce v s nebo z. 0 k G( z) g( k) z. k0

14 Stabilita Definic stability je řada, v kontextu uvažovaných systémů je přirozené požadovat, aby systém při průchodu signálu zachovával prostor funkcí. Tedy spojitý systém je L p stabilní, jestliže pro každé u L p je y Lp, diskrétní systém je l p stabilní, jestliže pro každé u l p je y lp.

15 Stabilita Nejvíce používaná je stabilita L / l, kdy omezený vstup generuje omezený výstup co do amplitudy. Systém s racionálním přenosem G(s) je L stabilní právě když G(s) je ryzí (nemá pól v s = ) a stabilní (nemá pól v Re s 0 ). Systém s racionálním přenosem G(z), který předpokládáme ryzí, je l stabilní právě když G(z) je stabilní (nemá pól v z 1 ). Pokud je systém minimální realizací svého přenosu, pak stabilita L / l je ekvivalentní exponenciální stabilitě systému.

16 Podílové těleso Podílové těleso K oboru integrity A je nejmenší těleso, které okruh A obsahuje. Prvky K mají podobu n/d, kde n a d jsou prvky A a d 0. Pokud ztotožníme prvek n/1 K s prvkem n A, tak můžeme říci, že K obsahuje A.

17 Podílové těleso Těleso R(s) racionálních funkcí komplexní proměnné, které je množinou přenosů námi uvažovaných systémů, je podílovým tělesem oboru integrity R[s] polynomů, ale také podílovým tělesem oboru integrity R p (s) ryzích racionálních funkcí (nemá pól v s = ) oboru integrity R s (s) stabilních racionálních funkcí (nemá pól v Re s 0) nebo oboru integrity R ps (s) stabilních a ryzích racionálních funkcí.

18 Podílové těleso Systém s rozprostřenými parametry může mít přenos G(s), který je například meromorfní funkcí proměnné s. Těleso M(s) meromorfních funkcí je podílovým tělesem (v oblasti s ) oboru integrity E celistvých funkcí, ale také podílovým tělesem (v oblasti Re s > 0) oboru integrity H funkcí omezených a holomorfních v Re s > 0.

19 Zpětnovazební systémy Systém S 1 řídíme prostřednictvím systému S 2 (regulátoru) vytvořením zpětnovazebního systému. r 1 u 1 S 1 y 1 y 2 u 2 r 2 S 2

20 Zpětnovazební systémy Stabilita L / l je charakterizována přenosem systému. Budeme proto pracovat s přenosy. Označíme G 1 přenos systému S 1 a G 2 přenos systému S 2. Předpokládáme, že G 1 a G 2 jsou racionální funkce. Přenos diskrétního systému navíc předpokládáme ryzí racionální, jinak by systém nebyl kauzální.

21 Zpětnovazební systémy Budeme předpokládat, že zpětnovazební systém je dobře definovaný. Znamená to, že přenos zpětnovazebního systému mezi vstupy r 1, r 2 a výstupy y 1, y 2 (nebo u 1, u 2 ) existuje (jmenovatel přenosu není nula). Diskrétní zpětnovazební systém musí mít přenos striktně ryzí (regulátor potřebuje konečnou dobu na výpočet akčního zásahu, neboli akční zásah již nemůže ovlivnit signál, ze kterého byl zásah vypočítán).

22 Zpětnovazební systémy Pro studium stability zpětnovazebních systémů je vhodné vyjádřit přenosy systémů ve tvaru stabilních ryzích racionálních zlomků, například G N / D pro nesoudělné prvky N, D R ( s) G s s s N s s s D s s s ( ) ( 1) / ( 1), ( ) ( 1) / ( ), ( ) ( 1) / ( ), pro libovolné reálné číslo λ > 0. Prvky z R ps (s) jsou nesoudělné, právě když nemají společné nuly v s = a v Re s 0. ps

23 Stabilita zpětnovazebního systému Nechť G 1 = B / A a G 2 = Q / P jsou nesoudělné zlomky v R ps (s). Potom zpětnovazební systém je (L ) stabilní tehdy a jen tehdy, když U := AP BQ je dělitelem jednotky v R ps (s). Vyplývá z přenosu y 1 1 G G G r B 0 0 r P Q 1 y 2 1 G G 1G 2 2G1 G 2 r 2 AP BQ A 1 0 r 2 který má být stabilní ryzí racionální matice.

24 Stabilizující regulátor Regulátor S 2 s racionálním přenosem G 2 = Q / P stabilizuje daný systém S 1 s racionálním přenosem G 1 = B / A tehdy a jen tehdy, když G 2 lze vyjádřit ve tvaru G 2 = Y / X, kde X 0 a Y jsou stabilní ryzí racionální funkce, které splňují Bézoutovu rovnici AX + BY = 1. Stačí položit a X : P / U, Y : Q / U, kde U : AP BQ G2 Y / X Q / P.

25 Obecné řešení Bézoutovy rovnice Jestliže X, Y je partikulární řešení Bézoutovy rovnice AX + BY = 1 nad oborem integrity R ps (s), pak obecné řešení této rovnice má tvar X + BW, Y AW, kde W je libovolný prvek oboru integrity R ps (s). Platí A( X BW ) B( Y AW ) AX BY 1.

26 Parametrizace všech stabilizujících regulátorů Dán systém S 1 s přenosem G 1 = B/A, kde A 0 a B jsou nesoudělné prvky R ps (s). Buď X a Y prvky R ps (s), které splňují Bézoutovu rovnici AX + BY = 1. Potom množina všech regulátorů S 2, které stabilizují daný systém, je dána množinou přenosů G 2 = (Y AW) / (X + BW ) kde W je libovolný prvek R ps (s) takový, že X + BW 0.

27 Poznámky Každému parametru W odpovídá jeden stabilizující regulátor G 2 a naopak každému G 2 odpovídá jeden parametr W = (Y + G 2 X) / (A G 2 B). Pro každý systém G 1 existuje tolik stabilizujících regulátorů G 2, kolik je stabilních ryzích racionálních funkcí. K danému systému G 1 existují stabilizující regulátory libovolně vysokého řádu.

28 Příklad 1 Pokud S 1 je integrátor s přenosem G 1 (s) = 1 / s, položme například A(s) = s / (s + 1), B(s) = 1 / (s + 1) a řešme rovnici A(s)X(s) + B(s)Y(s) = 1. Nabízí se řešení X(s) = 1, Y(s) = 1 a všechny stabilizující regulátory mají přenos G s 1 s1w( s) ( s) 1 W( s) 2 1 s 1 pro libovolný stabilní ryzí racionální parametr W. Množina přenosů G 2 nezávisí na výběru A, B ani na výběru X, Y.

29 Příklad 2 Pokud S 1 je diferenciátor s přenosem G 1 (s) = s, položíme například A(s) = 1 / (s + 1), B(s) = s / (s + 1) a řešíme opět rovnici A(s)X(s) + B(s)Y(s) = 1. Nabízí se řešení X(s) = 1, Y(s) = 1 a všechny stabilizující regulátory mají přenos G 2 1 W( s) ( s) 1 W( s) pro libovolný stabilní ryzí racionální parametr W. Například parametru W(s) = 0 odpovídá regulátor G 2 (s) = 1. 1 s 1 s s1

30 Příklad 3 Pokud S 1 je sumátor s přenosem G 1 (z) = z / z 1, položíme například A(z) = (z 1) / z, B(z) = 1 a řešíme rovnici A(z)X(z) + B(z)Y(z) = 1. Volíme Y(z) striktně ryzí, například X(z) = 1, Y(z) = 1 / z, pak všechny stabilizující regulátory mají přenos G 2 1 z1 z z W( z) ( s), 1 W( z) který je striktně ryzí pro každý stabilní striktně ryzí racionální parametr W.

31 Historie Již Newton G, Gould L, Kaiser JF. Analytic Design of Linear Feedback Controls. Wiley: New York, si všimli, že pokud má být zpětnovazební systém stabilní, přenos G 1 G 2 / (1 G 1 G 2 ) musí obsahovat nestabilní nuly G 1 a přenos 1 / (1 G 1 G 2 ) musí obsahovat nestabilní póly G 1. Tyto přenosy se tradičně nazývají přenos odchylky G e := 1 / (1 G 1 G 2 ) přenos výstupu G y := G 1 G 2 / (1 G 1 G 2 ).

32 Historie Následně Strejc V. Syntéza regulačních obvodů s číslicovým počítačem. ČSAV: Praha, si všimnul, že rozdíl těchto přenosů je G G 1 / ( 1 G G ) G G / ( 1 G G ) 1 e y a spojil obě podmínky do jediné podmínkové rovnice stability a Kučera V. Stability of discrete linear feedback systems. Preprints 6th IFAC Congress, Boston, formuloval tuto podmínku jako Bézoutovu rovnici nad oborem integrity stabilních a ryzích racionálních funkcí.

33 Historie Když Youla DC, Bongiorno JJ, Jabr HA. Modern Wiener Hopf design of optimal controllers, Part I: The single-inputcase. IEEE Transactions on Automatic Control, 21, 3 14, hledali optimální regulátor, který zároveň systém stabilizuje, tak parametrizovali všechny přenosy ve stabilním zpětnovazebním systému a našli optimální hodnotu parametru. Nepřímo tak objevili parametrizaci všech stabilizujících regulátorů a navíc ukázali, jak parametr využít při optimalizaci.

34 Historie Následně Kučera V. Discrete Linear Control: The Polynomial Equation Approach. Wiley: Chichester, si uvědomil, že všechna řešení Bézoutovy rovnice lze parametrizovat, a vyjádřil všechny stabilizující regulátory v kompaktním parametrickém tvaru G2 ( Y AW ) /( X BW). Tento tvar se dnes objevuje v učebnicích teorie řízení.

35 Historie Parametrizace tedy není výsledkem spolupráce, ale objevu téhož ve zhruba stejnou dobu a zcela různými postupy. Zprvu si autoři plně neuvědomovali význam tohoto výsledku. Teprve Vidyasagar M. Control System Synthesis: A Factorization Approach. MIT: Cambridge, MA, ukázal, že výsledek otevírá zcela novou oblast výzkumu s aplikacemi při návrhu optimálních a robustních systémů. Označení Youla-Kucera Parametrization poprvé použil Anderson BDO. From Youla Kucera to identification, adaptive and nonlinear control. Automatica, 34, , 1998.

36 Parametrizace zpětnovazebních přenosů Všechny přenosy stabilního zpětnovazebního systému y1 1 G1 G1G2 r1 B( X BW ) B( Y AW ) r1 y 1 G G G G G r B( Y AW ) A( Y AW ) r závisejí na W lineárně, zatímco na G 2 závisejí nelineárně. Proto je snazší hledat parametr W namísto regulátoru G 2, když chceme splnit dodatečné požadavky na zpětnovazební systém.

37 Pólový polynom zpětnovazebního systému Stabilita alokuje póly systému (= póly jeho přenosu) kdekoli v oblasti Re s < 0. Do konkrétních pozic lze póly umístit volbou parametru. Dán systém G 1 = B / A pro nesoudělné prvky a množina jeho stabilizujících regulátorů A, B R ( s) ps G 2 = (Y AW) / (X + BW ) kde stabilní ryzí racionální X, Y splňují Bézoutovu rovnici AX + BY = 1 a W je libovolná stabilní ryzí racionální funkce taková, že X + BW 0.

38 Pólový polynom zpětnovazebního systému Vyjádříme A, B a X, Y ve tvaru nesoudělných polynomiálních zlomků A = a / δ 1, B = b / δ 1, X = x / δ 2, Y = y / δ 2 a W = (δ 1 / δ 2 )(w / d) pro polynomiální parametry w, d, kde d je stabilní polynom (všechny nuly v oblasti Re s < 0). Povšimněme si, že ax + by = δ 1 δ 2 a definujme polynomy x', y' splňující ax' + by' = 1. Spolu jsou vázány vztahem x x bt, y y at, t je polynom

39 Pólový polynom zpětnovazebního systému Dosazením za x a y do G 2 získáme G 2 1 2dy a( t w). dx b( t w) 1 2 Položme t + w = δ 1 δ 2 w', kde w' je nějaký polynom, potom G dy aw q dx bw p 2 : a pólový polynom zpětnovazebního systému je ap bq adx bdy ( ax by) d d.

40 Pólový polynom zpětnovazebního systému Považujeme-li vztah t + w = δ 1 δ 2 w' za rovnici pro polynomy w, w' můžeme vybrat řešení, které má vlastnost w / δ 1 δ 2 je striktně ryzí. Potom W je ryzí tehdy a jen tehdy, když d 2δ 1 1. Znamená to, že volbou W můžeme zpětnovazebnímu systému vnutit libovolný pólový polynom d dostatečně vysokého stupně. Polynom w' přitom představuje stupně volnosti regulátoru G 2 při alokaci pólů definovaných pólovým polynomem d.

41 Asymptotické vlastnosti systému Návrh asymptotických vlastností systému typicky zahrnuje možnosti asymptoticky sledovat danou třídu referenčních signálů asymptoticky eliminovat danou třídu poruch.

42 Asymptotické vlastnosti systému Asymptotické sledování reference r výstupem y znamená, že odchylka e s rostoucím časem konverguje k nule. d Nadále budeme používat r e u v značení obvyklé R v teorii řízení. S y Asymptotická eliminace poruchy d na výstupu y znamená, že její vliv na výstup y s rostoucím časem konverguje k nule.

43 Asymptotické vlastnosti systému Pro přenosy to znamená, že jsou stabilní ryzí racionální funkce. e( s) 1 / (1 SR) r( s) : G ( s) r( s) y( s) S / (1 SR) d( s) : G ( s) d( s) e y Postupné zajištění obou těchto vlastností ukážeme na příkladu.

44 Příklad 5 Dán systém s přenosem S( s) 1 / ( s 1). Nejprve zajistíme stabilitu. Zvolíme například A(s) = (s 1) / (s + 1), B(s) = 1 / (s + 1), a řešíme rovnici A(s)X(s) + B(s)Y(s) = 1. Řešení je například X(s) = 1, Y(s) = 2 a všechny stabilizující regulátory mají přenos s1 2 s1w( s) Rs ( ) 1 W( s) pro libovolný stabilní ryzí racionální parametr W. 1 s 1

45 Příklad 5 Pro sledování skokové reference, r(s) = k/s, k libovolné reálné číslo, je odchylka s 1 1 s 1 k e( s) A( s) X ( s) B( s) W ( s) r( s) 1 W ( s). s 1 s 1 s s 1 Nestabilní faktor musí být absorbován, tedy platí Bézoutova rovnice 1 s 1 W ( s) W ( s) s1 s1 e pro nějaké stabilní ryzí racionální W e (s).

46 Příklad 5 Pro eliminaci harmonické poruchy s frekvencí ω, d(s) = (as + b)/(s 2 + ω 2 ), a a b libovolná reálná čísla, je odchylka ( s 1) as b y( s) B( s) X ( s) B( s) W ( s) d( s) 1 W ( s) s 1 s 1 s ( s 1) Nestabilní faktor musí být absorbován, tedy platí Bézoutova rovnice s 1 W ( s) W ( ) 2 y s s1 ( s1) pro nějaké stabilní ryzí racionální W y (s).

47 Příklad 5 Podmínky s 1 s 1 W ( s) W ( s), 1 W ( s) 2 W ( s) s1 s1 e s1 ( s1) y znamenají, že volbou W e a W y lze odděleně zajistit sledování reference a eliminaci poruchy. Využitím nejmenšího společného násobku obou podmínek, W ( s) T( s), 1 s( s ) s1 3 ( s1) pak volbou T dokážeme splnit oba požadavky současně.

48 Příklad 5 Nejjednodušší takový parametr W(s) odpovídá volbě T(s) = 1, vede na regulátor a na odezvy s (3 ) s 1 W( s), 2 ( s 1) s (6 ) s (4 ) s ss ( ) Rs ( ), 2 2 ( s 1)( s ) ( as b) s e( s) k při d( s) 0, y( s) při r( s) ( s1) ( s1)

49 Minimalizace normy H 2 Místo eliminace (částečně známé) poruchy chceme alespoň minimalizovat vliv (neznámé) poruchy d na vybraný signál, definovaný přenosem G. Nechť d je libovolná funkce prostoru L 2. Potom y G d L H2 L2 kde 2 1/2 1 G : 2 ( ) H2 G j d je norma H 2 v prostoru funkcí R ps (s) proměnné s = σ + jω. Naše strategie je minimalizovat G H 2 přes všechny stabilizující regulátory.

50 Minimalizace normy H 2 Norma G H 2 právě když G je striktně ryzí a nemá póly na imaginární ose. Řekněme, že chceme minimalizovat vliv d na výstup regulátoru u = G u d, kde G u = SR / (1 + SR). Všechny stabilizující regulátory jsou R = (Y AW) / (X + BW), kde X a Y splňují AX + BY = 1 a W je libovolný stabilní ryzí racionální parametr takový, že X + BW 0. Zvolený přenos tedy závisí na parametru takto G u = B(Y AW) := N + MW.

51 Minimalizace normy H 2 Nechť M( s) M ( s) M ( s), i o kde M i splňuje vztah M i ( s) M i (s) = 1 a M o je dělitelem jednotky v R ps (s). Někdy nazýváme M i fázotoč a M o faktor s minimální fází. Pro jednoduchost označme M ( s) : M ( s). Minimalizovaná norma je i i ( u i i o ) H H H i o H G N MW M M N M W M N M W neboť její velikost je invariantní vůči násobení M i.

52 Minimalizace normy H 2 Další krok je dekompozice M N M N M N i i i i kde M N je stabilní ryzí a M N je nestabilní a striktně ryzí. Smíšené členy nepřispívají k velikosti normy, a proto i G M N M N M W u H i i o 2 H 2 2 H.

53 Minimalizace normy H 2 První člen normy nezávisí na W, takže 2 min W G u H i M N a toto minimum nastává pro M i N W( s). M o H 2 Optimální W je skutečně stabilní a ryzí racionální funkce pokud existuje M o dělitel jednotky v R ps (s); úloha má pak jediné řešení.

54 Příklad 6 Dán systém s přenosem S(s) = (s 2) / (s 1). Úkolem je nalézt stabilizující regulátor, který minimalizuje normu H 2 přenosu G u = SR / (1 + SR). Množina stabilizujících regulátorů je Rs ( ) 4 s1 s 1 s 1 s7 s2 s1 s1 W( s) W( s) pro libovolný stabilní ryzí racionální parametr W.

55 Příklad 6 Dosažitelné přenosy G u závisejí na parametru W podle vztahu s 2 ( s 1)( s 2) Gu( s) 4 W ( s). 2 2 ( s1) ( s1) Faktorizace dává ( s 1)( s 2) s 2 M i( s), Mo ( s 1)( s 2) s 1 a dekompozice je s Mi N. s 1 s 1 s 1 s 1

56 Příklad 6 Norma přenosu tedy nabývá minima pro 2 W( s). s 2 Optimální regulátor je 6 Rs ( ), s 10 odpovídající přenos poruchy 6 s 2 Gu( s). s 1 s 2 a minimální norma přenosu 6 6 min G. W v H s1 H 2 2 2

57 Dosažení konečné impulsní odezvy Diskrétní systém má konečnou impulsní odezvu, jestliže její z-transformace je polynom v z 1, neboli má póly pouze v bodu z = 0. Dosažení konečné impulsní odezvy zpětnovazebního systému je tedy zvláštním případem úlohy o umístění pólů. Nejkratší možnou impulsní odezvu dosáhneme takovou volbou W, která minimalizuje stupně polynomů v z 1 v přenosu zpětnovazebního systému.

58 Příklad 7 Dán diskrétní systém s přenosem S(z) = (z 1.5z 2 ) / (z 2) 2. Zvolíme například A(z) = (z 2) 2 / z 2, B(z) = (1 1.5z) / z, a řešíme rovnici A(z)X(z) + B(z)Y(z) = 1. Pro Y(z) striktně ryzí je například X ( z) ( z 0.5 z) / z, Y ( z) ( 3z 2) / z a všechny stabilizující regulátory mají přenos Rz ( ) pro libovolný stabilní striktně ryzí racionální parametr W. 3z2 z 4z4 2 z 2 z 2 z 0.5z 1.5z1 2 z z 2 W( z) W( z)

59 Příklad 7 Přenosy zpětnovazebního systému (píšeme v proměnné z 1 ) jsou /(1 SR) A( X BW ) 14.5z 6z 2 z (14z 4 z )( 1.5 z ) W ( z) S SR B X BW z z z W z /(1 ) ( ) ( 1.5 ) ( ) R SR A Y AW z z z z z z W z /(1 ) ( ) (14 4 ) ( ) SR/(1 SR) B( Y AW ) 4.5z 6z Všechny přenosy jsou polynomy v z 1 pávě tehdy, když W = z 1 w, kde w je libovolný polynom v z 1. 2 z ( 1.5 z )(1 4z 4 z ) W ( z)

60 Příklad 7 Nejkratší impulsní odezvy odpovídají volbě W(z) = 0. Potom a Rz ( ) 3z 2 3z 2z z 0.5z 1 0.5z / (1 SR) 1 4.5z 6z 2z S / (1 SR) z 0.5z 1 2 R / (1 SR) 3z 14z 20z 8z SR / (1 SR) 4.5z 6z 2z 1 2 3

61 Minimalizace normy l 1 Pokud chceme minimalizovat vliv vytrvalé neznámé poruchy, tak předpokládáme, že d je funkce z prostoru L, v diskrétním případě l. Potom pro vybraný signál zpětnovazebního systému s impulsní odezvou g platí případně a naše strategie je minimalizovat g L y g d L L L y g d nebo l l l g 1 1 l 1 1 přes všechny stabilizující regulátory.

62 Minimalizace normy l 1 Soustřeďme se na diskrétní případ, spojitý je složitější. Řekněme, že chceme minimalizovat vliv d na vstupu systému v = G v d, kde G v = 1 / (1 + SR). Dosažitelné přenosy G v ve stabilizovaném zpětnovazebním systému jsou G A( X BW ) v pro libovolný stabilní striktně ryzí racionální parametr W. Normu g budeme tedy minimalizovat vhodným výběrem W. l 1

63 Minimalizace normy l 1 Norma gv l 1 právě když A ani B nemají nuly na imaginární ose. Optimální impulsní odezva g v není jediná, ale je konečná, takže přenos G v je polynom v z 1. Vyjádříme proto všechny stabilní a ryzí racionální přenosy ve tvaru polynomů v z 1, což jsou vlastně stabilní a ryzí racionální funkce s póly v z = 0.

64 Minimalizace normy l 1 Nechť A = A + A a B = B + B, kde A a B zahrnují všechny nuly A a B v oblasti Re z > 0. Potom G A( X BW ) v bude polynom v z 1 právě tehdy, když W = z 1 w / A + B + pro libovolný polynom w proměnné z 1 a minimalizace normy l 1 je lineární program pro koeficienty polynomu w. Optimální regulátor nezajišťuje konečnou impulsní odezvu pro všechny přenosy zpětnovazebního systému.

65 Příklad 8 Dán diskrétní systém s přenosem S(z) = (z 1.5z 2 ) / (z 2) 2. Zvolíme A(z) = (z 2) 2 / z 2 = 1 4z 1 +4z 2, B(z) = (z 1.5z 2 ) / z 2 = z 1, a řešíme rovnici A(z)X(z) + B(z)Y(z) = 1. Pro Y(z) striktně ryzí je například X ( z) z, Y ( z) 3z 2z a stabilizující regulátory mají přenos z 2 z (1 4z 4 z ) W ( z) Rz ( ) z ( 1.5 z ) W ( z) pro libovolný stabilní striktně ryzí racionální parametr W.

66 Příklad 8 Dosažitelné přenosy G v jsou G A X BW z z z z z z W z v ( ) (1 4 4 )( 1.5 ) ( ) a volbou parametru W ( z ) : z w( z ) / ( 1.5 z ), w libovolný polynom v z získáme polynomiální přenosy G v ve tvaru G A X BW z z z z z z w z v ( ) (1 4 4 ) ( ).

67 Příklad 8 Polynom w vypočteme lineárním programem, který minimalizuje q = r 0 + r 1 + r 2 + r 3 za podmínky kde Výsledek w 1 = 1.5. r g( i) r a r 0, i 0,1,2,3 i i i g(0) g(1) g(2) w 1 g(3) 2 0 4

68 Příklad 8 Odpovídající parametr W(z) = 1.5z 1 / ( z 1 ) vede na optimální regulátor Rz ( ) a na optimální přenos poruchy d na vstup systému v G z z z 1 3 ( ) 1 3 v 4. 3z 4z (1 z )( 1.5 z ) Minimální norma je g v l 1 8.

69 Pojem robustnosti Robustnost znamená, že vlastnost, kterou regulátor zajišťuje pro nominální systém S, zajistí zároveň pro celou třídu systémů S Δ. Skutečný systém se totiž může lišit od nominálního. Skutečný systém neznáme, ale můžeme zajistit, aby vlastnost byla splněna pro každý systém z okolí S Δ nominálního systému. Tím nepřímo zajistíme splnění požadavku i pro skutečný systém, pokud z množiny S Δ nevybočuje.

70 Pojem robustnosti Robustnost je tedy vztažena na konkrétní vlastnost a je vázána na definované okolí nominálního systému. Množina S Δ zohledňuje neurčitost modelu systému S. Můžeme ji popsat parametricky, jako meze parametrů nominálního systému, nebo neparametricky, prostřednictvím velikosti okolí frekvenční charakteristiky systému (Fourierovy transformace impulsní odezvy systému).

71 Robustní umístění pólů při parametrické neurčitosti Ukážeme na příkladu. Je dán nominální systém s přenosem k S( s), k 88, 194. s 1 Máme k dispozici proporcionálně-integrační regulátor s nastavitelnými konstantami α a β Rs ( ). s

72 Robustní umístění pólů při parametrické neurčitosti Položíme například s 1 k s s A( s), B( s), X ( s), Y ( s). s 1 s 1 s 1 s 1 Zpětnovazební systém bude stabilní, právě když U( s) : A( s) X( s) B( s) Y ( s) 2 s (1 k) s k ( s 1) 2 je dělitelem jednotky v R ps (s); to jest když koeficienty čitatele jsou kladné.

73 Robustní umístění pólů při parametrické neurčitosti Připusťme, že zesílení systému je neurčité, leží v intervalu Tím je definováno okolí nominálního systému S k s1 k : : 84 92, k 92. Úkolem je nastavit regulátor tak, aby póly zpětnovazebního systému byly umístěny v kruhu s 2 1, a to pro každý systém z množiny S Δ.

74 Robustní umístění pólů při parametrické neurčitosti Danou oblast lze transformovat na oblast stability Re w < 0 pomocí konformního zobrazení s b w, a 2 1, b 2 1 s a a úlohu tak převést na úlohu robustní stabilizace pro systém kw k S( w) ( a 1) w ( b 1) a regulátor ( a ) w ( a ) R( s). aw b

75 Robustní umístění pólů při parametrické neurčitosti Odpovídající podmínky stability 2 a a ak k 1 a b 2ab ak bk 2 k 0 2 b b bk k je třeba vyřešit pro krajní hodnoty k = 84 a k = 92. Množina řešení je konvexní útvar, v tomto případě trojúhelník vymezený třemi přímkami v rovině parametrů α a β.

76 Robustní stabilizace při neparametrické neurčitosti Někdy je výhodné pracovat s kruhovým okolím nominálního systému S. Okolí definujeme v komplexní rovině vztahem S Δ = (1 + FΔ)S, kde F je pevná stabilní ryzí racionální funkce a Δ je proměnná stabilní ryzí racionální funkce splňující kde ( s) : sup ( j ) je norma H definovaná pro funkce z R ps (s). H H 1,

77 Robustní stabilizace při neparametrické neurčitosti Okolí je definováno tak, aby FΔ byla maximální relativní odchylka skutečného systému od 1 Protože H S S 1 F. 1, pro všechny frekvence ω platí S ( j ) 1 F( j ) S( j ) čili F( j ) je amplitudový profil neurčitosti a Δ představuje vliv fáze.

78 Robustní stabilizace při neparametrické neurčitosti Nyní předpokládejme, že regulátor R stabilizuje nominální systém S. Potom R bude stabilizovat celou množinu systémů S Δ tehdy a jen tehdy, když SR 1 SR H Vyjádříme-li všechny stabilizující regulátory R pomocí parametru W, podmínka zní B( Y AW ) F 1. Každé stabilní ryzí racionální W splňující tuto nerovnost definuje robustně stabilizující regulátor pro S. F H 1.

79 Příklad 9 Uvažujme nominální systém Ss ( ) s 1 s 1 s vědomím, že v systému existuje zpoždění, o kterém pouze víme, že leží v intervalu Systém tedy vnoříme do třídy systémů S : : s1 s s 1 e

80 Příklad 9 Relativní neurčitost S S j 1 e 1 lze majorizovat jednoduchým přenosem 3s 1 F( s) s 9 tak, že amplituda frekvenční charakteristiky je v kruhu o poloměru F( j ) a fáze odchylky není omezena. e j 1 F( j )

81 Příklad 9 Všechny regulátory, které stabilizují nominální systém S(s) = (s + 1) / (s 1), A(s) = (s 1) / (s + 1), B(s) = 1, A(s)X(s) + B(s)Y(s) = 1, X(s) = 0, Y(s) = 1 jsou s1 1 s1w( s) Rs ( ), W( s) kde W(s) 0 je stabilní ryzí racionální parametr.

82 Příklad 9 Podmínka robustní stability je kde Vypočteme což je méně než 1. SR F B ( Y AW ) F : N MW 1, SR H H 1 H 3s 1 s 1 3s 1 N( s) B( s) Y ( s) F( s), M( s) B( s) A( s) F( s). s 9 s 1 s 9 min N MW N(1) 0.4, W H

83 Příklad 9 Minimalizujícímu parametru N( s) N(1) s 1 W( s) 2.6 M( s) 3s 1 tedy odpovídá robustně stabilizující regulátor 4 s 9 Rs ( ). 26 s 1 Protože norma je nejen menší než 1, ale je minimální, tak R je nejlepší regulátor, který robustně stabilizuje daný systém.

84 Stabilizující regulátor daného řádu řádu Slabina postupného návrhu systémů řízení je, že každá další specifikace nad rámec stability může zvýšit řád regulátoru. Regulátory daného (nejlépe nízkého) řádu lze nalézt řešením lineární maticové nerovností. Řád systému je počet stavových proměnných potřebných k realizaci systému. Pokud je zpětnovazební systém minimální realizací svého přenosu, tak řád regulátoru je stupeň pólového polynomu d.

85 Stabilizující regulátor daného řádu řádu Kontrola stupně polynomu d v parametru W = w / d není jednoduchá. Pokud je polynom d fixován, pak všechny přenosy zpětnovazebního systému jsou lineární v polynomu w. Jestliže d není fixován, tak máme volnou ruku ve výběru d, ale narazíme na problém, že množina všech stabilních polynomů není konvexní v prostoru svých koeficientů. Proto potřebujeme vnitřní konvexní aproximaci všech stabilních polynomů.

86 Stabilizující regulátor daného řádu řádu Předpokládejme, že známe jeden stabilizující regulátor R daného systému S. Hledáme jiný stabilizující regulátor R daného (nižšího) řádu m, pokud existuje. Jestliže S = B / A, kde A = a / δ 1, B = b / δ 1 pro nesoudělné polynomy a, b a jestliže X = x / δ 2, Y = y / δ 2 splňují AX + BY = 1, tak všechny stabilizující regulátory mají tvar R = (Y AW) / (X + BW), kde W je stabilní ryzí racionální parametr splňující X + B W 0.

87 Stabilizující regulátor daného řádu řádu Nechť daný stabilizující regulátor je R' = q / p, pro nesoudělné polynomy p, q. Druhý regulátor, R = y / x, je s ním vázán vztahem q yd aw. p xd bw Platí tedy x d 0 p b y 0. 0 d q a d A w

88 Stabilizující regulátor daného řádu řádu Nechť x y d w x y d w je polynomiální báze minimálního stupně jádra matice A. Pak všechny stabilizující regulátory systému S lze vyjádřit ve tvaru R ( y y ) / ( x x ), kde λ 1 a λ 2 jsou polynomy takové, že λ 1 d 1 + λ 2 d 2 je stabilní polynom.

89 Stabilizující regulátor daného řádu řádu Stabilizující regulátor řádu m existuje právě když x x deg m. y1 y 2 2 Pro každý daný stabilní polynom c, vnitřní konvexní aproximace množiny všech stabilních polynomů d je dána množinou kde M c (d) 0 je maticová lineární nerovnost pro koeficienty polynomů c a d. H d : M ( d ) 0, c c

90 Stabilizující regulátor daného řádu řádu S využitím aproximativní množiny H c můžeme výběrem polynomů λ 1 a λ 2 zajistit nízké stupně polynomů x 1 a x 2 a zároveň stabilitu polynomu d x x deg m. y1 y 2 2 λ 1 d1 d2 d λ2.

91 Příklad 10 Uvažujme systém řádu 3 s přenosem Ss ( ) s s 1 2 ( s 10) a stabilizující regulátor řádu 2 s přenosem 2 26s 45s 1 R( s), 2 s 4s4 který umístí všech pět pólů zpětnovazebního systému do bodu s = 1. Úkolem je nalézt stabilizující regulátor nižšího řádu.

92 Příklad 10 Minimální polynomiální báze jádra matice je A 0 ( s 1) (26s 45s 1) s( s s 10) 5 2 ( s 1) 0 ( s 4s 4) s s 10s 26 2 s 4s 4 149s 103.

93 Příklad 10 Všechny stabilizující regulátory jsou dány takovými polynomy λ 1 and λ 2 pro které je pólový polynom zpětnovazebního systému d = λ 1 + λ 2 (s 3 + s s 26) stabilní. Z prvních dvou řádků báze vyplývá existence stabilizujícího regulátoru řádu 0, k tomu stačí vybrat konstantní λ 1 a λ 2. Z Hurwitzova kritéria stability pak vyplývá, že d je stabilní právě když λ 1 ( 36, 26) and λ 2 = 1. Například λ 1 = 30 vede na regulátor nultého řádu R(s) = 4 a na pólový polynom zpětnovazebního systému d(s) = s 3 + s s + 4.

94 Příklad 10 V daném jednoduchém případě nebylo potřeba aproximovat množinu všech stabilních polynomů d prostřednictvím centrálního polynomu c, protože jsme našli exaktní řešení. Samozřejmě, že vnitřní konvexní aproximace množiny stabilních polynomů vede na konzervativní řešení.

95 Shrnutí Prezentovaná teorie je elegantní, jednoduchá a produktivní. Parametrizace všech regulátorů, které stabilizují daný systém je zajímavý výsledek sám o sobě, navíc umožňuje snadno zajistit další požadavky nad rámec stability, neboť přenosy zpětnovazebního systému závisejí na parametru lineárně, zatímco na regulátoru závisejí nelineárně.

96 Shrnutí Parametrizace se stala paradigmatem moderní teorie řízení systémů lineárních se soustředěnými parametry, ale i mnohem obecnějších. Přenosy systémů s rozprostřenými parametry nejsou racionální a existenci nesoudělných zlomků nad okruhem nelze a priori předpokládat. Stačí se však omezit na systémy, jejichž přenos je z podílového tělesa Bézoutova oboru integrity; v takovém oboru existuje řešení Bézoutovy rovnice. Výsledné přenosy jsou dostatečně obecné; Bézoutovy obory jsou například celistvé funkce E, nebo holomorfních funkce omezené v normě H.

97 Další informace Youla-Kucera parametrization Wikipedia Kucera_parametrization Youla Kucera parametrization YouTube Google nalezne výsledků k heslu Youla-Kucera