Metody pro automatické nastavování a ladění parametrů spojitých regulátorů
|
|
- Viktor Vávra
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Fakulta aplikované informatiky Ing. Jiří Korbel Metody pro automatické nastavování a ladění parametrů spojitých regulátorů Methods for automatic design and tuning of parameters of continuous controllers DISERTAČNÍ PRÁCE Obor: Technická kybernetika Školitel: prof. Ing. Roman Prokop, CSc. Zlín,
2 Poděkování: Děkuji vedoucímu disertační práce, panu prof. Ing. Romanu Prokopovi, CSc. za odborné vedení, cenné rady a připomínky, které mi poskytoval při řešení této práce.
3 ABSTRAKT Tato práce je věnována automatickému nastavování parametrů regulátorů při využití reléového identifikačního experimentu s nesymetrickým relé s hysterezí. Neznámý řízený systém je nejdříve identifikován v podobě přenosové funkce prvního řádu s dopravním zpožděním. Během experimentu s nesymetrickým relé jsou identifikovány parametry, kterými jsou zesílení K, časová konstanta T a dopravní zpoždění Θ. Pro následnou syntézu regulátorů je využit polynomiální přístup v okruhu ryzích a stabilních racionálních funkcí, který dovoluje ladění regulátoru pomocí skalárního parametru m >. Pro simulační ověření byl vytvořen programový nástroj v prostředí MATLAB, který umožňuje snadné a rychlé ověření vlastností navrženého regulátoru. Klíčová slova: Auto-tuning, reléová identifikace, zpětnovazební řízení.
4 ABSTRACT This work is focused on automatic controllers tuning with biased relay feedback experiment. Unknown controlled system is identified as first order transfer function with time delay. All parameters are identified during the experiment with biased relay, which means the proportional gain K, time constant T and time delay term Θ. In the following controller design a polynomial approach is used. It enables tuning of the controller by a scalar parameter m >. A program system for simulations was developed in MATLAB environment. It enables easy and quick verification of the capabilities of the designed controller. Key words: Auto-tuning, relay-based identification, feedback control.
5 OBSAH ÚVOD... 7 HISTORIE A PŘEHLED SOUČASNÉHO STAVU... CÍLE DISERTAČNÍ PRÁCE RELÉOVÝ ZPĚTNOVAZEBNÍ EXPERIMENT METODA EKVIVALENTNÍHO PŘENOSU EKVIVALENTNÍ PŘENOS RELÉOVÉ NELINEARITY SYMETRICKÉ RELÉ NESYMETRICKÉ RELÉ ALGEBRAICKÉ METODY V SYNTÉZE ŘÍZENÍ OKRUHY A TĚLESA DIOFANTICKÉ ROVNICE POPIS SYSTÉMŮ V R PS FORMULACE ZÁKONŮ ŘÍZENÍ ODVOZENÍ ZÁKONŮ ŘÍZENÍ Systém. řádu bez dopravního zpoždění Systém. řádu bez dopravního zpoždění SYSTÉMY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM Metody aproximace dopravního zpoždění Meromorfní funkce LADĚNÍ REGULÁTORŮ VYVÁŽENÉ NASTAVENÍ EXPERIMENTÁLNÍ NASTAVENÍ APERIODICKÉ LADĚNÍ REGULÁTORU
6 6 PROGRAMOVÁ IMPLEMENTACE MATLAB + SIMULINK SIMULAČNÍ PROGRAM SIMULACE A OVĚŘENÍ SYSTÉMY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM SYSTÉMY VYSOKÝCH ŘÁDŮ VLIV VOLBY LADICÍHO PARAMETRU VLIV PERTURBACE ŘÍZENÉHO SYSTÉMU REÁLNÉ ŘÍZENÍ Popis modelu tepelné soustavy Průběhy měření na reálném modelu ZÁVĚR SEZNAM SYMBOLŮ A ZKRATEK PUBLIKAČNÍ AKTIVITY LITERATURA... 9 SEZNAM OBRÁZKŮ PŘÍLOHY
7 ÚVOD Nejúčinnějším způsobem, kterým je možné ovlivnit dynamiku daného systému, je zpětná vazba. Zpětnovazební řízení a regulátory patří za posledních sto let k významným úspěchům lidského poznání a vyspělé techniky. Od třetiny minulého století patří k nejpoužívanějším zpětnovazebním regulátorům konkrétně PID regulátory, které mají tři složky, proporcionální, derivační a integrační. Je odhadováno, že téměř 9% regulačních obvodů v průmyslu je osazeno právě PID regulátory. Pro efektivní a účinnou funkci takového regulátoru je potřeba nastavit (ladit) jeho tři parametry, proporcionální, derivační a integrační. Tento postup se nazývá syntézou regulátoru. V průběhu mnoha desetiletí se hledaly postupy a algoritmy, jak nalézt správné a přijatelné hodnoty pro nastavení parametrů regulátorů. Těchto metod existuje v dnešní době celá řada. Nepochybně nejpoužívanější metoda v této oblasti je nerozlučně spjata se jmény Zieglera a Nicholse. Jejich v podstatě empirická pravidla se využívají úspěšně k nastavení parametrů regulátorů dodnes. Nevyžadují totiž mnoho informací o řízeném objektu. Znalost přenosové funkce je nahrazena experimentem s proporcionálním regulátorem ve zpětné vazbě, který přivede zpětnovazební obvod na hranici stability. Z kritických hodnot zesílení a kmitů lze pak hodnoty parametrů regulátoru odečíst z empiricky získaných tabulek. Ziegler-Nicholsovy metody se tak úspěšně využívaly po několik desetiletí. Úspěšnost tohoto nastavení má však své hranice. Vytýkají se mu často kmitavé odezvy se značným prvotním překmitem, špatné zvládnutí dopravního zpoždění, problematické použití pro integrační a nestabilní odezvu, neschopnost kompenzovat řadu poruch, atd. 7
8 S vývojem číslicové regulační techniky v druhé polovině. století se začaly projevovat i další významné nedostatky tohoto přístupu. Šlo jednak o rizikový experiment na hranici stability a také o kritizovanou přílišnou kmitavost regulačních pochodů. Jako první navrhli Hägglund a Åström způsob, který rizikový experiment nahrazuje a automatizuje. Jednalo se o použití symetrického relé ve zpětné vazbě a důkaz, že z experimentu lze odečíst právě hledané kritické hodnoty. V kombinaci s nastavením Ziegler- Nichols byl tento způsob publikován (Aström & Hägglund, 984) a byl převzat řadou profesionálních firem vyvíjejících prostředky pro automatizaci a regulaci pod označením auto-tuning, tedy automatické nastavení parametrů regulátorů. Do dnešní doby je tento způsob standardním vybavením mnoha software pro číslicové řízení. Auto-tuning tedy reprezentuje syntézu regulátorů skládající se ze dvou samostatných částí. V prvé řadě jde o zpětnovazební reléový experiment, který musí být nějakým vhodným algoritmickým způsobem vyhodnocen. V druhé části syntézy se výsledky vyhodnocení musí definovaným způsobem zpracovat a vygenerovat vyhovující regulátor. Auto-tuning má tedy v sobě prvky adaptace, ale nové přizpůsobení na změněné podmínky je nutno vykonat novým startem celého experimentu. V průběhu dalších dvaceti let byly rozpracovány mnohé modifikace tohoto přístupu. V části reléového experimentu šlo o rozšíření a použití různých dalších typů relé, jako je nesymetrické relé nebo relé s hysterezí. Na základě takového experimentu se obvykle již neurčují kritické hodnoty, ale přímo parametry aproximovaného přenosu nízkého řádu, obvykle prvního nebo druhého (Shen et al., 996; Kaya & Atherton, ; Luyben, ; Majhi, 7; O Dwyer, 9). Přirozeně docházelo i k rozšíření způsobu využití těchto dat pro generování parametrů regulátorů, tedy v modifikaci 8
9 vlastní syntézy řízení (García & Castelo, ; Thyagarajan & Yu, ; Yu, 6). Původní metody auto-tuningu byly určeny pro stabilní řízené objekty vyskytující se zejména v technologických procesech. V průběhu let docházelo i k rozšíření na integrační a nestabilní systémy a na systémy s dopravním zpožděním (Majhi & Atherton, 998). Tato práce si klade za cíl být dalším přínosem v návrhu metod autotuningu. V části reléového experimentu využívá různé typy relé, zejména nesymetrické s hysterezí, které umožňuje přímou identifikaci parametrů aproximovaného přenosu (Vyhlídal, ; Vítečková & Víteček, 4). Na základě identifikovaného přenosu se generuje celá třída regulátorů pomocí algebraických metod v okruhu ryzích a stabilních racionálních funkcí. Tento přístup umožňuje definovat kladný skalární parametr, jehož hodnota ovlivňuje kvalitu regulačních pochodů. Je navrženo několik způsobů, jak určovat vhodnou hodnotu tohoto parametru a tím ladit koeficienty regulátoru. Přirozeným předpokladem celého postupu je potřeba aplikovat metodu pro systémy vysokých řádů, systémy s dopravním zpožděním a z části i systémy nelineární. Předložená metodika navíc přesahuje rámec tradičních PID regulátorů a umožňuje generování regulátorů jiného typu, např. ve struktuře DOF. Metodiku návrhu algebraickými prostředky lze pokládat za původní řešení. Odvozené algoritmy jsou implementovány pro simulaci a ověřování v prostředí MATLAB-Simulink. Byla vytvořena řada programových produktů, které snadnou formou umožňují simulaci a porovnání implementovaných metod i laickým uživatelem. Ve finální fázi ověření byl navržený algoritmus aplikován pro řízení reálného laboratorního objektu tepelného systému. 9
10 HISTORIE A PŘEHLED SOUČASNÉHO STAVU Principem auto-tuningu se rozumí kombinace dvou částí, z nichž každá zaznamenala svůj téměř samostatný vývoj. V první fázi auto-tuningu je nutno vykonat reléový experiment a navrhnout smysluplné využití jeho výsledku. V původní práci autorů Aström, Hägglund z roku 984 jde o využití symetrického relé ve zpětnovazebním obvodu. Pomocí ekvialentního přenosu lze odvodit kritické hodnoty, které odpovídají mezi stability regulačního obvodu s proporcionálním regulátorem. Ten byl základem pro nastavení metodou Ziegler-Nichols. Tento způsob tedy neidentifikuje parametry regulované soustavy ani žádné jeho aproximace (Aström & Hägglund, 984). Uvedený postup byl dále modifikován celou řadou autorů a souvisí s použitím jiných typů relé a využitím výsledků takového experimentu (Li et al., 99; Morilla et al., ; Pecharromán & Pagola, ; Wang et al., ; Thyagarajan et al., 3; Jeng et al., 6; Leva et al., 6). Vzhledem ke skutečnosti, že PID regulátory jsou nejčastější realizací dynamické zpětné vazby, je přirozené, že metodám a teorii jejich vhodného nebo optimálního nastavení byla věnována pozornost mnoha desetiletí. Celá řada autorů se věnovala problému, jakým způsobem navrhovat parametry proporcionální, integrační a derivační složky regulátoru (Ziegler & Nichols, 94; Aström & Hägglund, 995; Bennett, ; Gorez & Klán, ; Ingimundarson & Hägglund, ; Klán, ; Shinskey, ). V literatuře lze nalézt několik desítek způsobů jak hledat vhodné nastavení různými přístupy, od empirických, geometrických a analytických metod až k metodám velmi sofistikovaným a komplikovaným, které využívají optimalizační, analytické a matematické prostředky.
11 Metodika adaptivního (průběžného) nastavování parametrů regulátorů se v průmyslové praxi téměř nevyužívá. Při tomto postupu se parametry regulátoru mění vždy v periodách vzorkování. Nevýhodou je velká citlivost na rychlost konvergence, jelikož při rychlé konvergenci parametry regulátoru velmi kmitají kolem svých nominálních hodnot, ovšem pokud je konvergence pomalá, trvá nastavení neúměrně dlouhou dobu. Průmyslová praxe se přiklání spíše k jednorázovému nastavování parametrů regulátorů než k průběžnému adaptivnímu procesu (Aström & Hägglund, 5). Číslicový regulátor má většinou tlačítko, kterým se spouští proces automatického nastavení, který se skládá z několika kroků. Nejdříve regulátor generuje poruchu, která může mít různou podobu (skoková změna, impulz, harmonický signál). Regulátor zaznamenává odezvu a následně ji vyhodnocuje buď na základě znalosti modelu procesu (model-based) nebo popisu chování procesu (model-free). Nakonec regulátor vypočte nové parametry a tyto použije. Funkci automatického nastavení obsahují v dnešní době regulátory od celé řady výrobců (např. Foxboro, ABB, Yokogawa, ZPA Nová Paka, Honeywell), přičemž každý se problematice věnuje odlišným způsobem. Podrobný rozbor jednotlivých přístupů je možné nalézt v (Klán, 9). Přestože původní analogové regulátory byly nahrazeny číslicovými, je v dnešní době situace obdobná jako v devadesátých letech minulého století. Předpokládá se, že většina regulačních obvodů v průmyslu používá stále PID regulátory. Důvodem je jejich dobře známá struktura a existence celé řady přístupů k jejich nastavení. Na druhou stranu, literatura také uvádí, že velká část těchto regulačních obvodů má možnost výrazného vylepšení výkonu. Ovšem zásadní změnu v této oblasti nelze očekávat ani v budoucím období, jak ilustruje např. (Aström a Hägglund, ).
12 V sedmdesátých letech dvacátého století se začaly rozvíjet další metody, tzv. algebraické, které hledají vhodný regulátor jako řešení lineární (Diofantické) rovnice v předem definovaném okruhu. Tímto okruhem byl původně okruh polynomů v Laplaceově nebo Z-transformaci. Další rozvoj využíval i jiné okruhy, např. okruh ryzích a stabilních racionálních funkcí (Vidyasagar, 988; Kučera, 993; Kučera, 995; Kučera, ). Algebraický přístup svou filozofií překonává strukturu PID regulátoru a navrhuje regulátor jako přenos ve tvaru zlomku dvou polynomů téměř libovolného řádu. Toto rozšíření v dnešní době není omezující, protože digitální (číslicová) realizace algoritmu není omezena pouze na strukturu PID, která byla relevantní při využití analogové techniky. Následná parametrizace stabilizujících regulátorů, popsaná např. v (Youla et al., 976; Kučera, 993; Prokop & Corriou, 997), ukazuje výhody algebraického přístupu při návrhu regulátorů. V případě, že existuje jeden stabilizující regulátor, pak jich existuje nekonečně mnoho a výsledný regulátor se z této množiny vybere na základě dalších podmínek kladených na regulační obvod, např. podmínka asymptotického sledování žádané veličiny (Prokop & Corriou, 997; Prokop et al., ).
13 CÍLE DISERTAČNÍ PRÁCE Cílem disertační práce je rozšířit metody a způsoby auto-tuningu, tedy automatického nastavení regulátorů, při využití reléového experimentu. Při reléovém experimentu půjde o využití nesymetrického relé bez nebo s hysterezí, které umožňuje explicitní identifikaci systému prvního nebo druhého řádu a to i s dopravním zpožděním. Na základě identifikovaného přenosu pak navrhnout algoritmicky transparentní a efektivní metodu, jakým způsobem generovat třídu stabilizujících zpětnovazebních regulátorů a jak tyto regulátory ladit. Přitom půjde o využití algebraických metod v okruhu ryzích a stabilních racionálních funkcí. Stabilizující rovnice tak generuje nekonečné množství regulátorů, z nichž lze podle řádu a podmínek dělitelnosti vybírat jednoduché a přitom vhodné pro definované zadání. Navíc tento přístup umožňuje definovat skalární ladicí parametr, který ovlivňuje dynamiku regulátoru a tím i chování celého regulačního obvodu. Dílčí cíle disertační práce byly stanoveny takto:. Klasifikace reléového experimentu a syntéz pro auto-tuning.. Návrh vhodného reléového experimentu a jeho vyhodnocení s cílem identifikace aproximovaného přenosu. 3. Odvození třídy stabilizujících regulátorů pro účely auto-tuningu a ladění regulátorů pro systémy s dopravním zpožděním. 4. Vytvoření programového prostředí pro návrh a simulaci principů auto-tuningu v prostředí Matlab-Simulink. 5. Ověření navrženého způsobu auto-tuningu v simulačním a také laboratorním prostředí. 3
14 3 RELÉOVÝ ZPĚTNOVAZEBNÍ EXPERIMENT 3. Metoda ekvivalentního přenosu Teorie a prostředky metody ekvivalentních přenosů (Describing Functions) představují efektivní matematický nástroj pro pochopení (analýzu) a vylepšení (návrh) chování nelineárních systémů. Metoda ekvivalentního přenosu byla vyvinuta k zodpovězení základní otázky: Jaké jsou nezbytné a dostatečné podmínky k tomu, aby byl nelineární zpětnovazební obvod stabilní? (Atherton, 996) Bohužel, matematické nástroje nutné pro analýzu nelineárního chování jsou značně komplikovanější než v případě lineárních systémů, kde se jedná například o využití známé Laplaceovy transformace, Z-transformace, a dalších nástrojů, které v nelineárních případech nelze použít. Matematická teorie lineárních systémů poskytuje elegantní nástroje v podobě popisu chování celé řady z nich. Svým způsobem jsou tyto nástroje jednotné a unifikované pro velkou třídu nebo pro všechny lineární systémy. Tuto výhodu matematika neposkytuje v případě systémů nelineárních, které je nutno analyzovat individuálně a specificky pro různé typy nelinearit a velmi obtížně se v nelineární teorii hledá unifikovaný způsob a jednotné nástroje pro větší třídy těchto systémů. Navíc, různé typy nelineárního chování obecně vyžadují různé matematické nástroje, některé z nich jsou analyticky přesné, jiné pouze numericky přibližné. Analytické metody jsou obecně dostupné pouze pro jednoduché systémy (nízký řád, nebo pouze s jednou nelinearitou, nebo s nelinearitami popsanými jednoduchými vztahy), zatímco pro komplikovanější systémy mohou být aplikovány metody přibližné. Metoda ekvivalentních přenosů patří právě do druhé kategorie přibližných metod pro složité systémy (Taylor, 999). 4
15 Metoda ekvivalentního přenosu umožňuje v nelineárních regulačních obvodech stanovit počet mezních cyklů a jejich stabilitu. Základním předpokladem je možnost rozdělení stacionárního nelineárního regulačního obvodu na dvě části, nelineární statický člen s lichou charakteristikou a lineární dynamický člen s vlastnostmi dolní propusti. Při splnění těchto podmínek lze při harmonickém průběhu vstupní veličiny do nelineárního členu pozorovat na jeho výstupu periodický průběh daný tvarem nelineární charakteristiky. Rovněž lze z harmonického průběhu počítat pouze s první harmonickou, protože vyšší harmonické jsou potlačeny lineárním členem. Základní ideou ekvivalentního přenosu pro modelování a studium chování nelineárních systémů je náhrada každého nelineárního bloku za ekvivalentní přenos, jehož zesílení je funkcí amplitudy vstupního signálu. Existuje nelineární člen s lichou charakteristikou u = f(e). Pro vstupní veličinu ve tvaru e(t) = Asinωt, kde A je amplituda, lze periodický průběh výstupní veličiny nelineárního členu rozložit na Fourierovu řadu (Atherton, 996; Balátě, 3): u( t) = f ( A sin ωt) = an sinnωt + bn cosnωt () n= Z uvedeného průběhu zahrneme první harmonickou (a = a, b = b, jelikož se jedná o lichou funkci, bude b = ): a sinωt + b cosωt = u sin( ωt + ϕ ) () kde u N je amplituda a ϕ N je fázový posuv první harmonické: N N b un ( A) = a + b ϕn ( A) = arctan (3) a 5
16 Fourierovy konstanty a a b jsou dány vztahy (Balátě, 3): π a( A) = f ( A sin ψ ) sinψ dψ π π b( A) = f ( A sin ψ ) cosψ dψ π (4) kde ψ = ωt a π = ωt, T je perioda harmonických kmitů. Ekvivalentní přenos nelineárního členu je poměr první harmonické výstupního signálu k vstupním harmonickým kmitům: un jϕ a b N GN ( A) = e = + j (5) A A A Je-li statická charakteristika nelineárního členu jednoznačná, je její plošný obsah nulový a proto platí b(a) =, z čehož plyne: π a GN ( A) = = f ( A sin ψ ) sinψ dψ A π A (6) Aby v uzavřeném nelineárním regulačním obvodu došlo ke vzniku autooscilací, musí platit, že kmity na výstupu y(t) musí být fázově zpožděny o π (to znamená o 8 ) a musí mít stejnou amplitudu jako kmity regulační odchylky e(t). Výsledkem je podmínka vzniku autooscilací zapsaná pomocí ekvivalentního přenosu nelineárního členu a kmitočtové charakteristiky lineárního členu (Atherton, 996; Balátě, 3): G( j ω ) = G ( ) N A (7) 6
17 3. Ekvivalentní přenos reléové nelinearity Na obrázku jsou zakresleny průběhy statické charakteristiky (a), výstupní veličiny (b) a vstupní veličiny (c) pro nelineární člen reálného třípolohového relé. Pomocí postupu uvedeného v kapitole 3. je potřeba určit ekvivalentní přenos tohoto nelineárního členu. Obrázek Reálné třípolohové relé (Balátě, 3) Pro sinusový průběh vstupní veličiny e(t) = A sinωt bude průběh výstupní veličiny u(t) = f(a sinωt) periodický, ale nebude sinusový. Podle obrázku lze tedy psát (Balátě, 3): a = A sinψ ψ = (8) arcsin a A 7
18 a = A π ψ ψ = π (9) sin( ) arcsin a A u( ψ ) = u( π + ψ ) ψ < ψ u( ψ ) = f ( A sin ψ ) = B ψ ψ < ψ ψ ψ < π ψ = ωt Fourierovy koeficienty jsou dány vztahy: π a( A) = f ( A sin ψ ) sinψ dψ B sinψ dψ π = = π B ψ B = [ ψ ] = ψ ψ π π cos (cos cos ) ψ ψ ψ () Protože cosψ = sin ψ, je možné na základě (8) a (9) psát: a a cosψ = cosψ = A A a po dosazení do () je výsledný vztah: B a a a( A) = + π A A () Podobně se vypočítá i druhý koeficient: π b( A) = f ( A sin ψ ) cosψ dψ B cosψ dψ π = = π B B = = ψ π π ψ [ sinψ ] [ sinψ sinψ ] ψ ψ () 8
19 po dosazení (8) a (9) je výsledný vztah: b( A) B ( a a ) π A = (3) Ekvivalentní přenos třípolohového reálného relé (obr. ) je tedy dán: ( ) a b B a a a a GN A = + j = + j A A π A A A A (4) pro A a > a V případě kdy A < a je G N (A) =. Obrázek Charakteristiky relé (Balátě, 3) Vztah (4) je možné upravit pro další typy relé a získat tak jejich ekvivalentní přenosy. Na obrázku jsou uvedeny další reléové charakteristiky a) ideální třípolohová, b) ideální dvoupolohová, c) reálná dvoupolohová. Pro třípolohové relé bez hystereze (ideální) platí: a = = a a 9
20 po dosazení do (4) získáme: 4B a GN ( A) = A > a π A A G ( A) = A < a N (5) Ekvivalentní přenos ideálního dvoupolohového relé (obr. b) získáme ze vztahu (4) dosazením a = a =. ( ) 4B GN A = (6) π A Pokud se do vztahu (4) dosadí a = -a = a, bude výsledkem ekvivalentní přenos reálného dvoupolohového relé: π A A A G ( A) = A < a 4B a a GN ( A) = j A > a N (7) Závislost ekvivalentního přenosu na amplitudě vstupního signálu je zobrazena na obrázku 3. Je patrné, že relé působí jako velmi silné zesílení pro malé vstupní amplitudy a jako malé zesílení pro velké amplitudy. Obrázek 3 Ilustrace ekvivalentního přenosu relé (Taylor, 999)
21 3.3 Symetrické relé Úlohou relé, které je zapojeno ve zpětnovazebním obvodu místo regulátoru (obr. 4), je způsobit autooscilace obvodu, tj. způsobit vznik stabilního mezního cyklu. Zda ke vzniku mezního cyklu dojde, lze ověřit využitím metody ekvivalentního přenosu (Atherton, 996; Taylor, 999; Balátě, 3). Obrázek 4 Relé ve zpětné vazbě Podmínka vzniku stabilního mezního cyklu u obvodu na obrázku 4 má jednoduchý tvar (Taylor, 999; Balátě, 3): GS ( j ω ) = G ( A) (8) Ekvivalentní přenos nelineárního členu s ideální reléovou charakteristikou dvoupolohového spínání (bez hystereze) je dán vztahem (Taylor, 999; Balátě, 3): ( ) 4B GN A = (9) π A kde B je amplituda relé, A je amplituda harmonických kmitů výstupu. N
22 Člen s reálnou reléovou charakteristikou (s hysterezí) má ekvivalentní přenos vyjádřený vztahem (Vítečková & Víteček, 4): 4B ε ε GN ( A) = j ε < A π A A A G ( A) = A ε N () jϕ N ( A) = AN ( A) e ε < A () G ( A) N π A AN ( A) = ϕn ( A) = π + arctan 4B A ε ε () kde ε je hystereze relé, B je amplituda relé, A je amplituda harmonických kmitů výstupu, A N (A) je modul kritické charakteristiky, ϕ N (A) je fáze kritické charakteristiky. Metodou relé je možné určit časovou konstantu T i a dopravní zpoždění Θ i proporcionální regulované soustavy aproximované přenosem (3) za předpokladu, že zesílení regulované soustavy K i její řád i jsou známé. K G( s) = e i ( T s + ) i Θi s (3) Po provedení reléového experimentu je potřeba ze získaného průběhu oscilací určit amplitudu kmitů výstupní veličiny A a periodu kmitů T y. Pro výpočet časové konstanty T i a dopravního zpoždění Θ i se následně použijí vztahy (Vítečková & Víteček, 4): T i Ty 6 K B = i π π A (4)
23 T y π Ti Θ i = π i arctan arctan π Ty ε A ε (5) 3.4 Nesymetrické relé Velké množství řízených procesů lze charakterizovat pomocí přenosové funkce prvního řádu s dopravním zpožděním: K G( s) = e Ts + Θs (6) V případě, že se ve zpětnovazebním obvodu, zobrazeném na obr. 4, použije nesymetrické relé s hysterezí, je možné během jednoho reléového experimentu identifikovat také statické zesílení K. Typický průběh vstupní a výstupní veličiny během reléového experimentu je zobrazen na obr. 5. Z obrázku je zřejmé, že pro systém (6) osciluje výstupní veličina v rámci jedné periody a tyto oscilace je možné popsat následujícími rovnicemi (Hang et al., ): Au = ( µ + µ ) K e + ε e Θ Θ T T Ad = ( µ µ ) K e ε e Θ Θ T T (7) (8) T u Θ T µ Ke + µ K µ K + ε = T ln µ K + µ K ε (9) T u Θ T µ Ke µ K µ K + ε = T ln µ K µ K ε (3) 3
24 Tyto rovnice jsou vyjádřením periody a amplitudy autooscilací pro systém prvního řádu s dopravním zpožděním. Měřením kterékoliv trojice parametrů je možné z uvedených vztahů vypočítat parametry modelu K, T a Θ. Zesílení K je možné z důvodu zjednodušení výpočtu stanovit jako podíl integrálů výstupní a vstupní veličiny v rámci jedné periody (Vyhlídal, ; Hang et al., ): K = Tu + Tu Tu + Tu y( t) dt u( t) dt (3) Normalizované zpoždění L = Θ / T je získáno řešením rovnice (7) nebo (8) ve tvaru (Hang et al., ): L = ln nebo L = ln ( ) ( µ µ ) µ + µ K ε + K A ( ) ( µ µ ) µ µ K ε u K + A d (3) Z rovnice (9) nebo (3) potom plyne: T L µ Ke + µ K µ K + ε = Tu ln µ K + µ K ε nebo T L µ Ke µ K µ K + ε = Tu ln µ K µ K ε (33) 4
25 .3 T u.. A u µ + µ y -. A d T u µ µ -. u Obrázek 5 Oscilace vstupní a výstupní veličiny Dopravní zpoždění je následně dáno vztahem: Θ = T L (34) Uvedená metoda je jednoduchá z pohledu realizace a je vhodná pro systémy, které lze charakterizovat přenosovou funkcí prvního řádu s dopravním zpožděním. Analytické vyjádření odezvy reléové zpětné vazby je pro celou řadu systémů uvedeno v (Panda & Yu, 3). 5
26 4 ALGEBRAICKÉ METODY V SYNTÉZE ŘÍZENÍ Algebraické nástroje a metody postupně pronikaly do teorie automatického řízení v průběhu celého dvacátého století. Pojem polynomu vnesla do lineární teorie již Laplaceova transformace a polynomy se také staly základním prostředkem pro studium stability lineárních systémů. V padesátých letech dvacátého století se však začala zdůrazňovat jejich algebraická podstata. To znamená, že na přenosovou funkci se nepohlíží jako na funkci komplexní proměnné, ale jako na podíl dvou polynomů, tedy algebraický objekt. Tento nový pohled se objevuje například v publikacích (Aström, 97; Peterka, 97). Důsledné využití algebraické teorie polynomiálních operací pro diskrétní systémy provedl Kučera v letech 973 až 978, výsledky jsou prezentovány v monografii (Kučera, 979; Kučera, 99). Základní filozofií algebraického přístupu je pohled na množinu polynomů jako na algebraickou strukturu s názvem okruh, tedy množinu, ve které neplatí axiom dělení. Dalším důležitým aspektem je, že charakteristická rovnice zpětnovazebního obvodu je rovnice se dvěma známými polynomy (čitatel a jmenovatel řízeného objektu) a dvojicí neznámých polynomů (čitatel a jmenovatel regulátoru). Takové rovnice se v algebře nazývají Diofantické, a pokud jejich řešení existuje, je těchto řešení nekonečně mnoho. Vhodným výběrem z této množiny řešení lze získat nejjednodušší regulátor, nejvhodnější regulátor nebo optimální regulátor. Mnohoznačnost regulátorů přes řešení Diofantické rovnice se nazývá Youla-Kučerova (Bongiorno) parametrizace. Velmi jednoduše se tak řeší problémy stabilizace nebo umístění pólů charakteristické rovnice. 6
27 Později byla metodika rozšířena i na jiné okruhy, než pouze množinu polynomů, např. na okruh ryzích a stabilních funkcí R PS, což je uvedeno např. v pracích (Vidyasagar, 988; Kučera, 993). Tato práce preferuje přístup a řešení návrhu regulátorů právě v množině R PS, která je pro výsledný regulátor a jeho výběr univerzálnější a vhodnější než množina polynomů. 4. Okruhy a tělesa Pojmy známé z algebry, jako jsou okruh a těleso, jsou používány také v teorii řízení (Kučera, 993) a zpracování signálů (Vidyasagar, 988). Okruhem se rozumí neprázdná množina Ω, ve které je možné sčítat a násobit s příslušnými axiomy. Axiomy sčítání prvků okruhu: a + b = b + a platí komutativní zákon O Ω : a + O = O + a = a existuje nulový prvek a : ( a) a + ( a) = O existuje inverzní prvek ( a + b) + c = a + ( b + c) platí asociativní zákon Axiomy násobení prvků okruhu: a b = b a platí komutativní zákon Ω : a = a = a existuje jednotkový prvek ( a b) c = a ( b c) platí asociativní zákon 7
28 Axiomy sčítání a násobení prvků okruhu: ( a + b) c = a c + b c platí distributivní zákon Okruh je tedy množina prvků, se kterými můžeme provádět operace sčítání, odčítání a násobení při platnosti asociativních, komutativních a distributivních zákonů. Naopak dělit v okruhu obecně nelze. To znamená, že ke každému prvku okruhu a nemusí existovat jednotkový (invertibilní) prvek b tak, aby platilo ab =. V případě, že ke každému prvku v okruhu existuje také prvek inverzní při operaci násobení, jde o těleso. Okruh je tak jistou podmnožinou tělesa. Z faktu, že v okruhu nelze dělit, plyne o to důležitější pojem dělitelnosti. Stručně řečeno, prvek a dělí prvek b tehdy, existuje-li prvek c (a, b, c jsou prvky okruhu) tak, že platí b = ac. Definice: Prvek okruhu d je dělitelem prvků a, b právě tehdy, když a = a d a b = b d. Největším společným dělitelem je d = NSD(a,b) tehdy, jestliže všichni dělitelé d jsou děliteli d. Pro elementární okruh celých čísel je dělitelnost chápána přes prvočinitele, tedy a dělí b tehdy, jestliže všechny prvočinitele a jsou také prvočiniteli b. Množina polynomů také tvoří okruh, což lze ověřit uvedenými axiomy. Dělitelnost v polynomech je definována přes kořeny, tedy polynom a dělí polynom b, jestliže všechny kořeny a jsou také kořeny b (bez ohledu na to, zda leží ve stabilní nebo nestabilní polorovině). Přirozeně tato dělitelnost se týká i polynomů v Laplaceově transformaci nebo v dalších transformacích (jako např. Z-transformace, Fourierova transformace). 8
29 Obecný postup, jak nalézt největší společný dělitel dvou prvků okruhu se nazývá Euklidův algoritmus. Podrobněji je popsán např. v (Kučera, 979) nebo (Vidyasagar, 988). V uvedených zdrojích se vyskytuje i postup zvaný zobecněný Euklidův algoritmus, který navíc řeší nejmenší společný násobek těchto prvků a řeší speciální Diofantickou rovnici. 4. Diofantické rovnice Základním požadavkem zpětnovazebního obvodu je, aby všechny důležité přenosy v něm byly stabilní. Stabilita podle Ljapunova se odvíjí ze stability jmenovatele, tedy z vlastnosti, že pro spojité lineární dynamické systémy musí kořeny (póly) ležet v levé části komplexní roviny. Pro zpětnovazební obvody, popsané v další části, platí, že všechny důležité přenosy v obvodu mají stejného jmenovatele, který se nazývá charakteristický. V případě polynomiálního vyjádření přenosu, je tímto jmenovatelem polynom ap + bq, pokud b/a představuje přenos řízeného systému a q/p přenos řídicího systému, tedy regulátoru. Pokud definujeme pravou stranu charakteristického polynomu jako stabilní polynom, převádí se úloha nalezení regulátoru na řešení jedné rovnice o dvou neznámých, která se v množině typu okruh nazývá Diofantická. Nejdůležitější roli, tedy v algebraické teorii lineárního řízení má právě tato rovnice. Známými proměnnými jsou zde polynomy čitatele a jmenovatele přenosu řízeného systému a neznámé jsou polynomy přenosu regulátoru. Pravá strana se pokládá také za známou proměnnou, kterou volí uživatel podle požadavků na kvalitu řízení. Z pohledu algebry a matematické teorie se Diofantickou rovnicí rozumí jedna rovnice o dvou neznámých typu: 9
30 a x + b y = c (35) ovšem za předpokladu, že všechny proměnné jsou prvky nějakého okruhu, protože v tělese by rovnice postrádala smysl. Bez ohledu na konkrétní volbu okruhu platí několik společných skutečností. V prvé řadě, řešení rovnice (35) existuje právě tehdy, jestliže největší společný dělitel a, b dělí c. Pokud označíme největšího společného dělitele d = NSD (a,b), lze tímto d rovnici (35) převést na tvar: kde a a b jsou nesoudělné (Husták, 3). a x + b y = c (36) Dále platí, že pokud existuje jedna dvojice řešení x, y, pak existuje nekonečně mnoho řešení. V případě rovnice (36) jsou tato řešení dána: x = x + b z y = y a z (37) kde z je libovolný prvek okruhu a x, y jsou partikulárním řešením rovnice (36). Obecně nemusí být snadné nalezení partikulárního řešení rovnice (35) ani v případě jednoduchých okruhů celých čísel nebo polynomů. K nalezení partikulárního řešení lze efektivně využít zobecněný Euklidův algoritmus (Vidyasagar, 988), který najde v případě nesoudělných proměnných a, b řešení rovnice: a xɶ b yɶ (38) + = a partikulární řešení x a y rovnice (36) se pak získá z řešení xɶ a yɶ jednoduchým vynásobením libovolnou pravou stranou c. 3
31 4.3 Popis systémů v R PS Dynamický lineární spojitý systém se standardně popisuje diferenciální rovnicí nebo jejím přenosovým ekvivalentem v Laplaceově transformaci. Přenos jednorozměrného systému je tedy přirozené vyjádřit jako podíl dvou polynomů v proměnné s. Jak bylo uvedeno, množina polynomů tvoří okruh a návrh regulátoru lze tedy převést na řešení Diofantické rovnice. Okruh polynomů však v tomto postupu přináší velkou nevýhodu. Pokud se použije parametrické vyjádření všech řešení podle (37), je naprostá většina výsledných regulátorů nepoužitelná z důvodu, že stupeň čitatele je vyšší jako stupeň jmenovatele. To plyne z přirozené vlastnosti přenosu řízeného objektu, kde stupeň jmenovatele je vyšší než stupeň čitatele. V interpretaci pro regulátor, v rovnici (37) reprezentuje x jmenovatele a y čitatele přenosu regulátoru. Důsledkem parametrizace (37) je, že stupeň čitatele roste rychleji jako stupeň jmenovatele. V osmdesátých letech minulého století byl tento nedostatek překonán definicí jiného okruhu, který se nazývá okruh ryzích a stabilních racionálních funkcí s označením R PS (Vidyasagar, 988). Okruh R PS je tedy množinou všech ryzích a stabilních racionálních funkcí. Ryzost funkce (někdy označovaná jako kauzalita, nebo fyzikální realizovatelnost) znamená, že stupeň čitatele je menší nebo maximálně roven stupni jmenovatele. Stabilita je zajištěna umístěním všech pólů v levé komplexní polorovině mimo imaginární osy. Vyjádření přenosové funkce dynamického systému jako podíl polynomů je triviální a známé. Přepis podílu polynomů na podíl prvků z okruhu R PS je také velmi jednoduchý a znamená vydělit čitatele i jmenovatele přenosu stabilním polynomem dostatečně vysokého stupně, například: 3
32 b( s) n b( s) ( s + m) B( s) G( s) = = = a( s) a( s) A( s) n ( s + m) (39) kde m > je libovolný parametr a n = max {deg a(s), deg b(s)}. Pro přehlednost se prvky okruhu polynomů označují malými písmeny a(s), b(s), w(s) a prvky okruhu R PS velkými písmeny A(s), B(s), W(s), atd. Je potřeba zdůraznit, že množina R PS má charakter a vlastnosti okruhu. V prvé řadě je nutné ověřit všechny potřebné axiomy uvedené v části 4.. Poté lze konstatovat, že všechny axiomy jsou splněny, pokud je nulový prvek R PS definován jako číslo nula a jednotkový prvek jako číslo jedna. Dále je potřebné si uvědomit, že invertibilními prvky v R PS jsou všechny polynomiální zlomky se stejným stupněm a stabilním čitatelem. Příklady: s s + + ; ; ; R s s s s + s s s + 3s s + ; ; ; 4 s + s + ( s + ) s + PS R PS s ; s ; ; s + s + s + s + ( s + ) nejsou invertibilní v R PS s + 5 ( s + ) ; ; s + ( s + ) jsou invertibilní v R PS Dělitelnost v okruhu R PS je definována následovně: X dělí Y právě tehdy, když všechny nestabilní nuly X, včetně imaginární osy a nekonečna, jsou také nestabilními nulami Y. Přenos má nekonečnou nulu, když stupeň 3
33 čitatele je menší než stupeň jmenovatele. Její násobnost je dána relativním řádem (Husták, 3). Příklady: s + s dělí ; nedělí s 3 ( s + ) 3 ( s + ) s + 4 s s s dělí ; nedělí s + s + s + 4 ( ) 3 Důležitý výsledek pro regulační zpětnovazební řízení je uvedený v (Vidyasagar, 988). Zpětnovazební obvody uvedené v další části jsou stabilní právě tehdy když charakteristický člen AP + BQ je invertibilní v R PS. Další úvahou lze odvodit, že invertibilita tohoto členu je ekvivalentní řešení Diofantické rovnice, kterou lze nazvat charakteristickou rovnicí v okruhu ryzích a stabilních racionálních funkcí: AP + BQ = (4) Přirozeně platí, že pokud existuje partikulární řešení rovnice (4), existuje nekonečně mnoho těchto řešení, která jsou dána vztahy: X = X + BZ Y = Y AZ (4) Tyto vztahy jsou analogickým vyjádřením vztahu (37) v okruhu polynomů a jsou platné pro všechna nesoudělná A a B, což znamená, že původní polynomiální přenos a/b musí být také v nesoudělném tvaru, jinak je takový systém neřiditelný. Nutno poukázat na rozdíl v Diofantické rovnici v okruhu polynomů a v okruhu R PS. V okruhu R PS jsou všechna řešení Q/P dána ryzím přenosem a lze tedy vybrat libovolné z nich. Pro účely této práce se 33
34 další vhodné řešení vybírá na základě podmínek dělitelnosti (Vidyasagar, 988; Kučera, 993). 4.4 Formulace zákonů řízení Základní tezí teorie automatického řízení je, že zpětná vazba je nejúčinnějším prostředkem, jak změnit dynamiku a vlastnosti řízeného objektu. Nejrozšířenější a nejběžnější regulační obvody se vyskytují ve dvou možných zapojeních. Prvním z nich je zpětnovazební zapojení, které je označováno jako Feedback (FB) nebo s jedním stupněm volnosti (DOF). Schéma regulačního obvodu je uvedeno na obrázku 6. Druhou možností je struktura s přímovazebním i zpětnovazebním regulátorem, která je označována jako FeedbackFeedforward (FBFW) nebo se dvěma stupni volnosti (DOF). Zapojení je vidět na obrázku 7. V obou případech označuje B(s)/A(s) řízený systém, Q(s)/P(s) zpětnovazební regulátor, R(s)/P(s) přímovazební regulátor, w žádanou (referenční) veličinu, e regulační odchylku, u akční zásah, y regulovanou (řízenou) veličinu, n poruchu na akční zásah (load disturbance), v poruchu na výstupu. Obrázek 6 Regulační obvod s jedním stupněm volnosti (DOF, FB) 34
35 Obrázek 7 Regulační obvod se dvěma stupni volnosti (DOF, FBFW) Žádaná veličina w má obvykle tvar skokové změny a v R PS je dána: Gw w = = s + m F s w s + m (4) Poruchové veličiny na výstupu z řízeného systému mohou mít tvar např. harmonického signálu (v ) nebo lineárně narůstajícího signálu (v ): G ( s + m) G ( s + m) v v = = v = = Fv s + ω Fv s v ( s + m) ( s + m) (43) Porucha působící na akční zásah se obvykle modeluje pomocí jednotkového skoku: Gn n = = s + m F s n s + m (44) 35
36 Struktura DOF je speciálním případem struktury DOF a algebra přenosů v R PS se v zásadě neliší od algebry přenosů v okruhu polynomů (Prokop et al., ). Pro veličiny ve struktuře FBFW (DOF), podle obr. 7, platí: B R Q y = u + v u = w y (45) A P P Regulovaná veličina a regulační odchylka jsou tedy dány vztahy: BR G BP G AP G y = + + AP + BQ F AP + BQ F AP + BQ F w n v w n v (46) BR Gw BP Gn AP Gv e = AP + BQ Fw AP + BQ Fn AP + BQ Fv (47) V případě zpětnovazebního zapojení podle obr. 6 je regulovaná veličina a regulační odchylka získána položením R = Q ve vztazích (46) a (47): BQ G BP G AP G y = + + AP + BQ F AP + BQ F AP + BQ F w n v w n v (48) BQ Gw BP Gn AP Gv e = AP + BQ Fw AP + BQ Fn AP + BQ Fv (49) Analýzou vztahů (46) (49) lze získat elegantní a jednoduchý výsledek pro syntézu regulátorů v prostředí R PS. V prvé řadě, pro obě uvedené struktury platí, že k jejich stabilitě je nutné a postačující, aby zpětnovazební regulátor splňoval Diofantickou rovnici AP + BQ =. Obvykle se však od regulačních obvodů vyžaduje více. Zejména, aby regulační odchylka konvergovala k nule. To lze v případě DOF zajistit 36
37 volbou přímovazebního regulátoru R, který je dán řešením Diofantické rovnice: Fw Z + BR = (5) což plyne z analýzy prvního výrazu (46). Pro případ DOF se nulovost regulační odchylky musí zajistit dalším požadavkem na zpětnovazební regulátor a výsledek plyne z analýzy prvního vztahu v rovnici (48). Lze ho formulovat jako podmínku, že z řešení Diofantické rovnice AP + BQ = se musí vybrat takové řešení P, aby platilo: F w dělí součin AP Pro kompenzaci dalších signálů, které se mohou v regulačním obvodu vyskytovat (n, v), poskytuje tato filozofie podobně jednoduchý výsledek, tedy pro kompenzaci těchto signálu je nutné a postačující, aby jmenovatele těchto signálů v R PS byly děliteli součinu AP. Pro strukturu DOF je tedy pro asymptotické sledování a kompenzaci poruch nutno vybrat ze všech řešení AP + BQ = takové, aby platilo: F w F v F n dělí součin AP Je vhodné poznamenat, že v R PS zůstane podíl Q/P vždy ryzí, protože ke každému nově vybranému P se vygeneruje příslušné Q v okruhu ryzích a stabilních funkcí. Tuto úvahu nelze provést v okruhu polynomů, zde by bylo nutno přeformulovat kompletní Diofantické rovnice a zejména jejich pravé strany, aby výsledný regulátor neměl derivační chování. 37
38 4.5 Odvození zákonů řízení Jako ilustraci syntézy řízení v R PS, uvedenou v části 4.4, a pro další účely této práce, bude uveden způsob nalezení stabilizujících regulátorů pro dva nejjednodušší případy systémů prvního a druhého řádu Systém. řádu bez dopravního zpoždění Spojitý lineární systém prvního řádu je obecně popsán přenosovou funkcí, kterou lze pro okruh R PS napsat: b b s + m ( ) = = m > s + a s + a G s s + m (5) Úkolem je nalézt stabilizující regulátory tak, aby v případě použití referenčního signálu ve tvaru jednotkového skoku, došlo k asymptotickému sledování žádané hodnoty. Řešení vychází z Diofantické rovnice (4) a jejího parametrického řešení (4). Stabilizující rovnice má partikulární řešení nultého stupně, tedy regulátor Q/P = q / p a rovnice pro výpočet parametrů regulátoru pro systém prvního řádu (5) má tedy tvar: ( s + a ) p + b q = s + m (5) Porovnáním koeficientů u mocnin s je získáno partikulární řešení rovnice (5). Parametrické řešení pro získání všech regulátorů tedy je: P Q b s + m Z m a s + a b s + m = + = Z (53) kde Z je libovolný prvek okruhu R PS. 38
39 Asymptotického sledování žádané veličiny při její skokové změně je dosaženo volbou prvku Z tak, aby platilo, že jmenovatel žádané hodnoty v R PS (4) dělí P. Protože dělitelnost v R PS je dána nestabilními nulami prvků R PS, nejjednodušší řešení P nesmí obsahovat absolutní člen ve svém čitateli. Tedy parametr Z = z je nutno spočítat z podmínky: b s + m + b z P = + z = s + m s + m (54) aby čitatel byl roven čitateli F w (4) tedy: m + b z = m Z = z = b (55) Výsledný zpětnovazební PI regulátor je dán jako podíl Q/P po vykrácení stejného jmenovatele (s + m): C( s) Q P m a m s + b b s = = (56) 4.5. Systém. řádu bez dopravního zpoždění Spojitý lineární systém druhého řádu je obecně popsán přenosovou funkcí ve tvaru: G( s) b b ( s + m) + + ( s + m) = = s + as + a s as a (57) 39
40 Diofantická rovnice (4) má v tomto případě tvar: ( s + a s + a ) ( p s + p ) + b ( q s + q ) = ( s + m) (58) 3 Všechny regulátory je možné získat z parametrického řešení: P p s + p b s + m ( s + m) = + qs + q s + as + a Q = Z s + m ( s + m) Z (59) kde Z je libovolný prvek okruhu R PS a partikulární řešení jsou získána porovnání koeficientů u jednotlivých mocnin s: s s s s 3 : : : : p p a a = p + a p = 3m p p + a p + b q + b q = m 3 = 3m q = 3m a q 3m = 3a m + a 3 m 3am + aa = b b a Obdobnými manipulacemi jako v případě vztahu (54) lze odvodit, že pro asymptotické sledování žádané veličiny při její skokové změně je nutná volba prvku Z ve tvaru: Z p m b = (6) Následně je možné dosazením (6) do parametrického řešení (4) získat čitatele a jmenovatele přenosu regulátoru: s s ( p m) P ɶ + + = ( s + m) (6) 4
41 pm pm pm s q + s q + qm + a a + qm b b b Q ɶ = + + ( s + m) ( s + m) ( s + m) (6) Po jednoduché substituci je možné výsledný regulátor zapsat: Qɶ qɶ s + qɶ s + qɶ C( s) = = Pɶ s( s + pɶ ) (63) kde substituované koeficienty jsou: pɶ = p + m qɶ ɶ = q + pm b q = q + qm + a b p m qɶ = a + q m b p m Přenos (63) tedy odpovídá tzv. realistickému PID regulátoru. 4.6 Systémy s dopravním zpožděním Mnoho objektů řízení, zejména v průmyslových aplikacích, vykazuje dopravní zpoždění, tedy posunutí argumentu pravé strany diferenciální rovnice. V přenosovém vyjádření se dopravní zpoždění vyjadřuje (z věty o posunutí Laplaceovy transformace) exponenciální funkcí. Přenos systému s dopravním zpožděním lze tedy vyjádřit jako podíl polynomů vynásobený exponenciální funkcí, tj. G( s) e θ s. Pro zpětnovazební řízení má dopravní zpoždění jednoznačně negativní účinek. Plyne z Nyquistova kritéria stability a tlačí zpětnovazební obvod ke kritickému bodu -. 4
42 Existuje několik přístupů jak řešit regulační obvody s dopravním zpožděním. Pravděpodobně nejznámějším způsobem je použití Smithova prediktoru, což znamená rozvětvení zpětné vazby o model regulovaného systému (Husták, 3; Majhi, 7). Další možnosti spočívají v aproximaci exponenciální funkce e θ s v zanedbání dopravního zpoždění při syntéze regulátoru Metody aproximace dopravního zpoždění Taylorův rozvoj čitatele: různými metodami, případně e Θs n ( ) ( ) n Θs (64) n! n= Taylorův rozvoj jmenovatele: e Θs n= ( Θs ) n! n (65) Padé aproximace: s Pn ( s) e Θ (66) Q ( s) n Θs ( ) n! P s s s (67) n n n( ) = + ( Θ )... = ( Θ ) n= ( n)! Θs n! Q s s s (68) n( ) = + n + ( Θ ) +... = ( Θ ) n= ( n)! 4
43 Nejčastěji je používána Padé aproximace ve tvaru: e Θs Θs Θs = Θ s + + Θs (69) Přesnost všech výše uvedených aproximací lze ovlivnit volbou n. Podrobnější analýzu jednotlivých aproximací lze nalézt např. v (Husták, 3) Meromorfní funkce Jiným přístupem k návrhu regulátorů pro systémy s dopravním zpožděním je využití meromorfních funkcí. Základní filozofie vychází z úvahy, že zpoždění se vyskytuje i v levé straně diferenciální rovnice (Zítek & Kučera, 3; Zítek et al., 8). Zpožďující členy se zde ponechávají neaproximovány, ale definuje se jiný okruh než je R PS. Podrobnější popisy a vlastnosti však přesahují rámec této práce. Definují se tzv. retardované (zpožděné) kvazipolynomy, které obsahují členy e -Θs (Prokop & Pekař, 9): n h i n i Θijs m( s) = s + mij s e Θij (7) i= j= Pomocí kvazipolynomů je možné definovat okruh ryzích a stabilních RQmeromorfních funkcí R MS (Zítek & Kučera, 3; Zítek et al., 8). Další odvození je analogií konstrukce uvedené v části 4.3 pro okruh R PS. Na přenos je tak možné pohlížet jako na podíl kvazipolynomů. Systém prvního řádu s dopravním zpožděním je tedy možné zapsat v okruhu R MS jako (Prokop & Pekař, 9): 43
44 τ s be τ s Θs be s + me π G( s) = = τ, ϑ, Θ ; m > ; Θ m ϑs ϑs < (7) s + e s + e Θs s + m e A podobně, také regulátor se vyjadřuje pomocí Diofantických rovnic v tomto modifikovaném okruhu. Některé z výsledků lze nalézt v (Pekař & Prokop, 8; Pekař et al., 9). 44
45 5 LADĚNÍ REGULÁTORŮ 5. Vyvážené nastavení Metoda vyváženého nastavení autorů Klán a Gorez má za cíl především kvalitní regulační odezvy, založené na rovnováze mezi proporcionálními a integračními zásahy PI regulátoru za předpokladu jejich kritického tlumení, tj. s malým nebo žádným přeregulováním. Jako míra integrační aktivity PI regulátoru se používá kritérium ITAE (Dorf & Bishop, 998), pro míru proporcionální aktivity je navrženo nové kritérium (Klán & Gorez, ). Klíčovou podmínkou vyváženého nastavení je rovnováha mezi proporcionálním výkonem J P a integračním výkonem J I regulátoru. Druhou podmínkou je výsledná regulační odezva bez přeregulování nebo s malým přeregulováním. Regulační odezvy odpovídající vyváženému nastavení PI regulátoru a jednotkovému skoku žádané hodnoty je možné charakterizovat následovně (Klán & Gorez, ): - jsou tlumenější než při Ziegler-Nicholsově nastavení - mají redukovanou hodnotu kritéria ITAE - odpovídá jim redukovaná energie akčních členů 45
46 Výsledkem je nový způsob nastavení PI regulátoru, který je dán pravidlem (Klán & Gorez, ): K T P I =,5 =,4 T CR (7) kde T CR je kritická perioda používaná pro nastavení metodou Ziegler- Nicholse. Jelikož je v praxi určováno nastavení často pouze přibližně (v toleranci %), lze vztahy (7) zapsat do podoby snadnější pro zapamatování (73). Zároveň, pokud není zesílení řízeného systému rovno jedné, jsou vztahy pro výpočet parametrů regulátoru dány: kde K je zesílení řízeného systému. K T P I = K = T CR (73) Pro systémy s dopravním zpožděním jsou vztahy pro vyvážené nastavení PI a PID regulátorů uvedeny v publikaci (Klán, ). Je uvažován tříparametrový model ve tvaru: K G( s) = e Ts + θ s (74) kde K je zesílení, T je časová konstanta, Θ je dopravní zpoždění. 46
47 Definuje se normalizované dopravní zpoždění, které je možné použít k popisu obtížnosti regulace, dané poměrem: θ τ = (75) θ + T Parametry regulátorů jsou pak dány vztahy (Klán, ): K P τ = K + + τ (76) TI + + τ = τ ( θ + T ) (77) TI TD (78) 4 5. Experimentální nastavení Ve vytvořeném simulačním programovém systému byla ponechána možnost experimentálního nastavení tím, že je uživateli dovoleno měnit hodnotu ladicího parametru m a tím měnit parametry výsledného regulátoru, které je nutné při každé změně m nechat znova vypočítat. Následně je možné provést simulaci řízení s vizualizací průběhu. V případě experimentálního nastavování průmyslových PID regulátorů je tento postup prováděn v několika krocích (Klán, ). Platí zde zásada, že se parametry regulátoru nastavují v pořadí P, I, D. To znamená, že jako první se nastavuje proporcionální zesílení K P, potom integrační časová konstanta T I a jako poslední derivační časová konstanta T D. 47
48 Jednotlivé kroky je možné shrnout do následujících bodů (Klán, ): ) Eliminuje se vliv integrační složky (nastavením na maximum) a derivační složky (nastavením na minimum). ) Proporcionální zesílení se nastaví na nízkou hodnotu (např.,5). 3) Zvyšuje se postupně po malých krocích proporcionální zesílení až do doby dosažení vhodného poměru mezi rychlostí a kmitavostí regulační odezvy. 4) Postupně se snižuje integrační časová konstanta T I a zpravidla se tím také odstraňuje trvalá regulační odchylka. Ukončí se opět ve chvíli, kdy odezvy vyhovují. 5) Postupně se zvyšuje derivační časová konstanta T D, jejíž účinek platí pouze do určité míry. 5.3 Aperiodické ladění regulátoru Nízkokmitavá nebo úplně aperiodická odezva regulačního pochodu je obvyklá a velmi žádoucí u převažující většiny aplikací. Algebraický přístup a metodika parametrizace regulátorů umožňuje elegantní a transparentní způsob odvození vztahu mezi ladicím parametrem m > a nastavením PI regulátorů podle části 4.5. Nechť je objekt reléového experimentu identifikován ve tvaru lineárního spojitého systému prvního řádu (5). 48
49 Pro systémy prvního řádu generuje metodika v R PS množinu regulátorů dle (56) ve tvaru: q s + q Q( s) C( s) = = s + m P( s) s s + m (79) m a m q = = (8) q b b Přenos mezi w a y v regulačním obvodu DOF podle obr. 5 je: K BQ ( m a ) s + m k s + k AP + BQ ( s + m) ( s + m) w, y = = BQ = = (8) Dle analýzy přenosu K w,y mohou nastat 4 případy odezvy na jednotkový skok, které jsou zobrazeny na obr. 8. Pro regulační pochod jsou přirozeně žádoucí případy b) nebo c). Analyticky lze dokázat, že pro přechodovou charakteristiku přenosu K w,y jsou nežádoucí případy a) a d) podmíněny existencí extrému. Odvození vztahu pro ladění aperiodického regulačního pochodu lze provést z obecného vyjádření pro přechodovou charakteristiku přenosu (5), tedy: ks + k A B C h( t) = L L = + + s( s + m) s s + m ( s + m) (8) Po vyjádření koeficientů rozkladu (8): k k k A = B = C = k (83) m m m 49
50 lze přechodovou charakteristiku (8) v časové oblasti napsat jako: mt mt h( t) = A + B e + C t e (84) Obrázek 8 Tvary přechodových charakteristik 5
Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů
Fakulta elektrotechniky a informatiky Univerzita Pardubice Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů Semestrální práce z předmětu Teorie řídicích systémů Jméno: Jiří Paar Datum: 9. 1. 2010 Zadání Je dána
Praha technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P. ))I~~
Jaroslav Baláte Praha 2003 -technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P ))I~~ @ ZÁKLADNí OZNAČENí A SYMBOLY 13 O KNIZE 24 1 SYSTÉMOVÝ ÚVOD PRO TEORII AUTOMATICKÉHO iízení 26 11 VYMEZENí POJMU - SYSTÉM 26 12 DEFINICE SYSTÉMU
Robustnost regulátorů PI a PID
Proceedings of International Scientific Conference of FME Session 4: Automation Control and Applied Informatics Paper 45 Robustnost regulátorů PI a PID VÍTEČKOVÁ, Miluše Doc. Ing., CSc., katedra ATŘ, FS
25.z-6.tr ZS 2015/2016
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí
Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu
Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) 8) Kvalita
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Identifikace a řízení nelineárního systému pomocí Hammersteinova modelu
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Identifikace a řízení nelineárního systému pomocí Hammersteinova modelu Brázdil Michal Elektrotechnika 25.04.2011 V praxi se často setkáváme s procesy,
ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 1. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 2013 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné
1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Srovnání PID regulace a anisochronního řízení na PLC Tecomat Foxtrot
Srovnání PID regulace a anisochronního řízení na PLC Tecomat Foxtrot Martin Hunčovský 1,*, Petr Siegelr 1,* 1 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav přístrojové a řídící techniky, Technická 4, 166 07 Praha
Nejjednodušší, tzv. bang-bang regulace
Regulace a ovládání Regulace soustavy S se od ovládání liší přítomností zpětné vazby, která dává informaci o stavu soustavy regulátoru R, který podle toho upravuje akční zásah do soustavy, aby bylo dosaženo
19 - Polynomiální metody
19 - Polynomiální metody Automatické řízení 218 16-4-18 Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy netvoří těleso, ale okruh - obecně jimi nelze dělit beze zbytku! Proto existuje: dělitel, násobek, společný
CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
CW01 - Teorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace
Klasické pokročilé techniky automatického řízení
Klasické pokročilé techniky automatického řízení Jaroslav Hlava TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 203 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
Ṡystémy a řízení. Helikoptéra Petr Česák
Ṡystémy a řízení Helikoptéra 2.......... Petr Česák Letní semestr 2001/2002 . Helikoptéra 2 Identifikace a řízení modelu ZADÁNÍ Identifikujte laboratorní model vodárny č. 2.; navrhněte a odzkoušejte vhodné
Zpětná vazba, změna vlastností systému. Petr Hušek
Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek husek@fel.cvut.cz katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v raze MAS 2012/13 ČVUT v raze
Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
Flexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
Automatizační technika. Regulační obvod. Obsah
30.0.07 Akademický rok 07/08 Připravil: Radim Farana Automatizační technika Regulátory Obsah Analogové konvenční regulátory Regulátor typu PID Regulátor typu PID i Regulátor se dvěma stupni volnosti Omezení
základní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů
A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 4 2 Číslicové filtry typu FIR a IIR definice operace filtrace základní rozdělení FIR, IIR základní vlastnosti, používané struktury filtrů návrhové prostředky
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control
POUŽITÍ REAL TIME TOOLBOXU PRO REGULACI HLADIN V PROPOJENÝCH VÁLCOVÝCH ZÁSOBNÍCÍCH
POUŽITÍ REAL TIME TOOLBOXU PRO REGULACI HLADIN V PROPOJENÝCH VÁLCOVÝCH ZÁSOBNÍCÍCH P. Chalupa Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Fakulta technologická Ústav řízení procesů Abstrakt Příspěvek se zabývá problémem
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 23. 1. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 4 Pořadové číslo žáka: 24
Modelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
Spojité regulátory Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012. Spojité regulátory. Jednoduché regulátory
Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
KNIHOVNA MODELŮ TECHNOLOGICKÝCH PROCESŮ
KNIHOVNA MODELŮ TECHNOLOGICKÝCH PROCESŮ Radim Pišan, František Gazdoš Fakulta aplikované informatiky, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Nad stráněmi 45, 760 05 Zlín Abstrakt V článku je představena knihovna
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Vlastnosti regulátorů
Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) 7) Stabilita regulačního obvodu
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Nespojité (dvou- a třípolohové ) regulátory
Nespojité (dvou- a třípolohové ) regulátory Jaroslav Hlava TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
X31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
24 - Diskrétní řízení
24 - Diskrétní řízení Michael Šebek Automatické řízení 213 13-5-14 Metody návrhu diskrétního řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Návrh pro čistě diskrétní systémy Mnohé metody jsou analogické
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
Vlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Statické vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Dynamické vlastnosti členů
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
U Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Teorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace
Práce s PID regulátorem regulace výšky hladiny v nádrži
Práce s PID regulátorem regulace výšky hladiny v nádrži Cíl úlohy Zopakování základní teorie regulačního obvodu a PID regulátoru Ukázka praktické aplikace regulačního obvodu na regulaci výšky hladiny v
Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován
Abychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem
Abychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem I 1 = 1 + pl 1 (U 1 +( )), = 1 pc 2 ( I 1+( I 3 )), I 3 = pl 3 (U 3 +( )), 1 U 3 = (pc 4 +1/
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
14 - Moderní frekvenční metody
4 - Moderní frekvenční metody Michael Šebek Automatické řízení 28 4-4-8 Loop shaping: Chování pro nízké frekvence Tvar OL frekvenční charakteristiky L(s)=KD(s)G(s) určuje chování, ustálenou odchylku a
k DUM 08. pdf ze šablony 1_šablona_automatizační_technika_I 03 tematický okruh sady: regulátor
METODICKÝ LIST k DUM 08. pdf ze šablony 1_šablona_automatizační_technika_I 03 tematický okruh sady: regulátor Téma DUM: spojitá regulace test 1 Anotace: Digitální učební materiál DUM - slouží k výuce regulátorů
MĚŘENÍ A ANALÝZA ELEKTROAKUSTICKÝCH SOUSTAV NA MODELECH. Petr Kopecký ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Katedra Radioelektroniky
MĚŘENÍ A ANALÝZA ELEKTROAKUSTICKÝCH SOUSTAV NA MODELECH Petr Kopecký ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Katedra Radioelektroniky Při návrhu elektroakustických soustav, ale i jiných systémů, je vhodné nejprve
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Signál v čase a jeho spektrum
Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě
ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 8. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 2013 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
teorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce
Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
Semestrální práce z předmětu Teorie systémů
Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Autor: Tomáš Škařupa Skupina :3I3X Vedoucí hodiny: Ing. Libor Pekař Datum 3.. Obsah Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému... 3. Přenosovou
Regulace. Dvoustavová regulace
Regulace Dvoustavová regulace Využívá se pro méně náročné aplikace. Z principu není možné dosáhnout nenulové regulační odchylky. Měřená hodnota charakteristickým způsobem kmitá kolem žádané hodnoty. Regulační
Západočeská univerzita. Lineární systémy 2
Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,
Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
Inverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
2. Základní teorie regulace / Regulace ve vytápění
Regulace v technice prostředí (staveb) (2161087 + 2161109) 2. Základní teorie regulace / Regulace ve vytápění 9. 3. 2016 a 16. 3. 2016 Ing. Jindřich Boháč Regulace v technice prostředí Ing. Jindřich Boháč
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Počítačová podpora automatického řízení - CAAC
XXVI. AR '2001 eminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26-27, 2001 Paper 47 Počítačová podpora automatického řízení - CAAC NAVRÁTIL, Pavel 1 & BALÁTĚ, Jaroslav 2 1 Ing., Institut Informačních Technologií,
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cziba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb. CW01 - Teorie měření a regulace 10.2 ZS 2010/2011. reg Ing. Václav Rada, CSc.
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 10.2 reg-2 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření Teorie
Modelování polohových servomechanismů v prostředí Matlab / Simulink
Modelování polohových servomechanismů v prostředí Matlab / Simulink Lachman Martin, Mendřický Radomír Elektrické pohony a servomechanismy 27.11.2013 Struktura programu MATLAB-SIMULINK 27.11.2013 2 SIMULINK
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
6 Algebra blokových schémat
6 Algebra blokových schémat Operátorovým přenosem jsme doposud popisovali chování jednotlivých dynamických členů. Nic nám však nebrání, abychom přenosem popsali dynamické vlastnosti složitějších obvodů,
KYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava
KYBERNETIKA Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 28 . ÚVOD DO TECHNICKÉ KYBERNETIKY... 5 Co je to kybernetika... 5 Řídicí systémy... 6 Základní pojmy z teorie
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Číslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Ing. Radek Sedláček, Ph.D., katedra měření K13138 Číslicová filtrace FIR filtry IIR filtry Tyto materiály vznikly za podpory Fondu rozvoje
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
ZPĚTNOVAZEBNÍ ŘÍZENÍ, POŽADAVKY NA REGULACI
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ, KATEDRA ŘÍDICÍ TECHNIKY Modelování a simulace systémů cvičení 9 ZPĚTNOVAZEBNÍ ŘÍZENÍ, POŽADAVKY NA REGULACI Petr Hušek (husek@fel.cvut.cz)
Úvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Úvod do modelování a simulace. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Úvod do modelování a simulace systémů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Základní pojmy Systém systémem rozumíme množinu prvků (příznaků) a vazeb (relací) mezi nimi, která jako celek má určité vlastnosti. Množinu
VLIV VELIKOSTI VZORKOVACÍ PERIODY NA NÁVRH DISKRÉTNÍHO REGULAČNÍHO OBVODU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE
Pomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Diskretizace. 29. dubna 2015
MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace
0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologíı Ústav automatizace a měřicí techniky v Brně
Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologíı Ústav automatizace a měřicí techniky Algoritmy řízení topného článku tepelného hmotnostního průtokoměru Autor práce: Vedoucí
Zavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky. NASTAVENÍ PARAMETRŮ PID REGULÁTORU JAKO OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Ondřej Zouhar
UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky NASTAVENÍ PARAMETRŮ PID REGULÁTORU JAKO OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Ondřej Zouhar Bakalářská práce 2015 1 2 3 Prohlášení Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval
Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Kvalita regulačního pochodu
Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita
Matematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Automatické měření veličin
Měření veličin a řízení procesů Automatické měření veličin» Čidla» termočlánky, tlakové senzory, automatické váhy, konduktometry» mají určitou dynamickou charakteristiku» Analyzátory» periodický odběr
Globální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{