Algebraická teorie řízení
|
|
- Radovan Kříž
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Algebraická teorie řízení 26. dubna 208 Obsah Úvod do teorie řízení 2. Základy lineárních dynamických systémů Pravidla blokové algebry Diskrétní lineární dynamické systémy Teorie okruhů 9 2. Polynomy Formální mocninné řady Vnitřní a vnější popis soustavy 5 4 Přímovazební deterministické řízení 9 4. Konečné časově optimální řízení Zpětnovazební obvod Pravý a levý nesoudělný rozklad Částečné přenosy
2 Úvod do teorie řízení. Základy lineárních dynamických systémů Lineárním spojitým dynamickým systémem se vstupem u(t) a výstupem y(t) rozumíme diferenciální rovnici a n y (n) + a n y (n ) + + a y () + a 0 y b m u (m) + b m u (m ) + + b u () + b 0 u, () kde výraz f (i) znamená i-tou derivaci funkce f(t) přičemž předpokládáme, že platí m n. Tato podmínka se v teorii řízení uvádí jako podmínka realizovatelnosti. Spojitý lineární dynamický systém se řeší aparátem Laplaceovy transformace (viz. [5]) definované vztahem L{f} 0 f(t)e st dt. Přímočarým výpočtem odvodíme Laplaceovy obrazy L{a} a s a především pravidla, linearity a derivace L{t} s 2 L{e at } s + a L{af + bg} al{f} + bl{g} L{f () } sl{f} f{0}. Tyto dvě pravidla aplikujeme na rovnici spojitého lineárního dynamického systému () doplněného o počáteční podmínky pro řešení y (n) (0) y (n ) (0) y () (0) y(0) 0 a počáteční podmínky pro vstup u (m) (0) u (m ) (0) u () (0) u(0) 0 Z čehož celkově dostaneme rovnici a n s n L{y} + a n s n L{y} + + a sl{y} + a 0 L{y} b m s m L{u} + b m s m L{u} + + b L{u} + b 0 L{u}. Po jednoduché úpravě dostaneme racionální lomenou funkci, v teorii řízení označovanou jako přenos dynamického systému G(s) : L{y} L{u} b ms n + b m s n + + b s + b 0 a n s n + a n s n + + a s + a 0. (2) 2
3 Z definice přenosu (2) je zřejmé, že pokud na vstup systému přivedeme signál u stačí přenosem G vynásobit jeho Laplaceův obraz L{u} a dostaneme Laplaceův obraz výstupu L{y} G(s)L{u}. Dále, odezva systému na (Diracův) jednotkový impuls δ(t) { t 0 δ(t) δ(t)dt 0 t 0 se v teorii řízení označuje jako impulsní funkce g(t) a její graf impulsní charakteristika. Protože Laplaceův obraz Diracova impulzu je L{δ(t)} dostáváme interpretaci přenosu G(s) L{y} L{u} L{g} L{δ} L{g} jako Laplaceova obrazu impulsní funkce. Odezva systému na jednotkový skok η(t) { t 0 η(t) 0 t < 0 se nazývá přechodová funkce h(t) a její Laplaceův obraz je L{η(t)} s. Přechodová charakteristika je pak grafem přechodové funkce. Vzájemný vztah impulzní a přechodové funkce je pak vidět z následujících výpočtů G(s) L{y} L{u} L{h} L{η} H(s) s H(s) s { } G(s) G(s) H(s) L{h(t)} h(t) L s s G(s) s H(s) L {h () } g(t) dh(t) dt.2 Pravidla blokové algebry Základní pravidla h(t) Přenosový člen G(s) znázorňujeme obdélníkovým blokem t 0 g(t)dt U(s) G(s) Y (s) a pokud máme více přenosových členů tvoříme z nich blokové diagramy, přičemž používáme následující pravidla: složitější systémy lze rozdělit na spojení elementárních členů přenosový člen znázorňujeme obdélníkovým blokem G(s), který je popsán svým přenosem G(s) vstup znázorněn šipkou do bloku, výstup šipkou z bloku 3
4 místo, kde se signál rozdvojuje se značí tečkou místo, kde se signál sčítá (odčítá) se značí kolečkem s křížkem pokud se daný signál odečítá, pak příslušné čtvrtkolečko vybarvíme pokud se přičítá, pak je ponecháme bílé Návrh blokových schémat Sériové zapojení je zapojení členů za sebou viz násle- Sériové zapojení dující schéma: U(s) G M(s) Y (s) (s) G 2 (s) U(s) G(s) G Y (s) (s) G 2 (s) Přenos levého členu je: Přenos pravého členu je: G (s) M(s) U(s) M(s) G (s) U(s) G 2 (s) Y (s) M(s) Y (s) G 2(s) M(s) Nyní dosadíme vztah odvozený z přenosu levého členu do vztahu odvozeného z přenosu pravého členu: Y (s) G (s) G 2 (s) U(s) Z čehož lze snadno vyjádřit přenos celého zapojení následovně: G(s) Y (s) U(s) G (s) G 2 (s) resp. obecně jako: Paralelní zapojení následující schéma: G(s) G i (s) Paralelní zapojení je zapojení členů vedle sebe viz U(s) G (s) G 2 (s) M(s) Y (s) N(s) U(s) G(s) G (s) + G 2 (s) Y (s) 4
5 Přenos horního členu je: Přenos dolního členu je: G (s) M(s) U(s) M(s) G (s) U(s) G 2 (s) N(s) U(s) N(s) G 2(s) U(s) Nyní dosadíme výstupy obou členů (vyjádřené pomocí jejich vstupu a jejich přenosů) jako vstup sčítacího (resp. odčítacího) členu: Y (s) ±M(s) ± N(s) (±G (s) ± G 2 (s)) U(s) Z čehož lze snadno vyjádřit přenos celého zapojení následovně: G(s) Y (s) U(s) ±G (s) ± G 2 (s) resp. obecně jako: G(s) G i (s) Antiparalelní (zpětnovazebné) zapojení Paralelní zapojení je zapojení členů do obvodu s tzv. zpětnou vazbou tedy takovým způsobem, kdy z výstupu odebíráme signál a kterým upravujeme signál vstupní viz následující schéma: U(s) M(s) G (s) N(s) G 2 (s) U(s) Y (s) G Y (s) G(s) (s) +G (s) G 2(s) Přenos členu v přímé větvi je: Přenos členu ze zpětné vazby je: G (s) Y (s) Y (s) M(s) M(s) G (s) G 2 (s) N(s) Y (s) N(s) Y (s) G 2(s) Odčítací (sčítací) člen se chová následovně: M(s) U(s) N(s). Z čehož dosazením vztahů plynoucích z přenosu v přímé větvi a ve zpětné vazbě můžeme vyjádřit: Y (s) G (s) U(s) Y (s) G 2(s) 5
6 Osamostatníme-li vstupní signál, dostáváme: U(s) Y (s) ( ) G (s) ±Y (s) G 2(s) Y (s) G (s) ± G 2(s) Y (s) ± G (s) G 2 (s) G (s) A odtud vylomením Laplaceova obrazu výstupu Laplaceovým obrazem vstupu dostaneme přenos celého zapojení: Překřížené vazby G(s) Y (s) U(s) G (s) ± G (s) G 2 (s) Pokud lze obvod rozdělit na bloky, v nichž je jedno ze zmíněných zapojení, pak není problém takový obvod popsat jeho přenosem - viz předchozí odstavce. Nelze-li obvod rozdělit na bloky, znamená to, že jsou překříženy vazby v paralelních nebo zpětnovazebných zapojeních (tzn. že se zpětná vazba vazba odvedená po ukončení jiného zpětnovazebného zapojení vrací do jeho přímé větve) Řešením je přesun vhodných bloků - buď po, nebo proti směru signálu, tak abychom mezi zapojeními v jednotlivých blocích získali jen nám již známé a výše popsané, kterým tak lze snadno určit jejich výsledný přenos. posunutí proti směru signálu X(s) G(s) X(s)G(s) X(s) G(s) X(s)G(s) G(s) posunutí po směru signálu Spojité a diskrétní obvody X(s) G(s) X(s)G(s) X(s) G(s) X(s)G(s) /G(s) Pravidla blokové algebry byla představena pro spojité systémy, pro diskrétní však platí stejné. V diskrétním obvodu se však může objevit i spojitý člen a s ním se objevují i vzorkovače. Podle polohy vzorkovače se pak rozlišují různá zapojení s různým přenosem. Standardní zapojení Pravidla blokové algebry platí pro obecná bloková schémata, můžeme je tedy aplikovat pro případ regulačního obvodu. 6
7 Přenos řízení W(s) G R (s) V(s) G S (s) Y(s) Obrázek : Blokové schéma obvodu zpětnovazebného řízení uspořádané pro výpočet přenosu řízení Přenos řízení G W (s) - viz obr.. pro V (s) 0 G W (s) Y (s) W (s) G S(s) G R (s) + G S (s) G R (s) G 0(s) + G 0 (s), kde G 0 (s) G S (s) G R (s) je tzv. přenos rozpojeného obvodu Přenos poruchy V(s) G S (s) G R (s) Y(s) W(s) Obrázek 2: Blokové schéma obvodu zpětnovazebného řízení uspořádané pro výpočet přenosu poruchy Přenos řízení G V (s) - viz obr. 2. pro W (s) 0 G V (s) Y (s) V (s) G S (s) + G S (s) G R (s) G S(s) + G 0 (s).3 Diskrétní lineární dynamické systémy Diskrétní lineární dynamické systémy jsou určeny diferenční rovnicí a 0 y n (kt ) + a y n (kt ) + + a n y (kt ) + a n y(kt ) b 0 u m (kt ) + b (kt )u m + + b m u (kt ) + b m u(kt ), (3) kde y(kt ) a u(kt ) jsou diskrétní funkce (posloupnosti hodnot v diskrétně snímaných časových okamžicích) pro k 0,, 2,... a T > 0 je perioda vzorkování. Stejnou roli jako Laplaceova transformace pro spojité systémy hraje pro diskrétní systémy Z-transformace Z{f}(z) f(kt )z k k0 7
8 pro kterou platí diskrétní verze linearity a vztah pro Z-obraz diference (jež je analogií vztahu pro Laplaceův obraz derivace známý ze spojitých obvodů) takže dostáváme pro nulovou vstupní podmínku diskrétní přenos G(z) Z{y} Z{u} b 0z n + b z n + + b m z + b m a 0 z m + a z m + + a n z + a n b 0 z n m + b z n (m+) + + b m z (m ) + b m z m a 0 + a z + + a n z (n ) + a n z n : G(z ). (4) Diskrétní impulsní funkce g(kt ) je pak odezva systému na diskrétní jednotkový impuls δ(kt ) { k 0 δ(kt ) 0 k 0 k δ(kt ) a její Z obraz je Z{δ(kT )}. Impulsní charakteristika je opět graf impulsní funkce a dostáváme G(z) Z{y(kT )} Z{g(kT )} Z{g(kT )}. Z{u(kT )} Z{δ(kT )} Z přenos je tedy Z obraz diskrétní impulsní funkce. Dále, přechodová funkce h(kt ) je odezva systému na jednotkový skok η(kt ) { k 0 η(kt ) 0 k < 0 ale její Z transformace se tentokrát od Laplaceovy transformace liší Z{η(kT )} z z Přechodová charakteristika je opět graf přechodové funkce a je vidět, že G(z) G(z) z z Z{y(kT )} Z{h(kT )} Z{u(kT )} Z{η(kT )} H(z) z z H(z) z G(z) H(z) Z{h(kT )} z { } z h(kt ) Z z G(z) 8
9 2 Teorie okruhů Pro pochopení dalších souvislosti je nutné vybudovat algebraický aparát teorie okruhů. Jedná se o zobecnění pojmu reálných čísel (R, +, ) jako množiny se dvěma binárními operacemi. Obecně mějme nějakou množinu M se dvěma binárními operacemi, tedy mějme množinu M a dvě zobrazení přiřazující uspořádané dvojici prvků z množiny M prvek z množiny M, tj. zobrazení + : M M M, : M M M. Dobře známým příkladem jsou kromě číselného oboru reálných čísel (R, +, ) také například číselný obor celých čísel (Z, +, ) nebo přirozených čísel s nulou (N 0, +, ). Okruh netvoří například množina přirozených čísel N s operací sčítání. Příkladem s konečnou množinou může být binární aritmetika {0, }, tedy konečné těleso Z 2 chápané jako množina {0, } spolu s operacemi definovanými následovně: Jinými slovy symbol Z 2 znamená, že na množině {0, } počítáme modulo 2 (počítáme zbytek po dělení číslem 2), tedy například + + +, nebo,... Operace + je tedy vlastně operací XOR a operace operací AND. Počítání modulo můžeme zobecnit na libovolný základ, například v množině Z 5 {0,, 2, 3, 4} počítáme modulo 5 tedy za výsledek vezmeme zbytek po dělení číslem pět což je právě jedno z čísel množiny Z 5. Například (mod 5). Obecně Z n znamená, že na množině {0,, 2,..., n } počítáme modulo n. Všechny tyto množiny tvoří spolu s definovanými operacemi takzvaný okruh, který si obecně zadefinujeme axiomaticky. Mějme množinu M spolu s definovanými operacemi +, a následující axiomy: (A) a + b M, a, b M (uzavřenost) (A2) (a + b) + c a + (b + c), a, b, c M (asociativita) (A3) a + b b + a, a, b, c M (komutativita) (A4) 0 M takový, že 0 + a a (nulový prvek) (A5) a M a M takový, že a + ( a) 0 (opačný prvek) Množina s jednou binární operací (M, +) splňující axiomy (A 5) se nazývá komutativní (či též Abelovská) grupa. Z příkladů výše tvoří abelovské grupy množiny R a Z spolu s operací sčítání. Množina přirozených čísel nesplňuje 9
10 pro sčítání axiom (A5). Zbytkové třídy tvoří komutativní grupu pro sčítání při jakémkoli základu, například v Z 5 {0,, 2, 3, 4} jsou opačné prvky popořadě {0, 4, 3, 2, }, tedy Z 5 splňuje axiom (A5). Pro struktury se dvěma operacemi uvažujeme ještě následující axiomy pro násobení: (M) a b M, a, b M (uzavřenost) (M2) (a b) c a (b c), a, b, c M (asociativita) (M3) a b b a, a, b M (komutativita) (M4) M takový, že a a (jednička) (M5) a M, a 0, a M takový, že a (a ) (inverzní prvek) a jako poslední přidáme axiom svazující obě binární operace (D) a (b + c) a b + a c, (a + b) c a c + b c (distributivita). Dále množinu se dvěma binárními operacemi (M, +, ) nazýváme (O) Okruh pokud splňuje axiomy A-5, M-2, M4, D (KO) Komutativní okruh pokud splňuje axiomy A-5, M-4, D Všimněme si, že pokud 0 dostaneme a a 0a 0 a tedy M {0}. Takový okruh se nazývá triviální, pokud 0 pak netriviální. (T) Těleso splňuje axiomy A-5, M-5, D, 0. Příklady nekonečných těles jsou Q, R, C, konečná tělesa jsou například Z p, kde p je prvočíslo. Komutativní okruh který není tělesem je například Z 4, kde prvek 2 nemá inverzi, skutečně tedy neexistuje a Z 4 takové, že 2a, čímž je porušen axiom (M5), celkově Z 4 tvoří komutativní okruh. Příkladem nekonečného okruhu, který není tělesem, jsou například matice 2 2 nad reálnými čísly R 2,2. Připomeňme, že čtvercová matice je invertibilní (existuje k ní inverze) právě tehdy když má nenulový determinant a v případě matic z R 2,2 můžeme inverzi vyjádřit předpisem ( ) a b c d ad bc ( d b c a ), 0
11 kde ( výraz ) ad bc je determinant matice 2 2. Tedy například nenulová matice má determinant nula a není tedy invertibilní, navíc matice nejsou obecně komutativní, například máme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a okruh R 2,2 tedy není ani komutativní. Nakonec definujeme dělitele nuly, jako prvky a M pro které existuje b M, b 0 takové, že ab 0, nebo ba 0 (levý resp. pravý dělitel nuly). (OI) Obor integrity je komutativní okruh, 0, kde 0 je jediný dělitel nuly. Tedy například Z 4 není (OI), protože prvek 2 je dělitelem nuly, skutečně Stejně tak okruh R 2,2 obsahuje dělitele nuly, například ( ) ( ) ( ) Podstatné, je že v (OI) platí zákony o krácení, tj. pokud platí rovnost ax ay, kde a 0 pak platí rovnost x y. Skutečně, v okruhu platí ax ay ax ay 0 a(x y) 0 a v oboru integrity pak buď a 0, nebo x y 0 tedy pokud a 0 platí x y. Obráceně, pokud je splněn zákon o krácení pak protože v okruhu můžeme rovnost ab 0 přepsat na ab a0 a použitím zákona o krácení dostaneme b 0. Tedy 0 je jediný dělitel nuly. Tato vlastnost je důležitá pro řešení rovnic. Například v Z 0, který není (OI) je prvek 2 dělitel nuly a skutečně rovnice která triviálně platí by musela implikovat rovnici 4 9, která zjevně neplatí. 2. Polynomy Polynomem s proměnnou z nad reálnými čísly R rozumíme formální zápis tvaru p α 0 + α z + α 2 z α n z n, kde α i R, n je stupeň polynomu, píšeme p n. Množinu takových polynomů označujeme R[z ]. Řádem polynomu rozumíme index nejmenšího nenulového koeficientu α i a značíme ðp i. Tedy například pro p z 3 + 2z 5 máme p 5 a ðp 3.
12 Následující pojmy jsou platné obecně pro teorii okruhů: Jednotkou okruhu rozumíme takový prvek e M pro který e M Asociované prvky jsou takové prvky a, b M pro které existuje jednotka e taková, že a be, píšeme a b. Prvek b M je dělitel prvku a M pokud c takové, že a bc, píšeme b a. Největší společný dělitel dvou prvků a, b M je prvek c M pro který platí (c a) (c b) a současně (d a) (d b) d c, píšeme c (a, b). Říkáme, že prvky a, b M jsou nesoudělné pokud platí, že (a, b) Ireducibilní prvek d M je takový prvek, který není jednotka a současně platí c d c d. Reálná čísla tvoří těleso a jednotkou je tam každý nenulový prvek, v celých číslech jsou jednotky jen ±. V reálných číslech jsou spolu asociované všechny nenulové prvky a samostatně nula sama se sebou. V celých čísel jsou asociované prvky ±p. V polynomech R[z ] jsou jednotky konstantní nenulové polynomy, protože pokud p q (α 0 + α z + + α n z m )(β 0 + β z + + β n z n ) α 0 β 0 + (α 0 β + α β 0 )z + + α 0 β 0 z (m+n) se má rovnat konstantnímu polynomu, musí m + n 0, protože R je (OI) a α 0, β 0 0. Asociované prvky jsou tedy násobky nenulových polynomů a nulový polynom sám se sebou. Násobení polynomů je komutativní a pokud vynásobíme polynom p stupně n a polynom q stupně m dostaneme polynom stupně n + m. Ukážeme, že okruh R[z ] tvoří (OI). Konkrétně máme p q (a 0 + a z + + a n z n )(b 0 + b z + + b m z m ) a 0 b a n b m z m n a protože a n, b m R a tedy pokud a n 0 a a n b m 0 pak b m 0 a tedy postupně dostaneme b i 0, i 0,..., m protože R je obor integrity. V (OI) platí, že pokud (a, b) d, kde a, b, d M existují prvky okruhu p, q M takové, že platí ap + bq d, této rovnici se říká Bezoutova rovnost a prvkům p, q M se říká Bezoutovy koeficienty. Současně platí, že existují prvky r, s M okruhu takové, že platí ar + bs 0. Algoritmus pro výpočet největšího společného dělitele, koeficientů Bezoutovy rovnosti p, q M a prvků r, s M je následující. Mějme polynomy a, b T[z ]. Sestrojíme matici ( ) 0 a 0 b 2
13 a pomocí řádkových elementárních úprav ji převedeme na matici tvaru ( ) p q d. r s 0 Pak d (a, b), polynomy p a q jsou koeficienty Bezoutovy rovnosti a prvky r a s koeficienty rovnice výše. Skutečně, kromě toho, že z Bezoutovy věty existují koeficienty p, q existují i koeficienty r, s takové, že ar + bs 0. Toto tvrzení je triviální, protože můžeme volit například r b a s a (nebo r b a s a). Polynomy a, b musí tedy splňovat soustavu rovnic určenou rozšířenou maticí soustavy: ( ) p q d. r s 0 ( ) 0 a Soustava má triviálně řešení a, b a pokud rozšířenou matici soustavy převedeme pomocí ( řádkových ) elementárních úprav množinu řešení tím 0 b p q d nezměníme. Řešením je tedy opět a, b. Pro takto nalezené koeficienty p, q, r, s, d r s 0 platí ap + bq d ar + bs 0 Ukážeme, že d (a, b), pokud nějaký prvek d 0 dělí a i b musí dělit i d, stačí tedy ověřit, že d a a d b. Protože jsme při úpravě, používali řádkové elementární úpravy, jsou naše úpravy invertibilní ( a protože ) původní matice soustavy je p q jednotková (tedy invertibilní) je matice také invertibilní, existuje tedy ( r s ) u t matice taková, že platí v w a tedy ( ( ) ( u t d a v w) 0 b) ( ) ud vd ( ) a, b dostaneme tedy fakt, že d a a d b čímž jsme hotovi. Platí tedy, že (z 5 + 2z 4 z 3 3z 2 +, z 4 + 2z 3 + 2z 2 + 2z + ) z 2 + 2z + a příslušné Bezoutovy koeficienty bychom mohli dostat postupným zpětným dosazováním. Dělení polynomu se zbytkem můžeme tedy použít pro nalezení 3
14 NSD a následně Bezoutových koeficientů, postupným dělením. Největší společný dělitel můžeme vypočítat opakovaným použitím dělení polynomů polynomem. Pro a, b R[z ] vydělíme polynomy se zbytkem a bp + r a v dalším kroku pak podělíme se zbytkem polynomy b s r, tedy dostaneme b r p 2 + r 2 v dalším kroku pak podělíme se zbytkem polynomy r a r 2 a dělení opakujeme dokud r i 0. Pokud r i 0 pak (a, b) r i. 2.2 Formální mocninné řady Formální mocninnou řadou nad tělesem R rozumíme formální zápis p α 0 + α z + α 2 z α n z n + kde α i R, množinu formálních mocninných řad označujeme R(z ). Formální mocninnou řadu můžeme zapisovat ve formě posloupnosti jejich koeficientů {α 0, α, α 2,... }. Řádem formální mocninné řady rozumíme index nejmenšího nenulového koeficientu α i a značíme ðp i. Na okruhu R(z ) definujeme operaci sčítání a násobení {α 0, α, α 2,... } + {β 0, β, β 2,... } {α 0 + β 0, α + β, α 2 + β 2,... } {α 0, α, α 2,... } {β 0, β, β 2,... } {γ 0, γ, γ 2,... }, kde γ k i+jk α iβ j. Formální mocninné řady s výše definovanými operacemi tvoří okruh, a to dokonce komutativní. Důkaz se provede ověřením axiomů (KO), ukážeme si například, že nulou okruhu je prvek o 0 {0, 0,... }, opačným prvek k prvku p {α 0, α, α 2,... } je prvek p { α 0, α, α 2,... }, jedničkou okruhu je prvek e {, 0, 0,... }, atd. Další otázkou je, zda se jedná i o obor integrity. Nejprve ověříme, zda tento okruh má dělitele nuly (různé od nuly okruhu). Chceme tedy dokázat, že p q 0 p 0 q 0. Nechť p {a k } k0, q {b k} k0 a dále označme p q {c k} k0, kde c k 0, k. Předpokládejme např. že a 0 0 (případná opačná volba nemá vzhledem ke komutativitě vliv). 0 c 0 a 0 b 0 b c a 0 b + a b 0 a 0 b b 0 0 c 2 a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 a 0 b 2 b
15 obdobně lze dokázat, že b k 0, k. Předpokládejme nyní, že a 0 0, a 0, dostaneme 0 c 0 0 b 0 0 c 0 b + a b 0 a b 0 b c 2 a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 a b b 0. Tedy celkem musí být a k 0 k. Z toho vyplývá, že R(z ) je (OI). Nyní hledáme jednotky okruhu, tedy invertibilní prvky: p q. Nechť p {a k } k0, q {b k } k0 a dále označme p q {c k} k0, kde c 0 a c k 0, k > 0 c 0 a 0 b 0 b 0 a 0 0 c a 0 b + a b 0 a 0 b a 0 b + a a 0 b a a c 2 a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 a 0 b 2 a2 + a2 a 2 a 0 0 b 2 a 2 a 2 + a2 0 a 3 0. tedy celkem, jednotkami okruhu R(z ) jsou mocninné řady {α 0, α, α 2,... }, takové, že α 0 0, tj. ðp 0 Formální mocninné řady jsou zobecněním pojmu polynomy, tak jak jsou popsány v předchozí kapitole a můžeme psát R[z ] R(z ) Definice Polynom p R[z ] nazveme kauzální, pokud jemu příslušná mocninná řada p R(z ), která je jemu inverzí Poznámka V polynomu jmenovatele musí být absolutní člen, aby byl tento polynom invertibilní. Pak ovšem lze takový polynomiální zlomek přepsat na formální mocninnou řadu, která má fyzikální význam přenosu po diskretizaci. 3 Vnitřní a vnější popis soustavy Pod pojmem diskrétní rozumíme spíše spojitou soustavu pozorovanou v diskrétních okamžicích než soustavu diskrétní svou povahou. Pokud tedy hovoříme o diskrétní soustavě myslíme tím spojitou soustavu s pevně zvolenou periodou vzorkování. Pracujeme nad nějakým pevně zvoleným tělesem T, tělesa můžou být Q, R, C, případně F p n. My budeme pracovat s tělesem reálných čísel R a ukážeme si příklad o pro dvouprvkové konečné těleso Z 2. Po zvolení příslušného 5
16 tělesa T definujeme množiny: Vstup: I T m Výstup: O T l Prostor stavů: X T n a zobrazení A : X X, B : I X, C : C O, D : I O, t.ž. pro x i X, u i I a y i O máme diferenční rovnice: x k+ Ax k + Bu k, y k Cx k + Du k. (5) Čtveřici {A, B, C, D} nazýváme vnitřní popis soustavy a pokud jsou zobrazení {A, B, C, D} matice příslušných rozměrů nazýváme tuto soustavu lineární. V dalším budeme pracovat nad reálnými čísly, tedy T R. Vnějším popisem rozumíme polynomiální zlomek (racionální lomenou funkci), který vypočteme pomocí vzorce: S D + z C(I n z A) B, kde I n je jednotková matice příslušné dimenze. Vskutku, použitím Z transformace převedeme rovnice (5) na rovnice a protože předpokládáme X 0 0 dostaneme a zx k + zx 0 AX k + BU k, (6) Y k CX k + DU k. (7) (zi n A)X k zx k AX k BU k Y k CX k + DU k C(zI n A) BU k + DU k (C(zI n A) B + D)U k a celkově S Y k U k C(zI n A) B + D R(z). My bychom ale chtěli přenos vyjádřit jako prvek R(z ) Připomeňme, že inverzní matici k matici M můžeme vyjádřit jako det(m) M kde M je matice adjungovaná. Platí, že (z M) M (z I n ) M z (n ) I n 6
17 a tedy Celkově dostaneme Hodnota (z M) det(m)z n M z (n ) I n zm. S z C(I n z A) B + D R(z ). Hodnotou na tělese T rozumíme zobrazení H : T R, které splňuje následující čtyři axiomy: (H) H(a) 0, a R (H2) H(a) 0 a 0 (H3) H(ab) H(a)H(b), a, b T (H4) H(a + b) H(a) + H(b), a, b T Na okruhu reálných čísel R můžeme zavést dvě kanonické hodnoty: H (x) x, H 2 (x), pro x 0, 0, pro x 0. Stabilitou rozumíme schopnost soustavy vrátit se po vychýlení zpět do rovnovážného stavu. Formálně hovoříme o soustavě jako stabilní pokud posloupnost x 0, Ax 0, A 2 x 0, A 3 x 0,... konverguje k nule vzhledem ke zvolené hodnotě. To v případě H znamená, že se hodnota na vnitřních stavech zmenšuje, v případě H 2 musí být nulová po konečném počtu kroků. Nakonec řekneme, že formální mocninná řada je stabilní vzhledem k hodnotě H i pokud posloupnost jejich koeficientů {a 0, a,... } konverguje k nule vzhledem k hodnotě H i. Množinu všech kauzálních stabilních mocninných řad označujeme R + {z }. Polynom p nazveme stabilní pokud jeho inverze je stabilní formální mocninná řada. Polynom det(zi n A) se nazývá charakteristický polynom soustavy a jeho stabilita souvisí se stabilitou systému. Polynom det(i n z A) se nazývá pseudocharakeristický polynom soustavy ( a také ) souvisí se stabilitou, rozdíl je následující, například pro matici A dostaneme det(zi n A) det (( )) z z 2 0 z 7
18 (( )) z jako charakteristický polynom a det(i n z A) det je 0 pseudocharakteristický polynom. Rozdíl je v tom, že v případě pseudocharakteristického polynomu se sice část informace ztrácí, ale je vhodný pro analýzu stability. Charakteristický polynom nemusí být invertibilní i když je soustava stabilní, jako například vidíme v našem případě: ( ( ( ) ( ( ( ) ( a 0 a b 0 b 0,,,... b) 0 0) b 0) 0 0) 0 0) Přenos ve formě podílu dvou polynomů, kde ve jmenovateli máme máme kauzální polynom (podmínka realizovatelnosti) můžeme napsat ve tvaru formální kauzální mocninné řady. V dalším budeme rozlišovat s pro reprezentaci přenosu formální mocninou řadou a S pro reprezentací polynomiálním zlomkem. Takzvané časově diskrétní zpoždění ve formě mocninné řady můžeme vyjádřit i maticově jako kde dostaneme pomocí vzorců: s Σ 0 + Σ z + Σ 2 z 2 + (8) Σ 0 D Σ k CA k B, kde k, 2,... Vnitřní popis soustavy tedy jednoznačně určuje vnější, opak obecně neplatí, klíčovým pojmem je minimální realizace. Čtveřice {A, B, C, D}, kde A R n je minimální realizace, pokud platí, že hodnost blokových matic (B, AB,... A n B) a (C, CA, C... A n ) T je n. Například pro čtveřici { (0 ) ( 0,, ) ( 0 ), ( 0 ) } máme ( ) ( ) T 0 0 h 2, h 2, kde symbolem h(m) rozumíme hodnost matice M. 8
19 4 Přímovazební deterministické řízení V případě přímovazebního deterministického řízení hledáme vstupní posloupnost U takovou, že výstup Y postupně konverguje k žádané posloupnosti W. U S Y W E Obrázek 3: Přímovazební obvod Přímovazební deterministické řízení je určeno definicemi Přenos soustavy S Žádaná posloupnost W Řídící posloupnost U Výstupní posloupnost Y Odchylka řízení E a rovnicemi E W Y Y SU 4. Konečné časově optimální řízení Hledáme U takové, že E je konečná posloupnost trvale nulová po uplynutí minimální doby. Připomeňme, že lineární diofantická rovnice ax + by c má řešení právě tehdy když (a, b) c a pokud x 0, y 0 je partikulární řešení pak všechna řešení jsou ve tvaru x x 0 + b (a, b) t y y 0 a (a, b) t kde t T[z ], více informací je možné nalézt v [2]. Skutečně se jedná o řešení ( a x 0 + b ) ( (a, b) t +b y 0 a ) (a, b) t ax 0 + ab (a, b) t+by 0 ba (a, b) t ax 0+by 0 c 9
20 Partikulární řešení (x 0, y 0 ) nalezneme pomocí koeficientů Bezoutovy rovnosti ( x, ȳ), pro které platí a x + bȳ d : (a, b) jako: x 0 xc d, y 0 ȳc d a všechna řešení jsou pak ve tvaru: x xc d + b d t y ȳc d a d t Skutečně a( xc d + b t) + b(ȳc d d a d t) (a x + bȳ) c d d c d c, klíčové je, že (a, b) c a tedy výraz c d je polynom R[z ]. Naším cílem, je pro soustavu s přenosem S β α nastavit řídící posloupnost U tak aby chyba řízení pro požadovanou posloupnost W δ γ měla tvar polynomu minimálního stupně (konečné časově optimální řízení). Volíme α 0 α (α,γ), γ 0 γ (α,γ) a dostaneme tedy E W SU δα 0 γ 0 βu γα 0 T[z ] δα 0 γ 0 βu γα 0 E z toho je vidět, že α 0 musí dělit U a můžeme vyjádřit U α 0 γ 0 u 0 a postupnými úpravami rovnice dostaneme: po vydělení α 0 δα 0 γ 0 β α 0 γ 0 u 0 γα 0 E δα 0 βα 0 u 0 γα 0 E δ βu 0 γe a nakonec Diofantickou rovnici napíšeme ve tvaru kterou vyřešíme. γe + βu 0 δ 20
21 Pro soustavy, které nejsou jednoduché, tedy pro soustavy, kde přenosem není polynomiální zlomek, ale matice polynomiálních zlomků musíme prvně vyjádřit matici přenosu ve tvaru rozkladu kde S B A 2, B ( B 0 ) kde všechny matice jsou příslušných rozměrů a matice B je plné sloupcové hodnosti. Pak W Q p, kde (p, Q) po složkách. E W SU W B A 2 U W ( B 0 ) A 2 U Q p B U : Y ( ) a Y musí být polynomiální matice. Zavedeme A 2 U U a dostaneme U 2 py Q pb U a vyjádříme U X p pak řešíme diofantickou rovnici B X + py Q 2
22 5 Zpětnovazební obvod Zpětnovazební obvod je určený následujícím diagramem, máme řízenou soustavu se vstupem U a výstupem Y a požadovanou výstupní posloupnost W. Chyba výstupní posloupností je pak vstupem pro řídící soustavu. V U S Y Z R E W tedy Obrázek 4: Zpětnovazební obvod Příslušné rovnice řídícího systému jsou pak v následujícím tvaru: a maticově Y SU, Z RE, E W Y, U V + Z. W E + Y E + SU, V U Z U RE, ( ) W V ( S R ) ( ) E U Ověříme, že následující bloková matice je k matici předešlé soustavy inverzní ( ) ( ) ( ) (I + SR) S(I + RS) S 0 R(I + SR) (I + RS) R 0 a současně platí tedy dostaneme ( E U) R(I + SR) (I + SR) R S(I + SR) (I + SR) S ( ( ) S W R ) V dostaneme přenos K K W,V/E,U. + SR ( S R ) ( ) W V 22
23 5. Pravý a levý nesoudělný rozklad Pro matici kauzálních formálních mocninných řad S můžeme najít polynomiální matice příslušných rozměrů A, A 2, B a B 2 takové že S A B 2 B A 2 Dvojici A, B 2 říkáme levý nesoudělný rozklad matice S a Dvojici A 2, B říkáme pravý nesoudělný rozklad matice S. Pravý nesoudělný rozklad vypočteme tak, že matici formálních mocninných řad vyjádříme ve tvaru S B a, kde B je polynomiální matice a a je kauzální polynom. Pak můžeme psát S A B kde A je diagonální matice s polynomem a na diagonále. Dále nalezneme koeficienty pro levý největší společný dělitel AP 2 + BQ 2 D AR 2 + BS 2 D pak platí, že AR 2 BS 2 R 2 S 2 A B S. 5.2 Částečné přenosy Mějme levý a pravý nesoudělný rozklad matic S a R S A B 2 B A 2 R F G 2 G F2 pak následující matice ( ) ( ) ( ) ( ) A 0 A B L, K 0 F 2 2 F2 B, K G 2 F F2 0, L G 2 A A 2 tvoří pravý a levý nesoudělný rozklad přenosu K, tedy K L K 2 K L 2. Můžeme ukázat, že pseudocharakteristický polynom c K K 2. Dále můžeme problém nalezení pseudocharakteristického polynomu převést na vypočet determinantu nižšího řádu zavedeme pomocné matice C A F 2 + B 2 G C 2 F A 2 + G 2 B pro které platí, že pseudocharakteristický polynom c je asiociovaný determinantu matice C což je asiociovaný polynom determinantu matice C 2. Pseudocharakteristický polynom c zpětnovazebního obvodu není roven čitateli výrazu det( + SR) ani det( + RS). Například S z ( 2 ) 2 2 R 0 2 ( ) + z 0 0 z det(i + RS) z + z, c ( z )(3 + z ). 23 ( + z z ) ( z 2 + z z 2 + z )
24 Dále se podíváme na částečné přenosy, například pro K W,E, protože máme ( ( ) ( ) ( ) E S W W U) + SR R 0 + SR RW můžeme psát a následně K W,E ( + SR) ( + SR) (A (A F 2 + B 2 G )F 2 ) F 2 (A F 2 + B 2 G ) A F 2 C A K W/Z G C, K V/E F 2 C 2, K V/Z G C 2, K V/U A 2 C2, K W/U A 2 C2 2, K V/Y B C2, K W/Y B C2 2. Pro soustavu S mějme přenos ve tvaru pravého a levého nesoudělného rozkladu ( ) z ( S ) ( ) 2z z z 2 2z ( ) 0 z + z 0 a pro regulátor R mějme přenos ve tvaru pravého a levého nesoudělného rozkladu R ( 0 ) ( ) 0 + z ( ) ( z ) Určíme pseudocharakteristický polynom pomocí pomocných matic ( ) ( ) ( ) ( ) 2z 0 0 z ( ) z 2z C + z z z C 2 ( 2z ) a dostaneme C C 2 2z 2 Jako další příklad si ukážeme jak souvisí minimální ( realizace ) se stablitou. ( Mějme S 2z z z + 2z 2) 2z a R, dostaneme ( + SR) ( + 2z ( z z + 2z 2) ( ) ) 2z a tedy K W,E, K W,Z R a K W,Y 0. Tedy reakce zpětnovazebního obvodu na W je stabilní na všech potenciálních výstupech E, Z a Y. Pseudocharakteristický polynom je 2z a není stabilní. V čem je problém? V tomto případě může být minimální realizace přenosu S například ( ) ( ) A, B, C ( ), D ( 0 0 )
25 a minimální realizace přenosu R například F ( 0 ), G ( ), H ( 2 0 ), J ( ). Pro K dostaneme realizaci 2 K 0, L,..., 0 která, ale není mimimální. Příklad. Mějme přenos S, R S určený polynomiální maticí a vypočtěte charakteristický polynom zpětnovazebného systému. ( ) z S R 2 + z + 0 z z 2 z B a Zvolíme se tedy například C, potřebujeme tedy spočítat matice A, F 2, B 2 a G, tedy levý rozklad S A B 2 a pravý rozklad R G F2. Stabilizace jednorozměrné soustavy Mějme s b a R{z }, r g f R{z }, kde a, b, f, g R[z ] a (ab) (f, g). Pro dílčí přenosy máme k W,Y s( + sr) r b ( + b ) g g a a f f b ( ) af + bg g a af f b af a af + bg ( k W,E ( + sr) + b ) ( ) g af + bg af a f af af + bg g f a protože R{z } je komutativní okruh máme levý i pravý rozklad s ba a b, r gf f g a pseudo charakteristický polynom je determinant matice K : ( ) f b fa + bg c, g a tedy bg af + bg k W,Y bg c k W,E af c Platí, že zpětnovazební obvod je stabilní pravě tehdy když přenosy k W,Y, a k W,E lze psát ve tvaru k W,Y bm, a k W,E an, kde m, n R + {z }. 25
26 Skutečně pokud je zpětnovazební obvod stabilní pak c R + [z ] a tedy můžeme volit m g c, n f c. opačně pokud máme k W,Y bm, a k W,E an, kde m, n R + {z }. pak m g c a n f c a pokud c má nestabilní faktor, tj. c c 0 e kde e / R + {z } pak ale protože m, n R + {z } musí e f a současně e g, ale to je spor s (f, g). Důsledkem tohoto faktu je, že zpětnovazební obvod je stabilní právě když r m n, kde m, n R+ {z }, a bm + an. Skutečně pokud je obvod stabilní pak m g c, n f c, kde m, n R+ {z }, pak m n g c c f g f r bm + an b g c + af c bg + af c Opačně, pokud máme takové m, n R + {z } dostaneme k W,Y s( + sr) r b ( + b ) m m a a n m b ( an + bm a af b ( ) m a af n b a amm n bm ( k W,E ( + sr) + b ) ( ) m an + bm a m an ) m n ( ) an an a zpětnovazební obvod je stabilní. Bez důkazu uvedeme analogii poslední věty pro mnoharozměrné soustavy. Mějme nesoudělné rozklady A B A 2 A B 2 R G F2 F G 2 pak zpětnovazební systém je stabilní krávě když následující maticové přenosy lze psát ve tvaru K W,Y B M K W,E N A K V,U A 2 N 2 K V,Z M 2 B 2 pro nějaké matice M, N, N 2 a M 2 patřící do oboru integrity stabilních matic nad formálními mocninnými řadami příslušného řádu R +, {z }. Dále zpětnovazební obvod je stabilní právě tehdy když R M 2 N, kde matice M 2, N patří do oboru integrity stabilních matic nad formálními mocninnými řadami příslušného řádu R +, {z } a platí A N + B 2 M 2, 26
27 nebo R N 2 M, kde matice M 2, N patří do oboru integrity stabilních matic nad formálními mocninnými řadami příslušného řádu R +, {z } a platí N 2 A 2 + M B. 27
28 Reference [] V.Kučera, Algebraická teorie diskrétního lineárního řízení, Academia, Praha, 978 [2] J.Karásek, J.Šlapal, Teorie okruhů pro diskrétní lineární řízení, FSI VUT v Brně, 2000 (učební text) [3] V. Kučera, Algebraic Theory of Discrete-Time Linear Control Academia, Praha 978. [4] J.Karásek, J.Šlapal, Polynomy a zobecněné polynomy v teorii řízení, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2007 [5] Luděk Nechvátal Laplaceova transformace a stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic, učební text VUT 204, dostupné na mathonline.fme.vutbr.cz 28
Algebraická teorie řízení
Algebraická teorie řízení 26. dubna 208 Obsah Úvod do teorie řízení 2. Základy lineárních dynamických systémů.............. 2.2 Pravidla blokové algebry....................... 3.3 Diskrétní lineární dynamické
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Algebraická teorie diskrétního lineárního řízení vznikla jako speciální obor teorie
OKRUHY POLYNOMŮ PRO DISKRÉTNÍ LINEÁRNÍ ŘÍZENÍ 0. Úvod Algebraická teorie diskrétního lineárního řízení vznikla jako speciální obor teorie řízení začátkem sedmdesátých let dvacátého století. V této době
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Charakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
CVIČENÍ 4 Doc.Ing.Kateřina Hyniová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 4.
CVIČENÍ POZNÁMKY. CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata.vazby mezi systémy a) paralelní vazba b) sériová vazba c) zpětná (antiparalelní) vazba. Vnější popis složitých systémů a) metoda postupného
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Diskretizace. 29. dubna 2015
MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Střípky z LA Letem světem algebry
Střípky z LA Letem světem algebry Jaroslav Horáček Pojem Algebra Laicky řečeno algebra je struktura na nějaké množině, společně s nějakými operacemi, které splňují určité vlastnosti. Případy algebry lineární
8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
6 Algebra blokových schémat
6 Algebra blokových schémat Operátorovým přenosem jsme doposud popisovali chování jednotlivých dynamických členů. Nic nám však nebrání, abychom přenosem popsali dynamické vlastnosti složitějších obvodů,
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení
15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení 2016 10-4-16 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné
Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Základy elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
19 - Polynomiální metody
19 - Polynomiální metody Automatické řízení 218 16-4-18 Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy netvoří těleso, ale okruh - obecně jimi nelze dělit beze zbytku! Proto existuje: dělitel, násobek, společný
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
Inverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
Flexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control
Základy elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky