Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Transkript

1 Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x a n x n = b, i=1 se nazývá lineární rovnice (LR) o n neznámých nad T Každá n-tice, pro kterou tato rovnost nastane, se nazývá řešení této rovnice Soustava lineárních rovnic Definice 78 Necht T je číselné těleso a a ij, b i T pro každé i = 1,, m a každé j = 1,, n Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro které současně platí n j=1 a 1jx j = a 11 x a 1n x n = b 1, (R 1 ) (S) n j=1 a mjx j = a m1 x a mn x n = b m, (R m ) se nazývá soustava m lineárních rovnic (SLR) o n neznámých nad T Každá n-tice splňující (S) se nazývá řešení této soustavy Soustava lineárních rovnic Jsou-li M 1,, M m množiny řešení rovnic (R 1 ),, (R m ), pak pro množinu řešení soustavy (S) platí M = M 1 M m Soustavu (S) můžeme zkráceně zapisovat jako n a ij x j = b i, i = 1,, m j=1 Matice soustavy lineárních rovnic Definice 79 Dána SLR (S) Pak matici a 11 a 1n a 21 a 2n A =, resp (A b T ) = a m1 a mn a 11 a 1n b 1 a 21 a 2n b 2 a m1 a mn b m nazýváme matice soustavy (S), resp rozšířená matice soustavy (S), 5

2 Matice soustavy lineárních rovnic Dána SLR (S), A M m n (T ) necht je její matice Označme x T = x 1 x n, b T = b 1 b n Soustavu (S) pak můžeme psát v tzv maticovém tvaru Řešitelnost SLR A x T = b T Definice 710 SLR A x T = b T se nazývá řešitelná, jestliže existuje alespoň jedno její řešení Dvě soustavy lineárních rovnic A x T = b T a B x T = c T nazveme ekvivalentní, jestliže mají stejné množiny řešení Věta 76 SLR A x T = b T je řešitelná právě když je vektor b lineární kombinací sloupců matice A M m n (T ) Věta 77 Dány soustavy A x T = b T a B x T = c T m LR o n neznámých nad T Je-li (A b T ) (B c T ), pak jsou tyto dvě soustavy ekvivalentní Řešitelnost SLR Věta 78 (Frobeniova nebo Kroneckerova Cappeliova) Soustava lineárních rovnic A x T = b T je řešitelná právě když h(a) = h(a b T ) Je-li v této situaci navíc h(a) = n, pak má tato soustava právě jedno řešení, pokud h(a) < n, pak má nekonečně mnoho řešení (závislých na n h(a) parametrech) Gaussova eliminační metoda Dána soustava lineárních rovnic A x T = b T, kde A M m n (T ) Matici (A b T ) převedeme pomocí EŘT na matici (B ct ), která je v GT Pracujeme tedy dál s jinou soustavou, která má ale podle Věty 77 stejnou množinu řešení jako daná 6

3 Gaussova eliminační metoda Je-li h(a) = h(a b T ) = h < n, pak b 11 b 12 b 1h b 1n c 1 0 b 22 b 2h b 2n c 2 (B c T ) = 0 0 b hh b hn c h Přitom se dá vždy zařídit (prohození sloupců), že b ii 0 pro každé i = 1, 2,, h Gaussova eliminační metoda Z rovnice b hh x h + +b hn x n = c h, která odpovídá poslednímu nenulovému řádku matice (B c T ) vypočítáme x h v závislosti na x h+1,, x n Z rovnice, která odpovídá předposlednímu nenulovému řádku vypočítáme v závislosti na x h+1,, x n neznámou x h 1 Z rovnice odpovídající prvnímu řádku (B c T ) dopočítáme x 1 v závislosti na x h+1,, x n Gaussova eliminační metoda Jestliže h(a) = h(a b T ) = n, pak b 11 b 12 b 1n c 1 0 b 22 b 2n c 2 (B c T ) = 0 0 b nn c n

4 Gaussova eliminační metoda Z rovnice b nn x n = c n, která odpovídá n-tému řádku matice (B c T ) máme x n = 1 b nn c n Z rovnice, která odpovídá předposlednímu nenulovému řádku vypočítáme x n 1 = 1 b n 1,n 1 (c n 1 b n 1,n x n ) Až konečně z rovnice odpovídající prvnímu řádku (B c T ) dopočítáme Cramerovo pravidlo x 1 = 1 b 11 (c 1 b 1n x n b 1,n 1 x n 1 b 12 x 2 ) Další možnost jak řešit SLR Nelze použít vždy Pouze když soustava obsahuje tolik rovnic jako neznámých a navíc hodnost její matice je plná Věta 79 (Cramerovo pravidlo) Dána soustava n lineárních rovnic A x T = b T o n neznámých nad T taková, že platí det(a) 0 Pak tato soustava má právě jedno řešení x = (x 1,, x n ), pro něž platí x j = det(a j) j = 1,, n det(a) Přitom matice A j je matice, kterou získáme nahrazením j-tého sloupcového vektoru matice A, tedy a T j, vektorem b T Cramerovo pravidlo Příklad 75 Určete druhou složku vektoru řešení soustavy x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + 3x 3 = 2 3x 1 6x 2 x 3 = 25 Řešení: Podle Cramerova pravidla je x 2 = A2 A, kde A = = 20 a A = = 60, tedy x 2 = 3 8

5 3 Homogenní soustavy lineárních rovnic Obsah Obsah Homogenní SLR Definice 711 Soustava lineárních rovnic A x T = b T se nazývá homogenní, jestliže b = o V opačném případě se nazývá nehomogenní Věta 710 Necht A x T = o T je homogenní SLR nad T taková, že A M m n (T ) a h(a) = h Pak všechna řešení této soustavy tvoří podprostor v AVP T n (prostor řešení této soustavy) Jeho dimenze je přitom rovna n h Fundamentální systém řešení homogenní SLR Definice 712 Fundamentálním systémem řešení (FSŘ) homogenní SLR A xt = o T rozumíme každou bázi prostoru řešení této soustavy Podle definice je zřejmé, že FSŘ jsou určena všechna řešení této soustavy (báze je množina generátorů) Pokud je matice soustavy A x T = o T čtvercová, má tato soustava právě jedno řešení právě když det(a) 0 Jediným řešením je přitom o (tzv triviální řešení) Dimenze prostoru řešení takovéto soustavy je potom 0, a nemá smysl mluvit o jejím FSŘ Fundamentální systém řešení homogenní SLR Příklad 76 Určete FSŘ soustavy x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 2x 5 = 0 2x 1 + x 2 + x 4 3x 5 = 0 5x 1 + 4x 2 x 3 + 5x 4 8x 5 = 0 3x 2 2x 3 + 5x 4 x 5 = 0 Řešení: Matici soustavy převedeme na GT, tedy

6 Fundamentální systém řešení homogenní SLR Příklad 76 Řešení: Tedy h(a) = 2, a soustava má proto nekonečně mnoho řešení, která budou záviset na 3 parametrech Za parametry zvolíme např x 2, x 3, x 4 Pak ze dvou nenulových řádků nalezené matice v GT získáme tzv obecné řešení soustavy: (4x 2 3x 3 7x 4, x 2, x 3, x 4, 3x 2 2x 3 + 5x 4 ) FSŘ získáme tak, že trojici (x 2, x 3, x 4 ) volíme v obecném řešení postupně jako jednotlivé prvky kanonické báze v AVP T 3, tzn x 2 x 3 x = FSŘ je tedy trojice: u 1 = (4, 1, 0, 0, 3) u 2 = ( 3, 0, 1, 0, 2) u 3 = ( 7, 0, 0, 1, 5) Vztah řešení homogenní SLR a nehomogenní SLR Definice 713 Necht A x T = b T je nehomogenní SLR nad T Pak homogenní soustava A x T = o T se nazývá soustava přiřazená k A x T = b T Věta 711 Necht A x T = b T je nehomogenní SLR (A M m n (T )) nad T a necht u je některé její řešení Pak množina všech řešení této soustavy je tvořena právě všemi vektory u+ v T n, kde v je libovolné řešení přiřazené homogenní soustavy 10