MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

Transkript

1 MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem kofliktích situací. Koflikty bychom mohli zjedodušeě rozdělit takto: JAK SI PORADIT S ANTAGONISTICKÝM KONFLIKTEM? Hra v ormálím tvaru je dáa: - možiou hráčů {1, 2,, N}, - možiou prostorů strategií {X 1, X 2,, X N}, kde X i ozačuje prostor strategií i-tého hráče, - možiou výplatích fukcí {f 1(x 1, x 2,, x N), f 2(x 1, x 2,, x N),, f N(x 1, x 2,, x N)}. Předpokládáme, že tito hráči jsou iteligetí: saží se maximalizovat svůj užitek (hodotu výplatí fukce) a mají dokoalé iformace o hře, tedy zají možiu hráčů, svůj prostor strategií a výplatí fukci a prostor strategií a výplatí fukci ostatích hráčů. V ásledujících příkladech půjde pro zjedodušeí o hru dvou hráčů: prostor strategií prvího hráče budeme začit X, prostor strategií druhého hráče pak Y, výplatí fukce prvího hráče bude f 1(x,y), výplatí fukce druhého hráče bude f 2(x,y). Jde o hru v ormálím tvaru a o atagoistický koflikt: hráči tedy udělají své rozhodutí ajedou, a to, co jede získá, druhý ztratí, takže emá smysl spolupracovat. Proto se teto typ hry azývá také hra s kostatím součtem (f 1 (x, y) + f 2 (x, y) = K), ebo hra s ulovým součtem ( f 1 (x, y) + f 2 (x, y) = 0 ). Každou hru s kostatím součtem můžeme totiž převést a hru s ulovým součtem, protože přičteím libovolé kostaty ke všem hodotám

2 výplatích fukcí se ezměí řešeí hry. Z toho plye, že f 1 (x, y) = f 2 (x, y) f(x, y). Budeme tedy sledovat výhru prvího hráče, a to bude zároveň i prohra druhého hráče. Hru můžeme uspořádat do matice: a 11 a 1 A = ( ) a m1 a m Prví hráč (X) volí řádek, má tedy m možých strategií x 1 až x m a získá a ij. Druhý hráč (Y) volí sloupec, má tedy možých strategií y 1 až y a ztratí a ij. Prostor strategií je koečý, celkem existuje m růzých kombiací. Každé kombiaci strategií lze přiřadit výhru f(x, y). DOMINOVANOST Žádý z hráčů určitě ezvolí silě domiovaou strategii. Prví hráč ebude volit řádek se všemi prvky mešími, ež jsou odpovídající prvky v jiém řádku (měl by s jistotou ižší zisk), druhý hráč ebude volit sloupec se všemi prvky většími, ež jsou odpovídající prvky v jiém sloupci (měl by s jistotou vyšší ztrátu). Výjimečě lze vypuštěím silě domiovaých strategií ajít i řešeí hry, většiou se ám však tímto způsobem pouze podaří redukovat rozměr matice hry. Slabá domiovaost zameá, že prvky v odpovídajícím řádku jsou meší ebo rovy prvkům v jiém řádku (1. hráč) či prvky v odpovídajícím sloupci jsou větší ebo rovy prvkům v jiém sloupci (2. hráč). Například v ásledující matici by prví hráč určitě ezvolil třetí řádek, získal by totiž určitě méě ež při volbě jiých řádků, ehledě a to, jakou strategii by zvolil druhý hráč. Druhý hráč aopak určitě ebude volit prví sloupec, ztratil by totiž určitě více ež při volbě jiých sloupců, ehledě a to, co by zvolil prví hráč. Když tyto strategie vypustíme, zbude ám matice 2x2, ve které by prví hráč určitě ezvolil druhou strategii a druhý hráč by určitě ezvolil prví strategii. Optimálími strategiemi jsou tedy x 1, y 3, kdy prví hráč získá 3 a druhý hráč ztratí 3. ROVNOVÁHA V RYZÍCH STRATEGIÍCH ( 4 3 2) ( 4 3 2) Návod, jak ajít optimálí strategii hráčů v maticové hře, dává tzv. Nashova rovováha. Ta říká, že pokud se ěkterý z hráčů odchýlí od své optimálí strategie (zatímco soupeř se své optimálí strategie bude držet), epolepší si, eboli pokud se hráč edrží optimálí strategie, pohorší si a v ejlepším případě a tom bude stejě. Pro optimálí strategie x o X, y o Y tedy platí: f 1 (x, y o ) f 1 (x o, y o ) = když se prví odchýlí optimálí strategie x o a volí místo toho strategii x, zatímco druhý se své optimálí strategie drží, tak získá méě či ejvýše stejě, jako kdyby se jí také držel f 2 (x o, y) f 2 (x o, y o ) = když se druhý odchýlí optimálí strategie y o a volí místo toho strategii y, zatímco prví se své optimálí strategie drží, tak získá méě či ejvýše stejě, jako kdyby se jí také držel Pro hru s ulovým součtem platí, že f 1 (x, y) f(x, y) a f 2 (x, y) f(x, y), a tedy f(x, y o ) f(x o, y o ) a f(x o, y) f (x o, y o ) f(x, y o ) f(x o, y o ) f(x o, y)

3 Tomuhle se říká Nashovo rovovážé řešeí (Nashova rovováha). Získáme jej alezeím sedlového prvku (sedlového bodu), což je číslo ejvětší ve svém sloupci (protože prví hráč chce maximalizovat prohru druhého hráče) a ejmeší ve svém řádku (protože druhý hráč chce miimalizovat výhru prvího hráče). Jak to může dopadout? Hra může mít: (a) jede sedlový prvek: ( 6 5 4) Sedlový prvek je a 23. Optimálí strategie prvího hráče je x 2, druhého hráče y 3, a 23 = 4 je cea hry (b) dva sedlové prvky: ( 5 5 4) Všechy mají stejou ceu hry a jako optimálí strategii mohu volit kteroukoliv avržeou (c) žádý sedlový prvek: : ( 5 5 4) Pokud má hra sedlový prvek, azýváme takové řešeí Nashova rovováha v ryzích strategiích a optimálí strategii hrajeme ve 100 % případů. Pokud hra emá sedlový prvek, hledáme řešeí pomocí smíšeého rozšířeí. Základí věta maticových her totiž říká, že: Každá maticová hra má Nashovo rovovážé řešeí (ve smíšeých strategiích). V í zjišťujeme, s jakou pravděpodobostí budou hráč hrát jedotlivé strategie. Takto formulovaé strategie se azývají smíšeé (pravděpodobostí) strategie. SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ Úlohu smíšeého rozšířeí maticové hry řešíme ásledově: Prví hráč bude hrát každou ze svých strategií s pravděpodobostí 0 a součet pravděpodobostí musí být rove 1. Totéž platí pro druhého hráče X = {x; x T m = (x 1 ; x 2 ; ; x m ); i=1 x i = 1; x 0} Y = {y; y T = (y 1 ; y 2 ; ; y ); j=1 y j = 1; y 0} Hodota výplatí fukce prvího hráč je rova: m f(x, y) = x i a ij y j = x T Ay i=1 j=1 Podle ZVMH existují optimálí strategie (x o, y o ) ve smíšeém rozšířeí, eboli existuje Nashova rovováha, kdy prví hráč získá x ot Ay o a druhý hráč totéž ztratí. Tomu říkáme cea hry. Ceu hry x ot Ay o ozačme písmeem v.

4 Problém povede a úlohu lieárího programováí. Jaké budou její omezující podmíky? Víme, že pro optimálí řešeí musí platit: x T Ay o x ot Ay o x ot Ay. Hledáme tedy (x o, y o ) splňující uvedeé erovosti. Nejprve se zaměříme a erovost x T Ay o x ot Ay o, tz. x T Ay o v. Protože v úloze pracujeme s erovicemi, hodilo by se mít v í je kladá čísla, abychom si emuseli dělat starosti, jestli eí áhodou třeba obrátit zaméko erovosti. Takže pokud jsou všechy prvky matice A kladé, můžeme pokračovat v řešeí, ale jsou-li ěkteré prvky ekladé, je třeba přičíst vhodou kostatu tak, aby se všechy prvky staly kladými. Přičteí kostaty c ke všem prvkům v matici ezměí optimálí strategie, změí však ceu hry a v + c, a bude tedy platit vztah: x T Ay o v + c K tomu, aby uvedeý vztah platil pro všecha x T, stačí, když bude platit pro všechy ryzí strategie x T = (1,0,,0), x T = (0,1,,0),, x T = (0,0,,1). Smíšeé strategie jsou totiž je lieárí kombiací ryzích strategií. Ryzí strategie jsou je speciálí případ smíšeých strategií (jedotkové vektory), kdy určitou strategii hrajeme s pravděpodobostí 100 %. Takže to můžeme rozepsat: a 11 y o 1 + a 12y o a 1y o v + c a m1 y o 1 + a m2y o a my o v + c Abychom se zbavili v + c apravo, vydělíme uvedeé erovice výrazem v + c a substituujeme q j = yo j v+c, q j 0, čímž dostaeme soustavu ve tvaru: a 11 q 1 + a 12 q a 1 q 1 a m1 q 1 + a m2 q a m q 1 q j 0 Tohle jsou omezující podmíky úlohy lieárího programováí. Z takto formulovaé úlohy můžeme zjistit, s jakou pravděpodobostí bude hrát druhý hráč jedotlivé strategie. Druhý hráč chce miimalizovat v + c, takže se saží maximalizovat Celá úloha má tvar: Účelová fukce z: max j=1 q j za podmíek: j=1 a ij q j 1, i q j 0, j 1 v+c, takže bude chtít maximalizovat a q Stejým postupem lze formulovat úlohu pro prvího hráče, čímž dojdeme k úloze ve tvaru: m Účelová fukce z: mi i=1 p i za podmíek: a ij p i 1, j m i=1 p i 0, i j=1 j.

5 To jsou duálě sdružeé úlohy: primárí úloha (maximalizačí) pro druhého hráče a druhá úloha (miimalizačí) pro prvího hráče. Tyto úlohy můžeme vyřešit simplexovou metodou a jakožto duálě sdružeé úlohy budou mít i stejou hodotu účelové fukce. Řešeí duálí úlohy ajdeme v simplexové tabulce primárí úlohy pod přídatými proměými (jsou to stíové cey). Protože ale výstupem budou hodoty q j a p i, zatímco ás zajímají hodoty y o j a x o i, musíme provést zpětou substituci: q j = yo j v+c y o j = (v + c)q j = q j z p i = xo i x o v+c i = (v + c)p i = p i z 1 = z v = 1 c cea hry v+c z Tím tedy zjistíme, s jakou pravděpodobostí by měli hráči hrát jedotlivé strategie. ZDROJE Mgr. Jaa Sekičková, Ph. D.: prezetace k předmětu 4EK421 Teorie her a ekoomického rozhodováí, 2013.