Ľudmila Jánošíková 1, Michael Bažant, Antonín Kavička 2

Transkript

1 PODPORA OPTIMÁLNÍHO OPERATIVNÍHO PLÁNOVÁNÍ PROVOZU V OSOBNÍCH ŽELEZNIČNÍCH STANICÍCH SUPPORT OF OPTIMAL OPERATIVE PLANNING RELATED TO PASSENGER RAILWAY STATIONS Ľudmla Jánošíková 1, Mchael Bažant, Antonín Kavčka 2 Anotace: Článek se zaměřuje na vybrané problémy spojené s operatvním řízením provozu osobních železnčních stanc. Typckým problémem je výskyt zpoždění vlaku na příjezdu, což může mít za následek narušení platného jízdního řádu (zejména vzhledem k plánovaným odjezdům vlaků) a plánu obsazení kolejí. Za této stuace musí dspečer operatvně řešt problémy spojené s potencálním výskytem konflktů vzhledem k jízdám vlaků. Pozornost je věnována formalzac modelu dspečerova rozhodovacího procesu s využtím metod matematckého programování. Vstupy do modelu odrážejí potencální zpoždění přjíždějících vlaků. Výstupy z modelu řeší zejména problémy: kterou nástupštní kolej přdělt přjíždějícímu vlaku a jak dlouho mají čekat přípojné vlaky na zpožděný přjíždějící vlak. Účelová funkce uplatňuje multkrterální přístup sledující dva cíle: redukovat vlv zpoždění vlaků na odjezdu na provoz v železnční sít (tj. mnmalzovat odchylky od platného jízdního řádu) a zároveň mnmalzovat potíže působené cestujícím (např. nevhodným podmínkam pro přestupy). Zmíněný model se může využít př podpoře dspečerského řízení reálného provozu nebo v příslušných smulačních modelech. Klíčová slova: Osobní železnční stance, operatvní plánování, přdělování nástupštních kolejí, smíšené celočíselné programování, smulace provozu Summary: The paper deals wth problems arsng n a passenger ralway staton durng realtme operaton when delays of ncomng trans can dsturb the tmetable and the platform allocaton plan. In such a stuaton a dspatcher must operatvely solve the problems related to possble conflcts of tran movements. In the paper, a dspatcher s decson-makng process s formalsed usng a mathematcal programmng approach. Inputs to the model contan potental delays of ncomng trans. Outputs from the model are decsons on: whch platform track s to be assgned to the arrvng tran and how long connectng trans should wat for the ncomng delayed tran. The objectve functon combnes multple crtera whch encompass two goals: to reduce dsturbance propagaton through the ralway network,.e. to mnmse devatons from the tmetable, and at the same tme to mnmse the nconvenence put to the passengers. The model can be used as a realtme decson support for a dspatcher or as a part of a relevant smulaton model. Key words: Passenger ralway staton, operatve schedulng, platform track assgnment, mxed nteger programmng, traffc smulaton 1 doc. Ing. Ľudmla Jánošíková, CSc., Žlnská unverzta, Fakulta radena a nformatky, Katedra dopravných setí, Unverztná 8215/1, SK Žlna, Tel , E-mal: Ludmla.Janoskova@fr.unza.sk 2 Ing. Mchael Bažant, Ph.D., doc. Ing. Antonín Kavčka, Ph.D., Unverzta Pardubce, Fakulta elektrotechnky a nformatky, Katedra softwarových technologí, Nám. Čs. legí 565, CZ Pardubce, Tel , E-mal: Mchael.Bazant@upce.cz, Antonn.Kavcka@upce.cz 97

2 1. ÚVOD Operatvní řízení železnčního provozu ve velkých osobních stancích je spojeno s výskytem celé řady specfckých problémů (např. zpoždění vlaků na příjezdu), jejchž řešení ovlvňuje kvaltu obsluhy cestujících jednak v rámc příslušné stance a dále může dílčím způsobem působt na kvaltu obsluhy cestujících v přlehlé železnční sít. Ve velkých železnčních stancích mohou vlaky přjíždět z, resp. odjíždět do několka směrů. Infrastruktura kolejšť těchto stanc je bezprostředně napojena na řadu traťových kolejí (někdy označovaných jako koleje vjezdové, resp. odjezdové vzhledem k dané stanc) a dále dsponuje větším počtem kolejí nástupštních. V případě, že všechny vlaky (zúčastňující se stančního provozu) jezdí na čas, lze železnční provoz řídt podle předem vytvořených plánů (grafkonu vlakové dopravy, plánu obsazení kolejí apod.). Tyto plány specfkují jak příslušné časy (např. odjezdů a příjezdů vlaků), tak přřazení různých typů obslužných zdrojů vlakům (např. nástupštních kolejí přjíždějícím, resp. odjíždějícím vlakům). V reálném provozu jsou však zmíněné plány narušovány náhodným vlvy. Dspečer tedy musí operatvně přzpůsobt provoz stance změněným podmínkám, aby nedocházelo zejména ke konflktům v souvslost s jízdam (pohyby) vlaků. Příkladem takového konflktu může být stuace, kdy zpožděný vlak nemůže přjet k pravdelně plánované nástupštní kolej, neboť tato je v aktuálním čase obsazena jným vlakem. Dspečer tedy musí rozhodnout, zda může daný vlak přjet k jné (náhradní) nástupštní kolej, anebo má čekat u vjezdového návěstdla. Navíc mohou ve stanc stát přípojné vlaky, které čekají na daný zpožděný vlak. Dspečer tak musí dále určovat, zda mají tyto vlaky čekat a v jakém čase mají odjet. Schematcké znázornění lustrační osobní železnční stance uvádí obrázek 1 (symboly S1-S5 označují vjezdová návěstdla). Vjezdové / Odjezdové koleje Vjezdové / Odjezdové koleje Obr. 1 Schéma lustrační osobní železnční stance Zdroj: Autoř Pro své rozhodování dspečer využívá jednak pravdla daná konkrétní železnční společností a jednak své vlastní zkušenost pro řešení problémových stuací. Jeho rozhodnutí zohledňují dva hlavní (částečně konflktní) cíle: omezovat vlv narušení pravdelného stančního provozu na provoz na železnční sít (tj. mnmalzovat odchylky od jízdního řádu) a současně mnmalzovat potíže způsobované cestujícím. Mnmalzace obtíží vznkajících cestujícím může kupříkladu znamenat, že mohou být účelově zpožděny (dle daných pravdel) přípojné vlaky na odjezdu, do nchž mohou přestupovat cestující ze zpožděných vlaků na 98

3 příjezdu do stance. Dalším příkladem může být přřazení náhradní nástupštní koleje zpožděnému přjíždějícímu vlaku v těsné blízkost původně plánované koleje apod. Rozhodovací proces dspečera je prezentován ve formě modelu využívajícího matematckého programování. Tento model lze potencálně aplkovat pro podporu řízení provozu v reálném čase anebo jako součást smulačního modelu osobní železnční stance, např. v rámc softwarového nástroje Vllon [1], [2], [12]. 2. PŘEHLED STAVU ŘEŠENÍ Přdělování nástupštních kolejí vlakům úzce souvsí s problematkou (stavění) vlakových cest. Pro zmíněné vlakové cesty jsou určující jednak vjezdové, resp. odjezdové koleje a jednak příslušné koleje nástupštní. Plánování provozu osobní železnční stance zahrnuje mmo jné určování časů příjezdů a odjezdů vlaků. Jízdy vlaků musí vyhovovat bezpečnostním podmínkám a musí být bezkonflktní z hledska času prostoru. Výzkum na pol plánování provozu v železnčních stancích (a přlehlých tratích) se v posledních letech soustředl zejména na oblast optmalzace grafkonu vlakové dopravy a dále na optmalzace směrování vlakových cest na nfrastrukturách kolejšť. Zmíněné problémy byly většnou řešeny metodam matematckého programování. Například, problém časového plánování vlakové dopravy (jízdního řádu) na traťovém kordoru byl formulován s využtím smíšeného celočíselného programování a řešen Lagrangeovou relaxací [7]. Pro tvorbu plánu obsazení (nástupštních) kolejí byla aplkována metoda celočíselného programování řešící problém barvení grafu [6]. Problém směrování vlakových cest v kolejšt byl popsán jako úloha hledání nejcennější nezávslé množny vrcholů v grafu s využtím bvalentního programování, přčemž algortmus řešení uplatnl metodu větvení a řezů [14]. V jednom z dalších přístupů, který je praktcky orentovaný, bylo upuštěno od aplkace metod celočíselného programování, které bylo nahrazeno heurstkou řešící problémy tvorby grafkonu a směrování vlakových cest současně [8]. Algortmus řešení zahrnoval, resp. zohledňoval provozní pravdla, náklady, preference a kompromsní přístupy, které jsou uplatňovány odborníky z praxe vytvářejícím plány ručně. Všechny výše uvedené přístupy se zaměřují na tvorbu tzv. statckých plánů (např. jízdních řádů a plánu obsazení kolejí), jejchž uplatnění se předpokládá v podmínkách pravdelného železnčního provozu. Tyto plány nepočítají s možným zpožděním vlaků an s jným náhodným vlvy na stanční provoz. Navíc je nutné konstatovat, že výpočty spojené s výše uvedeným modely jsou značně výpočetně náročné. Není tedy možné získávat příslušná řešení ve velm krátkém čase, aby je bylo možné uplatnt př operatvním řízení provozu stance nebo v průběhu smulačního expermentu. Z tohoto důvodu se výzkum rovněž zaměřuje na tvorbu dynamckých plánů, jejchž posláním je odrážet požadavky provozu zatíženého nepravdelnostm (tj. vzhledem k výskytu nepravdelností vyvstává například potřeba přeplánovat časy příjezdů a/nebo odjezdů vlaků, přesměrovat vlakové cesty apod.). 99

4 Předpovídání narušení pravdelného provozu a mnmalzace důsledků jejch výskytu hraje tím větší rol, čím je hustota dopravy vyšší. Tomuto problému se výzkum ntenzvně věnuje v poslední dekádě. Výsledky výzkumu z oblast železnčních dopravních systémů jsou dobře zmapovány v [13]. Většna přístupů se věnuje šíření poruch z pohledu železnční sítě jako celku, resp. její jsté regonální část. Z tohoto důvodu nepracují příslušné modely na dostatečné úrovn podrobnost, aby byly schopny zachytt problémy jednotlvých stanc, příp. uzlů. Na druhé straně byly vyvnuty přístupy, které jsou aplkovatelné pro řešení vybraných problémů v samotných stancích. Separátní řešení problému přdělení nástupštní koleje (potencálně zpožděnému vlaku na příjezdu do stance) bylo představeno v [4] a [5], přčemž pro podporu rozhodování byla využta umělá neuronová síť. Další z přístupů je realzován v nástroj na podporu rozhodování ROMA (Ralway traffc Optmzaton by Means of Alternatve graphs) [10]. Jakmle dojde k narušení pravdelného provozu, jsou počítány nové vlakové cesty (přesměrování) s využtím metody tabu search. Poté je řešeno přeplánování příjezdů a odjezdů vlaků jako job-shop rozvrhovací problém s uplatněním metody větví a hranc. Zde je však ještě nutno konstatovat, že přesměrování vlakových cest je přepočítáno pouze zjednodušeně, jelkož pro každý vlak je uvažována pouze jedna alternatvní vlaková cesta. Dalším nedostatkem tohoto přístupu je nezohlednění přípojů mez vlaky. Největší nsprací pro naše řešení problému přdělování kolejí představoval zdroj [9], v němž se odrážejí reále osobní železnční dopravy v Ind. Operatvní přdělování nástupštních kolejí vlakům vjíždějícím do rušné stance je řešeno za pomoc matematckého programování. Matematcký model jsme upravl pro podmínky železnční dopravy v Evropě a dále jej obohatl o zohlednění přípojných vlaků a sledování zpoždění vlaků na odjezdu ze stance. Model je prezentován v následující část, přčemž výsledky výpočetních expermentů zachycuje část čtvrtá. V závěru jsou zhodnoceny přínosy prezentovaného přístupu a naznačeno směrování dalšího výzkumu. 3. FORMULACE PROBLÉMU Předmětem zkoumání, tak jak byl obecně představen v rámc předcházejících částí, je operatvní plánování příjezdů vlaků k, resp. odjezdů vlaků od stanovených nástupštních kolejí v rámc určtého plánovacího období. Podrobněj lze formulovat následující dílčí rozhodovací problémy: pro každý z přjíždějících vlaků určt, ke které nástupštní kolej má přjet, není-l v aktuálním čase k dspozc žádná volná nástupštní kolej, jak dlouho mají přjíždějící vlaky čekat u vjezdového návěstdla, pro každý z přípojných vlaků určt, kdy má odjet. Uvedená rozhodnutí jsou modelována třem základním proměnným, které: přřazují nástupštní koleje přjíždějícím vlakům, defnují časy odjezdů přjíždějících vlaků od vjezdového návěstdla směrem k nástupštím, 100

5 specfkují časy odjezdů tranztních a přípojných vlaků od nástupšť. Účelová funkce vytvářeného modelu zahrnuje dva následující cíle (odpovídací charakteru rozhodování stančního dspečera): a) mnmalzovat zpoždění vlaků na odjezdu ze stance, b) mnmalzovat potíže způsobované cestujícím. První z cílů je splněn, jestlže je mnmalzována odchylka mez reálným časem odjezdu daného vlaku a příslušným časem plánovaným v platném jízdním řádu. Časy odjezdů vlaků mohou být ovlvňovány přdělováním nástupštních kolejí. Jedou-l všechny vlaky na čas, je přdělování nástupštních kolejí jednoznačně určeno plánem obsazení kolejí, který je vytvářen pro každou větší osobní železnční stanc. Jsou-l však některé vlaky zpožděny, dspečer přděluje nástupštní koleje na základě svých zkušeností a explctních pravdel. V níže představeném modelu odráží část účelové funkce uvedená pravdla tak, aby byly vlakům přdělovány ty nejvhodnější nástupštní koleje. Tato část účelové funkce mplctně mnmalzuje potíže vznkající cestujícím tím, že (mmo jné) mnmalzuje odchylky v přdělování kolejí vzhledem k plánu obsazení kolejí. To znamená, že cestující čekající u pravdelně plánované nástupštní koleje se nemusí přemísťovat přílš daleko, nastane-l v přdělení koleje změna. Není-l v čase příjezdu vlaku do stance k dspozc žádná volná nástupštní kolej, musí tento čekat u vjezdového návěstdla. Důsledkem toho je výskyt zpoždění vlaku na příjezdu (k nástupšt), což má rovněž negatvní vlv na cestující. Proto poslední část účelové funkce mnmalzuje zpoždění vlaků vznkající čekáním u vjezdového návěstdla. Vstupy do modelu matematckého programování jsou následující: 1. nfrastruktura kolejště stance, 2. plánovací období (horzont), 3. obsazení kolejí na počátku plánovacího období (toto obsazení je závslé na příjezdech vlaků uskutečněných ještě před aktuálním plánovacím obdobím), 4. seznam přjíždějících vlaků, přčemž požadovaná data pro každý vlak jsou následující: (a) příjezd k vjezdovému návěstdlu, (b) doba jízdy od vjezdového návěstdla k nástupštní kolej, (c) doba pobytu u nástupště, (d) pravdelně plánovaná nástupštní kolej, (e) vjezdová (traťová) kolej, (f) seznam přípustných nástupštních kolejí pro přdělení, (g) seznam přípojných vlaků (včetně čekacích dob), které na daný vlak čekají, 5. seznam odjíždějících (tranztních a přípojných) vlaků, zahrnující pro každý vlak: (a) plánovaný čas odjezdu, (b) dobu pobytu u nástupště, (c) časové období potřebné pro odjezd od nástupštní koleje, (d) pravdelně plánovaná nástupštní kolej, 6. technologcké konstanty: (a) maxmální časové období, po jehož uplynutí má být kolej uvolněna, (b) normální doba na přestupy (cestujících), 101

6 (c) zkrácená doba na přestupy (cestujících). Všechny časové údaje jsou uváděny v mnutách. V dalším je uvedena formulace účelové funkce včetně omezujících podmínek. Nejdříve je potřeba vysvětlt následující symboly. Indexy, které v matematckém modelu reprezentují objekty, j, l vlak k kolej r() pravdelně plánovaná nástupštní kolej pro vlak s() párová kolej ke kolej r(); koleje u stejného nástupště jsou párové (pro dané r() nemusí s() exstovat) q() vjezdová (traťová) kolej pro vlak Vstupní parametry (konstanty) soj t doba pobytu vlaku u nástupště soj t mnmální doba pobytu vlaku u nástupště arr t doba jízdy vlaku od vjezdového návěstdla k nástupšt dep t doba potřebná pro odjezd vlaku od nástupště Pa t plánovaný čas příjezdu vlaku k nástupšt Pd t plánovaný čas odjezdu vlaku a t skutečný čas příjezdu vlaku k vjezdovému návěstdlu ahd t maxmální doba, za kterou by měla být kolej uvolněna (doba výhledu) Cn t normální doba na přestup cestujících Cs t zkrácená doba čas na přestup cestujících w t j maxmální doba čekání vlaku na zpožděný přjíždějící vlak j start t počátek plánovacího období stop t konec plánovacího období Parametry odvozené od vstupních parametrů occ arr soj dep t celková doba obsazení nástupštní koleje vlakem ( t = t + t + t ) occ t k p k předpokládaný čas uvolnění koleje k (obsazené v čase v čase t start, pak tk = t start koefcent vhodnost koleje k pro přdělení vlaku Množny objektů K množna všech nástupštních kolejí K() množna přípustných nástupštních kolejí pro vlak start t ); jestlže je kolej k volná 102

7 K(t start ) množna nástupštních kolejí, které jsou obsazeny na počátku plánovacího období K(t start,)množna nástupštních kolejí, které jsou obsazeny na počátku plánovacího období a start start K t, = k k K,t > t U S V X X(j) mohou být přděleny vlaku : ( ) { ( ) k } množna všech přjíždějících vlaků, pro které je plánován odjezd od vjezdového U = t start t a t stop návěstdla v průběhu plánovacího období: { } množna všech vlaků, které přjely před počátkem plánovacího období: a start S = t < t ; standardně se předpokládá, že tyto vlaky přjely na čas { } množna všech přjíždějících vlaků, které přjedou k vjezdovému návěstdlu před uvolněním poslední z kolejí, které jsou obsazeny na počátku plánovacího období: a V = U,t max t k K t ( ) { } start k množna výchozích přípojných vlaků množna výchozích přípojných vlaků (stojících na kolejích, pro něž exstují párové koleje), které podle železnčního předpsu mají čekat na vlak j a pro které navíc platí a arr Pd w podmínka: t + t t + t j j X 0 (j) množna výchozích přípojných vlaků (stojících na kolejích, pro něž neexstují párové koleje), které podle železnčního předpsu mají čekat na vlak j a pro které navíc platí a arr Pd w podmínka: t + t t + t Y Z Z(j) Z 0 (j) j j množna tranztních vlaků, které nejsou přípojné, Y U množna tranztních přípojných vlaků, Z U množna tranztních přípojných vlaků (s plánovaným nástupštním kolejem, pro něž exstují párové koleje), které podle železnčního předpsu mají čekat na vlak j a pro a arr Pd w které navíc platí podmínka: t + t t + t j j množna tranztních přípojných vlaků (s plánovaným nástupštním kolejem, pro něž neexstují párové koleje), které podle železnčního předpsu mají čekat na vlak j a pro a arr Pd w které navíc platí podmínka: t + t t + t j j Rozhodovací a pomocné proměnné modelu 1 jestlže je kolej k přřazena vlaku pro U, k K() : xk = 0 jnak jestlže vlak odjíždí od vjezdového návěstdla 1 pro, j U, j: yj = k nástupšt před vlakem j 0 jnak 1 je-l vlakům a j přřazena stejná nástupštní kolej pro, j U, j: zj = 0 jnak u čas odjezdu vlaku od vjezdového návěstdla k nástupšt, U v skutečný čas odjezdu vlaku (z nástupštní koleje), X Y Z 103

8 Zmíněné proměnné neuvažují s těm výchozím vlaky, které nejsou zároveň vlaky přípojným. Proměnné v jsou tedy spojeny pouze s přípojným a tranztním vlaky. Je-l přjíždějící vlak vlakem tranztním a není přípojným, pak lze jeho čas odjezdu odvodt z následující rovnce: v = u + t + t pro Y (1) arr soj Je-l přjíždějící vlak vlakem tranztním a zároveň přípojným, může se jeho doba odjezdu prodloužt čekáním na zpožděné přjíždějící vlaky, proto rovnce (1) přejde v nerovnost: v u + t + t pro Z (2) arr soj Čeká-l přípojný vlak na vlak j přjíždějící před koncem čekací doby vlaku a arr Pd w ( t + t t + t ), pak se mohou vyskytnout dvě stuace: j j vlak j přjede ke stejnému nástupšt, u něhož stojí vlak ( x () = 1) za této podmínky je uplatněna zkrácená doba na přestupy cestujících, protože vlaky se nacházejí v bezprostřední blízkost, vlak j přjede k jnému nástupšt, než stojí vlak, protože mu není přdělena párová kolej ke kolej, na které stojí vlak ( x () = 0 ), nebo párová kolej neexstuje js 0 0 ( X ( j) Z ( j) ) pak je aplkována normální doba na přestupy cestujících. Skutečný čas odjezdu výchozího přípojného vlaku je tedy nejpozdější ze tří časových okamžků, které představují čas plánovaného odjezdu vlaku a dále časy navýšené o doby (normální nebo zkrácené) potřebné pro přestupy cestujících: js Pd t arr Cs v=max uj + t + t, x () = 1 js (3) arr Cn 0 uj + t + t, x () = 0 nebo X js ( j ) Skutečný čas odjezdu tranztního přípojného vlaku závsí od doby jeho příjezdu, která může být navýšená o doby (normální nebo zkrácené) potřebné pro přestupy cestujících. Kromě vztahu (2) tedy platí: arr Cs uj + t + t, x () = 1 js v =max arr Cn 0 (4) uj + t + t, x () = 0 nebo Z js ( j ) Důležtou rol v účelové funkc hraje parametr p k (koefcent vhodnost), který odráží uplatňování jstých rozhodovacích pravdel stančním dspečerem vzhledem k přdělování nástupštních kolejí zpožděným přjíždějícím vlakům. Dspečer zohledňuje následující čtyř krtéra: 104

9 A: Volnost kolej v okamžku příjezdu vlaku. B: Volnost koleje vzhledem k době pobytu vlaku. C: Obsazení párové koleje přípojným vlakem. D: Další techncké a technologcké přednost koleje. Zmíněná krtéra jsou vyhodnocována pro každou kolej k, která může být přdělena vlaku (k K()). Poté je vhodnost koleje k vypočítána jako vážená suma hodnot jednotlvých krtérí a začleněna do účelové funkce. Označují-l a k, b k, c k, a d k hodnoty krtérí A, B, C, D a w A, w B, w C, w D představují váhy těchto krtérí, potom lze míru vhodnost (p k ) přřazení koleje k vlaku vyjádřt jako: pk = wa A k + wb B k + wc C k + wd D k (5) Váhy vyjadřují důležtost jednotlvých krtérí a jsou nastaveny podle kvalfkovaného odhadu experta. Expert obvykle není schopen určt tyto váhy přímo, avšak dokáže provést jejch vzájemné porovnání. To znamená, že pro každou dvojc krtérí z nch určí to důležtější, a zároveň vyjádří kolkrát je důležtější. Příslušné váhy potom mohou být spočítány na základě relatvních důležtostí krtérí, pomocí matematckých metod. Z těchto metod se nejčastěj používá tzv. Saatyho metoda ([4], [11]). Formulac krtérí, jakož jejch podrobný pops jsme uvedl v předchozích pracích [3], [4] a [5]. Krtéra jsou navržena tak, že nejlepší z kolejí kanddujících na přdělení je ta, která dsponuje maxmální váženou sumou hodnot příslušných krtérí (3). Všechny hodnoty krtérí jsou z ntervalu 0,1, kde hodnota 1 představuje nejlepší výsledek. Výpočet krtérí A a B čerpá ze statckého plánu obsazení kolejí, který je vytvářen pro všechny větší osobní železnční stance. Pro každou z nástupštních kolejí jsou tedy dostupné nformace o jejch obsazení vlaky. Krtérum A, odrážející míru volnost koleje, by mohlo ntutvně rozlšovat pouze mez dvěma hodnotam (stavy), které odrážejí skutečnost, zda je kolej volná č obsazená. Tento přístup by však neumožňoval rozlšovat mez kolejem, které zůstanou dále obsazeny ještě po dlouhou dobu a kolejem, které budou v krátkém čase uvolněny. Z tohoto důvodu je vhodné vyhodnocovat toto krtérum s přhlédnutím k době výhledu t ahd. Je-l kolej k volná v okamžku předpokládaného příjezdu vlaku, pak je hodnota krtéra A (a k ) nastavena na hodnotu 1. V případě, že je kolej k obsazena vlakem j, potom je vyčíslen poměr mez časem zbývajícím do odjezdu vlaku a dobou výhledu. Výsledný poměr je pak odečten od hodnoty 1. Je-l doba zbývající do uvolnění koleje (po odjezdu vlaku j) krátká v porovnání s dobou ahd výhledu t, potom se a k blíží hodnotě 1, jnak je blízko nebo rovno hodnotě 0. Př vyhodnocení krtéra podle vztahu (6) předpokládáme, že vlak se u vjezdového návěstdla nezdrží, tedy jeho předpokládaný příjezd na kolej k je roven součtu doby příjezdu k vjezdovému návěstdlu t a a doby jízdy vlaku od vjezdového návěstdla k nástupštt arr. 105

10 a k = ( ) tj + t t + t max 0, 1 ahd t Pd dep a arr pro j U S, t t t t t t + +, k r( j) Pa arr a arr Pd dep j j =. (6) Hodnota krtéra B je počítána jednak vzhledem k době volnost koleje do příjezdu dalšího vlaku j a jednak k celkové době obsazení koleje k vlakem. V této souvslost mohou nastat dvě následující stuace: a) Kolej k je volná v čase příjezdu vlaku, pak se koefcent b k vypočítá dle vztahu: b k kde ( ) a a arr tj t + t = mn 1, occ, (7) t ( ) j představuje následující vlak, k = r j. b) Kolej k je obsazena předchozím vlakem l, pak se b k počítá následovně: ( l ) a Pd dep tj t + t bk = mn 1, occ t kde j je následující a l předchozí vlak, k = r j = r l. ( ) ( ) Další krtérum (označované jako C ) se věnuje specfcké stuac, kdy má jeden nebo více přípojných vlaků čekat na zpožděný přjíždějící vlak. Je samozřejmě vhodné přstavt zpožděný vlak ke stejnému nástupšt, u něhož stojí jeden z přípojných vlaků j, aby se mnmalzoval čas potřebný k uskutečnění přestupů cestujících. Koefcent c k může nabývat dvou hodnot: () () ( ) a arr Pd Cn Pd w 1 pro t + t tj t, tj + tj, U, j X Z, k = s j ck = (9) 0 jnak Poslední krtérum D odráží další techncké a technologcké přednost vyplývající z přřazení koleje k vlaku. Hodnota krtéra pro kolej pravdelně přdělovanou vlaku je 1 (d k = 1 pro k = r()). Na druhé straně krterální hodnota každé z kolejí nevhodné pro přřazení vlaku je 0 (d k = 0 pro k K()). Ohodnocení ostatních kolejí nabývají hodnot z ntervalu (0,1, přčemž jsou určovány na základě expertních znalostí stančního provozu. Příslušná hodnota krtéra může odrážet například: vzdálenost uvažované koleje k od nástupštní koleje pravdelně přdělované vlaku (tato vzdálenost ovlvňuje doby přestupů cestujících), vlakovou cestu kolejovým zhlavím, která může negatvně ovlvňovat pohyby ostatních vlaků, jejchž cesty potřebují využívat stejnou část zhlaví. (8) 106

11 Výsledný model optmálního operatvního plánování (resp. řízení) provozu v osobní železnční stanc je multkrterálním modelem smíšeného celočíselného lneárního programování. Formulace modelu je následující: Mnmalzujte Pd a ( v t ) pk xk + ( u t ) (10) X Y Z U k K U za podmínek: () u u t U (11) a t x V k k occ j j j, k K( t start, ) (12) u u + t z My, j U, j (13) ( 1 ) u v + t My M z Z, j U, j (14) dep j j j yj + yj = 1, j U, j (15) y j = 1, j U, j, q( ) = q( j), t a a < tj (16) xk = 1 U (17) () k K zj xk + xjk 1, j U, < j, k K( ) K( j) (18) z j = z j, j U, < j (19) v u + t + t Y Z (20) v arr soj t X (21) Pd arr Cn Mx v js uj t t () j U, X ( j) Z( j) arr M (1 x ) v u t t Cs + js j j + + j U, X ( j) Z( j) ( ) arr Cn v uj t t (22) (23) + + j U, X 0 ( j) Z 0 ( j) (24) u 0 U (25) v 0 X Y Z (26) k { 0,1} x U { }, k K( ) (27) y, z 0,1, j U, j (28) j j Účelová funkce (10) je sumou tří krtérí. První krtérum představuje zpoždění vlaků (tranztních a přípojných) na odjezdu ze stance. Druhé krtérum vyjadřuje míru vhodnost přřazení nástupštních kolejí přjíždějícím vlakům. Míra vhodnost má být maxmální, a proto je příslušná suma opatřena mínusovým znaménkem (je totž součástí mnmalzované účelové funkce). Poslední krtérum odráží celkové zpoždění všech přjíždějících vlaků u vjezdového návěstdla. Omezující podmínky (11) a (12) stanovují dolní ohrančení časů odjezdů vlaků od vjezdového návěstdla. Podmínka (11) uplatněná na vlak vyjadřuje skutečnost, že čas 107

12 odjezdu vlaku od vjezdového návěstdla nemůže být menší než jeho čas příjezdu k návěstdlu. Podmínka (12) říká, že je-l vlaku přřazena kolej k, pak musí být respektováno její (ncalzační) obsazení na počátku plánovacího období tj. vlak může odjet k nástupštní kolej k až po té, když je uvolněna. Podmínka (13) představuje omezení vzhledem k přípustným časovým ntervalům mez jízdam vlaků. Pro každou dvojc vlaků a j tato podmínka vyjadřuje, že pokud odjíždí vlak před vlakem j (tj. y j = 1 a y j = 0) a jestlže je vlaku a j přřazena stejná nástupštní kolej (z j = 1), pak vlak j může odjet až vlak tuto kolej uvolní. Má-l vlak odjíždět až po vlaku j (y j = 0 a y j = 1), pak se tato podmínka stává bezpředmětnou, protože pravá strana nerovnost má vždy zápornou hodnotu (M je vhodně zvolené velké kladné číslo). Jestlže vlaky odjíždějí od vjezdového návěstdla v pořadí, j (tj. y j = 1 a y j = 0) na stejnou kolej (z j = 1) a vlak je přípojný, může se jeho doba odjezdu prodloužt čekáním na zpožděné přjíždějící vlaky. Tato skutečnost je vyjádřena v podmínce (14). Podmínky (15) a (16) defnují přípustné hodnoty proměnných y j. Podmínka (15) říká, že buď y j nebo y j musí nabývat hodnotu 1. Podmínka (16) stanovuje, že y j musí být rovno 1, jestlže vlak přjíždí ke vjezdovému návěstdlu před vlakem j a zároveň oba vlaky přjíždějí do stance po stejné vjezdové kolej. Podmínka (17) zabezpečuje, že každému vlaku je přřazena právě jedna nástupštní kolej. Následující omezující podmínky (18) a (19) defnují hodnoty proměnných z j, které ční 1, jestlže je vlakům a j přřazena stejná kolej, v opačném případě nabývají tyto proměnné hodnotu 0. Nabývají-l x k a x jk hodnot 0, pak podmínka (18) stanovuje, že z j musí být větší nebo rovna 1. Avšak z defnčního oboru této nula-jednčkové proměnné lze vyvodt, že v tomto případě bude hodnota z j rovna 1. Pro všechny ostatní kombnace hodnot proměnných x k a x jk tato podmínka umožňuje, aby z j nabylo hodnoty 0 nebo 1. Jelkož však proces optmalzace provádí mnmalzac zpoždění, snaží se mnmalzovat odchylky od plánovaných časů odjezdů vlaků. Časy odjezdů u a u j jsou spojeny s proměnnou z j v podmínce (13). S cílem mnmalzovat u j, nterval mez jízdy vlaků (tj. pravá strana nerovnost v podmínce (13)) by měl nabývat nejmenší možnou hodnotu. Je zřejmé, že nžší hodnota může být dosažena, jestlže jsou vlakům a j přděleny odlšné nástupštní koleje, než kdyby jm byla přřazena stejná kolej. Proto z možností z j = 0 a z j = 1 je optmalzačním mechansmem vybrána hodnota 0. Podmínky (20) (24) defnují skutečné časy odjezdů vlaků. Podmínka (20) je kopí vztahu (2) pro tranztní přípojné vlaky. Pro tranztní vlaky, které nejsou přípojné, bude tato podmínka splněna jako rovnost, což zajstí optmalzační algortmus mnmalzující odchylky Pd skutečných a plánovaných časů odjezdů v t. Podmínky (21) (24) představují lneární formy maxmalzačních funkcí (3) a (4). Skutečný čas odjezdu přípojného vlaku buď odpovídá plánovanému času odjezdu (podmínka (21)) anebo je skutečný čas příjezdu vlaku j navýšen o dobu potřebnou na přestupy. Která z dob potřebných na přestup (normální nebo zkrácená) bude aplkována, záleží na kolej, ke které vlak j přjede. Přjede-l vlak j ke stejnému nástupšt, u něhož stojí vlak (x js() = 1), pak lze využít zkrácený čas na přestupy. Tento případ je vyjádřen podmínkou (23), protože její levá strana nabude hodnoty v. 108

13 Současně se stane podmínka (22) bezpředmětnou z důvodu vysoké hodnoty na levé straně nerovnost, která je určtě větší než hodnota její pravé strany. Naprot tomu, přjede-l vlak j k jnému nástupšt (x js() = 0), pak je podmínka (22) uplatněna a bezpředmětným se stává omezení z podmínky (23). Neexstuje-l sousední (párová) kolej ke kolej obsazené vlakem, musí vlak j přjet k jnému nástupšt a cestující potřebují normální dobu na přestupy. Tato stuace je zahrnuta v podmínce (24). Zbylé oblgatorní podmínky (25) (28) specfkují defnční obory příslušných proměnných modelu. 4. PŘÍPADOVÁ STUDIE A EXPERIMENTY Představený model byl mplementován pro reále (nfrastrukturu kolejště, platný jízdní řád a plán obsazení kolej) osobní železnční stance Praha hl.n. z období 2004/2005. Praha hl.n. představuje poměrně rozsáhlou stanc, která v období grafkonu 2004/2005 dsponovala 7 nástupšt, 17 nástupštním kolejem a 4 vjezdovým/odjezdovým kolejem. Ve zmíněném období stance obsluhovala 376 pravdelných osobních vlaků denně. Model byl verfkován za použtí provozních dat z ranní dopravní špčky (od 5:00 hod. do 10:00 hod.). Podle předpsu Českých drah představovala normální doba potřebná na přestupy cestujících (t Cn ) 8 mnut a zkrácená doba (t Cs ) 4 mnuty. Předps rovněž předepsoval čekací doby přípojných vlaků. Další technologcké časy (konstanty/normatvy) byly defnovány následovně: maxmální doba, za kterou má být uvolněna kolej (doba výhledu) t ahd = 15 mnut, doba jízdy vlaku od vjezdového návěstdla k nástupšt (t arr ), jakož doba potřebná k uskutečnění odjezdu vlaku od nástupště (t dep ) čnla 2 mnuty pro každý vlak. V souladu s výsledky prací [3] a [4] byly váhy w A, w B, w C, w D jednotlvých krtérí (vzhledem k přdělování nástupštních kolejí) postupně nastaveny na hodnoty 0,4431, 0,4431, 0,0853, a 0,0284. V realzovaných expermentech bylo zvoleno plánovací období v délce 2 hodn. Postupným dopředným posunováním tohoto časového horzontu v rámc ranní špčky bylo prověřeno 7 navazujících plánovacích období. Pro každé z těchto období je defnována množna přjíždějících a množna tranztních a přípojných vlaků (tabulka 1), přčemž pro takto defnované vstupy je nutné uskutečnt operatvní plánování provozu stance. Počty vlaků přjíždějících v daném plánovacím období odpovídají počtu spojtých proměnných u (odjezd vlaku od vjezdového návěstdla k nástupšt). Počty tranztních a přípojných vlaků určují počet spojtých proměnných v (skutečný čas odjezdu vlaku ). Počet přjíždějících vlaků a počet nástupštních kolejí určuje počet nula-jednčkových (bvalentních) proměnných, který je zásadním faktorem ovlvňujícím výpočetní složtost problému řešeného smíšeným celočíselným programováním. 109

14 Tab. 1 - Charakterstka plánovacích období Počet Plánovací přjíždějících tranztních a bvalentních omezujících období vlaků přípojných vlaků proměnných podmínek 5:00 7: :30 7: :00 8: :30 8: :00 9: :30 9: :00 10: Zdroj: Autoř Tab. 2 - Vybrané výsledky expermentů podle scénáře 1 pro plánovací období 6:30 8:30 Zpoždění vlaku R424 [mn] Počet odlšných přřazení nástupštních kolejí Zpoždění přípojného vlaku R852 [mn] Zdroj: Autoř Pro případ každého plánovacího období byly zkoumány dva scénáře, které se odlšovaly počtem zpožděných vlaků. Ve scénář 1 byl zpožděn pouze jeden vlak, přčemž byla vyšetřována zpoždění v rozsahu 0 až 60 mnut s krokem 5 mnut. Zpožděným vlakem byl vždy dálkový vlak. Ve scénář 2 byly uvažovány vždy dva vybrané zpožděné vlaky, přčemž délka zpoždění každého z nch čnla 25 mnut. Tyto vlaky přjížděly do stance v přblžně stejném čase z různých směrů, což mohlo potencálně způsobovat vážnější problémy týkající se jednak přdělování nástupštních kolejí a jednak přípojných vlaků. V každém z expermentů bylo vyšetřováno přdělování nástupštních kolejí, zpoždění přjíždějících vlaků u vjezdového návěstdla a zpoždění vlaků na odjezdu ze stance. Provedené expermenty potvrdly předpoklad, že kapacta kolejové nfrastruktury zkoumané stance je dostatečná, jelkož žádný vlak nemusel stát u vjezdového návěstdla (čímž by se navyšovalo jeho zpoždění). 110

15 V tabulce 2 jsou demonstrovány výsledky expermentů prováděných podle scénáře 1 pro plánovací období 6:30 8:30. Pro tento případ byl jako zpožděný vybrán vlak R424 končící ve stanc Praha hl.n. (s pravdelným příjezdem v 6:57). Tabulka 2 uvádí všechna prošetřovaná zpoždění zmíněného vlaku, a pro každé z nch další dva vybrané provozní ukazatele. Prvním ukazatelem je počet vlaků, kterým byla přřazena odlšná nástupštní kolej (z důvodu zpoždění vlaku R424) než je uvedena v příslušném plánu. Druhý ukazatel vyjadřuje délku zpoždění přípojného vlaku R852 na odjezdu ze stance (pravdelný odjezd vlaku R852 je 7:20). Tab. 3 - Vybrané výsledky expermentů podle scénáře 2 pro všechna plánovací období Plánovací období 5:00 7:00 5:30 7:30 6:00 8:00 6:30 8:30 7:00 9:00 7:30 9:30 8:00 10:00 Vlak 1, typ, pravdelný příjezd 422, konč., 5:24 374, konč., 5:37 252, konč., 6:33 424, konč., 6:57 200, konč., 7:25 610, tranz., 7:33 752, tranz., 8:57 Vlak 2, typ, pravdelný příjezd 1651, konč., 5: , konč., 5: , konč., 6:40 631, tranz., 6: , konč., 7: , konč., 7:33 876, tranz., 8:59 Počet odlšných přřazení nástupštních kolejí Celková doba zpoždění vlaků na odjezdu [mn] Zdroj: Autoř Analýza výsledků expermentů podle scénáře 1 ukazuje, že několka vlakům byly přděleny jné nástupštní koleje, než určuje plán obsazení kolejí (a to dokonce v případě, že všechny vlaky jely na čas). Příčnou je skutečnost, že krtérum B převáží krtérum D př výpočtu koefcentu vhodnost (p k ) přdělení koleje k vlaku (tj. w B > w D ). Exstuje-l tedy kolej k, která je do příjezdu následujícího vlaku volná delší dobu než kolej plánovaná, pak model upřednostní pro přdělení kolej k před kolejí, jež byla původně danému vlaku jedoucímu na čas určena. Uvedený případ však nepředstavuje vážnější problém, jelkož tato nevynucená odlšná přřazení (vzhledem k plánu) představují pouze 5% všech přřazení. Je-l navíc využtí modelu uvažováno jako podpora rozhodovacího procesu dspečera, může tento příslušné navržené řešení podle svých zkušeností korgovat. Tabulka 3 obsahuje vybrané výsledky expermentů realzovaných podle scénáře 2 pro všechna zkoumaná plánovací období. Pro každé z plánovacích období jsou uvedeny dva vybrané zpožděné vlaky včetně jejch typu (tranztní nebo končící) a pravdelného příjezdu. Rovněž jsou prezentovány počty přřazení nástupštních kolejí, které se lší od údajů v plánu 111

16 obsazení kolejí. Posledním prezentovaným typem výsledku je celková doba zpoždění tranztních a přípojných vlaků na odjezdu ze stance. Matematcký model byl mplementován v rámc obecného softwarového optmalzačního nástroje Xpress-MP. Expermenty byly prováděny na osobním počítač vybaveném procesorem Intel Core (2,66 GHz) a dsponujícím 3 GB pamět RAM. Doba řešení jednoho problému (tj. optmálního operatvního plánování pro jedno plánovací období) byla nejvýše 0,41 sekundy pro scénář 1 a 0,58 sekundy pro scénář ZÁVĚR A PERSPEKTIVY DALŠÍHO VÝVOJE Byl představen návrh a ověření modelu matematckého programování zaměřeného na optmální řešení problémů spojených s operatvním plánováním provozu v komplexních osobních železnčních stancích. Vstupy do modelu obsahují narušení platného jízdního řádu, tj. některé z přjíždějících vlaků jsou zpožděny. Výstupy z modelu určují jednak přdělování nástupštních kolejí přjíždějícím vlakům, dále časy odjezdů přjíždějících vlaků od vjezdového návěstdla směrem k nástupšt, a konečně upravené času odjezdů (vzhledem k platnému jízdnímu řádu) tranztních a přípojných vlaků ze stance. Řešení (provozních problémů) navržená modelem sledují dva základní cíle: mnmalzovat odchylky od platného jízdního řádu a mnmalzovat obtíže vznkající cestujícím v důsledku výskytů zpoždění. Zmíněný model lze klasfkovat jako model multkrterálního smíšeného matematckého programování. Přínosy prezentovaného přístupu uplatňujícího příslušný matematcký model jsou následující: byla namodelována mplctní pravdla používaná dspečery pro rozhodování ohledně přdělování nástupštních kolejí vlakům, byly zohledněny praktcké provozní omezující podmínky spojené s přípojným vlaky jedná se zejména o ohrančení čekacích dob přípojných vlaků a o uplatňování odlšných dob potřebných na přestupy cestujících v závslost od vzdálenost mez příslušným nástupšt. Váhy jednotlvých krtérí uplatněných v účelové funkc jsou stejné, tj. zpoždění vlaků u vjezdového návěstdla, zpoždění vlaků na odjezdu ze stance a vhodnost přdělení nástupštní koleje mají stejnou důležtost. Váhy nejsou ncméně modelovány explctně, an nejsou jednotlvé členy účelové funkce normalzovány. Tento přístup je korektní, neboť hodnoty jednotlvých členů jsou stejného řádu (v desítkách příslušných jednotek), a proto žádný z členů nepřevažuje ty ostatní. Model může být v budoucnu vylepšován v souvslost se zahrnutým přípojným vlaky. Současný přístup nerozlšuje mez kategorem vlaků. Dálkové přípojné vlaky mají stejnou důležtost (prortu) jako vlaky regonální. Důsledkem toho lze uplatňovat zkrácené doby pro přestupy pro lbovolný čekající přípojný vlak bez ohledu na jeho kategor. Pro odstranění tohoto nedostatku by bylo možné rozdělt druhý člen účelové funkce (zaměřený na zpoždění přípojných vlaků) na dvě vážené část. Část vyjadřující zpoždění dálkových přípojných vlaků by byla spojena s vyšší důležtostí (váhou) než část zahrnující zpoždění vlaků regonálních. 112

17 Model založený na matematckém programování byl mplementován v prostředí softwarového nástroje Xpress-MP. Modelovací jazyk (Mosel), který je k dspozc v uvedeném nástroj, je plně funkčním programovacím jazykem podporujícím dynamckou alokac pamět pro proměnné, podmíněné generování omezujících podmínek a analýzu řešení v textovém grafckém tvaru. Jeho prostřednctvím je poměrně snadné modelovat komplkované omezující podmínky, jako je například podmínka (21). Další výhodou tohoto profesonálního optmalzačního softwaru je, že využívá velm efektvní algortmy pro provádění rychlých a přesných výpočtů řešících zadané problémy. To je důvod, proč doby výpočtů výše uvedených expermentů byly tak příznvé. Na druhé straně je třeba zmínt, že použté profesonální programové vybavení není levnou záležtostí. Proto je perspektvně plánováno testování relevantních open-source softwarových produktů, aby se zjstlo, zda dosahují porovnatelnou efektvtu a schopnost nástroje Xpress-MP. Prezentované přístupy jsou velm nadějné pro jejch aplkac v smulačních modelech stančního provozu, které nacházejí uplatnění na úrovn strategckého a taktckého plánování. Představený matematcký model má navíc potencál využtí jako podpora rozhodování př operatvním řízení reálného provozu rozsáhlých osobních železnčních stanc. POUŽITÁ LITERATURA [1] ADAMKO, N., KLIMA, V. Optmsaton of ralway termnal desgn and operatons usng Vllon generc smulaton model. Transport : Journal of Vlnus Gedmnas Techncal Unversty and Lthuanan Academy of Scences, 2008, 23(4), s [2] ADAMKO, N., MÁRTON, P. Vllon a tool for smulaton of operaton of transportaton termnals. Communcatons Scentfc Letters of the Unversty of Žlna, 2008, 10(2), s [3] BAŽANT, M. Platform track assgnment for delayed tran usng mathematcal methods related to multple crtera evaluaton. Proc. of the 16 th nternatonal symposum ŽEL 2008, Žlna : Unversty of Žlna, 2008, s [4] BAŽANT, Mchael. Řešení vybraných provozních problému osobní železnční stance v rámc smulačního modelu. Pardubce, s. Unverzta Pardubce. [5] BAŽANT, Mchael, KAVIČKA, Antonín. Artfcal neural network as a support of platform track assgnment wthn smulaton models reflectng passenger ralway statons. Journal of Ral and Rapd Transt. 2009, vol. 223, no. 5, s [6] BILLIONNET, A. Usng nteger programmng to solve the tran-platformng problem. Transportaton Scence, 2003, 37 (2), s [7] CAPRARA, A., MONACI, M., TOTH, P., GUIDA, P.L. A Lagrangan heurstc algorthm for a real-world tran tmetablng problem. Dscrete Appled Mathematcs, 2006, 154(5), s [8] CAREY, M. and CARVILLE, S. Schedulng and platformng trans at busy complex statons. Transportaton Research Part A: Polcy and Practce, 2003, 37 (3), s [9] CHAKROBORTY, P., VIKRAM, D. Optmum assgnment of trans to platforms under partal schedule complance. Transportaton Research Part B: Methodologcal, 2008, 42(2), s [10] CORMAN, F., D ARIANO, A., PRANZO, M., HANSEN, I.A. Effectveness of dynamc reorderng and reroutng of trans n a complcated and densely occuped 113

18 staton area. 3 rd Internatonal Semnar on Ralway Operatons Modellng and Analyss, Zürch, [11] FIALA, P., JABLONSKÝ, F., MAŇAS M. Vícekrterální rozhodování. Praha : Vysoká škola ekonomcká v Praze, str. ISBN [12] MÁRTON, P. Smulaton support of ralway staton nfrastructure desgn. Proc. of the 6 th conference of European students of traffc and transportaton scences Transport modal splt as economc ndcator, June 2008, Žlna : Unversty of Žlna, s [13] TÖRNQUIST, J., PERSSON, J.A. N-tracked ralway traffc re-schedulng durng dsturbances. Transportaton Research Part B: Methodologcal, 2007, 41(3), s [14] ZWANEVELD, P.J., KROON, L.G., Van HOESEL, S.P.M. Routng trans through a ralway staton based on a node packng model. European Journal of Operatonal Research, 2001, 128(1), s Tento příspěvek vznkl za podpory výzkumného záměru MSM Teore dopravních systémů. Recenzent: prof. Ing. Jaroslav Janáček, CSc. Žlnská unverzta, FRI, Katedra dopravných setí doc. Ing. Pavel Drdla, Ph.D. Unverzta Pardubce, DFJP, Katedra technologe a řízení dopravy 114