SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU

Transkript

1 Roč. 70 (2014) Číslo 4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor P1 SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU Ing. Zdeněk Bolek, Ph.D. Ústav mkroelektronky; Faklta elektrotechnky a komnkačních technologí, VUT Brno, zdenek.bolek@gmal.com Abstrakt Díky objev prvk zvaného HP memrstor v kalfornských laboratořích frmy Hewlett Packard v roce 2008 byl znov oprášen starý koncept paměťových prvků typ memkapactor a memndktor z 80. let mnlého století. Cílem článk je kázat společné rysy memrstor, memkapactor a memndktor, pokázat na projevy paměťového chování napříč různým fyzkálním platformam a poskytnot nsprac pro další stdm prostřednctvím počítačových modelů. Klíčová slova: Memrstor, memkapactor, memndktor, konsttční relace, modelování Abstract Wth the dscovery of the element called "HP memrstor" n Calforna laboratores of Hewlett Packard n 2008, the old concept of memory elements called memcapactor and memndctor from the eghtes of last centry has been restored. Ths artcle ams to show common featres of memrstor, memcapactor and memndctor, to pont ot the sgns of memory behavor across assorted physcal platforms, and to provde nspraton for frther stdy va compter models. Keywords: Memrstor, memcapactor, memndctor, constttve relaton, modelng 1 Úvod Objev memrstor v pevné fáz, k němž došlo v laboratořích Hewlett Packard v kalfornském Palo Alt v průběh rok 2008, vyvolal značno vln zájm o problematk tzv. memprvků, což jso paměťové varanty RLC prvků klascké elektrotechnky. Hledají se další dva chybějící prvky, memkapactor a memndktor, a to hlavně v oblast nanosvěta, často napříč různým fyzkálním platformam. Přes značno různorodost fyzkálních prncpů dosd objevených sočástek s paměťovým chováním mají všechny tyto prvky společný základ, který se projevje mmo oblast nanometrckých rozměrů. Jedno z pblkací, která na tento fakt pozorňje, je rozsáhlá přehledová práce [1]. Ukazje se, že nejrůznější paměťové prncpy zajímají svá místa v objektvně exstjící herarch [2], a to bez ohled na fyzkální rámec, v němž je paměťový efekt realzován. Integrál jako matematcký operátor, který přrozeně vyjadřje proces záps nformace do žvé nežvé hmoty, je zároveň vstpenko do vyššího patra této herarche. Hlavním cílem následjícího pojednání je poskytnot úvod do stda společných prncpů, na kterých jso založeny memrstor, memkapactor a memndktor. Je kázáno, že projevy typcké pro tyto paměťové prvky lze nalézt v oblastech mmo elektrotechnk. Je pokázáno na modely, které možňjí efektvní stdm chování těchto systémů formo počítačových smlací. 2 Herarche paměťových prvků V roce 2008 bylo v [3] veřejněno schéma, které představovalo vztah mez základním pasvním prvky elektrotechnky. Jeho pravená podoba je na levé straně obr. 1. Mez napětím, prodem a jejch časovým ntegrály - tokem a nábojem - exstjí tř známé vazby: Ohmův zákon pro rezstor =R, vztah =L pro ndktor a relace =C pro kapactor. Na obr. 1 dosd není nakreslen prvek, který by Obr. 1. Herarche tří pasvních prvků elektrotechnky a mechanky. vyjadřoval relac mez tokem a nábojem. V roce 1971 odvodl vlastnost tohoto čtvrtého chybějícího prvk Leon Cha [4] a nazval jej memrstorem. Objev HP memrstor rok 2008 pak vyvolal mohtno vln zájm o fndamentální otázk základních pasvních prvků. Kapactor C a ndktor L jso (na rozdíl od rezstor R) po práv vnímány jako paměťové prvky; z obr. 1 je patrné, proč tom tak je. Na skladování nformace v LC prvcích je možno pohlížet jako na skladování energe, ale také jako na skladování elektrckého náboje, případně magnetckého tok. Náboj tok se přrozeně nabízejí pro skladování nformace, neboť jso ntegrálním velčnam. Odezní-l zápsová velčna, ktero je prod (napětí), skladněný náboj (tok) zůstává na poslední hodnotě a deální ndktor (kapactor) se chová jako nevolatlní paměť. Kapactor střádá náboj (t) postpno ntegrací protékajícího prod (t). Když prod přestane protékat např. kvůl odpojení od zdroje energe, náboj se přestane měnt a zůstane na posledně ložené hodnotě. Pro chování náboje je ovšem ntné zamezt jeho únk, tj. svorky kapactor msí po končení záps zůstat rozpojené. Každý reálný kapactor má však svod, který způsobje samovolné vybíjení. Pamět DRAM, které skladjí elektrcký náboj, proto msí být vybaveny přídavným obvody pro vykompenzování tohoto nežádocího jev. p F v

2 P2 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor Roč. 70 (2014) Číslo 4 Mechancké paměťové prvky jso představeny v pravé část obr. 1. Mechancko obdobo rezstor může být tlmč, který zavádí pevno vazb mez působící síl F a rychlost pohyb v. Mechancko obdobo kapactor může být pržna, resp. vzorek pržného materál např. v mkromechanckém systém. Mechanckým ekvvalentem elektrcké kapacty je poddajnost, která zajšťje relac mez vnější slo F a protažením materál. V ndktor se střádá magnetcký tok (t) ntegrací svorkového napětí (t). Aby zůstal magnetcký tok zachován po končení záps, je ntno zajstt na svorkách ndktor nlové napětí, což znamená provést mez svorkam dokonalý zkrat. Každý reálný ndktor má ovšem nenlový odpor, který způsobí postpné tlmení prod. Uskladnt energ ve formě magnetckého tok lze v spravodvých cívkách, kterých lze zajstt bezeztrátové kolování prod. Mechancko analogí ndktor je podle pravé část obr. 1 pohybjící se hmota. Obdobo elektrcké ndkčnost je hmotnost M, která zajšťje vazb mez okamžto rychlostí v a hybností p pohybjící se hmoty. Mechancko analogí spravodvé zkratované cívky je dealzovaný případ rovnoměrného pohyb hmoty. Reálným příkladem je např. pohyb objektů slneční sostavy, který byl kdys vzorem pro sestavení prvního stroje pro záznam hstore prod čas nebol hodnového stroje jako důmyslné analogové pamět. Pokd jde o techncké aplkace, mechancké paměťové prvky nacházíme v moderních systémech MEMS (Mcro-Electro- Mechancal Systems). 3 Konsttční relace V letech 1980 až 1984 byly pblkovány zásadní články [5] [7], v nchž se ator Leon O. Cha věnoval zásadám správného modelování složtých nelneárních systémů. Když se pozděj kázalo, že tyto práce poskytjí klíč k řešení potíží, které vznkají s matematckým popsem nanosočástek, Cha aktalzoval toto téma v sohrnné prác [2]. Základní myšlenka správného modelování je následjící: lze-l jednoznačně defnovat hrance systém, které jej odděljí od jeho okolí, pak správný model systém nemůže závset na tomto okolí. Jným slovy - všechny nformace, ntné k predkc chování systém př působení lbovolných vlvů okolí, msí být obsaženy vntř model. V techncké prax se často setkáváme s modely, které sce nejso správné, avšak plně postačjí k pops realty za předpoklad, že se okolí chová v rámc předem daných omezení. Př obvodových analýzách například běžně požíváme modely RLC prvků, vedocí k výpočtům svorkových mpedancí a ke konstrkcím náhradních modelů, sestávajících z rezstorů a reaktančních prvků s kmtočtově závslým odpory, ndkčnostm č kapactam. Tyto malosgnálové modely mají svo cen př analýze obvodů v harmonckých stálených stavech, avšak nemoho být vyžty k výpočtům odezev na sgnály lbovolných časových průběhů a ž vůbec neposthjí velkosgnálové nelneární chování obvod. To je poze jeden z příkladů, kdy model závsí na okolí, konkrétně na způsob vnějšího bzení. Správný model systém lze složt poze ze správných modelů jeho komponent. Pro jednodchost se omezíme na komponenty typ elektrcký dvojpól. Správným modelem dvojpól je jeho tzv. konsttční relace (KR). Cha kazje, že KR klasckých sočástek typ R, L a C jso právě ty jejch charakterstky, které se běžně požívají: ampérvoltová pro rezstor, weber-ampérová pro ndktor, a colomb-voltová pro kapactor. Každá KR je výhradní vlastností prvk a jeho okolí j nemůže njak změnt. Uvažjme případ kapactor C, který je sočástí obvod bzeného velm složtým sgnálem (podrobnost k tomto příklad v kaptole Smlace). Na obr. 2 jso vedeny výsledky smlace pro napětí, prod, náboj a tok na kapactor C, tj. pro všechny čtyř velčny z herarche naznačené na obr. 1. Obr. 2. Napětí, prod, náboj a tok na kapactor C jako odezvy na adosgnál. Na obrázk je zachyceno poze prvních 100 ms. Podle zásad správného modelování by měl kapactor svazovat obvodové velčny relací, která je typcká pro kapactor a nezávsí na vnějším bzení, nýbrž poze na vlastnostech tohoto kapactor. To znamená, že zpětno analýzo časových průběhů z obr. 2 bychom měl přjít nejen na to, že sočástka, na které jso velčny změřeny, je kapactor; z těchto křvek bychom dokonce měl být schopn zjstt jeho fndamentální charakterstk - konsttční relac. Na první pohled je nemožné vyzkomat přesno zákontost, která panje mez časovým průběhy z obr. 2. Případná korelace by se však objevla graf, který by měl na osách místěny právě ty dvě velčny, mez které prvek vnáší vazb. Přestože víme, že v případě kapactor by měly být těmto velčnam napětí a náboj, nezdá se na první pohled, že by mez oběma křvkam exstovala těsnější korelace. Pro ověření domněnky s vezmeme na pomoc následjící experment.

3 Slaboprodý obzor Roč. 70 (2014) Číslo 4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor P3 Na obr. 3 jso vyobrazeny všechny kombnace vzájemných relací mez velčnam z obr. 2, tj. napětím, prodem, tokem (tj. časovým ntegrálem z napětí nezaměňovat s magnetckým tokem) a nábojem kapactor. Oprot obr. 2, na kterém je zachyceno poze prvních 100 ms bzení, kazje obr. 3 odezvy na kompletní adosgnál o délce 620 ms. Jak napovídá požtá symbolka, na vodorovných osách grafů jso vyneseny prod a náboj a na svslých osách jso tok a napětí. Na první pohled je vdět, že velčnam, mez které vnáší kapactor jednoznačno vazb, jso napětí a náboj. Konsttční relací pro kapactor je tedy jeho volt-colombová charakterstka, které se pracovní bod vytrvale drží a opakovaně po ní ptje bez ohled na složtost vnějšího bzení. Vyjadřje neměnno vlastnost prvk; zbytek obvod se přzpůsobje prvk tak, aby možnl platnost KR. Podle obr. 3 je kapactor slně nelneární, neboť jeho KR je nelneární fnkcí. Nelnearta prvk se dá vyjádřt jako závslost domnantního parametr (v tomto případě kapacty) na některé z konsttčních proměnných (v tomto případě na napětí nebo náboj). KR je lneární poze tehdy, je-l domnantní parametr prvk nezávslý na konsttčních proměnných. Je-l KR (ne)lneární fnkcí, pak je prvek také (ne)lneární. Konsttční relací pro rezstor je volt-ampérová charakterstka. Konsttční relací pro ndktor je weber-ampérová charakterstka. Z mnlé kázky lze odvodt, že zvolíme-l pro charakterzac rezstor jno sořadno sostav než napětí a prod, pro charakterzac kapactor jno sostav než napětí a náboj, a pro ndktor jno sostav než tok a prod, pak př bzení prvk sgnálem obecného časového průběh (například hdebního sgnál) získáme změť zdánlvě chaotcky vykreslovaných křvek, které daný prvek jednoznačně necharakterzjí. Získání KR prvk je tedy věcí správné volby dvojce svorkových velčn, resp. věcí správné volby ndexů α a β. 4 Memrstor, memkapactor a memndktor V roce 1971 byl axomatcky zaveden další obvodový prvek, memrstor [4], který svazje jednoznačno relací náboj a tok. Memrstor je tedy prvkem typ (-1, -1). V průběh 80. let 20. století pblkoval Leon Cha myšlenk, že všechny základní prvky elektrotechnky včetně rezstor, kapactor, ndktor a memrstor lze spořádat do tablky [2], která je obdobo chemcké Mendělejevovy perodcké sostavy prvků [8]. V roce 2008 prezentje L. Cha na konferenc [9] dva další prvky z perodcké tablky, které vykazjí slbné paměťové vlastnost. Je to prvek (-1, -2) zvaný memkapactor a prvek (-2, -1) nebol memndktor. Leon Cha vyzývá přítomné zástpce frmy Hewlett-Packard, aby zahájl výzkm pro jejch vyžívání v pamětech pro počítačový průmysl. Všechny tř mem-prvky je možno grafcky znázornt schématem v levé část obr. 4, které představje rozšíření základny klasckých prvků R, L, C o nadstavb jejch paměťových varant. Podrobnost je možno nalézt v [10]. p Obr. 3. Vzájemné relace napětí, prod, náboje a tok na kapactor př bzení adosgnálem. Reakce na bzení o délce 620 ms. Zcela obecně platí, že dvojpól svazje mez sebo vždy dvě obvodové velčny relací typ f( (α), (β) ) = 0, kde velčny (α) a (β) jso odvozeny od svorkového napětí a prod. Celočíselné ndexy α a β dávají řád dervace (pro kladný ndex), resp. ntegrace (záporný ndex) podle čas. Například napětí s ndexem (-1) dává časový ntegrál napětí, ndex (-2) znamená ntegrál z ntegrál, ndex (+1) první dervac podle čas, atd. Tímto způsobem je do konsttčních relací prvků R, L a C zaveden logcký řád: rezstor je specálním případem prvk typ (α, β) = (0, 0). Kapactor je prvek typ (0, -1), protože jeho KR je vztahem mez napětím (α = 0) a nábojem, který je časovým ntegrálem prod (β = -1). Podobně ndktor je prvkem typ (-1, 0), neboť jeho KR je vztahem mez tokem, tj. časovým ntegrálem napětí, a prodem. Obr. 4. Paměťové varanty RLC prvků elektrotechnky a mechanky. Pravá část obr. 4 představje mechancké ekvvalenty klasckých RLC prvků a jejch paměťových varant. Jž v roce 1972 vysvětll Oster a Aslander [11], že mechanckým memrstorem je každý tlmč, jehož odpor je závslý na poloze píst. Zatímco mez působící slo a okamžto rychlostí píst je možno sledovat typcko hysterez, vztah mez ntegrálem síly (hybností p) a ntegrálem rychlost (poloho ) je jednoznačno závslostí nebol konsttční relací. F v

4 Slaboprodý obzor P4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor Roč. 70 (2014) Číslo 4 Tab. 1. Shodné znaky paměťových prncpů memrstor, memkapactor a memndktor. Memrstor Memkapactor Memndktor Poznámka R() D() Λ() prvky řízené tokem (flow) Ψ tok nosčů náboje Ψ = = dt delektrcký tok = dt magnetcký tok G() C() L() prvky řízené napětím (effort) R C L R napětí prodového pole C napětí elektrostatckého pole L magnetcké napětí Mechancko analogí memndktor je např. oblíbená hračka jojo. Př vertkálním pohyb se mění hmotnost joja díky hmotnost navíjené nebo odvíjené nt. Hmotnost joja, která je mechanckým ekvvalentem elektrcké ndkčnost, tedy závsí na jeho úhlovém natočení nebol poloze, která je ntegrálem proměnlvé rychlost otáčení v. Je to podobné jako memndktor, jehož ndkčnost je závslá na hstor prod. Jno mechancko analog memndktor je možno nalézt v [12]. Mechanckým memkapactorem by mohla být pržna vyrobená z paměťového materál, který mění svo poddajnost (obdoba elektrcké kapacty) v závslost na úslí p (ntegrál síly F), které je vkládáno do jeho deformace. Je pozorhodné, že všechny tř paměťové prvky memrstor, memkapactor memndktor mají z hledska stavového pops jednotno vntřní strktr, jak je patrné z tab. 1. Okamžtá hodnota domnantního parametr prvk (odpor, kapacta nebo ndkčnost) je odvozena od okamžtého stav pamět. Paměť je vždy realzována čsto jednostpňovo ntegrací fyzkální velčny, která je pro daný typ prvk natvní. Oba řádky tablky představjí vzájemně dální vyjádření konsttčních relací všech tří paměťových prvků. Memrstor se jako prvek fyzkálně zařazje do prodového pole, ve kterém se volné nosče náboje pohybjí vodčem ve směr napěťového spád (ntenzta E) podél tohoto vodče. Sám memrstor působí v tok nábojů jako překážka projevjící se jako elektrcký odpor, takže mez napětím a prodem stále platí vztah Ohmova zákona pro odpor (t) = R()(t), resp. pro vodvost (t) = G(φ)(t). Memkapactor je prvkem patřícím do elektrostatckého pole, jehož zdrojem je statcký náboj vytvářející statcký ndkční tok Ψ. V teor elektrostatckého pole se ndkční tok a náboj jednotkově ztotožňjí, tj. ndkční tok se dává v colombech. V případě kapactor platí, že veškerý tok tekocí skrze delektrkm je roven tomto náboj. Sám memkapactor působí v tomto tok jako překážka a projevje se jako elektrostatcký odpor D rovný převrácené hodnotě kapacty. Platí zde KR (t) = D()(t), resp. (t)=c(φ)(t), kde kapacta C je z fyzkálního hledska elektrostatcko vodvostí. Memndktor fyzkálně patří do elektromagnetckého pole, jehož zdrojem je pohybjící se elektrcký náboj nebol elektrcký prod. Proto v sočasné termnolog teore elektromagnetckého pole vystpje elektrcký prod v rol magnetckého napětí, které s ním sohlasí jednotkově, tj. magnetcké napětí se dává v ampérech. Sám memndktor působí jako překážka magnetckém ndkčním tok a projevje se jako magnetcký odpor Λ rovný převrácené hodnotě ndkčnost. KR má tvar (t)=λ(ϱ)φ(t), resp. φ(t)=l()(t), kde ndkčnost L je z fyzkálního hledska magnetcko vodvostí. Z tab. 1 je zřejmá podstata paměťového efekt memprvků. Informace je zapsána do proměnlvého parametr prvk (odpor, kapacta, ndkčnost) prostřednctvím pole, které je generováno konsttční velčno. Stálost pamět je pak dána tím, že hodnota tohoto parametr zůstává po odpojení od zdroje energe zachována. Toho může být dosaženo jedně zršením fyzkálního pole, které je s tímto prvkem spojeno. Dokd toto pole exstje, dochází ke změnám parametrů nebol k záps do pamět.

5 Roč. 70 (2014) Číslo 4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor P5 V případě memrstor msí vymzet prodové pole, což praktcky znamená zajstt nlové napětí nebo nlový prod memrstorem zkratováním nebo rozpojením svorek. U memkapactor msíme zajstt zršení elektrostatckého pole. Praktcky to znamená odčerpání veškerého náboje z memkapactor, tj. zajstt svorky zkratem. Překvapením může být sktečnost, že nestačí poze odpojt nabtý memkapactor od zbytk obvod. Memndktor msí ztratt elektromagnetcké pole, tj. msí dojít k zastavení nosčů prod, které toto pole generjí. Praktcky to znamená přvést prod tekocí memndktorem k nle a rozpojením svorek zajstt, že nlovým zůstane. Je dobré s vědomt, že deální memndktor nelze takto zajstt zkratováním svorek, neboť případný prod sočástko by takto nezankl. Memprvky jako pamět se tedy zásadně lší od prvků klasckých: zatímco paměťový efekt kapactor a ndktor spočíval ve schopnost prvk držet s energ, stav pamatování memkapactor a memndktor je naopak podmíněn tím, že se prvek veškeré energe zbaví. Memprvky jso nkátní tím, že s nepamatjí energ, nýbrž parametry. Tato nkátní vlastnost z nch ční deální kanddáty na pravé nevolatlní pamět. 5 Smlace Perodcká tablka základních prvků elektrotechnky možňje matematcky popsat všechny její elementy. Sestavením příslšného matematckého model se nám tak otevírá pozorhodná příležtost můžeme provádět realstcké počítačové expermenty s prvky, které dosd nebyly objeveny. Prostřednctvím počítačových smlací tak badatelé získávají v teoretcké přípravě cenný náskok. Praktcky hned po zveřejnění objev HP memrstor v r vznkly modely memrstor ve formát SPICE [13]-[15], dnes je možno expermentovat dokonce s různým varantam modelů memkapactor a memndktor [16]-[18]. Podle následjících kázek s může čtenář tvořt představ, jaké detaly o chování mnohdy hypotetckých sočástek lze zjstt pomocí preczních modelů a výkonného smlačního softwar. Obr. 5. LM C Vado RM R CM Dvojpól tvořený šestcí základních pasvních prvků, bzený složtým sgnálem. L Všech šest základních pasvních prvků rezstor R, kapactor C, ndktor L, memrstor MR, memkapactor MC a memndktor ML propojíme mez sebo podle obr. 5 a výsledný obvod bdeme bdt ze zdroje napěťového sgnál s velm složtým časovým průběhem. Zapojení bylo z čstě formálních důvodů vybráno tak, aby napodobovalo herarchcko strktr podle obr. 4. Rezstor, kapactor a ndktor jso nelneární prvky, jejchž konsttční relace bdo patrné z výsledků smlace. Modely memrstor, memkapactor a memndktor jso převzaty z [14], [16] a [17]. Obvod je bzen akstckým sgnálem, který byl získán dgtalzací slova memrstor vysloveného Leonem Cho na sympoz o memrstvních systémech v lstopad 2008 v Berkeley. Časový průběh sgnál je zřejmý z obr. 6. Obr. 6. Složtý sgnál požtý k bzení obvod podle obr. 5. Výsledky smlace jso vedeny v tab. 2. Grafy jso sestaveny pro všech šest základních pasvních prvků se všem smyslplným kombnacem velčn,,,, a podle herarche z obr. 4. Většna trajektorí se jeví jako chaotcké křvky, poze jedna pro každý prvek je jednoznačno křvko - ta představje konsttční relac prvk. Konsttční relace pro všech šest fndamentálních prvků jso v tab. 2 zvýrazněny barevným orámováním a doplněny názvem prvk. Zaměřme se na pravý slopec tab. 2, který obsahje memprvky. Všmněme s charakterstk, které se nacházejí o jedn bňk napravo a nahor od konsttčních relací. Tyto charakterstky mají na svých osách časové dervace konsttčních proměnných daného prvk, takže v případě memrstor jde o - charakterstk, memndktor a memkapactor máme na mysl - a - charakterstk. Je zřejmé, že trajektore pracovního bod memprvk vykreslovaná v sořadné sostavě, která je natvní pro ten samý prvek bez pamět, tvoří smyčky, které jso skřípnté v počátk sořadnc. Skřípntí vyplývá z toho, že pasvních memrstorů (memkapactorů, resp. memndktorů) dosahje dvojce velčn - (-, resp. -) nlových hodnot vždy soběžně. V případě deálních mem-prvků se obě ramena smyčky v počátk sořadnc kříží, tj. jde o skřípntí typ I [1]. Exstje ještě skřípntí typ II, které se může vyskytovat v obecnějším případě tzv. memrstvních, memkapactatvních nebo memndktvních prvků, o kterých se zmíníme dále. Smyčky jso důležtým poznávacím znamením memprvků, neboť průvodním znakem pamět, která je založena na změně parametr prvk, je právě hystereze.

6 P6 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor Roč. 70 (2014) Číslo 4 Tab. 2. Průběhy napětí, prodů a jejch ntegrálů na všech pasvních prvcích v zapojení podle obr. 5. Klascké prvky R, L, C Memprvky MR, ML, MC Ze srovnání pravé a levé strany tab. 2 názorně vyplývá, co se stane, když paměť memprvk vymzí: ztráto pamět přechází memprvek na klascký prvek, jehož charakterstka je jednoznačná, tj. bez hystereze. Prvek je jednoznačně rčen konsttční relací. Tato relace se prosazje v okolní sít vždy a za všech okolností. Z toho vyplývá, že př bzení prvků napěťovým a prodovým zdroj exstjí kombnace, které jso zakázány. Tak např. rezstor podle tab. 2 bde svazovat napětí a prod závslostí, která je vzhledem k napětí nejednoznačno fnkcí. Bzení takového rezstor z paralelně přpojeného zdroje napětí by se mselo přzpůsobt jeho KR, neboť př poks o překročení bodů obrat KR by došlo ke konflkt. KR není jedno charakterstko prvk. O další charakterstce pojednává následjící kaptola. 6 Parameter vs. State Map (PSM) Až dosd jsme se praktcky obešl bez matematky. Pro pops klasckých RLC prvků jejch paměťových varant jsme vystačl s jejch konsttčním relacem. Pro stdm chování memprvků však exstje ještě jedna žtečná charakte-

7 Roč. 70 (2014) Číslo 4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor P7 rstka, takzvaná PSM, což je zkratka z Parameter-vs-State- Map. Jde o to, že všechny tř typy memprvků jso v podstatě RLC prvky, jejchž parametry (odpor, ndkčnost, kapacta) jso fnkcí stav přdrženého dynamckého systém, který tvoří paměť. PSM je právě ta fnkce, která popsje vztah mez okamžtým stavem pamět a okamžto hodnoto parametr. Ukážeme s to na příklad tzv. HP memrstor. V případě HP memrstor je parametrem odpor R, který je závslý na okamžté poloze x rozhraní mez dotovano a nedotovano vrstvo TO 2 [3]. Toto rozhraní je nášeno ve směr protékajícího prod a jeho okamžtá poloha je úměrná množství proteklého náboje. Paměť lze tedy v tomto zjednodšeném případě modelovat jako přdržený dynamcký systém tvořený jednostpňovo ntegrací příčny, ktero je prod (velčna způsobjící záps do pamět). Fnkce, která mapje vztah mez okamžtým stavem x memrstor a okamžto hodnoto parametr R, tedy může být bď R(x) nebo R(x()). Pokd zvolíme jný úhel pohled, přčemž považjeme za parametr vodvost G a za zápsovo velčn napětí, pak úloh PSM přebírají fnkce G(x), resp. G(x(φ)). PSM možňje stdovat rovněž složtější typy memprvků, jejchž parametry závsí např. na vektorovém stav. Více o této problematce vz např. [19]. Mez KR a PSM exstjí jednodché transformace. Ukážeme s to na příklad memrstor. Uvažjme KR ve tvar φ= φ(). Dervací KR podle čas dostaneme d d d =. (1) dt d dt přčemž levá strana se rovná napětí a drhý člen pravé strany je roven prod. Proto msí platt R M ( ) d =, (2) d kde R M je tzv. memrstance nebol rezstance závslá na pamět, čemž odpovídá ndex M. Vztah (2) je tedy specální případ PSM a zároveň vyjadřje jednodché pravdlo pro zjštění okamžté hodnoty odpor memrstor z okamžté polohy pracovního bod na KR: memrstance R M je rovna směrnc tečny ke KR memrstor φ= φ() v pracovním bodě. Obdobně platí, že memdktance G M, tj. paměťově závslá vodvost, je rovna směrnc tečny ke KR memrstor =(φ) v pracovním bodě. Obdobné vztahy platí také pro další dva memprvky, tj. pro memkapactor a memndktor. Přehledně jso vedeny v tab. 3, kde najdeme také zpětné transformace z PSM na KR. Mírno úpravo (2) totž dojdeme k závěr, že v případě memrstor platí ( ) = RM ( )d, (3) což se dá formlovat tak, že plocha pod křvko R M () ohrančená dvěma sosedním pracovním body je rovna tok φ, který je ntný k přechod mez těmto pracovním body. Obdobné vztahy pro memkapactor a memndktor jso rovněž vedeny v tab. 3. Transformační vztahy mez KR a PSM tvoří jakos malo násoblk, ktero je ntno zvládnot, aby nám mohl před očma vyvstat celený obrázek o fngování memrstor, memkapactor a memndktor. To však většno nestačí, chceme-l pracovat s modely reálných memprvků založených na konkrétních fyzkálních prncpech. 7 Zvláštnost reálných memprvků Fyzkální prncpy, které by se daly beze zbytk popsat rovncem memrstor, memkapactor nebo memndktor a zároveň by byly vhodné k realzac elektroncké nevolatlní pamět, jso v reálném světě velm vzácné. Většna objevených prncpů spadá spíše do kategore memrstvních, memkapactních a memndktvních systémů. Ty se od memrstorů, memkapactorů a memndktorů lší ve dvo praktckých ohledech, které s přblížíme na příklad memrstor. Memrstor je specálním případem memrstvního prvk zavedeného Leonem Cho a jeho spolpracovníkem Sng- Mo Kangem v roce 1976 [20]. Memrstvní prvek je vlastně nelneární rezstor závslý na stav přdrženého dynamckého systém. Tato sočástka tedy vzhledem k napětí a prod vyhovje Ohmov zákon ve formě v = RM ( x, ), (4) kde x je stavový vektor podléhající pohybové rovnc dx = f ( x, ). (5) dt První odlšnost vůč memrstor je zjevná z podoby Ohmova zákona (4), tj. spočívá v nelneartě sočástky vzhledem k prod, resp. napětí. Memrstance prvk tedy nezávsí poze na stav systém, ale vlv na n mají také okamžté hodnoty napětí č prod. To však odporje původní defnc memrstor, jehož memrstance msí závset poze na stav systém. Nelnearta prvk vzhledem k napětí č prod totž znamená, že okamžtý stav prvk nemůže být atomatcky považován za okamžtý stav pamět. U nevolatlních pamětí je předpokladem, že prvek s pamatje svůj stav, když je odpojen od zdroje vnější energe. Pokd by byl stav závslý na hodnotě napětí č prod, znamenalo by to, že př odpojení od zdroje energe by se tento stav mohl změnt. Drhá odlšnost se týká dynamky prvk. Rychlost změny stav totž většno nezávsí poze na hodnotách napětí a prod, ale mnohdy je ovlvněna také okamžtým stavem prvk, jak to vyplývá z pohybové rovnce (5). U deálního memrstor nezávsí rychlost změny stav na stav samotném. V opačném případě by po odeznění napěťového č prodového bzení docházelo vno vlastní dynamky k další změně stav, což by znamenalo, že prvek by nemsel být požtelný jako analogová nevolatlní paměť. Dnes jž víme, že tzv. HP memrstor je ve sktečnost složtým memrstvním systémem, který lze podle všech dostpných zjštění požít jako nevolatlní paměť. Stace se obdobně zopakovala také dalších objevů, kdy se bď kázalo, že prvek se jako memrstor chová poze př setrvání pracovního bod v předem vymezené oblast, nebo vlvem nelnearty vzhledem k napětí nebo prod naplatí an to. Tyto obtíže vedo ke snahám některých badatelů revdovat původní defnc memrstor tak, aby se strktně nerozlšovaly memrstory od obecnějších memrstvních systémů. Je to velm ctlvá otázka, na ktero se teprve hledá odpověď. Představa memrstor jako fndamentálního prvk, který logcky doplňje chybějící prvek do mozaky základních prvků elektrotechnky, je však natolk cenná, že je vhodné rozlšovat mez "deálním" memrstorem ve smysl jeho orgnální defnce z r [4] a jeho zobecněným verzem, které lze sohrnně nazvat memrstvním systémy [20].

8 P8 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor Roč. 70 (2014) Číslo 4 Tab. 3. KR a PSM memrstor, memkapactor a memndktor. Memrstor Memkapactor Memndktor Poznámka d R( ) = d d D ( ) = d d Λ ( ) = d R() D() Λ() prvky řízené tokem (flow) = R ( ) d = D ( ) d = Λ( ) d d G ( ) = d C ( ) = d d d L( ) = d G() C() L() prvky řízené napětím (effort) = G( ) d = C ( ) d = L ( ) d Protože memrstor ve smysl [4] je v prncp deálním obvodovým prvkem, není v této prác přívlastek deální požíván a pro čtvrtý fndamentální prvek požíváme zkrácený termín "memrstor". Naprosto stejná stace se opakje v případě memkapactor a memndktor. Dosd zaznamenané projevy pamět [1] se týkají spíše memkapactních a memndktvních systémů, což jso vlastně kapactory a ndktory závslé na stav obecného dynamckého systém a navíc nelneární vzhledem k bdcí velčně. 8 Memprvky neelektrcké povahy Poté, co byla v r pblkována zpráva o úspěšné mplementac memrstor na báz TO 2 [3], zájem o tento prvek neobyčejně vzrostl, avšak o memrstor se začíná važovat výhradně jako o prvk elektrcké povahy. Navíc dle původní defnce je stavem memrstor, od kterého se odvíjí okamžtá hodnota memrstance, náboj (příp. tok). Postpem čas se však zjstlo, že v reálných systémech může být paměťové chování způsobeno komplkovaným fyzkálním procesy, jejchž okamžtý stav může být dán celým vektorem velčn nejrůznějšího fyzkálního původ [1]. Příkladem může být paměť realzovaná např. magnetckým spnem, procesy v TO 2 apod. Z hledska rezstvní brány fgrjí sce v rovnc memrstor napětí a prod, avšak konkrétní fyzkální prncp zajšťjící paměťové chování je promítnt do stavové rovnce stavem x, kde x je obecně vektor neelektrckých velčn. To je výrazné zobecnění původní defnce memrstor, ve které byl za stav systém považován poze elektrcký náboj. Myšlenka zobecněného memrstor jako prvk obecně neelektrcké povahy, jejíž žtečnost pro pops reálných systémů se prokázala ještě před objevem v Palo Alto, se tedy začíná pod tlakem okolností promítat do jedné ze dvo rovnc memrstor - stavové rovnce. Z hledska branové rovnce je však memrstor stále považován za elektrcký prvek. Pamětníc však vědí, že s projevy memrstvního chování se badatelé setkával jž dávno před objevem memrstor. Tyto projevy byly popsovány a modelovány pomocí prostředků, mez kterým memrstor chyběl. Bezprostředně po zavedení koncept memrstor v roce 1971 se začal tento hypotetcký prvek vyžívat k modelování některých procesů, které vykazovaly atrbty paměťového chování. Memrstor byl požt k modelování zařízení založených na různorodých a vzájemně nesovsejících fyzkálních prncpech. Příkladem je práce Ostera [11], která kazje, že kóncký tlmč nebo elektrolytcký systém se dají modelovat jako memrstory. Od 70. let mnlého století má memrstor své pevné místo jako

9 Roč. 70 (2014) Číslo 4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor P9 modelovací nástroj v oborech vyžívajících metod network thermodynamcs [21]. O memrstor jako o modelovacím nástroj v oblast botermodynamky se lze dočíst např. v knze [22] napsané a vydané v bývalém Československ. Záhy se tedy kázalo, že koncept memrstor je žtečný pro jné oblast než je elektrotechnka. Memrstor je defnován konsttční relací mez elektrckým velčnam tok a náboj, které jso časovým ntegrály napětí a prod. Napětí a prod mají v různých vědních dscplínách (mechanka, hydralka, termka, cheme aj.) své přesné, vědecky podložené obdoby v tzv. zobecněných velčnách effort (úslí) a flow (tok). Jednotné přístpy založené na zobecněných velčnách vedly k tzv. vazebním grafům (Bond Graph), které jso dnes nepostradatelné př std složtých celků složených z vzájemně propojených sbsystémů rozdílných fyzkálních povah (např. mechatroncké systémy). Sočn velčn effort a flow má fyzkálně rozměr výkon, graf kazje tok výkon jednotlvým částm systém bez ohled na jejch fyzkální realzac. Výzkmníc zabývající se modelováním systémů složených z podsystémů různé fyzkální povahy, jak je to běžné např. v elektromechance, nyní pracjí s tzv. zobecněným memrstorem [23]. Ten zavádí vazb mez dvojc fyzkálních velčn, které jso v daném fyzkálním obor obdobo tok a náboje, což je např. v případě mechanky úslí (effort) a poloha. Pomocí memrstor tak lze modelovat procesy v systémech nejrůznější fyzkální povahy, ať ž jso to systémy mechancké [24], hydralcké [25], neromorfní [26] a jné. Díky tomto obecném pojetí lze na memrstor pohlížet jako na prvek, který garantje jednoznačno závslost mez nastřádaným úslím (momentm, ntegrál z effort) a dosaženým stavem (dsplacement, ntegrál z flow). Tablka 4 kazje, které velčny moho zastávat rol effort a flow v elektrotechnce, mechance, hydralce a termce. Pro oblast termky je vedena často požívaná dvojce velčn teplota tepelný tok, jejchž sočn nemá rozměr výkon dvojce patří do tzv. psedo Bond Graph [27]. Obrázek 4 se tak dá rozšířt o schémata platná pro další fyzkální platformy, které mají své vlastní ekvvalenty základních pasvních prvků. Do dnešní doby byly dobře popsány mechancké, termální, hydralcké a jné verze rezstor, kapactor, ndktor a v omezené míře dokonce memrstor. Tab. 4. Role effort a flow v různých fyzkálních platformách. doména effort flow elektrcká napětí [V] prod [A] hydralcká tlak [Pa] objem. průtok [m 3 s -1 ] mechancká síla [N] rychlost [ms -1 ] rotační moment [Nm] úhlová rychlost [s -1 ] psedotermální teplota [K] tepelný tok [W] V roce 1961 vyšla práce [28], ve které byl zveřejněn tzv. stavový čtyřstěn (vz obr. 7) jako grafcké vyjádření relací mez velčnam effort (zobecněná síla), flow (zobecněný tok) a jejch časovým ntegrály p (zobecněný mpls) a (zobecněná sořadnce). Díky tom se hypotetcký memrstor začal požívat k modelování jevů neelektrcké podstaty hned po zveřejnění Chovy fndamentální práce [4]. Obr. 7. Stavový čtyřstěn (Tetrahedron of State) podle [28]. Krátce po objev HP memrstor byla veřejnost seznámena s různým varantam působvého grafckého vyjádření memrstor jako čtvrtého chybějícího prvk. Jeden z nch je na obr. 8, shoda se stavovým čtyřstěnem z r je zjevná. Obr. 8. Memrstor jako fndamentální pasvní prvek. Chova a Kangova práce [20] z r vádí memrstvní chování z oblast termky (termstor), elektrocheme, resp. nerologe (Hodgknův Hxleyův model axon) a fyzky plynů (výbojka). Dobře známa je práce [26] popsjící projevy memrstance žvého organsm améby. V r bylo objeveno memrstvní chování ldské kůže [29], o rok pozděj byl pblkován článek [30] o analogckém chování ldské krve. Rok 2014 začala vycházet sére článků o projevech memrstvního chování v rostlnné říš, vz např. [31]. Hledání praktcky vyžtelných projevů memrstance, memkapactance a memndktance probíhá napříč všem známým fyzkálním platformam. Nově objevované projevy mem-chování jso tedy založeny na celém spektr nejrůznějších fyzkálních prncpů. U jedné konkrétní realzace může jít o nterakc několka procesů rozdílné fyzkální povahy. V sočasné době neexstje raconální důvod, proč by se měl memrstor (resp. memkapactor nebo memndktor) považovat za výhradně elektroncký prvek. Jeden příklad za všechny je veden dále. Jedná se o hydralcký memrstor, jehož SPICE model lze vyžít k sér zajímavých počítačových expermentů. 9 Hydralcký memrstor Zajímavý příklad memrstvního chování lze nalézt v oblast hydralky. Na obr. 9 je znázorněn dobře známý případ systém s plovákovým ventlem, který se postpně zavírá

10 P10 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor Roč. 70 (2014) Číslo 4 v důsledk stopající hladny. Okamžtá hodnota hydralckého odpor přívodního potrbí je jednoznačně dána objemem vody v nádobce, která fngje jako ntegrátor průtok. Jakmle voda stopne do rčté výšky, plovák způsobí úplné zavření ventl. Tento zpětnovazební systém se dá samozřejmě modelovat a zkomat metodam teore nelneární reglace v obvyklém rámc reglátor reglovaná sostava. Systém však lze elegantně modelovat také jako hydralcký memrstor. n+ n- G M R AUX G INT R INT Q C INT E QLIM Q LIM (t) R M () M LIM M Rads (t) E MLIM E M E Rads Obr. 9. Strktra dobře známého hydralckého memrstor. Pro držení přehlednost požjeme pro hydralcké parametry elektrotechncko symbolk. Ventl mění svůj odpor podle výšky hladny v nádržce, která je úměrná časovém ntegrál objemového průtok nebol celkového objem tektny, která protekla potrbím. Tím se z hydralckého odpor stává paměťový odpor R M (). Za předpoklad lamnárního prodění tektny platí mez objemovým průtokem [m 3 s -1 ] a tlakovým spádem [Pa] na ventl vztah Ohmova zákona =R M (). Pro jednodchost předpokládejme, že veškerý hydralcký odpor kladený přtékající tektně je sostředěn do ventl, který se chová jako úsek potrbí o délce L s proměnným krhovým průřezem o vntřním poloměr r, který je závslý na objem tektny v nádržce. Pak pro odpor ventl platí [32] ( ) R M 4 8µ L =. (6) πr ( ) Vztah (4) je PSM fnkce hydralckého memrstor, jehož okamžtý stav může být jednoznačně rčen objemem vody v nádržce, který korespondje se stavem plovák. Pro správno fnkc splachovače je nezbytné, aby se po naplnění nádržky objemem vody Q 0 ventl zcela zavřel, tj. aby fnkce r() splňovala podmínk r(q 0 )=0. V prác [25] je navrhována fnkce je tvar m r( ) = r Q 0 1, (7) 0 kde r 0 = r(0) a m je reálné kladné číslo, které pomáhá modelovat způsob zavírání ventl v závslost na stopání hladny. Pro m 0 dostáváme dvopolohovo reglac průtok parametry potrbí se nemění, potrbí je po dosažení požadované výšky hladny skokově zavřeno. Případ m = 1 popsje plynlé zavírání potrbí, kdy se jeho průměr zmenšje lneárně s rostocím objemem proteklé tektny. V [25] jso odvozeny výsledné analytcké vztahy pro PSM CR. My půjdeme jno cesto a kážeme s, jak lze chování tohoto hydralckého memrstor stdovat pomocí smlačního program. Vztahy (6) a (7) postačí k sestavení SPICE mkroobvod, jehož strktra je představena na obr. 10. Obr. 10. Strktra SPICE model hydralckého memrstor. Hydralcký memrstor je tvořen řízeným zdrojem prod G M a paralelním pomocným rezstorem R AUX, jeho svorky jso označeny jako n+ a n-. Prodový zdroj G INT tvoří spol s kapactorem C INT ntegrátor pro výpočet objem Q kapalny v nádržce, odpor R INT zajšťje stejnosměrné spojení zl Q a zemního zl. Na základě objem kapalny se vypočítá a následně ovlvní vodvost M ventl (převrácená hodnota odpor R M ). Velčny Q LIM a M LIM složí poze k zajštění konvergence výpočt př dosažení mezních stavů ventl. Výps netlst podobvod SPICE je v tab. 5. Tab. 5. Podobvod SPICE hydralckého memrstor. * SPICE Model of WC Memrstor * * For Transent Analyss only ************************** * Qnt - Startng-pont volme of the * ld n water tank [m^3] * Q0 Volme of the water tank - [m^3] * vskosty vsk. of the water [Pa s] * L - Length of the flow-ppe [m] * r0 Startng-pont rads of the * crclar flow space[m] * m - Coeffcent [-] *.sbckt WC_memrstor n+ n- + params: Qnt=0 vskosty=1m L=100m + r0=10m Q0=10m m=1.param p= Rax=10MEG Gnt 0 Q vale={v(n+,n-)*v(mlim)} Cnt Q 0 1 IC={Qnt} Rnt Q 0 1T EQLIM QLIM 0 +vale={limit(v(q),0,q0)} Erads Rads 0 + vale={r0*(1-v(qlim)/q0)^m} EM M 0 + vale={(p*v(rads)^4)/(8*vskosty*l)} EMLIM MLIM 0 + vale={f(v(rads)<0,0,v(m))} Rax n+ n- {Rax} Gmem n+ n- + vale={v(n+,n-)*(v(mlim)-1/rax)}.ends WC_memrstor

11 Roč. 70 (2014) Číslo 4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor P11 Na obr. 11 jso výsledky smlace, která zkomá proces zavírání ventl v čase pro různé hodnoty parametr n = 4m. Podmínky smlace: konstantní vstpní tlak = 100 kpa, r 0 = 2 mm, L = 100 mm, µ = 10-3 Pa.s (vskozta vody), konečný objem vody v nádržce Q 0 = 10-2 m 3. 8m (m 3 s -1 ) 6m 4m 2m 0 n = Tme (s) Obr. 11. Snžování průtok ventlem v závslost na čase. Převzato z [25]. Čtenář může s modelem podle tab. 5 volně expermentovat. Jeden námět pro zajímavý poks: vykreslete lalok hysterezní smyčky v rovně - pro případ vybzení jednorázovým tlakovým mplzem ve tvar kladné snsové půlperody. Expermentjte s ampltdo a délko mplz a ve výsledcích smlace dentfkjte základní poznávací znamení memrstor. 10 Závěr Tento článek volně navazje na Příloh pro mladé nženýry [8] z rok 2009, která váděla do povědomí odborné veřejnost nově objevený memrstor jakožto paměťovo varant klasckého rezstor. Memkapactor a memndktor jso paměťovým varantam kapactor a ndktor a jso tdíž dalším perspektvním kanddáty na nevolatlní pamět. Všechny tř mem-prvky jso fndamentálním prvky elektrotechnky. Žádný z nch totž nelze nahradt jakokolv kombnací jných základních prvků. Článek kazje zásadní rozdíl mez mechansmem pamět založené na kládání energe (klascké LC prvky) a na kládání parametr (memrstor, memkapactor, memndktor). Poměrně jasné vysvětlení kazje tab. 1, která mj. vádí vzájemně dální varanty memprvků, tj. prvky řízené tokem a napětím. Chceme-l mem-prvkům porozmět, msíme nejprve pochopt úloh KR (konsttční relace). Ilstratvní příklad na základě počítačové smlace podle obr. 5 a obr. 6 s může čtenář obměnt sám v rámc nového experment, tj. s modely prvků dle vlastního výběr. Výsledek bde vždy stejný v rovně správných konsttčních proměnných bde pracovní bod opakovaně ptovat po jednoznačné křvce KR, a to bez ohled na mír chaos bdcího sgnál. Naopak v rovně odpovídající konsttčním proměnným daného prvk bez pamět bde pracovní bod vždy vykreslovat smyčky skřípnté kolem počátk. Poznamenejme, že vzhledem k vysoké náročnost experment na smlační software je ntno věnovat zvýšeno pozornost nastavení parametrů smlátor, které mají vlv na konvergenc výpočtů. PSM (Parameter vs. State Map) patří k základním charakterstkám memrstor, memkapactor memndktor. Malá násoblka potřebná pro vzájemné převody mez PSM a KR vedená v tab. 3 je jednodchá a pro pochopení toho, jak memprvky pracjí, je nezbytná. Bez důkladného pochopení prncpů fngování memrstor, memkapactor a memndktor nelze serózně pracovat s reálným memprvky, které jso horkým kanddáty na paměťové prvky bdocnost. Memrstvní, memkapactvní a memndktvní systémy podléhají obecnějším zákontostem a jejch teore se bořlvě vyvíjí. K dnešním dn je k témat memrstor celosvětově evdováno více než 1600 vědeckých prací [33]. Je pozorhodné, že téměř 500 z nch vyšlo v průběh posledních deset měsíců. Mez atory jso také mladí začínající vědc, kteří tíhno k teoretcké nebo expermentální prác. Jde o výzv, která se jž nemsí opakovat. A tak je tento článek zároveň pozváním pro ty, kteří chtějí být toho, když se tvoří něco nového. Lteratra [1] Pershn, Y. V., D Ventra, M. Memory effects n complex materals and nanoscale systems. Advances n Physcs, 2011, vol. 60, no. 2, p [2] Cha, L. O. Nonlnear Crct Fondatons for Nanodevces, Part I: The For-Element Tors. Proceedngs of the IEEE, 2003, vol. 91, no. 11, p [3] Strkov, D. B., Snder, G. S., Stewart, D. R., Wllams, R.S. The mssng memrstor fond. Natre (London), 2008, vol. 453, p [4] Cha, L. O. Memrstor The Mssng Crct Element. IEEE Transactons on Crct Theory, 1971, vol. CT-18, no. 5, p [5] Cha, L. O. Devce Modelng Va Basc Nonlnear Crct Elements. IEEE Transactons on Crct Theory, 1980, vol. CAS-27, no. 11, p [6] Cha, L. O., Szeto, E. W. Hgh-Order Non-Lnear Crct Elements: Crct-Theoretc Propertes. Crct Theory and Applcatons, 1983, vol. 11, p [7] Cha, L. O., Szeto, E. W. Synthess of Hgher Order Nonlnear Crct Elements. IEEE Transactons on Crct Theory, 1984, vol. CAS-31, no. 2, p [8] Bolek, D., Bolek, Z., Bolková, V. Memrstor a jeho místo v teor obvodů. Slaboprodý obzor, 2009, vol. 65, no. 2, P1-P16. [9] Memrstor and Memrstve Systems Symposm, Part 1. UC Berkeley Events, Onlne: (odkaz platný k ). [10] Bolek, D., Bolek, Z., Bolková, V. SPICE Modelng of Memrstve, Memcapactatve and Memndctve Systems. Proceedngs of the Eropean Conference on Crcts Theory and Desgn, 2009, p [11] Oster, G. F., Aslander, D. M. The Memrstor: A New Bond Graph Element. J. Dyn. Sys., Meas., Control, 1972, vol. 94, p [12] Jeltsema, D., Do`ra-Cerezo, A. Port-Hamltonan Formlaton of Systems Wth Memory. Proceedngs of the IEEE, 2011, vol. 100, no. 6, p

12 P12 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor Roč. 70 (2014) Číslo 4 [13] Benderl, S., Wey, T. A. On SPICE macromodellng of TO2 memrstors. Electroncs Letters, 2009, vol. 45, no. 7, p [14] Bolek, Z., Bolek, D., Bolková, V. SPICE model of memrstor wth nonlnear dopant drft. Radoengneerng, 2009, vol. 18, no. 2, p [15] Rák, A., Cserey, G. Macromodelng of the memrstor n SPICE. IEEE Transactons on Compter-Aded Desgn of Integrated Crcts and Systems, 2010, vol. 29, no. 4, p [16] Bolek, D., Bolek, Z., Bolková, V. SPICE modellng of memcapactor. Electroncs Letters, 2010, vol. 46, no. 7, p [17] Bolek, D., Bolek, Z., Bolková, V. PSPICE modelng of memndctor. Analog Integrated Crcts and Sgnal Processng, 2011, vol. 66, no. 1, p [18] Bolek, D., Bolek, Z., Bolková, V. Behavoral modelng of memcapactor. Radoengneerng, 2011, vol. 20, no. 1, p [19] Bolek, D., Bolek, Z. Forth Fndamental Crct Element: SPICE Modelng and Smlaton. Memrstors and memrstve systems, Sprnger New York, 2013, p [20] Cha, L.O., Kang, S. M. Memrstve Devces and Systems. Proc. IEEE, 1976, vol. 64, no. 2, p [21] Mklecky, D. C. Network thermodynamcs and complexty: a transton to relatonal systems theory. Compters & Chemstry, 2001, vol. 25, p [22] Dvořák, I., Maršík, F., Andrej, L. Botermodynamka. Academa, 1982, Nakladatelství Československé akademe věd. [23] Jeltsema, D., van der Schaft, A.J. Memrstve port- Hamltonan Systems. Mathematcal and Compter Modellng of Dynamcal Systems, 2010, vol. 16, no. 2, p [24] Jeltsema, D., Dòra-Cerezo, A. Port-Hamltonan Formlaton of Systems Wth Memory. Proceedngs of the IEEE, 2012, vol. 100, no. 6, p [25] Bolek, Z., Bolek, D., Bolková, V. Analytcal Solton of Crcts Employng Voltage- and Crrent-Excted Memrstors. Crcts and Systems I: Reglar Papers, IEEE Transactons on, 2012, vol. 59, no. 11, p [26] Pershn, Y. V., La Fontane, S., D Ventra, M. Memrstve Model of Amoeba's Learnng. Physcal Revew E, 2009, vol. 80, no. 2, p [27] Thoma, J., Boamama, B. O. Modellng and Smlaton n Thermal and Chemcal Engneerng: A Bond Graph Approach. Sprnger, [28] Paynter, H. M. Analyss and Desgn of Engneerng Systems. The MIT Press, 1961, Cambrdge, Mass. [29] Martnsen, Ø. G., Grmnes, S., Lütken, C. A., Johnsen, G. K. Memrstance n hman skn. Internatonal Conference on Electrcal Bompedance, Jornal of Physcs: Conference Seres, 2010, vol. 224, no., p [30] Kosta, S. P., Kosta, Y. P., Bhatele, M., Dbey, Y. M., Gar, A., Kosta, S., Gpta, J., Patel, A., Patel, B. Hman blood ld memrstor. Int. J. of Medcal Engneerng and Informatcs, 2011, vol. 3, no. 1, p [31] Volkov, A. G., Tcket, C., Reeds, J., Volkova, M. I., Markn, V. S., Cha, L. O. Memrstors n plants. Plant Sgnalng & Behavor, 2014, 9: e [32] Gendels, S., Jakovčs, A. Nmercal modelng of hydralc resstance n ppes of varos shapes. Latvan Jornal of Physcs and Techncal Scences, 2004, vol. 41, p [33] Memelements. Lst of references. Onlne: (odkaz platný k ). Poděkování Tato práce vznkla za podpory projekt MŠMT kód LD14103 Modelování a smlace mem-systémů a projekt GAČR č S Zobecněné prvky vyšších řádů.