Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE OBVODŮ I. Studijní opora. Jaromír Kijonka a kolektiv

Transkript

1 Vysoká škola báňská Techncká unverzta Ostrava TEOE OBVODŮ Studjní opora Jaromír Kjonka a kolektv Ostrava 7

2 ecenze: rof. ng. Josef aleček, Sc. Název: Teore obvodů Autor: Jaromír Kjonka a kolektv Vydání: první, 7 očet stran: 96 Vydavatel: VŠB TO Studjní materály pro studjní obor Elektrotechnka Fakulty elektrotechnky a nformatky Jazyková korektura: nebyla provedena. rčeno pro projekt: Operační program ozvoj ldských zdrojů Název: E-learnngové prvky pro podporu výuky odborných a technckých předmětů Číslo: Z.O4../..5./6 ealzace: VŠB Techncká unverzta Ostrava rojekt je spolufnancován z prostředků ESF a státního rozpočtu Č Jaromír Kjonka VŠB Techncká unverzta Ostrava SBN

3 OKYNY KE STD Teore obvodů ro předmět Teore obvodů zmního semestru studjního programu Elektrotechnka a studjního programu Mechatronka jste obdrţel studjní balík obsahující ntegrované skrptum pro dstanční studum obsahující pokyny ke studu D-OM s doplňkovým anmacem vybraných částí kaptol harmonogram průběhu semestru a rozvrh prezenční část rozdělení studentů do skupn k jednotlvým tutorům a kontakty na tutory kontakt na studjní oddělení rerekvzty Studum tohoto předmětu nenavazuje na ţádný předchozí předmět, protoţe je vyučováno v prvním semestru. Anotace: ílem výuky předmětu Teore obvodů je naučt studenty tvůrčím způsobem aplkovat fyzkální zákony a prncpy př analýze elementárních jevů ve stejnosměrných a střídavých elektrckých obvodech s lneárním a nelneárním prvky. oznatky z teore obvodů patří mez základní znalost, které student uplatní v celém průběhu studa. o absolvování výuky předmětu Teore obvodů umí student vypočítat napětí a proudy kdekolv v obvodu a na jejch základě posuzovat vlastnost elektrckých zařízení. ředmět je moţné studovat jak v prezenční, tak kombnované formě bakalářského studjního programu Elektrotechnka a studjního programu Mechatronka. Odborný obsah studa předmětu Teore obvodů je shodný pro obě formy studa. Tutoř kombnované formy studa zmního semestru akademckého roku 7/ pro : ng. etr Orság, h.d., kat.45, tel , místnost F7, : Doc. ng. Jaromír Kjonka, Sc., kat.45, tel , místnost A46. arant předmětu: doc. ng. Jaromír Kjonka, Sc. teratura odle akredtovaných studjních programů je základní studjní lteraturou učebnce Mkulec, V., Havlíček, V.: Základy teore elektrckých obvodů a doporučenou studjní lteraturou učebnce Mayer, D.: Úvod do teore elektrckých obvodů. Obě knhy, obsahující výklady a řešené příklady, jsou určeny studentům elektrotechnckých fakult. Studjní opory Studjní opory jsou tvořeny: Bodovým systémem hodnocení výkonu studenta, Studjním textem a racovním seštem. Bodový systém hodnocení výkonu studenta je smlouva garanta předmětu se studentem. Student smlouvu uzavírá odevzdáním vstupního testu. ílem bodového hodnocení není pouze jen ocent výkon, ale zejména podněcovat a rozvíjet tvůrčí čnnost studentů. Student můţe získat v kurzu celkem bodů z toho 4 bodů za samostatné práce do posledního dne výuky v semestru, ve kterém je předmět vyučován a 6 bodů u závěrečné zkoušky, kterou lze vykonat nejpozděj do 5. srpna akademckého roku, v němţ s student předmět zapsal. Studjní text vede studenta k aktvní prác. Je tvořen výkladem, příklady, úkoly, klíčem k řešení úkolů, jenţ je nástrojem autokontroly, zadáním samostatných prací, zadáním laboratorních úloh a příkladem řešení semestrálního projektu. racovní sešt je vrtuální laboratoří, v níţ student můţe efektvně zpracovávat samostatné práce a referáty, teoretcky modelovat jevy, posuzovat je a porovnávat z výsledky laboratorních měření.

4 odmínky udělení zápočtu Kaţdému studentu, jenţ uzavře smlouvu s garantem předmětu, je udělen zápočet s počtem bodů, které získá nejpozděj do posledního výukového dne semestru, v němţ je předmět vyučován za aktvty: a) Odevzdání vstupního testu J = nebo body. b) ealzac zapojení příslušného elektrckého obvodu, vyhodnocení velčn a zpracování zpráv 7 zadání K = aţ bodů. c) rezentac a obhajobu zprávy v češtně = aţ body d) rezentac a obhajobu zprávy v czím jazyce M = aţ body. e) Zpracování semestrálního projektu N = aţ bodů. Bodové hodnocení výkonu studenta v průběhu semestru je součtem získaných bodů = J+K++M+N. Odborná úroveň zpracování zprávy je podmíněná technckou formou zápsu výpočtů: obecný výraz, dosazení, výsledek, jednotka. odmínky vykonání zkoušky Zkouška je praktcká, písemná a ústní.body u zkoušky jsou studentům přdělovány za aktvty: a) Zpracování. realzačního projektu = aţ body. b) Zpracování. realzačního projektu S = aţ body. c) ealzace jednoho z projektů T = aţ 5 bodů. Student s sám zvolí jedno ze zapojení zpracovaných projektů a v době do mn. ho verfkuje. Dílčí aktvty: realzace zapojení nebo bod, oţvení a nastavení projektovaných podmínek nebo bod, změření proudů a napětí nebo bod, posouzení verfkace studentem nebo bod, zhodnocení verfkace pedagogem nebo bod. ealzačním projekty jsou zadání samostatných prací nebo vlastní témata studentů z teore obvodů. d) ísemnou a ústní zkoušku = aţ 5 bodů. Bezprostředně po písemném ohodnocení realzace projektu pedagogem se student dostaví s projekty do zkušební místnost, kde s sám vybere typ otázky pole náročnost A ( typ: nakreslete ) nebo bod, B ( typ: popšte ) nebo body, ( typ: odvoďte, sestrojte ) nebo body, a po té mu je počítačem vylosována konkrétní otázka a vydán zkušební protokol, v němţ je vypsána vylosována otázka.následně student v časovém ntervalu do 5 mn. zapíše do zkušebního protokolu písemnou přípravu. o té se dostaví s písemnou přípravou k jednomu ze zkoušejících, který j bez jakékol komunkace se studentem ohodnotí nulou nebo počtem bodů podle zvoleného typu. ak, v ntervalu do mn, následuje oboustranná ústní komunkace ke zvolené otázce, která je zkoušejícím ohodnocena nebo nebo body. Výsledný počet bodů u zkoušky V je součtem získaných bodů v aktvtách a) aţ d) vynásobených počtem aktvt X, v nchţ student obdrţel alespoň jeden bod V = ( +S +T+ ). X. elkový počet bodů Z za absolvování kurzu předmětu je součtem bodů získaných v průběhu semestru a u zkoušky Z = + V.

5 odle celkového počtu bodů Z je studentov přřazena známka. Mnmální hrance pro úspěšné absolvování kurzu je 5 bodů. Kaţdý zkušební protokol je tř roky archvován na katedře z důvodu případné kontroly. Slepá zkouška Kaţdý student má právo ověřt s realzac navrţeného zařízení v laboratoř, opakovaně, samozřejmě před tím, neţ se dostaví ke zkoušce. K tomu je studentům vymezena doba od. do. hod. ve dnech zkušebních termínů. Dozor v laboratoř konají dva student prezenční formy doktorského studjního programu. odmínky komunkace rezenční forma studa V prezenční formě studa je výuka předmětu Teore obvodů zajštěna dvěma hodnam přednášek, dvěma hodnam výpočetních cvčení a dvěma hodnam laboratorních cvčení týdně ve -t týdenním semestru, tedy celkem 7 hodnam. aboratorní cvčení vedou dva pedagogové.v laboratorních cvčeních první dva týdny slouţí k proškolení studentů, od. týdne semestru pedagog rozdělí studjní skupnu do dvou podskupn. V první polovně laboratorních cvčení student jedné podskupny měří a současně student druhé podskupny prezentují své referáty zpracované v MS oweront s vyuţtím dataprojektoru, v druhé polovně laboratorních cvčení s podskupny studentů čnnost zamění.náplní referátu můţe být zpráva z laboratorního měření nebo jakákolv samostatná práce studenta z teore obvodů. Doba na referát je deset mnut. Od. týdne pedagog v kaţdé podskupně určuje pro referáty v následujícím laboratorním cvčení tř studenty a dva náhradníky. Ve. aţ. týdnu semestru student zpravdla ve dvojcích měří devět laboratorních úloh, ale protokoly z měření odevzdávají osobně pouze v hodnách výpočetního cvčení nejpozděj. Ve dvanáctém týdnu má student právo nahradt pouze jednu laboratorní úlohu. okud se laboratorní cvčení nekoná v důsledku nařízeného volna (státní svátek, děkanský č rektorský den) je čnnost studenta ohodnocena třem body. Do bodového hodnocení se počítá ohodnocení dvou referátů a sedm protokolů s nejvyšším ohodnocením. V prezenční formě studa protokol z laboratorního měření student odevzdává osobně pedagogov v hodnách výpočetního cvčení dané skupny. Odevzdá-l student protokol do 4 dnů ode dne měření získá za odevzdání bod, jnak bodu. Kombnovaná forma studa Kombnovaná forma studa je určena studentům, kteří jsou schopn samostatně studovat a mají dostatečnou odpovědnost za svůj vzdělávací postup k cíl. Harmonogram kombnované formy studa je tvořen sedm tutorály, z nchţ dva jsou laboratoře. Tutorály slouţí studentům ke konzultacím studované látky. Na posledním tutorálu mohou student vykonat závěrečnou praktckou, písemnou a ústní zkoušku, jejíţ náplň je stejná jako pro studenty prezenčního studa. Stěţejní podněty ke konzultacím studentů ve výuce jsou vymezeny v zadáních samostatných prací. V kombnované formě studa je zpracování samostatné práce rovnocenné zpracování protokolu z laboratorního měření.v kombnované formě studa vstupní test, samostatné práce a semestrální projekt lze odevzdat tutorov - elektronckou poštou - písemně poštou - písemně na tutorálu. Jeden bod za odevzdání kaţdé z prvních čtyř samostatných prací získají student kombnované formy studa pouze do.. 7. Opravené samostatné práce budou studentům osobně předávány na tutorálech, s bodovým hodnocením budou student seznámen elektroncky. Společné pro prezenční kombnovanou formu studa

6 eferáty lze prezentovat pouze v době laboratorních cvčení pouze před ostatním studenty. Doba trvání referátu včetně následné dskuze je deset mnut, jejch náplní můţe být zpráva z laboratorního měření nebo jakákolv samostatná práce studenta z teore obvodů.. V kombnované formě studa můţe student poţádat o prezentac referátu, jnak j můţe nahradt zpracováním samostatné práce. Odevzdají-l student semestrální projekt před 5. prosncem získají za odevzdání body, jnak bodu. ealzační projekty přnesou student aţ ke zkoušce, a to v opakovaných termínech. Zadání a bodové hodnocení semestrálního projektu: V dané kostře stejnosměrného obvodu tvořeného šest větvem a čtyřm uzly charakterzujte jednotlvé větve tak, aby jedna z nch byla tvořena: - deálním zdrojem napětí, - deálním zdrojem proudu, - skutečným zdrojem napětí, - skutečným zdrojem proudu a dvě větve rezstory. Student s sám volí číselné hodnoty parametrů. Specfkace problémů: a) vytvořte soubor větví stromu, nezávslých větví, nezávslých řezů a nezávslých smyček, b) orentujte kaţdý nezávslý řez počítací špkou, sestavte soustavu obvodových rovnc a vyřešte je, c) orentujte kaţdou nezávslou smyčku počítací špkou, sestavte soustavu obvodových rovnc a vyřešte je, d) ověřte, zda vypočtené hodnoty vyhovují Krchhoffovým zákonům, e) určete hodnoty výkonu kaţdého zdroje a rozhodněte, zda dodává nebo odebírá energ, f) ověřte, zda vypočtené hodnoty výkonů vyhovují Tellegenově větě. g) celková odborná úroveň řešení projektu (je podmíněna nenulovým hodnocením alespoň čtyř z dílčích problémů a, b, c, d, e, f, grafckou úrovní zpracování a poţadovanou formou zápsu číselných výpočtů: obecný výraz, dosazení do něj, výsledek, jednotka). Kaţdý dílčí úkol je hodnocen nebo bodem. Bodové hodnocení semestrálního projektu N je součtem bodových ohodnocení dílčích úkolů a hodnoty sčítance termínu odevzdání A, jenţ před 5. prosncem má hodnotu body, jnak bodu, potom N (a b c d e f g A).

7 OBSAH ŮVODE STDEM. ČÁST NÁŇ SAMOSTATNÉHO STDA. kaptola Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely. kaptola Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu. kaptola 4. kaptola 5. kaptola Věty o náhradních zdrojích, výkonové přzpůsobení střídavého zdroje, prncp superpozce, transfgurace Topologe elektrckých obvodů, řešení elektrckých obvodů přímou aplkací Krchhoffových zákonů Analýza obvodů metodou smyčkových proudů a řezových napětí kaptola mtanční funkce, rezonance, kompenzace jalových sloţek 7 7. kaptola Magnetcká vazba, vzájemná ndukčnost, elementární modely transformátorů, náhrada magnetcké vazby galvanckou vazbou 5. kaptola Analýza obvodů s nelneárním prvky 6 9. kaptola Analýza obvodů s neharmonckým průběhy velčn, výkony 7. kaptola rčování parametrů a mtancí technckých prvků, ekvvalence, Jouleovo teplo. kaptola Delektrcké obvody 5. ČÁST ZADÁNÍ SAMOSTATNÝH AÍ 6. kaptola aboratorní úlohy 6. kaptola Výpočetní úlohy 74. ČÁST ŘÍKADY ŘEŠENÍ kaptola říklady řešení vybraných úkolů kaptola říklady řešení projektu 9

8 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely. ČÁST: NÁŇ SAMOSTATNÉHO STDA. VYMEZENÍ EEKTOMANETKÝH JEVŮ OBVODOVÝM MODEY Čas ke studu: hodny íl: o prostudování textu této studjní podpory budete umět: charakterzovat napětí, proud, výkon, prác, defnovat efektvní hodnoty velčn, sestavovat paralelní a sérové obvodové modely elektromagnetckých jevů, rozlšovat stav naprázdno a nakrátko, zobrazovat výpočet skalárního součnu časových funkcí. ředmluva Výklad Jestlţe 9. století bylo charakterzováno bouřlvým rozvojem technky,. století rozvojem přírodních věd, pak ve. století bude hrát rozhodující rol schopnost ldí třídt a zpracovávat nformace. Norbert Wener Je vhodné, abychom s občas uvědoml, ţe za určtých podmínek jsme schopn smysluplně řídt své chování a tím s určtým záměrem působt na utváření nejen své osobnost, ale prostředí, v němţ ţjeme. Takovéto poznání je přrozenou součástí našeho bytí, jehoţ charakterstckým rysem je osobní odpovědnost za efektvní řízení vlastního ţvota. Nepěstujeme-l toto vědomí, pak se stáváme objektem pro různě touhy, plány a cíle vzešlé z našeho okolí. Čím více podléháme tomuto vlvu, tím více se v našem ntru zakořeňuje poct bezmocnost. Časem s na tento stav zvykneme a an s nepovšmneme, ţe paralyzoval některé část našeho vědomí, a tím schopnost našch přrozených reakcí. Často, abychom se na oko zachránl s vytváříme svůj vlastní svět, ve kterém se zolujeme před podněty realty a čekáme na nějaký zázračný mpuls aţ se něco změní. Jak se vyhnout těmto stavům, respektve je mnmalzovat? Odpověď je velm jednoduchá! okračovat ve vývoj. dský vývoj od prapředků po současnost je utvářen schopnost jednců směřovat svou pozornost do vlastního ntra na vntřní procesy, uvědomovat s je a pomocí spolupráce (synerge) a zkoncentrované energe je oţvovat a pouţívat v reálném ţvotě. Ve skutečnost to znamená zaměřt svou aktvtu na vntřní duševní potencál a vyuţívat jej; to je vyuţívat schopnost Vašeho myšlení, sestavovat nformace a vytvářet z nch raconální modely skutečnost za účelem raconálního chování v raconálním světě a v reálném čase. K tomu jsou nezbytné promyšlené (plánované) volby a reakce (rozhodnutí) o svoj aktvtě na základě nformací o sobě (vlastní zdroje a cíle) a o prostředí (czí zdroje a cíle). Je na kaţdém z nás, jaké názory na svět s utváří, podle nformací, které s o daném objektu vezme, jak je umí třídt a následně pouţívat. Klíč k budoucnost lze nalézt jedně teorí. Ke studu reálných jevů je nezbytné vymezt prostředí a metody. rostředí je velm často stanoveno obory (cheme, strojírenství, elektrotechnka, nformatka), mez obory, záměrem studa apod. odle metod, které pro zkoumání volíme, je dělíme na teoretcké, expermentální a praktcké.

9 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely ílem teoretcké elektrotechnky je vymezt pojmy, formulovat obecné zákony a prncpy, utvářet představy, z nchţ jsou deduktvní cestou logcky a důsledně matematcky vyvozovány nejen známé, ale nové poznatky, třídt je a uvádět ve vzájemnou souvslost, zatímco expermentální elektrotechnka vychází z pokusů, z nchţ jsou ndukcí vytvářeny obecně platné vztahy a tím jsou zároveň ověřovány předpoklady a představy teoretcké elektrotechnky, kdeţto záměrem praktcké elektrotechnky je zabývat se praktckým teoretckým studem měřcích metod, zdokonalovat a zpřesňovat je. ílem výuky je podněcování tvůrčího myšlení studentů, přčemţ je kladen důraz na osvojování pojmů, přesnou formulací myšlenek, algortmzac postupů řešení, zpracování samostatných prací a projektu. Teoretcká elektrotechnka má dva vědní obory: teor obvodů (modeluje energ hmotných objektů) a teor elektromagnetckého pole (modeluje hustotu energe hmotných objektů). ředmět Teoretcká elektrotechnka se týká teore obvodů. Základní úkoly teore obvodů dělíme do tří kategorí:. Analýza obvodu - př analýze dentfkujeme chování obvodu. Je dána fyzkální a topologcká struktura obvodu (tj. parametry prvků obvodu a schéma zapojení - graf). ílem analýzy je nalézt odezvy a posléze určt výkony. Řešení je vţdy jednoznačné.. Syntéza obvodu - př syntéze navrhujeme obvod tak, aby měl předepsané vlastnost vyhovující zadaným poţadavkům. rčujeme fyzkální a topologckou strukturu navrhovaného obvodu. Řešení nkdy není jednoznačné.. dentfkace obvodu - jedná se o problém "černé skříňky". Expermentálně zjšťujeme chování obvodu a z něho pak vytváříme hypotézu o moţné struktuře. Exstují případy, pro něţ nelze stanovt ţádnou vyhovující strukturu... Vymezení velčn.. Energe Stav hmotných objektů látek polí, objektvně a nejobecněj charakterzujeme pojmem energe a označujeme písmenem w. Energe představuje celkovou prác, která byla vykonána k dosaţení daného stavu. K vědomému posuzování změny stavu hmotného objektu pouţíváme tzv. kvanttu. o je to kvantta? řrozenou čl prmární kvanttou je čas, podle něhoţ studujeme změny stavu. Na základě poznaných časových závslostí stavů hmotných objektů usuzujeme o jeho změnách... Jev Časovou změnu stavu hmotného objektu nazýváme jev a charakterzujeme ho okamţtým výkonem d w p( t) dt () Okamţtý výkon udává rychlost změny stavu hmotného objektu... Spádová a průtoková velčna K posuzování energe je nezbytné vymezt určtou vlastnost hmotného objektu, podle níţ budeme jeho stav hodnott. Energe je funkcí této vlastnost w (q). Znamená to, ţe změnu stavu lze určt pouze tak, ţe budeme určovat změnu energe podle vymezené dw( q) dw( q) dq vlastnost a současně změnu vymezené vlastnost v čase p( t).. () dt dq dt 9

10 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely Okamţtý výkon nelze určt přímo, ale pouze součnem dvou velčn. Velčně charakterzující změnu energe podle vlastnost hmotného objektu přřazujeme přívlastek "spádová" a velčně charakterzující změnu této vlastnost podle času přívlastek "průtoková". V topolog jevů spádovou velčnu obvykle modelujeme dvojcí uzlů (čl pomyslným rozhraním hmotného objektu vůč okolnímu prostředí) a průtokovou velčnu větví spojující oba uzly. ovnce () je defnčním vztahem fyzkální dualty: růběh výkonu je v jakémkolv čase jednoznačně určen součnem duálních velčn spádové a průtokové. Duálním topologckým prvky jsou dvojce uzlů a větev je spojující...4 Defnce napětí a proudu Nazveme-l spádovou velčnu elektrcké napětí a průtokovou velčnu elektrcký proud, vymezíme tím jeden ze dvou vědních oborů elektrotechnky - teor obvodů. Symbolem pro vlastnost hmotného objektu - q označujeme elektrcký náboj. ak rovnc () přepíšeme do tvaru p( t) u( t). ( t) () řčemţ jsme označl napětí rovnc d w( q) u( t) (4) a proud d q d q ( t). (5). dt..5 Stav naprázdno a nakrátko ředchozím rovncem defnujeme dva deální stavy. ovncí (4) stav naprázdno pro ( t) a rovncí (5) stav nakrátko pro u ( t). Je-l u ( t) a zároveň ( t), pak napětí defnujeme podílem výkonu a proudu p( t) u( t) (6) a proud podílem výkonu a napětí ( t) p( t) ( t). (7) u( t) Jelkoţ napětí a proud jsou duální velčny, coţ zapsujeme výrazem u, pak rovnce (4) a (5) jsou duální, stejně jako rovnce (4) a (5), (6) a (7), (4) (5), (6) (7)...6 Sekundární a tercální kvantta Z různých důvodů se nezabýváme časovým závslostm jevů přímo, ale zajímáme se jejch změnam na obecně lbovolném časovém ntervalu. V elektrotechnce je takovým významným časovým ntervalem doba trvání jednoho cyklu sledovaného jevu - peroda T. Četnost perod za sekundu nazýváme kmtočet f / T, který je sekundární kvanttou. Tercální kvanttou je kruhový kmtočet, nebo-l úhlová rychlost rovnoměrného kruhového pohybu ω πf. Je zřejmé, ţe se změnou kvantt dochází ke změně kvalt, které je moţno posuzovat podle vymezených kvantt. Časovou závslostí můţeme vyjadřovat jakékolv průběhy, kmtočet f můţeme pouţít pouze pro perodcké průběhy a kruhový kmtočet ω pouze pro harmoncké průběhy...7 Časové funkce Časové závslost velčn reálných jevů jsou měřtelné ohrančené časové funkce t časovém ntervalu b a b v ( t) dt, v( t) dt. (x) a J a, b, protoţe exstují a mají konečnou hodnotu ntegrály v na jakémkolv Měřené číselné (artmetcké) hodnoty velčn zapsujeme do tabulky, následně je grafcky zobrazujeme body a poté proloţíme (extrapolujeme) křvkou (grafem). Měřené okamţté hodnoty velčn je nejlépe snímat měřcí kartou a zapsovat je (do tabulky) do pamět počítače. loţená data pak můţeme zobrazt, popřípadě podle potřeby dále zpracovávat metodam numercké matematky (např. sečítat, násobt, dervovat, ntegrovat apod.).

11 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely Řešený příklad Číselné (artmetcké) hodnoty zobrazujeme body, extrapolujeme grafem (např. pomocí počítačové grafky) a analytcky popsujeme funkcí y x závslé proměnné velčny y na nezávslé proměnné velčně x. V následujících obrázcích jsou uvedeny grafy a stručně popsány změřené okamžté hodnoty napětí sítě u (t) (obr. ), proudu usměrňovače (t) (obr. ) a vypočítané okamžté hodnoty výkonu p (t) (obr. ), práce A (J) (obr. 4) a střední hodnoty práce A ( J) / J (obr. 5 a obr. 6). Často časovou funkcí označujeme pouze písmeny malé abecedy, např. u u(t)... Skalární součn časových funkcí.. Okamţtý výkon Jednoznačnou nformac o změně stavu hmotného objektu v jakémkolv čase udává hodnota okamţtého výkonu p (t). Hodnotu okamţtého výkonu (obr. ) v lbovolném čase lze však určt pouze artmetckým součnem okamţté hodnoty napětí (obr. ) a proudu (obr. ) p( t) u( t) ( t)... ráce ntegrál okamţtého výkonu na daném časovém ntervalu p ( t) dt A( J ) udává hodnotu vykonané práce A (J). ntegrál součnu dvou časových funkcí na určtém časovém ntervalu je nazýván skalárním součnem časových funkcí, který je označován kulatým závorkam a matematcky defnován zápsem b a u ( t) ( t) dt ( u, ) A( J). Hodnoty skalárního součnu časových funkcí (obr. 4), stejně jako jeho střední hodnoty A ( J) / J, jsou závslé na době časového ntervalu. Střední hodnoty skalárního součnu tlumeně osclují (vz obr. 5), přčemţ konvergují pro J k hodnotě lm A( J)/ J (obr. 6). Stejnou střední hodnotu skalárního J součnu časových funkcí obdrţíme, v případě perodckých funkcí, volíme-l dobu časového ntervalu rovnající se celočíselnému násobku doby jedné perody T. ak T A( J) A( n T) A( T) lm u( t) ( t) dt, J J n T T T kde n je přrozené číslo. Hodnota skalárního součnu je stanovena součtem ploch vymezených průběhem součnu dvou funkcí vůč časové ose na lbovolném časovém ntervalu... Norma funkce ro časové funkce vyhovující podmínce (x) je defnována na lbovolném časovém ntervalu J norma funkce jako geometrcký průměr skalárního součnu dvou dentckých funkcí b v v ( t) dt a ( v, v). Hodnota normy funkce se rovná druhé odmocnně z hodnoty plochy vymezené průběhem druhé mocnny dané funkce, časovou osou a časovým ntervalem. b a

12 p (kva) (u,)/j (VA) (A) (u,)/j (VA) u (V) (u,) (VAs). Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely Norma funkce skalární součn dvou funkcí jsou reálná čísla, přčemţ norma funkce má vţdy kladnou hodnotu. Jedně aplkací skalárních součnů časových funkcí lze vytvořt prostředí pro jednoznačnou reprezentac perodckých časových funkcí a vytváření matematckých modelů reálných systémů...4 Výkon Střední hodnotou skalárního součnu napětí a proudu na době perody je defnován čnný výkon vztahem T ( u, ) u( t) ( t) dt. T T t (ms) 4 t (ms) Obr. růběh napětí: 9,7 V. Obr. 4 růběh skalárního součnu ( u, ) t (ms) 4 t (ms) Obr. růběh proudu: 6,5 A Obr. 5 růběh podílu ( u, ) / J t (ms) t (s) Obr. růběh výkonu: 7 W, VA, λ,6. Obr. 6 růběh podílu ( u, ) / J. Jeho hodnota udává přírůstek střední hodnoty práce za dobu jedné perody a zároveň střední hodnotu aktvní sloţky elektromagnetcké energe dodané vnějším obvodem za tutéţ dobu.

13 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely Střední hodnota skalárního součnu dvou stejných (dentckých) velčn na době perody udává přírůstek střední hodnoty práce na lneárním prvku s jednotkovou hodnotou parametru, buď Ω, potom u nebo S, potom u a následně ( u, ) (, ) ( u, ) ( u, u),. T T T T odíly /, / udávají kolkrát je hodnota čnného výkonu větší neţ střední hodnota práce příslušného lneárním prvku s jednotkovou hodnotou parametru. Součnem hodnot a zjstíme, ţe. V důsledku této nerovnost defnujeme rozdílem čtverců hodnotu F, kde písmenem F označujeme tzv. fktvní výkon a písmenem zdánlvý výkon, který je defnován geometrckým průměrem středních hodnot práce prvků s jednotkovým hodnotam parametrů. S ohledem na důslednost (konzstenc) termínů v této publkac, budeme také místo přívlastku čnný pouţívat přívlastek aktvní v návaznost na fktvní, a následně zaváděný termín reaktvní...5 Čntelé výkonu V roce 97 Stenmetz defnoval podílem aktvního a zdánlvého výkonu čntel aktvního výkonu, zatímco podílem fktvního a zdánlvého výkonu defnoval v roce 979 Depenbrock čntel fktvního výkonu λ, λ F F...6 Defnce sloţek efektvních hodnot velčn Efektvní hodnota velčny je defnována druhou odmocnnou střední hodnoty práce na době perody prvku s jednotkovou hodnotou parametru vztahem T V v T ( t) dt ( v, v) T v T. Zdánlvý výkon je defnován součnem efektvních hodnot napětí a proudu. aktvní a fktvní výkon můţeme stanovt součnem efektvních hodnot napětí a proudu, defnujeme-l jejch aktvní, resp. fktvní sloţky vztahy,, F F, F F...7 Defnce mtancí odílem výkonů a středních hodnot práce na prvcích s jednotkovým hodnotam mtancí defnujeme hodnoty mtancí a jejch aktvní a fktvní sloţky vztahy: a) pro mtance Y, Z, přčemţ hodnoty admtance a mpedance jsou nverzní, protoţe v jakémkolv případě je splněna rovnost YZ, b) pro fktvní sloţky mtancí

14 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely 4 Y F F F, Z F F F, c) aktvní sloţky mtancí byly defnovány v kaptole., přčemţ platí Y, Z... Stručný komentář omocí defnovaných sloţek lze jednoznačně sestavt rovnce (matematcké modely): ) ( F F λ λ, (xx) ) ( F F λ λ, ) ( F F λ λ Y Y Y Y, ) ( F F λ λ, ) ( F F λ λ Z Z Z Z, které jsou matematckým modelem paralelního č sérového řazení obvodových prvků duálních topologckých útvarů, jenţ jsou charakterstcké stejným (dentckým) hodnotam výkonů duálně korespondujících prvků. aralelní model je charakterzován společným napětím a sérový model je charakterzován společným proudem. Z výše uvedených rovnc je zřejmá rovnost (dentta) F λ λ, přčemţ čntel aktvního výkonu je defnován podílem hodnoty skalárního součnu napětí a proudu a součnu hodnot jejch norem u u u u u λ ), ( ), ( ), ( ), (. ) rčením hodnoty čntele aktvního výkonu a efektvní hodnoty napětí a proudu stanovíme jednoznačně všechny sloţky matematckých modelů. Aktvní sloţky modelují rozptyl (dspac) elektromagnetcké energe a v náhradních schématech je aktvní sloţka mtance modelována rezstorem. Zdánlvý výkon modelujeme mtancí. V náhradních schématech nelze modelovat fktvní sloţky, protoţe prezentovaným postupem jm nelze jednoznačně přřadt fyzkální význam. Význam slova fktvní je moţné chápat jako doposud nespecfkovaný. Text k prostudování Mkulec, M.; Havlíček,V.:Základy teore elektrckých obvodů. Skrptum ČVT raha999, kaptoly,, (podkaptoly. aţ.5) Další studjní texty Mayer, D.: Úvod do teore elektrckých obvodů. SNT/AFA, raha 9, podkaptoly.,.,.4

15 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely říklady. Napšte slovní defnc napětí, proudu a výkonu. Řešení: dw dq Napětí u udává hodnotu změny elektromagnetcké energe na jednotku náboje, proud dq dt udává (doplňte), výkon.. Napšte, jakou hodnotu má výkon ve stav naprázdno a nakrátko Řešení: Stav naprázdno je charakterzován jakoukolv hodnotou napětí a nulovou hodnotou proudu, proto je hodnota jejch součnu výkonu vţdy nulová. Stav nakrátko (doplňte)..... veďte fyzkální význam artmetckého a skalárního součnu okamţtých hodnot napětí a proudu. Řešení: Artmetcký součn udává hodnotu přírůstku práce v časovém okamţku, skalární součn (doplňte) 4. ro zadané hodnoty = 6W, = 5V, = A určete číselné hodnoty matematckých modelů. Nejdříve určíme hodnotu fktvní sloţky výkonu F 5 6 VA a) pro paralelní model stanovíme sloţky proudu 6, A ; F F,6 A 5 5 Řešení: a následně admtanc a její sloţky, Y,4 S ;,6 Y,4 S; F Y, S b) pro sérový model stanovíme sloţky (doplňte) F. a následně (doplňte) 5. o vyřešení příkladu 4. ověřte, zda hodnoty admtance a mpedance, resp. jejch sloţek jsou nverzní. Řešení: Součn vypočtených hodnot admtance a mpedance YZ,4,5 je nverzní, součn vypočtených hodnot jejch aktvních sloţek Y Z,4,5, 6 není nverzní, (doplňte) 5

16 . Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely Otázky. Čím charakterzujeme stav hmotného objektu?. Jak popsujeme změnu stavu hmotného objektu?. Jak je defnován skalární součn časových funkcí? 4. Jak získáme efektvní hodnotu velčny? 5. o to jsou mtance? Odpověd na otázky naleznete ve větách se slovy zvýrazněným tučnou kurzívou. Úlohy k řešení Z rovnce výkonu (xx) odvoďte matematcké modely:. Napětí. roudu. Admtance 4. mpedance 5. osuďte, zda hodnoty odporu a vodvost jsou nverzní Klíč k řešení Druhou mocnnu výkonu vyjádříme součnem druhých mocnn efektvní hodnoty napětí a efektvní hodnoty proudu a následně dělíme:. druhou mocnnou efektvní hodnoty napětí a upravíme (obdrţíme model paralelního zapojení prvků),. druhou mocnnou efektvní hodnoty proudu a upravíme (obdrţíme model sérového zapojení prvků).. ovnc paralelního modelu dělíme druhou mocnnou efektvní hodnoty napětí a upravíme. 4. ovnc sérového modelu dělíme druhou mocnnou efektvní hodnoty proudu a upravíme. 5. Hodnoty jsou nverzní pouze v případě, kdyţ je jejch součn roven jedné, jnak nverzní nejsou. Řešení je v dávce..4. Autokontrola okud jste reagoval správně na více jak polovnu podnětů z kaţdé oblast, pokračujte ve studu jné kaptoly, pokud ne, pak text studjní opory znovu prostudujte a opakovaně vypracujte odpověd na podněty. Zadání. samostatné práce ísemně, vedle obrázku 7, popšte postup výpočtu efektvní hodnoty. Zpracoval: Jaromír Kjonka 6

17 (u,u)/j (V^) (u,u) (V^.s) u^ (V^) u (V). Vymezení elektromagnetckých jevů obvodovým modely v (-), J a) v (-), J b) v (-), J 4 c) v (-), J d) Obr. 7 rafcké znázornění postupu určení efektvní hodnoty napětí, V. 7

18 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu. ANAÝZA NEÁNÍH OBVODŮ V HAMONKÉM STÁENÉM STAV Čas ke studu: hodny íl: o prostudování této kaptoly budete umět popsat elektrcký obvod základním pojmy z oblast analýzy obvodových prvků a obvodových velčn, vyjádřt grafcky obvodové velčny na časové ose (osclogram) a znázornt jejch fázory v komplexní rovně, defnovat hodnoty obvodových prvků a velčn pomocí komplexních čísel, sestrojt fázorový dagram elektrckého obvodu. Výklad Velčny s harmonckým časovým průběhem (nazývané také harmoncké velčny) mají v elektrotechncké prax mmořádný význam, protoţe praktcky celá výroba a rozvod elektrcké energe jsou realzovány pomocí harmonckých průběhů napětí a proudů. Harmoncké velčny můţeme vyjádřt pomocí funkcí snus nebo cosnus. Například harmoncké napětí znázorněné na obr. můţeme matematcky vyjádřt: u sn ( t Ψ ) () m u u je okamţtá hodnota napětí (V), m - maxmální hodnota napětí (ampltuda) (V), ω =.π/t =.π. f úhlový kmtočet (úhlová rychlost) (rad. s - ), ψ u počáteční fáze (rad), T peroda harmoncké funkce (s), f frekvence harmonckého děje(s - ), (Hz). u (V) m ψ u ω T/ T t (s) Obr. Harmoncké napětí u = m. sn (ω.t + Ψu)

19 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu Efektvní a střední hodnota harmonckých velčn ro praktcké počítání je výhodné zavést pojmy: Efektvní hodnota střídavého proudu je to hodnota stejnosměrného proudu (tedy v ustáleném stavu neměnného), který má stejné tepelné a mechancké účnky jako daný střídavý proud, defnujeme ho pomocí ztrát na jednotkovém odporu za perodu: T. m.sn t. dt m T =,77. m m. Střední hodnotu je nutné defnovat za polovnu perody (střední artmetcká hodnota jedné polovny perody): T str.. m sn.dt. m T π,67. Stejným způsobem jsou defnovány efektvní a střední hodnoty napětí. m ředevším efektvní hodnoty mají pro prax velký význam. Kdyţ mluvíme o proudu a napětí máme vţdy na mysl hodnoty efektvní (např. jmenovté hodnoty napěťových soustav 4 V, kv, kv jsou hodnoty efektvní apod.), pokud není zdůrazněno, ţe se jedná o hodnoty jné. Z toho důvodu, u harmonckých velčn, označujeme efektvní hodnoty bez ndexů (, ), střední a maxmální hodnoty s ndexy ( m, m ; str., str. )... Okamţtý výkon Okamžtý výkon je defnován jako součn okamţtých hodnot napětí a proudu: p(t) = u(t). (t) = m.sn(ωt+φ). m.sn ωt = m. (sn ωt. cos φ + cos ωt. sn φ). m.sn ωt = = m. m. (sn ωt. cos φ + cos ωt. sn φ. sn ωt) = =.....[(-cos ωt). cos φ + sn ωt. sn φ] = =.. [cos φ - cos ωt.cos φ + sn ωt. sn φ] = =.. [cos φ - (cos ωt.cos φ - sn ωt. sn φ)] = =.. [cos φ - cos (ωt + φ)] = S [cos φ - cos (ωt + φ)] () kde φ je fázovým posunem mez u a, vzhledem k tomu, ţe počáteční fáze proudu je rovna nule, je φ v tomto případě také počáteční fáze napětí, S - zdánlvý výkon (V.A) Okamţtý výkon se skládá z konstantní sloţky (její hodnota je rovna čnnému výkonu) a perodcké sloţky s úhlovým kmtočtem ω (její ampltuda je rovna zdánlvému výkonu). Během kladných hodnot okamţtého výkonu dodává zdroj energ čnnou - ta se v obvodu mění nevratně na jný druh energe, a jalovou - ta se v obvodu mění na energ elektrckého pole kapactorů a energ magnetckého pole nduktorů. Během záporných hodnot se část energe (jalová energe) vrací z obvodu do zdroje. Čnný výkon kryje v obvodu čnné ztráty a vytváří ve spotřebč čnnou prác. Jalový výkon vytváří v obvodu magnetcká a elektrcká pole, která ke své čnnost potřebují elektrcké stroje a přístroje. Čnný výkon je defnován jako střední hodnota okamţtého výkonu za dobu jedné perody: T T = p( t).dt T.. [cos φ - cos (ωt + φ)].dt=.. cos φ (W) () T 9

20 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu p = u. =..cos -..cos(t+) =..snt S u =..sn(t+) =..cos t (rad) Obr. rafcké znázornění vztahu ().. rafcké znázornění velčn harmonckých obvodů v komplexní rovně, fázor ř řešení obvodů velm často potřebujeme provádět základní výpočetní úkony (sčítání, odčítání apod.) a to je př vyjádření obvodových velčn pomocí snových resp. kosnových funkcí velm pracné. Z toho důvodu je př počítání ve střídavých obvodech vyuţíván především symbolcko komplexní počet, př kterém velčny harmonckých obvodů nahrazujeme jejch fázory. Z matematckého hledska jsou fázory komplexní čísla a také tak se s nm počítá (musí být splněna podmínka stejné frekvence všech velčn). Vztah mez obvodovou velčnou a jejím fázorem je zřejmý z obr. a obr. 4. u (V) m ψ u t (rad) Obr. Jedna peroda harmonckého napětí u..sn(. t ) u

21 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu + j ˆ e j u u + Obr. 4 Fázor napětí z obr Na obr. 4 je fázor napětí z obr., důleţté je uvědomt s, ţe počáteční fáze v aussovo rovně představuje orentovaný úhel mez kladným směrem reálné osy a směrem fázoru. Kladné počáteční fáze posunují fázor v kladném směru otáčení v aussovo rovně, tj. prot smyslu otáčení hodnových ručček a naopak. S vyuţtím Eulerova vztahu můţeme vyjádřt fázory ve sloţkovém tvaru: ju.e.cosψ u j.snψ u Exponencální tvar je vhodný pro násobení, mocnění, dělení a odmocňování, sloţkový tvar se uţívá př sčítání a odčítání. (4).. Komplexní výkon V aussově rovně defnujeme komplexní výkon, jehoţ absolutní hodnota je rovna výkonu zdánlvému z předcházející kaptoly: nd S jq kap V.A; W, var (5) kde je komplexně sdruţený fázor k fázoru proudu Význam komplexně sdruţených čísel je zřejmý z obr. 5. +j  Ae j + A ˆ * Ae j Vyjádříme-l S ve složkovém tvaru, představuje reálná část čnný výkon a magnární část jalový Obr. 5 Komplexně sdružená čísla A a A (jsou umístěna zrcadlově vůč reálné ose) výkon Q. Je zřejmé, jak je uvedeno ve vztahu (5), ţe zatímco reálná část (čnný výkon) je vţdy kladná, magnární část (jalový výkon) můţe nabývat kladné záporné hodnoty. ř této defnc

22 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu komplexního výkonu, je kladné znaménko u jalových výkonů s charakterem nduktvním a záporné znaménko u jalových výkonů s charakterem kapactním. +j ˆ e j u u ˆ e j + Obr. 6 K příkladu určení komplexního výkonu, φ je fázový posun mez a Nyní s určíme komplexní výkon pro obvod, jehoţ napětí a proud jsou znázorněny na obr. 6. odle vzájemné polohy fázorů proudu a napětí je zřejmé, ţe se jedná o obvod s nduktvním charakterem (napětí předbíhá proud). Komplexně sdruţené číslo k fázoru proudu, vyjádříme v exponencálním j tvaru je ˆ * e a dosadíme do (5): j u j j u j S. e e e S.e S.cos js.sn jq (6) Také znaménko exponentu výkonu S a u jalového výkonu Q potvrzuje, ţe se jedná o obvod s nduktvním charakterem. rafcky je vztah (6) znázorněn na obr. 7. +j Sˆ ˆˆ* e j u Q S sn u + S cos Obr. 7 rafcké znázornění výkonů (trojúhelník výkonů) V praktckých případech nás zajímají především absolutní hodnoty jednotlvých výkonů: S =. (V.A); =..cos φ (W); Q=..sn φ (var) (7) Velm důleţtým pojmem v elektrotechnce je výraz cos φ, kterému se říká účník. Jeho velkost se př rozvodu elektrcké energe přísně sleduje - neměl by klesnout pod hodnotu,95. To úzce souvsí s energetckým ztrátam př rozvodu elektrcké energe a tedy s jeho ekonomkou..4. Jednoduché obvody střídavého proudu Jak jţ bylo uvedeno dochází ve střídavých obvodech k nevratné přeměně elektrcké energe na jné druhy energí a k vytváření magnetckých a elektrckých polí. kdyţ ve skutečnost k těmto jevům dochází v kaţdém místě obvodu, je vhodné př řešení ustálených, resp. pomaluběţných jevů soustředt

23 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu tyto děje do deálních prvků: rezstoru (deálního odporníku), kde probíhá nevratná změna elektrcké energe na teplo, nduktoru (deální cívky), kde vznká magnetcké pole a kapactoru (deálního kondenzátoru), kde vznká jen elektrcké pole. Jednou elektrckou vlastností rezstoru je rezstance (odpor) symbol (Ω), nduktoru ndukčnost - (H) a kapactoru kapacta (F). Obr. Značky základních prvků elektrckých obvodů ezstor napájený harmonckým napětím u m sn ωt u Obr. 9 očítací špky proudu a napětí rezstoru ezstorem přpojeným ke zdroj harmonckého napětí protéká harmoncký prou stejné frekvence: u m sn ωt m sn ωt () a) b) +j p u t Î ˆ + Obr. roud, napětí a okamžtý výkon v obvodu s rezstorem a) časový průběh, b) fázorový dagram ro okamţtý výkon můţeme napsat: p u m sn ωt m sn ωt mm sn ωt mm cos ωt cos ωt (9)

24 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu Okamţtý výkon obr. se skládá ze dvou sloţek : ze stejnosměrné a střídavé, která kmtá s dvojnásobnou frekvencí okolo sloţky stejnosměrné. Kmtavý výkon nabývá pouze nezáporných hodnot, to znamená, ţe elektrcká energe proudí jen ze zdroje do rezstoru kde se nevratně mění na teplo. V obvodu není jalový výkon. Zdánlvý výkon je roven výkonu čnnému: T T u dt cos ωt dt ( =. cos - podle (7)) () T T Na obr. je zakreslen průběh energe, která- je ntegrálem výkonu podle času. w t p dt p t u p Q t +j Î ˆ + π Obr. růběh energe a výkonu rezstoru nduktor napájený harmonckým napětím u m sn ωt u Obr. očítací špky proudu a napětí nduktoru ř analýze tohoto obvodu vycházíme z ndukčního zákona, podle kterého vypočteme napětí na nduktoru protékaným proudem: 4

25 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu u dφ d dt dt m sn ωt kde Φ je magnetcký tok (Wb) z () vypočteme proud: m m π π m sn ωt dt cos ωt snωt m snωt ω ω π Vdíme, ţe proud nduktoru je zpoţděný za napětím o () () rafcké znázornění proudu, napětí a okamţtého výkonu je na obr.. Z () vyjádříme vztah pro maxmální a efektvní hodnotu proudu: m m ω ω () Výraz ve jmenovatelích nazýváme nduktvní reaktance a označujeme X = ω. (Ω) (4) Dále určíme okamţtý výkon: p u m sn ωt m snωt mm sn ωt cos ωt sn ωt (5) u p +j Q t + a) b) Obr. roud, napětí a okamžtý výkon nduktoru a) časový průběh, b) fázorový dagram Vdíme, ţe okamţtý výkon je také harmoncký a má dvojnásobnou frekvenc (oprot u a ). Jeho střední hodnota za jednu perodu (čnný výkon) je rovna nule: T T u dt sn ωt dt ( =. cos ) (6) T T V nduktoru nedochází k nevratné přeměně elektrcké energe na jný druh energe. 5

26 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu Energe dodaná zdrojem do nduktoru za čtvrtperodu (od T/4 do T/, resp. od ¾ T do T), kdyţ proud stoupá z nulové hodnoty do maxma: w T / T / 4 u dt T / T / 4 sn ωt dt ω ω ω T / cos ωt W (7) T / 4 Ve zbylých čtvrtperodách, kdy klesá proud z maxma do nuly, bychom dostal stejné výrazy, ale se záporným znaménkem, to odpovídá toku energe z nduktoru do zdroje. Mez nduktorem a zdrojem nastává kmtání energe př které se nevykonává ţádná práce (kdyţ jsme zanedbal všechny odpory v obvodu). Kdyţ mají napětí a proud současně kladné nebo záporné hodnoty dodává zdroj energ do nduktoru, kde se mění na energ magnetckého pole. Kdyţ mají proud a napětí současně nestejnou polartu probíhá tento dej obráceně, z nduktoru je dodávána energe do zdroje. Ampltudu kmtavého výkonu nazýváme jalovým ndukčním výkonem (). m mag w W t m W mag Obr. 4 růběh energe na nduktoru Q (var) () Na obr.4 je průběh energe v nduktoru, jeho maxmální hodnota představuje maxmální energ, kterou můţe akumulovat nduktor ve formě energe magnetckého pole: W m Wmag (var.s) (9) Kapactor napájený harmonckým napětím u m sn ωt u Obr. 5 očítací špky proudu a napětí kapactoru ř analýze kapactoru přpojeného na harmoncké napětí vycházíme ze vztahu pro náboj a proud kondenzátoru: dq, q u () dt ro proud př harmonckém napětí dostaneme z (): dq d m sn ωt ω m cos ωt m snωt () dt dt Vdíme, ţe v tomto případě je prou harmoncký, má stejnou frekvenc jako napětí, ale je před napětím posunutý o. Z () určíme: m m ω m, X, X X (). 6

27 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu kde X je kapactní reaktance (Ω). u +j Q p Î ˆ t + a) b) Obr. 6 roud, napětí a okamžtý výkon kapactoru a) časový průběh, b) fázorový dagram rčíme okamţtý výkon: p u sn ωt cos ωt sn m m ωt Okamţtý výkon je harmoncký a kmtá s dvojnásobnou frekvencí okolo muly. Čnný výkon je nulový: T T u dt T T () π sn ωt dt ( =. cos ) (4) Energe dodaná zdrojem kapactoru za čtvrtperodu od do T/4, resp. od T/, do ¾ T do T), kdyţ napětí stoupá z nulové hodnoty do maxma: w T / 4 u dt T / 4 sn ωt dt ω ω T / 4 cos ωt m Wel Ve zbylých čtvrtperodách, kdy klesá napětí z maxma do nuly, bychom dostal stejné výrazy, ale se záporným znaménkem, to odpovídá toku energe z kapactoru do zdroje. Mez kapactorem a zdrojem nastává kmtání energe př které se nevykonává ţádná práce (zanedbal jsme všechny odpory v obvodu). Kdyţ mají napětí a proud současně kladné nebo záporné hodnoty dodává zdroj energ do kapactoru, kde se akumuluje ve formě energe elektrckého pole. Kdyţ mají proud a napětí současně nestejnou polartu probíhá tento dej obráceně, z kapactoru je dodávána energe do zdroje. Ampltudu kmtavého výkonu nazýváme jalovým kapactním výkonem (6). Q (var) (6) Na obr. 7 je průběh energe kapactoru, její maxmální hodnota představuje maxmální energ, kterou můţe akumulovat kapactor ve formě energe elektrckého pole: Wcm m (var.s) (7) (5) 7

28 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu w t Obr. 7 růběh energe v kapactoru W cm m.5. Shrnutí vlastností,, prvků,x X.. X ω, f Obr. Závslost, X a X na frekvenc Z obr. 5 je zřejmé chování obvodových prvků v harmonckých obvodech. Nezávslost rezstance na frekvenc je moţná jen př zanedbání sknefektu (nerovnoměrného rozloţení proudu po průřezu vodče), to platí jen pro frekvence řádově stovek Hz. ř vyšších frekvencích je potřebné vzrůst odporu vlvem sknefektu respektovat. Obvod rezstoru a nduktoru v sér napájený harmonckým napětím u m sn ωt u u u Obr. 9 Sérový obvod, přpojený na harmoncké napětí odle Krchhoffova smyčkového zákona a vyjádření jednotlvých napětí můţeme napsat: u u u d ; m sn ωt () dt ovnce () je nehomogenní lneární dferencální rovnce.řádu s konstantním koefcenty. omocí fázorů můţeme rovnc () vyjádřt:. j... Z. (9) Z j.. jarctg j...e Z.e (Ω) je mpedance () X ω kde π arctg arctg je fázový posuv mez proudem a celkovým napětím, j j obr., ve kterém jsme proud poloţl do reálné osy.e.e

29 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu +j +j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Î + ˆ + a) b) Obr. Fázorový dagram obvodu, v sér - grafcké znázornění vztahu (9) (a), trojúhelník napětí sérového obvodu, (b) Řešení dferencální rovnce () pro ustálený stav: m ω snωt arctg m snωt ω Vdíme, ţe řešení pomocí fázorů je jednodušší, neţ řešení pomocí okamţtých hodnot. Z předchozího můţeme defnovat Ohmův zákon pro harmoncké obvody: Z ; Z X ω () Kdyţ vynásobíme okamţté hodnoty napětí a proudu dostaneme vztah pro okamţtý výkon: p u sn ωt sn ωt sn ωt cos sn ωt sn cos ωt m m m cos cos m m m cos cos ωt sn sn ωt cos cos cos ωt sn sn ωt ωt Okamţtý výkon je kmtavý a skládá se ze stejnosměrné sloţky okolo které kmtá sloţka střídavá s dvojnásobnou frekvencí obr.. Jeho ntegrací za jednu perodu dostaneme čnný výkon: T cos cos ωt dt cos T (4) ř kladných hodnotách okamţtého výkonu proudí energe ze zdroje do obvodu, př záporných naopak z obvodu do spotřebče. ozíl mez těmto hodnotam je energe, která se v obvodu (v rezstoru) přeměnla nevratně na teplo jí odpovídá čnný výkon zdroje. () 9

30 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu u p t Obr. Časové průběhy proudu, napětí a okamžtého výkonu obvodu, v sér ro lepší pochopení jednotlvých výkonů v obvodu vypočteme zvlášť okamţtý výkon rezstoru - u a jsou ve fáz (obr.): p u sn ωt sn ωt cos sn ωt sn ωt m m m cos sn m m m ωt cos cosωt π a na nduktoru u předbíhá o (obr.) elkový okamţtý výkon je dán jejch součtem: p p p cos cos cosωt sn snωt (7) (5) Výkon rezstoru p kmtá okolo střední hodnoty celkového kmtavého výkonu, tedy okolo čnného výkonu obvodu =..co φ. Výkon nduktoru p kmtá okolo časové osy, jeho střední hodnota je rovna nule (na nduktoru nedochází k nevratné přeměně elektrcké energe), jeho maxmální hodnota Q=..snφ představuje jalový výkon obvodu. p p p Q t Obr. růběh okamžtého výkonu, okamžtého výkonu rezstoru a nduktoru

31 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu Text k prostudování Mkulec, M.; Havlíček,V.:Základy teore elektrckých obvodů. Skrptum ČVT raha999; podkaptoly 7.; aţ 7.7 Další studjní texty Mayer, D.: Úvod do teore elektrckých obvodů. SNT/AFA, raha 9, kaptola 6 Otázky ro ověření, ţe jste dobře a úplně látku kaptoly zvládl, máte k dspozc několk teoretckých otázek.. o je efektvní hodnota harmonckého proudu?. Jak je defnován komplexní výkon?. o je účník elektrckého spotřebče? 4. Jakou energ můţe akumulovat nduktor? Odpověd naleznete ve Výkladu úvodní odstavec (.otázka), odst.. (.otázka), odst.. (.otázka), odst..4 (4.otázka). Úlohy k řešení. ( body) ro harmoncké napětí z obr. nakreslete fázor.. ( body) Napšte vztahy pro čnný výkon a jalový výkon a vysvětlete je.. ( body) Napšte vztah pro účník a vysvětlete ho. 4. ( body) Odvoďte vztah pro okamţtý výkon. 5. ( body) Nakreslete orentační fázorový dagram pro obvod z obr.. Zadán je proud a hodnoty všech obvodových prvků u (V) m ψ u ω T/ T t (s) Obr. růběh jedné perody harmonckého napětí s počáteční fází Ψu

32 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu Î Î ˆ ˆ ˆ Î ˆ ˆ Obr. Schéma elektrckého obvodu k úloze č.5 Klíč k řešení. Fázor je grafcké znázornění harmoncké velčny v komplexní rovně pomocí maxmální hodnoty (ampltudy) nebo efektvní hodnoty, a počáteční fáze, př daném kmtočtu. + j ˆ e j u u + Obr. Fázor napětí z obr.. =..cosφ =. č.(w) () Čnný výkon vytváří v obvodu čnnou prác a kryje čnné ztráty (čnný výkon reprezentuje elektrckou energ, která se v obvodu nevratně mění na jný druh energe). Vypočteme ho ze vztahu () je to střední hodnota okamţtého výkonu za dobu jedné perody: Q =..snφ =. j.(var) () Jalový výkon vytváří v obvodu energ potřebnou pro vznk elektrckého pole kapactorů a magnetckého pole nduktorů. řeměna elektrcké energe na energ elektrckého a magnetckého pole není nevratná. V obvodu dochází k perodcké výměně jalové energe mez zdrojem a nduktory a kapactory. řenosem této energe vznkají ve vodčích čnné (Jouleovy) ztráty. Jalový výkon vypočteme podle vztahu ().. Účník je poměr čnného a zdánlvého výkonu (udává míru vyuţtelnost energetckých zařízení)

33 . Analýza lneárních obvodů v harmonckém ustáleném stavu cos S 4. p(t) = u(t). (t) = = m.sn(ωt+φ). m.sn ωt = m. (sn ωt. cos φ + cos ωt. sn φ). m.sn ωt = = m. m. (sn ωt. cos φ + cos ωt. sn φ. sn ωt) = =.....[(-cos ωt). cos φ + sn ωt. sn φ] = () =.. [cos φ - cos ωt.cos φ + sn ωt. sn φ] = =.. [cos φ - (cos ωt.cos φ - sn ωt. sn φ)] = =.. [cos φ - cos (ωt + φ)] (4) Okamţtý výkon je tvořen součnem okamţtých hodnot napětí a proudu. Skládá z konstantní sloţky (její hodnota je rovna čnnému výkonu) a perodcké sloţky s úhlovým kmtočtem ω (její ampltuda je rovna zdánlvému výkonu). Během kladných hodnot okamţtého výkonu dodává zdroj energ (čnnou a jalovou) do obvodu, během záporných hodnot se část energe (jalová energe) vrací z obvodu do zdroje. 5. Jako první zakreslíme fázor proudu (poloţíme ho do kladného směru reálné osy) + j ˆ ˆ Î ˆ + Î Î ˆ ˆ Obr.4 Orentační fázorový dagram obvodových velčn z obr. Autokontrola okud jste získal z úloh k řešení alespoň bodů, je moţno přejít ke studu dalšího tématu. V opačném případě je nutné kaptolu znovu prostudovat a opakovaně vypracovat úlohy k řešení. Zadání. samostatné práce ř napájení ze zdroje proudu sn π A je v sérovém zapojení zdroje, rezstoru, nduktoru a kapactoru efektvní hodnota napětí kaţdého prvku 6 V. rčete hodnoty mtancí a parametrů, zobrazte časový průběh velčn, výkonů, energe nduktoru a kapactoru a nakreslete (v měřítku) příslušné fázorové dagramy. Zpracoval: Josef aleček

34 . Věty o náhradních zdrojích, výkonové přzpůsobení střídavého zdroje, prncp superpozce, transfgurace. VĚTY O NÁHADNÍH ZDOJÍH, VÝKONOVÉ ŘZŮSOBENÍ STŘÍDAVÉHO ZDOJE, N SEOZE, TANSFAE Čas ke studu: hodny íl: o prostudování této kaptoly budete umět: zjednodušovat schémata elektrckých obvodů s vyuţtím transfgurací trojúhelník hvězda a hvězda trojúhelník, vyřešt elektrcké obvody s vyuţtím prncpu superpozce, vyřešt elektrcké obvody s pouţtím Thevennovy věty, vyřešt elektrcké obvody s pouţtím Nortonovy věty, určt zátěţovací mpedanc napěťového zdroje pro odběr největšího výkonu ze zdroje. Výklad.. Věty o náhradních zdrojích ř řešení mnoha elektrotechnckých problémů je potřebné vyšetřt proudové, resp. napěťové poměry jen v jedné větv rozvětveného obvodu. K takovému úkolu je výhodné pouţít věty o náhradních zdrojích. odle nch rozdělíme analyzovaný obvod na část - dva dvojpóly: na zkoumanou větev a na zbytek obvodu, který obsahuje všechny zdroje v obvodu, představuje tedy sloţený aktvní dvojpól. rncp této věty spočívá v tom, ţe sloţený aktvní dvojpól nahradíme jednoduchým aktvním dvojpólem elektrckým zdrojem. O náhradě napěťovým zdrojem mluví Thèvennův teorém, o náhradě proudovým zdrojem mluví Nortonův teorém. a) b) Obr. Vyjmutí zdrojů, a) napěťového, b) proudového ř aplkac těchto teorémů se provádí vyjmutí zdrojů napěťových tak, ţe všechny deální zdroje napětí odpojíme z obvodu a nahradíme je zkratem, obvodu takz ůstanou jen jejch vntřní odpory obr.a). Vyjmutí zdrojů proudových se provede tak, ţe deální zdroje proudu odpojí a v obvodu zůstanou jen vntřní vodvost obr.b). Thèvennův teorém - věta o náhradním zdroj napěťovém odle ní můţeme kaţdý sloţený aktvní lneární dvojpól nahradt skutečným napěťovým zdrojem s vntřním napětím a vntřním odporem obr.. Tato náhrada je splněná, kdyţ: 4