DVOUVÝBĚROVÉ PODMÍNĚNÉ POŘADOVÉ TESTY VANALÝZEPŘEŽITÍ
|
|
- Dagmar Kubíčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ROBUST 2000, 3 8 c JČMF 200 DVOUVÝBĚROVÉ ODMÍNĚNÉ OŘADOVÉ TESTY VANALÝZEŘEŽITÍ LENKA KOBLÍŽKOVÁ Abstrakt The preset paper deals with coditioal rak tests i survival aalysis for two sample problem with radomly cesored data Coditioal rak tests are exact permutatio tests uder ull hypothesis ofradomess ifequal cesorship is icluded (restricted ull hypothesis) Maily their asymptotic properties are studied uder this hypothesis Rezme V stat~e izuqats uslovye ragovye kriterii dl dvuhvyboroqoi$ problemy s cezurirovaiem i day ih asymptotiqeskie svoi$stva Úvod říspěvek pojedává o ěkterých pořadových testech shody rozděleí dvou cezorovaých výběrů, které se používají v aalýze přežití Je zaměře a testy podmíěé, které jsou založey a vlastostech podmíěého rozděleí příslušých statistik při pevé realizaci idikátorových veliči událostí sdružeého výběru Na základě permutací lze určit přesé hodoty kvatilů podmíěého rozděleí uvažovaých statistik Dostáváme tak exaktí testové kritérium Teto permutačí test vyžaduje rovost rozděleí dob do cezorováí obou uvažovaých výběrů Vážeé lograkové statistiky patří do třídy zobecěých lieárích pořadových statistik a lze a ě použít již vybudovaou teorii pořadových testů pro ecezorovaá data S ohledem a tuto skutečost je odvozeo limití chováí podmíěého rozděleí těchto statistik za platosti hypotézy áhodosti a rovosti rozděleí cezorováí (omezeé ulové hypotézy) V tomto případě podmíěé rozděleí ezávisí a podmíce a testovaou hypotézu pak zamítáme ebo ezamítáme a základě kvatilů ormovaého ormálího rozděleí N(0, ) 2 Formulace problému a jeho testováí ředpokládejme dvouvýběrový model áhodého cezorováí, kdet i,t i2,,t ii je áhodý výběr z ějakého rozděleí s absolutě spojitou distribučí fukcí F i, i =, 2 Nechť oba tyto výběry dob do selháí jsou a sobě ezávislé Nechť C i,c i2,,c ii je áhodý výběr z ějakého rozděleí s absolutě spojitou distribučí fukcí G i, i =, 2 Nechť oba tyto výběry dob do cezorováí jsou a sobě ezávislé Dále předpokládejme, že áhodé veličiy T ij, C ij jsou ezávislé a S i = F i je fukce přežití veliči T ij, j =, 2,, i,i=, 2 Skutečému pozorováí pak odpovídá áhodý vektor (X ij,δ ij ), j =, 2,, i, i =, 2, kde 2000 Mathematics Subject Classificatio rimary 62G0; Secodary 62N03 Klíčová slova ořadové testy, aalýza přežití, cezorovaá data Teto příspěvek vzikl za přispěí gratů GAČR 20/00/0769 a MSM
2 4 Leka Koblížková X ij =mi(t ij,c ij ), δ ij =, T ij C ij, X ij ecezorováo, 0, T ij >C ij, X ij cezorováo Ozačme X () =(X (),X (2),,X () ) vektor pořádkových statistik příslušý áhodému vektoru X =(X,X 2,,X ) =(X,,X,X 2,,X 2 2 ) aechť δ =(δ [],δ [2],,δ [] ) je vektor odpovídajících idikátorových veliči událostí, X (j) ecezorováo, δ [j] = 0, X (j) cezorováo Vzhledem k tomu, že distribučí fukce F, F 2, G, G 2 jsou absolutě spojité, astává jev X () <X (2) < <X () s pravděpodobostí jeda Ozačme Y ij počet objektů z i-té populace, které pozorujeme těsě před událostí včasex (j),tzy ij = i k= I(X ik X (j) ) oložme Y j = Y j + Y 2j = j + Nechť Z j = (0), jestliže áhodá veličia X (j), j =, 2,,, pochází z prvího (druhého) výběru oložme p j = Yj Y j a q j = p j pro j ředmětem zájmu je testovat platost omezeé ulové hypotézy (2) H0 : F = F 2 = F (ezámé), G = G 2 = G (ezámé) proti jedostraé alterativě stochastického uspořádáí (22) K : F (t) F 2 (t) pro t, F F 2 K testováí výše formulovaé hypotézy (2) proti alterativě (22) užíváme vážeou lograkovou statistiku T tvaru (viz [5], část 3, popř viz [3], část 2) (23) T = T ( Z, δ) = w (j) δ [j] (Z j p j ), kde w je ezáporá stochastická váhová fukce řitom se omezíme a váhy tvaru ( ) κ ( ) κ Yj j + (24) w (j) = w (X (j) )=Ŝρ (X (j) ) = Ŝρ (X (j) ) Ve vzorci (24) jsou koeficiety ρ, κ 0aŜ(X (j) ) začítzvkaplaův Meierův odhad (podroběji viz [], kapitola 3) fukce přežití S(t) těsě před okamžikem X (j), tj j ( ) δ [k] (25) Ŝ(X (j) )=, kde k + Ŝ ( X () ) = k= V praxi se běžě používají statistiky lograková (ρ = 0, κ = 0), reticeova Wilcoxoova (ρ =,κ =0)aGehaovova Wilcoxoova (ρ =0,κ =) ozámka 2 Volba vhodých vah je složitější problém a při jeho řešeí se využívá iformace o tom, z jakého rozděleí výběr pochází (podroběji viz [], oddíl 74) Ze vztahů (24) a (25) vyplývá, že váhová fukce w (j) závisí pouze a idikátorových veličiách δ [],δ [2],,δ [j ] a p j, q j = p j závisejí pouze a Z,Z 2,,Z j : (26) p j = Y j k= = I(X k X (j) ) = j k= Z k Y j j + j +
3 Dvouvýběrové podmíěé pořadové testy v aalýze přežití 5 Tedy statistika T defiovaá v (23) závisí pouze a vektoru Z =(Z,Z 2,,Z ) avektoru δ =(δ [],δ [2],,δ [] ) K myšlece podmíěých testů se dostáváme přes ásledující tvrzeí Tvrzeí 2 Za platosti omezeé ulové hypotézy H 0 jsou áhodé vektory δ a Z ezávislé a áhodý vektor Z má rozděleí jako áhodý výběr bez vraceí z populace obsahující jediček a 2 ul Důkaz Tvrzeí lze alézt v [5], str 765, lemma 3 odmíěý test je sestave ve dvou krocích: () Na základě pozorováí (x,δ o),,(x,δ o)určíme δ o =(δ[] o,δo [2],,δo [] ) (2) Spočteme hodotu statistiky T pro pozorovaá data podle vzorce (23) a užijeme rozhodovacího kritéria pro pevé δ o :, T ( z, δ o ) >c (α, δ o ), ϕ, δo( z) = γ(α, δ o ), T ( z, δ o )=c (α, δ o ), γ(α, δ o ) [0, ], 0, T ( z, δ o ) <c (α, δ o ), kde c (α, δ o )je( α)-kvatil podmíěého rozděleí L(T ( Z g, δ) δ = δ o ) řičemž Z g je áhodý vektor, který obsahuje právě jediček a 2 ul a abývá každé permutace jediček a 2 ul se stejou pravděpodobostí / ( ) Z tvrzeí 2 dostáváme, že za platosti H0 je L( Z) =L( Z g ) ři malých hodotách lze staovit podmíěé rozděleí pravděpodobostí statistiky T tak, že pro každou hodotu T = t staovíme počet permutací k t kí vedoucích, tz H0 (T = t δ = δ o )=k t / ( ) Odtud určíme kvatil c (α, δ o ) ozámka 22 odmíěý test ϕ, δo viz [2], str 42 45) patří mezi tzv testy permutačí (podroběji Výše zmíěý způsob výpočtu kvatilu c (α, δ o ) se stává velmi pracým pro větší rozsahy a 2, proto v praxi využíváme simulací, kdy provedeme áhodý výběr ze všech možých permutací o rozsahu m (m dostatečě velké) a určíme kvatil c (α, δ o ) z tohoto výběru Jiá možost je sestavit rozhodovací kritérium a základě limitího chováí podmíěého rozděleí L(T ( Z, δ) δ = δ o ) K tomu potřebujeme určit podmíěou středí hodotu a rozptyl statistiky T 2 odmíěá středí hodota a rozptyl statistiky ro ásledující výpočet je třeba si uvědomit toto: E(Z j Z,,Z j )=p j Stadardím výpočtem pak odvodíme (podroběji viz [4], str 3 32): (27) E(T δ) =0 s j, var(t δ) = w 2 (j) δ 2 j [j] ( ) j + = w 2 (j) δ [j] Ep j q j s j Je užitečé si uvědomit souvislost s pořadovými statistikami pro ecezorovaá data Statistiku T ( Z, δ o ) defiovaou vzorcem (23) lze upravit ásledově (28) T ( Z, δ) = w (j) δ [j] (Z j p j )= Z j a j,
4 6 Leka Koblížková kde skóry jsou určey vztahem (29) a j = w (j) δ [j] j δ [i] w (i) i +, i= Jedá se tedy o zobecěou lieárí pořadovou statistiku j =, 2,, ozámka 23 Výše defiovaé skóry a j závisejí a δ [],δ [2],,δ [j], a tudížjsou fukcí áhodého vektoru δ, cožkvůli zbytečě složitému začeí ebudeme explicitě vyjadřovat ro skóry typu (29) platí (viz [4], str 35) a j =0, (a j) 2 = w(j) 2 j ( ) (20) δ [j] = var(t δ) j Asymptotické vlastosti testu Tvrzeí 3 Nechť existuje limita lim i / = η i (0, ), i=, 2 ak za platosti omezeé ulové hypotézy H 0 skóry a j defiovaé v (29) s vahami tvaru (24) splňují podmíku (3) max j (a j )2 (a j )2 0, Důkaz Skóry a j defiovaé v (29) lze omezit s j: Odtud a z (20) obdržíme (32) 0 max j (a j )2 (a j )2 max j (a j) 2 ( k= 2 2 ) 2 = s 2 k s 2 (a j )2 = 2 s 2 var(t δ) řičemžužijeme vlastosti částečého součtu harmoické řady s = k= k avlastosti přirozeého logaritmu l() (viz [6], str , bod 6, a str , bod 7) l α () (33) lim β =0, α > 0, β>0, lim (s l()) = c, kde c =0, je tzv Eulerova kostata Opakovaým použitím (33) dostaeme, že lim s 2 / =0 Tedy čitatel výrazu a pravé straě v (32) koverguje kulepro okud jmeovatel uvažovaého zlomku bude kovergovat v pravděpodobosti ke kladé kostatě pro, cožyí ověříme, podmíka (3) bude splěa Jiak řečeo, chceme, aby za H 0 platilo: (34) var(t δ) cost > 0, Ozačme V = 2 w2 (j) δ [j] p j q j rov s vahami tvaru (24) za H 0 platí (viz [5], oddíl 22, podroběji viz [], oddíl 72) (35) V σ 2,, ( ) /2 kde σ 2 je asymptotický rozptyl statistiky T 2 ro aše potřeby stačí, že se jedá o kladou kostatu
5 Dvouvýběrové podmíěé pořadové testy v aalýze přežití 7 Abychom ověřili (34), stačí dokázat tvrzeí, že za hypotézy H 0 ( ) 2 V var(t δ) 0,, (36) tj z (27) w 2 (j) δ [j] (p j q j Ep j q j ) 0,, 2 eboť z (35) vyplývá, že η η 2 σ 2 při Zvolme libovolě malé pevé ε (0, ) a využijme vlastost vah w (j) pro j, pak w 2 (j) δ [j] (p j q j Ep j q j ) j<ε p j q j Ep j q j <εsj j<ε j<ε Stejou erovost dostaeme i pro součet přes všecha j, ( ε) <j, poěvadž ho lze převést a předchozí případ úpravou k = j Z výše uvedeého vyplývá, že stačí vyšetřovat kovergeci podle pravděpodobosti pro součet přes všecha j splňující erovost ε j ( ε): w 2 (j) δ [j] (p j q j Ep j q j ) ε j ( ε) p j q j Ep j q j ε j ( ε) ( p j Ep j (p j +Ep j ) +varp j ) s j ε j ( ε) 2 V K dalšímu potřebujeme odhad rozptylu var p j, ε j ( ε), (viz [4], str 4): (37) 0 var p j 2 2 j ε + Vezmeme-li v úvahu, že (p j +Ep j ) s j pro j spolu s odhadem (37), pak w 2 [j] (p j q j Ep j q j ) ε j ( ε) max j Ep j + 2 ε j ( ε) 2 s j ε + řičemžvýraz a pravé straě bude kovergovat podle pravděpodobosti k ule pro, pokud (38) max j Ep j 0, ε j ( ε) Tuto zbývající vlastost dokážeme: ( ) ro p j, viz (26), platí p j = j+ Ĥ (X (j) ), kde Ĥ (x) je empirická distribučí fukce poslouposti áhodých veliči X,X 2,,X OzačmeĤ(x) empirickou distribučí fukci poslouposti áhodých veliči X,X 2,,X Dále echť H i začí distribučí fukci veliči X ij, j =, 2,, i, i =, 2 Za platosti H 0 je H (x) =H 2 (x) =H(x) pro x K odvozeí vlastosti (38) užijeme Glivekovu větu, tedy za platosti H0 (39) sup Ĥ (x) H(x) 0,, (30) sup Ĥ(x) H(x) 0,
6 8 Leka Koblížková Dále využijeme (3) j + η pro ε j ( ε) ε + ε Rozdíl p j Ep j upravíme přičteím a odečteím vhodých výrazů [ p j Ep j = j + Ĥ(X (j) ) ( H(X )] (j) ) + [ ( )] + H(X (j) ) Ĥ(X (j) ) + [ Ĥ(X (j) ) j + ] } Ep j Vzhledem k tomu, že Ep j = a Ĥ(X (j) )= j,máme [ ] p j Ep j = H(X (j) ) (j) )] j + Ĥ(X + [Ĥ (X (j) ) H(X (j) ) } Za platosti H0 lze áhodou veličiu max ε j ( ε) p j Ep j omezit s j ásledově: max p j Ep j ( sup Ĥ ε j ( ε) ε + (x) H(x) +sup Ĥ(x) H(x) + ) Z vlastostí (39), (30) a (3) plye vlastost (38) Tím jsme dokočili důkaz (36), a tedy i tvrzeí 3 Z tvrzeí 3 vyplývá, že za platosti omezeé ulové hypotézy H 0 stadardizovaá T statistika var(t,kdet je tvaru (28), má asymptoticky podmíěě při daém δ δ) ormovaé ormálí rozděleí N(0, ) (viz [2], str 94 95, dodatky 4 a 8), tj lim sup T x δ Φ(x) var(t δ) >ε =0, ε>0 T ozámka 3 Vzhledem k této vlastosti stadardizovaá statistika var(t δ) má i asymptoticky (epodmíěě) ormovaé ormálí rozděleí N(0, ) (viz [2], str 95, dodatek 5) Na základě získaých pozatků staovíme asymptotické kritérium podmíěého pořadového testu v případě velkých hodot a 2 :, T (var(t δ = ϕ, δo = δ o )) /2 >u α, zamítáme hypotézu H 0, 0, T (var(t δ = δ o )) /2 u α, ezamítáme hypotézu H 0, kde u α je ( α)-kvatil ormovaého ormálího rozděleí N(0, ) Literatura [] Flemig T R, Harrigto D (99): Coutig rocesses ad Survival Aalysis Joh Wiley & Sos, Ic, New York [2] Hájek J, Šidák Z (967): Theory ofrak Tests Academia, raha [3] Jasse A (99): Coditioal Rak Tests for Radomly Cesored Data The Aals of Statistics Vol 9, No 3, [4] Koblížková L (2000): ořadové testy a odhady v aalýze přežití Diplomová práce MFF UK [5] Neuhaus G (993): Coditioal Rak Tests for the Two Sample roblem Uder Radom Cesorship The Aals of Statistics Vol 2, No 4, [6] Rektorys K a spolupracovíci (995): řehled užité matematiky I rometheus, raha
jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceEKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model
EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení
S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VícePoznÁmky k přednášce
NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceNMSA331 Matematická statistika 1
NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Uiverzita Karlova v raze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ RÁCE avel ejřimovský rofilová věrohodost Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce : Studijí program : Studijí
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceTestujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:
Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VícePřednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
Více