Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Transkript

1 Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobostí 0,8 Náhodá veličia udává počet zkoušeých přístrojů Vypočtěte středí hodotu a rozptyl áhodé veličiy Řešeí: abývá hodot 1, 2, 3, 4 a její pravděpodobostí fukce je: π(1) = 0,2, π(2) = 0,8*0,2 = 0,, π(3) = 0,8 2 *0,2 = 0,128, π(4) = 0,8 3 *0,2 + 0,84 = 0,512, π(x) = 0 jiak E() = 1*0,2 + 2*0, + 3*0, *0,512 = 2,952 D() = 1 2 *0, *0, *0, *0,512 2,952 2 = 1,4697 Postup ve STATISTICE: Otevřeme ový datový soubor o dvou proměých a cetost a čtyřech případech Do proměé apíšeme 1, 2, 3, 4, do proměé cetost apíšeme 0, 0, 128, 512 Statistiky Základí statistiky/tabulky Popisé statistiky OK zavedeme proměou vah cetost OK - Proměé OK Detailí výsledky - zaškrteme Průměr, Rozptyl Výpočet Popisé statistiky (Tabulka1) Proměá N platých Průměr Rozptyl ,9500 1,4717 Rozptyl však musíme upravit, musíme ho vyásobit číslem 999/1000 Do výstupí tabulky tedy přidáme za proměou Rozptyl ovou proměou a do jejího Dlouhého jméa apíšeme =v3*999/1000 Popisé statistiky (Tabulka1) Proměá N platých Průměr Rozptyl NProm ,9500 1,4717 1, Příklad 2 (k samostatému řešeí): Náhodá veličia udává počet ok při hodu kostkou Pomocí systému STATISTICA vypočtěte její středí hodotu a rozptyl Výsledek: E() = 3,5, D() = 2,97 Příklad 3: Ve 12 áhodě vybraých prodejách ve městě byly zjištěy ásledující cey určitého výrobku (v Kč): 102, 99, 106, 103, 96, 98, 100, 105, 103, 98, 104, 107 Těchto 12 hodot považujeme za realizace áhodého výběru 1,, 12 z rozložeí, které má středí hodotu µ a rozptyl 2 Určete estraé bodové odhady ezámé středí hodoty µ a ezámého rozptylu 2 : Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé (azveme ji ) a 12 případech Do proměé apíšeme zjištěé cey Výpočet realizace výběrového průměru a výběrového rozptylu:

2 Statistiky Základí statistiky/tabulky Popisé statistiky OK Proměé OK Detailí výsledky vybereme Průměr a Rozptyl Výpočet Dostaeme tabulku: Popisé statistiky (Tabulka) Proměá Průměr Rozptyl 101, ,38636 Příklad 4: Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia ) Hodoty veličiy ozačují obsah fosforu v obilých klíčcích (po 38 dech), jež vyrostly a těchto vzorcích půdy číslo vzorku Těchto 9 dvojic hodot považujeme za realizace áhodého výběru ( 1, 1 ),, ( 9, 9 ) z dvourozměrého rozložeí s kovariací 12 a koeficietem korelace ρ Najděte bodové odhady výběrové kovariace 12 a výběrového koeficietu korelace ρ : Otevřeme ový datový soubor o dvou proměých a 9 případech Do proměých a zapíšeme zjištěé hodoty obsafu fosforu v půdě a v obilých klíčcích Výpočet výběrové kovariace: Statistiky Vícerozměrá regrese Proměé Závisle proměá, ezávisle proměá OK OK Residua/předpoklady/předpovědi Popisé statistiky Další statistiky Kovariace Dostaeme tabulku: Kovariace (Tabulka18 Proměá 91, , , ,2500 Vidíme, že výběrová kovariace velič, se realizuje hodotou 130 (Výběrový rozptyl proměé resp abyl hodoty 91,75 resp 284,25) Výpočet výběrového koeficietu korelace: V meu Další statistiky vybereme Korelace Korelace (Tabulka18) Proměá 1, , , , Výběrový koeficiet korelace veliči, abyl hodoty 0,805, tedy mezi veličiami x, existuje silá přímá lieárí závislost Upozorěí: Výběrový koeficiet korelace lze pomocí systému STATISTICA vypočítat i jiým způsobem: Statistika Základí statistiky/tabulky Korelačí matice OK 1 sezam proměých, OK Výpočet Ve výsledé tabulce máme též realizace výběrových průměrů a směrodatých odchylek Korelace (Tabulka18) Ozač korelace jsou výzamé a hlad p <,05000 N=9 (Celé případy vyecháy u ChD) Proměá Průměry Smodch 13, , , , ,00000, , ,000000

3 Vzorce pro meze 100(1-α)% empirického itervalu spolehlivosti pro středí hodotu µ ormálího rozložeí při zámém rozptylu 2 : Oboustraý: d = m u 1 α / 2, h = m + u 1 α / 2 Levostraý: d = m u1 α Pravostraý: h = m + u1 α Příklad 5: Při kotrolích zkouškách životosti žárovek byl staove odhad m = 3000 h středí hodoty jejich životosti Z dřívějších zkoušek je zámo, že životost žárovky se řídí ormálím rozložeím se směrodatou odchylkou = h Vypočtěte a) 99% empirický iterval spolehlivosti pro středí hodotu životosti b) 90% levostraý empirický iterval spolehlivosti pro středí hodotu životosti c) 95% pravostraý empirický iterval spolehlivosti pro středí hodotu životosti Upozorěí: Výsledek zaokrouhlete a jedo desetié místo a vyjádřete v hodiách a miutách Řešeí: ad a) d = m u 0, 995 = ,57583 = 2987,1, h = m + u 0, 995 = ,57583 = 3012, h a 6 mi < µ < 3012 h a 54 mi s pravděpodobostí 0,99 Otevřeme ový datový soubor o dvou proměých d, h a jedom případu Do Dlouhého jméa proměé d apíšeme vzorec =3000-/sqrt()*VNormal(0,995;0;1) Do Dlouhého jméa proměé h apíšeme vzorec =3000+/sqrt()*VNormal(0,995;0;1) ad b) d = m u 0, 9 = ,285 = 2993, h a 36 mi < µ s pravděpodobostí 0,9 Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé d a jedom případu Do Dlouhého jméa proměé d apíšeme vzorec =3000-/sqrt()*VNormal(0,9;0;1) ad c) h = m + u 0, 975 = ,95996 = 3009, h a 48 mi > µ s pravděpodobostí 0,95 Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé h a jedom případu Do Dlouhého jméa proměé h apíšeme vzorec =3000+/sqrt()*VNormal(0,975;0;1)

4 Užitečý odkaz: a adrese je program, s jehož pomocí lze převádět růzé fyzikálí jedotky, v ašem případě hodiy a miuty Základí pozatky o testováí hypotéz Předpokládáme, že testujeme ulovou hypotézu H 0 : h( ϑ ) = c, kde c R buď proti oboustraé alterativě H 1 : h( ϑ ) c ebo proti levostraé alterativě H 1 : h( ϑ ) < c ebo proti pravostraé alterativě H 1 : h( ϑ ) > c Testováí pomocí kritického oboru Najdeme testovou statistiku T 0 = T 0 ( 1,, ) Možia všech hodot, jichž může testová statistika abýt, se rozpadá a obor ezamítutí ulové hypotézy (začí se V) a obor zamítutí ulové hypotézy (začí se W a azývá se též kritický obor) W av jsou odděley kritickými hodotami (pro daou hladiu výzamosti α je lze ajít ve statistických tabulkách) Jestliže číselá realizace t 0 testové statistiky T 0 pade do kritického oboru W, pak ulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamosti α a zameá to skutečé vyvráceí testovaé hypotézy Jestliže t 0 pade do oboru ezamítutí V, pak jde o pouhé mlčeí, které platost ulové hypotézy jeom připouští Staoveí kritického oboru pro daou hladiu výzamosti α: Ozačme t mi (resp t max ) ejmeší (resp ejvětší) hodotu testového kritéria Kritický obor v případě oboustraé alterativy má tvar W = ( t mi, K α / 2 (T) K1 α / 2 (T), t max ), kde K α/2 (T) a K 1-α/2 (T) jsou kvatily rozložeí, jímž se řídí testové kritérium T 0, je-li ulová hypotéza pravdivá Kritický obor v případě levostraé alterativy má tvar: W = ( t mi, K α (T) Kritický obor v případě pravostraé alterativy má tvar: W = K α (T), ) 1 t max Testováí pomocí itervalu spolehlivosti Sestrojíme 100(1-α)% empirický iterval spolehlivosti pro parametrickou fukci h( ϑ ) Pokryje-li teto iterval hodotu c, pak H 0 ezamítáme a hladiě výzamosti α, v opačém případě H 0 zamítáme a hladiě výzamosti α Pro test H 0 proti oboustraé alterativě sestrojíme oboustraý iterval spolehlivosti Pro test H 0 proti levostraé alterativě sestrojíme pravostraý iterval spolehlivosti Pro test H 0 proti pravostraé alterativě sestrojíme levostraý iterval spolehlivosti Testováí pomocí p-hodoty p-hodota udává ejižší možou hladiu výzamosti pro zamítutí ulové hypotézy: je-li p α, pak H 0 zamítáme a hladiě výzamosti α, je-li p > α, pak H 0 ezamítáme a hladiě výzamosti α Způsob výpočtu p-hodoty: Pro oboustraou alterativu p = 2 mi{p(t 0 t 0 ), P(T 0 t 0 )} Pro levostraou alterativu p = P(T 0 t 0 ) Pro pravostraou alterativu p = P(T 0 t 0 ) Příklad 6: Víme, že výška hochů ve věku 9,5 až 10 let má ormálí rozložeí s ezámou středí hodotou µ a zámým rozptylem 2 = cm 2 Dětský lékař áhodě vybral hochů uvedeého věku, změřil je a vypočítal realizaci výběrového průměru m = 139,13 cm Podle jeho ázoru by výška hochů v tomto věku eměla přesáhout 142 cm s pravděpodobostí 0,95 Lze tvrzeí lékaře akceptovat?

5 Řešeí: Testujeme H 0 : µ = 142 proti H 1 : µ < 142 (to je tvrzeí lékaře) a hladiě výzamosti 0,05 a) Test provedeme pomocí kritického oboru Pro úlohy o středí hodotě ormálího rozložeí při zámém rozptylu používáme pivotovou M µ M c statistiku U = ~ N(0, 1) Testová statistika tedy bude T0 = a bude mít rozložeí N(0, 1), pokud je ulová hypotéza pravdivá Vypočítáme realizaci testové statistiky: 139, t 0 = = 1, 7773 Staovíme kritický obor: W = ( u = (,u = (, u = (, 1, 6449 α, 0,05 0, 95 Protože -1,7773 W, H 0 zamítáme a hladiě výzamosti 0,05 Tvrzeí lékaře lze tedy akceptovat s rizikem omylu 5 % b) Test provedeme pomocí itervalu spolehlivosti Meze 100(1-α)% empirického pravostraého itervalu spolehlivosti pro středí hodotu µ při zámém rozptylu 2 jsou: (-, h) = (-, m + u1-α ) V ašem případě dostáváme: h = 139,13 + u 0,95 = 139,13 + 1,645 = 141,79 Protože 142 (- ; 141,79), H 0 zamítáme a hladiě výzamosti 0,05 c) Test provedeme pomocí p-hodoty p = P(T 0 t 0 ) = Φ(-1,7773) = 0,0378 Jelikož 0,0378 0,05, ulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamosti 0,05 Při řešeí tohoto příkladu použijeme systém STATISTICA pouze jako iteligetí kalkulátor