VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum:

2 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru od požadovaé velikoti. Naměřeé hodoty tvoří tatitický oubor v prvím loupci zadáí. a) Proveďte roztříděí tatitického ouboru, vytvořte tabulku četotí a akrelete hitogramy pro relativí četoti a relativí kumulativí četoti. Dále až po bod ) včetě pracute roztříděým ouborem. i X i [mm] X (i) [mm] -0,93 -, 0,9 -,83 3 -,77 -,77 4-0,48 -,3 5 -,83 -,7 6-0,59 -,7 7-0,94 -,07 8-0,97 -,06 9 0,50-0,99 0 0,73-0,97-0,33-0,94 -,7-0,94 3-0,94-0,93 4 0,35-0,7 5, -0,63 6 0,64-0,59 7 0,05-0,48 8 0,5-0,36 9-0,3-0,33 0 0,7-0,3 -,3-0,0 0,9-0,3 3 0,5-0,08 4,6 0,05 5-0,36 0, 6-0,63 0, 7,06 0, 8-0,7 0,5 9-0,3 0,5 30 0, 0,9 3 -,06 0,35 3 0,55 0, , 0, ,47 0, , 0, ,0 0,63 37,79 0, ,53 0, ,63 0,7 40 0,99 0,73 4 -, 0,8 4,77 0,9 43 -,07 0, ,7, ,68, 46,5,5 47-0,99,6 48 0,8, ,08,83 50,83,79 Neroztříděý tatitický oubor Upořádaý tatitický oubor Statitický zak Deiičí vztah Hodota Jedotka Rozah Nemeší hodota -, mm relativí četot kumulativí relativí četot 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 Hitogram relativí četoti -,87 -,5-0,43 0,9,0,73,45 tředy tříd Hitogram kumulativí relativí četoti -,87 -,5-0,43 0,9,0,73,45 tředy tříd ( ) Nevětší hodota () ( 50), 79 mm Variačí obor ( ) ; ( ),;, 79 mm Rozpětí ( ) ( ) ( 50) () 5, 00 mm Počet tříd Délka třídy m ( ) h m () m 7 mm h 0,7 mm

3 třída Střed -té třídy Roztříděý tatitický oubor Abolutí Relativí Kumulativí četot četot abolutí četot -té třídy -té třídy Kumulativí relativí četot * F F,3;,5) -, ,06 0,06,5; 0,79) -, ,0 0,6 3 0,79; 0,07) -0, ,0 0,46 4 0,07;0,65) 0, ,8 0,74 5 0,65;,37), ,0 0,94 6,37;,09), ,04 0,98 7,09;, 8, ,0,00 b) Vypočtěte aritmetický průměr, mediá, modu, rozptyl a měrodatou odchylku. Charakteritika Deiičí vztah Hodota Jedotka Aritmetický průměr m * 0,068 mm Mediá ~ + + ~ 0, 5 mm Modu - ˆ 0, 9 mm Rozptyl m * 0,978 mm Směrodatá odchylka 0, 989 mm c) Vypočtěte bodové odhady tředí hodoty, rozptylu a měrodaté odchylky. Bodový odhad Deiičí vztah Hodota Jedotka Středí hodoty E ( X ) E ( X ) 0, 068 mm Rozptylu D( X ) D ( X ) 0, 998 mm Směrodaté odchylky σ ( X ) σ ( X ) 0, 999 mm

4 d) Za dále uvažovaého předpokladu, že tatitický oubor byl zíká áhodým výběrem z ormálího rozděleí, určete itervalové odhady tředí hodoty, rozptylu a měrodaté odchylky e polehlivotí 0,95 a 0,99. Spolehlivot 0,95 Charakteritika Deiičí vztah Hodota počet tupňů voloti k k 49 - kvatil Studetova viz tabulka T t, 0 rozděleí S(k) - kvatil 70, Pearoova rozděleí viz tabulka T3 ( k) P - kvatil Pearoova rozděleí ( 0,05 3,555 ) Itervalový odhad tředí hodoty µ t / ; + t / µ 0,3;0, 57 Itervalový odhad σ ; rozptylu σ 0,696;, 550 / α / Itervalový odhad σ ; σ 0,834;, 45 měrodaté odchylky / α / Spolehlivot 0,99 Charakteritika Deiičí vztah Hodota počet tupňů voloti k k 49 - kvatil Studetova viz tabulka T t 0,995, 680 rozděleí S(k) - kvatil 0,995 78,3 Pearoova rozděleí viz tabulka T3 ( k) P - kvatil Pearoova rozděleí 0,005 7,49 ( k) Itervalový odhad tředí hodoty µ t / ; + t / µ 0,405;0, 35 Itervalový odhad σ ; rozptylu σ 0,65;, 794 / α / Itervalový odhad σ ; σ 0,79;, 340 měrodaté odchylky / α /

5 e) Tetute hypotézu optimálího eřízeí troe, t. že tředí hodota odchylky e ulová, proti dvoutraé alterativí hypotéze, že tředí hodota odchylky e růzá od uly, a to a hladiě výzamoti 0,05. Studetův tet pro ede výběr (t-tet) Tet hypotézy H : µ µ 0 0 při ezámém rozptyluσ Charakteritika Deiičí vztah Hodota počet tupňů voloti k k 49 - kvatil viz tabulka T t, 0 Studetova rozděleí S(k) pozorovaá hodota µ 0 tetového kritéria t t 0,90 doplěk kritického oboru W α t / ; t / W 0,05,0;, 0 t W α hypotézu optimálího eřízeí troe a hladiě výzamoti 0,05 NEZAMÍTÁM ) Tetute výše uvedeý předpoklad o výběru z ormálího rozděleí Pearoovým (chí-kvadrát) tetem a hladiě výzamoti 0,05. ( ) Pozorovaé Teoretické třída abolutí četoti abolutí četoti + + F ( ) F ( ) ( ) + + ~ ~ 8 8,30 0,000 0,66 0,0906 0,03 0, 5 8 7,66 0,66 0,39 0,70 0, , ,64 0,39 0,5 6,9670 0, ,5 9 9,50 0,5 0,70 0,490 0, , 5 7,33 0,70 0,849 3,4873, ,58 0,849,000 0,3306 0,047 Σ ,3 ~ ( ) Tet chí-kvadrát (Pearoův tet) Charakteritika Deiičí vztah Hodota počet tupňů voloti k m q k 3 ( viz tabulka T3 7, 85 - kvatil Pearoova rozděleí ) pozorovaá hodota tetového kritéria t m ~ ( ) ~ 0,95 t,3 doplěk kritického oboru W α 0 ; W 0,05 0;7, 85 α t W α předpoklad o výběru z ormálího rozděleí a hladiě výzamoti 0,05 NEZAMÍTÁM

6 g) Ověřte tatitickým tetem a hladiě výzamoti 0,05, zda eřízeí troe ovlivilo kvalitu výroby, víte-li, že výše uvedeý tatitický oubor 50-ti hodot vzikl poeím dvou dílčích tatitických ouborů tak, že po aměřeí prvích 0-ti hodot bylo provedeo ové eřízeí troe a pak bylo aměřeo zbývaících 30 hodot. Návod: Oba oubory zpracute eroztříděé. Tetute eprve rovot rozptylů odchylek před a po eřízeí troe. Podle výledku pak zvolte vhodý potup pro tetováí rovoti tředích hodot odchylek před a po eřízeí troe. Fiherův tet (F-tet) Tet hypotézy H : σ ( X) σ ( X ) Charakteritika Deiičí vztah Hodota Rozah tatitického ouboru Aritmetický průměr Rozptyl počet tupňů voloti α - kvatil 0,795 0, 55 i i 0,83 Fiherova Sedecorova rozděleí F(k,k ) pozorovaá hodota tetového kritéria i i,34 0,756,097 k k 9 k k 9 viz tabulka T4 F, 404 ma ; t t, 47 mi ; doplěk kritického oboru W α ; F / W 0,05 ;, 404 t W α hypotézu rovoti rozptylů odchylek před a po eřízeí troe a hladiě výzamoti 0,05 NEZAMÍTÁM

7 Studetův tet pro dva výběry při teých rozptylech (t-tet) Tet hypotézy H µ ( X ) µ ( X ) µ 0 při ezámých rozptylech σ X ) σ ( X ) : 0 ( Charakteritika Deiičí vztah Hodota Rozah tatitického ouboru Aritmetický průměr 0, 55 i i 0,83 0,756 Rozptyl i i,097 počet tupňů voloti k + k 48 α - kvatil Studetova rozděleí S(k) pozorovaá hodota tetového kritéria t µ viz tabulka T t, 0 ( + ) t,58 doplěk kritického oboru W α t / ; t / W 0,05,0;, 0 t W α hypotézu rovoti tředích hodot odchylek před a po eřízeí troe a hladiě výzamoti 0,05 NEZAMÍTÁM

8 . Měřeím dvoice (X, Y) meovitých parametrů odlitků X [kg] a Y [cm] byl zíká dvourozměrý tatitický oubor zapaý po dvoicích v řádcích ve druhém a třetím loupci zadáí. i X i [kg] 8,8 5,96 8,84 7,4 8,63,45,3 0,9,85 5,53 7,7 4,0 4,6 9,75 9,9 Y i [cm] 5, 8,53 3,73 4,30 5,9 4,37,5 3,68 7,99,43 5,90 9, 9,85 3,67 8,4 a) Vypočtěte bodový odhad koeicietu korelace. Charakteritika Deiičí vztah Hodota Rozah tatitického ouboru - 5 Aritmetický průměr 5, 83 i y y i i i y,97 Směrodatá odchylka ( ) ( ) 3,07 i ( y) yi y i i ( y) 7,00 Koeiciet korelace (korelačí koeiciet) Bodový odhad koeicietu korelace i yi y i r ( ) ( y) r 0,756 ρ r ρ 0, 756 b) Za předpokladu, že dvourozměrý tatitický oubor byl zíká áhodým výběrem z dvourozměrého ormálího rozděleí, určete itervalový odhad koeicietu korelace e polehlivotí 0,95. Charakteritika Deiičí vztah Hodota Koeiciet korelace i yi y i r 0,756 (korelačí koeiciet) r ( ) ( y) α - kvatil ormovaého ormálího rozděleí N(0;) viz tabulka T u, r r w l + r w, 03 - u / u / z w z w + α 3 3 z,579 - z z z e e e tgh z 0,49 tgh z z z z e + e e + Itervalový odhad koeicietu korelace ρ 0,49;0, 98

9 c) Na hladiě výzamoti 0,0 tetute hypotézu, že áhodé veličiy X a Y ou ezávilé. Tet hypotézy H : ρ ρ0 0 Charakteritika Deiičí vztah Hodota Rozah tatitického ouboru - 5 Koeiciet korelace (korelačí koeiciet) α - kvatil ormálího rozděleí N(0;) r i y y i ( ) ( y) i r 0,756 viz tabulka T u, 576 pozorovaá hodota + r + ρ0 ρ 0 3 tetového kritéria t l l r ρ 0 0,995 t 3,45 doplěk kritického oboru W α u / u / W 0,0,576;, 576 ; t W α hypotézu, že áhodé veličiy X a Y ou ezávilé a hladiě výzamoti 0,0 ZAMÍTÁM