PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Transkript

1 SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák

2 SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky: sou áhodé proměé defové prvděpodobostím prostoru P Pomy: sdružeí dstrbučí fukce dskrétí áhodý vektor spotý áhodý vektor sdružeá hustot prvděpodobost dskrétí áhodý vektor sdružeá prvděpodobostí fukce mrgálí dstrbučí fukce mrgálí prvděpodobostí fukce mrgálí hustot prvděpodobost ezávslost

3 Sředí hodot: SP Náhodý vektor Lbor Žák B B Kovrce složek : 0 bb b b m m Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP

4 SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP Vrčí mtce vektoru : vr vr vr vr vr B B vr B Kovrčí mtce vektorů Y: cov Y cov Y cov Y Y Y Y Y cov B c Y Bcov Y cov Y cov Y

5 Korelce složek : SP Náhodý vektor Lbor Žák Korelčí mtce vektorů Y: cor Y Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP 0 S S sg bb b b m Y cor Y cor cor Y Y cor cor Y Y c

6 lší pomy vlstost: SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP cov cov vr S

7 SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP Multomcké rozděleí Mup p k Náhodý vektor k s multomckým rozděleím k Mup p k N p p 0 k p x hrkterstky: středí hodot: rozptyl: k má prvděpodobostí fukc: p x p x! p k x x xk p p x! x! xk! k p p k vr dg p pp p x k k

8 SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP -rozměré ormálí rozděleí N Náhodý vektor s -rozměrý ormálím rozděleím N R Σ e symetrcká poztvě deftí mtce má prvděpodobostí fukc: f x Σ exp x μ Σ x μ hrkterstky: středí hodot: rozptyl: vr μ Σ

9 SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP -rozměré ormálí rozděleí N σ σ ρ

10 SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP -rozměré ormálí rozděleí N Pltí: Nechť áhodý vektor má rozděleí ~ N R B e reálá regulárí mtce typu x. Pk Y B ~ N Bμ BΣB

11 SP Náhodý vektor Lbor Žák lší vlstost Nechť. m e mtceeíž prvky sou áhodé proměé defové prvděpodobostím prostoru P. Pk tuto mtc zýváme áhodou mtcí. Mtce Pro středí hodotu áhodé mtce pltí: B B se zývá středí hodot áhodé mtce Nechť e áhodý vektor A e regulárí mtce x pk A A r Avr kde rz e stop mtce Z. m B A B A

12 SP Náhodý vektor Lbor Žák lší vlstost Nechť Y Y Y m sou áhodé vektory. ále ozčme: dg Y dg Pk pro korelčí mtc specálě: cor Y cor Y Y m cov Y vr cor Y Y Y m pltí:

13 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Nechť e áhodý vektor. eto vektor rozdělme dvě část. hceme ít rozděleí pro z předpokldu že část bývá předem zvoleých hodot x. Nechť e dskrétí áhodý vektor s prvděpodobostí fukcí px= px x mrgálí prvděpodobostí fukcí p x pro část. Nechť x e pevě zvoleé p x 0. Pk fukc proměé x : p x x p x zýváme podmíěou prvděpodobostí fukcí z podmíky = x. p x x

14 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Nechť e áhodý vektor. eto vektor rozdělme dvě část. hceme ít rozděleí pro z předpokldu že část bývá předem zvoleých hodot x. Nechť e spotý áhodý vektor s hustotou prvděpodobost fx= fx x mrgálí hustotou prvděpodobost f x pro část. Nechť x e pevě zvoleé f x 0. Pk fukc proměé x : f x x zýváme podmíěou hustotou prvděpodobostí z podmíky =x. f x f x x

15 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Pltí: pokud pro kždé x pltí: px x p f x x f x ebo x pk složky áhodého vektoru sou ezávslé.

16 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Nechť e áhodý vektor. eto vektor rozdělme dvě část. hceme ít rozděleí pro z předpokldu že část bývá předem zvoleých hodot x. Nechť x e pevě zvoleé p x 0 f x 0.. Pk fukc proměé x : p t x Fx x pt x p x tx tx F x x f t x tx dt tx f t x f x dt zýváme podmíěou dstrbučí fukcí z podmíky =x.

17 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Nechť S S e fukce áhodého vektoru trsformová áhodá velč. Pk fukce proměé x S x x px g x S x x f x x dx g x x xz zýváme podmíěou středí hodotou áhodé velč S z podmíky =x. zčíme: S x S Fukce S se tké zývá regresí fukce velčy S vzhledem k to fukce popsue k se měí středí hodot velčy S v závslost hodotách proměé. Využtí e zemé v regresí lýze.

18 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Pltí: Nechť S = S e fukce áhodého vektoru S e koečá. Pk S e koečá pro skoro všech x pltí: S S Pltí: Nechť S = S S = S mí koečé středí hodoty. Pk pro b R pltí: skoro stě. Specálě: S bs S bs

19 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Nechť S =S e fukce áhodého vektoru. S. Pk zýváme podmíěý rozptyl áhodé velč S z podmíky =x. S S S Fukce S se tké zývá skedstcká fukce velčy S vzhledem k. to fukce popsue k se měí rozptyl velčy S v závslost hodotách proměé. Rozděleí u kterých e tto fukce kosttí se zýví homoskedstcká.

20 SP Náhodý vektor Lbor Žák Podmíěé rozděleí Pltí: Nechť ~ N μ Σ e p-rozměrý áhodý vektor. Středí hodotu rozptyl lze rozdělt část : μ μ μ Σ Σ Σ Σ Σ Pk podmíěé rozděleí z podmíky = x má rozděleí: N p μ ΣΣ x μ Σ Σ Σ Σ