Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Transkript

1 Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující tabulce jsou uvedey možé ombace jevů pro případ dvou obecě umístěých jevů A, B v jevovém pol a odpovídající vztah pro určeí pravděpodobost. ožý případ Pravděpodobost P A. P B Nastae jev A B ( ( Nastae jev A a eastae jev B P ( A. P( B Neastae jev A a astae jev B P ( A. P( B Neastae jev A a jev B P ( A. P( B Nastae jev A ebo B a druhý jev eastae P ( A. P( B + P( A. P( B Nastae ejvýše jede z jevů 1 P ( A. P( B Nastae alespoň jede z jevů 1 P ( A. P( B Nastaou oba ebo a jede 1 P ( A P( B +. P( A. P( B Pozáma Beroullovo schéma- postup výpočtu pravděpodobost pro alteratví jevy A, A Opaujeme-l za stejých podmíe -rát pous, jehož výsledem je jev A ebo opačý A, prováděé pousy jsou a sobě ezávslé (výslede jedotlvého pousu eovlví jý pous a pravděpodobost pro vz jevu A v jedotlvém pouse je p, pa pravděpodobost, že př pousech astae jev A právě -rát je dáa vztahem P.( 1...( + 1! =. p.(1 p Náhodé velčy Náhodá velča je matematcá velča, jejíž hodota je určováa áhodým vlvy. atematcy je áhodá velča defováa jao měřtelá fuce a možě elemetárích jevů (výsledů pousu. Za áhodou velču považujeme proměou, jejíž hodota je jedozačě určea výsledem áhodého pousu. Náhodá velča je důležtým pojmem teore pravděpodobost a matematcé statsty.př opaováí áhodého pousu dochází v důsledu působeí áhodých vlvů e změám áhodé velčy. Hodotu áhodé velčy tedy eí možé jedozačě určt před provedeím pousu. Přílady áhodé velčy: - - výslede měřeí geometrcých rozměrů součástí, za áhodé vlvy lze považovat podmíy př měřeí, vlv přesost měřdla, způsob odečítáí aměřeé hodoty atd,

2 - výslede zhotoveí parametru, součást, de se uplatí vlvy proměých podmíe př výrobě, vlvy promělvost vlastostí materálu, promělvost provozích podmíe, - doba bezporuchové čost výrobu, terá je ovlvňováa provozím podmíam, způsobem používáí výrobu, výchozím vlastostm výrobu, vlvy údržby výrobu atd. U áhodé velčy elze předem přesě staovt její přesou hodotu, je možé ale charaterzovat a záladě: - oboru všech možých hodot velčy, - pravděpodobost výsytu aždé z těchto možých hodot. Výše uvedeé velčy představují záladí pops áhodé velčy. Pro ozačováí áhodé velčy se zpravdla používají malá písmea řecé abecedy apř.: ξ, η, τ. Záladí defce áhodé velčy: Velču ξ, jejíž hodota je určea realzací systému podmíe áhodých posusů, azýváme áhodou velčou. Je-l f(x fuce defovaá v oboru všech hodot x, terých abývá áhodá velča, pa tuto fuc azýváme záo rozděleí pravděpodobost ebo fucí hustoty pravděpodobost. Typy áhodých velč Podle toho jaých hodot abývají áhodé velčy je dělíme a: - dsrétí áhodé velčy, velčy defovaé v jedotlvých (dsrétích hodotách a omezeém ebo eomezeém tervalu. Fuce hustoty pravděpodobost je pa tvořea souborem přřazeých pravděpodobostí jedotlvým bodům oboru, hodoty P(x, - spojté áhodé velčy, teré jsou defováy a všech možých hodotách v tervalu - až +, č a omezeém tervalu a, b. Další děleí áhodých velč je podle jejch vzu a: - velčy expermetálí, teré zísáme a záladě vyhodoceí vlastostí zámého výběrového souboru, jedá se o velčy dsrétí, - velčy teoretcé, teré jsou popsáy ověřeým typy fucí a teré určují vlastost záladích souborů. Pops áhodé velčy 1 záladí pops: áhodá velča je určea defčím oborem, souborem hodot x a fuc P(x, terá e aždé hodotě z oboru přřazuje pravděpodobost výsytu P ( ξ = x = P( x Tuto fuc azýváme záoem rozděleí pravděpodobost a pro spojtou áhodou velču se používá ozačeí f(x.

3 Dstrbučí fuce - je umulatví pravděpodobost a udává hodotu s jaou áhodá velča abude hodot meších ebo ejvýše x P ( ξ x = F( x Druhou velčou pro pops je opět defovaý obor áhodé velčy. Defc dstrbučí fuce lze vyslovt taé ve tvaru: dstrbučí fuce F(x áhodé proměé x se rová pravděpodobost jevu, že áhodá velča ξ bude pod úroví áhodé proměé x. Hodotu dstrbučí fuce pro dsrétí áhodou velču určíme sečteím všech pravděpodobostí pro ξ x x F ( x = P( x x o a pro spojtou áhodou velču x F ( x = f ( x. dx x o Vlastost dstrbučí fuce: - pro dsrétí áhodou velču je defováa v dsrétích bodech a mez body je ostatí, - pro spojtou áhodou velču je a defovaém oboru spojtou fucí, - pro aždé x z oboru platí 0 F(x 1, - F(x je a defovaém oboru elesající, - pro lbovolé hodoty áhodé proměé x 1 < x platí P(x 1 ξ x = F(x F(x 1. - F(x je spojtá zleva, - dervace dstrbučí fuce je fuce hustoty pravděpodobost f(x = df(x/dx. Hlaví využtí dstrbučí fuce je př výpočtech výsytu áhodé velčy v mezích. Pro teoretcé áhodé velčy jsou hodoty dstrbučích fucí uvedey ve statstcých tabulách ( Jao: Statstcé tabuly. 3 Číselé charatersty áhodé velčy Číselé charatersty se azývají momety áhodé velčy. Záladí typy mometů jsou momety počátečí a cetrálí. omety se od sebe dále odlšují řády(stup. Pro případ obecého -tého řádu mometu jsou jejch defce ásledující. a počátečí momet pro spojtou áhodou velču pro dsrétí áhodou velču (ξ = x. f ( x dx (ξ = p m. m x. p

4 b cetrálí momet je hodota vztažeá záladí hodotě, terou je prví počátečí momet pro spojtou áhodou velču pro dsrétí áhodou velču ( (ξ = x m1. f ( x dx (ξ = ( x m1 p.. p Záladí momety ez ejpoužívaější momety patří prví počátečí momet m 1 a druhý cetrálí momet. Výzam těchto mometů a jejch záladí vlastost jsou ásledující. Středí hodota áhodé velčy je popsáa prvím počátečím mometem tedy vztahem pro spojtou áhodou velču pro dsrétí áhodou velču = m1 = x. f ( x dx E x. p( x E. = Středí hodotu áhodé velčy lze považovat za charaterstcou velost z oboru áhodé velčy př současém vyhodoceí pravděpodobost výsytu všech hodot z oboru áhodé velčy. ez záladí vlastost středí hodoty patří: - poud ξ = ostata, pa E(ξ =, - E(.ξ =. E(ξ pro lbovolou ostatu, - E(ξ 1 + ξ +...ξ = E(ξ 1 +Ε(ξ Ε(ξ, dílčí velčy ξ 1, ξ,...ξ musí být závslé, - E(ξ 1. ξ....ξ = E(ξ 1.Ε(ξ.....Ε(ξ, dílčí velčy ξ 1, ξ,...ξ musí být ezávslé. Rozptyl áhodé velčy je popsá druhým cetrálím mometem tedy vztahem pro spojtou áhodou velču pro dsrétí áhodou velču ξ = ( ξ = ( x m1 p D =. f ( x. dx ( ( ξ = ( x m1 0 D. p Rozptyl je velča, terá číselě vyjadřuje promělvost (varabltu hodot v oboru áhodé velčy př současém vyhodoceí pravděpodobost výsytu jedotlvých odchyle z oboru áhodé velčy. K záladím vlastostem rozptylu patří: - poud ξ = ostata, pa D(ξ = 0, - D(.ξ =. D(ξ pro lbovolou ostatu, - D(ξ 1 + ξ +...ξ = D(ξ 1 +D(ξ D(ξ, dílčí velčy ξ 1, ξ,...ξ musí být ezávslé, - D(ξ = E(ξ [E(ξ], - D(ξ 0, rozptyl je azáporý.

5 Z mometů vyšších řádů se používají častěj cetrálí momety třetího a čtvrtého řádu. Uvedeé momety lze vypočítat pomocí počátečích mometů ze vztahů: 4 (ξ = m 4 4.m 1.m 3 +6.m 1.m -3.m 1 4. Druhy charaterst áhodé velčy - charatersta polohy je číselá hodota, terá vysthuje umístěí hodot a číselé ose tj. v oboru áhodé velčy. Jedá se proto o ásledující hodoty: středí hodota, α vatl, dolí a horí vartl, meda, modus. Alfa vatl x α - udává hodotu z oboru áhodé velčy, jejíž dstrbučí fuce je alfa tj. Pravděpodobost, že áhodá velča epřeročí hodotu x α je právě α P ( ξ xα α. Kvartly udávají hodotu z oboru áhodé velčy pro staoveé meze α = 0,5 evet. 0,75 a ozačují se jao dolí a horí vartl. Jsou to tedy zvláští vatly. edá hodota z oboru áhodé velčy, de dstrbučí fuce má velost 0,5 (ebo j poprvé přeročí pro dsrétí áhodou velču. Záps tvrzeí j eve tvaru F( ξ = e 0,5 odus hodota z oboru áhodé velčy ve teré je maxmálí velost fuce hustoty pravděpodobost. P ( ξ = o...max - charatersta ocetrace je číselá hodota, terá vysthuje promělvost hodot a číselé ose tj. v oboru áhodé velčy vzhledem e středí hodotě áhodé velčy. Jedá se proto o ásledující hodoty: rozptyl, středí směrodatá odchyla, výběrové rozpětí, vartlové rozpětí, varačí oefcet. Středí směrodatá odchyla je defováa jao odmoca rozptylu σ = D (ξ Výběrové rozpětí - R, charatersta posuzuje pouze jede parametr záladího způsobu popsu áhodé velču tj. obor áhodé velčy a určí se dle vztahu R = x max - x m

6 Kvartlové rozpětí R 50 vymezuje ejpravděpodobější terval v oboru, terý zaručuje výsyt áhodé velčy s pravděpodobostí 0,50. Je urče rozdílem horího a dolího vartlu R 50 = x 75 x 5. Varačí oefcet je bezrozměrá hodota, terá vyjadřuje poměrou velost varablty vztažeou a středí hodotu áhodé velčy dle vztahu σ ν = E - charatersty tvaru jsou hodoty, teré popsují vlastost áhodé velčy ve vztahu obecé teoretcé áhodé velčě ormálí ormovaé. ez záladí patří oefcet symetre a oefcet špčatost. Koefcet symetre vyjadřuje míru symetrčost průběhu rozděleí hustoty pravděpodobost áhodé velčy. Normálí ormovaá áhodá velča je symetrcá a má defovaý oefcet symetre ula. Koefcet symetre se vypočte dle vztahu 1 = 3 1,5 poud je 1 0 jedá se asymetrcé rozděleí áhodé velčy s vrcholem pravděpodobost vpravo, 1 0 popsuje asymetrcé rozděleí áhodé velčy s vrcholem pravděpodobost vlevo. Koefcet špčatost popsuje míru shody v průběhu rozděleí pravděpodobost v oboru áhodé velčy. Pro záladí průběh orálí ormovaé váhodé velčy je hodota oefcetu zvolea ula. poud je 4 = 3 < 0 jedá se o plošší rozděleí áhodé velčy > 0 popsuje špčatější rozděleí áhodé velčy.