SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák

Transkript

1 Korelačí aalýza

2 Přpomeutí pojmů áhodá proměá áhodý vetor áhodý vetor Náhodý výběr: pro áhodou proměou : pro áhodý vetor : pro áhodý vetor :

3 Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých proměých ovaračí oefcet popsuje leárí závslost mez áhodým proměým a. Ozačeí: Platí: E E E E E E 0 a a a a d b d c b a D D D j j D D

4 Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých vetorů ovaračí oefcet popsuje leárí závslost mez áhodým vetory a. Ozačeí: Platí: cov cov cov j E cov E m E E E E cov a B c D Bcov D cov cov cov cov cov

5 Přpomeutí pojmů - ovarace Varačí matce vetoru Ozačeí: var Platí: var cov cov var j j var E E E E var var a B B var B var E E E var cov cov var

6 Přpomeutí pojmů - orelace Korelace áhodých prměých orelačí oefcet popsuje leárí závslost mez áhodým proměým a.. Ozačeí: ρ ρ ρ. Nechť a jsou áhodé proměé s ladým směrodatým odchylam: 0 0 pa defujeme orelačí oefcet: Nechť a m jsou áhodé vetory. Pa pod pojmem orelačí matce rozumíme matc: cor j m

7 Přpomeutí pojmů - orelace Platí: Korelace áhodých proměých a : Korelace áhodých vetorů a : cor sg d b d c b a 0 a a a a m j cor cor cor cor cor c a

8 Korelačí aalýza Nechť je áhodý výběr z dvojrozměrého rozděleí se středí hodotou rozptylem ovarací a orelací. Výběrové statsty: Platí: Nestraé výběrové statsty E E E E E

9 Korelačí aalýza výběrové matce Nechť je -rozměrý áhodý vetor se středí hodotou μ a rozptylem Σ j. edy: E μ var Σ Dále echť = je áhodý výběr z rozděleí popsující áhodý vetor Pa E μ var Σ cov 0. j Pomocí áhodého výběru defujme výběrové matce vetory: výběrové průměry: j j Platí E μ var Σ

10 Korelačí aalýza výběrové matce Pomocí áhodého výběru dále defujme Výběrová varačí matce Platí E Σ l j l j l l j j Výběrová orelačí matce: Nechť j j 0 j l. j l j l. l j j l j Pozor jž eplatí: E

11 Nechť Korelačí aalýza výběrové matce je p-rozměrý áhodý vetor a je áhodý výběr z rozděleí popsující áhodý vetor Dále echť je q-rozměrý áhodý vetor a je áhodý výběr z rozděleí popsující áhodý vetor. Výběrová ovaračí matce vetorů a : l j p q Platí: p Výběrová orelačí matce vetorů a : echť 0 l p 0 j E cov l l l j l. j l. l j. j q p q j j q

12 Korelačí aalýza výběrové matce Nechť je p-rozměrý áhodý vetor a je áhodý výběr z rozděleí popsující áhodý vetor Dále echť je q-rozměrý áhodý vetor a je áhodý výběr z rozděleí popsující áhodý vetor. Ozačme: Náhodý výběr: Pro vetor platí: Výběrová ovaračí matce vetoru : Výběrová orelačí matce vetoru : p q q p Σ Σ Σ Σ Σ cov cov cov cov cov

13 Koefcet mohoásobé orelace Koefcet mohoásobé víceásobé celové orelace defuje míru leárí stochastcé závslost mez áhodou velčou a vhodou leárí ombací slože áhodého vetoru. Platí: Nechť ˆ Vhodá ombace je poud ˆ var cov V cov ˆ var cov V cov pa E E ovost astává pro E β E a β V cov de V var. Koefcet mohoásobé orelace se defuje jao oefcet orelace mez áhodým velčam a ˆ : ˆ β

14 Koefcet mohoásobé orelace Další vyjádřeí: β Vβ D cov ˆ D D ˆ D cor cor cor V případě áhodého vetoru:

15 Koefcet mohoásobé orelace Pro mohoásobý orelačí oefcet platí: 0 je ejvětší ze všech orelačích oefcetů a leárí ombace specálě:

16 Mějme áhodý výběr: de áhodé vetory: jsou -rozměré Ozačme matce výběrových orelačích oefcetů pro matce orelace obsahující řády a sloupce matce orelace obsahující řáde a sloupce matce orelace obsahující řády a sloupce Předpolad že matce je regulárí. Pa s pomocí vztahu defujeme výběrový oefcet mohoásobé orelace: Výběrový oefcet mohoásobá orelace cor cor cor

17 Korelačí aalýza mohoásobá orelace Další tvar: det det V případě áhodého vetoru: ealzace výběrového mohoásobého oefcetu pro 0 r 0. r 0 r 0 r r 0 r 0 r

18 Nechť je áhodý výběr z + rozměrého ormálího rozděleí s ladým rozptyly a echť pa áhodá velča: má Fscherova-edecorova rozděleí s a -- stup volost. realzace: H 0 : vzhledem alteratví hypotéze: H A : se ezamítá poud Korelačí aalýza mohoásobá orelace 0 F r r z 0 0 ; 0 F z

19 Korelačí aalýza mohoásobá orelace - přílad

20 Korelačí aalýza orelace - přílad Přílad: Ve supě matematcých žeýrů a FI byly zjštěy ásledující údaje: váha výša číslo ohy Korelačí matce váha výša číslo ohy počtěte mohoásobou orelac čísla ohy v závslost a váze a výšce. Na hladě výzamost 005 otestujte hypotézu že tato orelace je rova 0.

21 Koefcet parcálí orelace Koefcet parcálí orelace defuje míru leárí závslost mez áhodým velčam a př zostatěí slože vetoru př zrušeí vlvu změy slože vetoru. Mějme áhodý vetor: = Nechť áhodá velča ˆ β mmalzuje E ˆ a áhodá velča ˆ δ mmalzuje E ˆ ávslost mez a jel elmová vlv vetoru měříme orelačím oefcetem mez áhodým proměým: ˆ ˆ. ˆ ˆ

22 Koefcet parcálí orelace Další vyjádřeí:.. [ cor cor cor cor cor cor cor ][ cor cor cor ] V případě áhodého vetoru:

23 Mějme áhodý výběr: de áhodé vetory: jsou -rozměré Ozačme matce výběrových orelačích oefcetů pro matce orelace obsahující řády a sloupce matce orelace obsahující řáde a sloupce matce orelace obsahující řáde a sloupce _ matce orelace de byl odebrá řáde a sloupec Předpolad že matce je regulárí. Výběrový oefcet parcálí orelace: Korelačí aalýza parcálí orelace

24 Korelačí aalýza parcálí orelace Ozačme _ matce orelace de byl odebrá řáde a sloupec _ det _ pa: det _ det _ Pro p=: ealzace výběrového parcálího oefcetu pro 0 r r0r0 r0 r r 0 0

25 Nechť je áhodý výběr z + rozměrého ormálího rozděleí s ladým rozptyly a echť pa áhodá velča: má tudetova rozděleí s -p- stup volost. ealzace: H 0 : vzhledem alteratví hypotéze: H A : se ezamítá poud Korelačí aalýza parcálí orelace 0 t r r t 0 0 ; t t t

26 Korelačí aalýza parcálí orelace - přílad

27 Korelačí aalýza orelace - přílad Přílad: Ve supě matematcých žeýrů a FI byly zjštěy ásledující údaje: váha výša číslo ohy Korelačí matce váha výša číslo ohy počtěte parcálí orelac mez váhou a číslem ohy s vyloučeím výšy a a hladě výzamost 005 otestujte hypotézu že tato orelace je rova 0.