UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy
|
|
- Vladimíra Svobodová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0
2 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Doc. PhDr. Zdeěk Havel, CSc. Mgr. Davd Chlář
3 Autoř: Edtor: Doc. PhDr. Zdeěk Havel, CSc. Mgr. Davd Chlář Mgr. Davd Chlář Recezoval: Mgr. Ja Hízdl, Ph.D. RNDr. Karel Hrach, Ph.D. Jazyková korektura: Mgr. Markéta Dvšová Zdeěk Havel, Davd Chlář, 0
4 Souhr Tato publkace avazuje a skrptum Cvčeí z Atropomotorky z roku 008 a je určea studetům všech studjích oborů studjího programu Tělesá výchova a sport. Jde o doplěí učva o vybraé eparametrcké statstcké techky, jejchž potřeba se ukázala v souvslost se zpracováím bakalářských a dplomových prací. Ve skrptech jsou uvedey výpočty těchto eparametrckých testů: χ - test, McNemarův test, Ma-Whtey U test, Kruskall Wallsův test, Wlcoxoův test a pořadová korelace. Posledí kaptola obsahuje stadardzac dotazíku - valdtu a relabltu pomocí Coheova koefcetu kappa. Kaptoly v této publkac jsou uspořádáy tak, že po úvodí teor ásleduje ukázka výpočtu příkladu základího postupu matematcké statstky. Jedá se o způsob, podle kterého je možé počítat podobé příklady. Každá kaptola je doplěa o tzv. věcou výzamost a jede z jejích ástrojů koefcet velkost účku EFFECT SIZE. Následuje ávod a výpočet pomocí programu Excel č programu STATISTICA a dále příklad pro samostatou prác studeta. Abstract Ths publcato follows the textbook Cvčeí z Atropomotorky from 008 ad s teded for semar work for studets of all felds of study program of Physcal Educato ad Sport studes. It s a supplemet subject matter of selected o-parametrc statstcal techques, whch eed to be show coecto wth the processg of Bachelor ad Master's theses. The oparametrc statstcal techques are gve scrpts calculatos of oparametrc tests: χ - test, McNemar test, Ma-Whtey U test, Kruskall Walls test, Wlcoxo test ad ordal correlato. The last chapter cludes the stadardzato of the questoare - the valdty ad relablty usg Cohe's kappa coeffcet. The chapters ths book are arraged so that after the tal demostrato of the theory follows the example of calculatg the basc process of mathematcal statstcs, the method by whch t s possble to calculate smlar examples. Each chapter s supplemeted by the substatve sgfcace ad oe of ts strumets - the coeffcet of sze effect 'EFFECT SIZE ". The followg gudace o the calculato usg software Excel or STATISTICA" ad example for depedet studet work.
5 OBSAH Úvod.... Závslé a ezávslé soubory, výběr testů. 3. Statstcké tříděí dat a popsá statstka 4. Měré škály 4. Četost. 6.3 Normálí rozložeí 7.4 Míry polohy Nezávslé soubory Parametrcká data.. 3. Neparametrcká data Čtyřpolí tabulka. 3.. Kotgečí tabulka Početí postupy s procety Ma Whtey U test Kruskal - Wallsův test. 4. Závslé soubory.4 4. Parametrcká data T-test pro párové hodoty 4.. Součová korelace 4. Neparametrcká data χ² test dobré shody Zamékový test McNemarův test Wlcoxoův párový test Spearmaův koefcet pořadové korelace Stadardzace dotazíku valdta a relablta.. 35 Přílohy: Statstcké tabulky..38
6 Vybraé eparametrcké statstcké postupy v atropomotorce Úvod Tato publkace avazuje a skrptum Cvčeí z atropomotorky z roku 008 a je určea kurzu Cvčeí z atropomotorky studetům všech studjích oborů studjího programu Tělesá výchova a sport. Jedá se o doplěí učva o vybraé eparametrcké statstcké techky, jejchž potřebost se ukázala v souvslost se zpracováím bakalářských a dplomových prací. Ve statstce rozlšujeme testy parametrcké a eparametrcké. Skrptum Cvčeí z atropomotorky z roku 008 se věuje převážě parametrckým testům, které vyžadují splěí řady podmíek, apř. metrcká data, ale především ormálí rozděleí proměé, aby jejch použtí bylo oprávěé. V případě, že jsou požadavky a použtí parametrckých metod splěy, je vhodé je před metodam eparametrckým upředostt, eboť testy založeé a parametrckých metodách mají zpravdla větší statstckou účost. Neparametrcké postupy evyžadují splěí požadavků, jakým jsou apř. ormalta rozděleí, velkost rozptylů aj. Větší uverzálost eparametrckých testů však ovlvňuje jejch meší statstckou účost. Účost statstckého testu defujeme jako: schopost testu rozpozat malé odchylky od ulové hypotézy (Chráska, 003). Neparametrcké techky mají tedy méě přísé předpoklady a lze je použít pro jakékolv rozděleí pravděpodobost. Jejch využtí je však stejě jako u techk parametrckých založeo a áhodém výběru. Kaptoly v této publkac jsou uspořádáy tak, že po úvodí teor ásleduje ukázka výpočtu příkladu základího postupu matematcké statstky, tedy způsob, podle kterého je možé počítat podobé příklady. Každá kaptola je doplěa o tzv. věcou výzamost a jede z jejích ástrojů koefcet velkost účku EFFECT SIZE. Následuje výpočet pomocí programu Excel č programu STATISTICA a dále pak příklad pro samostatou prác studeta. V programu Excel se právě eparametrcké statstcké techky vyskytují je sporadcky, a proto je důležté, aby se studet aučl využívat program STATISTICA. V obou programech lze získat buď klascké testové charakterstky, ebo p-hodotu, což je pravděpodobost chybého zamítutí ulové hypotézy. Studet, př rozhodováí o tom, zda použje parametrcké č eparametrcké postupy, musí ejdříve posoudt, zda se jedá o závslé ebo ezávslé soubory. V druhém případě pak je třeba zjstt, jakou měrou škálou byly získaé hodoty a ásledě vytvořt sloupcový graf, z kterého se posuzuje, zda jde o ormálí rozděleí četostí. V tabulkách - 4 alezete odpovídající statstcké postupy. Poděkováí: Je aší mlou povostí poděkovat oběma recezetům Mgr. Jau Hízdlov, Ph.D. a RNDr. Karlu Hrachov, Ph.D. za posouzeí textu, přpomíky a doplňky. Za případé chyby a edostatky jsou však odpověd autoř. Děkujeme rověž Mgr. Markétě Dvšové za pečlvou jazykovou úpravu. Autoř
7 Kaptola Závslé a ezávslé soubory, výběr testů Úkolem statstky je sledovat a popsovat hromadé jevy. Tyto operace jsou prováděy ve výběrovém souboru a pomocí statstckých testů je pak možé získaé výsledky zobect a základí soubor. Všechy statstcké testy vychází z určtých předpokladů, které je uté splt. Je tedy uté všechy tyto předpoklady pečlvě zvážt a teprve potom je možé pustt se do statstckého zpracováí. Jedím ze základích hledsek, podle kterých volíme statstcké testy, je posouzeí, zda se jedá o závslé ebo ezávslé soubory. Za závslé soubory je možé považovat takové soubory, kde dochází k opakovaému měřeí č posuzováí zaků u stejých osob. Příkladem je ověřeí účost trékového pláu u rozvoje slových schopostí. Změříme u probadů výko ve skoku do dálky z místa, ásledě budeme po dobu jedoho měsíce rozvíjet jejch odrazové schopost. Po této době u stejých probadů opětově změříme výko ve skoku do dálky z místa. Zde je důležté, aby počet probadů byl u prvího druhého měřeí stejý, tedy ty probady, kteří se eúčastl obou měřeí, je uté vyloučt. Za ezávslé soubory považujeme dvě růzé skupy, u kterých zjšťujeme rozdíl ve výkoech. Příkladem je rozdíl ve výkoech ve skoku do dálky z místa u jedeáctletých a čtráctletých chlapců, tedy dvou růzých skup probadů. U souborů (ezávslých závslých) měříme zaky. Rozlšujeme zaky kvaltatví a kvattatví. Kvaltatví zaky jsou vyjádřey zpravdla slově a obvykle vyjadřují určtou vlastost (pohlaví, druh sportu, trékové skupy, školí zámku). Kvattatví zaky jsou vyjádřey číselě a obvykle představují možství ebo velkost (počet studetů, výkoy ve skoku do dálky, počet shybů). Hodoty zaků získáváme měřeím, testováím ebo odborým posuzováím. Ještě ež začeme počítat, je třeba s uvědomt ěkolk dalších důležtých pozatků. Všechy statstcké testy vycházejí z určtých předpokladů o rozděleí hodot testovaého zaku v základím souboru. Normálí rozděleí hodot testovaého zaku je možé sledovat apř. u tělesé výšky, hmotost, BMI, % podkožího tuku atd. Normálí rozděleí je také zámo jako Gaussovo rozděleí. U ormálí rozděleí testovaého zaku používáme tzv. parametrcké testy (t-test, párový t-test, ANOVA test, součová korelace). Z výše uvedeého je tedy zřejmé, že ormálí rozděleí je možé ajít pouze u metrckých zaků. V ostatích případech, kdy elze usuzovat a ormálí rozděleí hodot zaku, používáme tzv. eparametrcké testy (χ² test, McNemarův test, Ma-Whtey U test, Kruskall Wallsův test, Wlcoxoův test, pořadovou korelac). 3
8 Kaptola Statstcké tříděí dat a popsá statstka. Měré škály Výsledky měřeí ebo odborého posuzováí lze podle charakterstk a vlastostí dat vyjádřt a měrých škálách, které můžeme podle jejch rostoucího stupě dokoalost seřadt v pořadí: ) Měřítko omálí (klasfkačí) Objektům zde přřazujeme čísla, která určují příslušost objektu do ěkteré z epřekrývajících se kategor. Číslo přřazeé objektu evypovídá o kvaltě a kvattě, tudíž může být ahrazeo symbolem. Tříděí zde eí omezeo pouze a dchotomcký systém, jelkož objekty můžeme zařazovat do více kategorí. Čísla mohou být objektům přřazováa takovým způsobem, jakým se apříklad provádí evdece automoblů (SPZ), tj. rozděleí podle pohlaví, fukce hráčů v družstvu aj. ) Měřítko ordálí (pořadové) Je dáo sestupě ebo vzestupě seřazeým čísly do tříd. Každá ze tříd má tedy jou kvaltatví hodotu, kterou ovšem ejsme schop přesě vymezt. Sousedí třídy se mohou avzájem lšt o estejě velký terval. Pořadové měřítko vyjadřuje pouze kvattatví vztahy (větší, meší, rový). Jak vyplývá z ázvu, důležté je pořadí. Příkladem jsou sportoví výsledky ve formě růzých rakgových pořadí, žebříčků ebo pořadí podle úspěšost v Iowa Brace testu. Do této kategore spadají svou povahou školí zámky. V prax je však s těmto daty akládáo eodpovídajícím způsobem, evhodým pro eparametrcká data (počítáí průměrů). 3) Měřítko metrcké 3. Měřítko tervalové Posu v dokoalost oprot předchozí stupc je zde zajště kostatí jedotkou měřeí. Mez sousedím třídam jsou stejé tervaly. Kromě pořadí tedy můžeme určt rozdíl mez jedotlvým daty. Nulový bod je urče dohodou. Příkladem je měřeí teploty ve º C, ebo určováí času (hoda, de). Dalším příkladem může být měřeí skoku dalekého od místa odrazu. 3. Měřítko ekvtervalové (poměrové) Oprot tervalové stupc má tato stupce avíc ještě absolutí, přrozeý ulový bod. Používá se př měřeí, kde je možé využít všechy matematcké operace, apříklad měřeí skoku dalekého od břeva podle pravdel atletky. 4
9 Tabulka. Hlaví typy měrých škál a popsá statstka MĚRNÁ ŠKÁLA ZÁKL. OPERACE RELACE CHARAKTERISTIKA PŘÍKLAD POPISNÁ STATISTIKA Nomálí Klasfkace umerzace, jako pojmeováí objektů Ordálí Posuzováí < > staoveí pořadí, bez jedotky měřeí Muž žea 0 plavec eplavec 0 Lyžařský kurs -družstva dle výkoost četost, modus, proceta, Četost, modus, medá, Metrcká tervalová Metrcká poměrová Měřeí Měřeí rovost tervalů rovost vztahů ulový bod dohodou, kostatí jedotka měřeí přrozeý ulový bod. kost. jedotka měřeí motorcký věk měřeí dálky, výšky síly Míry polohy: artmetcký průměr x modus xˆ ebo Mo (ejvyšší četost) meda x ~ ebo Me (prostředí čle varačí řady) Míry varablty: směrodatá odchylka s rozptyl s ebo var x (odráží varac všech zaků) varačí rozpětí R Tabulka. Vybraé testy závslých a ezávslých souborů Nezávslé Závslé Parametrcká data Neparametrcká data Parametrcká data Neparametrcká data - χ test o ezávslost Testováí dvou výběrových % hodot - χ test dobré shody, Zamékový test McNemarův test F-test Ma Whtey test t-test pro párové Wlcoxoův test t-test hodoty Aova test Kruskall Wallsův test Součová korelace Pořadová korelace 5
10 Tabulka 3. Přehled testů u ezávslých souborů N O M Parametrcká data Neparametrcká data N O M N O M F test, - - T test, Aova - - F test, T test, Aova F test, T test, Aova F test, T test, Aova χ test o ezávslost, Testováí dvou výběrových % hodot χ test o ezávslost, Testováí dvou výběrových % hodot χ test o ezávslost, Testováí dvou výběrových % hodot χ test o ezávslost, Testováí dvou výběrových % hodot Ma Whtey test, Kruskall Wallsův test Ma Whtey test, Kruskall Wallsův test Legeda: N omálí měřítko, O ordálí měřítko, M metrcké měřítko Tabulka 4. Přehled testů u závslých souborů N Parametrcká data Neparametrcká data N O M N O M T-test pro McNemarův Wlcoxoův - - párové test - test hodoty O M T-test pro párové hodoty - Součová korelace Wlcoxoův test - Legeda: N omálí měřítko, O ordálí měřítko, M metrcké měřítko Pořadová korelace. Četost: Počet hodot dosažeých v určtém zaku ozačujeme jako četost zpravdla jako absolutí četost. absolutí ( ) - četost daé hodoty zaku x N - ačítáme-l postupě absolutí četost kumulatví absolutí ( ) relatví ( f ) vyjadřujeme v procetech - vypočítaá podle vzorce součet absolutích četostí ( ) kumulatví relatví ( ) F - ačítáme-l postupě relatví četost f f *00, kde je 6
11 Zobrazíme-l statstcké údaje v soustavě souřadc pomocí bodů (sloupců), vzke bodový (sloupcový) graf. Sloupcový graf zázorňuje vztah mez hodotam statstckého zaku a absolutím četostm..3 Normálí rozložeí Normálí rozložeí četostí se vyzačuje tím, že začá část hodot se soustřeďuje kolem průměré hodoty a a obě stray od í jsou hodoty stálé, méě časté, přčemž extrémí hodoty se vyskytují ojeděle. Tuto emprckou zákotost vyjadřujeme grafcky tzv. Gaussovou křvkou (Obrázek č..). Gaussova křvka má tyto zaky: je symetrcká podle osy má stejoměrý zvoovtý tvar vrchol křvky je totožý se středí hodotou (EX), Modem (Mo) a Medáem (Me) varačí rozpětí R & 6s v tervalu EX ± s leží přblžě /3 všech hodot, tj. 68,7 % všech případů v tervalu EX ± s leží přblžě 9/0 všech hodot, tj. 95,4 % všech případů v tervalu EX ± 3s leží praktcky všechy hodoty, tj. 99,73 % všech případů Řada statstckých procedur byla odvozea od ormálího rozděleí, a proto je jejch použtí podmíěo ormálím rozděleím dat testovaé proměé. Exstuje řada postupů, jak ohodott ormálí rozděleí dat (apř. test špčatost, resp. škmost, který vyjadřuje kocetrac, resp. symetr dat kolem středí hodoty; pro ormálí rozděleí vychází přblžě špčatost3 a škmost0), posouzeí z hstogramu a samozřejmě posouzeí výpočtem. Normálí rozložeí četostí je jedím z předpokladů použtí parametrckých statstckých metod a postupů. Obrázek. Normálí rozděleí četostí Převzato Havel, Hízdl (008) 7
12 PŘÍKLAD a) Měřeím testu sedy - lehy za jedu mutu u studetů. ročíku studjího programu TVS jsme získal tyto hodoty: 70, 48, 68, 49, 56, 5, 44, 76, 6, 64, 7, 55, 80, 54, 56, 58, 5, 6, 40, 54, 54, 57, 57, 63, 66, 37, 57, 54, 48, 60, 58, 4, 54, 4, 48, 64, 54, 43, 7, 55, 60, 55, 47, 65, 49, 53, 55, 63, 58, 40, 57, 60, 55, 50, 5, 49, 4, 45, 68. Vypočítejte absolutí, relatví a kumulatví četost. Sestrojte sloupcový graf. Tabulka 5. Absolutí, relatví a kumulatví četost testu sedy - lehy. Hračí hodota x Četost absolutí relatví N F Kumulatví četost absolutí relatví N F ,08 % 3 5,08 % ,7 % 9 5,5 % 5 8,63 % 0 33,90 % 58 35,58 % 4 69,49 % ,5 % 50 84,75 % ,47 % 55 93, % ,08 % 58 98,3 % 8,74 % 59 00,00 % 59 00,00 % Obrázek. Sloupcový graf testu sedy - lehy. 5 0 Četost Třídy 8
13 b) Hodoceím Iowa Brace testu u studetů. ročíku studjího programu TVS jsme získal tyto hodoty: 3, 4, 6, 9, 4, 7, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 7, 5, 7, 7,,, 5, 3, 4, 8, 3, 4, 3, 6,, 4, 4, 3, 3, 0, 4,,, 3, 7, 8, 3, 0, 6, 6, 5, 6, 3,, 9, 5, 5,, 6, 8, 5, 5, 4,,, 5, 6. Vypočítejte absolutí, relatví a kumulatví četost. Sestrojte sloupcový graf. Tabulka 6. Absolutí, relatví a kumulatví četost Iowa Brace testu. Hračí hodota x Četost absolutí N relatví F Kumulatví četost absolutí relatví N F 0 3,39 % 3,39 % 9 5,5 % 8,64 % ,5 % 9 49,5 % 6 9 3,0 % 48 8,36 % 8 9 5,5 % 57 96,6 % 0 3,39 % 59 00,00 % 59 00,00 % Obrázek 3. Sloupcový graf Iowa Brace testu. 0 5 Četost Třídy Oba grafy zhruba kopírují křvku ormálí rozložeí četostí. Hodoty testu sedy lehy jsou v měřítku ekvtervalovém (poměrovém), hodoty Iowa Brace testu v měřítku ordálím (pořadovém). U hodot Iowa Brace testu použjeme tedy eparametrcké postupy. Výpočet četostí a vytvořeí sloupcového grafu v Excelu: Zadáme Nástroje Aalýza dat Hstogram OK Vytvořt graf popřípadě Kumulatví procetuálí podíl Vstupí oblast Výstupí oblast - OK 9
14 . 4 Míry polohy Velm důležtým charakterstkam jsou ty, které zevšeobecňují velkost hodot sledovaého zaku všech statstckých jedotek daého souboru tak, aby bylo možé jm ahradt jedotlvé hodoty. Tato čísla ozačujeme za míry polohy. Jejch výzam spočívá v tom, že umožňují přehledé a jedoduché srováváí úrově téhož zkoumaého zaku u ěkolka souborů. artmetcký průměr x modus xˆ ebo Mo meda x ~ ebo Me Artmetcký průměr je úhrem hodot zaku v souboru děleý rozsahem souboru. U hodot v měřítku omálím (klasfkačím) a v měřítku ordálím (pořadovém) se artmetcký průměr epočítá. Modus je ejčetější hodotou zaku ve zkoumaém souboru, která odpovídá vrcholu rozděleí četostí. Charakterzuje typckou hodotu zaku (tato míra polohy eí jedozačě defováa, eboť v souboru se může vyskytovat ěkolk ejčetějších růzých hodot zaku.) Medá je prostředí hodota varačí řady - řady hodot uspořádaých podle velkost. Medá zameá hodotu, jež dělí řadu podle velkost seřazeých výsledků a dvě stejě početé polovy. Pokud je počet hodot souboru sudý, je medá průměrem ze dvou prostředích hodot Je to charakterstka míry, která se používá u ordálích dat. Na rozdíl od artmetckého průměru je medá málo ctlvý k odlehlým hodotám. Příklad k procvčeí: Hodoceím Iowa Brace testu studetů. ročíku studjího programu TVS jsme získal tyto hodoty:, 3, 8, 5, 9, 0, 4, 6, 0, 8, 8, 0, 5, 6, 4, 8, 9, 7, 5, 0,, 6, 4, 7, 0,, 3, 4, 5, 6, 5, 7, 0, 5, 4, 9, 4, 0,,, 0, 8, 7, 9. Vypočítejte modus a medá. Vypočítejte absolutí, relatví a kumulatví četost. Sestrojte hstogram. Výpočet modu a medáu v Excelu: a) Zadáme Nástroje Aalýza dat Popsá charakterstka OK Vstupí oblast Výstupí oblast OK b) Zadáme Vložt Fukce Statstcké Mode respektve Meda Číslo - OK. 5 Staoveí pořadí v ordálím měřítku U řady testů musíme staovt pořadí. Hodoty uspořádáme podle velkost a staovíme pořadí. V případě shodých dat přřazujeme tzv. průměrá pořadí. Tabulka 7. Vzestupě uspořádaá data a jejch průměrá pořadí: Uspořádaá data Průměrá pořadí 3,5 3, ,5,5 0
15 Kaptola 3 Nezávslé soubory 3. Parametrcká data F test, dvou výběrový t -test (testováí statstckých hypotéz) a) testováí hypotéz o rozptylu: F - test b) testováí hypotéz středí hodoty. t test pro ezávslé výběry, jestlže σ σ. t test pro ezávslé výběry, jestlže σ σ Postup výpočtu statstcké výzamost s F (v čtatel je vždy vyšší hodota) s Staovíme počet stupňů volost v a v, který je dá rozsahem výběru ( ) a ( ). Srováme vypočítaou hodotu F s hodotou tabulkovou F 0, 05. Nastává případ, ebol vypočteá hodota je větší, rozptyl mez výběry je statstcky výzamý ( σ σ ). Pro výpočet testovacího krtera t použjeme vzorce x x t s s σ σ tj. V případě, že astává druhý případ, vypočteá hodota je meší ež tabulková, rozptyly se tedy rovají ( σ σ ). Pro výpočet testovacího krtéra t použjeme vzorec x x ( σ σ * ( ) ), tj. t s s Výpočet F - testu, Dvouvýběrového t - testu v Excelu: a) F test Zadáme Nástroje (Data) Aalýza dat Dvouvýběrový F-test pro rozptyl OK Vstupí oblast Výstupí oblast OK b) Dvouvýběrový t test Zadáme Nástroje (Data) Aalýza dat Dvouvýběrový t - test s rovostí rozptylů ebo s erovostí rozptylů OK Vstupí oblast Výstupí oblast OK
16 3.. Neparametrcká data 3.. Čtyřpolí tabulka, testy ezávslost - χ Test využjeme v případech, kdy rozhodujeme, zda exstuje závslost (souvslost) mez dvěma jevy zjštěým pomocí omálího ebo ordálího měřítka. H 0 Předpokládáme, že závslost (souvslost) mez dvěma zaky eexstuje. Tabulka 8. Čtyřpolí tabulka Skupa Jev astal Jev eastal Σ (A 0 ) (B 0 ) A B A B (C 0 ) (D 0 ) CD C D Σ AC BD očekávaé četost: A 0 ( A B) * ( A C) B 0 ( A B) * ( B D) C 0 ( A C) * ( C D) D 0 ( B D) * ( C D) Testovací krterum A A0 B B χ A B ( ) ( ) ( C C ) ( D D ) Počet stupňů volost (sv) je pro čtyřpolí tabulku vždy. C 0 0 D PŘÍKLAD Požadavky z Metodologe odboré práce ezvládl v prvím roce studa ásledující studet a studetky. Je mez m rozdíl? Je úspěšost v Metodolog odboré práce ovlvěa pohlavím? Tabulka 9. Čtyřpolí tabulka výpočet 0 0.roč. SP Zvládl Nezvládl Σ TVS Žey 45 (47,) 8 (5,89) 53 Muž 3 (8,89) 4 (6,) 45 Σ 76 98
17 a) Postup výpočtu statstcké výzamost 76*53 *53 A 0 47, B 0 5, *45 * 45 C 0 8, 89 D 0 6, (45 47,) χ² 47, (8 5,89) 5,89 (3 8,89) 8,89 (4 6,) 6,,6 χ²,6 Krtcká hodota odečteá z tabulky A pro sv je χ 3, 84 0,05 Protože je ám vypočítaá hodota žší ež krtcká hodota, emůžeme zamítout ulovou hypotézu. Rozdíl mez studety a studetkam eí statstcky výzamý, úspěšost v Metodologe odboré práce tedy eí ovlvěa pohlavím. Věcá výzamost se epočítá! Příklad pouze k procvčeí: b) Postup výpočtu věcé výzamost (effect sze) Cramerovo φ se hodotí ásledově: φ 0,0 0,9...malý efekt φ 0,30 0,49... středí efekt φ 0,50 a více...velký efekt Vypočítaou hodotu φ ásobíme 00 a uvádíme j tak v % vypočítá se podle vzorce pro parcálí korelac χ vypočítaá hodota rozsah souboru χ φ,6 0, Výsledek je meší ež 0,0 a proto je sledovaý rozdíl věcě evýzamý. PŘÍKLAD Čtyřpolí tabulka pro malé četost přchází v úvahu, jestlže v ěkterém políčku je četost meší ežl 5, ebo jestlže je celkové meší ež 0. Provádíme pak úpravu emprckých četostí tak, že k ejmeší hodotě přčteme 0,5 a ostatí četost upravíme tak, aby součty zůstaly ezměěy (Tabulky 0 a ). Výpočet je shodý s předcházejícím příkladem. 3
18 Tabulka 0. - výpočet s meším daty, úprava tabulky..postup.postup Σ Udělal 0 Neudělal Σ Tabulka. Upraveá tabulka.postup.postup Σ Udělal 9,5,5 Neudělal 3,5 4,5 8 Σ a) Postup výpočtu statstcké výzamost Výpočet: A 0 7,8 B 0 4, C 0 5, D 0,8 χ ( A A ) ( B B ) ( C C ) ( D D ) A 0 0 B 0 0 C 0 0 D 0 0 χ,65 χ 3, 84 0,05 Rozdíl je statstcky evýzamý př hladě výzamost α 0, 05. Věcá výzamost se epočítá. Příklad k procvčeí Posuďte, který ze studjích oborů lépe zvládl zkoušku z Atropomotorky, jestlže v roce 0 zkoušku udělal je určtý počet studetů. (Řešte statstckou věcou výzamost.) Hodoty jsou uvedey v tabulce. Tabulka. Zkouška z atropomotorky KÓD SO Zvládl Nezvládl Σ Σ 3.. Kotgečí tabulka a) Testovací krterum r s ( pj oj ) χ o j Kde p j pozorovaá četost -té kategore, o j očekávaá četost -té kategore Počet stupňů volost: sv (r-) * (s-), kde r počet řádků tabulky, s počet sloupců tabulky j 4
19 PŘÍKLAD Zajímá ás, zda jsou zámky ze zkoušky z Atropomotorky u jedotlvých studjích oborů shodě rozložeé ( H 0 ). Tabulka 3. Kotgečí tabulka - výpočet Kód oboru/ zámka Výborě Velm dobře Dobře Nevyhověl Σ (,66) 4 (,0) 0 (,09) (,05) 0 (7,33) 8 (5,9) 4 (4,78) 8 (4,60) (0,33) 7 (7,45) 8 (6,73) 7 (6,48) 9 (3,66) 4 43 (7,06) 9 3 (5,4) 8 (4,86) 6 7 Σ a) Postup výpočtu statstcké výzamost j * j okrajový součet -tého řádku okrajový součet j-tého sloupce j celkový součet všech případů Vzorec: r s ( pj oj ) χ o j j χ ( 4,66 ) ( 8 7,33) ( 7 0,33) ( 4 3,66) ( 0,0) ( 4 5,9),66 ( 8 7,45) ( 9 7,06) (,09) ( 8 4,78) ( 7 6,73) ( 5,4) 7,45 7,33 7,06 0,33,09 3,66 4,78,0 6,73 5,9 5,4 (0,05),05 ( 4,60) 4,60 (9 6,48) 6,48 (6 4,86) 4,86,73 ( ) * ( 4 ) 9 6, 9 sv χ - krtcká hodota pro α 0, 05 z tabulky A 4 0, 05 5
20 Vypočteá hodota je meší ež tabulková krtcká a elze zamítout ulovou hypotézu. Zjšťujeme, že zámky z Atropomotorky u jedotlvých studjích oborů jsou shodě rozložeé, věcá výzamost se epočítá. Příklad vychází z praxe, proto jsme zachoval četost podle skutečost. Př postupu však doporučujeme sloučeí kategorí zámek výborě a velm dobře do jedé kategore. Příklad pouze k procvčeí: b) Postup výpočtu věcé výzamost (effect sze) Postup výpočtu věcé výzamost (effect sze) v tomto případě η χ vypočítá se podle vzorce pro parcálí korelac : η ( sv) χ vypočítaá hodota rozsah souboru sv stupě volost η (eta) se hodotí ásledově: η 0,0 0,059...malý efekt η 0,06 0,39 středí efekt η 0,4 a více velký efekt,73 0,00 9*9 Výsledek se blíží hodotě 0,0 a proto lze hovořt o malém efektu. Příklad pro procvčeí: Zajímá ás, zda počet studetů, kteří evyhověl ze zkoušky z Atropomotorky u jedotlvých studjích oborů, je shodě rozložeý ( H 0 ). Tabulka 4. Hodoceí zkoušky z Atropomotorky Kód oboru/ zámka Nevyhověl Vyhověl Σ Σ 6
21 3.. 3 Početí postupy s procety Předpokladem je, že je větší ež 0 (je zřejmé, že procetí počet získaý z šetřeí méě ež 0-t osob je espolehlvým údajem). b p v * 00 b část souboru, kterou chceme vyjádřt v procetech Iterval spolehlvost pro procetový údaj: Výpočet provádíme z hodot výběrového proceta, který chceme zevšeobect, a z rozsahu výběru. V úvahu bereme pravděpodobost, se kterou budeme šíř tervalu posuzovat. Iterval spolehlvost je dá vztahem: IS(%) p v ± t p ( 00 p ) v v p * v p výběrové proceto stadardzovaého ormálího rozděleí a hodoty t p odpovídají stadardzovaému ormálímu rozděleí (tj. př α0,05 je 0, 05 t,96, resp. př α0,0 je t 0, 0,58) PŘÍKLAD Praktckou přjímací zkoušku z Tělesé výchovy spllo 0 uchazečů o studum studjího oboru TVS (40). Zajímá ás kolk je to procet? p 0 v * 00 78,57 % 40 Vypočítal jsme tedy, že praktckou přjímací zkoušku z Tělesé výchovy spllo 78,57 % uchazečů o studum studjího oboru TVS. Chceme zjstt terval, ve kterém se alézá ezámé proceto všech uchazečů o studum studjího oboru TVS (základího souboru). IS(78,57 %) ( 00 78,57 ) 78,57 78,57 ±,96 * 78,57 ±,07 40 S 95% spolehlvostí je v populac uchazečů 66,543 % až 90,597 % těch, kteří splí praktckou přjímací zkoušku. Testováí dvou výběrových procetových hodot Testováí dvou výběrových procetových hodot je obdobou testováí výzamost dvou výběrových průměrů, eboť používáme stejého prcpu stejého testovacího krtéra. Zajímá ás, zda rozdíl mez procetuálím hodotam je áhodý č kolv? 7
22 Výpočet testovacího krtéra t je dá vztahem: p p * t * p ( 00 p ) S s kde rozsah prvího výběru rozsah druhého výběru p proceto prvího výběru p proceto druhého výběru p s odhad ezámé hodoty proceta základího souboru, kterou vypočteme podle vzorce p m m *00 S Symboly m m ozačují část souboru a, které testujeme (v absolutích číslech) PŘÍKLAD Praktckou přjímací zkoušku z Tělesé výchovy v roce 0 spllo 0, tj. 78,57 % uchazečů o studum studjího oboru TVS (40). V roce 00 to bylo 40 uchazečů o studum (00), tj. 70 %. Zajímá ás, zda rozdíl mez procetuálím hodotam je áhodý č kolv. a) Postup výpočtu statstcké výzamost p S 0 40 * *00 73, t 78,57 70 * 73,53(00 73,53) 40 * ,55 44, *9,07,76 Srováím vypočteé hodoty t,76 s hodotou tabulkovou, kde t,96, kostatujeme, že ulovou hypotézu H 0 elze zamítout. Věcá výzamost se v tomto případě epočítá (testovaí byl vybráí a základě radomzovaého výběru). b) Postup výpočtu věcé výzamost (effect sze) Pro posouzeí věcé výzamost máme k dspozc mmálě tř dostupé ástroje:. Statstckou výzamost a určeé hladě výzamost, zpravdla α 0,05. Logcký úsudek, kdy předem staovíme mmálí hodotu velkost v jedotkách měřeí 3. Staoveí proceta velkost účku effect sze Zpracováo volě dle Blahuše, (000) 8
23 Postup výpočtu výzamost (effect sze) t vypočítá se podle vzorce: ω t t vypočítaá hodota t testu, rozsah souborů a Krtéra hodoceí: ω 0, sledovaý vztah je výzamý ω * 00 procetuálí hodota Příklad k procvčeí: V roce 0 dosáhlo v prvím roce studa v Iowa Brace testu 80 studetů. ročíku studjího programu TVS hodoceí 6 bodů a více, což bylo 40 % ( 00). Rok předtím to bylo 60 studetů. ročíku studjího programu TVS, což bylo 50 % ( 0). Zajímá ás, zda rozdíl mez procetuálím hodotam je áhodý č kolv Ma Whtey U test (dále je Ma Whtey) Jak jž bylo zmíěo, za ezávslé soubory považujeme apříklad porováváí výkoů ve skoku do dálky z místa u chlapců a dívek, tedy dvou růzých skup probadů. Pro volbu testu je důležté s uvědomt, jaké zaky porováváme. Pokud porováváme omálí (ěkdy ordálí) zaky, používáme pro prokázáí procetuálích rozdílů χ². V případě, že zjšťujeme rozdíly ve výkou ve vrhu koulí u skupy a skupy, tedy dvou růzých souborů používáme Ma Whtey U test. V případě, že je třeba porovat více ež dva soubory, používáme Kruskall-Wallsův test. Neí podmíkou, aby byly oba soubory početě vyrovaé. Pokud by byly výkoy ve vrhu koulí ormálě rozděleé, použl bychom pro prokázáí rozdílů t-test. Nelze-l však usuzovat a ormálí rozděleí výkoů, používáme právě Ma Whtey test. Test porovává medáy ve dvou ezávslých souborech. Testovaé hypotézy jsou ásledující: H 0 : Medáy obou souborů se rovají. H : Medáy obou souborů jsou odlšé. Postup výpočtu v programu STATISTICA eparametrcké testy vybrat soubory a proměou vypočítat (hodota p vyjadřuje pravděpodobost chyby př zamítutí ulové hypotézy). 9
24 Tabulka 5. Výkoy ve vrhu koulí v cm Skupa Skupa Postup př výpočtu je ásledující. Pokud ejsou soubory početě vyrovaé, tak je soubor s větším rozsahem ozače jako, soubor s meším rozsahem jako soubor. Ke každému výkou je přřazeo pořadí bez ohledu a příslušost souboru. Sečtou se všecha pořadí hodot ze souboru, a tuto hodotu ozačíme jako S.V ašem případě jsme ke každému výkou přřadl pořadí. Pořadí je uvedeo v tabulce 6. Tabulka 6. Výkoy ve vrhu koulí a staoveé pořadí Skupa Celkové pořadí Skupa Celkové pořadí Postup př výpočtu je ásledující: Sečteme pořadí zvlášť pro závodíků ze skupy a skupy. Skupa : součet pořadí S 74, rozsah výběru. Skupa : součet pořadí S 6, rozsah výběru. 0
25 Vypočítáme testové statstky U a U, kde U U S S ( ) *3 74 ( ) * Zvolíme hladu výzamost α 0, 05 a v tabulce A alezeme krtckou hodotu pro aše rozsahy výběrů a. Nulovou hypotézu zamíteme, pokud meší z čísel U a U je meší ež krtcká hodota. V ašem případě je alezeá krtcká hodota 37 ( a, α 0, 05 ; tabulka A ) a meší z čísel U a U je U 48. Protože je krtcká hodota žší ež U (37<48), emůžeme zamítat ulovou hypotézu. Závěr je, že jsme u těchto dvou skup ealezl statstcky výzamý rozdíl. Příklad k procvčeí: Zjstěte, zda exstuje statstcky výzamý rozdíl mez skupou a skupou v době tráveé pohybovou aktvtou (dále je PA za měsíc). Skupa uvádí tyto hodoty PA za měsíc: 3, 4, 6, 9, 4, 7, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 7, 5, 7, 7,,, 5, 3, 4, 8, 3, 4, 3, 6,, 4, 4, 3. Skupa uvádí tyto hodoty PA za měsíc: 3, 0, 4,,, 3, 7, 8, 3, 0, 6, 6, 5, 6, 3,, 9, 5, 5,, 6, 8, 5, 5, 4,,, 5, Kruskal - Wallsův test V případě, že je třeba porovat více ež dva soubory a elze usuzovat a ormálí rozděleí, použjeme pro prokázáí rozdílů v jedotlvých skupách Kruskall Walllsův test. Test je eparametrckou aalogí jedofaktorové aalýzy rozptylu, a právě proto se mu ěkdy přezdívá eparametrcká ANOVA. Základí podmíky použtí: Měrá stupce je přejmeším ordálí Všechy hodoty jsou zjštěy u áhodých výběrů 3 Normalta eí vyžadováa Testovým krtérem je hodota H, která se vypočítá podle R vzorce H 3( ) ( ) ), kde: celková četost všech hodot R součet pořadí v jedotlvých skupách četost hodot v jedotlvých skupách
Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
VíceÚvod do korelační a regresní analýzy
Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
Více9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost
Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
Více12. Neparametrické hypotézy
. Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
Více, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle
Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
VíceÚvod do teorie měření
Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceChyby přímých měření. Úvod
Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,
VíceStatistika - vícerozměrné metody
Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad
. Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé
VíceVY_52_INOVACE_J 05 01
Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí
VíceAPLIKOVANÁ STATISTIKA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
Více14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat
4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
VíceP1: Úvod do experimentálních metod
P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu
Vícejsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x
Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceTesty statistických hypotéz
Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč
Více1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků
1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceStatistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).
Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
Více11. Popisná statistika
. Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách
VíceLABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceBIVŠ. Pravděpodobnost a statistika
BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz
Více8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá
VíceS1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák
SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk
Více- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.
MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Více1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor
1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VíceUČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík
UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekoomcká fakulta Semestrálí ráce S kua Jméa: Leka Pastorová, Davd arha, Ja Vtásek a Fl Urbačík Ročík: 0/06 Učtel: gr. Jří Rozkovec Obor: Podková ekoomka Datum:.. 06 Obsah
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
VíceVýukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceRegresní a korelační analýza
Regresí a korelačí aalýza Závslost příčá (kauzálí). Závslostí pevou se ozačuje případ, kdy výskytu jedoho jevu utě odpovídá výskyt druhé jevu (a často aopak). Z pravděpodobostího hledska jde o vztah, který
VíceSOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek
SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceInterpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2
Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VíceChyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné
CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou
Více9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304
935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad
VíceZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY
UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceMetody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
Metody statstcké aalýzy doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Bakoví sttut vysoká škola, a.s. Praha 0 METODY STATISTICKÉ ANALÝZY Autor: Recezet: Vydal: Tsk: Vydáí: doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. doc. Ig. Jří Trešl,
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hyotéz Př statstckých šetřeích se často setkáváme s roblémy tohoto druhu () Máme zjstt, zda dva daé vzorky ocházejí z téhož ZS. () Máme rozhodout, zda rozdíly hodot růměrů (res. roztylů)
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
Více1.1 Definice a základní pojmy
Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých
VíceUČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík
UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový
VíceZáklady statistiky. Petr Kladivo
mm Základy statstky Petr Kladvo Uverzta Palackého v Olomouc Přírodovědecká fakulta Základy statstky Petr Kladvo Olomouc 03 Opoet: RNDr. Šárka Brychtová, Ph.D. RNDr. Mloš Fňukal, Ph.D. Mgr. Petr Zemáek,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VícePROJEKT PARKINSON KLUBU BRNO Život je pohyb a pohyb je život Význam a zaměření projektu. Hodnotící ukazatele projektu.
- 1 - - - - 3 - - 4 - - 5 - PROJEKT PARKINSON KLUBU BRNO Žvot je pohyb a pohyb je žvot - 015 Výzam a zaměřeí projektu Základí deou projektu je vzdorovat egatvím tělesým a psychckým projevům Parksoově emoc,
VíceStatistická analýza dat
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
VíceTéma 6: Indexy a diference
dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -
VíceElementární zpracování statistického souboru
Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
Více