MATEMATIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VERONIKA CHRASTINOVÁ MODUL 3 VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VERONIKA CHRASTINOVÁ MATEMATIKA MODUL 3 VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 c Veronika Chrastinová 2004

3 OBSAH 1 Obsah 0 Úvod Cíle Požadované znalosti Doba otřebná ke studiu Klíčová slova Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 4 2 Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 15 3 Rovnice roviny 18 4 Rovnice římky 23 5 Úlohy o rovinách a římkách 26 6 Ukázka kontrolního testu 49

4 Úvod 2 0 Úvod 0.1 Cíle Tento učební text ojednává o analytické geometrii roviny a římky v trojrozměrném euklidovském rostoru R 3, kterou oisuje s užitím metod vektorové algebry a je určen studentům kombinovaného a distančního studia Fakulty stavební VUT v Brně. Jeho cílem je rohloubení znalostí středoškolské analytické geometrie v rovině i v trojrozměrném rostoru, otřebné ři studiu deskritivní geometrie i dalších technických discilín. V každé z kaitol textu je několik říkladů vyřešených, v závěru kaitoly je vždy uvedeno ár říkladů neřešených k rocvičení s výsledky, někdy i s náovědou, jakým zůsobem říklad očítat. 0.2 Požadované znalosti Text ředokládá znalost základních ojmů a výsledků týkajících se řešení systémů lineárních rovnic (Frobeniova věta), očítání s determinanty a některých vlastností vektorů včetně skalárního součinu vektorů. Ve seciálním říadě trojrozměrného rostoru však lze také definovat vektorový součin ~a ~ b dvou vektorů (což je oět vektor), smíšený součin [~a; ~ b;~c] tří vektorů (smíšeným součinem bude reálné číslo, skalár ) a tzv.dvojný vektorový součin ~a ( ~ b ~c) (oět vektor v rostoru R 3 ). Právě tyto ojmy jsou v rvních dvou kaitolách studovány a ak oužity ři řešení různých geometrických úloh. Skrita nejsou říliš rozsáhlá a zabývají se ouze geometrií útvarů lineárních (římka, rovina). Přiomeňme nyní alesoň stručně některé vlastnosti vektorů, které známe z ředchozího učebního textu [4]. Množina M se nazývá lineárním (vektorovým) rostorem, jestliže je definován součet ~x + ~y 2 M dvou rvků (vektorů) ~x; ~y 2 M a také násobek k:~x 2 M rvku ~x číslem k. (Můžeme řitom ředokládat k 2 R, obecněji také komlexní číslo k 2 C; odle toho hovoříme o vektorovém rostoru nad množinou R říadně C.) Platí řitom známá ravidla ro očítání s vektory. Říkáme, že vektory ~v 1 ; : : : ~v n 2 M tvoří bázi rostoru M, jestliže každý vektor ~a 2 M lze jediným zůsobem vyjádřit ve tvaru ~a = a 1 :~v 1 + a 2 :~v a n :~v n, kde a 1 ; a 2 ; : : : ; a n jsou čísla, tzv.souřadnice vektoru ~a v bázi ~v 1 ; ~v 2 ; : : : ; ~v n. Píšeme ~a = (a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ), řirozené číslo n 2 R nazýváme dimenzí rostoru M. V našem říadě je množinou M obyčejný trojrozměrný euklidovský rostor R 3, tedy n = 3, bází budeme v celém textu rozumět tzv.kanonickou ortonormální bázi vektorů souřadných os ~e 1 = (1; 0; 0); ~e 2 = (0; 1; 0); ~e 3 = (0; 0; 1): Vektory budeme vždy důsledně značit šikami: ~a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) 2 R 3. V samotném textu někdy řiomeneme ojmy, které bychom už měli znát z ředchozího studia (nař.ojmy kladné res. záorné orientace báze), zde na závěr řiomeňme alesoň základní vlastnosti skalárního součinu dvou vektorů o sou-

5 Úvod 3 řadnicích ~a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ); ~ b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ). Jejich skalární součin definujeme jako reálné číslo ~a ~ b = a1 :b 1 + a 2 :b 2 + a 3 :b 3, řitom latí ~a ~ b = jj~ajj:jj ~ bjj: cos ', kde jj~ajj = a a a 2 3, jj ~ bjj = b b b 2 3 jsou velikosti (neboli normy) vektorů ~a; ~ b a ' je úhel těmito vektory sevřený. Když tedy ro nenulové vektory ~a; ~ b latí ~a ~ b = 0, ak vektory ~a; ~ b jsou kolmé (ortogonální). Ve vzorci skalárního součinu ~a ~ b = a1 :b 1 + a 2 :b 2 + a 3 :b 3 a také v celém textu řitom výrazná tečka vždy značí součin skalární (dvou vektorů), obyčejná tečka. je ouhým násobením reálným číslem. 0.3 Doba otřebná ke studiu Pro studium vektorových rostorů, vektorové algebry a analytické geometrie jsou novém učebním lánu řádného studia vyhrazeny celkem 4 hodiny řednášek a 4 hodiny cvičení. Je to vzhledem k rozsahu roblematiky i k jejímu roojení s dalším studiem oměrně málo a vyžaduje to kvalitní ředběžné (středoškolské) znalosti roblematiky a rozvinutou schonost logického uvažování. Kombinované studium je více individuální, řesto však lze brát uvedené časové údaje asoň jako výchozí. 0.4 Klíčová slova Klíčová slova: oerace s vektory, analytická geometrie lineárních útvarů. Na závěr alesoň stručně o dooručené studijní literatuře, která solu s rejstříkem nejdůležitějších ojmů celý text uzavírá. Skrita [1], [2] a [3] byla vydána římo naší fakultou; [1] je ěknou sbírkou neřešených říkladů (uvedených vždy s výsledky), [4] je text bezrostředně ředcházející tomuto studijnímu textu. Osvědčené učebnice [5], [6] a [7] jsou často velice odrobné a roto je můžeme dooručit studentům zejména k samostatnému studiu. Z krásných, stále znovu vydávaných učebnic s mnoha říklady a obrázky, které zejména v Irsku, Velké Británii a v Americe zachránily soustu studentů řed šatnou známkou z matematiky, jsem do seznamu literatury zasala alesoň učebnice [8], [9] a [10]. Druhou z nich už máme v brněnské Moravské zemské knihovně, třetí určitě brzy objednáme. Poslední dvě učebnice [11] a [12] jsou volně řístuné v elektronické odobě, ale vyžadují někdy hlubší ředběžné znalosti. Děkuji anu doc.jiřímu Valovi za rady a odstatnou omoc ři říravě tohoto textu a řeju všem, kteří budou vektorovou algebru a analytickou geometrii studovat, ěkné říklady a úsěch u zkoušky. Dr.Veronika Chrastinová 20.června 2004.

6 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 4 1 Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti Zatímco skalární součin ~a ~ b = a1 :b 1 + a 2 :b 2 + a 3 :b 3 dvou vektorů z rostoru R 3 je reálné číslo (neboli skalár ), vektorovým součinem vektorů ~a; ~ b 2 R bude oět vektor; tento vektor označíme symbolem ~a ~ b. Jak navíc dále uvidíme, vektorový součin ~a ~ b budeme na rozdíl od součinu skalárního očítat ouze ro vektory ~a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ); ~ b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ) v rostoru R 3. Zobecnění vektorového součinu ro rostory vyšších dimenzí je sice možné, ale my se jím zde nebudeme zabývat. Jak vyadá vektor ~a ~ b? Mohli bychom si nasat římo definiční vzorec ro jeho souřadnice ro zadané vektory ~a; ~ b v rostoru R 3, ale z tohoto vzorce bychom nic zajímavého neoznali. Začněme raději geometrickým významem ~a ~ b; definujme jeho směr a velikost. Směr vektoru ~a ~ b. Pokud vektory ~a; ~ b nejsou kolineární (neleží v jedné římce), ak určují rovinu. Definujme nyní vektor ~a ~ b jako vektor, který je k této rovině kolmý musíme však kromě jeho velikosti definovat také jeho orientaci, rotože vektor normály roviny může mít dvojí orientaci ~n a také ~n. Nechť vektorovým součinem ~a ~ b je tedy vektor normály takový, že usořádaná trojice vektorů ~a; ~ b;~a ~ b je tzv. ozitivně orientovaná. Jak již víme z ředchozího učebního textu z kaitoly o orientovaných bázích, ozitivní (neboli kladnou) orientaci vektorů ~a; ~ b;~a ~ b můžeme snadno osat omocí tzv. ravidla ravé ruky takto: ukazuje-li ukazováček ravé ruky ve směru vektoru ~a a rostředníček ve směru vektoru ~ b, ak alec ukazuje směr vektoru ~a ~ b. Pravidlo ravé ruky můžeme také osat tak, že ukazují-li naše zahnuté rsty ravé ruky ve směru od vektoru ~a (rvního vektoru v dané trojici) k vektoru ~ b (druhému vektoru v dané trojici), ak oět alec ukazuje směr vektoru ~a ~ b. Poznamenejme, že ořadí vektorů v trojici ~a; ~ b;~a ~ b je důležité ři změně v ořadí nař. rvních dvou vektorů na ~ b;~a;~a ~ b bychom z trojice vektorů ozitivních dostali trojici vektorů negativních.

7 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 5 K tomu se ještě ozději odrobněji vrátíme. Velikost (neboli v R 3 norma) vektoru ~a ~ b. Oět ředokládejme, že vektory ~a; ~ b nejsou rovnoběžné. Pak tyto vektory určují rovnoběžník se stranami ~a; ~ b a obsahem P, tento obsah lze snadno vyočítat. Označme ' úhel mezi vektory ~a; ~ b, ak sin ' = h=jj ~ bjj, kde h je výškou rovnoběžníka, odtud h = jj ~ bjj: sin '. Plocha P rovnoběžníka sestrojeného nad vektory ~a; ~ b je rovna součinu velikostí jeho základny a výšky, tedy ~ b h ' P = jj~ajj:h = jj~ajj:jj ~ bjj: sin ' : ~a ~ b ~ b - - ~a ~a Definujme nyní velikost jj~a ~ bjj jako obsah P rovnoběžníka sestrojeného nad vektory ~a; ~ b, tedy jj~a ~ bjj = jj~ajj:jj ~ bjj: sin '. V říadě rovnoběžných vektorů ~a; ~ b (tedy ~a = k: ~ b, kde k 2 R) má rovnoběžník nulový obsah vektory ležící v římce vlastně žádný rovnoběžník neurčují. V tom říadě vychází ~a ~ b = ~o, neboť sin ' = sin 0 = 0. Nulový vektor ~o dostaneme také tehdy, je-li některý z vektorů ~a; ~ b nulový (nebo i ro ~a = ~ b = ~o). 6 Nyní můžeme vše shrnout do následující definice. Definice 1.1: Nechť ~a; ~ b jsou dané vektory, ak jejich vektorový součin definujeme jako vektor ~a ~ b, ro který latí: 1) ~a ~ b je kolmý k rovině určené vektory ~a; ~ b (a je tedy kolmý také ke každému z vektorů ~a; ~ b), 2) usořádaná trojice vektorů ~a; ~ b;~a ~ b je ozitivně orientovaná, 3) jj~a ~ bjj = jj~ajj:jj ~ bjj: sin ', kde ' je úhel sevřený vektory ~a; ~ b. Je-li některý z vektorů ~a; ~ b roven nulovému vektoru, definujeme ~a ~ b = ~o. Užitím vektorového součinu můžeme snadno najít vektor ~a ~ b kolmý k oběma vektorům ~a; ~ b (tedy vektor normály roviny, která je jimi určena), dále obsah rovnoběžníka P = jj~a ~ bjj sestrojeného nad vektory ~a; ~ b, odtud také snadno obsah trojúhelníka se stranami ~a; ~ b. Obsah tohoto trojúhelníka je totiž rovna olovině obsahu rovnoběžníka P=2 = jj~a ~ bjj=2, neboť každá z úhloříček dělí rovnoběžník

8 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 6 na dva stejné trojúhelníky. V kaitole 5 budeme oužívat vektorový součin také k výočtu vzdáleností v rostoru R 3 ; nař. vzdálenosti dvou mimoběžných římek. Vysvětlili jsme si geometrický význam vektorového součinu, ale ještě jsme se ho nenaučili očítat: neznáme rozatím jeho souřadnicové vyjádření. Uveďme nyní vzorce ro očítání souřadnic vektoru ~a ~ b : Věta 1.1: Nechť ~a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ); ~ b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ) v kartézské souřadné soustavě vektorů ~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3. Pak latí ~a ~ b = a 2 a 3 b 2 b 3 :~e 1 a 1 a 3 b 1 b 3 :~e 2 + a 1 a 2 b 1 b 2 :~e 3 : Podle uvedené věty lze tedy vektor ~a ~ b sát ve tvaru jednoduchého determinantu, kde však v rvním řádku nejsou jen čísla (jak jsme zvyklí z lineární algebry), ale vektory souřadnicových os ~e 1 = (1; 0; 0); ~e 2 = (0; 1; 0); ~e 3 = (0; 0; 1), ve druhém a třetím řádku ak souřadnice vektorů ~a; ~ b. Rozvojem tohoto determinantu odle rvního řádku totiž dostaneme okamžitě vzorec uvedený ve větě: ~e 1 ~e 2 ~e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 2 a 3 b 2 b 3 :~e 1 a 1 a 3 b 1 b 3 :~e 2 + a 1 a 2 b 1 b 2 :~e 3 = ~a ~ b : Vektor ~a ~ b tedy můžeme sát římo v souřadnicovém tvaru ~a ~ b = a 2 a 3 b 2 b 3 ; a 1 a 3 b 1 b 3 ; a 1 a 2 b 1 b 2 : Nyní si větu 1.1 dokážeme ověříme, že vektor ~a ~ b uvedený v této větě slňuje všechny tři odmínky z definice vektorového součinu. V důkazu oslední z těchto odmínek budeme otřebovat tzv. Lagrangeovu identitu, rověřme si tedy její latnost v následující oznámce. Poznámka. Nechť ~a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), ~ b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ) jsou nenulové vektory, ak latí jj~a ~ bjj 2 = jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 (~a ~ b) 2 : Je-li odle věty 1.1 vektor ~a ~ b = a 2 a 3 b 2 b 3 ; a 1 a 3 b 1 b 3 ; a 1 a 2 b 1 b 2 = (a 2 :b 3 a 3 :b 2 ; a 3 :b 1 a 1 :b 3 ; a 1 :b 2 a 2 :b 1 ) ; můžeme vyočítat levou, res. ravou stranu Lagrangeovy identity takto: jj~a ~ bjj 2 = (a 2 :b 3 a 3 :b 2 ) 2 + (a 3 :b 1 a 1 :b 3 ) 2 + (a 1 :b 2 a 2 :b 1 ) 2 ;

9 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 7 jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 (~a ~ b) 2 = (a a a 2 3):(b b b 2 3) (a 1 :b 1 + a 2 :b 2 + a 3 :b 3 ) 2 : Roznásobíme-li odrobně oba výrazy na ravé straně těchto dvou rovnic, ihned uvidíme, že jsou stejné. Tím je Lagrangeova identita dokázána a máme vše řiraveno k důkazu věty 1.1. Důkaz: Dokážeme ostuně všechny tři odmínky uvedené v definici vektorového součinu. První odmínku kolmosti vektoru ~a ~ b k oběma vektorům ~a; ~ b rověříme římým výočtem. Víme, že ro navzájem kolmé vektory musí vyjít jejich skalární součiny (~a ~ b) ~a, (~a ~ b) ~ b nulové. Počítejme (~a ~ b) ~a = a 2 a 3 b 2 b 3 :a 1 a 2 a 3 b 2 b 3 a 1 a 3 b 1 b 3 ; :a 2 + a 1 a 3 b 1 b 3 a 1 a 2 b 1 b 2 ; a 1 a 2 b 1 b 2 :a 3 = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) = a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = 0 ; zcela analogicky bychom ověřili (~a ~ b) ~ b. V tomto říadě by ve výsledném determinantu v rvním a ve třetím řádku byl tentýž vektor (b 1 ; b 2 ; b 3 ) a takový determinant je nutně nulový. Abychom dokázali druhou odmínku ozitivnosti trojice vektorů ~a; ~ b;~a ~ b, označme nejdříve složky vektoru ~a ~ b = (w 1 ; w 2 ; w 3 ), tedy (w 1 ; w 2 ; w 3 ) = a 2 a 3 b 2 b 3 ; a 1 a 3 b 1 b 3 ; a 1 a 2 b 1 b 2 Jestliže je trojice ~a; ~ b;~a ~ b ozitivně orientovaná, musí odle definice v řed- a 1 a 2 a 3 cházejících učebních textech latit b 1 b 2 b 3 > 0. Ale to je snadné ukázat, w 1 w 2 w 3 neboť rozvojem odle osledního řádku dostaneme: a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 w 1 w 2 w 3 = a 2 a 3 b 2 b 3 :w 1 a 1 a 3 b 1 b 3 :w 2 + a 1 a 2 b 1 b 2 w 1 :w 1 + w 2 :w 2 + w 3 :w 3 = w w w 2 3 = jj~wjj 2 > 0 : : :w 3 = Zbývá dokázat latnost oslední odmínky jj~a ~ bjj = jj~ajj:jj ~ bjj: sin ', k tomu budeme otřebovat rávě výše uvedenou Lagrangeovu identitu. Podle této identity a známého vzorce cos ' = (~a ~ b)=(jj~ajj:jj ~ bjj) ro očítání skalárního součinu ~a ~ b dvou vektorů svírajících úhel ' latí: jj~a ~ bjj 2 = jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 (~a ~ b) 2 = jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 : cos 2 ' =

10 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 8 jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 :(1 cos 2 ') = jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 : sin 2 ' : Odmocníme-li výsledný vztah jj~a ~ bjj 2 = jj~ajj 2 :jj ~ bjj 2 : sin 2 ', dostaneme ihned třetí definiční odmínku, neboť j sin 'j = sin ' ro 0 '. Větu 1.1 bychom mohli také dokázat římým výočtem vektoru ~a ~ b = (a 1 :~e 1 + a 2 :~e 2 + a 3 :~e 3 ) (b 1 :~e 1 + b 2 :~e 2 + b 3 :~e 3 ) ; k tomu bychom však otřebovali znalost tzv. smíšeného součinu vektorů a důkaz by určitě nebyl kratší ani řehlednější. V následujícím odstavci si odrobněji všimneme vlastností vektorového součinu. Nejdříve ro seciálně zvolené vektory ~a; ~ b vyočítáme si vektorové součiny ro říad vektorů souřadnicových os ~e 1 = (1; 0; 0); ~e 2 = (0; 1; 0); ~e 3 = (0; 0; 1). Z definice vektorového součinu a také z jeho souřadnicového vyjádření snadno vidíme, že latí ~e 1 ~e 2 = ~e 3 ; ~e 2 ~e 1 = ~e 3 ; ~e 2 ~e 3 = ~e 1 ; ~e 3 ~e 2 = ~e 1 ; ~e 3 ~e 1 = ~e 2 ; ~e 1 ~e 3 = ~e 2 ; ~e 1 ~e 1 = ~e 2 ~e 2 = ~e 3 ~e 3 = ~o : Nař. chceme-li uhodnout z obrázku, jak vyadá vektor ~e 1 ~e 2, stačí si uvědomit, že vektor ~e 3 je skutečně kolmý k oběma vektorům ~e 1 ; ~e 2, orientace ~e 1 ~e 2 = +~e 3 lyne ihned z ravidla ravé ruky. Změníme-li ořadí vektorů ~e 2 ~e 1, vychází užitím ravidla ravé ruky vektor oačný ~e 2 ~e 1 = ~e 3 : 6~e 1 ~e 2 6~e 3 6~e 3 - ~e2 - ~e2 - ~e 3 ~e 1 ~e 1 ~e 2 ~e 3 ~e 1 Užitím souřadnicového vyjádření bychom mohli také očítat, nař. 0 1 ~e 3 ~e 1 = (0; 0; 1) (1; 0; 0) = 0 0 ; ; 0 0 = (0; 1; 0) = ~e ; ~e 2 ~e 2 = (0; 1; 0) (0; 1; 0) = ; ; = (0; 0; 0) = ~o : Z výše uvedených vztahů ro očítání vektorového součinu vektorů ~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 ihned vidíme, že na rozdíl od skalárního součinu není vektorový součin komutativní. Pro skalární součin obecně latí ~a ~ b = ~ b ~a, avšak vektorový součin mění ři záměně ořadí vektorů ~a; ~ b znaménko: ~ b ~a = (~a ~ b). Říkáme, že vektorový součin je

11 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 9 antikomutativní. Tuto vlastnost si za chvíli ro obecné vektory ~a; ~ b dokážeme lyne lehce ze souřadnicového vyjádření vektoru ~a ~ b. Poznamenejme, že vektorový součin libovolné z dvojic souřadnicových vektorů ~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 si můžeme snadno zaamatovat z následujícího diagramu: ~e 1 ~e 2 Postuujeme-li ve směru šiek, je vektorovým součinem dvou o sobě jdoucích vektorů třetí vektor s kladným znaménkem, ostuujeme-li roti směru šiek, musíme u třetího z vektorů (výsledného vektorového součinu) změnit znaménko, nař. ~e 1 ~e 3 = ~e 2. Vektorový součin dvou stejných souřadnicových vektorů je roven nulovému vektoru lyne to buď římo z definice vektorového součinu (' = 0) nebo z výočtu v souřadnicích. V následující větě si shrneme všechny důležité vlastnosti vektorového součinu, jejich latnost lyne bez dlouhého očítání ze souřadnicového vyjádření vektorového součinu (z determinantů). Přímo z definice vektorového součinu bychom je dokazovali mnohem hůře. Věta 1.2: Nechť ~a; ~ b;~c 2 R, kde k 2 R. Pak latí : 1) ~ b ~a = (~a ~ b) (antikomutativní zákon) 2) ~a ( ~ b + ~c) = ~a ~ b + ~a ~c, (~a + ~ b) ~c = ~a ~c + ~ b ~c (distributivní zákony) 3) k:(~a ~ b) = (k:~a) ~ b = ~a (k: ~ b): Důkaz: Všechny vzorce lynou bez roblémů z ravidel ro očítání s determinanty. Nař. ~e 1 ~e 2 ~e 3 ~e 1 ~e 2 ~e 3 ~ b ~a = b 1 b 2 b 3 = a 1 a 2 a 3 = (~a ~ b) ; a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 neboť vyměníme-li v determinantu dva řádky, determinant změní znaménko. Podobně ~a ( ~ ~e 1 ~e 2 ~e 3 b + ~c) = a 1 a 2 a 3 = b 1 + c 1 b 2 + c 2 b 3 + c 3

12 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 10 ~e 1 ~e 2 ~e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 + ~e 1 ~e 2 ~e 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 analogicky (~a + ~ b) ~c. Poslední vztah také dokážeme snadno, neboť latí: k:(~a ~ b) = k: ~e 1 ~e 2 ~e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = ~e 1 ~e 2 ~e 3 k:a 1 k:a 2 k:a 3 b 1 b 2 b 3 = ~a ~ b + ~a ~c ; = ~e 1 ~e 2 ~e 3 a 1 a 2 a 3 k:b 1 k:b 2 k:b 3 Dokázali jsme, že vektorový součin slňuje distributivní zákony. Na rvní ohled by se mohlo zdát, že slňuje také zakon asociativní, tedy že dva vektory (~a ~ b) ~c; ~a ( ~ b ~c) jsou stejné. To však obecně nelatí, neboť nař. ro ~a = ~e 1 ; ~ b = ~e 1 ; ~c = ~e 2 dostaneme (~a ~ b) ~c = (~e 1 ~e 1 ) ~e 2 = ~o ~e 2 = ~o ; ~a ( ~ b ~c) = ~e 1 (~e 1 ~e 2 ) = ~e 1 ~e 3 = ~e 2 : Za chvíli uvidíme, že (~a ~ b) ~c; ~a ( ~ b ~c) jsou obecně skutečně dva různé vektory, neboť latí (~a ~ b) ~c = (~c ~a): ~ b (~c ~ b):~a; ~a ( ~ b ~c) = (~a ~c): ~ b (~a ~ b):~c : Vektor ~a ( ~ b ~c) má dokonce svůj seciální název: dvojný vektorový součin. Praktické očítání s vektory si rocvičíme v následujících říkladech. Příklad 1.1: Vyočítejte vektorový součin vektorů ~a a ~ b, znáte-li a) ~a = (2; 3; 1), ~ b = ~e 1 + 2:~e 2 + ~e 3, b) ~a = (1; 3; 2), ~ b = 2:~a (5; 15; 10). Řešení: V říadě a) je ~a ~ b = ~e 1 ~e 2 ~e = ; ; = (5; 3; 1) : Vektor ~a ~ b je řitom skutečně kolmý na vektory ~a i ~ b, nebot (~a ~ b) ~a = (5; 3; 1) (2; 3; 1) = = 0 a (~a ~ b) ~ b = (5; 3; 1) (1; 2; 1) = = 0. To je odlišné od říadu b): ro vektor ~ b = ( 3; 9; 6) totiž latí ~ b = 3:~a (vektory ~a a ~ b jsou kolineární), takže ~a ~ b = ~e 1 ~e 2 ~e = ~e 1 ~e 2 ~e = 0 : :

13 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 11 Příklad 1.2: Najděte jednotkový vektor ~n 0, který je kolmý k rovině rocházející body P = [1; 1; 0]; Q = [2; 1; 1]; R = [ 1; 1; 2]. Řešení: Vyočítejme si nejdříve dva vektory, které v dané rovině leží, nař. P Q = (2 1; 1 ( 1); 1 0) = (1; 2; 1), P R = ( 1 1; 1 ( 1); 2 0) = ( 2; 2; 2). Pak vektor ~n, který je kolmý k oběma vektorům P Q ; P R, je jejich vektorovým součinem, tedy ~n = P Q P R = ~e 1 ~e 2 ~e = :~e :~e :~e 3 = (4 ( 1):2):~e 1 (2 ( 1):( 2)):~e 2 +(2 2:( 2)):~e 3 = 6:~e 1 +0:~e 2 +6:~e 3 = (6; 0; 6) : Jednotkový vektor (vektor délky jedna) odtud snadno dostaneme, když vydělíme vektor ~n jeho délkou = 36 = 6: 2. Odtud ~n 0 = ~n jj~njj = (6; 0; 6) 6: 2 (1; 0; 1) = = ( 1 1 ; 0; ) = 1 :~e :~e 2 : Protože orientace vektoru normály nebyla zadaná, dostáváme dvě řešení : ( 1 1 ; 0; ); ( ; 0; 1 2 ) : Příklad 1.3: Určete obsah P trojúhelníka ABC s vrcholy A = [3; 1; 4], B = [0; 2; 1] a C = [5; 0; 8]. Řešení: Obsah P vyočítáme jako olovinu obsahu rovnoběžníku ABCD určeného vektory ~a = AB = ( 3; 1; 3) a ~ b = AC = (2; 1; 4) (zbývající vrchol D = [2; 1; 5] bychom snadno určili ze vztahu AD = ~a + ~ b). Je tedy P = j~a ~ bj=2 = j(1; 6; 1)j=2 = =2 = 38=2 : Příklad 1.4: Zjistěte velikost vektoru ~v = (3:~a 2: ~ b) (~a 4: ~ b), jestliže k~ak = 1, k ~ bk = 3 a úhel ' sevřený vektory ~a a ~ b je roven 5=6. Řešení: Zřejmě je k~vk = k3:~a ~a 12:~a ~ b 2: ~ b ~a + 8: ~ b ~ bk : Protože však ~a ~a i ~ b ~ b musí být nulové vektory a navíc ~a ~ b = ~ b ~a, takže 12:~a ~ b 2: ~ b ~a = 10:~a ~ b, dostáváme k~vk = 10:k~a ~ bk = 10:k~ak:k ~ bk: sin ' = 10:1:3:1=2 = 15 : Příklad 1.5: S využitím vektorového součinu vyočítejte obsah P rovnoběž-

14 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 12 níka ABCD, jsou-li dány jeho úhloříčky AC = 2:~a ~ b a DB = 4:~a 5: ~ b, kde ~a; ~ b;~c jsou nekomlanární jednotkové vektory, které svírají úhel =4. Řešení: Můžeme oužít římý výočet P = k AB AD k = k(( k( AC + DB ) ( AC + DB )=2)k = DB )=2) (( AC DB )k=4 = k(6:~a 6: ~ b) ( 2:~a + 4: ~ b)k=4 = AC 6:2 4 k(~a ~ b) (~a 2: ~ b)k = 3:k~a ~a 2:~a ~ b ~ b ~a + 2: ~ b ~ bk = 3:k ~a ~ bk = 3:k~a ~ bk = 3:k~ak:k ~ bk sin(=4) = 3:1:1:1= 2 = 3= 2 : Kratší je však výočet využívající vztahu mezi stranami a úhloříčkami rovnoběžníku ABCD P = k AC DB k=2 = k(2:~a ~ b) (4:~a 5: ~ b)k=2 = k8:~a ~a 10:~a ~ b 4: ~ b ~a + 5: ~ b ~ bk=2 = k 6:~a ~ bk=2 = 6=2:k~a ~ bk = 3:k~ak:k ~ bk sin(=4) = 3:1:1:1= 2 = 3= 2 : Víme už, že vektorový součin neslňuje asociativní zákon, tedy že vektory ~a ( ~ b ~c) a (~a ~ b) ~c jsou různé. Pro libovolné vektory ~a; ~ b;~c 2 R 3 (dále budeme racovat i s libovolným vektorem ~ d 2 R 3 ) však latí ~a ( ~ b ~c) = ~ b:(~a ~c) ~c:(~a ~ b) (~a ~c i ~a ~ b v tomto vztahu jsou ouhá reálná čísla). Výraz ~a ( ~ b ~c) na levé straně rovnice nazýváme dvojným vektorovým součinem vektorů ~a; ~ b;~c (v tomto ořadí); tedy dvojným vektorovým součinem vektorů ~a; ~ b;~c je jistý vektor, který je lineární kombinací vektorů ~ b;~c a současně je kolmý na vektor ~a i na vektor ~ b ~c. Je to vidět z obrázku a také z výrazu na ravé straně rovnice, nebot ~a ~c i ~a ~ b jsou reálné konstanty. Na obrázku také vidíme, že vektor ~ b ~c je kolmý na ~ b i ~c, (a také vektor ~a ( ~ b ~c) je kolmý na ~a); řitom vektory ~a ( ~ b ~c), ~ b a ~c jsou komlanární. ~ b ~c 6 - ~a (~ b ~c) Platnost vzorce ro dvojný vektorový součin můžeme ověřit římým výočtem vektoru ~a ( ~ b ~c) na levé straně rovnice a vektoru ~ b:(~a ~c) ~c:(~a ~ b) na straně

15 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 13 ravé. Porovnáním koeficientů u vektorů ~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 ro oba tyto vektory zjistíme, že jsou shodné. Ukážeme si tento výočet ro srovnání koeficientů nař. u souřadnicového vektoru ~e 1. Na levé straně máme ~a ( ~ b ~c) = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) b 2 b 3 c 2 c 3 b 2 b 3 c 2 c 3 ; b 1 b 3 c 1 c 3 ~e 1 ~e 2 ~e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 3 b 1 b 2 c 1 c 3 c 1 c 2 ; b 1 b 2 c 1 c 2 = = (a 2 :b 1 :c 2 a 2 :b 2 :c 1 + a 3 :b 1 :c 3 a 3 :b 3 :c 1 ):~e 1 + (: : :):~e 2 + (: : :):~e 3 : Stejný koeficient a 2 :b 1 :c 2 a 2 :b 2 :c 1 + a 3 :b 1 :c 3 a 3 :b 3 :c 1 u vektoru ~e 1 řitom dostaneme ro vektor ~ b:(~a ~c) ~c:(~a ~ b) na ravé straně rovnice: (b 1 ; b 2 ; b 3 ):(a 1 :c 1 + a 2 :c 2 + a 3 :c 3 ) (c 1 ; c 2 ; c 3 ):(a 1 :b 1 + a 2 :b 2 + a 3 :b 3 ) = [b 1 :(a 1 :c 1 + a 2 :c 2 + a 3 :c 3 ) c 1 :(a 1 :b 1 + a 2 :b 2 + a 3 :b 3 )]:~e 1 + (: : :):~e 2 + (: : :):~e 3 = (a 1 :b 1 :c 1 + a 2 :b 1 :c 2 + a 3 :b 1 :c 3 a 1 :b 1 :c 1 a 2 :b 2 :c 1 a 3 :b 1 :c 3 ):~e 1 + (: : :):~e 1 + (: : :):~e 3 = (a 2 :b 1 :c 2 + a 3 :b 1 :c 3 a 2 :b 2 :c 1 a 3 :b 3 :c 1 ):~e 1 + (: : :):~e 2 + (: : :):~e 3 : Užitím vzorce ro dvojný vektorový součin lze dokázat mnoho identit, které latí mezi vektory. Uved me alesoň tři z nich i s krátkými důkazy: (~a ~ b) ~c = ~ b:(~a ~c) ~a:( ~ b ~c) ; (~a ~ b) (~c d) ~ = [~a; ~ b; d]:~c ~ [~a; ~ b;~c]: d ~ ; (~a ~ b) (~c d) ~ ~a ~c ~a d ~ = ~ b ~c ~ b d ~ : První vztah ověříme snadno římým výočtem (~a ~ b) ~c = (~c (~a ~ b)) = ~a:(~c ~ b) ~ b:(~c ~a) = ~ b:(~c ~a) ~a:(~c ~ b) : Ve druhém vztahu jde geometricky o vektor, který leží jak v rovině určené vektory ~a a ~ b (je totiž kolmý k ~a ~ b), tak v rovině určené vektory ~c a ~ d (je rovněž kolmý k ~c ~ d). Celkově má vektor (~a ~ b) (~c d) ~ = ~c:((~a ~ b) d) ~ d:((~a ~ ~ b) ~c) = [~a; ~ b; ~ d]:~c [~a; ~ b;~c]: ~ d

16 1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti 14 směr růsečnice roviny určené vektory ~a a ~ b s rovinou, která je určena vektory ~c a ~ d (na konkrétním umístění žádné z těchto dvou rovin v R 3 řitom nezáleží). Pro ochoení třetího vztahu označme ~u = ~a ~ b. Pak můžeme sát (~a ~ b) (~c d) ~ = ~u (~c d) ~ = [~u;~c; d] ~ = (~u ~c) d ~ = ((~a ~ b) ~c) d ~ = (~c (~a ~ b)) d ~ = (~a:(~c ~ b) ~ b:(~c ~a)) d ~ = ( ~ b d):(~a ~ ~c) (~a d):(~c ~ ~ b) ; což je rávě uvedený determinant. Příklad 1.6: Vyočítejte dvojný vektorový součin ~v = ~a ( ~ b ~c), je-li ~a = (1; 2; 4), ~ b = (5; 1; 3) a ~c = (0; 6; 1). Řešení: S využitím jedné z odvozených vlastností dvojného vektorového součinu dostáváme ~v = ~ b:(~a ~c) ~c:(~a ~ b) = (5; 1; 3):((1; 2; 4) (0; 6; 1)) (0; 6; 1):((1; 2; 4) 8:(5; 1; 3) 19:(0; 6; 1) = ( 40; 106; 43) : Vektor ~v je skutečně lineární kombinací vektorů ~ b a ~c: ~v = 8: ~ b ~a ( ~ b ~c) ~v = (1; 2; 4) ~v = ( 19; 5; 30) (5; 1; 3)) = ( 40; 106; 43) = = 0 ; 19:~c. Dále je ( 40; 106; 43) = = 0 ; tedy vektor ~v je kolmý k oběma vektorům ~a a ~ b ~c. Vektor ~v bychom mohli určit i bez skalárního násobení: racnějším ostuem (který vyžaduje výočet 2 determinantů třetího řádu) bychom ostuně dosěli ke stejnému výsledku ~v = (1; 2; 4) ((5; 1; 3) (0; 6; 1)) = (1; 2; 4) ( 19; 5; 30) = ( 40; 106; 43) : Dvojný vektorový součin má ještě jednu zajímavou geometrickou vlastnost: lze jej využít k rozkladu zadaného vektoru do dvou složek, z nichž jedna má zadaný směr a druhá je na tento směr kolmá (geometricky tedy jde o kolmý růmět vektoru do roviny a do její normály). Příklad 1.7: Rozložte v R 3 vektor ~v = (1; 2; 3) do směru vektoru ~a = (2; 1; 1) a do směru vektoru ~ d kolmého na ~a. Řešení: Vektor ~ d musí být kolmý na ~a i na ~v ~a, takže ~d = ~a (~v ~a) = ~v:(~a ~a) ~a:(~a 6:~v 3:~a = (0; 15; 15) : ~v) = k~ak 2 :~v (~a Odtud ~v = 1 d ~ + 1 ~a = 1 (0; 15; 15) + 1 (2; 1; 1) ~v):~a =

17 2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 15 Skalární a vektorový součin se často objevují ve fyzikálních a obecně technických úlohách; tak nař. ráci síly na nějaké dráze lze interretovat jako skalární součin, zatímco ři výočtu otáčivého momentu se neobejdeme bez vektorového součinu. Barevné tečky na zanutém televizoru se ohybují odle zákonů elektromagnetismu, které využívají jak skalární, tak vektorový součin: ve dvou ze čtveřice slavných Maxwellových rovnic najdeme skalární součin, ve dvou součin vektorový. Příklady ro samostatné studium: Příklad 1.8: Vyočítejte obsah rovnoběžníka ABCD, jestliže A = [4; 3; 6], B = [0; 1; 0]; D = [ 2; 2; 2]. Výsledek: Obsah rovnoběžníka je roven 30. Příklad 1.9: Určete jednotkový vektor kolmý k daným vektorům ~a = 2:~e 1 ~e 2 + ~e 3, ~ b = ~e + 2:~e 2 ~e 3. 1 Výsledek: Dostaneme dva vektory ( 1; 3; 5); 1 ( 1; 3; 5) Příklad 1.10: Vyočítejte obsah a velikost výšek rovnoběžníka sestrojeného nad vektory ~a = 2:~e 2 + ~e 3, ~ b = ~e 1 + 2:~e 3. Výsledek: P = 21, v 1 = v 2 = 21=5. Příklad 1.11: Vyočítejte dvojný vektorový součin ~a ( ~ b ~c), ro dané vektory a = 2:~e 1 ; ~ b = 3:~e 2 ; ~c = ~e 1 + ~e 3. Výsledek: ~a ( ~ b ~c) = 6:~e 2. 2 Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti Jsou-li ~a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), ~ b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ) a ~c = (c 1 ; c 2 ; c 3 ), vektory v R 3, má reálné číslo ~a ( ~ b ~c) zcela určitý geometrický význam: absolutní hodnota tohoto čísla je objemem V rovnoběžnostěnu, jehož tři sousední hrany jsou určeny vektory ~a, ~ b a ~c. Součin ~a ( ~ b ~c) nazýváme smíšeným vektorovým součinem vektorů ~a; ~ b;~c; běžně ro něj budeme oužívat zkrácené označení [~a; ~ b;~c] = ~a ( ~ b ~c). V tomto definičním vzorci záleží na ořadí vektorů: nař. [~a;~c; ~ b] = ~a (~c ~ b) = ~a ( ~ b ~c) = [~a; ~ b;~c], tedy ři lichém očtu změn v ořadí vektorů změní jejich smíšený součin znaménko. Vyjádříme-li vektory ~a; ~ b;~c v jednotlivých složkách (čili v ortonormálních souřadnicích v R 3 ), dostaneme odle definice skalárního a vektorového součinu jednoduchý vzorec ro výočet smíšeného součinu [~a; ~ b;~c] = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 :

18 2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 16 Tento vzorec lze snadno ověřit na základě definice skalárního a vektorového součinu: zřejmě latí [~a; ~ b;~c] = ~a ( ~ ~e 1 ~e 2 ~e 3 b ~c) = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) b 1 b 2 b 3 ; c 1 c 2 c 3 ale také (a 1 ; a 2 ; a 3 ) a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 b 2 b 3 c 2 c 3 = a 1 : ; b 2 b 3 c 2 c 3 b 1 b 3 c 1 c 3 a 2 : ; b 1 b 2 c 1 c 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3: = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) b 1 b 2 c 1 c 2 = ~e 1 ~e 2 ~e 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Z tohoto odvození také vidíme, že výměnou dvou vektorů v usořádané trojici ~a; ~ b;~c jejich smíšený součin skutečně vždy změní znaménko, jak ihned lyne z vlastností determinantů. Dále je zřejmé, že [~a; ~ b;~c] = 0, rávě když asoň jeden z vektorů ~a; ~ b;~c je nulový nebo vektory ~a; ~ b;~c jsou lineárně závislé, a tedy komlanární (lze je umístit v jediné rovině). V následující větě se zaměříme na již zmiňované (ale zatím nedokázané) tvrzení o geometrickém významu smíšeného součinu: Věta 2.1: Umístíme-li tři lineárně nezávislé vektory ~a; ~ b;~c v R 3 do solečného bodu M a sestrojíme-li rovnoběžnostěn s hranami ~a; ~ b;~c (odle obrázku), latí ro objem V takového rovnoběžnostěnu V = j[~a; ~ b;~c]j : : ~c ' ~n h 6 3 ~ b - M ~a Důkaz: Uvažujme jednotkový vektor ~n kolmý na vektory ~a a ~ b. Zřejmě je ~n = ~a ~ b k~a ~ bk : Výška h rovnoběžnostěnu je rovna délce růmětu vektoru ~c do směru ~n. Svírají-li vektory ~c a ~n úhel ', latí tedy j~c h ~nj = k~ck:k~nk:j cos 'j = k~ck:j cos 'j = k~ck k~ck = h ;

19 2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti 17 z čehož dostaneme h = j~c ~nj : Protože obsah základny rovnoběžnostěnu určené vektory ~a; ~ b je roven k~a ~ bk, vychází V = h:k~a ~ bk = j~c ~nj:k~a ~ bk = j~c ~a ~ b k~a ~ bk j:k~a ~ bk = j~c (~a ~ b)j = j[~a; ~ b;~c]j : Všimněme si ještě, že každý rovnoběžnostěn lze rozdělit na dva trojboké hranoly stejného objemu s vrcholy ve vrcholech ůvodního rovnoběžnostěnu; každý z těchto trojbokých hranolů lze obdobným zůsobem ještě dále rozdělit na tři čtyřstěny. Objem čtyřstěnu o zadaném vrcholu M s hranami ~a; ~ b;~c z ředchozí věty tedy je V = V=6. Chceme-li využít důkazu ředchozí věty, můžeme ke stejnému závěru dosět i výočtem V = 1 3 k~a ~ bk 2 h = 1 6 k~a ~ bk h = V 6 : Příklad 2.1: Vyočítejte smíšený součin vektorů ~a = (2; 1; 3), ~ b = (1; 2; 3), ~c = (1; 1; 1). Řešení: [~a; ~ b;~c] = = = 3 : Příklad 2.2: Čtyřstěn je určen body A = [ 4; 4; 2], B = [0; 3; 1], C = [ 2; 4; 3] a D = [1; 5; 4]. Zjistěte jeho objem V a vzdálenost vrcholu D od stěny ABC. Řešení: Označme ~a = AD = (5; 9; 6), ~ b = BD = (1; 8; 3) a ~c = CD = (3; 1; 1). Pak [~a; ~ b;~c] = = = = = 41 ; hledaný objem je tedy V = 41=6. Pro geometrickou ředstavu můžeme oužít obrázek z ředešlé věty; A; B; C jsou koncové body vektorů ~a; ~ b;~c, místo bodu M zde máme zadaný vrchol D. Podstava ABC má hrany určené vektory ~u = ~a ~ b = (4; 1; 3) a ~v = ~c ~ b = (2; 7; 2). Pro obsah P odstavy ABC tedy latí 2:P = ku vk, řitom u v = ~e 1 ~e 2 ~e = ; ; =

20 3. Rovnice roviny 18 takže (2 21; 8 + 6; ) = ( 19; 14; 30) ; 2:P = j( 19; 14; 30)j = = 1457 : Pro hledanou vzdálenost tedy dostaneme = V =P = 41=6 1457=2 = 41 3: 1457 : Vzdálenost bychom mohli vyčíslit také ze vzorce ro vzdálenost bodu D od roviny zadané body A, B a C; tomuto ostuu se budeme věnovat odrobněji, až se budeme v rámci analytické geometrie zabývat vzdálenostmi v R 3. Příklady ro samostatné studium: Příklad 2.3: Zjistěte, ro kterou hodnotu reálného arametru 2 R vlastnosti 0 4 má čtyřstěn o vrcholech A = [0; 0; 0], B = [; ; ], C = [; 2; 0] a D = [ 1; 0; 1] maximální objem a ro kterou degeneruje v trojúhelník. Výsledek: Objem zadaného čtyřstěnu je :(4 )=6; maximální (rovný 4) je ro = 2, minimální (nulový) ro = 0 nebo = 4. Příklad 2.4: Jsou dány body A = [1; 2; 3]; B = [0; 7; 1]; C = [4; 5; 9]: Najděte bod D tak, aby ležel na ose x a rovnoběžnostěn určený body ABCD měl objem 48. Výsledek: Úloha má dvě řešení D 1 = [ 7=2; 0; 0]; D 2 = [5=2; 0; 0]. Příklad 2.5: Dokažte, že dané body A = [1; 2; 1]; B = [0; 1; 5]; C = [ 1; 2; 1], D = [2; 1; 3] leží v jedné rovině, ale neleží na jedné římce. Příklad 2.6: Vyočítejte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory ~a = 3:~e 1 + 2:~e 2 ; ~ b = 2:~e 1 + 3:~e 2 ; ~c = ~e 1 + 2:~e 2 + 3:~e 3, obsah stěny sestrojené nad vektory ~a; ~ b a velikost výšky na tuto stěnu. Výsledek: V = 15; P = 5, výška v = 3. 3 Rovnice roviny V řadě říkladů jsme oukázali na geometrickou interretaci vektorů v R 3 a oerací s nimi. Ve zbytku tohoto učebního textu ulatníme v jistém smyslu obrácený řístu jednotlivé geometrické objekty v R 3 budeme studovat s využitím znalostí vektorů v R 3. Nejrve se seznámíme s možnými tvary rovnic rovin a římek, ak se budeme zabývat jejich vzájemnými olohami, růniky, vzdálenostmi a dalšími vlastnostmi. Při studiu geometrických objektů v R 3 (na rozdíl od formálních oerací s vektory) musíme vždy nejrve vymezit umístění geometrických objektů. Chcemeli studovat rovnice roviny, tj. jistého lineárního odrostoru R 3 dimenze 2,

21 3. Rovnice roviny 19 zvolme evně nějaký bod P 0 = [x 0 ; y 0 ; z 0 ] roviny a uvažujme nenulový vektor ~n = (a; b; c) kolmý k této rovině. Je-li P = [x; y; z] libovolný bod roviny (obecně různý od evně zvoleného bodu P 0 ), tvoří vektor ~n a vektor s očátečním bodem P 0 a koncovým bodem P vzájemně ortogonální dvojici vektorů (seciálně ro P = P 0 je druhý z těchto vektorů nulový). Platí tedy ~n P 0 P = 0 neboli (a; b; c) (x x 0 ; y y 0 ; z z 0 ) = 0 : Tuto rovnost můžeme řesat ve tvaru a:(x x 0 ) + b:(y y 0 ) + c:(z z 0 ) = 0 nebo také a:x + b:y + c:z + d = 0 ; kde d = a:x 0 b:y 0 c:z 0 : Tento tvar nazýváme obecnou rovnicí roviny, říslušný vektor ~n ak nazýváme normálovým vektorem roviny. z x ~n P 0 @ y Ukážeme si nyní, že libovolná rovnice zasaná v tomto tvaru je za ředokladu, že asoň jedno z čísel a; b; c 2 R je nenulové (což můžeme zasat ve formě odmínky a 2 + b 2 + c 2 6= 0 čili k(a; b; c)k 6= 0), vždy skutečně rovnicí roviny v R 3. Vyberme libovolný evný bod P 0 = [x 0 ; y 0 ; z 0 ], který slňuje rovnici a:x 0 + b:y 0 + c:z 0 + d = 0. Vzájemným odečtením rovnic a:x + b:y + c:z + d = 0 a a:x 0 +b:y 0 +c:z 0 +d = 0 ihned dostaneme a:(x x 0 )+b:(y y 0 )+c:(z z 0 ) = 0. Vidíme tedy, že (a; b; c) (x x 0 ; y y 0 ; z z 0 ) = 0, což nás řivádí zět k výchozí rovnici ~n P 0 P = 0 ro ~n = (a; b; c) a jde tedy vždy o rovnici roviny v R 3. P 0 P = (x x 0 ; y y 0 ; z z 0 ) ; Rovinu, jež rochází bodem P 0 kolmo k vektoru ~n = (a; b; c), můžeme určit také vektorovou rovnicí roviny ~n (~r ~r 0 ) = 0 ;

22 3. Rovnice roviny 20 v němž ~r = (x; y; z) můžeme interretovat jako olohový vektor obecného bodu P a ~r 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) jako olohový vektor evně zvoleného bodu P 0 2 (viz obrázek). Vektor ~n není ovšem určen jednoznačně: rovnice ~m (~r ~r 0 ) = 0 ; v níž ~m = k:~n ro jakékoli nenulové reálné číslo k, je také vektorovou rovnicí téže roviny a obdobně rovnice (k:a):x + (k:b):y + (k:c):z + (k:d) = 0 je rovněž obecnou rovnicí roviny. V raxi někdy racujeme jen s jednotkovým normálovým vektorem ~n i jeho výběr je však dvojznačný, zravidla však není důležité, které orientaci vektoru ~n bychom měli dávat řednost. Je-li d = 0, rotíná rovina všechny souřadnicové osy v očátku souřadnic, říadně může jednu i dvě ze souřadnicových os obsahovat. Ve všech ostatních říadech lze obecnou rovnici roviny dělit číslem d; dostáváme tedy (a=d):x (b=d):y (c=d):z = 1 : Z této rovnice již dokážeme snadno určit, jaké úseky vytíná rovina na souřadnicových osách: nař. oložíme-li y = z = 0 (tj. zabýváme se ouze body na ose x), obdržíme (a=d):x = 1, tedy okud a 6= 0 ihned x = d=a, což je hledaný úsek na ose x. Za ředokladu a = 0 dostaneme neřešitelnou rovnici 0:x = 1, která říká, že rovina nemá s osou x žádný reálný růsečík, a je s ní tedy rovnoběžná. Za dodatečných ředokladů a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0 jsme tedy schoni určit čísla = d=a, = d=b a = d=c, která udávají úseky vyt até rovinou na osách x; y; z. Dostáváme tak úsekovou rovnici roviny x + y + z = 1 : Levá část obrázku ukazuje olohu roviny vůči osám souřadnic: viditelné jsou stoy roviny na souřadnicových rovinách (v deskritivní geometrii růmětnách ) a část roviny v rvním oktantu v říadě a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0, ravá část obrázku názorně ukazuje, co se změní v říadě a 6= 0, b = 0 a c 6= 0. Vrátíme-li se ještě k ředchozímu obrázku (s jehož omocí jsme odvozovali rovnice roviny), vidíme, že zde bylo a 6= 0, b 6= 0 a c 6= 0; růnik roviny s osou x ovšem nebyl viditelný, rotože úsek vyšel záorný.

23 3. Rovnice roviny @ x y x z y Představme si nyní, že na obrázku, na němž jsme ukázali odvození obecné rovnice roviny, jsme do bodu P 0 umístili takovou dvojici nekolineárních vektorů ~u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) a ~v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) z R 3, která leží v rovině. Protože vektory ~r ~r 0, ~u a ~v jsou komlanární, můžeme každý vektor ~r, jenž má očáteční bod P 0 2 a koncový bod v rovině (tedy i vektor s koncovým bodem P ), zasat ve tvaru ~r = ~r 0 + s:~u + t:~v ; kde s a t jsou reálné arametry. Rozeíšeme-li tuto vektorovou rovnici do složek, dostaneme arametrickou rovnici roviny x = x 0 + s:u 1 + t:v 1 ; y = y 0 + s:u 2 + t:v 2 ; z = z 0 + s:u 3 + t:v 3 : Je-li rovina určena bodem P 0 = [x 0 ; y 0 ; z 0 ] a dvěma nekolineárními vektory ~u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) a ~v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ), snadno získáme její obecnou rovnici z odmínky komlanárnosti vektorů ~u, ~v a vektoru s očátečním bodem P 0 a koncovým bodem P = [x; y; z] s využitím smíšeného součinu trojice vektorů. Pro komlanární vektory totiž latí a tedy [ P 0 P ; ~u; ~v] = 0 ; x x 0 y y 0 z z 0 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0 ; odtud už snadno vychází obecná rovnice zadané roviny. Přímo můžeme také najít normálový vektor ~n roviny jako vektorový součin libovolných dvou nekolineárních vektorů, které leží v rovině, tedy nař. ~n = ~u ~v. Příklad 3.1: Najděte arametrickou a obecnou rovnici roviny, která je určena body A = [4; 4; 4], B = [ 1; 10; 4] a C = [2; 2; 5]. Řešení: Zvolíme nař. jako očáteční bod (dosud P 0 ) bod A = [4; 4; 4] a dále

24 3. Rovnice roviny 22 ~u = AB = ( 5; 6; 8) ; ~v = AC = ( 2; 6; 1) : Parametrický tvar rovnice roviny je tedy x = 4 5:s 2:t ; y = 4 + 6:s 6:t ; z = 4 8:s + t ; kde s; t 2 R. Uvažujeme-li obecný bod P roviny, vyjde obecná rovnice této roviny snadno ze smíšeného součinu neboli [ AP ; AB ; AC ] = 0 x 4 y 4 z = 0 : Rozvojem uvedeného determinantu odle rvního řádku dostáváme ostuně :(x 4) :(y 4) :(z 4) = 0 ; 2 6 (6 48):(x 4) ( 5 16):(y 4) + ( ):(z 4) = 0 ; 42:(x 4) + 21:(y 4) + 42:(z 4) = 0 ; 2:(x 4) (y 4) 2:(z 4) = 0 ; 2:x y 2:z + 4 = 0 : Jiný ostu výočtu využívá znalosti normálového vektoru čili o složkách ~n = AB AC ; ~n = (a; b; c) = ~e 1 ~e 2 ~e Rozvojem uvedeného determinantu odle rvního řádku vychází :~e :~e 2 + : (6 48):~e 1 ( 5 16):~e 2 + ( ):~e 3 = :~e 3 = 42:~e :~e :~e 3 = 21:(2:~e 1 ~e 2 2:~e 3 ) ;

25 4. Rovnice římky 23 je tedy možné volit a = 2, b = 1 a c = 2. Reálný arametr d jsme tímto ostuem neurčili, víme však, že rovnici a:x + b:y + c:z + d = 0 musí vyhovovat nař. souřadnice bodu A, tj. 2:4 4 2:4 + d = 0, takže d = 4. Protože víme, že všechny tři body A; B; C leží v rovině, mohli bychom dokonce římo i bez znalosti vektorového nebo smíšeného násobení vektorů v R 3 sestavit a nař. Gaussovou eliminací řešit soustavu 3 lineárních algebraických rovnic ro 4 neznámé a; b; c; d; tento ostu by však byl racnější než oba ředešlé. Příklady ro samostatné studium: Příklad 3.2: Určete a) arametrický b) obecný c) úsekový tvar rovnice roviny, jestliže rovina rochází body A = [2; 3; 1]; B = [3; 1; 4]; C = [2; 1; 5]. Výsledek: Parametrický tvar roviny : x = 2 + s; y = 3 2:s + t; z = 1 + 3:s 2:t ; obecný tvar : x + 2:y + z 9 = 0, úsekový tvar x 9 + y 9=2 + z 9 = 1 : Příklad 3.3: Určete rovnici roviny, která a) je rovnobežná se souřadnou rovinou xz a rochází bodem A = [2; 5; 3] b) rochází osou z a bodem A = [ 3; 1; 2] c) je rovnoběžná s osou x a rochází body B = [4; 0; 2]; C = [5; 1; 7]. Výsledek: a) : y + 5 = 0 b) : x + 3:y = 0 c) : 9:y z 2 = 0. 4 Rovnice římky Víme už, že máme-li zadán nějaký evný bod, můžeme v rostoru R 3 řisoudit každému lineárnímu odrostoru dimenze 2 geometrický význam roviny. Jak brzy uvidíme, můžeme obdobně řisoudit každému lineárnímu odrostoru dimenze 1 geometrický význam římky. Z dřívějšího středoškolského studia matematiky také víme, že (oužijeme-li už zavedenou terminologii) v rostoru R 2 lze římky interretovat jako lineární odrostory dimenze 1. Tedy můžeme řiřadit každé římce v R 2 jedinou obecnou rovnici tyu a:x+b:y+c = 0 ro a; b; c 2 R, formálně analogickou obecné rovnici roviny v R 3. Jak vzáětí uvidíme, ois římky v R 3 tak snadný nebude budeme mít totiž tři arametrické rovnice ro jednotlivé souřadnice v R 3, z nichž jediný arametr nelze vyloučit takovým zůsobem, aby k oisu římky ostačovala jediná rovnice. Přímka v rostoru R 3 je zřejmě určena bud dvěma body, kterými rochází, nebo jedním takovým bodem a směrovým vektorem z R 3, s nímž je rovnoběžná.

26 4. Rovnice římky 24 První říad (se dvěma body) můžeme snadno řevést na druhý (směrový vektor určíme jako rozdíl olohových vektorů zadané dvojice bodů), a nemusíme se jím tedy zvlášt zabývat. Rovnici římky můžeme zasat několika zůsoby; jejich odvození je zřejmé z následujícího obrázku. Uvažujme římku, která rochází bodem P = [x 0 ; y 0 ; z 0 ] a je rovnoběžná s nenulovým vektorem ~s = (a; b; c), obecný bod římky označme P = [x; y; z]. S oužitím olohového vektoru ~r 0 bodu P 0 a olohového vektoru ~r bodu P dostáváme ~r ~r 0 = t:~s a odtud snadno vektorovou rovnici římky ~r = ~r 0 + t:~s ro libovolné reálné číslo t. Rozesáním do složek x; y; z dostáváme dále arametrické rovnice římky x = x 0 + a:t ; y = y 0 + b:t ; z = z 0 + c:t ; t 2 R : Vyloučením arametru t z arametrických rovnic, není-li žádné z čísel a; b; c rovno nule (asoň jedno musí být vždy nenulové v důsledku ředokladu k~sk 6= 0), dostaneme ještě kanonickou rovnici římky x x 0 a = y y 0 b = z z 0 ; c ve skutečnosti jde o dvě rovnice, z nichž každou lze ovažovat za rovnici jisté roviny. Není-li odmínka (a; b; c) 6= (0; 0; 0) lněna, není oužití kanonické rovnice vhodné (lze jí řisoudit jen symbolický význam). * P z P 0 ~r 0 ~r 1~s 1 y x Příklad 4.1: Zaište arametrický a kanonický tvar rovnice římky, která rochází body P = [1; 1; 2] a Q = [3; 4; 2], kde je reálný arametr. Řešení: Zřejmě je ~s = P Q = (2; 3; ). Odtud snadno dostáváme arametrické rovnice římky i její kanonickou rovnici x = 1 + 2:t ; y = 1 + 3:t ; z = 2 + :t ; t 2 R : x 1 2 Pro = 0 ovšem druhá z rovnic x 1 2 = y 1 3 = y 1 3 ; = z + 2 : y 1 3 = z + 2

27 4. Rovnice římky 25 není formálně korektní; udává jen, že římka je rovnoběžná se souřadnicovými osami x; y. Všimněme si také, že ro t = 0 dostáváme souřadnice bodu P a ro t = 1 souřadnice bodu Q. Parametrické rovnice římky bychom mohli zasat nař. i ve tvaru x = 1 4: t ; y = 1 6: t ; z = 2 2:: t ; t 2 R ; ak sice souřadnice bodu P dostáváme ro t = 0, ale souřadnice bodu Q ro t = 1=2. Přímka bývá také v R 3 často určena jako růsečnice dvou různoběžných rovin k vzájemné oloze rovin se odrobněji vrátíme v následující části. Parametrickou rovnici římky bychom v tomto říadě mohli hledat jako solečné řešení obecných rovnic dvou rovin, závislé na jistém arametru t 2 R, kratší však bývá ostu, který vylývá z následující věty. Věta 4.1: Necht jsou dány dvě různoběžné roviny v rostoru R 3 rovina 1 o obecné rovnici a 1 :x + b 1 :y + c 1 :z + d 1 = 0 a rovina 2 o obecné rovnici a 2 :x + b 2 :y + c 2 :z + d 2 = 0; řitom a 1 ; b 1 ; c 1 ; d 1 ; a 2 ; b 2 ; c 2 ; d 2 2 R. Pak směrovým vektorem římky = 1 \ 2 je vektor ~s = ~n 1 ~n 2, kde ~n 1 = (a 1 ; b 1 ; c 1 ) a ~n 2 = (a 2 ; b 2 ; c 2 ) jsou normálové vektory rovnic 1 a 2. Pro souřadnice vektoru ~s = (a; b; c) tedy latí b a = 1 c 1 b 2 c 2 ; b = c 1 a 1 c 2 a 2 ; c = a 1 b 1 a 2 b 2 : Důkaz: Skutečnost, že ~n 1 a ~n 2 jsou normálovými vektory rovin 1 a 2, jsme využili už ři odvození obecné rovnice roviny. Protože roviny 1 a 2 nejsou rovnoběžné, nemohou být vektory ~n 1 a ~n 2 ani kolineární. Jejich vektorovým součinem ~s je tedy nenulový vektor, který je kolmý na vektory ~n 1 a ~n 2, a leží tedy současně v rovině 1 i v rovině 2. Závěrečný vzorec ak snadno vychází z výočtu tohoto vektorového součinu v jednotlivých souřadnicích. Příklad 4.2: Najděte arametrické rovnice římky, která je zadána jako růsečnice dvou rovin 1 o obecné rovnici 3:x + y 2:z 13 = 0 a 2 o obecné rovnici x + 2:y 2:z 11 = 0. Řešení: Podle ředcházející věty má směrový vektor ~s = (a; b; c) římky složky a = = = 2 ; b = c = = 6 1 = 5 : = = 4 ; Roviny 1 a 2 rotínají rovinu z = 0 (v deskritivní geometrii ůdorysnu ) ostuně v římkách 3:x + y = 13, x + 2:y = 11. Vidíme, že tyto římky se

28 5. Úlohy o rovinách a římkách 26 rotínají v bodě A=[3,4,0] stačí vyočítat z dvojice lineárních algebraických rovnic souřadnice x a y. Parametrické rovnice římky, která nutně rochází bodem A, tedy mohou být nař. x = 3 + 2:t ; y = 4 + 4:t ; z = 5:t ; t 2 R : I bez znalosti věty 4.1 můžeme odvodit tytéž rovnice Jordanovou variantou Gaussovy eliminace " # " # " # " Abychom dostali výsledek ve stejném tvaru, zvolíme nyní oět z = 5:t ro reálný arametr t, tedy hodnost matice soustavy i matice rozšířené je 2. Dostáváme x = (15 + 2:5:t)=5 = 3 + 2:t a y = (20 + 4:5:t)=5 = 4 + 4:t. Příklady ro samostatné studium: Příklad 4.3: Určete a) arametrický tvar římky b) kanonický tvar rovnice římky c) římku jako růsečnici dvou různoběžných rovin, jestliže římka rochází danými body A = [2; 9; 3]; B = [5; 3; 11]. Výsledek: Parametrický tvar : x = 2 + 3:t; y = 9 6:t; z = 3 + 8:t ; kanonický tvar x 2 = y = z 3 ; 8 dále = \, kde roviny : 2:x + y 13 = 0, : 8:x 3:z 7 = 0. Příklad 4.4: Rozhodněte o vzájemné oloze římek ;, jsou-li zadány takto: a) : x = 4; y = 5 + t; z = 1 + 2:t, : x y z 4 = 0; x + y 3:z = 0 b) : x = 1 + 3:t; y = 7 + 2:t; z = 4 t, : x = 2 + 3:t; y = 5 2:t; z = 3 t. Výsledek: a) římky jsou mimoběžné ( \ = ;) \ = [2; 5; 3]. # : b)římky jsou různoběžné, 5 Úlohy o rovinách a římkách Umíme již racovat s vektory v ravoúhlé souřadnicové soustavě: ro vektor ~u s očátečním bodem A = [x 1 ; y 1 ; z 1 ] a koncovým bodem B = [x 2 ; y 2 ; z 2 ] je délkou

29 5. Úlohy o rovinách a římkách 27 vektoru ~u (neboli jeho normou v rostoru R 3 ) číslo k~uk = k(x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1 )k = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ; toto kladné číslo je zároveň vzdáleností bodů A; B: Máme tak řiraveny nástroje ro řešení úloh o římkách a rovinách. Soustředíme se řitom ostuně na: a) vzdálenost bodu od římky, b) vzájemnou olohu a úhel dvou římek, c) vzdálenost dvou rovnoběžných nebo mimoběžných římek, d) vzdálenost bodu od roviny, e) vzájemnou olohu a úhel dvou rovin, f) vzájemnou olohu a úhel římky a roviny, g) svazek rovin, h) růmět bodu na římku a do roviny, růmět římky do roviny. a) Vzdálenost bodu od římky Neleží-li daný bod P 1 na římce, můžeme určit vzdálenost bodu P 1 od římky. Bodem P 1 roložíme rovinu kolmou k římce. Označíme-li P 2 růsečík římky s touto rovinou (tedy P 2 = \ ), je hledaná vzdálenost d bodu P 1 od římky rovna délce vektoru s očátečním bodem P 1 a koncovým bodem P 2. Najít rovinu je snadné, nebot její normálový vektor je směrovým vektorem římky. Průmětna na obrázku je ro jednoduchost zvolena tak, že obsahuje římku ; celá rovina (naznačená tečkovaně) se ak romítne do jediné římky kolmé na : d P 1 P 2

30 5. Úlohy o rovinách a římkách 28 Příklad 5.1: Určete vzdálenost bodu A = [2; 1; 3] od římky zadané rovnicemi x = 1 + 3:t, y = 2 + 4:t, z = 1 + 5:t ro t 2 R. Řešení: Rovina rocházející bodem A a současně kolmá k dané římce má normálový vektor ~n = (3; 4; 5), a tedy obecnou rovnici 3:x + 4:y + 5:z + d = 0. Z odmínky A 2 dostaneme d = 0; odtud d = 17, takže rovina má obecnou rovnici 3:x + 4:y + 5:z 17 = 0. Průsečík B = \ najdeme snadno dosazením arametrické rovnice římky do obecné rovnice roviny 3:( 1 + 3:t) + 4:( 2 + 4:t) + 5:(1 + 5:t) 17 = 0 ; odtud dostaneme t = 23=50. Bod B má ak souřadnice x = 1 + (3:23)=50 = 19=50, y = 2 + (4:23)=50 = 8=50, z = 1 + (5:23)=50 = 165=50. Vzdálenost d bodu A od římky lze ak už snadno vyočítat jako vzdálenost bodů A a B d = (19=50 2) 2 + ( 8=50 + 1) 2 + (165=50 3) 2 = 3: 38=10 : b) Vzájemná oloha a úhel dvou římek O dvou římkách v R 3 říkáme, že jsou i) totožné, rávě když mají solečné všechny body, ii) různoběžné, rávě když mají solečný jediný bod (tzv. růsečík), iii) rovnoběžné, rávě když nemají solečný žádný bod a jejich směrové vektory jsou kolineární (v deskritivní geometrii se v tomto říadě hovoří o solečném nevlastním bodu, který však neatří do R 3 ), iv) mimoběžné, rávě když nemají solečný žádný bod a jejich směrové vektory nejsou kolineární. Jiný očet solečných bodů není možný: hledáme-li totiž solečné body římky osané arametrickými rovnicemi x = x 1 + a 1 :t ; y = y 1 + b 1 :t ; z = z 1 + c 1 :t; t 2 R a římky osané arametrickými rovnicemi x = x 2 + a 2 :s ; y = y 2 + b 2 :s ; z = z 2 + c 2 :s ; s 2 R ; kde x 1 ; y 1 ; z 1, x 2 ; y 2 ; z 2, a 1 ; b 1 ; c 1 a a 2 ; b 2 ; c 2 jsou zadané trojice reálných čísel, dostáváme ro neznámé arametry t a s soustavu tří lineárních algebraických rovnic a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c : " t s # = 6 4 x 2 x 1 y 2 y 1 y 2 y ;