Diferencovatelné funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferencovatelné funkce"

Transkript

1 Přednáška 5 Diferencovatelné funkce Jak jsme se zmínili v minulé přednášce, je lavní myšlenkou diferenciálnío počtu naradit danou funkci y = f) v okolí bodu a polynomem V této přednášce se budeme podrobně zabývat tím, jak nejlépe naradit funkci polynomem prvnío stupně, tj lineární funkcí nebo geometricky, jak naradit graf funkce v okolí bodu přímkou Nect je dána funkce y = f) a bod a, který je vnitřním bodem definičnío oboru Uvažujme přímku y = A + q Jestliže cceme, aby přímka procázela bodem [ a; fa) ], musí mít rovnice této přímky tvar y = A a) + fa) Rozdíl mezi odnotou funkce y = f) a přímkou y = A a) + fa) v bodě je roven f) fa) A a) = Z) 1) Když zavedeme odcylku bodu od danéo bodu a, = a =, dostaneme z 1) fa + ) fa) A = Z) ) Funkce Z) je pro dané a funkce proměnné a závisí samozřejmě na tom, jak zvolíme směrnicí přímky, tj A Snaa je, aby byla odnota absolutní zbytku Z) pro malá co nejmenší To se vyjadřuje tím, že požadujeme, aby Z) 0 = 0 Z těcto úva dostaneme následující definici Definice Nect je dána funkce y = f) a bod a, který je vnitřním bodem D f Jestliže eistuje A R takové, že Z) 0 = 0, kde Z) = fa + ) fa) A, 3) nazývá se funkce y = f) diferencovatelná v bodě a a lineární funkce dfa; ) = A proměnné se nazývá diferenciál funkce f) v bodě a tj Je-li funkce y = f) diferencovatelná v bodě a plyne z 3) 0 = 0 Z) = 0 fa + ) fa) A Definice Jestliže eistuje konečná ita fa + ) fa) A = 0 fa + ) fa) = A, 0 f fa + ) fa) a) =, 4) 0 1

2 nazývá se derivace funkce f) v bodě a Je zřejmé, že platí Věta Funkce f) je diferencovatelná v bodě a právě tedy, když má v bodě a derivaci a její diferenciál v bodě a je dfa; ) = f a) 5) Je-li funkce f) diferencovatelná v bodě a, nazývá se přímka y fa) = f a) a) 6) tečna ke grafu funkce y = f) v bodě [ a; fa) ] Tedy derivace f a) funkce f) v bodě a je geometricky směrnice tečny ke grafu funkce y = f) v bodě [ a; fa) ] Protože směrnice přímky kolmé k tečně je 1, je přímka f a) y fa) = a f a), tj a + f a) y fa) ) = 0 7) normála ke grafu funkce y = f) v bodě [ a; fa) ] Rovnice tečny ke grafu funkce y = f) v bodě [ a, fa) ] je v rovině y dána vztaem 6) Jestliže přesuneme počátek souřadnic do bodu [ a, fa) ] a nové osy označíme a df, přejde rovnice tečny na rovnici 5) Diferenciál funkce y = f) v bodě a je tedy vlastně rovnice tečny v takto posunutýc souřadnicíc Při výpočtec se ukazuje výodné používat místo proměnné značku d a psát diferenciál funkce y = f) ve tvaru dfa) = f a) d 8) a derivaci jako f a) = df d a) Zatím jsme zavedli pouze derivace funkce y = f) v bodě a, který je vnitřní bod definičnío oboru D f Na množině všec bodů, ve kterýc eistuje derivace lze definovat funkci f, která přiřazuje každému bodu této množiny derivaci funkce f v tomto bodě, tj f ) Taková funkce se nazývá derivace funkce f) Definice Funkce y = f) se nazývá diferencovatelná na množině M, je-li diferencovatelná v každém bodě množiny M Je-li funkce f) diferencovatelná na množině M, nazývá se funkce f : M R definovaná předpisem f ) derivace funkce na množině M Poznámka: Pro zobrazení f : X Y množiny X R do množiny Y R k, tj f) = f1 ), f ),, f k ) ), je derivace f ) = f 1), f ),, f k) ), tj derivuje se každá složka zobrazení f) zvlášt, a diferenciál df, ) = f ) = f 1), f ),, f k) ) = df 1, ), df, ),, df k, ) )

3 se počítá jako diferenciály jednotlivýc složek Definici a geometrický význam diferenciálu a derivace zobrazení f) uvedeme později, až uvedeme geometrickou, resp fyzikální, interpretaci zobrazení R do R k Věta Je-li funkce f) diferencovatelná na množině M, je na množině M spojitá Důkaz: Je-li a M je funkce f) diferencovatelná v bodě a Proto je a D f romadný bod D f Musíme tedy dokázat, že fa + ) = fa) To ale dostaneme itou 0 0 ve vztau 3) Derivace funkcí se počítají tak, že známe derivace některýc základníc funkcí nazpamět a pro derivace složitějšíc funkcí používáme vztay, které jsou obsaem následujícíc vět Je věcí každéo, jaké derivace považuje za základní a jaké za složitější Rozodně byste měli znát všecny derivace funkcí uvedené ve skriptec a používat vztay uvedené v následujícíc dvou větác Věta Nect jsou funkce f) a g) diferencovatelné na množině M a α, β R Pak 1 je funkce αf) + βg) diferencovatelná na množině M a αf) + βg) ) = αf ) + βg ) ; 9) je funkce f) g) diferencovatelná na množině M a f) g) ) = f ) g) + f) g ) ; 10) 3 je-li g) 0, je funkce f) g) diferencovatelná na množině M a f) g) ) = f ) g) f) g ) 11) g ) Věta Nect je funkce f : X Y diferencovatelná na množině X a funkce g : Y Z diferencovatelná na množině Y Pak je na množině X diferencovatelná složená funkce = g f, tj ) = g f) ), a platí ) = g f) ) f ) 1) Vzta 1) se často píše ve tvaru, který se lépe pamatuje Označme z = zy) a y = y) Pak lze formálně napsat dz d = dz dy dy d, 13) kde ale musíme dosadit za y = y) Příklad Najděte derivaci funkce f) = sin 1 + e Řešení: Nejprve jde o to, jak budeme cápat funkce f) Například když cápeme funkci f) jako složenou z funkcí z = sin y a y = 1 + e, dostaneme z 13) dz d = dz dy dy d = cos y dy d = cos 1 + e dy d 3

4 Funkci y můžeme cápat jako složenou funkci z funkcí y = u a u = 1 + e Pak je dy d = dy du du d = 1 u du d = 1 du 1 + e d I funkci u lze cápat jako složenou z funkcí u = 1 + e v a v = Proto je Když to všecno složíme, dostaneme du d = du dv dv d = ev = e f ) = cos 1 + e e 1 + e Příklad: Najděte definiční obor a derivaci funkce f) = sin ) Řešení: Funkce f) je definována vztaem f) = sin ) = e lnsin ) Proto je její definiční obor množina D f = { R ; sin > 0 } = k Z kπ, k + 1)π ) a její derivace f ) = e lnsin ) lnsin ) + cos ) = sin ) lnsin ) + cotg ) sin Nect je funkce f) vzájemně jednoznačná a g) je její inverzní funkce Pak pro každé D f podle definice platí g f) ) = Označme y = f) Podle věty o derivaci složené funkce plyne z tooto vztau dg dy df d = 1 Z definice inverzní funkce plyne, že = gy) Tedy je-li f ) 0, je Obecně platí následující věta o derivaci inverzní funkce: g y) = 1 f ) = 1 f gy) ) 14) Věta: Nect je f : X Y vzájemně jednoznačná funkce Nect je f ) 0 pro každé X a inverzní funkce g : Y X je spojitá na množině Y Pak je funkce g diferencovatelná na množině Y a platí 14) 4

5 Příklad: Najděte derivaci funkce y = arcsin Řešení: Funkce gy) = arcsin y je inverzní k funkci f) = sin zúžené na interval 1 π, 1 π Protože f ) = cos je na intervalu 1 π, 1 π) nenulová a funkce arcsin y je spojitá na intervalu 1, 1), je funkce arcsin y diferencovatelná na intervalu 1, 1) Její derivaci lze získat derivací vztau arcsinsin ) =, který platí pro 1 π, 1 π Jestliže označíme y = sin, dostaneme darcsin y) dy Pro cos 0, tj 1 π, 1 π) je dsin ) d = darcsin y) dy darcsin y) dy = 1 cos cos = 1 Do tooto vztau musíme ještě dosadit za proměnnou Ale protože pro 1 π, 1 π) je cos = 1 sin = 1 y, dostaneme pro y 1, 1) arcsin y ) = 1 1 y Derivaci jsme definovali pro vnitřní body definičnío oboru funkce f) oboustrannou itou 4) Jestliže v definici budeme uvažovat pouze jednostranné ity, dostaneme jednostranné derivace funkce Takovým způsobem se definují derivace v krajníc bodec D f patří-li krajní bod do D f ) Definice Jestliže eistuje ita f +a) fa + ) fa) =, resp f fa + ) fa) 0 + a) =, 0 nazýváme ji derivací zprava, resp derivací zleva funkce f) v bodě a Podobně jako pro ity platí následující věta Věta Derivace funkce f) v bodě a eistuje právě tedy, když eistují obě jednostranné derivace a jsou si rovny Příklad: Najděte derivaci funkce f) = e +1 Řešení: Funkce f) je definována jako { e +1 pro 1, f) = e 1 pro 1 Tedy pro > 1 je f ) = e +1 a pro < 1 je f ) = e 1 Protože podle definice je f + 1) = 0 + f 1 + ) f 1) f 1) = 0 f 1 + ) f 1) = 0 + e 1 = 0 e 1 5 = 0 + e 1 = 0 e 1 = 1, = 1,

6 derivace funkce f) v bodě = 1 neeistuje Poznámka Obecně nelze najít derivaci funkce f) v bodě a tak, že spočítáte derivaci funkce f) a pak dosadíte = 0 Například pro funkci f) = { sin 1 pro 0, 0 pro = 0, je pro 0 f ) = sin 1 cos 1, do které bod = 0 dosadit nelze Molo by se zdát, že derivaci f 0) neeistuje Ale podle definice je f 0) = 0 sin 1 = 0, a tedy f 0) = 0 Problém je v tom, že derivace funkce nemusí být spojitá, což většinou mlčky předpokládáte Věty o střední odnotě diferenciálnío počtu Následující tři věty, zejména Lagrangeova věta, rají v diferenciálním počtu velmi důležitou roli, protože z nic plyne velmi mnoo vlastností diferencovatelnýc funkcí Proto je uvedeme i s jejic důkazem Sournně se tyto věty nazývají věty o střední odnotě diferenciálnío počtu Věta Rolleova věta o střední odnotě) Nect je funkce f) spojitá na uzavřeném intervalu a, b, má derivaci v každém bodě otevřenéo intervalu a, b) a platí fa) = fb) Pak eistuje bod c a, b) takový, že f c) = 0 Důkaz: Protože je funkce f) spojitá na uzavřeném omezeném intervalu a, b, eistují podle Weierstrassovy věty body m, M a, b takové, že pro každé a, b platí f m ) f) f M ) Jsou-li oba tyto body krajní body intervalu, plyne z podmínky fa) = fb), že je funkce f) na intervalu a, b konstantní, a proto je její derivace rovna nule v každém bodě c a, b) Nect je alespoň jeden z bodů m nebo M vnitřní bod intervalu a, b Nect je to například bod M Protože je M a, b), eistuje v něm podle předpokladů derivace f M ) Nect je f M ) > 0 Podle definice ity eistuje k ε = 1 f M ) > 0 číslo δ > 0 takové, že pro každé a, b), pro které je 0 < M < δ, platí nerovnost 0 < 1 f M ) < f) f M) M Ale pro > M plyne z této nerovnosti, že f) f M ) > 0, tj f) > f M ), což je ve sporu s výběrem bodu M Podobně se ukáže, že předpoklad f M ) < 0 vede k tomu, že pro < M je f) > f M ), což není možné Protože f M ) eistuje a není ani kladné ani záporná, musí být f M ) = 0 6

7 Další dvě věty o střední odnotě jsou v podstatě důsledky Rolleovy věty Věta Lagrangeova věta o střední odnotě) Nect je funkce f) spojitá na uzavřeném intervalu a, b a má derivaci v otevřeném intervalu a, b) Pak eistuje c a, b) takové, že fb) fa) = f c) b a) 15) Důkaz: Sestrojíme funkci F ) = b a) f) fa) ) a) fb) fa) ) Z předpokladů o funkci f) plyne, že je funkce F ) spojitá na uzavřeném intervalu a, b, má derivaci v každém bodě otevřenéo intervalu a, b) a platí F a) = F b) = 0 Proto splňuje funkce F ) předpoklady Rolleovy věty, a tedy eistuje c a, b) takové, že což je rovnost 15) F c) = b a) f c) fb) fa) ) = 0, Uvedeme některé důsledky Lagrangeovy věty Víme, že derivace funkce f) = c = konst je rovna nule Z Lagrangeovy věty plyne, že konstantní funkce jsou na intervalu jediné funkce, jejíž derivace je rovna nule Nect je I = a, b) interval, f ) = 0 pro každé I a 0 I Pro každé I je funkce f) na intervalu 0, spojitá a má derivaci v každém bodě intervalu 0, ) Podle Lagrangeovy věty eistuje c 0, ) takové, že f) f 0 ) = f c) 0 ) = 0, protože f c) = 0 Tedy pro každé I je f) = f 0 ), tj f) je konstantní Příklad: Najděte intervaly, na kterýc je funkce f) = arctg + arctg ) konstantní a určete její odnotu na těcto intervalec Řešení: Definiční obor funkce f) je D f =, 1) 1, + ) Protože funkce f) je na intervalu I konstantní právě tedy, když je její derivace f ) = 0 pro každé I, budeme ledat intervaly, na kterýc je f ) = 0 Derivací vztau 16) dostaneme f ) = ) 1) = ) 1) + + 1) ) 1) = 0 1 Protože f ) = 0 pro každé, 1) = I a 1, + ) = I +, je funkce na těcto intervalec konstantní Její odnotu dostaneme tak, že dosadíme jednu, libovolnou, odnotu I a + I + Protože = 0 I a f0) = arctg 0 + arctg 1) = 1π, je f) = 1 π pro < Hodnotu funkce na intervalu I + lze najít například tak, že dosadíme + = + Pak dostaneme f) = arctg + arctg = 1π + arctg 1 = 3π 4 7

8 Další použití Lagrangeovy věty je při důkazu některýc nerovností Příklad: Ukažte, že když je f ) > 0 pro každé I, kde I je interval, je funkce f) na intervalu I rostoucí Řešení: Nect jsou 1 < dva libovolné body z intervalu I Protože je funkce f) splňuje na intervalu 1, předpoklady Lagrangeovy věty, eistuje c 1, ) takové, že f ) f 1 ) = f c) 1 ) > 0, protože f c) > 0 a 1 < Podobně se ukáže, že když má funkce f) na intervalu I derivaci f ) < 0, je na intervalu I klesající Poznámka: Diferenciál funkce f) v bodě a, který je vnitřní bod definičnío oboru funkce f), je v podstatě rovnice tečny ke grafu funkce a derivace směrnice tečny Směrnice přímky rozoduje o tom, zda je lineární funkce rostoucí nebo klesající Proto rozoduje znaménko derivace o monotonii funkce f) V předcozím případě jsme vlastně dokázali následující větu Věta Jestliže má funkce f) na intervalu I kladnou zápornou) derivaci, je na intervalu I rostoucí klesající) Definice Vnitřní body definičnío oboru funkce f), ve kterýc je f ) = 0, se nazývají stacionární body funkce f) Je zřejmé, že ve stacionárníc bodec je tečna ke grafu funkce y = f) rovnoběžná s osou Tvrzení následující věty, která se používá při ledání lokálníc etrémů funkce f), je snad zřejmá Věta Nect je 0 stacionární bod funkce f) Jestliže eistuje δ > 0 takové, že 1 pro každé 0 δ, 0 ) je f ) > 0 a pro každé 0, 0 +δ) je f ) > 0, nemá funkce f) v bodě 0 lokální etrémů a funkce f) je na intervalu 0 δ, 0 + δ) rostoucí; pro každé 0 δ, 0 ) je f ) > 0 a pro každé 0, 0 + δ) je f ) < 0, má funkce f) v bodě 0 lokální maimum; 3 pro každé 0 δ, 0 ) je f ) < 0 a pro každé 0, 0 + δ) je f ) > 0, má funkce f) v bodě 0 lokální minimum; 4 pro každé 0 δ, 0 ) je f ) < 0 a pro každé 0, 0 +δ) je f ) < 0, nemá funkce f) v bodě 0 lokální etrémů a funkce f) je na intervalu 0 δ, 0 + δ) klesající Trocu jinak postupujeme při ledání globálníc etrémů, tj největší a nejmenší odnoty, spojité funkce na kompaktní množině M, například na uzavřeném omezeném intervalu a, b Základem je následující jednoducá věta Věta Je-li 0 vnitřní bod množiny M a f 0 ) 0, nemá funkce f) v bodě 0 na množině M globální etrém 8

9 Důkaz: Je-li f 0 ) > 0, eistuje k ε = 1 f 0 ) > 0 podle definice derivace δ > 0 takové, že pro každé M, pro které je 0 < 0, platí 0 < f 0 ) < f) f 0) 0 Protože je 0 vnitřní bod množiny M eistují 1 < 0 a > 0 taková, že 0 < f 1) f 0 ) 1 0 a 0 < f ) f 0 ) 0 Tedy platí f 1 ) < f 0 ) < f ) a funkce f) nemá v bodě 0 globální etrém Je-li f 0 ) < 0, vybereme ε = 1 f 0) > 0 a dostaneme nerovnost f) f 0 ) < f 0 ) 0 < 0, ze které plyne, že eistují 1, M, 1 < 0 <, pro které platí f 1 ) > f 0 ) > f ) Proto nemá ani v tomto případě funkce f) v bodě 0 globální etrém Máme-li najít etrémy spojité funkce f) na kompaktní množině, víme z Weierstrassovy věty, že eistují body m, M M, ve kterýc funkce dosauje maima a minima, a z předcozí věty víme, že je-li bod m nebo M vnitřním bodem M, není v něm derivace funkce f) různá od nuly Proto nás při ledání největší a nejmenší odnoty spojité funkce na kompaktní množině uzavřeném a omezeném intervalu a, b ) budou zajímat tyto body: 1 raniční body množiny M; speciálně v případě intervalu a, b body a a b; vnitřní body množiny M, pro které je f ) = 0; 3 vnitřní body množiny M, pro které derivace neeistuje Do této skupiny lze zařadit i body, v nicž derivaci z nějakéo důvodu nepočítáme Takto dostaneme jistou podmnožinu M 0 M, v jejicž bodec může nabývat spojitá funkce f) na kompaktní množině M největší a nejmenší odnotu Je-li množina M 0 konečná, lze největší a nejmenší odnotu funkce na množině M najít jako nejmenší a největší odnotu z konečné množiny fm 0 ) Příklad: Najděte nejmenší a největší odnotu funkce f) = sin na intervalu 1 π, 1 π Řešení: Protože je funkce f) spojitá na kompaktním intervalu 1π, 1 π, eistují v tomto intervalu body, ve kterýc nabývá funkce f) nejmenší a největší odnotu Do první skupiny patří krajní body intervalu, tj 1 = 1 π a = 1 π Pro > 0 je f) = sin a pro < 0 dostaneme f) = sin Protože pro > 0 je f ) = 1 cos, je f ) = 0 na intervalu 0, 1 π pouze v bodě 3 = 1π 3 Na intervalu 1π, 0) nemá rovnice f ) = 1 cos = 0 řešení Proto do drué skupiny patří pouze bod 3 9

10 Protože jsme v bodě = 0 nepočítali derivaci, ostatně tam ani neeistuje, zařadíme jej do třetí skupiny, tj 4 = 0 Funkce f) může nabývat nejmenší a největší pouze v jednom z bodů 1,, 3 nebo 4 Protože f 1 ) = 1 π +, f ) = 1 π, f 3) = 1 3 π 3, f 4 ) = 0, nabývá funkce f) = sin na intervalu 1 π, 1 π největší odnotu 1 π + v bodě = 1 π a nejmenší odnotu 1 3 π 3 v bodě = 1 3 π Často budete při výpočtec it používat jeden důsledek tzv Caucyovy věty o střední odnotě Věta Caucyova věta o střední odnotě) Nect jsou funkce f) a g) spojité na uzavřeném intervalu a, b a mají derivaci v každém bodě a, b) Jestliže g ) 0 pro každé a, b), eistuje c a, b) takové, že fb) fa) gb) ga) = f c) g c) 17) Důkaz: Uvažujme funkci F ) = f) fa) ) gb) ga) ) fb) fa) ) g) ga) ) Z předpokladů plyne, že je funkce F ) spojitá na uzavřeném intervalu a, b a má derivaci v každém bodě otevřenéo intervalu a, b) A protože F a) = F b) = 0 splňuje funkce F ) předpoklady Rolleovy věty Tedy eistuje c a, b) takové, že f c) gb) ga) ) g c) fb) fa) ) = 0 Abycom dokázali vzta 17), musíme tuto rovnost vydělit g c) gb) ga) ) Podle předpokladů je g c) 0 a stačí dokázat, že gb) ga) Nect platí gb) = ga) Pak ale funkce g) splňuje na intervalu a, b předpoklady Rolleovy věty, a tedy eistuje c a, b), pro který je g c) = 0 To je ale spor, a tedy gb) ga) Jedním z důsledků Caucyovy věty o střední odnotě je tzv l Hospitalovo pravidlo Věta l Hospitalovo pravidlo) Nect je f) = g) = 0 nebo g) = + a a a Nect jsou funkce f) a g) diferencovatelné v nějakém prstencovém okolí P a) bodu a a pro všecna P a) je g f ) ) 0 Pokud eistuje, eistuje také ita a g ) f) a g) a platí f) a g) = f ) a g ) 18) V případě f) = g) = 0 se l Hospitalovo pravidlo dokazuje použití Caucyovy věty o střední odnotě na a a výraz f) g) f) fa) = g) ga) = f c), kde c a, ), g c) 10

11 a proto jsou podmínky f) = g) = 0 podstatné V případě g) = + a a a není důkaz l Hospitalova pravidla tak jednoducý Příklad: Najděte itu sin 19) 0 3 Řešení: Jedná se o itu typu 0 0 Protože funkce f) = sin a g) = 3 splňují předpoklady uvedené věty, je sin 0 3 = 0 cos 1 3, pokud eistuje ita vpravo Protože se opět jedná o itu typu 0, použijeme ještě 0 jednou l Hospitalovo pravidlo a dostaneme sin 0 3 = 0 cos 1 3 = 0 sin 6 = 1 6 Molo by se zdát, že není třeba umět počítat ity bez použití l Hospitalova pravidla Ale znalost některýc it nám často velmi usnadní výpočet Například když máme počítat itu 0 sin ln1 + ) e 1) arcsin, je přímé použití l Hospitalova pravidla pracné, protože jmenovatel je poměrně složitá funkce Při výpočtu této ity je jednodušší psát 0 sin ln1 + ) e 1) arcsin = sin 0 3 sin = ln1 + ) 0 e 1 0 ln1 + ) e 1 arcsin = arcsin = = 1 6 sin Navíc, například ity jako 0 definice derivace v bodě nula, 0 e 1 arcsin, 0 a podobně jsou vlastně Jsou i jiné případy, kdy pomocí l Hospitalova pravidla nedostaneme itu Například podle l Hospitalova pravidla je = = + + 1, což je sice pravda, ale nevede to k nalezení ity Přímo škodlivé je používat l Hospitalovo pravidlo automaticky bez ověření předpokladů Například nelze psát = , 11

12 protože se nejedná o itu typu 0 0 nebo protože ita vpravo neeistuje cos + + sin = 1 + sin cos Abycom moli použít l Hospitalovo pravidlo na itu typu 0, musíme jej nejprve převést na podíl Obvykle se používá obratu 0 = 1 nebo = 1 0 Postup budeme ilustrovat na jednom příkladu ) Příklad: Najděte itu + π arccos 1 Řešení: Protože arccos 0 = 1 π, jedná se o itu typu 0 Abycom moli použít l Hospitalovo pravidlo, převedeme výraz na zlomek Too lze dosánout tak, že pro 0 napíšeme = 1 Pak dostaneme 1 π arccos 1 ) π arccos 1 =, což je ita typu 0, na kterou již můžeme použít l Hospitalovo pravidlo 0 Abycom se vynuli složitějšímu derivovaní, je při výpočtu této ity výodné položit y = 1 Protože 1 0 lze použít větu o itě složené funkce a psát π arccos = y 0 + π arccos y y = = y y Také ity typu lze často převést na podíl a následně k jejic výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo 1 Příklad: Najděte itu 0 sin cotg ) Řešení: Jedná se zřejmě o itu typu Abycom moli použít l Hospitalovo pravidlo budeme snažit přepsat výraz v itě jako podíl To lze udělat například takto: 1 sin cotg = 1 sin cos sin To je pro 0 výraz typu 0 Proto je sin cotg ) sin cos = 0 sin Protože druá ita je rovna 1, dostaneme 1 0 sin cotg ) = 3 0 sin cos = 0 sin 3 = 3 = sin cos sin sin cos = sin 1 cos + sin = = 0 3 ) sin = 3 0 1

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny?

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny? Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

6. Derivace 6A. Pojem derivace funkce. 6. Derivace. 6A. Pojem derivace funkce

6. Derivace 6A. Pojem derivace funkce. 6. Derivace. 6A. Pojem derivace funkce 6 Derivace 6A Pojem derivace funkce 6 Derivace Verze 6 března 07 Po limitě a spojitosti je derivace dalším základním pojmem diferenciálnío počtu Derivace funkce f() v bodě 0 je číslo označované f ( 0 ),

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo 7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,

Více

Přednáška 4: Derivace

Přednáška 4: Derivace 4 / / 7, :5 Přednáška 4: Derivace Pojem derivace ormuloval v 7. století Isaac Newton při výpočtec poybu planet sluneční soustavy. Potřeboval spočítat úlovou ryclost planet. Její směr je dán tečnou ke dráze

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Diferenciální počet ve středoškolské matematice

Diferenciální počet ve středoškolské matematice Diferenciální počet ve středoškolské matematice Mgr. Eva Valentová 2018 Předmluva Tento učební text je určen studentům čtvrtéo ročníku čtyřletýc gymnázií, kteří se ctějí věnovat při dalším studiu tecnickým,

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R. 5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých

Více

I. 4. l Hospitalovo pravidlo

I. 4. l Hospitalovo pravidlo I. 4. l Hospitalovo pravidlo 235 I. 4. l Hospitalovo pravidlo Věta (l Hospitalovo pravidlo). Buď 0 R. Nechť je splněna jedna z podmínek 0 f() 0 g() 0, 0 g() +. Eistuje-li (vlastní nebo nevlastní) 0 0 f

Více

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více