Počátky: už jsme potkali

Transkript

1 KVANTOVÁ MECHANIKA

2 Počátky: už jsme potkali Záření černého tělesa Kvanta energie světla fotoefekt PLANCK EINSTEIN Model atomu Vlnové vlastnosti částic BOHR de BROGLIE

3 Základ: Dvě různé formulace kvantové mechaniky HEISENBERG SCHRÖDINGER matice vlny

4 Interpretace, rozpracování, rozšíření BORN JORDAN PAULI DIRAC

5 Vidíme: plno chytrých lidí si s tím lámalo hlavu je to těžké Většině z nich bylo v té době něco málo přes dvacet Takže teď na to máte největší kapacitu! Tak jdeme na to!

6 DVOUŠTĚRBINOVÝ EXPERIMENT Feynman: In telling you how it works we will have told you about the basic peculiarities of all quantum mechanics ČÁSTICE VLNY

7 Částice jsou asi jasné, pro interferenci vln animace z Wikipedie: l 1 l 2 Matematický popis: každá ze dvou vln popsaná komplexním číslem; obě dohromady součtem exp ikl 1 l 1 + exp ikl 2 l 2 a intenzita daná kvadrátem absolutní hodnoty, exp ikl 1 l 1 + exp ikl 2 l 2 2 což osciluje (viz RLC obvody) Na ty se budu odvolávat často Podrobněji probereme interferenci na cvičení

8 POZOROVANÉ ELEKTRONY ELEKTRONY

9 Částicové a vlnové vlastnosti zároveň: Částicové: lokální stopy Vlnové: kde je najdeme Vlnová funkce, která pro dvouštěrbinový experiment byla exp ikl 1 l 1 + exp ikl 2 l 2 Kvadrát absolutní hodnoty dává místo intenzity vlny pravděpodobnost nalezení částice Teď ale hlavní otázka je: dostává novou interpretaci: K této interpretaci se ještě vrátíme a zpřesníme ji Jak získat vlnovou funkci pro daný fyzikální systém??? Začneme tím nejjednodušším: volnou částicí tj. částicí, na kterou nepůsobí žádná síla

10 Volná částice v klasické mechanice Platí pro ni 1. Newtonův zákon setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu To znamená nemění se rychlost a tím pádem hybnost Její energie je pouze kinetická daná vztahem E = 1 2 mv2 = mv 2 2m = p2 2m Vyjádření kinetické energie pomocí hybnosti se nám bude hodit dále

11 Odvození vlnové funkce pro volnou částici Vyjdeme ze staré kvantové mechaniky: energii odpovídá frekvence a hybnosti vlnová délka E = ħω p = h λ n = 2πħ λ n = ħ 2π λ n ħk Jednotkový vektor ve směru šíření vlny Tím jsme zavedli vlnový vektor (vlnočet) k 2π λ n

12 Vlnočet=změna fáze na jednotce délky tak jako Úhlová rychlost=změna fáze vlny za jednotku času Odpovídají si Také si odpovídají vztahy s částicovými veličinami přehledně pohromadě a obráceně (vlnové vlastnosti pomocí částicových): ω = E ħ k = p ħ

13 Teď potřebujeme komplexní vlnovou funkci vlny s danou frekvencí (a tím úhlovou frekvencí) a danou vlnovou délkou (a tím vlnočtem) Tady je: ψ r, t = Aexp i k r ωt = Aexp i ħ p r Et Vyjádření pomocí částicových veličin Časovou závislost exp iωt známe z RLC obvodů, akorát se znaménkem + Tady znaménko -, aby znaménko + bylo u prostorové části k r Pak směr k je směr šíření vlny

14 Tedy naše první vlnová funkce, tj. vlnová funkce volné částice s hybností p a energií E je ψ r, t = Aexp i ħ p r Et kde vztah mezi hybností a energií je E = p2 2m Tohle je bezva, ale většinou nás zajímá pohyb částice, která není volná, nýbrž na kterou působí nějaká síla

15 Inspirace v klasické mechanice: 1. Newtonův zákon říká, jak se částice pohybuje, když nepůsobí síla. Pokud síla působí, tak nastupuje 2. Newtonův zákon F = ma, tj. pohybová rovnice, která pro F = 0 přejde na první zákon: 0 = a = dv dt v = const Takže zkusíme postupovat obráceně: nejdřív najít pohybovou rovnici pro vlnovou funkci volné částice a pak ji zobecnit na případ, kdy na částici působí síla

16 Odvození pohybové rovnice pro vlnovou funkci volné částice Pohybová rovnice by měla obsahovat časovou derivaci. Ovšem vlnová funkce závisí taky na prostoru, takže časová derivace bude parciální Pro pohybové rovnice, kde máme kromě času taky prostorové souřadnice, nám jako inspirace můžou sloužit Maxwellovy rovnice. V nejjednodušším případě ve vakuu bez nábojů a proudů mají tvar pohybových rovnic pro elektrické a magnetické pole ε 0 E t = 1 μ 0 B B t = E s doplňující podmínkou E = B = 0 Řešením je taky rovinná vlna; kvůli doplňující podmínce nulových divergencí je vlna příčná. (Naopak zvuk ve vzduchu je vlna podélná; zvuk v pevné látce nebo vlny na vodě jsou příčné i podélné)

17 Časová derivace naší vlnové funkce pro volnou částici t ψ r, t = A t exp i ħ p r Et = = Aexp i ħ p r Et t i ħ p r Et = = Aexp i ħ p r Et i ħ E = i Eψ r, t ħ Derivace složené funkce Parciální derivace lineární funkce takže iħ ψ r, t t = Eψ r, t Takovéhle derivování exponenciály nějaké další funkce, např. lineární jako tady, budeme potkávat znovu a znovu Je to stejné jako výpočet napětí na cívce v RLC obvodu L di dt iωli nebo jako Fourierova a Laplaceova transformace, v nichž derivování přejde v násobení frekvencí

18 Inspirace Maxwellovými rovnicemi časová derivace je vyjádřená pomocí prostorových, takže spočteme prostorovou parciální derivaci naší vlnové funkce. Výpočet je velmi podobný výpočtu časové parciální derivace: x ψ r, t = A x exp i ħ = Aexp i ħ p r Et x = Aexp i ħ p r Et i ħ p x p r Et = i ħ p xx + p y y + p z z Et = = i ħ p xψ r, t takže iħ ψ r, t x = p xψ r, t A stejně pro další složky y, z. Tuhle operaci iħ / x uděláme ještě jednou: Součet přes všechny tři složky iħ x iħ x 2 ψ r, t = ħ2 x2 ψ r, t = ħ 2 2 x y z 2 ψ r, t = p x 2 + p y 2 + p z 2 ψ r, t Laplacián jako v rovnici difuze, značí se 2 p x 2 ψ r, t Kvadrát vektoru hybnosti; vydělením 2m dostaneme kinetickou energii:

19 ħ2 2m 2 ψ r, t = p2 ψ r, t 2m Ale pro volnou částici je energie částice rovna její kinetické energii E = p2 2m takže srovnání s iħ ψ r, t t = Eψ r, t dá iħ t ψ r, t = ħ2 2m 2 ψ r, t Tohle je rovnice, kterou splňuje vlnová funkce volné částice ψ r, t = Aexp i ħ p r Et Tím máme první krok, pohybovou rovnici pro volnou částici. Teď ji budeme chtít zobecnit na částici, na kterou působí síla

20 Zobecnění na vlnovou rovnici částice v silovém poli Pracujeme s energií, takže i sílu budeme chtít popsat energií Síla je daná potenciální energií V: dv x F = dx Znaménko mínus: síla působí z kopce V x Pro jednoduchost pohyb po přímce v jednom směru Pro pohyb v prostoru je síla daná gradientem potenciální energie F F F x

21 Působení síly pak vyjádříme tak, že ke kinetické energii přidáme potenciální E = p2 2m E = p2 2m + V r Tak by člověka mohlo napadnou udělat totéž s rovnicí pro vlnovou funkci iħ ψ r, t t = ħ2 2m 2 ψ r, t iħ ħ2 ψ r, t = t 2m 2 + V r ψ r, t A to funguje! Dostali jsme Schrodingerovu rovnici (tzv. časovou pro odlišení od bezčasové dále) iħ t ψ r, t = ħ2 2m 2 + V r ψ r, t Schrodinger, 1925

22 Operátory Schrodingerovu rovnici přepíšeme do tvaru iħ t ψ r, t = Hψ r, t kde Hψ r, t = ħ2 2m 2 + V r ψ r, t H na pravé straně můžeme chápat jako nějakou lineární operaci=operátor, která z jedné vlnové funkce udělá jinou: Vezmi funkci ψ, spočítej její parciální druhé derivace ve všech třech směrech, výsledek vynásob ħ 2 /2m a k tomu přičti tutéž funkci ψ vynásobenou funkcí V. Konkrétně H je operátor energie, tzv. Hamiltonián Operátory budeme značit stříškou

23 Viděli jsme, že při působení Hamiltoniánem provádíme operace je dvojího druhu: Parciální druhé derivace podle prostorových proměnných a násobení nějakou funkcí polohy r Takže je dostaneme ze dvou elementárních operací: Parciální derivace podle každé z proměnných a násobení každou složkou polohového vektoru Zavedeme proto dvě skupiny operátorů: Operátory polohy a hybnosti 1. Operátory polohy: xψ r, t = xψ r, t A obdobně pro y, z 2. Operátory hybnosti: p xψ r, t = iħ x Hybnost souvisí s derivací, jak už jsme viděli u rovinné vlny ψ r, t A obdobně pro y, z Born, Heisenberg, Jordan, 1925

24 Vlastní funkce a vlastní hodnoty operátorů Pro rovinnou vlnu platí iħ x exp i ħ p r = p xexp i p r ħ kde jsme zkrátili na obou stranách amplitudu A a časovou závislost a tedy p xexp i ħ p r = p xexp i p r ħ Ty dvě strany se liší stříškou nad p x. Tahle rovnice říká, že rovinná vlna je ve velice zvláštním postavení vůči operátoru hybnosti: Působení operátoru hybnosti dá totéž jako vynásobení číslem Většina funkcí tohle nesplňuje. Tady to platí v podstatě kvůli té derivaci exponenciály od lineární funkce: derivace nemění exponenciálu, takže derivace je daná derivací vnitřní funkce, která je lineární funkcí polohy Matematická formulace: rovinná vlna je vlastní funkce operátoru p x s vlastní hodnotou p x. Vlastní vektory a vlastní čísla jsme potkali u matic v lineární algebře. Je tu hluboká souvislost, ke které se dostaneme dále

25 Fyzikální význam vlastní funkce a vlastní hodnoty: částice má definovanou hodnotu hybnosti p pouze tehdy, pokud je ve stavu popsaném rovinnou vlnou Co když v takovém stavu není? exp i p r ħ Matematicky: každá funkce se dá napsat jako součet (příp. integrál) rovinných vln s různými vlnočty tj. Fourierova transformace nebo Fourierův rozvoj Fyzikálně: v takovém obecném stavu prostě částice hybnost danou nemá. Čím víc je ve Fourierově rozvoji zastoupený určitý vlnočet, tím větší je pravděpodobnost, že odpovídající hodnotu hybnosti dostaneme, když budeme provádět měření Podobně je to s polohou: ψ r, t popisuje stav, ve kterém částice nemá určitou polohu ψ r, t 2 je hustota pravděpodobnosti nalezení částice v místě r v čase t. + Odtud normování ψ r, t 2 dv = 1 tj. jistota, že částice někde je Born, 1926 Podobně jako pro Maxwellovo rozdělení byla jistota, že má nějakou rychlost

26 Operátor libovolné veličiny v kvantové mechanice Obecně v kvantové mechanice: každé veličině A je přiřazen operátor A, tj. předpis, jak z jedné vlnové funkce udělat jinou ψ φ = Aψ Pokud φ je úměrné ψ, tj. pro nějaké číslo a platí φ = aψ pak ψ je vlastní funkce operátoru A příslušné k vlastní hodnotě a. Je-li systém ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψ, pak při měření veličiny A s jistotou naměříme hodnotu a. Jakýkoliv stav se dá napsat jako součet (případně integrál) vlastních stavů veličiny Pak pravděpodobnost, že při měření veličiny A naměříme hodnotu a je daná zastoupením příslušné vlastní funkce v součtu nebo v integrálu

27 Komutativita operátorů Když budeme působit dvěma po sobě, tak může záležet na pořadí Obdoba násobení matic, jak uvidíme dále taky může záležet na pořadí Např. poloha a hybnost ve stejném směru: xp xψ r, t = x iħ x ψ r, t = iħx ψ r, t x ale p xxψ r, t = iħ x xψ r, t = iħx ψ r, t x iħψ r, t x x Platí odtud vidíme, že x x = 1 člen navíc je iħψ r, t xp xψ r, t p xxψ r, t = iħψ r, t člen navíc kvůli derivaci součinu Toto platí pro každou vlnovou funkciψ r, t, takže dostáváme operátorový vztah xp x p xx = iħ tyto operátory nekomutují, tj. záleží na tom, v jakém pořadí působí

28 Pro polohu a hybnost v různých směrech např. x, p y xp yψ r, t = x iħ y p yxψ r, t = iħ y Podobně jako prve, ale tentokrát ψ r, t = iħx ψ r, t y xψ r, t = iħx ψ r, t y x y = 0 iħψ r, t x y Pro parciální derivaci podle jedné proměnné jsou ostatní proměnné konstanty Takže člen navíc vypadne a máme xp yψ r, t p yxψ r, t = 0 Toto platí pro každou vlnovou funkci ψ r, t, takže dostáváme operátorový vztah xp y p yx = 0 tj. poloha a hybnost v různých směrech komutují

29 Souhrnně platí Obecně: x j p k p kx j = iħδ jk kde δ jk je Kroneckerovo delta, rovno jedné, pokud jsou indexy stejné a rovno nule, pokud jsou indexy různé Nekomutující operátory nemohou sdílet vlastní funkce, komutující vždy mohou To je obdoba tvrzení z lineární algebry, že nekomutující matice nemohou být toutéž transformací přivedeny do diagonálního tvaru Ale veličina má danou hodnotu jenom ve vlastním stavu Takže když má jedna z nekomutujících veličin danou hodnotu, tak druhá ji nemá a naopak Mezi těmito krajními případy je spojitý přechod: čím přesněji určíme jednu z nekomutujících veličin, tím nepřesněji určíme druhou a naopak to je vyjádření relací neurčitosti Neurčitost je tu z podstaty věci, ne kvůli nedokonalosti měřícího přístroje. Této neurčitosti se proto nemůžeme zbavit!

30 Pro neurčitost polohy Δx a hybnosti Δp x platí Δx Δp x ħ 2 Obdobně pro y- a z- složky Heisenberg, 1927

31 Obdoba vztahu mezi délkou pulsu a šířkou pásma v komunikační technice Délku pulsu označíme L. Ta tím pádem udává neurčitost polohy Δx~L Na této délce ale ztratíme fázovou informaci k~ 1 L Takže x k~1 a tím x p~ħ jelikož hybnost dostaneme z vlnočtu vynásobením ħ p = ħk

32 Numerické odhady Elektron v atomu vodíku: z Bohrova modelu víme, že Odtud p~ ħ 2 x ~ α 2 m ec x~a B = 1 α ħ m e c Takže pro neurčitost rychlosti dostáváme v~ α 2 c což je stejného řádu jako samotná rychlost αc Další potvrzení, že pro elektron v atomu je kvantová mechanika nezbytná Na cvičení dokonce vypočítáme energii základního stavu atomu vodíku (a harmonického oscilátoru, který potkáme dále) přímo z relací neurčitosti Naopak když budeme měřit polohu našeho člověka o hmotnosti 80kg šuplerou, tj. x~1μm, pak kvantová mechanika dá nepřesnost měření jeho rychlosti v~ Js 2 80kg 10 6 m ms 1 Další potvrzení, že v našem makrosvětě jsou kvantové jevy zanedbatelné

33 Bezčasová Schrodingerova rovnice =rovnice pro vlastní funkce a vlastní hodnoty Hamiltoniánu Hψ E r, t = Eψ E r, t tj. ψ E je vlastní funkce s vlastní hodnotou E Pak dosazení do časové Schrodingerovy rovnice iħ t ψ E r, t = Hψ E r, t dá iħ t ψ E r, t = Eψ E r, t s řešením ψ E r, t = ψ E r, t = 0 exp i ħ Et Zase ověříme derivováním exponenciály lineární funkce jako už několikrát Toto je stejná časová závislost jako v rovinné vlně pro volnou částici, protože pro volnou částici je vlastní funkce hybnosti zároveň vlastní funkcí energie To odpovídá klasické fyzice pro volnou částici zadaná energie odpovídá zadané hybnosti kvůli 1.Newtonovu zákonu V potenciální energii V už ψ E r, t není vlastní funkce hybnosti, protože i klasicky se hybnost mění během pohybu

34 Vlastní stav energie je stacionární (ať je částice volná nebo ne): Měřitelné veličiny se nemění s časem Např. hustota pravděpodobnosti ψ E r, t 2 = ψ E r, t = 0 exp i Et 2 = ψe r, t = 0 2 ħ Místo ψ E r, t = 0 budeme psát prostě ψ E r V čase se mění jenom fáze vlnové funkce exp i ħ Et a ta má absolutní hodnotu rovnou jedné, jako v RLC obvodech Tato fáze nezmění ani další měřitelné veličiny Hustota pravděpodobnosti zůstává stejná

35 Dvě zvláštnosti vlastních hodnot a vlastních funkcí energie oproti klasické mechanice 1. Při uvěznění v prostoru může mít energie částice jen určité diskrétní hodnoty Klasicky může mít jakékoliv 2. Částice může projít (protunelovat) potenciálovou barierou Klasicky nemůže Na obojí se podíváme v detailu Obojí má aplikace

36 Částice uvězněná v prostoru Jak uvězníme částici v prostoru? Silou F z obou stran: (pro pohyb v přímce) V F F V Odpovídající potenciální energie V: nalevo klesá, napravo stoupá Má tvar jámy

37 Potenciálová jáma Dovolené hodnoty energie Vázané stavy mají diskrétní hodnoty energie

38 Nejjednodušší případ: Nekonečná hranatá jáma částice je volná v intervalu od 0 do L, na krajích jsou nepropustné stěny Tady jen naznačíme řešení (v podstatě jako ve staré kvantové mechanice), pořádně uděláme na cvičení Vztah hybnost-vlnová délka p = 2πħ λ Podmínka přípustnosti L = n λ 2 n = 1,2,3, Odtud diskrétní energie E = p2 2m = 4π2 ħ 2 2mλ 2 = n2 π 2 ħ 2 2mL 2 Příslušné vlastní funkce ψ x = A sin px ħ = A sin nπx L

39 Stavy jsou dané počtem vlnek, jako na pomyslné drátěné smyčce v Bohrově modelu, nebo spíš jako stojaté vlny na struně proto tady to jsou vlastně půlvny Stav s nejnižší energií, tzv. základní stav, má jednu půlvlnu Na rozdíl od klasické mechaniky nemá nulovou energii! To je důsledek relace neurčitosti: Nulová energie by znamenala nulová hybnost, tj. nulová neurčitost hybnosti Té by ale odpovídala nekonečná neurčitost polohy Ale neurčitost je konečná, daná šířkou jámy

40 Harmonický oscilátor jako další příklad potenciálové jámy Nejprve klasický harmonický oscilátor pro získání potenciální energie: Konstanta pružnosti k: F x = kx Obecně vyjádření síly pomocí potenciální energie: F x = dv x dx V x = F x dx Pro harmonický oscilátor V x = kx dx = k x2 2 parabola Vyjádření pomocí úhlové frekvence oscilací ω 2 = k m V x = 1 2 mω2 x 2

41 Bezčasová Schrodingerova rovnice ħ2 d 2 2m dx mω2 x 2 ψ E x = Eψ E x Harmonický oscilátor je velmi důležitý systém, tak si s ním trochu pohrajeme Důležitý jednak ze stejného důvodu jako v klasické mechanice harmonický pohyb je dostatečně blízko stabilní rovnováhy ale též z více fundamentálních důvodů, které pochopíme, až bezčasovou Schrodingerovu rovnici vyřešíme Tím zároveň vyřešíme jeden případ Schrodingerovy rovnice, kdy potenciál není konstantní (aspoň po částech) A když už jeden, tak aspoň důležitý Při řešení navíc použijeme dvě obecně užitečné strategie: -Zavedení bezrozměrné veličiny -Chování v limitních hodnotách Teď přijde trochu víc matematiky

42 V bezčasové Schrodingerově rovnici: První člen má x 2 v čitateli, druhý ve jmenovateli, a také m, takže budeme chtít vytknout 1, ħ, ω, aby všechno, 2 co je v prvním členu v čitateli, bylo v druhém ve jmenovateli a naopak: ħω 1 2 ħ d 2 mω dx 2 + mω ħ x2 ψ E x = Eψ E x Poznáváme vytknutou energii ħω, kterou jsme potkali už ve staré kvantové mechanice pro energii kvanta světla Za chvíli uvidíme, že to není náhoda ħ mω má rozměr kvadrátu délky, která má fyzikální interpretaci: Až na faktor ½ je to délka l, na níž je potenciální energie rovna ħω mω 2 l 2 = ħω. l = ħ mω

43 Ještě převedeme výraz před závorkou na levé straně na pravou stranu a dostaneme l 2 d2 dx 2 + x2 l 2 ψ E x = 2E ħω ψ E x Takže si zvolíme l jako jednotku délky, tj. budeme psát x = ξl kde ξ je bezrozměrné Pak ξ = x l a pravidlo o derivaci složené funkce dá d dξ ψ = dx dx d dξ ψ = 1 l d d ψ l dξ dx ψ = d ψ d2 l2 dξ dx 2 ψ = d2 dξ 2 ψ Takže bezčasová Schrodingerova rovnice v bezrozměrné proměnné ξ bude mít tvar

44 d2 dξ 2 + ξ2 ψ E ξ = 2E ħω ψ E ξ Jak ji vyřešit? kde teď i vlastní funkci ψ E píšeme jako funkci bezrozměrné proměnné ξ Nejdříve se podíváme na chování pro hodně velká ξ Potom ξ 2 2E ħω takže pravou stranu zanedbáme a dostaneme d 2 dξ 2 ψ E ξ ξ 2 ψ E ξ Odtud dostáváme, zase pro velká ξ d dξ ψ E ξ ±ξψ E ξ protože pak d 2 dξ 2 ψ E ξ ± d dξ ξψ E ξ a odtud

45 pravidlo pro derivování součinu dá d dξ ξψ E ξ = dξ dξ ψ E ξ + ξ dψ E ξ dξ ψ E ξ ± ξ 2 ψ E ξ 1 d dξ ψ E ξ ±ξψ E ξ kde zase zanedbáme první člen vůči druhému Takže řešíme rovnici d dξ ψ E ξ = ±ξψ E ξ dψ E ξ ψ E ξ = ±ξdξ ln ψ E ξ = C ± ξ2 2 ψ E ξ = Aexp ± ξ2 2 separace proměnných integrace exp Stejná funkce jako v Maxwellově rozdělení a v řešení rovnice difuze.

46 Hustota pravděpodobnosti nalezení částice v místě x = ξl ψ E ξ 2 = A 2 exp ±ξ 2 tj. pravděpodobnost, že se částice nachází mezi x a x + dx je ψ E ξ 2 dx = A 2 exp ±ξ 2 dx Jako v Maxwellově rozdělení zvolíme znaménko mínus, aby pravděpodobnost se dala normovat, tj. aby se dalo zvolit A tak, aby pravděpodobnost, že částice někde je, byla jistota 1 = ψ E ξ 2 dx = A 2 exp ξ 2 dx = A 2 l exp ξ 2 dξ = A 2 l π x = lξ dx = ldξ viz výpočet integrálu pro Maxwellovo rozdělení Odsud amplituda A = 1 l π

47 Zjistili jsme, že funkce ψ E ξ = Aexp ξ2 2 je dobrým přiblížením pro velká ξ Tak ji zkusíme dosadit do Schrodingerovy rovnice přesně pro všechna ξ, takže všude budou přesná rovnítka d2 dξ 2 + ξ2 ψ E ξ = 2E ħω ψ E ξ Nejdřív derivace d dξ Aexp ξ2 2 = Aexp ξ2 2 d dξ ξ2 2 = Aexp ξ2 2 ξ Derivace složené funkce: v argumentu exp je teď kvadratická funkce takže jen o trošku složitější, než když tam před tím byla lineární Odtud vidíme, že ψ E ξ = Aexp ξ2 2 splňuje předchozí rovnici d dξ ψ E ξ Odtud bude přesný i předchozí výpočet druhé derivace (vynásobené mínus jedničkou pro dosazení do Schrodingerovy rovnice) = ξψ E ξ přesně d2 dξ 2 ψ E ξ = d dξ ξψ E ξ = ψ E ξ ξ 2 ψ E ξ Při dosazení do Schrodingerovy rovnice se odečtou členy s ξ 2 a zůstanou ty dva členy, které jsme předtím zanedbali:

48 ψ E ξ = 2E ħω ψ E ξ Tím jsme zjistili, že ψ E ξ = Aexp ξ2 je nejen 2 dobrým přiblížením k vlastnímu stavu pro velká ξ, ale že to je dokonce přesně vlastní stav. Navíc dostáváme hodnotu jeho energie: po zkrácení nenulového ψ E ξ na obou stranách 2E ħω = 1 E = 1 2 ħω Vlnová funkce ψ E ξ = Aexp ξ2 2 má tvar zvonové Gaussovy křivky Je to základní stav, podobně jako jedna půlvlna v nekonečné jámě Opět nemá nulovou energii, jako v nekonečné jámě a opět je to kvůli relacím neurčitosti Na cvičení uvidíme, že z relací neurčitosti se dá přímo energie základního stavu získat (také pro atom vodíku, jak už jsme říkali)

49 Jak dostaneme vyšší stavy? Potřebujeme další vlnky. Ty zařídíme vynásobením polynomy, tzv. Hermiteovými polynomy Stupeň polynomu dá počet vlnek (počet průsečíků s osou x) Vlastní funkce: ψ = H n ξ exp ξ2 2 Jim odpovídající energie E n = ħω n přirůstají o ħω nad energii základního stavu 1 2 ħω jak už předpokládal Planck pro fotony, tj. kvantované harmonické oscilace elektromagnetického pole Obecně jakékoliv částice zvané bosony (viz dále) jsou kvantované harmonické oscilace nějakého pole Toto je ten zmíněný fundamentální důvod, proč je harmonický oscilátor tak důležitý

50 Výsledné vlnové funkce několika nejnižších stavů H 0 (y) = 1, H 1 (y) = y, H 2 (y) = 4y 2 2, H 3 (y) = 8y 3 12y

51 APLIKACE uvěznění částice v prostoru: STRUKTURA ATOMU STRUKTURA MOLEKULY STRUKTURA JÁDRA NÍŽE

52 Tunelování v kvantové mechanice Nejprve připomeneme pohyb klasické částice v potenciální energii E = p2 2m + V x p = ± 2m E V x E V x bod obratu kde E = V x --tam se částice zastaví a vrátí se zpátky Dál nemůže, musela by mít zápornou kinetickou energii a tím pádem imaginární hybnost x Oblasti, kde E < V x se proto říká klasicky zakázaná oblast (pro energii E)

53 Kvantově mechanicky, pokud je V x nula nebo konstanta V, pak vlnová funkce je rovinná vlna ψ x = exp ± i ħ px = exp ± i x 2m E V ħ Na cvičení budeme počítat potenciálový schod, tj. tam budou dvě různé konstanty Pokud je V konstanta, pak x 2m E V = dx 2m E V Ale pokud se V x pomalu mění, bude v dobrém přiblížení platit ψ x exp ± i ħ dx 2m E V x i když se V x mění v prostoru Co v klasicky zakázané oblasti? 2m E V x = ±i 2m V x E tj. hybnost tam je skutečně imaginární, ale pro vlnovou funkci to není problém: jen to znamená, že z komplexní exponenciály se naopak stane reálná ψ x exp ± 1 ħ dx 2m V x E

54 To souhlasí s naším výsledkem pro harmonický oscilátor: pokud opět zanedbáme E pro velká x, pak dx 2m V x E dx 2mV x = dx 2m 1 2 mω2 x 2 = dxmωx = mω x2 2 A tudíž ψ x exp ± 1 ħ mω x2 2 x2 = exp ± 2l 2 = exp ± ξ2 2 To souhlasí s předchozím výpočtem a zároveň vidíme, že máme vzít znaménko, které dá exponenciální pokles Pravděpodobnost je daná kvadrátem vlnové funkce, tj ψ x 2 exp 2 ħ dx 2m V x E

55 Odtud dostaneme pravděpodobnost tunelování a b E V(x) Když označíme body obratu na hranicích klasicky nedostupné oblasti jako a, b, pak pravděpodobnost tunelování je exp 2 ħ a b dx 2m V x E

56 Vlnový popis: Dopadající vlna Prošlá vlna Odražená vlna ČÁSTICE MŮŽE PROJÍT I PŘI NEDOSTATEČNÉ ENERGII. TUNELOVÝ JEV

57 Numerické odhady pravděpodobnosti tunelování Pro jednoduchost budeme předpokládat, že v klasicky nedostupné oblasti má bariera konstantní výšku nad energií částice E B = V x E 2 ħ a b dx 2m V x E = 2 2π h 2mE B b a = 4π L λ kde λ je de Broglieho vlnová délka, kterou jsme počítali už ve staré kvantové mechanice a L b a je šířka bariery Pro elektron s výškou bariery 1eV tak dostáváme, že pravděpodobnost tunelování je exp 4π L 1nm Odtud vidíme, že pravděpodobnost tunelování je ~1 pro L~1A, tj. velikost atomu. A taky že jo, to je taky řádově vzdálenost vázaných atomů, a proto elektrony vytvářejí vazby mezi atomy zhruba téhle velikosti podrobněji viz dále Pro vzdálenost řádu 1nm je pravděpodobnost řádu exp Výrazně menší než 1, ale i tak může mnoho elektronů projít, pokud jich to mnoho zkouší To se děje v tunelovacím mikroskopu tunelovací proud dán pravděpodobností tunelování

58 STM I exp 4π L λ Profil ze závislosti I na L nebo zpětnou vazbou na I = konst Rozlišení desetiny nm Jednotlivé atomy se dají vidět, ale taky je možno s nimi hýbat:

59 Xe na Ni (110) Cs a I na Cu (111) CO na Pt (111) C 60 na Cu Fe na Cu (111)

60 Náš příklad s člověkem: m 80kg Pravděpodobnost, že protuneluje zdí o 1m vyšší než on a tlusté 10cm Výška potenciálové bariery mgh 80kg 10ms 2 1m=800J λ π 13,6 1, A = ,6 1,6 = π A m 8 Takže pravděpodobnost exp 4π L λ exp 4π 0, exp je zhruba 0, pak nul a pak jednička

61 Orbitální moment hybnosti veličina důležitá pro rotační pohyb Do klasické mechaniky přišel prostřednictvím 2. Keplerova zákona Plocha opsaná za jednotku času je mu úměrná. Plocha trojúhelníka je dána vektorovým součinem Odtud vektorový součin v definici L = r p Přirozeně se objevil v Bohrově modelu atomu jako rp, protože nás zajímala jen velikost a pro kruhovou dráhu jsou vektory r a p na sebe kolmé a tím velikost vektorového součinu je součin jejich velikostí

62 Orbitální moment hybnosti v kvantové mechanice z operátoru polohy a hybnosti stejným předpisem jako v klasické mechanice L = r p tj. ve složkách L x = yp z z p y a ostatní složky cyklickou záměnou xyz Kvůli tomu, že nekomutují operátory polohy a hybnosti v témže směru, nekomutují ani složky momentu hybnosti L x L y L y L x = iħl z a další dva vztahy cyklickou záměnou Tyhle komutační vztahy se přímočaře ale trochu zdlouhavě dostanou z komutačních vztahů pro operátory polohy a hybnosti Ale s libovolnou složkou komutuje operátor kvadrátu velikosti momentu hybnosti L 2 = L x 2 + Ly 2 + Lz 2 Proto je možné současně měřit kvadrát velikosti momentu hybnosti a jednu jeho složku

63 To, že moment hybnosti je spojen s rotačním pohybem taky v kvantové mechanice je nejlépe vidět, když od kartézských souřadnic x, y, z přejdeme ke sférickým souřadnicím r, θ, φ Pak všechny tři složky momentu hybnosti závisejí jen na úhlových proměnných θ, φ, ne na radiální proměnné r. Nejjednodušší tvar má složka L z = iħ φ Proto se nejčastěji studuje právě tahle složka Podobnost s operátorem hybnosti ve směru x: p x = iħ x Moment hybnosti je angular momentum, угловый момент, tj. úhlová hybnost

64 Vlastní stavy: Viděli jsme, že rovinná vlna exp i ħ p xx je vlastní stav operátoru p x s vlastní hodnotou p x Analogicky úhlová rovinná vlna exp i ħ L zφ je vlastní stav operátoru L z s vlastní hodnotou L z Když úhel φ změníme o 360 tj. o 2π radiánů, dostaneme tentýž směr, tj. exp i ħ L z φ + 2π = exp i ħ L zφ tj. exp i ħ L z2π = 1 tj. tj. L z 2π ħ = 2πm, m = 0, ±1, ±2, L z = 0, ±ħ, ±2ħ, Tady m je od slova magnetický (ne od slova hmotnost=mass), protože se projeví v magnetickém poli viz magnetická rezonance za chvíli Stará kvantová mechanika dala Bohrův výsledek: moment hybnosti je celočíselný násobek ħ Moderní kvantová mechanika dává podobný výsledek: velikost jedné složky momentu hybnosti je celočíselný násobek ħ. Obě znaménka znamenají, že může směřovat nahoru i dolu.

65 Už jsme řekli, že zároveň s jednou složkou momentu hybnosti můžeme měřit kvadrát jeho velikosti Ten má ve sférických souřadnicích tvar: L 2 = ħ 2 1 sin θ sin θ θ θ + 1 sin 2 θ φ 2 Kdyby tam nebyly ty siny, tak je to součet dvou druhých derivací, čili něco jako ħ 2 krát Laplacián, tj. operátor kvadrátu velikosti hybnosti: 2 p 2 = p x 2 + p x 2 + p x 2 = ħ 2 2 x y z 2 Skutečně tento operátor v sférických souřadnicích má tvar p 2 = ħ 2 1 r 2 r 2 r + 1 r 2 1 sin θ θ sin θ θ + 1 sin 2 θ 2 φ 2 = ħ 2 1 r 2 L2 r + r2 r 2 Takže podobně jako v klasické mechanice, pohyb se dá rozložit do radiálního a úhlového směru K tomuto se vrátíme při použití kvantové mechaniky na atom

66 Společné vlastní funkce kvadrátu velikosti momentu hybnosti a z-ové složky: Už známe jejich závislost na φ: exp i ħ L zφ = exp imφ takže φ 2 exp imφ = im exp imφ φ2 exp imφ = m2 exp imφ L 2 = ħ 2 1 sin θ sin θ θ θ + 1 sin 2 θ 2 φ 2 ħ 2 1 sin θ d d sin θ dθ dθ m2 sin 2 θ Z parciální derivace se stala obyčejná, protože už máme jenom jednu proměnnou θ.

67 Už v 18. století přišel Legendre na to, že existují funkce, tzv. přidružené Legendreovy polynomy P l m x, kde l m 0 jsou celá čísla, splňující d dx 1 x 2 d dx P l m x + l l + 1 m2 1 x 2 P l m x = 0 Položíme x = cos θ dx = sin θ dθ ; 1 x 2 = sin 2 θ Dosazení: d sin θ dθ sin2 θ d sin θ dθ P l m cos θ + l l + 1 m2 sin 2 θ P l m cos θ = 0 Toto můžeme vynásobit ħ 2 a přepsat na ħ 2 1 sin θ d d sin θ dθ dθ m2 sin 2 θ P l m cos θ = ħ 2 l l + 1 P l m cos θ Jsou to polynomy v sinech a kosinech, několik za chvíli u grafů Pro dané l a rostoucí m ubývají kosiny a přibývají siny

68 Vidíme, že tzv. sférická funkce Y l,m θ, φ = NP m l cos θ exp imφ kde N je normovací konstanta, kterou v dalším vynecháme je společným vlastním stavem operátorů L 2 s vlastní hodnotou l l + 1 ħ 2 a L z s vlastní hodnotou mħ Tady l, m jsou celá čísla, která splňují l 0, l m l tj. k danému l je 2l + 1 hodnot m Vidíme další projev relací neurčitosti: i při maximálním m = l je vlastní hodnota L z 2, tj. l 2 ħ 2, menší než vlastní hodnota L 2, tj. l l + 1 ħ 2. Kdyby byly stejné, pak by ostatní dvě složky momentu hybnosti byly nulové, tj. všechny tři složky by byly určené Pak by vlastní stav s m = l nebo m = l byl také vlastním stavem L x a L y s vlastní hodnotou 0 Ale dříve uvedené komutační relace L x L y L y L x = iħl z říkají, že tři složky momentu hybnosti nemají žádné společné vlastní vektory

69 Jak je znázornit do grafu? Jedna možnost: v každém směru daném úhly θ, φ vynést velikost Y l,m θ, φ Tím dostaneme tvary orbitálů, co jsme potkali v chemii (též v záření anténa a v akustice) Tam jsme také potkali označení l písmeny s, p, d, f, pro l = 0,1,2,3, - s Y 0,0 = 1 Y 1,0 = cos θ; Y 1,1 = sin θ exp iφ - p - d Y 2,0 = 3 cos 2 θ 1; Y 2,1 = cos θ sin θ exp iφ ; Y 2,2 = sin 2 θ exp 2iφ Kosiny: protáhlé nahoru-dolu, siny: protáhlé do stran

70 Jiná možnost: hodnotu v daném směru zobrazíme barvou na sféře v tom směru

71 Spin: vlastní moment hybnosti Populární představa rozšiřuje planetární model atomu Planeta se otáčí kolem Slunce=má orbitální moment hybnosti a kolem své osy=má vlastní moment hybnosti Tahle představa funguje jen do určité míry elektron je bod, takže se kolem své osy nemůže otáčet

72 V každém případě spin je veličina, takže v kvantové mechanice je jí přiřazen operátor Je to vektorová veličina, takže operátory jsou tři pro tři složky Označují se S x, S y, S z a splňujou přesně stejný komutační vztah jako složky orbitálního momentu hybnosti S x S y S y S x = iħs z Odtud zase plyne, že kvadrát velikosti spinu S 2 = S x 2 + Sy 2 + Sz 2 komutuje s každou jeho složkou, takže je možné najít společné vlastní stavy operátorů S 2 a S z s vlastními hodnotami ħ 2 S S + 1 pro S 2 a ħs z pro S z Přičemž opět S S z S tj. zase máme 2S + 1 stavů pro danou hodnotu S

73 Dva rozdíly oproti orbitálnímu momentu hybnosti: 1. Pro spin už nutně nepožadujeme, aby S bylo celé číslo. Celočíselný musí být jen počet stavů tj. 2S + 1 Takže máme S = 0, 1 2, 1, 3 2, 2, 5 2, 3, tj. kromě celých hodnot taky polocelé 2. Hodnota S je pro danou částici neměnná (další rozdíl oproti rotaci planety kolem své osy) Kolik to je? Pro základní částice přírody (podrobněji později) to je jedna z jenom tří nejnižších hodnot: S = 0 pouze pro jedinou částici, a to poslední objevenou Higgsův boson S = 1/2 pro elektron, neutrino a jim podobné částice (leptony) a pro kvarky S = 1 pro foton a jemu podobné částice (W,Z, gluony)

74 Rozdíl č. 2 má důležitý důsledek: vlnová funkce částice se spinem bude kromě prostorové závislosti obsahovat taky spinovou závislost, ale jen na z-ové složce Takže v daném časovém okamžiku bude mít tvar ψ r, S z Tady S z nabývá jen konečně mnoha hodnot, konkrétně 2S + 1 takže na rozdíl od spojité proměnné r je spinová proměnná S z diskrétní Takže např. pro důležitý případ nejnižšího nenulového spinu, tj. spinu ½, máme vlastně dvě vlnové funkce ψ r, 1 2 ; ψ r, 1 2 které můžeme přehledně uspořádat do sloupcového vektoru ψ r, 1 2 ψ r, 1 2

75 Pokud prostorový pohyb a spin jsou na sobě nezávislé, pak je stejná funkce v obou políčkách, až na konstantu, tj ψ r, 1 2 ψ r, 1 2 = ψ r α β V tom případě je chování samotného spinu dáno vektorem α β tj. dvěma čísly Naopak prostorový pohyb je dán nekonečně mnoha čísly: ψ r v každém bodě prostoru r nebo, ekvivalentně, nekonečně mnoha vahami rovinných vln ve Fourierově rozvoji tj. rozvoji do vlastních funkcí operátoru hybnosti nebo nekonečně mnoha vahami v rozvoji do vlastních funkcí jiného operátoru, třeba Hamiltoniánu

76 Spinové operátory pak budou matice Z lineární algebry víme, že matice splňují vlastnosti operátorů, které jsme tady potkali: Mají vlastní čísla a vlastní vektory a obecně nekomutují v součinu Takže ty operátory, které jsme už potkali, tj. poloha, hybnost, energie, moment hybnosti je naopak možné chápat jako nekonečně rozměrné matice působící na nekonečně rozměrné vektory ψ r Heisenberg (1926) formuloval kvantovou mechaniku pomocí matic (které tím sám nezávisle zavedl) Dirac (1927) ukázal, že obě formulace jsou ekvivalentní

77 Konkrétně pro spin ½ matice budou mít velikost 2 2 Např. To říká, že 1 0 S z = ħ je vlastní vektor operátoru S z s vlastní hodnotou ħ/2, tj. v tomto stavu má z-ová složka spinu hodnotu ħ/2 Podobně 0 1 V obecném stavu α β je vlastní vektor operátoru S z s vlastní hodnotou ħ/2, tj. v tomto stavu má z-ová složka spinu hodnotu ħ/2 není daná hodnota S z Jediné, co víme, je, že když budeme měřit S z, pak s pravděpodobností α 2 naměříme ħ/2 a s pravděpodobností β 2 naměříme ħ/2 Normovací podmínka, že s jistotou má S z jednu z možných hodnot, je α 2 + β 2 = 1 což je obdoba dřívější podmínky ψ r, t 2 dv + Pro diskrétní proměnnou máme pravděpodobnost, pro spojitou máme hustotu pravděpodobnosti = 1

78 Pokud rotační pohyb vykonává nabitá částice, pak vytváří magnetický moment Pro elektron s nábojem e na kruhové dráze o poloměru r a dobou oběhu T klasicky dostaneme μ = IS = e T πr2 = e 2πr rm 2m e e T = e 2m e rm e v = e 2m e L Takže magnetický moment je úměrný momentu hybnosti a konstanta úměrnosti je polovina měrného náboje, který jsme potkali v Thomsonově experimentu Tento vztah platí i v kvantové mechanice a to jak pro orbitální moment hybnosti tak pro spin (tam je navíc faktor 2) Pak je to vztah mezi operátory magnetického momentu a momentu hybnosti Taky platí pro nukleony v jádře a pro celé jádro Jelikož moment hybnosti je násobek ħ, je magnetický moment násobek tzv. Bohrova magnetonu μ B = eħ 2m e 0, Am 2

79 Energie magnetického momentu v magnetickém poli je klasicky E = μ B Proto funguje kompas Tento vztah platí taky kvantově, tj. pro operátor magnetického momentu a tím získáme operátor magnetické energie (magnetický Hamiltonián) H mag = μ B Pro magnetický moment orbitálního pohybu elektronu μ = e 2m e L takže H mag = e 2m e L B Je výhodné zvolit osu z jako směr magnetického pole, protože pak H mag = e 2m e L z B s vlastními hodnotami e 2m e mb danými vlastními hodnotami operátoru L z, tj. m. Proto se mu říká magnetické kvantové číslo, jak už víme

80 Pokud magnetický moment pochází od spinu ½, pak magnetický Hamiltonián má jenom dvě vlastní hodnoty ±μb které pocházejí od dvou možných hodnot spinu ve směru magnetického pole Odtud rozdíl těchto dvou energií je 2μB Takže tento magnetický moment může absorbovat elektromagnetické záření o frekvenci splňující tutéž podmínku jako je podmínka pro přeskoky elektronu mezi energetickými hladinami v atomu ħω = 2μB

81 MAGNETICKÁ REZONANCE EPR 28 B GHz RADIKÁLY, PŘENOS NÁBOJE NMR 42.5 B MHz CHEMIE, STRUKTURA

82 ABSORPCE JE ÚMĚRNÁ KONCENTRACI JADER. OČÍSLUJEME-LI NĚJAK BODY VZORKU, MŮŽEME ZJISTIT KOLIK DANÝCH JADER JE V DANÉM MÍSTĚ. METODA ČÍSLOVÁNÍ : LINEÁRNÉ ROSTOUCÍ MAGNETICKÉ POLE + SKANOVÁNÍ + MATEMATIKA + POČÍTAČ = ZOBRAZOVÁNÍ POMOCÍ MAGNETICKÉ REZONANCE (MRI)

83 Pro lepší pochopení maticové formulace kvantové mechaniky: Úloha nalezení rezonanční frekvence LC obvodu, která přirozeně přejde na úlohu najít vlastní čísla matice

84 Z Kirchhoffova zákona pro smyčky dostaneme dvě rovnice LI1 + Q 1 C Q 3 C = 0 LI2 + Q 2 C Q 3 C = 0 Navíc platí vztahy mezi proudy a náboji, tj. rovnice kontinuity na každém kondenzátoru I n = Q n pro n = 1,2,3 Celková neutralita: Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0 Derivace podmínky celkové neutrality s využitím rovnic kontinuity na kondenzátorech dá Kirchhoffův zákon pro uzly A,B: I 1 + I 2 + I 3 = 0

85 Pomocí nábojů Q 1 a Q 2 vyjádříme náboj Q 3 a jejich derivace dosadíme za proudy I 1 a I 2 Dostaneme soustavu dvou diferenciálních rovnic druhého řádu: LQ 1 + Q 1 C + Q 1 + Q 2 C LQ 2 + Q 2 C + Q 1 + Q 2 C = 0 = 0 Tuhle soustavu můžeme přehledně přepsat v maticovém tvaru zavedením sloupcového vektoru Q 1 Q 2 Pak: L d2 dt 2 Q 1 Q 2 = 1 C + 1 C 1 C 1 C 1 C + 1 C Q 1 Q 2 Pro přehlednost zápisu jsem nepsal časovou závislost, správně by mělo být Q 1 t Q 2 t

86 Hledáme vlastní frekvence oscilačního obvodu, tj. hodnoty ω, pro něž Q 1 t Q 2 t = Q 1,0 Q 2,0 exp iωt je řešením soustavy diferenciálních rovnic Znaménko mínus v exponenciále jsem zvolil pro podobnost s kvantovou mechanikou využijeme toho, že d 2 dt 2 Q 1 t Q 2 t = Q 1,0 Q 2,0 d 2 dt 2 exp iωt = ω2 Q 1,0 Q 2,0 exp iωt takže musí platit Lω 2 Q 1,0 Q 2,0 = 1 C + 1 C 1 C 1 C 1 C + 1 C Q 1,0 Q 2,0 tj. Lω 2 musí být vlastní číslo matice 1 C + 1 C 1 C 1 C 1 C + 1 C Převedení levé strany na pravou dá

87 1 C + 1 C 1 C 1 C 1 C + 1 C Lω 2 Q 1,0 Q 2,0 = 0 neboli 1 C + 1 C 1 Lω2 C 1 C 1 C + 1 C Lω2 Q 1,0 Q 2,0 = 0 K tomu musí být determinant matice rovný nule: 1 C + 1 C 1 Lω2 C 1 1 C C + 1 C Lω2 det 1 C + 1 C 1 Lω2 C 1 1 C C + 1 = C Lω2 1 C + 1 C Lω C = 0

88 Lω 2 1 C + 1 C = ± 1 C Dvě řešení: ω 1 2 = 1 LC ω 2 2 = 1 LC + 2 LC Vlastní vektor pro první (nižší) frekvenci: 1 C 1 C 1 C 1 C Q 1,0 Q 2,0 = 0 Q 1,0 Q 2,0 = 1 1 Antisymetrický mod: v prostředním vodiči č.3 jdou proudy proti sobě a odečtou se. takže prostřední kondenzátor C nehraje žádnou roli Takže to můžem chápat jako dva nezávislé oscilátory s indukčností L a kapacitou C nebo jako jeden bez prostředního vodiče č. 3, kde jsou dvě cívky a dva kondenzátory v serii s celkovou indukčností 2L a celkovou kapacitou C/2 V každém případě pro vlastní frekvenci platí ω 1 2 = 1 LC :

89 Vlastní vektor pro druhou (vyšší) frekvenci: 1 C 1 C 1 C 1 C Q 1,0 Q 2,0 = 0 Q 1,0 Q 2,0 = 1 1 Symetrický mod: v prostředním vodiči č.3 jdou proudy spolu a sečtou se. Tím se uplatní kapacita C, přesněji její převrácená hodnota 1/C, což zvýší frekvenci oproti asymetrickému modu Každá polovina obvodu tak dostane navíc C /2 do serie s C, takže celková převrácená hodnota kapacity je 1/C + 2/C a tím ω 2 2 = 1 LC + 2 LC

90 Pro srovnání s vázanými stavy v potenciálové jámě dáme do sloupcového vektoru taky prostřední náboj který dostaneme z podmínky celkové neutrality Q 1,0 + Q 2,0 + Q 3,0 = 0 Q 1,0 Q 3,0 Q 2,0 = = Q 1,0 Q 3,0 Q 2,0 = = nemůže být kvůli celkové neutralitě: součet tří kladných čísel nemůže dát nulu

91 Více částic Doposud jsme měli jenom jednu částici. Co když jich je víc? Pak všechny dohromady mají jednu vlnovou funkci Tak např. dvě částice ψ r 1, S z,1, r 2, S z,2 Potom ψ r 1, S z,1, r 2, S z,2 2 dv1 dv 2 je pravděpodobnost, že najdeme první částici v objemu dv 1 okolo bodu r 1 se z-ovou složkou spinu rovnou S z,1 a druhou částici v objemu dv 2 okolo bodu r 2 se z-ovou složkou spinu rovnou S z,2 Podobně vlnová funkce pro tři částice je ψ r 1, S z,1, r 2, S z,2, r 3, S z,3 atd.

92 Částice stejného druhu jsou v kvantové mechanice nerozlišitelné Co to znamená? Musí být popsané takovou vlnovou funkcí, aby při záměně částic popisovala vlnová funkce tentýž stav Protože provedení této záměny dvakrát za sebou vrátí původní funkci, jsou dvě možnosti, co udělá záměna s vlnovou funkcí: Může ji nechat stejnou, nebo může přidat znaménko mínus Jinými slovy funkce je symetrická nebo antisymetrická vůči záměně dvou částic V prvním případě se částicím říká bosony, ve druhém fermiony: ψ b r 2, S z,2, r 1, S z,1 = ψ b r 1, S z,1, r 2, S z,2 ψ f r 2, S z,2, r 1, S z,1 = ψ f r 1, S z,1, r 2, S z,2 Souvislost se spinem: bosony mají celočíselný spin, fermiony mají polocelý spin (Pauli, 1940) Pro více než dvě částice je celková vlnová funkce symetrická při záměně jakýchkoliv dvou, když částice jsou bosony antisymetrická při záměně jakýchkoliv dvou, když jsou fermiony

93 Pokud prostorový pohyb je nezávislý na spinu, pak opět celková vlnová funkce je součinem prostorové a spinové části a každá z nich je symetrická nebo antisymetrická tak, aby celková funkce byla symetrická pro bosony a antisymetrická pro fermiony. Tyto dvoučásticové stavy je možné vytvořit z jednočásticových, např. ze stavů v jednorozměrné nekonečné hranaté jámě, kterou jsme už potkali dříve symetrický sin nπx L Pro jednoduchost vezmeme L = π Např. z 1. a 3. stavu dostaneme antisymetrický sin x 1 sin 3x 2 sin 3x 1 sin x 2 sin x 1 sin 3x 2 + sin 3x 1 sin x 2

94 Odtud vidíme, že antisymetrická vlnová funkce vytvořená ze dvou identických funkcí je identicky nula: ψ r 1 ψ r 2 ψ r 2 ψ r 1 = 0 pro stejnou funkci ψ Takže dva fermiony nemůžou být ve stejném stavu Pauliho vylučovací princip Hraje zásadní roli pro strukturu atomů, molekul, pevných látek a jader, jak uvidíme Ovšem antisymetrii může v tomhle případě zařídit spinová část ψ r 1 ψ r Často se zavádí názorné označení 1 0 ; 0 1 Takže pak tento stav je ψ r 1 ψ r To nás učili v chemii: do jednoho chlívečku můžou přijít dva elektrony, ale s opačným spinem

95 STRUKTURA KVANTOVÉ TEORIE ( SOUHRN ) STAV : VLNOVÁ FUNKCE SYSTÉMU, V BOSONECH SYMETRICKÁ, V FERMIONECH ANTISYMETRICKÁ POZOROVATELNÉ ( MĚŘENÉ VELIČINY ) : ZOBRAZOVANÉ OPERÁTORY

96 VÝSLEDKY MĚŘENÍ URČENY VLASTNÍMI HODNOTAMI OPERÁTORU PŘÍSLUŠNÉMU DANÉ VELIČINĚ Aˆ a PRAVDĚPODOBNOSTI VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ URČENY VLNOVOU FUNKCÍ SYSTÉMU SPECIÁLNĚ PRAVDĚPODOBNOST NALEZENÍ V OBJEMU dv JE DÁNA (x, y, z, t) 2 dv

97 ČASOVÝ VÝVOJ JE POPSÁN SCHRÖDINGEROVOU ROVNICÍ iħ t ψ r, t = Hψ r, t STACIONÁRNÍ STAV URČUJE BEZČASOVÁ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE = ROVNICE PRO VLASTNÍ HODNOTY ENERGIE Hˆ E