D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1. D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1]

Transkript

1 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1 D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1] Tvarovou amplitudu mnohostěnu 177) trojrozměrného tělesa V S X) = A exp ikx x) d x, 1) V lze Abbeovou transformací 11.1) vyjádřit plošným integrálem přes povrch S tělesa: S X) = A i kx exp ikx x) X N ds. ) N značí jednotkovou vnější normálu k povrchu S. S x x M x O f ) x f O f x 1 0 x Obrázek 1: Ilustrace vztahu ). Je-li tělesem mnohostěn, je účelné vyjádřit tvarovou amplitudu ) ve tvaru součtu příspěvků S f X) jeho stěn. Za tím účelem rozložíme průvodič obecného bodu M f-té stěny P f povrchu x = x O f ) + x f, ) kde x O f ) je průvodič nějakého zvoleného bodu O f ležícího v rovině stěny P f viz obr. 1). Označíme-li N f jednotkovou vnější normálu f-té stěny a má-li mnohostěn F stěn, je tvarová amplituda ) součtem kde a integrál S f X) = A i k S X) = I f X) = A F S f X), 4) X N f X exp ik X x O f ) )I f X) 5) P f exp ik X x f ) d x f ) je dvojrozměrnou tvarovou amplitudou f-té stěny mnohostěnu. Lze jej tedy vyjádřit stejně jako v odst Chceme-li k tomu použít výrazu 11.7), je však třeba mít na zřeteli, že platí X x f = X f x f, 7) kde X f značí složku vektoru X rovnoběžnou se stěnou P f. Splňuje tedy integrand integrálu ) Helmholtzovu rovnici 11.11) s κ = kx f ) = k [ X X N f ) ]. 8)

2 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU Dále je třeba symboly ve 11.7) doplnit indexem f označujícím stěnu, takže t fe značí jednotkový vektor ve směru e-té hrany f-té stěny, L fe a C fe délku a střed této hrany, n fe jednotkovou vnější normálu k e-té hraně ležící v rovině f-té stěny a E f počet hran f-té stěny. Výraz 11.7) aplikovaný na ) má pak tvar I f X) = A i k [X X N ] L fe sinkx t fe L fe /) X nfe f ) kx t fe L fe / E f exp ikx x C fe) f ). 9) Použijeme-li k vyjádření integrálu ) výrazu 11.11), dostaneme I f X) = 1 B 1 π) V f sin t f,v 1, t fv ) X t f,v 1 ) X t fv ) exp ikx ) x V fv). 10) Přitom jsme použili indexu v místo e, abychom naznačili, že se sčítá přes vrcholy. Značí tedy V fv v-tý vrchol f-té stěny, V f počet vrcholů v f-té stěně a t fv = x V f,v+1) x V fv) x V f,v+1) x V fv). 11) Dále je třeba mít na paměti, že okraj stěny tj. růst indexu v) i kladný směr úhlů je orientován proti směru hodinových ručiček, když se pozoruje proti směru stěnové normály N f. Pak také platí N f = t f,v 1 t fv sin t f,v 1, t fv ) 1) Použijeme-li výrazů ) až 1) k úpravě výrazu 5), dostaneme dvě různá vyjádření příspěvku stěn viz odst. D.1), jež jsou východiskem k různým algebraickým výrazům tvarové amplitudy mnohostěnu viz odst. D. až D.). D.1 Příspěvek stěny k tvarové amplitudě Dosazením D9) do D5) se s použitím D) dostane příspěvek f-té stěny k tvarové amplitudě ve tvaru f S f X) = A 1 k X X Nf X X N f ) E f L fe X nfe sink X t fe L fe /) k X t fe L fe / exp ikx ) x C fe), 1) když X ±X N f. Dosazením D1) do D5) a s použitím D) se dostane jiný tvar příspěvku S f X): S f X) = 1 B 1 π) X V f X t f,v 1 t fv X t f,v 1 ) X t fv ) exp ik X x V fv) f ), ) když X t fv 0, v = 1,,..., V f. Je-li vektor X kolmý na stěnu P f, tj. když X = ±X N f, je X x f = 0, takže integrál D) je roven I f = A P f. Kromě toho je X x O f ) = ±Xd f, kde d f je vzdálenost roviny P f od počátku O, k němuž vztahujeme průvodič x. Je tedy pro tento speciální směr proměnné X příspěvek S f X) tvaru když X = ±X N f. S f X) = A i k X N f X P f exp ik X N f d f ) = A ±i kx P f exp±ikxd f ), ) D. Sčítání podle stěn a hran Sečtením příspěvků ve tvaru D.11) dostaneme tvarovou amplitudu mnohostěnu vyjádřenou součtem přes stěny a hrany: S X) = A 1 k X F X N f X X N f ) E f L fe X nfe sink X t fe L fe /) k X t fe L fe / exp ikx x Ce)), 1)

3 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU když X ±X N f. Jednotliví sčítanci tohoto výrazu nezávisejí na orientaci hran t fe. Jestliže přesto specifikujeme orientaci hran, dovolí nám to vyjádřit jednotkové vektory t fe a n fe prostřednictvím stěnových normál Nf. Zvolíme tedy orientaci okraje stěny tak, že při pohledu proti směru vnější stěnové normály N f směřují vektory t fe proti směru oběhu hodinových ručiček srov. obr.). Při této úmluvě má hrana mnohostěnu v sousedních stěnách opačnou orientaci.) Označme N fe jednotlivé vnější normály stěn sousedících s f-tou stěnou. Pak platí t fe = N f N fe N f N fe, ) n fe = t fe N f = N fe N f N fe ) N f N f N fe. ) Obrázek : Orientace vektorů v mnohostěnu. Ve směrech X, které nejsou kolmé ke stěně mnohostěnu, lze tedy počítat tvarovou amplitudu podle vztahu 1). Přitom stačí specifikovat mnohostěn veličinami N f, x Cfe), L fe a N fe. Má-li mnohostěn střed symetrie, stačí počítat přes polovinu stěn: Označíme-li P f+f/ stěnu středově symetrickou se stěnou P f srov. obr. ), platí Nf+F/ = N f. Označíme-li týmž indexem e středově symetrické hrany, je také N f+f/,e = N f,e, takže podle ) a ) je t f+f/,e = t fe, n f+f/,e = n fe. Konečně, vztahujeme-li průvodič x ke středu souměrnosti O mnohostěnu, platí x Cf+F/,e) = x Cfe). V 1) sečteme příspěvky S f a S f+f/ a dostaneme S X) = A k X F X N f X X N f ) E f L fe X nfe sink X t fe L fe /) k X t fe L fe / cos kx ) x C fe), 4) když X ±XN f. Tvarová amplituda 4) mnohostěnu se středovou symetrií je reálnou funkcí. Musí tomu tak být, neboť jde o Fourierovu transformaci reálné středově symetrické funkce. Pro směr X 0 rovnoběžný s normálou N f0 ke stěně P f0 je sčítanec vztahující se v 1) nebo 4) k této straně singulární, neboť X0 X 0 N f0 ) = 0. Musíme jej tedy nahradit výrazem D.1). Má-li mnohostěn dokonce F 0 takových navzájem rovnoběžných) stěn, můžeme počítat tvarovou amplitudu podle vztahu S X 0 ) = A i F 0 X kx0 0 N f0 P f0 exp ikx 0 N f0 d f0 ) 1 F X 0 N f k X f 0 0=1 X0 X 0 N f ) f f 0 E f L fex0 sinkx n 0 t fe L fe /) fe kx exp ik 0 t X 0 x C fe), fe L fe / 5)

4 4 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU když X 0 = ±X 0Nf0. V případě, že mnohostěn má střed symetrie, je tvarová amplituda reálná: S X 0 ) = A 1 kx 0 E f F 0/ f 0=1 P f0 sinkx 0 d f0 ) 1 k X 0 F/ f f 0 L fe sinkx 0Nf0 t fe L fe /) Nf0 n fe cos kx 0Nf0 t fe L fe / N f0 N f 1 N f0 N f ) kx 0Nf0 ) x C fe), ) když X 0 = ±X 0 Nf0. Výhodou výrazů 1) až 4) je, že mají singularity pouze v případě, když vektor X je kolmý k některé stěně a že je lze pro tyto singulární směry nahradit vzorci 5) a ), které se počítají podle téhož schématu. D. Sčítání podle hran Vyjádříme nyní tvarovou amplitudu jako součet příspěvků jednotlivých hran. Na jednotlivé sčítance ve výrazu D.11) pro S f X) můžeme pohlížet jako na příspěvky hran k příspěvku f-té stěny k tvarové amplitudě. Každá hrana ovšem přispívá k tvarové amplitudě prostřednictvím obou sousedních stěn. Ve výrazu D.1) zaměníme pořadí sčítání, tj. budeme nejdříve sčítat podle hran. Orientaci t e zvolíme libovolně. Nyní je ovšem orientace hrany v obou stěnách táž.) Bez ohledu na pořadí tedy označíme indexy 1 a stěny tvořící e-tou hranu a N e1, N e nechť značí jednotkové vnější normály těchto stěn. Dále nechť n e1 a n e jsou jednotkové normály k e-té hraně ležící v rovině 1, resp. a směřující ven z polygonu tvořícího první, resp. druhou stěnu, L e délka e-té hrany, x Ce) polohový vektor jejího středu C e a E počet hran mnohostěnu. Záměnou pořadí sčítání v D.1) dostaneme tvarovou amplitudu vyjádřenou jako součet příspěvků hran: S X) = A 1 k X E L e exp ikx x Ce)) sinkx t e L e /) kx t e L e / [ X n e1 ) X N e1 ) X X N + X n e ) X N e ) e1 ) X X N e ) ], 1) když X ±XN ei, i = 1,. Jednotkové vektory t e, n e1 a n e můžeme vyjádřit prostřednictvím normál N e1 a N e : N t e = e1 N e N e1 N e, ) n e1 = t e N e1 = N e N e1 N e ) N e1 N e1 N e n e = t e N e = N e1 N e1 N e ) N e N e1 N e,. ) K vyjádření tvarové amplitudy 1) tedy stačí veličiny x Ce), L e a N e1, N e. Má-li mnohostěn středovou symetrii, označíme hranu středově symetrickou s e-tou hranou indexem e + E/. Průvodič x vztáhneme ke středu symetrie, takže x C e+e/) = x Ce) a sečteme e-tý sčítanec s e + E/)-tým. Tím dostaneme reálný výraz pro tvarovou amplitudu symetrického mnohostěnu: když X ±X N ei, i = 1,. E/ S X) = A k X L e cos kx x Ce)) sinkx t e L e ) kx t e L e [ X n e1 ) X N e1 ) X X N + X n e ) X N ] e ) e1 ) X X N, 4) e )

5 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 5 Také vzorce 1) a 4) - spolu s ), ) - jsou poměrně vhodné pro numerické počítání, neboť mají jediný typ singularity ve směrech X = ±X N ei kolmých na některou stěnu. Výpočet v těchto singulárních směrech však vyžaduje změnit systém výpočtu a přejít k vzorcům D.15), resp. D.1). D.4 Sčítání podle stěn a vrcholů Sečteme-li příspěvky S f X) stěn ve tvaru D.1), dostaneme pro tvarovou amplitudu výraz S X) = 1 B i π) X F V f X t f,v 1 t fv X t f,v 1 ) X t fv ) exp ikx ) x V fv), 1) když X t fv 0. Přímými charakteristikami stěn jsou však stěnové normály. Nechť tedy N fv značí jednotkovou vnější normálu stěny, jež má s f-tou stěnou společnou hranu s jednotkovým vektorem t fv. Pak platí t fv = Dosadíme-li ) do 1) a použijeme-li vektorové identity dostaneme N f N fv N f N fv. ) N f N f,v 1 ) N f N fv ) = N f [ N fv N f N f,v 1 ], N f,0 = N f,vf ), S X) = 1 B i π) X F X N f V f [ N fv N f N f,v 1 ] [ X N f N f,v 1 ][ X N f N fv ] exp ikx ) x V fv), ) když X α N f + β N fv. Má-li mnohostěn střed symetrie, označíme opět P f+f/ středově symetrickou stěnu ke stěně P f, průvodič x vztáhneme ke středu souměrnosti a týmiž indexy v označíme středově symetrické vrcholy, takže platí x V f+f/,v) = x V fv), Nf+F/ = N f, N f+f/,v 1 = N f,v 1, Nf+F/,v = N fv. Sečtením příspěvků od symetrických stěn se z ) dostane reálný výraz pro tvarovou amplitudu středově symetrického mnohostěnu: S X) = 1 F/ 1 X B 4π X N f V f [ N fv N f N f,v 1 ] [ X N f N f,v 1 ][ X N f N fv ] sin kx ) x V fv), 4) pro X α N f + β N fv. Výrazy ) a 4) mají nevýhodu v tom, že jsou singulární, kdykoli proměnná X leží v rovině kolmé k některé hraně mnohostěnu. Jsou však jednoduchou kombinací fázorů, resp. sinů vztahujících se k vrcholům mnohostěnu, a mohou proto být užitečné. D.5 Sčítání podle vrcholů a stěn Kombinace fázorů nabude ještě jednoduššího tvaru, zaměníme-li v D.4) pořadí sčítání, tj. budeme-li sčítat nejprve podle vrcholů V v a pak podle stěn, které mají vrchol V v společný. Index f charakterizující stěny nechť vzrůstá proti směru chodu hodinových ručiček, pohlížíme-li na vrchol V v z vnějšku mnohostěnu přeindexování se děje podle schématu N f,v 1 N v,f+1, N f N vf, N fv N v,f 1 ). Přeskupením sčítanců v D.4) dostaneme: S X) = 1 B i π) X V exp ikx x Vv)) F v X N vf )[ N v,f 1 N vf N v,f+1 ] [ X N v,f 1 N v,f ][ X N vf N v,f+1 ], 1)

6 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU když X α N vf + β N v,f+1. Zde V je počet vrcholů mnohostěnu, F v počet stěn procházejících vrcholem V v a N v,0 = N v,fv, N v,fv+1 = N v,1. V případě mnohostěnu se středovou symetrií lze opět vyjádřit tvarovou amplitudu polovičním počtem sčítanců: S X) = 1 V/ 1 B 4π X sin kx x Vv)) F v X N vf )[ N v,f 1 N vf N v,f+1 ] [ X N v,f 1 N v,f ][ X N vf N v,f+1 ], ) když X α N vf + β N v,f+1. Pro strojové počítání mají formule 1) a ) tytéž nevýhody jako výrazy D.4) a D.44). Představují však jednoduchou kombinaci fázorů, resp. sinusových funkcí, jejichž argumenty obsahují souřadnice vrcholů V v mnohostěnu a jsou proto vhodným východiskem, když hledáme výstižná vyjádření tvarových amplitud pravidelných mnohostěnů. Přitom stačí charakterizovat mnohostěn souřadnicemi vrcholů V v a stěnovými normálami N vf. D. Sčítání podle vrcholů a hran Nejjednodušší algebraické vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu se dostane, sčítáme-li přes vrcholy a hrany. Dospějeme k němu záměnou sčítání ve výrazu D.41). Nechť tedy t ve označuje jednotkové vektory ve směru hran majících společný vrchol V v a index e nechť roste ve směru proti chodu hodinových ručiček, pozorujeme-li vrchol V v z vnějšku mnohostěnu. Vektory t ve nechť směřují buď vesměs k vrcholu V v např. přeindexováním t fv t ve, t f,v 1 t v,e+1 v D.41)) nebo vesměs od vrcholu V v např. přeindexováním t fv t ve, t f,v 1 t v,e+1 ). Záměnou pořadí sčítání v D.41) se dostane S X) = 1 B i π) X V exp ikx x Vv)) E v X t ve t v,e+1 X t ve ) X t v,e+1 ), 1) když X t ve 0. Zde je V opět počet vrcholů mnohostěnu, E v počet hran majících společný vrchol V v a t v,ev+1 = t v,1. Má-li mnohostěn střed symetrie, vztáhneme k němu opět průvodič x takže je x V v+v /) = x Vv) ) a označíme týmiž indexy e symetrické hrany. Pak ovšem index e vzrůstá ve směru oběhu hodinových ručiček, pozorujeme-li vrchol V v+v/ z vnějšku mnohostěnu. Je proto třeba při sčítání v-tého a v + V/)-tého sčítance v 1) vzít v + V/)-tý sčítanec s opačným znaménkem. Výsledkem pak je S X) = 1 V/ 1 B 4π X sin kx x Vv)) E v X t ve t v,e+1 X t ve ) X t v,e+1 ), ) když X t ve 0. Výrazy 1) a ) jsou podobně jako výrazy D.51) a D.5) velmi výhodné pro výpočet tvarových amplitud pravidelných mnohostěnů. Přitom stačí charakterizovat mnohostěn souřadnicemi vrcholů V v a směry hran t ve. D.7 Obecné vlastnosti tvarových amplitud mnohostěnů. Abbeova věta. Tvarová amplituda je zvláštním případem Fourierovy transformace reálné a nezáporné funkce. Odvozené algebraické výrazy musejí tedy mít všechny vlastnosti z toho vyplývající. Pro aplikace v difraktografii jsou důležité zejména tyto: i) max S X) = S0) = V. ii) S X) = S X), 1) kde hvězdička označuje komplexně sdruženou funkci. Z 1) plyne S X) = S X). ) iii) Tvarová amplituda S X) má všechny elementy symetrie tvarové funkce s x). Z toho a z 1) vyplývá, že tělesa středově symetrická mají reálnou tvarovou amplitudu, což jsme již vícekrát zmínili.

7 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 7 iv) Abbeova věta viz odst. 11.) se týká asymptotických vlastností tvarové amplitudy: S X) = O 1 X ), když X je kolmé k některé stěně, ) S X) = O 1 X ), když X je kolmé k některé hraně, ale nikoli ke stěně, 4) S X) = O 1 X ) v obecném směru. 5) Toto není zcela precizní formulace asymptotických vlastností tvarové amplitudy S X) srv. diskusi dvojrozměrného případu v odst. 11.). Zpřesnění však vyžadují jen případy, kdy mnohostěn obsahuje dvě rovnoploché stěny ležící v téže rovině, jejichž vnější normály N mají opačnou orientaci. Takovými případy se zde nebudeme zabývat. Je dosti obtížné dokázat, že odvozené algebraické výrazy pro S X) mají vlastnosti i) a iii). Kdykoli však tyto výrazy aplikujeme, vykazují tyto vlastnosti viz příklady v odst. D.8). Vlastnost 1) je naproti tomu zřejmá z každého algebraického vyjádření tvarové amplitudy. Asymptotická vlastnost ) je zřejmá z výrazů D.1), D.5) a D.), vlastnost 4) např. z výrazů D.1), D.4), D.1), D.4). Rovněž vlastnost 5) je zřejmá z každého algebraického vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu. D.8 Příklad. Rombický dvanáctistěn. Obrázek : Rombický dvanáctistěn Rombický dvanáctistěn je středově symetrické těleso, které lze orientovat vzhledem ke kartézské soustavě souřadnic 0, x 1, x, x tak, že každá z jeho stěn je rovnoběžná s jednou souřadnicovou osou a zbývající dvě osy protíná ve vzdálenosti a od počátku O viz obr. ). Z toho zřejmé, že stěny jsou tvořeny v krystalografické symbolice) rovinami [011], že a je délka hrany vepsané krychle a že objem rombického dvanáctistěnu je V = a. Tvarovou amplitudu S 1 X) = 1 A V S X) srov. 178)) vyjádříme prostřednictvím výrazu D.5). Souřadnice vrcholů V v a normál N vf jsou uvedeny v tab. 1. Je z ní vidět, že N v,f 1 N vf N v,f+1 = 1.

8 8 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU Zavedeme-li proměnnou Y = ka X, dostaneme z D.5) S 1 Y ) = 1 Y 7 ) F v sin Y x V Y v) /a N vf [ Y N v,f 1 N vf ][ Y N vf N v,f+1 ], 1) F v = 4 pro v = 1,,, F v = pro v = 4 až 7. Dosazením za normály N vf z tab. 1, sečtením zlomků vnitřního součtu a trigonometrickými úpravami se dostane S 1 Y ) = 1 Y 4 4Y1 Y + Y Y + Y Y 1 ) [ Y 1 sin Y 1 cos Y cos Y cos Y ) Y sin Y cos Y cos Y 1 cos Y ) + ) + Y sin Y cos Y 1 cos Y cos Y )]. Tento výraz je shodný s výrazem, který udává Patterson [], Table I). Dobře vystihuje symetrii rombického dvanáctistěnu vzhledem k souřadnicovým osám. v a x Vv) Nv1 Nv Nv Nv4 1, 0, 0 1, 1, 0 1, 0, 1 1, -1, 0 1, 0, -1 0,, 0 0, 1, 1 1, 1, 0 0, 1, -1-1, 1, 0 0, 0, 1, 0, 1 0, 1, 1-1, 0, 1 0, -1, 1 4 1, 1, 1 1, 1, 0 0, 1, 1 1, 0, , 1, 1-1, 1, 0-1, 0, 1 0, 1, , -1, 1-1, -1, 0 0, -1, 1-1, 0, 1-7 1, -1, 1 1, -1, 0 1, 0, 1 0, -1, 1 - Tabulka 1: Údaje pro výpočet tvarové amplitudy rombického dvanáctistěnu. Souřadnice vektorů. Abychom si vytvořili představu o tvarové amplitudě rombického dvanáctistěnu, najdeme, jak se tvarová amplituda chová podél os symetrie dvanáctistěnu a v rovinách procházejících kolmo k osám symetrie. Ze ) se získají závislosti tvarové amplitudy na vzdálenosti od počátku podél čtyřčetné např. Y = Y = 0), trojčetné např. Y 1 = Y = Y ) a dvojčetné např. Y 1 = Y, Y = 0) osy symetrie: S 1 Y, 0, 0) = S 1 Y, Y, Y ) Y S 1, Y ), 0 sin Y 4 Y 4 = sin Y Y = 1 ) cos Y 4, ) ) sin Y 4, 4) Y 4 sin Y Y + sin Y Y ), 5) srov. [], Table II). Centrální řezy tvarovou amplitudou rovinami kolmými ke čtyřčetné, trojčetné a dvojčetné ose charakterizují výrazy: S 1 Y 1, Y, 0) = S 1 Z 1, Z, 0) = Y1 Y Z1 Z sin Y 1 Y 4 sin Y 1 + Y 1 ) 4 [ sin Z 1 Z 1 + cos Z 1 ) cos Z Y 1 sin Y 1 Y sin Y ), ) cos Z ) 1 +

9 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 9 S 1 U, ) U, Y = + sin Z1 Z 1 1 U Y Z1 sin Z 1 Z sin Z ) ], 7) U sin U sin Y 4 Y 4 ) + 8 sin Y Y cos Y ) U cos. 8) Ve vztahu 7) značí Z 1, Z kartézské souřadnice v rovině kolmé k trojčetné ose symetrie Y 1 = Y = Y. Se souřadnicemi Y 1, Y, Y souvisejí vztahy Y 1 = Z 1, Y = 1 Z Z, tj. Z 1 = 1 Y 1 Y Y ), 9) Z = 1 Y Y ). Y = 1 Z 1 1 Z, Grafy funkcí ) až 8) jsou uvedeny na obr. 4b), d), f). Na obr. 4 a), c), e) jsou uvedeny průměty rombického dvanáctistěnu do rovin kolmých k čtyřčetné, trojčetné a dvojčetné osy symetrie. Plné čáry značí místa stejné tloušťky dvanáctistěnu, tečkovaně jsou vyznačeny průměty hran.) Dvojice funkcí ve stejném řádku spolu souvisejí až na konstantní faktory Fourierovou transformací. Např. průmět P x 1, x ) = 1 a sx 1, x, x ) dx 10) zobrazený na obr. 4 a) souvisí s řezem ) vztahem F T {P x 1, x )} = A a Y1 S 1 ka, Y ) ka, 0 11) a podobně pro ostatní dvojice. Všimněme si nyní asymptotického chování tvarové amplitudy rombického dvanáctistěnu. Dvojčetné osy symetrie jsou kolmé na stěny rombického dvanáctistěnu. Proto výraz 5) má asymptotickou vlastnost D.7). O průběhu funkce 5) si lze utvořit představu z obr. 4f) podél osy U tj. Y = 0) nebo z obr. 4b) podél čar Y 1 = ±Y.) Trojčetné osy rombického dvanáctistěnu jsou rovnoběžné s šesti hranami. Proto řez 7) tvarovou amplitudou rovinou kolmou k trojčetné ose má asymptotickou vlastnost D.74). S tím souvisí také fakt, že výraz 7) nelze získat pouhým dosazením 9) do ), nýbrž výpočtem limity.) V obecném směru má tvarová amplituda ) zřejmě vlastnost D.75). Obdobným způsobem, jímž jsme analyzovali tvarovou amplitudu rombického dvanáctistěnu, byly prostudovány tvarové amplitudy všech pěti platonských těles [], [4]. Reference [1] Komrska J.: Algebraic expressions of shape amplitudes of polygons and polyhedra. Optik ), [] Patterson A. L.: The Diffraction of X-Rays by Small Crystalline Particles. Phys. Rev ), [] Komrska J., Neumann W.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. I. General Aspects and the Shape Amplitudes of the Tetrahedron, Cube and Octahedron. phys. stat. sol. a) ), [4] Neumann W., Komrska J.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. II. The Regular Pentagonal Dodecahedron and the Icosahedron. phys. stat. sol. a) ), 11 1.

10 10 D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU Obrázek 4: Projekce rombického dvanáctistěnu do rovin kolmých ke čtyřčetné a), trojčetné c) a dvojčetné e) ose symetrie a odpovídající centrální řezy tvarovou amplitudou b), d), f)).