Numerické řešení rovinných prutových soustav podle teorie II.řádu

Transkript

1 VŠB-Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební Studentská vědecká odborná činnost školní rok 4-5 Numerické řešení rovinných prutových soustav podle teorie II.řádu Předkládá student : Lenka Randýsková Odborný garant : Doc. Ing. Petr Janas, CSc. atedra : Stavební mechaniky

2 Obsah Numerické řešení rovinných prutových soustav podle teorie II.řádu 3 Anotace 3 Annotation 3. Primární vektor a matice tuhosti zakřiveného prutu 5. Přenosové matice 3. Postup při výpočtu 4. Popis vytvořeného SW 3 5. Příklady 5 5. Příklad č Zadání Řešení dle teorie I.řádu Řešení dle teorie II.řádu 5..4 Porovnání a zhodnocení výsledků dle teorie I. a II. řádu Řešení dle [3] Porovnání výsledků dle numerického řešení a dle [3] 9 5. Příklad č. 5.. Zadání 5.. Řešení dle teorie I.řádu 5..3 Řešení dle teorie II.řádu 5..4 Porovnání a zhodnocení výsledků dle teorie I. a II.řádu 3 6. Závěr 3 Použité materiály 4 Příloha 5 Příloha - -

3 NUMERICÉ ŘEŠENÍ ROVINNÝCH PRUTOVÝCH SOUSTAV PODLE TEORIE II.ŘÁDU Řešitel: Vedoucí práce: Lenka Randýsková, VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební studentka V. ročníku, obor : Pozemní stavitelství Doc. Ing. Petr Janas, CSc. VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební Anotace Základem tohoto řešení je obecná deformační metoda. Princip numerické metody spočívá v tom, že se prut rozdělí na velký počet malých úseků, které se pak považují za přímky konstantního průřezu. Tuto metodu řešení je možné použít pro řešení prutů jakéhokoliv tvaru a průřezu, tzn. že lze řešit i zakřivené pruty proměnného průřezu. Může se zde dále počítat s libovolným zatížením, třeba i se spojitým normálovým zatížením, což jiné metody řešení podle teorie II.řádu neumožňují. Řešení prutové soustavy se nejprve provede podle teorie I.řádu, tím získáme přetvoření jednotlivých prutů, která udělíme prutům zadané prutové soustavy a dále pak provedeme výpočet podle teorie II.řádu. Tak získáme další přetvoření a znovu provedeme výpočet pro deformovanou soustavu a postupujeme tak dlouho, dokud se dva po sobě následující kroky shodují s požadovanou přesností. Celý tento postup jsem automatizovala pomocí počítače (vytvořila jsem si program pomocí počítačových programů Microsoft Excel a Microsoft Visuál Basic). Jednotlivé styčníky se zde zadávají souřadnicemi a pruty se zadávají jako jejich spojnice. Annotation Base of this solution is a common deformation method. Principle numerical method is that we divide wands into great numbers of little sections, which we regard as line constant cross-section. This method of answer is possible use to answer of wands, which have random shape and cross-section. That means, that it is possible to solve also incurvate bar with changing cross-section. We can also compute with variety loading types (possibly with continuous axial load, which another method of solutions according to the nd order theory do not allow). First we design solution of the bar system according to the st order theory, thereby we are obtaining transformations of particular bars and than we perform calculation according to theory of the nd order. This way we are obtaining next transformations of particular bars and we again fulfil calculation for deformed system - 3 -

4 and we are advancing so long as two in sequence following steps agree with request accuracy. I automated whole this progress by the help of computer (I create programme by the help of computer programme Microsoft excel and Microsoft Visual Basic). Single nodal points set with coordinates and bars ate set as their conjunction

5 . Primární vektor a matice tuhosti zakřiveného prutu Nejprve odvodíme deformační součinitele zakřiveného prutu oboustranně monoliticky připojeného s libovolnou střednicí prutu []. Pro řešení základní přetvárně určité soustavy, která je třikrát staticky neurčitá, využijeme obecný algoritmus silové metody a poznatky z řešení staticky neurčitého oblouku. Základní deformační součinitele, na rozdíl od přímého prutu, označíme podle zvyklostí v silové metodě obecně jako přetvárné součinitele ik a i. Na obr. jsou přetvární součinitelé vyznačeni s kladnou konvencí. Pro přetvárné součinitele ik platí podle Maxwellovy věty o vzájemnosti deformací zaměnitelnost indexů ( ik = ki ). Přetvární součinitelé ik vyjadřují míry poddajnosti zakřiveného prutu prostě podepřeného. U zakřiveného prutu nelze jednotlivá namáhání vyšetřovat odděleně. aždý účinek ovlivňuje sledované deformace ve všech stavech a matice tuhosti je plná (bez nulových prvků). Uvažuji zakřivený prut s koncovými body a, b. Průmět vzdáleností obou konců do osy x označíme rozpětím l zakřiveného prutu. Liší se od délky L zakřiveného prutu, která je závislá na funkci střednice prutu. Výškový rozdíl c koncových bodů a, b považujeme za kladný, je-li pravá podpora výše než levá. Podle obr. vytvoříme na základní staticky určité soustavě (zakřiveném nosníku prostě podepřeném) čtyři zatěžovací stavy. U jednotkových stavů volíme jednotkové koncové síly ve stejném smyslu jako kladné složky výsledných koncových sil. Vnější silové zatížení zakřiveného prutu vyvolá na náhradním prostém nosníku zatěžovací veličiny: výslednici vodorovného zatížení a příčné koncové síly. Všechny tyto veličiny jsou na obr. zakresleny s kladnou konvencí. Pro jednotlivý i-tý stav určíme pro každý j-tý úsek (prut je rozdělen na n úseků, j=,, n) ohybový moment M ij a normálovou sílu N ij, i=,,,3. Ohybový moment pro j-tý průřez má tvar M j = (z a -z b )*(x j -x a )/(x b -x a )-(z a -z j ), M j = +(x j -x a )/(x a -x b ), M 3j = (x j -x a )/(x a -x b ), M oj závisí na druhu zatížení prutu, normálová síla pro j-tý průřez N j = -cosϕ j -sinϕ j *(z a -z b )/(x b -x a ), N j = sinϕ j /(x b -x a ), N 3j = sinϕ j /(x b -x a ), N j závisí na druhu zatížení prutu, kde ϕ j = arctg( z j / x j ). Hodnoty x j a z j jsou souřadnice středu příslušného j-tého úseku. Hodnota x j se určí rozdělením prutu na n dílků, hodnota z j se pak dopočítá pomocí příslušné funkce křivky, která tvoří prut. (Pozn. Je-li rozpětí prutu rovno nule, pak se na n dílků rozdělí vzepětí a dopočítají se hodnoty x j.) Přetvárné součinitele ik pak určíme dle vztahu n M n ij M kj N ij N kj ik = s j + s j, j= EI j j= EAj kde s j = ( x j + z j ) /

6 ϕ a) b).stav c).stav q d) 3.stav e).stav Obr.: Zakřivený prut oboustranně monoliticky připojený Po určení přetvárných součinitelů sestavíme přetvárné podmínky, které lze maticově zapsat ve tvaru 3 X ba 3 M ab = M ba 3 Jejich řešením získáme pro vnější silové zatížení zakřiveného prutu ab neznámé primární koncové síly X ba, M ab, M ba. X M M ba ab ba = D

7 Zbývající tři složky X ab, Z ab, Z ba nutné pro sestavení primárního vektoru R ab se stanoví ze statických podmínek rovnováhy. Matice ve výše uvedeném vztahu je symetrická a obsahuje šest různých tuhostních součinitelů i, pro něž platí = 33 3, = , 3 = 3 3, 4 = 33 3, 5 = 3 3, 6 =, D pak značí determinant soustavy, který je dán vztahem D = Lokální matici tuhosti k ab zakřiveného prutu odvodíme analogicky. V sekundárním stavu vyšetříme šest jednotkových deformačních zatěžovacích stavů dle obr. zakřiveného prutu ab pro vytvoření šesti sloupců matice k ab. Všechny sekundární koncové síly však budou nenulové. řešení opět využije soustavu tří rovnic a tří statických podmínek rovnováhy. Soustavu opatříme postupně šesti různými pravými stranami..stav 4.stav.stav 5.stav 3.stav 6.stav Obr.: Jednotkové deformační zatěžovací stavy zakřiveného oboustranně monoliticky připojeného prutu Pravé strany pro jednotlivé zatěžovací stavy jsou pro oboustranně monoliticky připojený prut ve tvaru: - -

8 . zatěžovací stav (u a =) = -u a = - = 3 =. zatěžovací stav (w a =) = -c/l*(-w a ) = c/l = /l*(-w a ) = -/l 3 = -/l*(-w a ) = /l 3. zatěžovací stav (ϕ a =) = = -ϕ a 3 = 4. zatěžovací stav (u b =) = u b = = 3 = 5. zatěžovací stav (w b =) = -c/l*w b = -c/l = /l*w b = /l 3 = -/l*w b = -/l 6. zatěžovací stav (ϕ b =) = = 3 = ϕ b Pozn. Pro vytvoření těchto pravých stran byly použity vztahy (.9) z [] (str.8). Výsledný tvar matice tuhosti k ab zakřiveného prutu ab oboustranně monoliticky připojeného je pak nabývá tvaru k ab =, D kde jsou využiti tuhostní součinitelé a jejich kombinace = ( c 3 )/l 8 = ( c 4 5 )/l 9 = ( 3 c 5 6 )/l = ( c 8 9 )/l. Primární vektor a matice tuhosti zakřiveného prutu jednostranně nebo oboustranně připojeného získáme zjednodušením předchozího obecnějšího postupu, neboť jeden či oba koncové momenty mohou být nulové

9 - 9 - a) prut pravostranně kloubově připojený = ab ba M X = 4 D M X ab ba = D k ab = = 4 = = ( c )/l 8 = ( c 4 )/l = ( c 8 )/l D = b) prut levostranně kloubově připojený = ba ba M X = D M X ba ba = D k ab = 33 3 = 3 6 = = ( c 3 )/l 9 = ( 3 c 6 )/l = ( c 9 )/l D = 33 3

10 - - c) prut oboustranně kloubově připojený = ba X = D X ba = D k ab = = ( c )/l = ( c)/l D = Lokalizací matic tuhosti k ab a primárních vektorů R ab jednotlivých prutů obdržíme matici tuhosti a primární vektor R prutové soustavy. Řešením lineární soustavy rovnic *r = F, kde F= S - R je zatěžovací vektor soustavy (S je globální vektor uzlového zatížení), získáme deformační vektor soustavy r. Z něj pak odvodíme složky koncových deformací prutů. Pro další výpočet dle teorie II.řádu však potřebujeme znát deformace v každém bodě prutu a ty určíme pomocí přenosových matic.. Přenosové matice Jednotlivé pruty rozdělíme na úseky, o kterých předpokládáme, že mají konstantní tuhost EI na celé délce s, spojité funkce průhybu w(x), pootočení ϕ(x), ohybových momentů M(x) a posouvajících sil T(x). Vektor silových a deformačních veličin v libovolném průřezu x definuje stavový vektor v tvaru ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) = x T x M x x w x V ϕ. Složky stavového vektoru jednoznačně určují přetvoření v daném průřezu prutu a jeho vnitřní síly. Jednička v poslední složce vektoru je rezervovaná pro operace s vnějším zatížením prutu.

11 Vztahy mezi složkami stavového vektoru {V a } na levém konci úseku a složkami stavového vektoru {V b } na pravém konci úseku délky s odvodíme ze známých diferenciálních vztahů, platných pro ohyb přímého prutu. Pro jednoduchost uvažujeme jen svislé rovnoměrné zatížení q na celém úseku. Potom platí: EI w IV = q EI w III = -T(x) EI w II = -M(x) w I = ϕ(x) Integrujeme postupně první rovnici. Určíme-li z okrajových podmínek čtyři integrační konstanty pro bod a a bod b, získáme pak stavové vektory {V a } a {V b }. Maticově lze vztah mezi těmito dvěma stavovými vektory zapsat 3 s s wb s w EI EI wa 6 b s s a ϕ ϕ ϕ M EI EI b = M a L { V b } = [ G]{ V a }. s M Tb T Ta Symbolem [G] jsme označili přenosovou matici úseku, která vyjadřuje vztah mezi složkami stavových vektorů na začátku a konci úseku. V pátém sloupci matice [G] jsme označili členy od mezilehlého zatížení. Např. pro rovnoměrné zatížení platí 4 3 q s q s q s w =, ϕ =, M =, T = q s. 4EI 6EI Pozn. Podrobnější postup odvození přenosových matic viz. []. Pomocí přenosové matice získáme stavový vektor na konci j-tého úseku, u kterého předpokládáme, že je přímý, i když ve skutečnosti to nemusí být pravda. Ale rozdělíme-li zakřivený prut na velký počet malých úseků, lze pak tyto úseky považovat za přímé. Dalším krokem je pak určení počátečního stavového vektoru dalšího (j+)-tého úseku. Má-li následující úsek stejný sklon jako úsek předešlý, pak je počáteční stavový vektor dalšího úseku roven koncovému stavovému vektoru úseku předešlého. Nemají-li však stejný sklon, pak je postup složitější. Musí se provést transformace koncového stavového vektoru z lokální do globální souřadnicové soustavy a nadále pak transformace z globální souřadnicové soustavy do lokální souřadnicové soustavy následujícího úseku. této transformaci však kromě stavového vektoru koncového úseku potřebujeme ještě hodnoty posunu u b a normálové síly N b na konci úseku j-tého úseku. Transformace do globální souřadnicové soustavy: T b,j = -N * b,j sinϕ j + T * b,j cosϕ j N b,j = N * b,j cosϕ j + T * b,j sinϕ j w b,j = -u * b,j sinϕ j + w * b,j cosϕ j u b,j = u * b,j cosϕ j + w * b,j sinϕ j - -

12 Transformace do lokální souřadnicové soustavy následujícího úseku: T * b,j+ = N b,j sinϕ j+ + T b,j cosϕ j+ N * b,j+ = N b,j cosϕ j+ - T b,j sinϕ j+ w * b,j+ = u b,j sinϕ j+ + w b,j cosϕ j+ u * b,j+ = u b,j cosϕ j+ - w b,j sinϕ j+ Pootočení ϕ b a momentu M b se transformace netýká, neboť mají ve všech souřadnicových soustavách stejnou hodnotu. 3. Postup při výpočtu. Jednotlivé pruty zadané prutové soustavy rozdělíme na velký počet malých dílků a vyřešíme ji podle teorie I.řádu za pomoci matic tuhosti a primárních vektorů vytvořených numericky podle typu připojení dle výše uvedených vztahů. Výsledkem tohoto výpočtu jsou mimo jiné přetvoření prutů v jejich koncových bodech. Pomocí přenosových matic pak určíme přetvoření i v průřezech, které odpovídají jednotlivým úsekům, na které jsme prut rozdělili.. Jednotlivá přetvoření vypočtené podle teorie I.řádu udělíme odpovídajícím průřezům, tím získáme nové souřadnice jednotlivých průřezů, které odpovídají zdeformované prutové soustavě. Dále provedeme opět výpočet primárních vektorů a matic tuhosti, nyní však pro nově vytvořenou prutovou soustavu. 3. Vyřešíme znovu prutovou soustavu obvyklým postupem, ovšem s nově vypočtenými vektory a maticemi. Tím získáme upřesněné hodnoty přetvoření prutů, které použijeme k určení nových přetvoření jednotlivých průřezů, jejich nových souřadnic a následně i k výpočtu nových primárních vektorů a matic tuhosti prutů 4. Bod 3 opakujeme tak dlouho, až zjistíme, že se výsledky dvou po sobě následujících kroků shodují s požadovanou přesností ε. n ui, wi, ϕ i = j= ε n ui, wi, ϕ i j= 5. Po splnění bodu 4 iteraci ukončíme. Hodnoty vypočtené v posledním kroku je pak možno prohlásit za hodnoty vypočtené podle teorie II.řádu. 6. Na závěr je potřeba určit průběhy vnitřních sil na jednotlivých prutech, což je snadný úkol. Hodnoty vnitřních sil v jednotlivých průřezech podle teorie II.řádu jsou totiž rovny hodnotám stavových vektorů, které jsou doplněny o normálové síly, posledního provedeného kroku. - -

13 4. Popis vytvořeného SW Za pomocí počítačových programů Microsoft Excel a Microsoft Visuál Basic jsem vytvořila SW, který pracuje na principu numerické metody. Všechny parametry prutové soustavy, tj. geometrie, průřezové charakteristiky, zatížení apod. se vepisují do políček označených zeleně na listě s názvem Zadání a výsl.. Modrá číselná políčka se nevyplňují, ta se automaticky doplní sama. Postup zadávání geometrie prutové konstrukce lze rozepsat do těchto bodů: ) zadání počtu uzlů n a jeho potvrzení pomocí tlačítka O ) postupné zadávání souřadnic jednotlivých uzlů (kladné směry jsou zobrazeny na obrázku), druhu vazby dle přílohy obsažené v SW a následné potvrzení pomocí tlačítka Načti (stupeň neurčitosti se pak automaticky dopočítává sám v závislosti na zadaných druzích vazby v jednotlivých uzlech) 3) zadání počtu prutů a potvrzení tlačítkem O 4) zadání prutů jako spojnice dvou uzlů (počáteční uzel se zadává vždy jako styčník), tvar prutu (přímka, parabolický nebo kruhový oblouk), počet úseků prutu, na které bude prut rozdělen a pokud je tvar prut oblouk, pak se musí zadat ještě třetí bod prutu (oblouk lze definovat minimálně třemi body) a opětné potvrzení tlačítkem Načti. Pomocí těchto popsaných bodů jsme zadali kompletně geometrii prutové soustavy. Zadané hodnoty si můžeme zkontrolovat na listě s názvem Geom.,A,E,I., kde je můžeme případně i opravit. Po celkovém zadání geometrie můžeme spustit tlačítko Vykreslení soustavy, jehož prostřednictvím se nám pomocí funkce graf vykreslí na list Soustava zadaná prutová soustava. Průřezové charakteristiky se zde nezadávají číselně, ale zadávají se zde parametry vybraného tvaru průřezu prutu. Je zde možno vybrat z tvarů: ) profil I nebo U (hodnoty průřezových charakteristik se automaticky načtou z přílohy obsažené v SW) ) obdélníkový průřez, u kterého se zadá jeho šířka b a výška h, průřezové charakteristiky se dopočtou samy 3) kruhový průřez, zde se zadá vnější průměr d a vnitřní průměr d, ostatní hodnoty se opět dopočtou samy. romě průřezových charakteristik je zde potřeba zadat ještě model pružnosti v tahu a tlaku E. Zadané hodnoty si můžeme opět zkontrolovat na listě Geom.,A,E,I V SW můžeme zadat toto zatížení: ) libovolný počet silových zatížení v každém styčníku, které se zadávají jejich velikostí a úhlem. Mimostyčníkové silové zatížení se zadává jako styčníkové pomocí vloženého uzlu (z důvodu ulehčení výpočtu primárních vektorů). ) libovolný počet momentových zatížení ve styčníku, které se zadává pouze velikostí. Mimostyčníkové silové zatížení se zadává jako styčníkové pomocí vloženého uzlu (z důvodu ulehčení výpočtu primárních vektorů). 3) spojité zatížení pod libovolným úhlem se zadává po celé délce prutu, pokud není po celé délce, musí se na rozhraní vložit uzel - 3 -

14 4) počáteční imperfekce polohy uzlů se zadají pomocí posunu uzlu u a w (kladné směry jsou shodné s kladnými směry pro zadávání souřadnic uzlů) a pootočení uzlu ϕ, jehož kladný smysl je shodný s kladným smyslem momentu Zadané hodnoty si můžeme opět zkontrolovat na listě s příslušným názvem zatížení. Prvním krokem výpočtu je výpočet dle teorie I.řádu, pomocí kterého získáme mimo jiné hodnoty přemístění jednotlivých bodů prutů, které jsou potřebné k určení nového tvaru prutové soustavy pro další výpočet podle II.řádu. romě těchto hodnot získáme i další hodnoty vypočtené podle teorie I.řádu a II.řádu: vektor uzlového zatížení S globální primární vektory jednotlivých prutů primární vektor soustavy R zatěžovací vektor soustavy F = S - R globální matice tuhosti k jednotlivých prutů o rozměrech 6x6 celková matice tuhosti o rozměrech n p xn p deformační vektor r prutové soustavy globální deformační vektory r jednotlivých prutů globální primární a sekundární vektory jednotlivých prutů globální a lokální vektor složek koncových sil prutů Ještě před spuštěním výpočtu dle teorie II.řádu musíme zadat počet iterací, které má program provést. V závislosti na počtu iterací pak stanoví přesnost výpočtu ε. Výsledkem řešení dle teorie II.řádu jsou hodnoty vnitřních sil (tj.normálové síly N, posouvající síly V a momenty M) na jednotlivých prutech. Tyto hodnoty jsou jednak znázorněny graficky na listech N, V, M a dále pak program dokáže číselně určit hodnoty N, V a M v libovolném bodě prutu (list Zadání a výsl.). Tento bod se zadává jeho pořadovým číslem v závislosti na počtu úseků, na který jsme prut rozdělili. Grafické výstupy se vykreslují v měřítku, které musíme zadat ještě před spuštěním výpočtu dle teorie II.řádu. Toto měřítko se vztahuje k délkovým rozměrům prutové soustavy v obou směrech (tj. x a z). romě grafických výstupů N, V a M je ještě možno shlédnout grafické výstupy deformované soustavy, také vykreslené v zadaném měřítku

15 5. Příklady 5. Příklad č. 5.. Zadání Řešte rovinnou konstrukci na obr.3, která je složena ze dvou vetknutých sloupů (,) a dvou opřených kyvných sloupů (3,4), spojených nahoře kloubově třemi příčníky. Vetknuté sloupy mají ohybovou tuhost E I, E I a jejich délky jsou l, l. Délky kyvných sloupů jsou l 3,l 4 a délky příčníků d, d, d 3. Smontovaná nezatížená konstrukce vykazuje odchylky od geometricky ideálního tvaru. Proto do transformačního modelu vstupují vzdálenosti a, a, a 3, a 4 horních konců sloupů od svislice procházející uložením (těžištěm vetknutého průřezu, kloubem) dolních konců sloupů. Tyto odchylky představují ekvivalentní geometrické imperfekce, zahrnující odchylky svislosti, přímosti, odchylky v uložení a nezbytné malé excentricity v přípojích. Silové zatížení konstrukce je svislými silami F, F, F 3, F 4 a horizontálními silami W, EQ. Přetvořený tvar konstrukce je zakreslen spolu s vyznačeným zatížením na obr.3. Obr.3 : Schéma rámu včetně imperfekcí aždá z vertikálních sil F, F, F 3, F 4 je součtem stálého, dlouhodobého nahodilého a krátkodobého nahodilého zatížení. Extrémní hodnoty jsou uvedeny v tabulce. Maximální velikost horizontální síly reprezentující účinek větru W = 5 kn. Horizontální síla EQ =, protože účinek zemětřesení na konstrukci není zde uvažován. Délky sloupů l, l, l 3, l 4, hodnoty imperfekcí a, a, a 3, a 4 a délky příčníku d, d, d 3 jsou uvedeny také v tabulce. Vetknutý sloup má průřez HE8B (I=9,3* -5 m 4 ) a sloup má průřez HE34B (I=3,6* -4 m 4 ), oba vetknuté sloupy jsou z oceli pevnostní třídy Fe 36, modul pružnosti v tahu E = E = MPa

16 Síla Extrémní hodnoty [ kn ] Délka Imper- Délka Stálé Dlouhod. rátkod. Součet [ m ] [ mm ] sloupu fekce příčníku [ m ] F l 6 a + 3 d 5 F l 9 a + 45 d 5 F 3 5 l 3 3 a d 3 5 F 4 3 l 4 5,4 a Řešení dle teorie I.řádu stupeň přetvárné neurčitosti n p = 8 deformační vektor soustavy r = { u 5, w 5, u 6, w 6, u, w, u 8, w 8 } T primární vektory prutů i primární vektor prutové soustavy R jsou nulové vektor uzlového zatížení P = {5,3,,,,5,,3} T zatěžovací vektor soustavy F = P R F = {5,3,,,,5,,3} T matice tuhosti prutové soustavy deformační vektor soustavy r = - *F = -3 *{5.,., 4.9,., 5.,.9, 5.,.} T vnitřní síly na koncích jednotlivých prutů Prut č N ab [kn] -99,9-699,89-5, -3, -6, 4,,5 V ab [kn] 4,3 3,,,,,, M ab [knm],,,,,,, N ba [kn] -99,9-699,89-5, -3, -6, 4,,5 V ba [kn] 4,3 3,,,,,, M ba [knm] 53,39 3,9,,,,, - 6 -

17 reakce ve vnějších vazbách (transformace pro α=,5rad dáno poč.imperfekcí) M = 53,39 knm R = -99,9*cos(,5)-4,3*sin(,5) = -3 kn H = -99,9*sin(,5)+4,3*cos(,5) = 4,3 kn M = 3,9 knm R = -699,89*cos(,5)-3,*sin(,5) = - kn H = -699,89*sin(,5)+3,*cos(,5) =, kn R 3 = -5,*cos(,5) = -5 kn H 3 = -5,*sin(,5) = -,5 kn R 4 = -3,*cos(,5) = -3 kn H 4 = -3,*sin(,5) = -,5 kn zkoušky : ΣF x = 5-4,3-,+,5+,5 = vyhovuje ΣF z = = vyhovuje 5..3 Řešení dle teorie II.řádu zatěžovací vektor soustavy F je stejný jako u teorie I.řádu matice tuhosti prutové soustavy deformační vektor soustavy r = - *F = -3 *{3.8, 4., 3.8, 4., 3., 6.9, 3., 4.4} T vnitřní síly na koncích jednotlivých prutů Prut č N ab [kn] -99,6-699,8-5, -3,4,4 33, 8,9 V ab [kn] 65,9 9,9 -,9 -,9,,, M ab [knm],,,,,,, N ba [kn] -99,6-699,8-5, -3,4,4 33, 8,9 V ba [kn] 65,9 9,9 -,9 -,9,,, M ba [knm] 434,4 355,9,,,,, - -

18 reakce ve vnějších vazbách I.řád II.řád hodnota hodnota nárůst M [ knm ] 53,39 434,4,44 H [ kn ] 4,3 64,4 58,4 R [ kn ] -3, -3,, M [ knm ] 3,9 355,9 66, H [ kn ], 5,9,3 R [ kn ] -, -,, H 3 [ kn ] -,5-4,4 86,8 R 3 [ kn ] -5, -5,, H 4 [ kn ] -,5-8,9 486, R 4 [ kn ] -3, -3,, zkoušky : ΣF x = 5-64,4-5,9+4,4+8,9 = vyhovuje ΣF z = vyhovuje 5..4 Porovnání a zhodnocení výsledků dle teorie I. a II. řádu Nejvýznamnější nárůst hodnot dle teorie II.řádu nastal u momentu v prvním vetknutí o.44 %, v druhém vetknutí pak o 66. %. Největší nárůst však nastal u horizontálních sil u opřených kyvných sloupů, kde z téměř nulových hodnot narostly tyto hodnoty o 86.8 % a 486. %. Normálové síly jsou dle teorie II.řádu shodné s normálovými silami dle teorie I.řádu. Velký nárůst nastal také u hodnot horizontálních přemístění horních konců sloupů, přibližně o 5%. Nárůst deformací ve vertikálním směru není tak významný, ale je dobré podotknout, že tato metoda tyto deformace v podélném směru prutu nezanedbává, počítá tedy i s délkovými změnami prutu Řešení dle [3] F ω = =,86 m - E I F ω = =,95 m - E I tgωl = =,99 ω l - 8 -

19 tgω l = =,348 ω l horizontální přemístění horních konců vetknutých sloupů a 4 ai W + EQ + Fi i= li = = = 3,93 mm 4 F + l F F F l l i= 3 l ohybové momenty ve vetknutích sloupů, ( + ) M = F = 434,8 knm M ( + ) = F = 354,99 knm horizontální síly ve vetknutích sloupů, a H = F = 64,33 kn l H a = = 5,6 kn F l 5..6 Porovnání výsledků dle numerického řešení a dle [3] Václavek Numerické řešení hodnota hodnota odchylka M [ knm ] 434,8 434,4,3 H [ kn ] 64,33 64,4, M [ knm ] 354,99 355,9,3 H [ kn ] 5,6 5,9, Hodnoty stanovené dle [3] jsou téměř shodné s hodnotami stanovenými numerickým řešením dle teorie II.řádu. Rozdíl mezi těmito řešeními je však v horizontálních přemístěních horních konců vetknutých sloupů a, které jsou podle [3] shodné, avšak podle numerickho řešení se nepatrně liší (tyto hodnoty jsou uvedeny v deformačních vektorech soustavy viz.5..3). Pozn. Grafické výstupy N,V,M a deformované soustavy viz. příloha

20 5. Příklad č. 5.. Zadání Řešte obloukový rám zatížený rovnoměrným zatížením q = kn/m, silami F = kn, F = kn, silou W = 3 kn. Levá polovina rámu je dále vystavena zatížení vertikálními tlaky jeřábové dráhy na konzoly dle obr.4 (bez uvažování bočních nárazů). Obloukový rám je tvořen vetknutými stojkami průřezu I4 (konzoly pak I34), kruhové příčle jsou tvořeny průřezem I4. Modul pružnosti v tahu a tlaku má konstantní hodnotu E = MPa. Obr.4: Schéma obloukového rámu 5.. Řešení dle teorie I.řádu stupeň přetvárné neurčitosti n p = 8*3-9 = 5 globální primární vektory jednotlivých prutů Prut č X ab [ kn ],,,,, 8,,, 8, Z ab [ kn ],,, -,, -6,8 -,, -6,8 M ab [ kn ],,, 8,, -,65-8,, -,65 X ba [ kn ],,,,, -8,,, -8, Z ba [ kn ],,,,, -6,8,, -6,8 M ba [ kn ],,,,,,65,,,65 primární vektor prutové soustavy R R = {,-,8,,-,-8,8.,-6.8,-.65,,-33.6,,-8.,-6.8,.65} T - -

21 vektor uzlového zatížení P = {,,,,,,3,,,,,,,,} T zatěžovací vektor soustavy F = P R F = {,,-8,,,8,.89,6.8,.65,,33.6,,8.,6.8,-.65} T matice tuhosti prutové soustavy deformační vektor soustavy r = - *F = -3 *{35.9,.5,-6.6,4.5,.9,-6.8,55.,.6,-6.5,6.8,.,-6.5,5.9,.6,-.3} T vnitřní síly na koncích jednotlivých prutů Prut č N ab [kn] -4,6-43,43-9,, -4,6 -,3, -33,43-9,9 V ab [kn] 6,4,5 3,53, 6,4 -,49 -,,5 4,8 M ab [knm] 5,65,83-43,86-8, -,6,6 8, -,3-4, N ba [kn] -4,6-43,43-9,, -4,6-3,, -33,43 -,6 V ba [kn] 6,4,5 3,53, 6,4-3,,,5-8,9 M ba [knm] 3,4 9, 8,53,,65-5,34, 8,83-43,86 reakce ve vnějších vazbách M = 3,4 knm R = -4,6 kn H = 6,4 kn M = 9, knm R = -43,43 kn H =,5 kn M 3 = 8,53 knm R 3 = -9, kn H 3 = 3,53 kn - -

22 zkoušky : ΣF x = 6,4+,5+3,53-3 = vyhovuje ΣF z = +++*33,6++-4,6-43,43-9, = vyhovuje 5..3 Řešení dle teorie II.řádu globální primární vektory jednotlivých prutů Prut č X ab [ kn ],,,,, 8,5,, 8,48 Z ab [ kn ],,, -,, -6,85 -,, -6,8 M ab [ kn ],,, 8,, -,3-8,, -,38 X ba [ kn ],,,,, -8,5,, -8,48 Y ba [ kn ],,,,, -6,6,, -6,6 M ba [ kn ],,,,,,,,,3 primární vektor prutové soustavy R R = {,-,8,,-,-8,8.5,-6.85,-.3,.3,-33.63,.,-8.48,-6.6,.3} T vektor uzlového zatížení P = {,,,,,,3,,,,,,,,} T zatěžovací vektor soustavy F = P R F = {,,-8,,,8,.5,6.85,.3,-.3,33.63,-.,8.48,6.6,-.3} T matice tuhosti prutové soustavy deformační vektor soustavy r = - *F = -3 *{4.4,.,-.4,45.4,.,-.,6.8,.,-.3,68.,.6,-.3,83.,.,-8.} T - -

23 vnitřní síly na koncích jednotlivých prutů Prut č N ab [kn] -4,3-43,45-9,4, -4,3 -,44, -33,45-9,3 V ab [kn] 6,6 9,8 3,6, 6,6 -,5 -, 9,8 4,58 M ab [knm],,5-46,4-8, -3,5 3,5 8, -5,59 -, N ba [kn] -4,3-43,45-9,4, -4,3-3,, -33,45 -,95 V ba [kn] 6,6 9,8 3,6, 6,6-3,5, 9,8-8,9 M ba [knm] 8,89,,8, 9, -,6, 9,5-46,4 reakce ve vnějších vazbách M = 8,89 knm R = -4,3 kn H = 6,6 kn M =, knm R = -43,45 kn H = 9,8 kn M 3 =,8 knm R 3 = -9,4 kn H 3 = 3,6 kn zkoušky : ΣF x = 6,6+9,8+3,6-3 = vyhovuje ΣF z = +++*33,6++-4,3-43,45-9,4 = vyhovuje 5..4 Porovnání a zhodnocení výsledků dle teorie I. a II.řádu Nejvýznamnější nárůst oproti teorii I.řádu nastal u momentu M v prvním vetknutí a to sice o,6%. Ostatní dva ohybové momenty M, M 3 narostly a 9,% a,%. (Pozn. Grafické výstupy viz. příloha ) 6. Závěr SW byl sestaven za použití programů Microsoft Excel a Microsoft Visuál Basic. Počet prvků v konstrukci je omezen pouze těmito programy, tzn. rozsahy jednotlivých datových typů jako je např. integer a hlavně prostorem na jednotlivých listech Microsoft Excelu, kde se maximálně může umístit na jeden řádek 56 hodnot. romě výpočtu SW provádí i vykreslení průběhů vnitřních sil a deformací. Navíc zde můžeme zhlédnout hodnoty např. matic tuhosti, primárních vektorů, deformačních vektorů soustavy apod. Z časová náročnosti nejsou v SW uvedeny všechny typy možných zatížení, jsou omezeny na základní typy zatížení jako je rovnoměrné zatížení, silové, momentové zatížené doplněné však o možné zadání počátečních imperfekcí jednotlivých uzlů

24 Použité materiály Použitý software : Microsoft Excel Microsoft Visuál Basic Použitá literatura : [] adlčák J., ytýr J.: Statika stavebních konstrukcí II, VUTIUM Brno, ISBN [] Sobota J., Dický J.: Výpočtové metódy a algoritmy, STU Bratislava 99, ISBN [3] Václavek J., Marek P.: Posudek pravděpodobnosti poruchy ocelové nosné konstrukce s přihlédnutím k montážním tolerancím, onference spolehlivosti konstrukcí, Dům techniky Ostrava, ISBN

25 Příloha Prutová soustava (měřítko deformací 5:) x [m] -,,,, 3, 4, 5, 6,,,, 3, 4, z [m] 5, 6,, 8, 9,, Původní Deformovaná (I.řád) Deformovaná (II.řád) Průběh normálových sil (měřítko průběhů :) -, x [m] -,,,, 3, 4, 5,,, z [m] 4, 6, 8,, - 5 -

26 Průběh posouvajících sil (měřítko průběhů :) x [m] -,, 5,, 5,, 5, 3, 35, 4, 45, 5,,,, 3, z [m] 4, 5, 6,, 8, 9,, Průběh ohybových momentů (měřítko průběhů :) x [m] -, -,,,, 3, 4, 5,,,, 3, z [m] 4, 5, 6,, 8, 9,, - 6 -

27 Příloha Prutová soustava (měřítko deformací 5:), x [m] -5,, 5,, 5,, 5, 3, 35, 4,, 4, 6, z [m] 8,,, 4, 6, Původní Deformovaná (I.řád) Deformovaná (II.řád) Průběh normálových sil (měřítko průběhů :5), x [m] -5,, 5,, 5,, 5, 3, 35, 4,, 4, 6, z [m] 8,,, 4, 6, - -

28 Průběh posouvajících sil (měřítko průběhů :), x [m], 5,, 5,, 5, 3, 35, 4,, 4, 6, z [m] 8,,, 4, 6, Průběh ohybových momentů (měřítko průběhů :), x [m] -, -5,, 5,, 5,, 5, 3, 35, 4,, 4, 6, z [m] 8,,, 4, 6, - 8 -