DIPLOMOVÁ PRÁCE. Aleš Jirk

Transkript

1 Unerzta Karloa Praze Matematco-fyzální faulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Aleš Jr Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře Katedra meteorologe a ochrany prostředí Vedoucí dplomoé práce: doc. RNDr. Josef Brechler, CSc. Studní program: Fyza Studní obor: Meteorologe a lmatologe Praha 008

2 Poděoání Na tomto místě bych rád poděoal doc. RNDr. Josefu Brechlero, CSc., edoucímu dplomoé práce, za přímočaré edení a posytoání nsprací mé prác a Ing. Luďu Benešo, Ph.D., onzultanto, za předáané zušenost z oblast numercých metod. Prohlašu, že sem sou dplomoou prác napsal samostatně a ýhradně s použtím ctoaných pramenů. Souhlasím se zapůčoáním práce. V Praze dne Aleš Jr Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

3 Náze práce: Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře Autor: Aleš Jr Katedra (ústa): Katedra meteorologe a ochrany prostředí Vedoucí dplomoé práce: doc. RNDr. Josef Brechler, CSc. e-mal edoucího: osef.brechler@mff.cun.cz Abstrat: V prác e modeloáno e yšším řádu přesnost nestlačtelné lamnární proudění oolo álce s ruhoým průřezem s použtím metody nořené hrance a oolo álce se čtercoým průřezem s lem teplotní stratface. V teoretcé část e odozen systém Naer-Stoesoých ronc s Boussnesquoou apromací a sou popsány ednotlé metody použté př modeloání systému. WENO schéma pátého řádu přesnost potlačuící falešné osclace reonstruue adeční členy na hranc onečných obemů. Schéma Runge-Kutta čtrtého řádu přesnost řeší časoou dsretzac prní fáze metody postupných roů. Metoda nořené hrance popsue obtéaný álec s ruhoým průřezem. V mplementační část e ysětlena strutura programu pro doudmenzonální případ. V část numercého epermentu e program testoán na úlohách pro lneární hyperbolcou ronc, Burgersou ronc a systém Euleroých ronc se známým eatním řešením a na úloze proudění e čtercoé dutně pro hodnoty Reynoldsoa čísla 00; 000; 5000 pro systém Naer-Stoesoých ronc se známým numercým řešením. Proudění oolo nořeného álce se čtercoým (resp. ruhoým) průřezem e počítáno pro hodnoty Reynoldsoa čísla 30; 00. U Kármánoy íroé cesty e určeno Strouhaloo číslo. Proudění oolo nořeného álce se čtercoým průřezem s lem teplotní stratface e řešeno pro hodnoty Froudeoa čísla,00; 0,0; 0,0 pomocí Boussnesquoy apromace. Pro ertální složu rychlost (resp. ortctu) e ypočtena eí freence. Klíčoá sloa: počítačoá dynama teutn, metoda onečných obemů, WENO schéma, álec s ruhoým průřezem, teplotně stratfoané proudění Ttle: Thermally stratfed atmospherc flow modellng Author: Aleš Jr Department: Department of Meteorology and Enronmental Protecton Supersor: doc. RNDr. Josef Brechler, CSc. Supersor's e-mal address: osef.brechler@mff.cun.cz Abstract: In ths thess there s smulated an ncompressble lamnar flow n a hgher-order accuracy around a crcle cylnder wth usage of an mmersed boundary method and around a cylnder wth a square cross-secton wth an nfluence of a thermal stratfcaton. In the theoretcal part the system of Naer-Stoes equatons wth Bussnesq appromaton s dered and the methods for smulatng are descrbed. Ffth order WENO shoc-capturng scheme reconstructs adectons terms on the boundares of control olumes. An eplct fourth-order Runge-Kutta scheme soles the frst step of a fractonal steps method. The obstacle wth the crcle cross-secton s descrbed by the mmersed boundary method. In the mplementaton secton there s nterpreted the structure of programs for D cases. In the secton Numercal eperments there s realzed testng of the eamples wth the eactnown results the lnear hyperbolc equatons, the Burgers equatons and the Euler equatons and of a square caty flow wth Reynolds numbers of 00,000 and 5000 wth nown numercal results for the Naer-Stoes equaton. There s soled the flow around a square (and a crcle) cylnder for Reynolds numbers 30; 00. Strouhal numbers are computed for on Kármán orte street. Fnally the flow around a square cylnder wth nfluence of thermal stratfcaton s computed wth usage of the Bussnesq appromaton for Froude numbers,00; 0,0; 0,0. For the ertcal component speed there s assessed the alue of the frequency. Keywords: Computatonal flud dynamcs, fnte olume method, WENO scheme, square cylnder thermally stratfed flow Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

4 Obsah Úod Kaptola Fyzální zálady atmosfércého proudění Naer-Stoesoy ronce Euleroy ronce Stratfoané proudění Bezrozměrný tar pohyboých ronc Fyzální pomy Kaptola Numercé metody Metoda onečných obemů Neoscluící schémata Časoá dsretzace Dsretzace derací a nterpolace Hyperbolcé ronce Metoda postupných roů Posunutá síť Possonoa ronce Vnořená hrance Strouhaloo číslo Výpočet ntegrálu Kaptola 3 Strutura programu Torba programu a eho blooé uspořádání Počáteční a oraoé podmíny Výstupní data Kaptola 4 Zadání úloh Testoací úlohy pro program HYPERBOL Testoací úloha pro program EULER Testoací úloha pro program NAVIER-STOKES Úlohy proudění oolo nořeného tělesa Úloha proudění oolo nořeného tělesa s lem teplotní stratface Kaptola 5 Prezentace ýsledů Hyperbolcé ronce Ronce adece Burgersoa ronce Dsuze ýsledů Systém Euleroých ronce Dutna se čtercoým průřezem Proudění oolo nořeného tělesa Vnořený álec s průřezem e taru čterce Vnořený álec s průřezem e taru ruhu Dsuze ýsledů Stratfoané proudění oolo álce se čtercoým průřezem Kaptola 6 Záěr Lteratura Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

5 Úod Rozo matematcého modeloání fyzálních procesů e úzce spat s rozoem ýpočetní techny, zláště pa se zyšuící se rychlostí proáděných operací a zětšuící se apactou pamět. Platí to pro matematcé modeloání atmosfércého proudění popsané parcálním dferencálním Naer-Stoesoým roncem, teré se yíí obou záladních oblastech:. do matematcých modelů pronaí stále ětší fyzální detaly, teré edou e omploaněšímu yádření systému Naer-Stoesoých ronc, resp. ech počátečních nebo oraoých podmíne,. numercá řešení systému Naer-Stoesoých ronc yužíaí metody, teré sou e sém důsledu účnněší a přesněší. Obdobným směrem sou zaměřeny cíle této práce. Vytoření a odladění doudmenzonálního modelu pro nestlačtelné lamnární proudění atmosféře e podmíněno: a) zpřesněním popsu prostředí omplení orografe a geometre, b) zahrnutím lu teplotního zrstení (stratface). Na numercé řešení sou ladeny požaday: c) u prostoroé dsretzace ycházet z metody onečných obemů, d) použíat schémata yššího řádu přesnost a pro nelneární členy systému Naer- Stoesoých ronc schémata potlačuící nežádoucí osclace. Splnění podmíny a), teré bude směřoáno na použtí metody nořené hrance pro proudění oolo těles, bude yžadoat dostatečně emnou prostoroou dsretzac. Zahrnutí lu teplotní stratface podmínce b), teré bude řešeno zaedením Boussnesquoy apromace do systému Naer-Stoesoých ronc, bude znamenat zemnění časoé dsretzace, protože bude potřeba numercy řešt další parcální dferencální ronc pro poruchu potencální teploty. Ke splnění požadau d) bude oěřoána aplace WENO schémat, terá potlačuí falešné osclace, a použtí yššího řádu přesnost pro WENO a Runge-Kutta schémata a pro schémata centrální dsretzace prní a druhé derace a nterpolace. Uedená schémata budou mít složtěší algortmy ýpočtu. Prní aptola práce bude ěnoána zeména fyzálním záladům atmosfércého proudění popsaného systémem Naer-Stoesoých ronc a lu teplotní stratface zaedením Boussnesquoy apromace. Ve druhé aptole budou prezentoány metody použíané numercému řešení systému Naer-Stoesoých ronc. Jedná se předeším o metodu onečných obemů, WENO schémata, dsretzac časoé derace pomocí schémat Runge-Kutta a metodu nořené hrance. Ve třetí aptole bude popsán postup torby programu a bude uázáno eho blooé schéma. Čtrtá aptola bude zaměřena na zadání řešených úloh. Budou zde popsány testoací úlohy a na záěr úloha atmosfércého proudění s nořeným tělesem četně lu teplotní stratface. V páté aptole budou předstaeny a omentoány ýsledy numercých epermentů. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

6 Kaptola Fyzální zálady atmosfércého proudění V aptole sou odozeny záladní ronce zachoání hmoty a hybnost, teré se použíaí pro pops azé (Naer-Stoesoy ronce) a neazé (Euleroy ronce) teutny. Zaádí se stratfoané proudění pomocí Boussnesquoy apromace. Dále sou pohyboé ronce přeedeny do bezrozměrného taru. Na záěr sou defnoány záladní fyzální pomy, teré se yužíaí ýpočtům č zobrazoání ýsledů.. Naer-Stoesoy ronce Proudění teutn lze popsat pohyboým roncem, teré yadřuí záony zachoání různých fyzálních elčn. Jeden ze způsobů, a tyto záony ododt, e použtí ěty o transportu (FEISTAUER, 993). Defnce: Nechť F: M R reprezentue fyzální prostoroé pole. Část teutny se čase t nachází omezené oblast σ(t) Ω t. Celoá hodnota elčny F ázaná na oblast σ(t) e dána ztahem: F ( t ) F(, t ) d. (.) σ (t) Věta o transportu: Nechť (T,T ) e časoý nteral, t 0 (T,T ) a σσ(t 0 ) e omezená oblast. Potom estue nteral (t,t ) (T,T ), pro terý, za předpoladu že funce FF(,t) má spoté prní derace na oblast {(,t): t (t,t ), σ(t)}, platí, že pro šechna t (t,t ) estue onečná derace: df dt ( t ) d dt σ (t) Fd σ (t) F t ( F ) d, (.) sou složy rychlost. Důaz: z (FEISTAUER, 993). Pro hmotu ( ( t) ) ( σ ( t )) σ (t) m σ ontrolního obemu čase t platí: m d, (.3) e hustota teutny. Použtím (.) na (.3) se zísá ronce ontnuty e etoroém taru: Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

7 d dt ( ) 0, (.4) e etor rychlost. Ronce ontnuty e složoém taru e: d dt ( ) 0. (.5) Pro hybnost ( ( t) ) ( σ ( t )) σ (t) h σ ontrolního obemu čase t platí: h d. (.6) Nechť na ednotu ontrolního obemu působí obemoé síly ( ( t) ) ( σ ( t )) σ (t) F V σ : F V f d, (.7) f e etor síly (např. gratační síla). Nechť na hranc ontrolního obemu σ ( t) plošné síly ( σ ( t) ): F S ( σ ( t )) σ (t) působí FS nτ ds, (.8) n e etor ednotoé něší normály hranc ontrolního obemu a τ e tenzor napětí. Pro obě síly platí z Newtonoa záona: d h dt F V F S. (.9) Dosazením ztahů (.7) a (.8) do (.9) a užtím (.) se dostanou pohyboé ronce ntegrálním taru: t r r rr r r r. fd. (.0) ( ) d n ds n τ ds σ ( t ) σ ( t ) σ ( t ) σ ( t ) Užtím Greenoy ěty se zísaí pohyboé ronce dferencálním taru (pro složy etorů): ( ) ( ) t τ f, (.) Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 3

8 Pro tenzor napětí lze doázat, např. aploáním ěty o transportu, že e symetrcý: τ τ. (.) Obdobně lze ododt ronc pro zachoání hustoty celoé energe E: E u, (.3) u e ntřní energe. Záon zachoání hustoty celoé energe e dán: ( E ) ( E ) ( τ ) t f q Q f, (.4) q e hustota tepelných zdroů a Q sou složy etoru tepelného tou. Výše odozený systém pět ronc (.5), (.) a (.4) má edenáct neznámých,,, τ, τ, τ, τ, τ,, E., τ 33 Předpolad o přímé úměrnost mez napětím a deformací lze neobecně yádřt Hoooým záonem (HAVRÁNEK, 003): τ, (.5) C l ε l C l popsue lastnost láty a ε l e tenzor malých deformací: l ε l. (.6) l l Vsózní teutny splňuí Newtonů sózní záon yadřuící přímou úměru mez napětím a rychlostí deformace. Pro Newtonosé teutny se ztah (.5) zednoduší na tar: ( λε ) δ τ p µε, (.7) p e tla, δ e Kroneceroo delta, µ e součntel dynamcé sozty a λ e druhý oefcent sozty, pro terý platí teor azých teutn ztah: λ µ. (.8) 3 Dosazením (.7) do ronce (.) se dostanou hledané Naer-Stoesoy ronce: Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 4

9 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 5 ( ) ( ) f p t µ λ, (.9) teré lze uprat: ( ) ( ) ( ) f p t ν µ λ, (.0) ν e oefcent netcé azost: µ ν. (.) Pro nestlačtelnou teutnu se (.5) reduue: 0, (.) a ronce (.0) se upraí na: ( ) ( ) f p t ν. (.3) (.) a (.3) toří soustau 4 ronc pro 4 neznámé nebol uzařený systém Naer- Stoesoých ronc, terý se může dále řešt.. Euleroy ronce Pro doonalé teutny platí, že 0 µ. Vztah (.7) se zednoduší na tar: p δ τ. (.4) Pohyboé ronce, teré předpoládaí splnění ztahu (.4), se nazýaí Euleroy ronce (FERZIGER, PERIĆ, 996). Pro tento systém se uažuí tlaoé síly od sousedních částí teutny a něší sloé pole, do terého e teutna ložena (tzn. nečastě gratační pole). Dosazením (.4) do (.) se zísaí Euleroy ronce: ( ) f p t. r r r. (.5) Předpoládá se splnění ronce ontnuty pro nestlačtelnou teutnu (.), terá byla odozena část..

10 Ronce (.) a (.5) se nazýaí systémem 4 Euleroých ronc. Jedná se o uzařený systém, terý e řeštelný..3 Stratfoané proudění Vl teplotní stratface na proudění lze do systému Naer-Stoesoých ronc zahrnout pomocí Boussnesquoy apromace. Boussnesquoa apromace Boussnesquoa apromace, terá e prác odozena pro doudmenzonální případ, zahrnue poruchu tlau a hustoty (BEDNÁŘ, ZIKMUNDA, 985) do lamnárního nestlačtelného modelu proudění popsaného roncem (.) a (.3), de za f se zaádí gratační síla: ( ) ( ) t p ν r g, (.6) g e tíhoé zrychlení a r e ednotoý etor e směru ertální osy. Tla a hustotu lze popsat ztahy: p p p, (.7), (.8) p a yadřuí střední hodnoty tlau a hustoty a sou funcí ertální souřadnce : ( ) p f, (.9) ( ) g, (.30) a p a yadřuí poruchy tlau a hustoty, pro něž platí: ( t ) p h,, (.3), ( t ) l,. (.3), Pro poruchy a střední hodnoty tlau a hustoty se předpoládá následuící: p, <<. (.33) p Pro střední hodnoty elčn platí ronce hydrostatcé ronoáhy: p ( ) ( )g. (.34) Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 6

11 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 7 Dosazením (.7) a (.8) do (.6) se dostane: ( ) ( ) ( ) g p p t r ν. (.35) S použtím Tayloroa rozoe pro < e taru (BARTSCH, 996): ( )... ± m, (.36) se zlome s hustotou e ztahu (.35) přeede na tar:. (.37) S přhlédnutím e ztahu (.34) se upraí tlaoý gradent (.35): ( ) p g p p r. (.38) Dosazením (.37) a (.38) do (.35) se zísá: ( ) ( ) g p g g p t r r r ν. (.39) Člen p lze zanedbat, protože adrát poruch e malý: ( ) ( ) g p t ν r. (.40) Z defnce potencální teploty θ (BEDNÁŘ, ZIKMUNDA, 985) plyne: θ θ. (.4) Pro poruchu θ střední hodnotu θ potencální teploty platí analogcé záslost ao pro hustotu, z (.8), (.30), (.3) a (.33). Vztah (.4) se dosadí do pohyboé ronce (.40): ( ) ( ) g p t ν θ θ r. (.4)

12 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 8 Pohyboé ronce (.4) (resp. ronce (.40)) se nazýaí Naer-Stoesoy ronce s Boussnesquoou apromací. Ronce pro poruchu potencální teploty V Boussnesquoě apromac e zaedena elčna poruchy potencální teploty, pro terou se ododí z ronce ontnuty pro stlačtelnou teutnu (.5) nelneární parcální dferencální ronce. Do (.5) pro doudmenzonální případ se dosadí (.8): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t. (.43) Zde se přhlédne podmínám (.30) a (.3): ( ) t, (.44) a s použtím doudmenzonální ronce ontnuty (.) se dostane ýsledná ronce pro poruchu hustoty: t. (.45) Dosazením (.4) přede (.45) na ronc pro poruchu potencální teploty: t θ θ θ θ. (.46) Doudmenzonální ronce ontnuty (.), ronce (.4) a (.46) toří systém Naer-Stoesoých ronc s Boussnesquoou apromací pro 4 neznámé elčny..4 Bezrozměrný tar pohyboých ronc Pro modeloání e ýhodné počítat pohyboé ronce tz. bezrozměrném taru. Tento tar se zísá zaedením bezrozměrných proměnných (označené hězdčou), teré se defnuí ao poměr dané elčny a hodného měříta steného fyzálního rozměru (FERZIGER, PERIĆ, 996): g b b L U p p U L t t U r r,,,,,, θ θ θ θ θ θ. (.47)

13 Za U se bere buď mamální stupní rychlost, nebo mamální rychlost z oraoých podmíne. L e charaterstcý rozměr buď celé počítané oblast, nebo nořeného tělesa. Za θ e možno olt referenční teplotní dferenc. b r e obemoá gratační síla: r b r g. (.48) Bezrozměrná ronce ontnuty (.) má tar: 0. (.49) Naer-Stoesoy ronce (.3) s obemoou gratační slou (.48) bezrozměrném taru sou: ( ) ( ) p r t Re Fr Re e Reynoldsoo číslo, teré e defnoáno: b, (.50) UL Re, (.5) ν což udáá poměr setračných a azých sl. Fr e Froudeoo číslo: Fr U, (.5) gl yadřuící poměr tíhoé a setračné síly. Euleroy ronce (.5) s obemoou gratační slou (.48) bezrozměrném taru sou: ( ) ( ) p r t b. (.53) Fr Tíhoá síla b r (.50) a (.53) e ložena do tlaoého členu a tla a zísaí se Naer-Stoesoy ronce: p přede na p ( ) ( ) p t Euleroy ronce: Re. (.54) Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 9

14 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 0 ( ) ( ) p t. (.55) Naer-Stoesoy ronce s Boussnesquoou apromací (.4) bezrozměrném taru sou: ( ) ( ) Re θ θ Fr p t. (.56) Ronce pro poruchu potencální teploty (.46) bezrozměrné taru e: t θ θ θ. (.57) V další část práce sou bezrozměrných roncích hězdčy ynechány..5 Fyzální pomy Uedené fyzální elčny se použíaí ýpočtům a zobrazoání ýsledů. Vortcta Vortcta nebol írnatost č ířost charaterzue íroou struturu dané teutny (PECHALA, BEDNÁŘ, 99). Pro dodmenzonální případ má ortcta ω tar: ω. (.58) Proudoá funce Zaádí se salární funce pro doudmenzonální případ, terá se nazýá proudoá funce ψ (PECHALA, BEDNÁŘ, 99): d d ψ, (.59) d d ψ. (.60) Pomocí proudoé funce defnoané ztahy (.59) a (.60) lze zobrazt proudoé pole proudnc, což sou řy, teré maí daném oamžu taoý tar, že aždém bodě tečna na proudnc znázorňue etor rychlost proudění.

15 Kaptola Numercé metody. Metoda onečných obemů Pohyboé ronce ntegrálním taru (.0) zahrnuí členy s plošným a obemoým ntegrály. K ech řešení na oblast σ(t) se yužíá metoda onečných obemů (FERZIGER, PERIĆ, 996). Oblast σ(t) se rozdělí na onečný počet malých ontrolních obemů (control olumes dále CV), pro něž platí analogcé pohyboé ronce ntegrálním taru. V prác e použta pro šechny modely yužíaící záony zachoání dourozměrná metoda onečných obemů na čase nezáslé oblast σ ortogonální edstantní sít. Za CV sou brány obdélníy σ, de,m sou celá čísla, pro něž platí:, m., m. y, (.) y m a y m sou souřadnce CV a a y sou eho rozměry. Apromace plošných ntegrálů Pro plošný ntegrál počítaný přes hranc CV platí: 4. ds S l S l f f. ds, (.) f sou omponenty adečního a azého etoru e směru normály CV porchu S a S l sou ednotlé strany CV (obdélnía). Jednotlé plošné ntegrály na praé straně (.) lze napsat ao součn průměrné hodnoty omponentů f l e středu S l a dély příslušných stran CV: f. ds f l. S. (.3) l S l Apromace obemoých ntegrálů Pro obemoý ntegrál počítaný přes CV platí: q. d q. V, (.4) V q sou omponenty časoé parcální derace rychlost nebo obemoé síly, q e střední hodnota pro CV, terá se bere ao hodnota funce q e středu CV, a V e eho obem. Systém Naer-Stoesoých ronc (.54) e možno modfoat podle (YANG et al., 998) na tar: Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

16 ( F F ) ( G G ) 0, W (.5) t de: y y W 0 u, F( W ) u u p u, G( W ) u, (.6) p 0 F ( W ) u Re u y, G ( W ) Re 0 u y y. (.7) Přeedením systému (.5), (.6) a (.7) na ntegrální tar se zísaí Naer-Stoesoy ronce s použtím metody onečných obemů pro CV o souřadnc (,y m ): ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F, G G, G G m m, m, m y V (.8) sou hodnoty tooé funce ( F ) a ( ) Wt. (.8) F G G na hrancích CV, teré sou z hodnot e středu CV reonstruoány děm záladním metodam: protproudoé (upwnd) schéma zohledňue směr tooé funce e středu CV, což e zásadní pro stabltu řešení zeména u nelneárních omponent, metoda centrálních schémat použíá symetrcou reonstruc. Analogcy se ododí metoda onečných obemů pro Euleroy ronce č Naer- Stoesoy ronce s Boussnesquoou apromací.. Neoscluící schémata Je známo, že řešení hyperbolcých ronce (z část.5) mohou obsahoat nespotost případě, že počáteční podmína e hladá funce. Řešení pomocí obylých schémat onečných dferencí e potom nepřesné, protože obsahue např. umělé osclace. Ze zušeností s řešením hyperbolcých ronc lze pro schémata formuloat da záladní požaday: musí umět řešt emnou struturu hladém proudoém pol, musí elm přesně zachytt soy na dsontnutách, aby se neytářely umělé osclace (Gbbsů e podržené, nepraé, falešné osclace), teré sou zaměntelné např. s turbulencem. Proto byla nalezena noá účnněší apromuící schémata, mez teré patří: schémata s lesaící celoou odchylou TVD (total-araton-dmnshng); schémata s omezenou celoou odchylou TVB (total-araton-bounded); podstatě neoscluící schémata ENO (essentally non-osclatory); Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

17 ážená podstatě neoscluící schémata WENO (weghted essentally non-osclatory). Vážněší analýza stablty a onergence řešení e pro tyto případy ětšnou možná pouze pro salární ednorozměrné nelneární případy. Pro íce rozměrné nelneární systémy, dy zpracoání teore úplné onergence e elm obtížné, dáaí dobré ýsledy numercé epermenty práě s yužtím TVD, TVB, ENO a WENO schémat. Da druhy použtelných schémat s ysoým rozlšením uádí (HANNAPEL, 994): TVD-MUSCL schéma, ehož zálady sou položeny (VAN LEER, 979), ENO schéma e prně publoáno (HARTEN et al., 987) a upraeno na yšší rozlšení (HARTEN, 989). Pro sronání zde bylo použto TVD-MUSCL schéma podle (COLELLA, 985) naazuící na an Leerů a Woodwardů algortmus (VAN LEER, 979). Numercá metoda se nazýá TVD (s lesaící celoou odchylou), estlže pro salární záony zachoání e splněna neronost: TV n n ( ) TV ( ), (.9) celoá odchyla e defnoána ztahem: ( ) TV. (.0) V TVD-MUSCL schématu se zaručue pro CV splnění neronost (.) zaedením n ~, t průměrné rychlost n : po částech lneární reonstruce ( ) TV n n ( (, t )) TV ( ) n n ~. (.) Je doázáno, že neronost (.) e splněna pro salární záony zachoání. Aby bylo n garantoáno spráné choání po částech lneární reonstruce ~ (, tn ) proudu s dsontnutou, zaádí se omezoače slonu, teré ša snžuí přesnost blízost dsontnuty. V TVD-MUSCL schématu e lneární reonstruce CV proměnná a omezoače sou zísány algortmem (COLELLA, 985). V (COLELLA, WOODWARD, 984) e možno nalézt po částech parabolcou metodu (PPM) reonstruce. V ENO schématech podle (HARTEN et al., 987) se pro hodnoty na hranc CV použíá po částech polynomální reonstruce z průměrných hodnot rychlostí e středu CV, terá zaručue splnění neronost: ( ~ n n r (, t )) TV ( ) O( h ) TV, (.) r ( h ) n O yadřue chybu. ENO schéma e stupně r a řádu přesnost r. Reonstruce e podstatě neoscluící. Umožňue falešné osclace rámc chyby řádu r. Reonstruc na hranc CV e možné proést děma způsoby podle podmíny na upwnd. Pro protěší hrance ednoho CV e nutné dodržet stený způsob reonstruce. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 3

18 Hartenů algortmus e založen na ýběru adaptní posloupnost sousedních CV (stencl) pro hranc, de se reonstruce proádí. Stencl se olí podle nenžší celoé odchyly, dy polynomální reonstruce z průměrných hodnot rychlostí e středu CV e nehladší. ENO schémata sou dále rozpracoána (SHU, OSHER, 988) a (SHU, OSHER, 989). Numercé epermenty (HANNAPEL, 994) demonstruí ýhodu ENO schématu čtrtého řádu přesnost nad TVD-MUSCL schématy. TVD-MUSCL schéma yužíá pro reonstruc pený stencl a zyšoání řádu přesnost pro stanoení apromace prostoroých derací hyperbolcé ronc e omezeno, protože řešení rozmazáá dsontnuty, a tím dochází zpětně e snížení řádu přesnost. ENO schéma e možno použíat s yšším řádem přesnost. Řešení hyperbolcých ronc obsahue romě prostoroé časoou dsretzac. V (HARTEN et al., 987) použl ENO schémata s La-Wendroffoou procedurou. V (SHU, OSHER, 988) a (SHU, OSHER, 989) ombnoal použtí ENO schématu pro prostoroé proměnné s íceúroňoým TVD schématem typu Runge-Kutta (z část.3). WENO schémata Metoda ENO e dále rozíena WENO schématy (LIU et al., 994) a (JIANG, SHU, 996) ombnac se schématem Runge-Kutta. WENO schémata použíaí oprot metodě ENO šechny stencly s přřazeným áham. Jech ýpočet se proádí z elost celoé odchyly pro daný stencl. Neětší áhu má stencl s nemenší celoou odchylou. WENO schéma e r stupně a řádu přesnost r. Přesnost pro reonstruční polynomy třetího stupně, teré se použíaí prác, e pátého řádu. Je tedy yšší o eden řád než u ENO schémat. Vzorce pro WENO schémata s přesností pátého řádu Vzorce pro WENO schémata sou pro 5. řád přesnost použty podle 6 (TITAREV, TORO, 004), de sou obsaženy onstanty d 0,; d 0,6; d 3 0,3 a ε.0. df Pro způsob upwndu daného podmínou 0 sou reonstruoány hranční d hodnoty pro CV. Hrance CV Polynomy. p pro ednotlé stencly: ( ( ) 7( ) ( ) ) p, (.3) 6 ( ( ) 5( ) ( ) ) p, (.4) 6 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 4

19 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 5 ( ) ( ) ( ) ( ) p. (.5) Výpočet celoé odchyly β pro ednotlé stencly: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β, (.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 β, (.7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β. (.8) Hrance CV. Polynomy p pro ednotlé stencly: ( ) ( ) ( ) ( ) p, (.9) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 p, (.0) ( ) ( ) ( ) ( ) p. (.) Výpočet celoé odchyly β pro ednotlé stencly: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ) ( β (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 β, (.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β. (.4)

20 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 6 Výpočet ah ± α pro hrance CV, de,,3: ± ± d β ε α. (.5) Výpočet normalzoaných ah ± ω pro hrance CV, de,,3: ± 3 α α, (.6) α α ω ± ±. (.7) Potom reonstruoaná hodnota ± na hrancích CV e dána: ± 3 p ω. (.8) Pro způsob upwndu daného podmínou 0 < d df sou reonstruoány hranční hodnoty pro CV. Hrance CV. Polynomy p pro ednotlé stencly: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 p, (.9) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 p, (.30) ( ) ( ) ( ) ( ) p. (.3)

21 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 7 Výpočet celoé odchyly β pro ednotlé stencly: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β, (.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 β, (.33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β. (.34) Polynomy p pro ednotlé stencly: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 p, (.35) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 p, (.36) ( ) ( ) ( ) ( ) p. (.37) Výpočet celoé odchyly β pro ednotlé stencly: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β, (.38) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 β, (.39) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β. (.40) Výpočet ah ± α pro hrance CV, de,,3: 4 ± ± d β ε α. (.4)

22 Výpočet normalzoaných ah ω ± pro hrance CV, de,,3: 3 α ± α, (.4) ω ± α. (.43) α ± Potom reonstruoaná hodnota ± na hrancích CV e dána: 3 ± ω p. (.44).3 Časoá dsretzace Pro ýpočet parcální časoé derace Naer-Stoesoých roncích e použto TVD schéma (z část.) Runge-Kutta čtrtého stupně, teré má řád přesnost čtyř. K eho použtí edly da důody. Prním e zachoání yššího sronatelného řádu přesnost u šech metod použtých př ýpočtu systému Naer-Stoesoých ronc. Např. WENO schémata sou pátého řádu přesnost. Dále olba schématu Runge-Kutta čtrtého stupně e efetní na dobu trání ýpočtu, protože eí řád přesnost e čtyř, obdobně ao u schématu pátého stupně. Až tepre schéma Runge-Kutta šestého řádu má řád přesnost pět. d dt L (, t ). (.45) V (STRANG, 964) e pro obyčenou dferencální ronc (.45) s eplctně yádřenou časoou derací popsáno schéma Runge-Kutta čtrtého stupně ztahem: n n t 6 ( ) 3 4, (.46) sou nterpretoány ao apromace L(, t) praé strany ronce (.45): n ( n t ) n t L,, L, n t n t L, n t, ( t ) n 3, L 3 t, ( n ) 4. (.47) Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 8

23 Pro praou stranu ronce (.45) se dále použe zednodušení, teré ychází z Naer- Stoesoých ronc, de není eplctně yádřen čas. Po úpraách (.46) a (.47) se dostane postupné řešení rychlost e třech pseudo-časoých rstách mez časy n a n a ýsledná rychlost čase n. Vzorce schéma Runge-Kutta čtrtého stupně maí tar: ( ) n n tl ( ), (.48) ( ) n n ( ) ( ) tl ( ) tl ( ), (.49) 4 ( 3 ) n n ( ) ( ) ( ) ( ) tl ( ) tl ( ) tl ( ), (.50) n 3 tl 6 ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) tl ( ) (.5) Podmína stablty, tedy Courant-Fredrchs-Lewyho (CFL) podmína, ychází pro čtrtý stupeň podle (SHU, OSHER, 988): CFL. (.5) 3.4 Dsretzace derací a nterpolace Dsretzace prních a druhých derací a nterpolace funce e středu mez děma body se prác použíá pro ýpočet azých členů Naer-Stoesoých roncích, oboustranných transformací mez posunutým sítěm pro složy rychlost a pro tla, Possonoy ronce a oraoých podmíne. Odození e proedeno s yšším řádem přesnost než sou použtá WENO a Runge-Kutte schémata. Jednotlé zorce ycházeí z Tayloroa rozoe (BARTSCH, 996) pro func f() do sedmého (resp. šestého) řádu přesnost. K odození zorců prní a druhé derace přímo bodě sítě se zísaí dě ronce z Tayloroa rozoe pro sousední body a ± h : f ( a ± h) f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) ( IV ) ( V ( ) ) ( VI a f ( a) f ) ( a) 4! h 4 ± f ±! 5! h h 5! 6! h h ± 6 3!... h 3. (.53) Dále se roncím (.53) analogcy přdaí čtyř ronce pro zdáleněší čtyř body a ± h a a ± 3h : f ( a ± h) f ( a) f ( a) ( ) f ( a) ( ) f ( a) h h ± ( h ) ( IV ) ( V ( ) ) ( VI a ( ) ( ) ) 4 f a ( ) 5 f ( a) ( ) 6 ±... 4! h f ±! 5! h! 6! h 3! 3, (.54) Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 9

24 f f ( a ± 3h) f ( a) f ( a) ( ) f ( a) ( ) f ( a) 3h 3h ± ( 3h ) ( IV ) ( V ( ) ) ( VI a ( ) ( ) ) 4 f a ( ) 5 f ( a) 3 3 ( 3 ) 6 h ± h h... 4! f ±! 5!! 6! 3! 3. (.55) Pro ypočtení prní derace se od sebe odečtou následuící ronce: ( a h) f ( a h), f ( a h) f ( a h), f ( a 3h) f ( a 3h). (.56) Zísá se soustaa tří ronc, e teré se nacházeí en lché derace. Po ech yřešení má zorec pro prní derac se sedmým řádem přesnost následuící tar: f ( a) f ( a 3 h) 9 f ( a h) 45 f ( a h) 45 f ( a h) 9 f ( a h) f ( a 3h) 60h. (.57) f Pro ypočtení druhé derace se sobě přčtou následuící ronce: ( a h) f ( a h), f ( a h) f ( a h), f ( a 3h) f ( a 3h). (.58) Zísá se soustaa tří ronc, e teré se nacházeí en sudé derace. Po ech yřešení má zorec pro druhou derac s šestým řádem přesnost následuící tar: f ( a) f ( a3h) 7f ( ah) 70f ( ah) 490f ( a) 70f ( a h) 7f ( a h) f ( a 3h) 80. h. (.59) V prác se použíá posunutá síť, terá e popsána část.7. Proto e potřeba ododt zorce pro prní derac a nterpolac mez děma body sítě e zdálenost h, protože tla e oprot rychlost posunut práě o zdálenost h. V roncích (.53), (.54) a (.55) se nahradí ýraz h ýrazem h a dostanou se Tayloroy rozoe h 3h 5h f a ±, f a ± a f a ±. Pro ýpočet prní derace se proede analogcá operace odčítání podle (.56): h h f a fa, 3 h 3 h f a f a, 5 h 5 f a fa h. (.60) Vyřešením soustay tří ronc se zísá zorec pro prní derac posunuté sít se sedmým řádem přesnost: f ( a) 5h 3h h h 3h 5h 9fa 5f a 50f a 50f a 5f a 9fa. (.6) 875. h Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 0

25 Pro ýpočet nterpolace se proede analogcá operace sčítání podle (.58): h h f a fa, 3 h 3 f a fa h, 5 h 5 f a fa h. (.6) Vyřešením soustay tří ronc se zísá zorec pro nterpolac posunuté sít s šestým řádem přesnost: f ( a) h 5 h h h h 3 h f a f a fa fa f a f a. (.63) 56.5 Hyperbolcé ronce V řadě metod (resp. př testoání úloh) popsaných prác se ychází z ednodušší hyperbolcé ronce, terá yadřue záon zachoání pro doudmenzonální případ. Hyperbolcá ronce e dána ztahem (CASPER, ATKINS, 993): t y (, y, t ) f ( (, y, t )) g ( (, y, t )) 0, (.64) (,y,t) e etor rychlost a f((,t)) a g((,t)) sou tz. tooé funce. V záslost na tooé func f((,t)) a g((,t)) se hyperbolcá ronce (.64) dělí na lneární a nelneární. Ronce adece Nechť funce f((,y,t)) a g((,t)) sou lneární funce (,y,t) a defnuí se e taru: f ( (, y, t )) a (, y, t ), ( (, y, t )) a (, y, t ) g, (.65) a e reálné číslo. Potom ronce (.64) přede na lneární adeční ronc: t y (, y, t ) a (, y, t ) a (, y, t ) 0 Burgersoa ronce. (.66) Další typ hyperbolcé ronce předpoládá, že f((,y,t)) a g((,t)) sou nelneární funce (,y,t). Nechť sou defnoány: f, ( (, y, t )) (, y t ), g ( (, y, t )) (, y, t ). (.67) Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře

26 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře Potom dosazením (.67) do ronce (.64) se zísá tz. Burgersoa ronce onzeratním taru: ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, t y y t y t y t. (.68) Proedením derace (.68) se dostane neonzeratní Burgersoa ronce: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,,,,,,, t y y t y t y t y t y t. (.69).6 Metoda postupných roů Řešení Naer-Stoesoých ronc a ronce ontnuty pro nestlačtelné proudění má sá specfa. Ronce ontnuty neobsahue časoou derac hustoty, terá se případě stlačtelného proudění dá použít spolu se staoou roncí pro ýpočet tlau. Jsou dě záladní metody, a se př nestlačtelném proudění postupue. Prní možnost e použít tz. metodu umělé stlačtelnost (YANG et al., 998). Druhá e metoda postupných roů (BROWN et al., 00), terá e použta prác. Je založena na rozložení řešení ronce do něola roů. V prác byla použta dourooá metoda. Naer-Stoesoy ronce (.54) lze schematcy napsat napřílad pomocí Euleroy časoé dsretzace: ( ), t P C n n (.70) C zahrnue adeční a azé členy a P e tlaoý člen. Dourooou metodu postupných roů lze zapsat: t C n, (.7) t P n. (.7) Nedříe se ypočte z Naer-Stoesoých ronc (.54) bez tlaoého členu pole etoru rychlost. Toto pole nesplňue ronc ontnuty. Proto následue druhý ro metody, terý schematcy naznačue proec rychlost na n pomocí tz. pseudotlau Φ ta, že za tlaoý člen P se dosadí gradent Φ: n t Φ. (.73) V (.73) se požadue splnění ronce ontnuty (.49) pro n. Použtím operátoru dergence na (.73) se dostane:

27 .( Φ ). t. (.74) S přhlédnutím etoroé analýze se (.74) upraí na Possonou ronc: Φ.. t. (.75) Z ronce (.75) se spočte Φ pomocí Gauss-Sedeloy metody uedené část.8. Z gradentu Φ se ypočtou složy rychlost n : n Φ t. (.76).7 Posunutá síť Plně posunutá síť (staggered grd) byla popré uedena (HARLOW, WELCH, 965). Pro numercé řešení Naer-Stoesoých ronc se použíaí da druhy sítí. Na obr. č..(a) e znázorněna neposunutá (unstaggered) síť a na obr. č..(b) e částečně (partally) posunutá síť (MCDONOUGH, 003). Obr. č.. Neposunutá (a) a posunutá (b) síť Neposunutá síť má šechny tř počítané elčny složy rychlost u, a tla p e steném bodě průsečících sítě, zatímco u částečně posunuté sítě e tla p posunut oprot složám rychlost u, o polonu úhlopříčy buňy sítě. V této prác e použta pro ýpočet tlaoé orece (druhého rou řešení Naer- Stoesoých ronc) částečně posunutá síť. V prním rou metody postupných roů sou ypočteny hodnoty slože rychlost průsečících sítě (z obr. č..). Pro ýpočet praé strany Possonoy ronce sou nedříe hodnoty slože rychlost nterpoloány (z část.4) do příslušných středů stran sítě. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 3

28 Obr. č.. Interpoloané složy rychlost u, e středu stran posunuté sítě Na obr. č.. znázorňuí špy e ertálním směru nterpoloanou složu rychlost a špy horzontálním směru nterpoloanou složu rychlost u. Následně e ypočtena dergence rychlost pro uzly posunuté sítě, e terých se řešením Possonoy ronce určí pseudotla Φ. Analogcy se proede zpětná transformace Φ uzlech posunuté sítě pomocí nterpolace do středu stran sítě a ypočte se gradent Φ průsečících neposunuté sítě e orec slože rychlost..8 Possonoa ronce U metody postupných roů (z část.6) se e druhém rou proádí tlaoá orece rychlost za splnění ronce ontnuty, terá přeádí řešení na Possonou ronc (.75). Ronce se dsretzue pomocí ztahů pro prní a druhou derac (z část.4):. Φ ( 3,. Φ 9. u Φ, 3 5, 5,, 7. Φ, 5. u Φ 3, 3,, 70. Φ, 50. u 490. Φ Φ, 80. y , 875. y,, 50. u 70. Φ,,, 70. Φ, 5. u Φ 3, 3,, 7. Φ, 9. u 9.. Φ 5, 5, 3,. Φ ) t, 3, (.77), označuí buňy posunuté sítě, přčemž e nde e směru osy a e nde e směru osy y. V (.77) e na leé straně dsretzace Laplaceoa operátoru. Na praé straně e dsretzoán operátor dergence. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 4

29 Gauss-Sedloa metoda Vztah (.77) předstaue soustau lneárních ronc. Jednou z možností řešení soustay e terační metoda. V prác byla použta Gauss-Sedloa metoda (RALSTON, 978). Obecně soustaa n lneárních ronc pro n neznámých,, n má tar: a a. a n a a a n... a n... a... a n nn n n n b b b n, (.78) a sou onstanty a b e praá strana. Gauss-Sedlou terační metodu lze pro systém ronc (.78) popsat ztahem: n b a a, (.79) a e terační ro metody. Z (.79) e dět, že Gauss-Sedloa metoda použíá proáděné terac ž ypočtené složy neznámé. Popsaný algortmus se též nazýá metodou postupných opra. Pro terační metodu (.79) použtou na ýpočet pseudotlau Φ soustaě ronc (.77) e počet terací zolen ta, aby mamální změna hodnot Φ e dou následných teračních rocích byla menší než ε..9 Vnořená hrance Metoda nořené hrance e ynuta pro smuloání proudění oolo nebo untř složté geometre (KIM et al., 00). Do pohyboých ronc e dodáána hybnost ompenzuící hranc nořeného tělesa pomocí nterpolace rychlost a do ronce ontnuty e zabudoán zdro hmoty. Použtá metoda nořené hrance e druhého řádu přesnost. Interpolace rychlost K zísání hodnot rychlost untř nořeného tělesa se použíá metoda blneární a lneární nterpolace. Blneární nterpolace (z obr. č..3 (a)) ypočte neznámou hodnotu rychlost U z ostatních tří rychlostí u ~. Metoda blneární nterpolace e defnoána ztahem: U [ α ( β ) ~ ( α )( β ) ~ ( α ) β ~ u u u ]/ αβ, (.80) 3 4 U e hledaná nterpoloaná hodnota untř nořeného tělesa, u ~ sou hodnoty rychlostí ně Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 5

30 Obr. č..3 Interpolace rychlostí metodou blneární (a), lneární (b) nořeného tělesa a pro α,β platí: ( ) 3 P α, (.8) ( ) 3 ( y y ) P β, (.8) ( y y ) 3,, P, y,y, y P sou zdálenost plynoucí z obr. č..4. Obdobně se počítá složa rychlost e směru osy y. Obr. č..4 Blneární nterpolace Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 6

31 Lneární nterpolace se použíá případě (z obr. č..3 (b)), dy e nutné určt dě neznámé hodnoty rychlost U a U untř nořeného tělesa. Obr. č..5 Rozdělení lneární nterpolace Z obr. č..5 e patrné, že lneární nterpolace e rozdělena na da případy: Jestlže e splněna podmína 0 < h y (z obr. č..5(a)), potom platí: A h. (.83) U u~ A y A Př splnění podmíny y < h < y (z obr. č..5(b)) platí: A B U ~ ( y h) u ( h y ) u~ B A A B, (.84) yb y A U e hledaná nterpoloaná hodnota untř nořeného tělesa, u ~ A a rychlostí ně nořeného tělesa a h,y A,y B sou zdálenost z obr. č..5. Zdro hmoty Obdobně se počítá složa rychlost e směru osy y. u ~ B sou hodnoty Metoda nořené hrance dále yužíá tz. zdro hmoty q, terý se zabudoáá do ronce ontnuty (.49) pro buňy (z obr. č..6) s nterpoloaným rychlostm: q 0. (.85) Zdro hmoty q ompenzue nořené těleso a buňách s tímto tělesem odčítá od ronce ontnuty dergenc nterpoloaných rychlostí (z obr. č..6). Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 7

32 Obr. č..6 Zdro hmoty Mmo nořené těleso platí ronce ontnuty: u y 0, (.86) u a sou rychlost ně nořeného tělesa a, y sou zdálenost mez uzloým bodem a nořeným tělesem. Potom pro celou buňu bude platt na záladě metody nořené hrance: u y u y q y, (.87) u a sou rychlost untř tělesa. Dosazením (.86) do (.87) se dostane ýraz pro zdro hmoty: q u. (.88) y Tento případ e ndduální a e pro aždou část nořeného tělesa ný. Řešení e ša analogcé..0 Strouhaloo číslo Jedním z čísel, teré e hodné e sronání s ostatním publacem pro proudění oolo nořeného tělesa, e Strouhaloo číslo St (STROUHAL, 878). Číslo popsue rychlost odtrháání íru za nořenou přeážou a defnue se: Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 8

33 fd St. (.89) u ma f e freence odtrháání írů, D e charaterstcý rozměr nořeného tělesa a u ma e neyšší rychlost na stupu.. Výpočet ntegrálu Pro znázornění proudnc sou použty ronce pro proudoou func (.59) a (.60) defnoané část.5. K zštění proudoé funce ψ e nutné proést ýpočet ntegrálu. Jednou z numercých metod pro ýpočet ntegrálu e lchoběžníoé pradlo, teré e odozeno z Newton-Cotesoých ronc (RALSTON, 978). Nechť nteral [ a, b] e rozdělen na m dílčích subnteralů, potom zorec pro ýpočet ntegrálu funce f() pomocí lchoběžníoého pradla má tar: b a f ( ) d h f0 f f... fm f m f m, (.90) ( a ) f f a h ( b a) h e déla subnteralu. m Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 9

34 Kaptola 3 Strutura programu V této část práce e ysětlena strutura programu a sou uedeny eho rozšíření pro ednotlé typy úloh. Dále sou defnoány počáteční a oraoé podmíny použíané programu a popsány způsoby zobrazoání dat. 3. Torba programu a eho blooé uspořádání Zdrooý ód programu e napsán azyce Fortran 90 Powerstaton. Program znal pro numercá řešení systémů hyperbolcých, Euleroých, Naer-Stoesoých ronc (resp. Naer-Stoesoých ronc s Boussnesquoou apromací) popsaných předcházeících aptolách. Řešení sou postaena na algortmech numercých metod ysětlených aptole. Postupná realzace dílčích programů pro ednotlé systémy ronc umožňue ednoduší oěřoání funčnost a příprau numercých epermentů. Testoání programu pro systém hyperbolcých a Euleroých ronc e proedeno na příladech se známým analytcým řešením. Testoání programu pro systém Naer-Stoesoých ronc se usutečnlo poronáním se známým numercým řešením. Jao prní znl program HYPERBOL řešení hyperbolcé ronce pro dourozměrný souřadný systém, rychlost u se salárním tooým funce fu(u) a gu(u). Nedříe byl naprogramoán blo reonstruce tooé funce pomocí WENO schémat s přesností pátého řádu popsaných část., terý e nořen do blou časoé dsretzace rychlost pomocí schéma Runge-Kutta s přesností čtrtého řádu (z část.3). Program e dále tořen bloy počátečních a oraoých podmíne specfoaných část 3. a bloem ýpsu počítaných dat (z část 3.3). Blo počátečních podmíne Blo oraoých podmíne Blo časoé dsretzace rychlost: u Blo reonstruce tooé funce: fu(u),gu(u) Blo ýpsu počítaných dat Konec Obr. č. 3. Strutura programu HYPERBOL Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 30

35 Testoání programu HYPERBOL za účelem oěření eho funčnost a ýše popsaných schémat e proedeno pro numercé řešení lneární hyperbolcé ronce (z část 5..), resp. nelneární Burgersoy ronce (z část 5..). Počáteční podmíny ycházeí ze známého eatního řešení čase t 0. Oraoé podmíny sou proměnné s časem a na hranc se shoduí s eatním řešením. Na obr. č. 3. e znázorněna strutura programu HYPERBOL. Program HYPERBOL e dále rozšířen na program EULER řešení systému Euleroých ronc, terý e popsán část., pro doudmenzonální případ, pro etor rychlost (u,) s etoroým tooým funcem (fu(u,),f(u,)) a (gu(u,),g(u,)) a s tlaoým členem. K řešení dou Euleroých ronc bez tlaoého členu pro časoou derac slože rychlost u a e program upraen na ýpočet etoru rychlost s etoroým tooým funcem. Jedná se o blo reonstruce tooé funce a blo časoé dsretzace rychlost. Ronce ontnuty e řešena spolu s tlaoým členem metodou postupných roů s tlaoou orecí popsanou část.6. Za tímto účelem byl programu přdán blo tlaoé orece rychlost, de se proádí orece etoru rychlost na záladě pseudotlau ypočteného z Possonoy ronce Gauss-Sedeloou metodou (z část.8). Součástí e oboustranná transformace elčn mez posunutým sítěm popsaná část.7. Testoání programu EULER, za účelem oěření eho funčnost a zeména blou tlaoé orece rychlost, e proedeno pro numercé řešení systému Euleroých ronc se známým eatním řešením (z část 5.). Počáteční podmíny se shoduí s eatním řešením čase t 0. Oraoé podmíny sou proměnné s časem a na hranc se shoduí s eatním řešení. Na obr. č. 3. e znázorněna strutura programu EULER. Blo počátečních podmíne Blo oraoých podmíne Blo časoé dsretzace rychlost: u, Blo reonstruce tooé funce: fu(u,),f(u,),gu(u,),g(u,) Blo tlaoé orece rychlost: Φ Φ u t., t. y Blo ýpsu počítaných dat Konec Obr. č. 3. Strutura programu EULER Program NAVIER-STOKES pro numercé řešení systému Naer-Stoesoých ronc, terý e popsán část., e rozšířením programu EULER o ýpočet azých členů, Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 3

36 teré sou zaomponoány do tooé funce (z část.). Do blou reonstruce tooé funce e nořen blo centrální dsretzace derace rychlost popsané část.4. Testoání programu NAVIER-STOKES, za účelem oěření eho funčnost a zeména blou centrální dsretzace rychlost, e proedeno pro známé numercé řešení čtercoé dutny (z část 5.3). Počáteční podmíny pro etor rychlost sou nuloé hodnoty. Pro etor rychlost na hranc platí Drchletoy oraoé podmíny (z část 4.3). Program e dále rozšířen o možnost řešení problému proudění oolo tělesa s yužtím metody nořené hrance popsané část.9. Blo smulace rychlost na hranc e přdán do blou časoé dsretzace rychlost a blo zdroe hmoty na hranc do blou tlaoé orece rychlost. Na obr. č. 3.3 e znázorněna strutura programu NAVIER-STOKES. Blo počátečních podmíne Blo oraoých podmíne Blo časoé dsretzace rychlost: u, Blo smulace rychlost na hranc Blo reonstruce tooé funce: fu(u,),f(u,),gu(u,),g(u,) Blo centrální dsretzace derace rychlost Blo tlaoé orece rychlost: Φ Φ u t., t. y Blo zdroe hmoty na hranc Blo ýpsu počítaných dat Konec Obr. č. 3.3 Strutura programu NAVIER-STOKES Program BOUSSINESQ pro numercé řešení systému Naer-Stoesoých ronc s Boussnesquoou apromací (z část.3) e rozšířen o ýpočet poruchy potencální teploty θ θ, u, g θ θ, u,. Jedná se o úprau blou θ s tooým funcem f ( ) a ( ) Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 3

37 reonstruce tooé funce a blou časoé dsretzace rychlost. Na obr. č. 3.4 e znázorněna strutura programu BOUSSINESQ. Blo počátečních podmíne Blo oraoých podmíne Blo časoé dsretzace rychlost: u,,θ ' Blo reonstruce tooé funce: fu(u,),f(u,),gu(u,),g(u,), fθ '(θ ',u,),gθ '(θ ',u,) Blo centrální dsretzace derace rychlost Blo tlaoé orece rychlost: Φ Φ u t., t. y Blo ýpsu počítaných dat Konec Obr. č. 3.4: Strutura programu BOUSSINESQ V uedených programech sou použty da způsoby uončení ýpočtu. V případě nestaconárních úloh e ýpočet uončen defnoaném čase. Pro staconární úlohy e ýpočet uončen, dyž pro L normu (3.) přes celou ýpočetní oblast bude platt neronost (3.). e u n u n m m n n ( u u ), (3.) m e počet CV e ýpočetní oblast. e ε, (3.) ε e malé číslo. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 33

38 3. Počáteční a oraoé podmíny V část 3. sou ao součást programu uedeny bloy počátečních a oraoých podmíne. Tyto podmíny sou elce důležté př řešení parcálních dferencálních ronc. Pro nelneární ronce platí, že př malé změně počátečních a oraoých podmíne může doít elé změně celoého řešení. V prác sou řešeny oraoé podmíny rozšířením ýpočetní oblast o buňy na oraích (tz. ghost cells). Do těchto buně sou dosazeny etrapoloané hodnoty ednotlých elčn, pro teré se oraoé podmíny toří. Jsou použty da druhy oraoých podmíne. Drchletoa oraoá podmína e defnoána ta, že se pro elčnu na hranc ýpočetní oblast dosazue přímo předepsaná hodnota. U Neumannoy oraoé podmíny se pro derace elčny na hranc ýpočetní oblast dosazue přímo předepsaná hodnota. Tyto dě podmíny se mohou použíat aždé samostatně, ale lze e různě ombnoat po částech hrance. Využtím metody nořené hrance (z část.9) sou zaedeny specální oraoé podmíny pro nořené těleso. Počáteční podmíny musí splňoat oraoé podmíny a nedergentnost pole z ronce ontnuty. 3.3 Výstupní data V část 3. e ao součást programů použt blo ýpsu počítaných dat. V předem určených časoých odstupech e proáděn ýps počítaných dat. Časoé odstupy sou oleny ndduálně pro aždý problém podle požadaů řešené úlohy. Složy rychlostí, ortcta, proudoá funce a L norma sou zapsoány do souborů e formátu tt pro zpracoání programy Ecel nebo Access a do formátu grd pro zpracoání programem Golden software Surfer 8.0. Program Access slouží pro případné předzpracoání počítaných dat. Grafy sou tořeny programem Ecel, de sou proáděny něteré dílčí ýpočty. Obrázy sou tořeny programu Golden software Surfer 8.0. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 34

39 Kaptola 4 Zadání úloh V této aptole e popsáno zadání šech zde numercy řešených úloh. Jsou to testoací úlohy se známým eatním řešením, resp. se známým numercým řešením, úlohy pro program NAVIER-STOKES řešící atmosfércé proudění oolo nořených těles a úloha pro program BOUSSINESQ, terá zahrnue l teplotní stratface proudění. 4. Testoací úlohy pro program HYPERBOL Prní dě testoací úlohy se týaí oěření funčnost a spránost programu HYPERBOL na numercé řešení hyperbolcé ronce, de e použta reonstruce tooé funce pomocí WENO schémat a časoá dsretzace pomocí schéma Runge-Kutta. Doudmenzonální hyperbolcá ronce e defnoána ztahem (.64). Prní testoací úloha e spoena s numercým řešením lneární ronce adece (.66). Druhá testoací úloha e spoena s numercým řešením nelneární Burgersoy ronce (.68). Obě úlohy sou přezaty z (CASPER, ATKINS, 993). Eatní řešení lneární ronce adece (.66) s počáteční podmínou (4.3) pro neonečnou oblast e: u(, y, t) cosπ ( y t). (4.) Eatní řešení nelneární Burgersoy ronce (.68) s počáteční podmínou (4.3) pro neonečnou oblast e: u(, y, t) cosπ ( y ut). (4.) Počáteční podmína e: u(, y,0) cosπ ( y). (4.3) Program HYPERBOL řeší obě úlohy pro omezenou oblast. Proto sou zoleny oraoé podmíny proměnné s časem a na hranc oblast se shoduí s eatním řešením (4.) a (4.). Pro numercé řešení obou úloh sou použty následuící parametry: Ortogonální a edstantní síť 89. Výpočetní zóna e omezena na oblast pro, y [, ]. Podmína stablty řešení e pro použté schéma Runge-Kutta CFL / 3 a pro ýpočet e zato 70 % této hodnoty. Výpočet lneární ronce adece e proáděn do času t, 0. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 35

40 Nelneární Burgersoa ronce e počítána do času t 0, 5, dy řešení zůstáá hladé. 4. Testoací úloha pro program EULER Třetí testoací úloha se týá oěření funčnost a spránost programu EULER na numercé řešení systému Euleroých ronc, de e použta metoda postupných roů s tlaoou orecí. Systém Euleroých ronc e odozen část. a lze e zapsat onzeratním taru (KOZEL, FÜRST, 00): ( W ) G( W ) 0 t F y W, (4.4) de: W 0 u, F( W ) u u p u, G( W ) u. (4.5) p Prní ztah (4.4) a (4.5) yadřue ronc ontnuty pro nestlačtelnou teutnu a druhý a třetí ztah sou pohyboé ronce s tlaoým členem. Metoda postupných roů zahrnue ronc ontnuty do ýpočtu tlaoé orece rychlost. Úloha e přezata z (MINION, 996). u Eatní řešení ronce (4.4) e pro neonečnou oblast: ( y, t) cos( π ( t) ) sn( π ( y t) ),, (4.6) ( y, t) sn( π ( t) ) cos( π ( y t) ) p,, (4.7) ( y, t) cos( 4π ( t) ) cos( 4π ( y t) ),, (4.8) s počátečním podmínam: u (, y,0) cos( π ) sn( πy ), (4.9) (, y,0) sn( π ) cos( πy ) p, (4.0) (, y,0) cos( 4π) cos( 4πy ). (4.) Program EULER řeší danou úlohu pro omezenou oblast. Proto sou zoleny oraoé podmíny složy rychlost proměnné s časem a na hranc oblast se shoduí s eatním řešením (4.6) a (4.7). Pro tla (resp. pro pseudotla Φ) e použta lneární etrapolace do oraů. Pro ýpočet sou dále použty následuící parametry: Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 36

41 Ortogonální a edstantní síť 99. Výpočetní zóna e omezena na oblast pro, y [, ]. Podmína stablty řešení e pro použté schéma Runge-Kutta a pro soustau dou ronc CFL /3 a pro ýpočet e zato 70 % této hodnoty. Výpočet e proáděn do času t Testoací úloha pro program NAVIER-STOKES Čtrtá testoací úloha se týá oěření funčnost a spránost programu NAVIER- STOKES na numercé řešení systému Naer-Stoesoých ronc, de e oprot programu EULER doplněn ýpočet azých členů. Systém Naer-Stoesoých ronc e odozen část. a e popsán roncem onzeratním taru (.5), (.6) a (.7). Prní ztah (.5), (.6) a (.7) yadřue ronc ontnuty pro nestlačtelnou teutnu a druhý a třetí ztah sou pohyboé ronce s azým členem. Čtrtá testoací úloha e proudění dutně se čtercoým průřezem s oraoým podmínam podle obr. č. 4.. Úloha, terou e možno smuloat napřílad městsou zástabu č aňon, e přezata z (GHIA, 98) a (FUKA, 006). Obr. č. 4. Oraoé podmíny pro proudění dutně se čtercoým průřezem Počáteční podmíny pro etor rychlost sou nuloé hodnoty. Oraoá podmína: Pro složy etoru rychlostí e zata Drchletoa oraoá podmína: o 0 po celé hranc, Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 37

42 o u0 po celé hranc romě horního orae, o u na horním ora. Pro hodnoty tlau (resp. pseudotlau Φ) e použta lneární etrapolace do oraů. Pro ýpočet sou použty následuící parametry: Úloha e počítána na oblast [ 0,] [ 0,] Ω. Podmína stablty řešení e pro použté schéma Runge-Kutta a pro soustau dou ronc CFL /3 a a pro ýpočet e zato 70 % této hodnoty. Reynoldsoo číslo e oleno dle článu (FUKA, 006), aby bylo možné proést sronání. Hodnoty Re sou 00; 000; Pro Re 00; 000 e použta ortogonální a edstantní síť 6060 a pro Re 5000 e Úlohy proudění oolo nořeného tělesa Další úlohy, teré sou prác řešeny, e proudění oolo nořených álců s různým průřezy. Jedná se o álec čtercoého průřezu podle (BREUER, 000) a ruhoém průřezu podle (LINNICK, FASEL, 005). Obr. č. 4. Proudění oolo nořeného álce čtercoého průřezu Obr. č. 4.3 Proudění oolo nořeného álce ruhoého průřezu Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 38

43 Na obr. č. 4. a 4.3 sou schematcy zobrazeny ednotlé úlohy. Úlohy sou řešeny programem NAVIER-STOKES, terý ychází ze systému Naer- Stoesoých ronc popsaného ztahy (.5), (.6) a (.7). Počáteční podmíny pro etor rychlost sou nuloé hodnoty. Oraoé podmíny: Na stupu e pro složy rychlost použta Drchletoa oraoá podmína: o 0, o u na stupu e zolena elostně e taru paraboly ta, že uprostřed e u a směrem dolní a horní hrancí se eí elost snžue nule. Průběh tooé rychlost u e zolen podle (BREUER, 000) z důodu menšího olnění řešení př horní a dolní hranc oraoou podmínou. Na dolní a horní hranc e použta oraoá podmína: u o 0, y o 0. Na ýstupu e použta Neumannoa oraoá podmína, aby byl zachoán odto teutny: u o 0. Čtercoý průřez e umístěn do proudění ta, že eho strany sou ronoběžné se sítí, proto na ně nemusí být aploána metoda nořené hrance. Pro složy etoru rychlost e zata nuloá Drchletoa oraoá podmína. Pro nořený álec s ruhoým průřezem e použta metoda nořené hrance (z část.9). Hodnoty tlau (resp. pseudotlau Φ) sou lneárně etrapoloány do oraů. Výpočet se proádí s následuícím bezrozměrným parametry: Úlohy sou počítány pro oblast podle obr. č. 4. a 4.3: o L50, o H6, o L A, o d. Parametry odpoídaí údaům popsaným (BREUER, 000). d Poměr bloace β e 0,065. H Výpočty sou proáděny pro Reynoldsoo číslo 30; 00. Pro obě Re použta ortogonální a edstantní síť Ze zolené sítě sou rozměry CV y Úloha proudění oolo nořeného tělesa s lem teplotní stratface Poslední úlohou e proudění oolo nořeného álce se čtercoým průřezem s lem teplotní stratface. Uspořádání úlohy e schématcy zobrazeno na obr. č. 4.. Podobný problém e řešen (FÜRST, FRAUNIE, 007) a (FÜRST et al., -). Úloha e řešena programem BOUSSINESQ, terý ychází ze systému Naer- Stoesoých ronc s Boussnesquoou apromací (z část.3) onzeratním taru (FÜRST, FRAUNIE, 007): Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 39

44 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 40 ( ) ( ) ( ) ( ) W S G F G W W F W y y t Re, (4.) de: θ u W 0, ( ) uθ u p u u W F, ( ) θ p u W G, (4.3) ( ) 0 0 y u u W F, ( ) 0 0 y y u W G, ( ) y Fr W S θ θ 0 θ 0. (4.4) Prní ztah (4.), (4.3) a (4.4) yadřue ronc ontnuty pro nestlačtelnou teutnu, druhý a třetí ztah sou pohyboé ronce s azým členem a čtrtý ztah e ronce pro poruchu potencální teploty. Počáteční a oraoé podmíny sou zaty shodně s úlohou proudění oolo nořeného álce se čtercoým průřezem uedenou část 4.4. Počáteční podmína pro poruchu potencální teploty e nuloá hodnota a pro oraoou podmínu e použta lneární etrapolace do oraů. Výpočet e proáděn za stených parametrů oblast ao úloze popsané část 4.4 a bezrozměrná čísla sou: Reynoldsoo číslo 00. Froudeoo číslo e oleno Fr,00; 0,0; 0,0, což odpoídá g; 0; 00.

45 Kaptola 5 Prezentace ýsledů V aptole 4 e uedeno zadání úloh řešených prác pomocí programů, echž strutura e popsána aptole 3. Výsledy numercých epermentů sou této aptole prezentoány četně dsuze. 5. Hyperbolcé ronce Zadání úloh e uedeno část 4.. Řešení úloh pro hyperbolcou ronc e proedeno programem HYPERBOL. 5.. Ronce adece Eatní řešení ronce adece (.66) e defnoáno ztahem (4.) s počáteční podmínou (4.3). Na obr. č. 5. e zobrazeno sronání ypočteného (a) a eatního (b) řešení čase t,0. Obr. č. 5. Sronání řešení lneární hyperbolcé ronce: (a) ypočtené, (b) eatní Řešení odpoídá lně šířící se pod úhlem 45 osám a y. Vlna e podle počáteční podmíny (4.3) osnoého taru a řešení ronce adece s čase t,0 osnoý tar zachoáá (z obr. č. 5.). Dále e uedena L norma yadřuící chybu mez eatním a ypočteným řešením. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 4

46 , e. (5.) 5.. Burgersoa ronce Eatní řešení Burgersoy ronce (.68) e defnoáno ztahem (4.) s počáteční podmínou (4.3). Na obr. č. 5. e zobrazeno sronání ypočteného (a) a eatního (b) řešení čase t0,5. Obr. č. 5. Sronání řešení Burgersoy ronce: (a) ypočtené, (b) eatní Řešení odpoídá lně šířící se pod úhlem 45 osám a y. Vlna e podle počáteční podmíny (4.3) osnoého taru, ale řešení Burgersoy ronce čase t0,5 půodní osnoý tar deformue (z obr. č. 5.). Stáá se nesymetrcý a zašpčaťue se. Dále e uedena L norma yadřuící chybu mez eatním a ypočteným řešením. -09 e. (5.) Dsuse ýsledů Hodnoty L normy (5.) a (5.) sou e sronání s úda z (CASPER, ATKINS, 993) o da řády nžší a poronáním eatního a ypočteného řešení na obr. č. 5. a 5. e možno poládat ypočtené řešení za dostatečně přesné. Tím se oěřla funčnost programu HYPERBOL, schémat WENO a časoé dsretzace pomocí metody Runge-Kutta. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 4

47 5. Systém Euleroých ronce Zadání úlohy e uedeno část 4.. Řešení úlohy pro systém Euleroých ronc (4.4) a (4.5) e proedeno programem EULER. Eatní řešení systému Euleroých ronc e defnoáno ztahem (4.6), (4.7) a (4.8) s počáteční podmínou (4.9), (4.0) a (4.) Obr. č. 5.3 Složa rychlost u Euleroých ronc: (a) ypočtené, (b) eatní řešení Obr. č. 5.4 Složa rychlost Euleroých ronc: (a) ypočtené, (b) eatní řešení Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 43

48 Vypočtené složy rychlost u a sou čase t0,5 znázorněny na obr. č. 5.3 a 5.4, de e současně sronání (a) ypočteného a (b) eatního řešení. Počáteční tar slože rychlost odpoídá průnu dou na sebe olmých osnoých ln. Řešením systému Euleroých ronc dochází ech mtaému šíření pod 45 osám a y. U ypočteného řešení dochází oprot eatnímu řešení přemtnutí oblast mam a mnm slože rychlostí u a a loální dfuz rozích oblast průchodu nulou. Tyto ey sou zřemě zapříčněny lem tlaoé orece, protože se orentačně yzoušelo numercé řešení systému Euleroých ronc, dy tla byl zahrnut do tooé funce a tlaoá orece počítala enom l splnění ronce ontnuty. V tomto případě se zeména oblast etrémů ypočtené řešení pratcy shodoalo s eatním řešením. Hodnota L normy yadřuící chybu mez eatním a ypočteným řešením e: -09 e. (5.3) Hodnota L normy (5.3) e e sronání s úda z (MINION, 996) ýrazně nžší a poronáním obr. č. 5.3 (a),(b) a 5.4 (a),(b) e můžno poládat ypočtené složy rychlost za dostatečně přesné. V této úloze se oěřlo WENO schéma pro systém dou ronc a odzoušela se metoda postupných roů s tlaoou orecí. 5.3 Dutna se čtercoým průřezem Obr. č. 5.5 Schéma proudění e čtercoé dutně Zadání úlohy e uedeno část 4.3. K řešení úlohy pro systém Naer-Stoesoých ronc (.5), (.6) a (.7) se použl program NAVIER-STOKES. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 44

49 Výpočet e proáděn pro Reynoldsoa čísla 00; 000; 5000 do oamžu, dy se proudění poažue za staconární. Schematcy e možno řešení šech tří případů shrnout do obr. č Uprostřed čtercoé dutny zná prmární ír a záslost na Reynoldsoě čísle znaí další menší íry dolních rozích čterce a leém horním rohu. Tento přílad nemá eatní řešení, ale e často řešen epermenty, a e tedy možnost poronání s ýsledy uedeným např. (GHIA, 98) a (FUKA, 006). Pro ednotlé případy sou odečítány rozměry írů, tzn. pro prmární ír e odečtena souřadnce středu (,y), seundárním a tercárním írům se odečítaí a souřadnce středu, ta souřadnce míst ech odtrháání ednotlých směrech (H e směru osy a V e směru osy y). Odečítání ednotlých hodnot z obrázů má mnmální chybu ±, což pro Re 00; 000 dáá chybu σ ±0, 006 a pro Re 5000 e chyba σ ±0, 004. Reynoldsoo číslo 00 Pro tento případ sou použty parametry uedené část 4.3. Vytořl se prmární ír a následně da seundární íry leém a praém dolním rohu. Obr. č. 5.6 Zobrazení proudnc a elost rychlost dutně pro Re 00 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 45

50 Na obr. č. 5.6 e znázorněno pole proudění pomocí proudnc ψ, teré sou ypočteny z proudoé funce, a bareně e zobrazena elost rychlost r. V tab. č. 5. e proedeno sronání ypočtených hodnot parametrů ednotlých írů s (GHIA, 98) a (FUKA, 006). PV značí prmární ír, SV prao e seundární ír tořící se praém dolním rohu a SV leo e seundární ír tořící se leém dolním rohu Tato Lteratura Lteratura Re 00 práce (FUKA, 006) (GHIA, 98) PV 0,68 0,66 0,67 y 0,737 0,739 0,7344 SV prao 0,945 0,94 0,9453 y 0,06 0,06 0,065 H 0,3 0,36 0,38 V 0,49 0,54 0,484 SV leo 0,034 0,034 0,033 y 0,034 0,034 0,039 H 0,080 0,084 0,078 V 0,078 0,084 0,078 Tab. č. 5. Parametry írů pro Re 00 Reynoldsoo číslo 000 V případě Re 000 sou použty parametry uedené část 4.3. V pol proudění se utořl prmární ír, následně da seundární íry leém a praém dolním rohu a tercární ír praém dolním rohu. Na obr. č. 5.7 e znázorněno pole proudění pomocí proudnc ψ, teré sou ypočteny z proudoé funce, a bareně e zobrazena elost rychlost r. V tab. č. 5. e proedeno sronání ypočtených hodnot parametrů ednotlých írů s (GHIA, 98) a (FUKA, 006).. PV značí prmární ír, SV prao e seundární ír tořící se praém dolním rohu, TV prao e tercární ír, terý se naíc toří pod seundárním praém dolním rohu, a SV leo e seundární ír tořící se leém dolním rohu. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 46

51 Obráze č. 5.7 Zobrazení proudnc a elost rychlost dutně pro Re 000 Re 000 Tato práce Lteratura (FUKA, 006) Lteratura (GHIA, 98) PV 0,533 0,53 0,533 y 0,56 0,566 0,565 SV prao 0,868 0,865 0,8594 y 0, 0, 0,094 H 0,95 0,30 0,3034 V 0,354 0,365 0,3536 TV prao 0,994 0,99 0,99 y 0,007 0,007 0,0078 H 0,009 0,0 0,0078 V 0,0 0,03 0,0078 SV leo 0,083 0,08 0,0859 y 0,075 0,076 0,078 H 0,9 0,5 0,88 V 0,69 0,69 0,680 Tab. č. 5. Parametry írů pro Re 000 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 47

52 Reynoldsoo číslo 5000 V případě Re 5000 sou použty parametry odlšné od předchozích dou případů (z část 4.3). Úloha e počítána pro emněší síť. Oprot předchozímu případu se romě tercárního íru prao dole utořl tercární ír leo dole a seundární ír leém horním rohu. Na obr. č. 5.8 e znázorněno pole proudění pomocí proudnc, teré sou ypočteny z proudoé funce ψ, a bareně e yreslena elost rychlost r. V tab. č. 5.3 e proedeno sronání ypočtených hodnot parametrů ednotlých írů s (GHIA, 98) a (FUKA, 006). PV značí prmární ír, SV prao e seundární ír tořící se praém dolním rohu, TV prao e tercární ír, terý se toří pod seundárním praém dolním rohu, SV leo e seundární ír tořící se leém dolním rohu, TV leo e tercární ír, terý se toří pod seundárním leém dolním rohu, a SV L_nahoře e seundární ír tořící se leém horním rohu. Obr. č. 5.8 Zobrazení proudnc a elost rychlost dutně pro Re 5000 Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 48

53 Re 5000 Tato práce Lteratura (FUKA, 006) Lteratura (GHIA, 98) PV 0,56 0,53 0,57 y 0,50 0,549 0,535 SV prao 0,849 0,809 0,8086 y 0,084 0,07 0,074 H 0,3 0,356 0,3565 V 0,400 0,46 0,480 TV prao 0,996 0,979 0,9805 y 0,00 0,08 0,095 H 0,07 0,054 0,058 V 0,04 0,040 0,047 SV leo 0,099 0,06 0,0703 y 0,07 0,56 0,367 H 0,37 0,330 0,384 V 0,6 0,89 0,643 TV leo 0,008 0,08 0,07 y 0,008 0,0 0,0078 H 0,09 0,050 0,056 V 0,08 0,064 0,063 SV L_nahoře 0,00 0,06 0,065 y 0,856 0,90 0,90 H 0,033 0,3 0, V 0,57 0,58 0,693 Tab. č. 5.3 Parametry írů pro Re 5000 Dsuze ýsledů Výsledy ednotlých případů se podobaí očeáaným ýsledům (GHIA, 98) a (FUKA, 006). Sronáním odměřených hodnot ednotlých írů s ostatním pracem e uedeno tab. č. 5., 5. a 5.3. Pro Re 00; 000 se ypočtené parametry íru rámc přesnost ýpočtu shoduí s ostatním publacem. Pro Re 5000 dochází odchylce umístění leého horního íru a tercálního íru prao dole, což e zeména způsobeno nedostatečně emnou sítí oolí hrance. Touto úlohou se oěřl ýpočet systému Naer-Stoesoých ronc. 5.4 Proudění oolo nořeného tělesa Zadání úloh e uedeno část 4.4. Pro řešení úloh pro systém Naer-Stoesoých ronc se použl program NAVIER-STOKES. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 49

54 5.4. Vnořený álec s průřezem e taru čterce Jao prní e počítán případ proudění oolo nořeného álce se čtercoým průřezem, terý e schématcy znázorněn na obr. č. 4.. Výpočet e proáděn a do staconárního (z Re 30), ta do nestaconárního stau (z Re 00), terý e uončen čase, dy Kármánoa íroá cesta e dostatečně ynutá. Reynoldsoo číslo 30 Pro Re 30 e numercý eperment uončen př dosažení staconárního stau, dy hodnota L normy (3.) e dostatečně malá (3.). Z obr. č. 5.9 e patrné, že za nořeným álcem se utořly da staconární íry symetrcy nad sebou. Obr. č. 5.9 Válec se čtercoým průřezem Re 30, proudoá funce Obr. č. 5.0 Válec se čtercoým průřezem Re 30, ortcta Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 50

55 Na obr. č. 5.9, 5.0 a 5. sou znázorněny proudnce ypočtené pomocí proudoé funce ψ, ortcta ω a pole proudění pomocí etorů rychlost. Obr. č. 5. Válec se čtercoým průřezem Re 30, etory rychlost Reynoldsoo číslo 00 Pro Re 00 e řešení nestaconární a ýpočet e uončen e zolených časech. Pro lustrac sou uedeny ýsledy numercého epermentu časech t 5 a t 30. Na obr. č. 5., 5.3 a 5.4 e sta čase t, dy se za álcem utáří en da symetrcé íry ao případě pro Re 30. Uedené ýsledy sou znázorněny ypočteným proudncem z proudoé funce ψ, ortctou ω a etory rychlost. Obr. č. 5. Válec se čtercoým průřezem Re 00, neynutá íroá cesta, proudoá funce Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 5

56 Obr. č. 5.3 Válec se čtercoým průřezem Re 00, neynutá íroá cesta, ortcta Obr. č. 5.4 Válec se čtercoým průřezem Re 00, neynutá íroá cesta, etory rychlost Na obr. č. 5.5, 5.6 a 5.7 e znázorněn sta čase t, dy e Kármánoa íroá cesta dostatečně ynutá. Uedené ýsledy sou znázorněny ypočteným proudncem z proudoé funce ψ, ortctou ω a elostí rychlost r. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 5

57 Obr. č. 5.5 Válec se čtercoým průřezem Re 00, ynutá íroá cesta, proudoá funce Obr. č. 5.6 Válec se čtercoým průřezem Re 00, ynutá íroá cesta, ortcta Obr. č. 5.7: Válec se čtercoým průřezem Re 00, ynutá íroá cesta, elost rychlost Dále e určoáno Strouhaloo číslo (.89), teré e defnoáno část.0. Na obr. č. 5.8 e ynesena záslost ortcty na čase bodě 3,75; y8,00 pro t ( 70;40 ), ze teré e ypočteno Strouhaloo číslo St 0,8. Sronání ypočtené hodnoty St s úda uedeným (BREUER, 000) a (FUKA, 006) e tab. č Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 53

58 Strouhaloo číslo čterec (3,75;y8,00) Vortcta ω () Čas t () Obr. č. 5.8 Časoý průběh ortcty pro Re 00 St (Re 00) Tato práce 0,8 Lteratura (FUKA, 006) 0,4 Lteratura (BREUER, 000) 0,45 Tab. č. 5.4 Sronání Strouhaloa čísla pro Re Vnořený álec s průřezem e taru ruhu Druhým případem e proudění oolo nořeného álce s ruhoým průřezem, terý e schematcy znázorněn na obrázu č Výpočet e proáděn a do staconárního (z Re 30), ta do nestaconárního stau (z Re 00), terý e uončen čase, dy Kármánoa íroá cesta e dostatečně ynutá. Reynoldsoo číslo 30 Pro Re 30 e numercý eperment uončen př dosažení staconárního stau, dy hodnota L normy (3.) e dostatečně malá (3.). Z obr. č. 5.9 e patrné, že za nořeným álcem se utořly da staconární íry symetrcy nad sebou. Na obr. č. 5.9, 5.0 a 5. sou znázorněny proudnce ypočtené pomocí proudoé funce ψ, ortcta ω a pole proudění pomocí etorů rychlost. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 54

59 Obr. č. 5.9 Válec s ruhoým průřezem Re 30, proudoá funce Obr. č. 5.0 Válec s ruhoým průřezem Re 30, ortcta Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 55

60 Obr. č. 5. Válec s ruhoým průřezem Re 30, etory rychlost Reynoldosoo číslo 00 Pro Re 00 e nestaconární a ýpočet e uončen e zolených časech. Pro lustrac sou uedeny ýsledy numercého epermentu časech t 5 a t 40. Na obr. č. 5., 5.3 a 5.4 e sta čase t, dy se za álcem utáří en da symetrcé íry ao případě pro Re 30. Uedené ýsledy sou znázorněny ypočteným proudncem z proudoé funce ψ, ortctou ω a etory rychlost. Obr. č. 5. Válec s ruhoým průřezem Re 00, neynutá íroá cesta, proudoá funce Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 56

61 Obr. č. 5.3 Válec s ruhoým průřezem Re 00, neynutá íroá cesta, ortcta Obr. č. 5.4 Válec s ruhoým průřezem Re 00, neynutá íroá cesta, etory rychlost Na obr. č. 5.5, 5.6 a 5.7 e znázorněn sta čase t, dy e Kármánoa íroá cesta dostatečně ynutá. Uedené ýsledy sou znázorněny ypočteným proudncem z proudoé funce ψ, ortctou ω a elostí rychlost r. Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 57

62 Obr. č. 5.5 Válec s ruhoým průřezem Re 00, ynutá íroá cesta, proudoá funce Obr. č. 5.6 Válec s ruhoým průřezem Re 00, ynutá íroá cesta, ortcta Obr. č. 5.7 Válec s ruhoým průřezem Re 00, ynutá íroá cesta, elost rychlost Dále e určoáno Strouhaloo číslo (.89), teré e defnoáno část.0. Na obr. č. 5.8 e ynesena záslost ortcty na čase bodě 3,75; y8,00 pro t ( 70;40 ), ze teré e ypočteno Strouhaloo číslo St 0,75. Sronání ypočtené hodnoty s úda uedeným (LINNICK, FASEL, 005) a (BERGER, WILLE, 97) e tab. č Modeloání teplotně stratfoaného proudění atmosféře 58