VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV STAVEBNÍ MECHANIKY

Transkript

1

2 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV STAVEBNÍ MECHANIKY Ing. Jří Kytýr, CSc. ANALÝZA DEFORMACE A NAPJATOSTI SE ZAMĚŘENÍM NA TERMOPLASTY STRAIN AND STRESS ANALYSIS OF THERMOPLASTIC MATERIALS Teze habltační práce Vědní obor: Konstrukce a dopraní staby BRNO 2011

3 KLÍČOVÁ SLOVA termoplasty, polymery, deformace, napatost, termodynamka, zákony zachoání, staoé ronce, úloha edení tepla, proudění tekutny, úloha pružnost, arační úloha, dskretzace metodou konečných prků, prncp rtuálních prací, potencální energe, konsttutní ztahy, reologe, azkopružnost, modul tečení, sdružená úloha, teplotní analýza, statcká analýza, materáloé charakterstky, ANSYS KEY WORDS thermoplastc materals, polymers, stran, stress, thermodynamcs, conseraton laws, equatons of state, heat conducton problem, flud flow, elastcty problem, araton problem, dscretzaton wth the fnte element method, prncple of rtual work, potental energy, consttute equatons, rheology, skoelastcty, creep modulus, coupled problem, thermal analyss, statc analyss, materal propertes, ANSYS MÍSTO ULOŽENÍ: Orgnál habltační práce e uložen archu Oddělení pro ědu a ýzkum fakulty staební Vysokého učení technckého Brně, Veeří 331/95, Brno. V tezích e uedena podstatná část práce a e zdůrazněn eí hlaní přínos. Jří Kytýr, 2011 ISBN ISSN X

4 OBSAH PŘEDSTAVENÍ AUTORA ÚVOD Současný sta řešené problematky Cíle habltační práce FORMULACE PROBLÉMU Úplná soustaa ronc Staoé ronce Počáteční a okraoé podmínky Vybrané úlohy termodynamky kontnua Přenos tepla Proudění tekutny Úloha pružnost Přblžné řešení daného problému MATERIÁLOVÉ MODELY TERMOPLASTŮ Základní reologcké látky a modely Nelneární azkopružnost Prncp časoé a teplotní podobnost Boltzmannů prncp superpozce Vybrané reologcké modely Mawellů model Kelnů model Složený reologcký model Poloemprcké konsttutní ztahy APLIKACE Teplotně záslé materáloé charakterstky Výpočet rozdělení teplot konstrukc Statcký ýpočet čase ZÁVĚR POUŽITÁ LITERATURA ABSTRACT

5 PŘEDSTAVENÍ AUTORA Ing. Jří Kytýr, CSc. Narozen: 1. února 1950 Brně Kontakt: Ústa staební mechanky Fakulta staební VUT Brně Veeří 331/95, Brno Vzdělání Střední průmysloá škola staební, Kudeloa 8, Brno nženýrské studum, Fakulta staební VUT Brně, studní obor Konstrukce a dopraní staby Dplomoá práce: Sronáací stude desek na různých podkladech eterní asprantura, Fakulta staební VUT Brně, obor Mechanka tuhých a poddaných těles a prostředí Dsertační práce: Řešení časoě záslého přetoření a napatost sypaných zemních hrází metodou konečných prků Prae statk programátor, Hydroproekt Praha, odštěpný záod Brno eterní učtel, Fakulta staební VUT Brně Výskumný ústa nžnerskych staeb Bratslaa, pracoště Brno od 1988 odborný asstent, Fakulta staební VUT Brně Odborné zaměření Modeloání konstrukcí metodou konečných prků, statcká analýza termoplastoých konstrukcí, lanoé a membránoé soustay, konstrukce a technologe ýstaby odkalšť, potencální proudění kapalny zemním prostředím, sdružená konsoldace Pedagogcká čnnost Přednášky Staební mechanka, Základy staební mechanky, Statka staebních konstrukcí I, Statka staebních konstrukcí II, Statka I, Statka II, Pružnost II a základy dynamky, Pružnost a plastcta, Matcoá analýza úloh staební mechanky Cčení Staební mechanka, Základy staební mechanky, Statka staebních konstrukcí I, Statka staebních konstrukcí II, Statka I, Statka II, Staební mechanka II, Matcoá analýza úloh staební mechanky, Dplomoý semnář, Bakalářský semnář Vedení bakalářských a dplomoých prací, ýchoa ědeckých praconíků Šestnáct ýborně hodnocených dplomoých prací, tř ýborně hodnocené bakalářské práce, dě úspěšně obháené dsertační práce, školtel dou dalších studentů doktorského studa Čnnost souseící s pedagogckým procesem Členstí komsích státních záěrečných zkoušek, členstí komsích pro státních doktorskou zkoušku a pro obhaobu dsertační práce, člen oboroé komse, posudky bakalářských a dplomoých prací 4

6 Přehled aktt Účast na řešení ýzkumných a grantoých proektů: ÚTAM ČSAV Praha III-3-2/05 (1990), nterní grant č. 8 FAST VUT ( ), granty č a VUT ( ), ýzkumný záměr FAST VUT MSM ( ), CIDEAS 1M ( ), ýzkumný záměr FAST VUT MSM ( ) Vybrané publkace autora Články časopsech a sbornících Kratochíl, J., Kytýr, J. Numercké řešení počátečního a okraoého problému azkoplastcty. Automatzace řešení základů a zemních těles. DT ČVTS Ostraa, Brno: 1979, s Kratochíl, J., Kytýr, J., Říha, J. Mathematcal Modellng of Structures and Ther Foundaton Under Smultaneous Creep and Consoldaton. Proceedngs of the 1 st Conference on Mechancs. Volume 6. Praha: 1987, s Kytýr, J. Aplkace teore azkoplastcty př řešení zemních těles formou sdružené konsoldace. Numercké metódy geomechanke. Vysoké Tatry: 1987, s Kytýr, J., Kadlčák, J. The Automaton of Calculaton of One-Span Cable. Vláknoé a prútoé prestoroé konštrukce. Pešťany: 1990, s Kadlčák, J. and Kytýr, J. The Theory of Calculaton of Suspended Cable Roofs. Thomas Telford 4 th Internatonal Conference on Space Structures. London: 1993, s Kytýr, J., Kadlčák, J., Kočenda, M. Statc Analyss of a Spatally Loaded Cable. The Fourth ICCS Int. Conf. on Steel-Concrete Composte Structures. TU Košcích, Košce: 1994, s Kytýr, J., Kadlčák, J. Statc Analyss of the Plane Contnuous Cable. Internatonal Conference on Lghtweght Structures n Cl Engneerng. Warsaw: 1995, s Kytýr, J., Špaček, R. Statcká analýza zaěšené mostní soustay. Vybrané problémy staebne mechanky. STU, Bratslaa: 1996, s Kytýr, J., Kadlčák, J. The Statc Analyss of Carryng Elements of Cable Systems by FEM. VI. ěd. konference Kooé a dřeěné konstrukce, 8. sekce. TU Košcích, Košce: 1997, s Kytýr, J., Neařl, A., Kadlčák, J. Typy lanoých prků MKP. Sborník příspěků z meznárodní ědecké konference 60. ýroče staebne fakulty STU Bratslae, sekce č. 1, díl I, Bratslaa: 1998, s , ISBN Neařl, A., Kytýr, J. FEM Analyss of Brdge Type Cable System. Proc. of IABSE Conference Cable Supported Brdges Challengng Techncal Lmts, Seoul: 2001, s , (ctoáno Journal of Cl Engneerng and Management, 2010). Neařl, A., Kytýr, J. Statc Analyss of Cable Brdge System. Proc. of Scentfc Sesson VSU 2001, Sofa: 2001, s Drnec, M., Kytýr, J. The Modellng of Statc Soluton of Membrane Systems, Sborník ze VII. ědecké konference TU Košcích, 9. sekce, Košce: 2002, s , ISBN Gratza, R., Kytýr, J. Statcal Carryng Capacty of Polypropylene Block Structures, Proc. of Internatonal Conference New Trends n Statcs and Dynamcs of Buldngs, Bratslaa: 2002, s , ISBN Gratza, R., Kytýr, J. The Study of Lnear and Nonlnear Stablty Analyss of Thermoplastc Element. Proc. of the 2 nd Internatonal Conference New Trends n Statcs and Dynamcs of Buldngs, Bratslaa: 2003, s , ISBN Gratza, R., Kytýr, J. Sařoané spoe termoplastoých konstrukcí. Eperment ýznamný zdro poznání a erfkace metod narhoání nosných staebních konstrukcí, FAST VUT Brně, Brno: 2004, s , ISBN

7 Gratza, R., Kytýr, J. Stude sronání dou různých záslostí pro ystžení reologckého choání termoplastů, Proc. of Internatonal Conference New Trends n Statc and Dynamcs of Buldngs, Sloak Unersty of Technology n Bratslaa, Bratslaa: 2005, s , ISBN Kubza, K., Kytýr, J. Analýza kontaktního choání sprálotého lana. Modeloání mechance 2005, VŠB-TU Ostraě, Ostraa: 2005, s , ISBN Gratza, R., Kytýr, J. Conenence Study of Implct Creep Materal Model for Behaour Descrpton of Thermoplastcs. JUNIORSTAV 2006, díl 4. Odborná konference doktorského studa, FAST VUT Brně, Brno: 2006, s , ISBN Gratza, R., Kytýr, J. Stablta podzemních nádrží z termoplastů. Sborník ědeckých prací VŠB- TU Ostraa, č. 2, ročník VI, řada staební, Ostraa: 2006, 6 s., ISSN Gratza, R., Kytýr, J. Statcká analýza nádrží z termoplastů. CIDEAS dílčí ýzkumná zpráa , 16: 2006, 14 s. Gratza, R., Kytýr, J. Vl působení teplotních změn na termoplastoé konstrukce. CIDEAS dílčí ýzkumná zpráa : 2006, 15 s. Gratza, R., Kytýr, J. Model podzemní stoaté álcoé nádrže z termoplastu. Eperment ýznamný zdro poznání a erfkace metod narhoání nosných staebních konstrukcí, Akademcké nakladatelstí CERM, s.r.o., Brno: 2007, s , ISBN Gratza, R., Kytýr, J. Vl časoého faktoru př zatížení na termoplastoé konstrukce. CIDEAS dílčí ýzkumná zpráa : 2007, 14 s. Gratza, R., Kytýr, J. Podzemní stoaté álcoé nádrže z termoplastu. CIDEAS dílčí ýzkumné zpráy a : 2008, 11 s. Gratza, R., Kytýr, J. Vl doby působení zatížení na stabltu termoplastoého dílce. Staební obzor 10/2009, Praha: 2009, s , ISSN Gratza, R., Kytýr, J. Statcké řešení podzemní álcoé nádrže z termoplastu. Staební obzor 3/2010, Praha: 2010, s , ISSN Učebnce a skrpta Kadlčák, J., Kytýr, J. Statka staebních konstrukcí I. Základy staební mechanky. Statcky určté prutoé konstrukce. Edce učebnce. VUTIUM, 4. ydání, Brno: 2011, 360 s., ISBN Kadlčák, J., Kytýr, J. Statka staebních konstrukcí II. Statcky neurčté prutoé konstrukce. Edce učebnce. VUTIUM, 4. ydání, Brno: 2010, 430 s., ISBN Kadlčák, J., Kytýr, J. Statka staebních konstrukcí III. Skrptum. Nakladatelstí VUT, Brno: 1992, 168 s., ISBN Kadlčák, J., Kytýr, J. Základy staební mechanky. Analýza ntřních sl na ronných a prostoroých nosnících. Skrptum. CERM, Brno: 1993, 46 s., ISBN Kadlčák, J., Šmřák, S., Kytýr, J. Základy staební mechanky. Skrptum. 1. ydání. VUT Brně, Brno: 1995, 200 s., ISBN Kadlčák, J., Kolář, A., Kytýr, J., Maurer, E. Statka staebních konstrukcí I. Skrptum. VUT Brně, Brno: 1996, 254 s., ISBN X. Kytýr, J., Keršner, Z., Zídek, R., Vlk, Z. BD01 Základy staební mechanky. Moduly MO1 MO4. Studní opory kombnoaného studa. VUT Brně, Brno: 2004, 176 s., (elektroncká forma). Kytýr, J., Frantík, P. BD03 Statka I. Studní opora kombnoaného studa. VUT Brně, Brno: 2005, 32 s., (elektroncká forma). Kytýr, J., Frantík, P. BD04 Statka II. Studní opora kombnoaného studa. VUT Brně, Brno: 2005, 32 s., (elektroncká forma). 6

8 1 ÚVOD Spotřeba plastů e společnost neustále roste, a platí to pro staebnctí. Plastoé ýrobky musí splňoat rozmanté funkce. Pro různé oblast užtí lze narhnout plasty s hodným specfckým lastnostm pro konkrétní ýrobek nebo konstrukc. Ve staebním oboru se edná zeména o narhoání a posuzoání termoplastoých konstrukcí typu nádrží, zásobníků, potrubních systémů č ech částí. Významným termoplasty sou tomto případě polyetylén (PE), polypropylén (PP), polynylchlord (PVC), popřípadě polynyldenfluord (PVDF) [48], [53], [51], [52]. Termoplasty lze ohřeem opakoaně přeádět do taroatelného stau a následně ochlazením do stau tuhého [28]. Stáaící prae statckého posuzoání termoplastoých konstrukcí, často pouze ako ýrobků a nkol ako staebních konstrukcí, ede řadě případů k ech destrukcím. Např. na obr. 1.1 e zachycena destrukce nadzemní stoaté álcoé nádrže z polyetylénu pro kyselnu chloroodíkoou o obemu cca 30 m 3, umístěné e enkoním prostoru [43]. V tomto případě se ednalo o souhru íce příčn. Byl špatně proeden statcký posudek (narženy nehodné tloušťky desek a dmenze sarů), konstrukce byla špatně proedena, a to ak z hledska konstrukčního (nehodné skružení pláště, nedostatečné odzdušnění nádrže), tak technologckého (nekaltní sary). Naíc nádrž nebyla umístěna záchytném prostoru. Obr. 1.1 Částečně roznutý plášť znčené nádrže [43] Mez odborníky často panuí pochybnost o spráné funkčnost termoplastoých konstrukcí během celé garantoané doby ech žotnost [11]. Prae potrzue, že termoplasty se hodí pro konstrukce přměřeně zatěžoané a použíané za specfkoaných podmínek. Nekaltní a poddmenzoané konstrukce, ech haáre č ztráta funkčnost, mohou naopak ohrozt šeobecnou důěru plastoé konstrukce. Z hledska proozu termoplastoých konstrukcí se ukazue, že e často podhodnocen l změny teploty a časoého faktoru důsledku neznalost choání materálu. Pro praktcké narhoání 7

9 mnohdy chybí asně defnoané údae o použíaných plastech, metodka kaltního nárhu a ýroby konstrukcí, požadaek na dodržoání příslušné legslaty, hodný ýukoý systém apod. Komplení analýza k určení deformace a napatost, popř. stablty, konstrukcí a konstrukčních prků z termoplastů pro posouzení ech statckého choání e tedy elm aktuální téma. Pro co neěrněší ystžení děů, které probíhaí termoplastoých konstrukcích během proozu, e tedy nutné ech podrobné numercké modeloání. Komplení analýza přtom umožňue lépe pochopt fyzkální zákony, které tyto děe popsuí, matematcké prostředky a numercké metody, které poskytuí řešení, lastnost, ež charakterzuí narhoaný materál e šech eho stádích choání. Naléhaá problematka kalfkoaného posuzoání termoplastů proto yžadue zpracoání sofstkoaněšího přístupu k časoě záslým řešením konstrukcí z plastů, a to ak po stránce teoretcké, tak po stránce praktcké. 1.1 SOUČASNÝ STAV ŘEŠENÉ PROBLEMATIKY Konstrukce a prky z termoplastů se obykle posuzuí podle běžných krtérí [48], zeména na základě krtérí penost, deformace, stablty, žotnost, únay apod. Např. ntřní, popř. enkoní nadzemní nádrže z termoplastů pro beztlaké ukládání odu ohrožuících tekutn se často řeší ednoduchým ručním ýpočtem [50]. Někdy se yužíaí ednoduché programy ýrobců termoplastů, např. [52] č [53], echž ýstupem šak není statcký posudek, ale pouze nárh dmenzí nádrže. Noě se běžné pra íce yužíaí programy na báz metody konečných prků, ašak na různé úron propracoanost numerckého modelu. Př nárhu a posouzení konstrukcí z termoplastů e bezpodmínečně nutné roněž proěřoat ztrátu stablty [8], která zeména u podzemních nádrží hrae nezanedbatelnou rol. Podzemní nádrže se zhledem k posouzení ztráty stablty ž obykle řeší pomocí softwaru založeného na metodě konečných prků. Často e šak použíán pouze zednodušený materáloý model [9], [12], [13], [16]. V současné době lze termoplastoé konstrukce, steně ako né techncké problémy, analyzoat podrobným numerckým modely s možností ystžení nerůzněších lů. V pra př aplkac termoplastů šak bohužel ýrobc č proozoatelé často nedodržuí elementární podmínky spráného proedení nebo proozu, takže podrobněší modeloání může někdy ztrácet smysl. Naíc elm často nezanedbatelným hledskem, třeba na úkor kalty ýrobku č konstrukce, se pro nárh a rozhodoání stáá cena. Přes uedené problémy šak ýzkum oblast analýzy choání termoplastoých materálů a konstrukcí za proozu ýznamně posouá úroeň poznání tomto oboru. Může tak ýrazně přspět ke zlepšení kalty termoplastoých konstrukcí ke zýšení důěry tyto konstrukce. Podrobné fyzkálně mechancké lastnost termoplastů se získáaí ze zkoušek, které býaí fnančně značně náročné. Výrobc a dodaatelé konstrukcí a částí z termoplastů proto nečastě uáděí hodnoty materáloých charakterstk, které sou získány z krátkodobých relatně ednoduchých a lených zkoušek zkušebních zorků. Přtom e nutno uážt, že podmínky realzace ednoduchých zkoušek, např. podle [45], se mohou z různých příčn značně lšt od proozních podmínek termoplastoých staebních dílců č konstrukcí. Zláště ýznamná e azkopružná poaha polymerů, která ční čas a teplotu ýznamněším faktory deformačních a destrukčních procesů, než e tomu např. u koů, skel č keramky [34]. Doba působení stálých sl, frekence př působení střídaých sl a rychlost deformací se proeuí př různých teplotách rozdílně podle poahy dané materáloé struktury. Faktory ako tuhost, penost č houženatost sou pro ýrobky z termoplastů ětšnou rozhoduící. Protože druhů plastů stále přbýá, e náročné získat podrobné údae maící charakter funkční záslost, a to na základě zštěných dlouhodobých hodnot materáloých charakterstk. Přesto e 8

10 nezbytné ýpočty plastoých staebních dílců požadoat a realzoat ýhradně pomocí takto stanoených dat. Ta se nečastě získáaí z dlouhodobých tahoých a ohyboých zkoušek [46], [47]. K tomu e nutné znát, ak se konstrukce choá př statckém dynamckém zatížení, př změně teploty [41], př působení okolního prostředí apod., a to po celou dobu žotnost. Volba použtých hodnot naíc úzce sousí se způsobem namáhání konstrukce, olbou materáloého modelu apod. Vzhledem k časoé a fnanční náročnost dlouhodobých zkoušek, ako e např. dlouhodobá zkouška trubky zatížené ntřním přetlakem [49], se často získané hodnoty etrapoluí. Významným faktorem olňuícím lastnost materálu e l změny teploty, který často lmtue použtelnost a hospodárnost termoplastoých konstrukcí. Termoplasty se př použtí za nízkých teplot stáaí křehkým. Dalším faktory sou l okolního prostředí yplýaící z mnohostranného použtí plastů, l působení méda na sar, l záření, doby působení lů apod. Ve ětšně případů dochází ke snížení hodnot fyzkálně mechanckých lastností, zeména př kombnac ednotlých lů. Styk s různým chemkálem může způsobt bobtnání nebo etrakc plastů. Odolnost termoplastů prot chemkálím pak zásí také na úron napětí namáhané část konstrukce (koroze za napětí) a na úron teploty. Uedené ly e nutné roněž zohlednt př nárhu a posouzení termoplastoých konstrukcí. 1.2 CÍLE HABILITAČNÍ PRÁCE Z analýzy současného stau e zřemé, že zednodušené nárhy č ýpočty podle normoých předpsů [48], [50] nemusí být ždy dostačuící a e třeba použíat sofstkoaněší přístup k řešení konstrukcí č ech částí z termoplastů. Pro kalfkoané narhoání a posuzoání e nezbytné mít k dspozc metodku, umožňuící kompleněší analýzu s přhlédnutím k současným možnostem numerckého modeloání a ke specfckým lastnostem a choání použtého materálu. Torba co neýstžněších numerckých modelů předstaue náročný proces, yžaduící komplení znalost a pochopení fyzkálních zákontostí praktckou erudc celé oblast sdruženého problému. Tepre podrobný dostatečně ýstžný numercký model umožní získat ýsledky nelépe se přblžuící k realtě. Přtom e nutné zolt hodné konsttutní ztahy (materáloé modely) pro pops choání materálu záslost na napětí, deformac, teplotě a čase a získat zpřesněné stupní údae pro řešení ak termoplastoých konstrukcí, tak ech detalů. Je třeba přhlédnout k časoě záslým řešením, zeména pro ystžení eů, akým sou tečení, relaace, řešení stablty, l změny teploty na lastnost materálů konstrukcí apod. Dále e potřebné yzkoušet a určt hodné ýpočetní postupy a numercké modely termoplastoých konstrukcí s yužtím softwaroých systémů, umožňuících ysthnout reálné choání termoplastoého materálu. Nezbytné e posouzení hodnost olby a použtí ybraných termoplastů pro nosné konstrukce, hodné olby geometrckého taru konstrukce četně lu konstrukčních detalů, lu prostředí apod. Pro konkrétní ýpočty podle ýše nastíněných požadaků lze př yužtí podrobných prostoroých numerckých modelů konstrukcí, např. s použtím unerzálního softwaroého systému ANSYS, získat u penostních ýpočtů podrobný a kalfkoaný obraz o choání termoplastů př současném působení šech rozhoduících faktorů. Cílem numerckého modeloání e získat komplení nformace pro co nelepší ystžení skutečného choání termoplastoé konstrukce. Následuící kaptoly proto zahrnuí matematckou formulac problému četně ybraných úloh z termodynamky kontnua a přblžného řešení problému a dále některé ybrané materáloé modely hodné pro termoplasty. 9

11 2 FORMULACE PROBLÉMU Základním a ýchozím fyzkálním elčnam termodynamky sou teplota T a entrope S [29]. Teplota e měřtelná elčna a e mírou střední energe, kterou mez sebou yměňuí (nteraguí) elementární částce hmoty. Entrope není přímo měřtelná elčna a e mírou nahodlost př ntřní eoluc tělesa. Jedný termodynamcký zákon popsuící časoé choání (eoluc) nteraguících systémů e druhý zákon termodynamky. Tento zákon lze kaltatně yádřt nelépe pomocí časoé změny entrope, eího toku a produkce. Výchozí eoluční zákon systémů lze psát e taru blance entrope ds( t) J ( S) = P( S) 0. (2.1) dt Změna stau systému (2.1) e charakterzoána časoou derací entrope S, nterakce systému s prostředím e určena tokem entrope J(S) a ntřní procesy systému produkcí entrope P(S). Pro nedspatní (dealzoané) procesy platí P(S) = 0 a pro procesy dspatní (reálné) platí P(S) > 0. Konkrétní tar (2.1) lze nalézt pomocí defnoaných a měřtelných elčn ystupuících zákonech blance hmotnost, hybnost, energe apod., záslost na uažoané struktuře systému. Matematcký model fenomenologcké teore termodynamky kontnua ychází z pět základních fyzkálních zákonů blance [29] pro hmotnost, hybnost, moment hybnost, energ, entrop. V řadě ýznamných fyzkálních, chemckých č technckých modelů maí zákony blance charakter zákonů zachoání. Základní systémy ronc ycházeící ze zákonů blance doplňuí staoé ronce. Pro ednoznačné defnoání ýchozího stau úlohy e nutné zadat počáteční a okraoé podmínky. Matematcký model úlohy e tořen soustaou ronc různého typu. Věcná přesnost matematckého modelu zásí na přesnost, s akou matematcký pops fyzkálního děe ysthue reálné záemné ztahy ednotlých staoých elčn a ak ýstžně sou tyto elčny určeny [30]. Zkoumané těleso se předpokládá ako kontnuum zauímaící obem V, složené z materáloých bodů, uažoaných ako elementární částce tělesa. V čase t = 0 se těleso nachází referenčním (nedeformoaném, kldoém) stau a následkem fyzkálního procesu se čase t bude těleso nacházet aktuálním (deformoaném, konečném) stau. V materáloém bodu sou udány hodnoty potřebných měřtelných termodynamckých parametrů, např. tlak p, obem V, teplota T, složky posunutí materáloého bodu u apod. Cílem e nalézt ztah mez referenčním a aktuálním staem, např. pro polohu a teplotu materáloých bodů. Polohu materáloého bodu lze yádřt buď materáloým popsem nebo prostoroým popsem [39]. Zákon lokální blance elčny prostoroém popsu e φ ( φ ) ( Ψ ) p( Ψ ) = 0, (2.2) t kde Ψ(t) e celkoá (globální) hodnota sledoané elčny. Bez ohledu na olbu typu souřadncoého popsu lze ztah (2.2) obecně analyzoat ako unerzální blanc elčny [39], kde na leé straně 10

12 ronce předstaue prní člen rychlost akumulace, druhý člen rychlost ododu, třetí člen rychlost příodu a poslední člen rychlost znku. Blance zachoání hmotnost určue, ak se mění hustota tělesa záslost na deformac tělesa [36]. Zákon blance hybnost se proeí uplatněním d Alembertoa prncpu formou pohyboých ronc [4]. Blance hybnost e e skutečnost Newtonů zákon, t. ronoáha setračné síly tělesa se šem ostatním slam působícím na těleso. V techncké pra se nečastě yskytuí nepolární materály (bez dpóloého momentu) a lokální tar zákona blance momentu hybnost ede k podmínce symetre tenzoru napětí, což mechance kontnua yadřue ětu o záemnost tangencálních napětí. Př zanedbání setračných sl se zákon blance hybnost a momentu hybnost redukue na Cauchyho ronce ronoáhy a z momentoých podmínek ronoáhy plyne symetre tenzoru napětí σ [31]. 2.1 ÚPLNÁ SOUSTAVA ROVNIC V zákonech blance hmoty, hybnost, momentu hybnost, energe a entrope ystupue 22 neznámých funkcí, T, u, s, q,, σ, t [29]. Pro určení těchto neznámých funkcí e k dspozc těchto deět ronc prostoroém popsu: edna ronce zákona blance hmotnost ρ ( ρ ) = 0, (2.3) t edna ronce zákona blance mechancké energe ( ) ρ t 2 ρ ( ) σ 2 edna ronce zákona blance ntřní energe ρf = 0, (2.4) ( ρu) ( ρ u) q t σ q~ = 0, (2.5) tř ronce zákona blance hybnost ( ρ ) ( ρ t ) σ ρf = 0 (2.6) a tř ronce zákona blance momentu hybnost σ = σ. (2.7) Aby byla zaštěna reálnost modelu staů a procesů tělese, e třeba zbýaících 22 9 = 13 neznámých funkcí defnoat tak, aby yhooaly druhému zákonu termodynamky, t. edné neronc pro hustotu produkce entrope ds(, ) ~ t q q p( S) = ρ(, t) 0. (2.8) dt T T Neronost (2.8) reprezentue lokální tar druhého zákona termodynamky nebo také lokální tar blance entrope (neronost Clausoa Duhemoa). 11

13 Formulac zákona blance energe lze s použtím blance mechancké energe (2.4) a zákona blance hmotnost (2.3) přeést na obykle užíaný tar prního zákona termodynamky d dt V ρu d = A q da A ( σ ) da V q ~ ( ) ρ t 2 ρf d. (2.9) Některé uedené elčny sou určeny tarem zákonů blance bezprostředně. Rychlost materáloého bodu e defnoána př blanc hybnost (2.6). Mez třem složkam tenzoru napětí σ může být zákonem blance momentu hybnost zaedena symetre [29]. Hustota ρ e zaedena zákonem blance hmotnost formou ronce kontnuty (2.3). Zdro tepla q ~ a něší obemoé síly f předpokládáme ako známé ze zadání problému. Pro praktcké uplatnění e možné z ntřní energe u a entrope s přeít na specfcké hodnoty termodynamckých potencálů [30], t. Helmholtzou olnou energ f = u T s, entalp h = u p, a Gbbsů potencál g = h T s. 2.2 STAVOVÉ ROVNICE V teor přenosoých eů e nutné zákony blance doplnt staoým roncem [39]. Předstauí konsttutní ztahy ážící mez sebou staoé elčny. Doplňuí počet ronc na počet neznámých, které se daném problému yskytuí. Staoé ronce (fyzkální ronce) mechance kontnua yadřuí ztah mez napětím, deformací a rychlostí deformace pro ednotlé látky [31], [36]. Složté ztahy nastáaí u látek ležících na pomezí mez kapalným a peným látkam [25]. Přenos molekulárním mechansmem není podmíněn makroskopckým pohybem hmot. Nutnou podmínkou e šak estence alespoň ednoho z přenosoých potencálů (rychlostního, teplotního č koncentračního gradentu). Tento mechansmus se uplatňue ak pených látkách, tak tekutnách. Obecně lze pro hustotu toku (Ψ) zapsat [39] [hustota toku] = [součntel přenosu] [potencál přenosu]. (2.10) Typckým případy lneárních azeb mez hustotou toku a příslušným gradentem (zahrnuícím potencál přenosu) sou Newtonů, Fourerů nebo Fcků zákon. Součntel přenosu (dfusty) pak předstaue knematckou skoztu χ, teplotní odost a, nebo součntel dfúze D. Hustotu skózního toku hybnost lze yádřt pomocí Newtonoa zákona tření (skozty) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ) = μ = χ, (2.11) pro edení tepla pených látkách nebo e stagnantních tekutnách platí pro hustotu tepelného toku Fourerů zákon T ( ρc T ) p ( q) = q = k = a (2.12) a případě přenosu hmoty molekulární dfúzí lze hustotu toku hmoty yádřt pomocí Fckoa zákona ( ρc) ( D) = D. (2.13) 12

14 Pro látku e stau tekutém se použíá nečastě Newtonoa tekutna, pro látku e stau peném Hookoa látka a pro sta nacházeící se mez kapalnou a penou látkou se použíaí lneárně a nelneárně azkopružné a azkoplastcké modely [25]. Konsttutní ztahy pro newtonoskou tekutnu yadřuí celkoé napětí σ tekutně ako lneární funkc rychlost deformace a tlaku p(, y, z, t) [36] σ = pδ δλ μ, (2.14) přčemž λ(ρ, T) e koefcent obemoé deformace a μ(ρ, T) koefcent dynamcké skozty. Lneární kombnac mez složkam σ tenzoru napětí a složkam ε kl tenzoru deformace (Hooků zákon) lze yádřt ztahem σ = C ε. (2.15) kl kl Elastcké koefcenty C kl ronc (2.15) ysthuí lastnost látky každém eím bodě a sou složkam tenzoru čtrtého řádu. Obecně šech záemně nezáslých složek e 3 4 = 81 [4], ašak zhledem k symetr tenzorů napětí a deformací a dalším podmínkám se počet nezáslých elastckých koefcentů zredukue na 21 a pro zotropní těleso na da koefcenty Laméoy konstanty λˆ a μˆ, techncké pra nahrazoané moduly pružnost tahu (tlaku) E a e smyku G = μˆ. Pomocí Laméoých konstant se ronce (2.15) změní na zobecněný Hooků zákon pro zotropní těleso σ = λδ ˆ ε 2μˆ ε. (2.16) 2.3 POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY Matematcký model ychází z fyzkálních zákonů (blancí), popsaných dferencálním roncem. Nedílnou součástí př torbě matematckého modelu e formulace počátečních a okraoých podmínek, které se předepsuí na hranc oblast (tělesa) a umožňuí získat ednoznačné řešení. Podmínky yplýaí z konkrétních okolností každého problému. Některé podmínky ycházeí přímo ze zadání úlohy, né e nutné ododt s použtím stených postupů ako př odozoání matematckého modelu (pomocí blancí). Lze defnoat, že počáteční podmínky určuí sta na počátku řešení ( čase t = t 0 ), předepsuí na začátku sledoaného děe hodnoty neznámým (hledaným) funkcím e šech bodech tělesa (uzlech náhradní oblast), okraoé podmínky předepsuí sta na hranc tělesa. Geometrcké okraoé podmínky (homogenní č nehomogenní) maí charakter knematckých podmínek, t. předepsuí hodnoty neznámých funkcí nebo ech derací určtých bodech tělesa [37]. Rozlšuí se tř základní typy okraoých podmínek: Drchletoa okraoá podmínka (prního druhu) předepsue hodnotu proměnné určtém místě porchu tělesa (hrance) známou funkcí souřadnc a času (u nestaconárních úloh). Neumannoa okraoá podmínka (druhého druhu) předepsue na porchu tělesa hodnotu derace proměnné podle edné souřadnce známou funkcí ostatních souřadnc a času. 13

15 14 Newtonoa (Foureroa) okraoá podmínka (třetího druhu) předepsue lneární kombnac hodnoty proměnné elčny bodě,0 a eí derace podle místě,0 ako známou funkc ostatních souřadnc a času. 2.4 VYBRANÉ ÚLOHY TERMODYNAMIKY KONTINUA Pro numercké modeloání deformace, rychlost deformace a napatost konstrukčních prků z termoplastů e potřebné zládnout některé úlohy z termodynamky kontnua. Patří sem zeména úloha přenosu tepla, yužtelná př změně teplotního pole, úloha proudění tekutny, yužtelná př modeloání procesu sařoání a úloha pružnost ako základní problém mechanky kontnua Přenos tepla Látky emtuí energ různých forem. U tepelného záření (tepelná radace, sálání) sou nostelem přenášené energe elektromagnetcké lny. Zásadní rozdíl mez mechansmy přenosu tepla zářením a edením spočíá m. tom, že přenos zářením mez děma porchy o různých teplotách probíhá nezásle na prostředí, které prostor mez porchy yplňue. Vyádříme-l ze ztahu h = u p (odst. 2.1) ntřní energ u, získáme celkoou blanc ntřní energe prostoroém popsu. Po úpraě na dferencální tar př yádření hustoty tepelného toku pomocí Foureroa zákona (2.12) získáme [32] = z z y y p z z y y p p p p t p T ρ T T T T t T c ρ z z z y y y T k T k T k q μ μ y z z y z z y y z z y y ~ , (2.17) kde c p značí měrnou tepelnou kapactu př konstantním tlaku. Ronce (2.17) reprezentue dferencální entalpckou blanc materáloého bodu lboolného spotého prostředí. Platí bez ohledu na to, e-l blancoaném obemu plyn, kapalna nebo pená látka. Např. u stlačtelného prostředí platí tato ronce bez ohledu na to, ak složtá e příslušná termcká ronce stau. V nestlačtelné tekutně, pro nž se yuže Newtonů zákon (2.11), platí (/T) p = 0, čímž se blance zednoduší na Fourerou Krchhoffou ronc [32]. V pených látkách, kde sou složky ektoru rychlost nuloé, se pak získá ronce [42] q T k T k T k t T c ρ z z z y y y p ~ =, (2.18) eíž aplkace slouží předeším k ýpočtu teplotních polí Proudění tekutny Pohyboé ronce skózní stlačtelné tekutny se získaí z ronce hybnost (2.6) a příslušné konsttutní ronce (Newtonoa zákona) (2.14). Předstauí tak Naeroy Stokesoy ronce [4]

16 ( ρ ) ( ρ t ) p λ k k μ ρf = 0 (2.19) a yadřuí pro ednotku hmotnost protékaící kapalny ztah mez slam něším, tlakoým, odporoým a setračným. Celkoé napětí proudící newtonoské tekutně se yadřue ako součet napětí pro deální tekutnu a napětí yolaného prouděním tekutny. Konsttutní ztahy pro newtonoskou tekutnu yadřuí napětí σ tekutně ako lneární funkc rychlost deformace a tlaku p [36] podle ztahu (2.14). Zanedbáním lu obemoé deformace znkne nestlačtelná obemoě stálá tekutna a (2.14) nabude často užíaného taru σ pδ μ = pδ 2μ ε& =. (2.20) V úloze proudění fgurue 15 neznámých elčn, a to tř složky ektoru rychlost, šest složek tenzoru rychlost deformace ε& a šest složek tenzoru napětí σ (zahrnuící tlak p) [29]. K dspozc e 15 ronc, a to šest ronc pro rychlost deformace, šest konsttutních ztahů (2.14) a tř Naeroy Stokesoy ronce. Přtom něší obemoé síly f sou předpokládány ako známé ze zadání problému. Hustota tekutny ρ e zaedena roncí kontnuty (2.3) Úloha pružnost Kontnuum schopné deformace přechází př působení něších sl, yoláaících deformac eho porchu sta napětí a deformace untř kontnua, do ronoážného stau mez působícím slam a ntřním napětím [4]. To yadřuí tř ronce ronoáhy pružného kontnua (Cauchyho ronce) získané z (2.6) zanedbáním časoého faktoru σ ρf = 0. (2.21) V každém bodu kontnua schopného deformace platí (2.7), takže tenzor napětí e tenzorem symetrckým a z deít složek e en šest nezáslých elčn σ. Obecně e nelze určt pouze z podmínek ronoáhy (2.21), neboť to sou pouze tř ronce. V úloze pružnost fgurue 15 neznámých elčn [37], a to tř složky ektoru posunutí u, šest složek tenzoru deformace ε a šest složek tenzoru napětí σ. K dspozc e 15 ronc, a to šest geometrckých ronc ε 1 u = 2 u, (2.22) šest fyzkálních ronc (2.16) a tř ronce ronoáhy (2.21). Přtom něší obemoé síly f a hustota ρ sou předpokládány ako známé ze zadání problému [29]. Maí-l funkce ε ( l ) popsoat deformac spotého tělesa, které zůstane spoté po deformac, musí splňoat ronce kompatblty deformací, které e nutné přpot k předchozím roncím. Pro ednoznačné řešení e nutné zadat okraoé podmínky pro funkce σ a u. Př řešení úlohy klascké teore pružnost se zhledem k předpokladu o malých deformacích nerozlšue mez deformoaným a nedeformoaným staem tělesa. 15

17 Komplení řešení úlohy přenosu tepla a statckého choání lze některých programech založených na MKP proést děma způsoby. V prním způsobu se nečastě ýsledky rozdělení teplot z tepelné analýzy uplatní ako teplotní zatížení působící na konstrukc př statckém řešení [13]. Druhou možností e přímé použtí tz. sdružené tepelně statcké analýzy, přčemž se ýsledky obou analýz záemně olňuí. 2.5 PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ DANÉHO PROBLÉMU Počítače mohou proádět en ednoduché operace a na základě toho sou schopné přímo řešt pouze soustau lneárních algebrackých ronc. Ronce popsuící fyzkální problémy, pokud e takoé ronce ůbec možné sestat, šak obsahuí neznámé parametry raconálním taru. Dokonce an po ýrazném zednodušení pomocí Tayloroých rozoů př značně zeslabené geometrcké nelneartě nelze přesné ronce řešt přímo [19]. Posloupnost sousta lneárních ronc yužté přírůstkoých a teračních krocích se snaží matematcky apromoat to, co popsuí přesné eent. zednodušené nelneární soustay ronc. Tím znká neodstrantelný rozdíl mez fyzkálním a matematckým modelem konstrukce. Otázkou e, zda získané řešení e reálně platné, protože soustay nelneárních ronc nemaí ednoznačné řešení. Jž př nízkém stupn nelnearty estue elký počet matematcky yhouících kořenů. Protože se ychází z počátečního odhadu (obykle klasckého lneárního řešení), kořeny mohou být lboolně blízké, a protože algortmu nelze zahrnout žádné ntutní procesy rozhodoání, může u nelneárního řešení doít k nalezení chybného kořene, který e stém smyslu neblžší k protnímu odhadu. Mez metodam pro numercké řešení dferencálních ronc s počátečním a okraoým podmínkam hraí důležtou rol arační metody [35]. Z hledska poednáaných problémů e numercké řešení parabolckých dferencálních ronc pomocí aračních metod zhledem k záslost na čase na obecněší úron než řešení elptckých dferencálních ronc. Parabolcká ronce má tar [35] A = t f, (2.23) kde A e elptcký operátor, o němž lze pro ednoduchost předpokládat, že nezásí na čase a e symetrcký. K tomu e nutno přpot počáteční a okraoé podmínky. Př numerckém řešení parabolcké ronce e nutné proést doí dskretzac časoou a prostoroou. Dskretzue-l se en čase nebo en prostoru, edná se o semdskrétní metody. Pro prostoroou semdskretzac lze yužít Galerknou semdskrétní metodu. Přblžné řešení se předpokládá e taru N = N k= 1 c ( t) ω. (2.24) k k Vznkne soustaa lneárních dferencálních ronc s konstantním koefcenty. To e důsledek nezáslost blneární formy na čase. Úloha se obykle řeší numercky. Prostoroou dskretzac lze proést metodou konečných prků. Přblžné řešení lze např. získat tak, že pro řešení časoé úlohy se použe buď mplctní Euleroa metoda [35], nebo Crankoa Ncholsonoa metoda [42]. Pro přechod z časoé úroně k 1 na úroeň k se obou případech řeší soustaa algebrackých ronc pro neznámé koefcenty hledaného řešení. 16

18 Př arační formulac problému edoucího na elptcké ronce se uažue elptcká dferencální ronce e taru A = f (2.25) s okraoým podmínkam Neumannoa č Drchletoa typu, nebo ech kombnací. Varační metody sou založené na poznatku, že funkce = 0 e řešením ronce (2.25) práě tehdy, když 0 mnmalzue funkconál energe [35]. Možnost použít př řešení okraoých úloh méně hladkých funkcí e edním z důležtých rysů aračních metod. Prncp mnma potencální energe lze yužít pro řešení staconárních ronc pružnost, gratačního pole, edení tepla, Mawelloy Stokesoy ronce apod. Mez základní přblžné arační metody se řadí metoda Rtzoa a metoda Galerknoa. Se specální olbou konečnědmenzonálního podprostoru toří základ metody konečných prků. V každém okamžku musí být yšetřoaná soustaa ronoážná, tedy eí přírůstek čase musí být ronoážný. To umožňue použít nkrementální metodu, přčemž hlaním problémem se stane způsob, ak fyzkálně nezáadně sčítat přírůstky napětí, deformací č posunutí, dochází-l k elkým deformacím. V nelneárních úlohách mechanky e nutné použít přírůstkoé a terační metody, ako sou např. často yužíané aranty Newtonoy Raphsonoy metody, metody délky oblouku a. Dobrých ýsledků lze dosáhnout zeména užtím metod funkconální analýzy. Současný software metody konečných prků umožňue smuloat na počítač nerůzněší fyzkální procesy. 3 MATERIÁLOVÉ MODELY TERMOPLASTŮ Nedílnou součástí matematckého modelu sou ronce popsuící deformac a porušoání termoplastoého materálu [17], [38]. Reálně e konsttutní ronce ako ztah mez napětím a deformací nelneární, podle příslušného typu materálu dochází k rozdílnému choání př zatěžoání a odtěžoání, proeuí se nepružné účnky, dochází k tralým deformacím důsledku plastckých deformačních procesů č ke změně tuhost důsledku znku a rozoe trhln. Výrazně se proeue l doby působení zatížení, časoá proměna a roněž rychlost, s akou změny probíhaí, což ede na reologcké modely. Reologe má proto zláštní ýznam pro dlouhodobé deformoání termoplastů. Z reologckého hledska se stáá rozhraní mez penou látkou a kapalnou relatním pomem [38]. Látky se složtěší molekulární strukturou nemaí ostrý přechod mez kapalnou a penou fází an z termodynamckého hledska. Pro reologcký pops látek ležících na pomezí mez kapalnam a peným látkam se zaáděí modely kombnuící lastnost obou látek. Pro rozlšení obou druhů látek se zaádí bezrozměrné Debořno číslo [38], které e podílem doby relaace a doby pozoroání [32] t rela De =. (3.1) tproces Je-l pozoroací doba elká nebo doba relaace elm malá, eí se látka ako kapalna. Je-l doba relaace látky ětší než doba pozoroací, eí se látka ako pená. Čím ětší e De, tím e látka peněší, čím e De menší, tím se látka eí tekutěší. U řady termoplastů dochází pod lem konstantního napětí k postupnému nárůstu deformace, t. dotaroání. V materálech, které maí tendenc dotaroat, nastáá př konstantní deformac úbytek napětí relaace. Dotaroání a relaace spolu úzce souseí a sou způsobeny tím, že deformační procesy e skutečnost probíhaí s určtým zpožděním. Konsttutní ztahy nemuseí být yádřeny 17

19 pro každý časoý okamžk zlášť, ale zahrnuí předchozí ýo napětí a deformace až po yšetřoaný časoý okamžk, němž se druhá elčna (deformace č napětí) yhodnocue. Př řešení plošných č prostoroých konstrukcí by bylo hodné uažoat konsttutní ztahy př íceosé napatost. Časoá záslost azkých deformací př obecné napatost šak není zatím přesně defnoána, neboť dosud nebyl přat šeobecně uznáaný ednotný model [17]. Proto se yužíaí ednoosé modely, které sou nepropracoaněší. Další úahy se týkaí ednoosého namáhání. 3.1 ZÁKLADNÍ REOLOGICKÉ LÁTKY A MODELY Protože přímé analytcké yádření reologckých procesů e často nesmírně složté, yužíaí se reologcké modely, umožňuící názornou nterpretac deformačních lastností ednotlých materálů, četně matematckého yádření a skládání účnků ednotlých lastností. Ve ětšně případů šak nelze yádřt ednotným matematckým ztahem reologcké deformace př opakoaném zatěžoání a odtěžoání. Proto se pro modeloání reologckého choání yužíaí základní reologcké látky s odpoídaícím modely a dagramy [25], [38]. Samostatně se základní reologcké látky e skutečnost yskytuí en zřídka. Jedná se spíše o abstrakce hodné pro ystžení ednotlých podstatných reologckých lastností. Skládáním ednoduchých modelů základních reologckých látek se pak získáaí složtěší reologcké modely, umožňuící přblížt se k ystžení reologckých lastností reálných látek. Podle choání za zýšených teplot se polymery dělí na termoplasty, reaktoplasty, elastomery a termoplastcké elastomery. Termoplasty př zyšoání teploty postupně přecházeí ze stau tuhého, křehkého nebo trdého do stau kaučukotě elastckého, dále do stau plastckého a pak se mění na tekutnu (taennu). Lze e opakoaně roztat a ochlazoáním přeést do tuhého stau. Termoplasty se nacházeí e dou základních fázoých staech krystalckém a amorfním. Krystalcký sta e uspořádaný tuhý sta. Amorfní sta e buď sklotý s neuspořádaným tuhým staem, nebo kaučukotý ako přechodoý sta mez sklotým a kapalným, anebo plastcký s neuspořádaným kapalným staem. Reaktoplasty setráaí př zyšoání teploty tuhém stau. Neyskytuí se elastckém nebo plastckém stau, an e není možno přeést do taenny. Elastomery př stoupaící teplotě poněkud měknou, anž by šak lem zýšené teploty přecházely do plastckého nebo kapalného stau. Elastomer lze za běžných podmínek malou slou značně zdeformoat bez eho porušení. Přtom deformace e přeážně ratná. Termoplastcké elastomery maí lastností elastomerů, sou šak tatelné a mohou se tedy zpracoáat obdobně ako termoplasty. Reologcké lastnost makromolekulárních látek značně olňue molekuloá hmotnost polymeru, délka molekuloých řetězců, rozložení molekuloé hmotnost, pohyblost segmentů molekuloých řetězců, ohebnost řetězců, elkost mezmolekulárních sl, mechancká zaklesnutí molekul, stupeň síťoání polymerů, stupeň krystalzace, obsah pln a změkčoadel a. Podstatný l na azkopružné lastnost ysokomolekulárních látek má teplota. S rostoucí teplotou látka měkne, deformace se zětšuí, moduly tečení a součntele azkost se zmenšuí. 3.2 NELINEÁRNÍ VAZKOPRUŽNOST Neednodušším modelem pro pops reologckého choání př smykoém namáhání e Newtonoa azká kapalna, u níž případě ednoosého stau platí pro smykoé napětí [25] d τ = μ dy d d = μ, (3.2) dt dy 18

20 kde μ e newtonoská skozta a d /dy e rychlost smykoé deformace. Většna polymerních látek se během toku taenny choá newtonosky en př elm nízkých rychlostech smykoé deformace. Př zyšoání rychlost smykoé deformace začíná být skozta taenny záslá na rychlost smykoé deformace a přechází do nenewtonoského choání. Neznáměší roncí apromuící tok nenewtonoských látek e mocnnný model (ronce Ostwaldoa de Waaleoa) e taru [25] C2 d τ = C1( T ), (3.3) dy 2 kde C 1 e konzstentní faktor [ Pa s C ] yadřuící tekutost látky, C 2 e mocnnný nde nenewtonoského choání (C 2 > 1 dlatantní, C 2 < 1 pseudoplastcké použtelné pro ětšnu polymerních taenn, C 2 = 1 newtonoské, takže C 1 = μ). Př etrémně ysokých rychlostech smykoé deformace taenny lze opět uažoat newtonoské choání. Důležtým reologckým modelem e roněž Bnghamů model. Popsue choání látek, ež se začnou deformoat (téc) až po překonání sté úroně smykoého napětí τ 0. Platí [25] τ = τ d 0 μ dy. (3.4) Bnghamů model lze použít pro newtonoské, pseudoplastcké nebo dlatantní látky. Kromě mocnnného modelu se často použíá také Brdů Carreauů Yasudaů model [33]. V mnoha případech e nekonečná smykoá rychlost skozty u tohoto modelu zanedbatelná a model se redukue na tříparametroý. Půodní Brdů Carreauů Yasudaů model byl Mengesem, Wortbergem a Mchaelm modfkoán pro teplotní záslost Wllamsoým Landeloým Ferryho ztahem (odst ). Teor lneární azkopružnost lze yužít pro polymery, u nchž lze uažoat malé deformace. V této teor se pro polymery yužíaí da prncpy, a to prncp časoé a teplotní podobnost a Boltzmannů superpozční prncp Prncp časoé a teplotní podobnost Pro modeloání teplotní záslost u termoplastů se yužíá emprckého poznatku, že odeza choání materálu př zatížení e př působení yšší teploty po kratší dobu stená ako př působení nžší teploty po delší dobu [32]. K ystžení časoé a teplotní podobnost lze yužít Wllamsou Landelou Ferryho (WLF) ronc log t t ref C1( T Tref ) =, (3.5) C ( T T ) 2 ref kde značí t a t ref skutečný a sronáací čas, C 1 a C 2 materáloě záslé konstanty, T a T ref skutečnou a sronáací teplotu Boltzmannů prncp superpozce Podle Boltzmannoa superpozčního prncpu e celkoá deformace dána součtem dílčích deformací od různých zatížení působících po určtou dobu určtých časech [32], takže ε t) σ J ( t t ) ( σ σ ) J ( t t )... ( σ σ ) J ( t t )..., (3.6) ( =

21 kde J e funkce poddanost materálu. Ronc (3.6) lze, př respektoání změny napětí nepre se skokem na počátku zatěžoání ( čase t 0 ) z nuloé hodnoty na σ 0, a nadále se spotým ýoem, přepsat do ntegrálního taru [32] t σ( t ) ε( t) = J ( t, t ) σ J ( t, t ) dt 0 0. (3.7) t0 t Materál, u něhož funkce poddanost J zásí pouze na čase t t, e označoán ako materál bez stárnutí a eho typckým předstatelem sou termoplasty, pokud se nezohledňue ech případná degradace e elm dlouhém časoém období. 3.3 VYBRANÉ REOLOGICKÉ MODELY Složené azkopružné modely sou základem popsu tečení a relaace termoplastů př dlouhodobém zatížení. V modelech lze zahrnout l stárnutí, t. proměnu lastností materálu čase. Vazkopružné a pružnoplastcké modely sou založeny na předpokladu, že deformuící se těleso zůstáá spoté a lze e popsat rámc teore kontnua. Dode-l k poškození, eho rychlý rozo obykle ede ke změkčoání materálu, t. poklesu napětí za rostoucí deformace Mawellů model Reologcké schéma Mawelloa modelu znkne séroým zapoením pružného a azkého prku [38], [17]. Oba prky přenášeí stené napětí (σ = σ e = σ ) a celkoá deformace ε e součtem dílčích deformací ednotlých prků, a to složky pružné a azké (ε = ε e ε ). Pro rychlé procesy se zdeformue pouze pružna a azká deformace nemá čas se roznout, naopak pro pomalé procesy azká deformace naroste do elkých hodnot, prot nmž e pružná deformace zanedbatelná. V případě yádření tohoto ztahu rychlostech deformace předstaue součet rychlostí deformace pružného azkého prku základní reologckou ronc Mawelloa modelu [32] dε dt = 1 E dσ dt σ η, (3.8) kde η e materáloá konstanta normáloá skozta [17]. Poměr t R = η/e e relaační čas. Mawellů model e schopen posthnout okamžtou deformac, a eho lastností e, že deformace čase narůstá konstantní rychlostí, což odpoídá spíše choání azké kapalny než pené látky [17] Kelnů model Reologcké schéma Kelnoa modelu znkne paralelním zapoením pružného a azkého prku. Oba prky sou podrobeny stené deformac (ε = ε e = ε ) a celkoé napětí e součtem příspěků pružného a azkého prku [38] dε σ = σe σ = Eε η. (3.9) dt Pro rychlé procesy se Kelnů model choá téměř ako azký tlumč a pro pomalé skoro ako pružna. Přtom rychlost č pomalost procesu přetáření zásí na poronání délky eho trání s charakterstckým časem, kterým e u Kelnoa modelu retardační čas (azké zpoždění), yádřený poměrem t R = η/e. Retardační čas zhruba ymezue hranc mez rychlým procesy (t < 0,05 t R ) 20

22 a pomalým procesy (t > 3 t R ), kdy nesou téměř ůbec aktoány azké účnky. Kelnů model nemá schopnost posthnout okamžtou deformac po skokoém zýšení napětí [17] Složený reologcký model Protože reálném materálu probíhaí různé fyzkální procesy s rozdílným charakterstckým časy, e nutné e ýstžném modelu použít íce článků s rozdílným retardačním časy. Séroým zapoením několka Kelnoých článků znkne Kelnů řetězec, který se osědčl ako užtečný reologcký model. Přdáním séroě přpoené Hookoy látky (pružny) předřazené před ednotlé Kelnoy články se odstraní hlaní neýhoda ednoduchého Kelnoa modelu, a to neschopnost ysthnout okamžtou deformac. Sečtením deformací šech článků Kelnoa řetězce s doplněním lu předřazené pružny získáme ýraz N t σˆ σˆ = τ ε( t) 1 e, (3.10) E 0 = 1 E kde N e počet Kelnoých článků. Praá strana (3.10), předstauící Pronyho řadu, umožňue apromoat dobré shodě šrokou oblast časoých nteralů, které se mohou lšt o mnoho řádů [17]. 3.4 POLOEMPIRICKÉ KONSTITUTIVNÍ VZTAHY Pro ystžení dotaroání (creepoého choání) se často použíaí různé konsttutní ztahy poloemprckého charakteru. Jako příklad e ueden Nortonů model [33] ( ) ( ) C 1 2 ε t = k T σ t C, (3.11) kde k, C 1, C 2 sou materáloě záslé charakterstky. Přtom pro řešení čase se použíá Euleroa dopředná metoda, Euleroa zpětná metoda, popř. né metody. Časoé kroky se olí s ohledem na přesnost, časoou náročnost a numerckou stabltu ýpočtu. Pro řešení praktckých problémů e ýhodné mít k dspozc metodu, která umožní získat s přatelnou chybou přblžnou apromac ýsledného stau edném kroku a ednoduchým způsobem [17], např. ýpočet s yužtím modulu tečení. Modul tečení se přřazue podle úroně napětí, podle stau teplotního pole tělese a podle příslušného času. 4 APLIKACE V této kaptole e ukázka kompleněšího řešení úlohy přenosu tepla a statcké analýzy čase. Jak e uedeno odst , řešení tohoto problému lze proést děma způsoby. V častěším ednodušším způsobu se ýsledky teplotního pole získané z analýzy přenosu tepla uplatní ako teplotní zatížení působící na konstrukc a následně se řeší statcká analýza čase. Tento způsob e uplatněn následuícím příkladu. Pro nádrže z termoplastů e typcká aplkace ednodušší aranty, neboť statcká analýza neolňue rozložení teplotního pole [13]. Tepelně statcký ýpočet stoaté álcoé nadzemní nádrže bez íka e proeden na modelu podle obr Nádrž e z polyetylénu (PE-HD) pro ohřátou odu s obemem cca 2,5 m 3, ýška nádrže e 1650 mm, průměr nádrže e 1500 mm, tloušťka dna a pláště e 10 mm. 21